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Algebra Lineal y Geometrıa I. Curso 2010/11. Departamento de Algebra. http://www.departamento.us.es/da

Capıtulo 3

Determinantes

3.1. Definicion

En este tema trataremos una de las herramientas mas importantes en el estudio delalgebra matricial, en el calculo del rango o de la inversa de una matriz o la resolucion desistemas de ecuaciones lineales: losdeterminantes. Para ello comenzaremos por recordarbrevemente algunas propiedades de las permutaciones, que el alumno debe conocer.

DenotaremosSn al conjunto de las permutaciones de un conjunto den elementos, esdecir, al conjunto de las aplicaciones biyectivas

σ : {1, . . . , n} −→ {1, . . . , n}.

Dada una permutacionσ ∈ Sn, una de las caracterısticas deσ que va a tener mas impor-tancia en este tema sera sunumero de inversiones, ni(σ), que es el numero de pares(i, j)tales quei < j y σ(i) > σ(j). Hay una forma grafica muy util para describir el numerode inversiones deσ: Si disponemos dos copias del conjunto{1, . . . , n}, donde los nume-ros estan alineados verticalmente como en el ejemplo de la figura 3.1, la permutacionσviene representada porn segmentos, o lıneas, que unen el elementoi de la primera copiaal elementoσ(i) de la segunda. Es claro queni(σ) es simplemente el numero de cruces(intersecciones) que aparecen en esta representacion. (Nota: se debe evitar que mas dedos rectas se corten en el mismo punto, para poder contar los cruces de forma mas clara.)

Figura 3.1: Ejemplo de permutacionesσ, τ ∈ S5 tales queni(σ) = 5, ni(τ) = 4 yni(τ ◦ σ) = 7.

A partir deni(σ), se obtiene elsigno (o la paridad) de la permutacionσ, dado sim-plemente por la formula:

sg(σ) = (−1)ni(σ).


Observemos quesg(σ) = 1 si ni(σ) es un numero par, ysg(σ) = −1 si ni(σ) es unnumero impar. En el primer caso diremos queσ es unapermutacion par, mienras que enel segundo diremos queσ es unapermutacion impar.

Proposicion 3.1.1.La composicion de dos permutaciones pares, o de dos permutacionesimpares, es una permutacion par. La composicion de una permutacion par y una impar,es una permutacion impar.

PRUEBA: Seanσ, τ ∈ Sn dos permutaciones, que representaremos graficamente de formaconsecutiva, como en la figura 3.1. Observemos que la composicion τ ◦ σ se obtienesiguiendo las lıneas desde la primera copia de{1, . . . , n} a la tercera. Un par(i, j) sera unainversion deτ ◦σ si las lıneas correspondientes se cruzan una sola vez (o bien enσ o bienenτ ). Por el contrario,(i, j) no sera una inversion deτ ◦ σ si las lıneas correspondientesno se cruzan, o si se cruzan dos veces (los dos cruces marcadosen la figura 3.1). Sillamamosm al numero de pares(i, j) tales que sus lıneas correspondientes se cruzan dosveces, este argumento nos dice queni(τ ◦ σ) = ni(σ) + ni(τ) − 2m. De aquı se deduceinmediatamente el resultado sobre la paridad deτ ◦ σ. 2

Corolario 3.1.2. Dadaσ ∈ Sn, se tienesg(σ) = sg(σ−1).

PRUEBA: Al serσ−1 ◦ σ = Id una permutacion par (la identidad es la unica permutacionsin inversiones), el resultado anterior implica queσ y σ−1 tienen la misma paridad. 2

Mas adelante necesitaremos algun otro resultado sobre permutaciones, pero ahora yapodemos dar la definicion principal de este tema.

Deteminante de una matriz

SeaA una matriz cuadrada de ordenn × n. Se define eldeterminantedeA, denotado|A| o det(A), como:

|A| =∑

σ∈Sn

sg(σ) · [A]1σ(1)[A]2σ(2) · · · [A]nσ(n).

Observemos que|A| es una suma den! terminos, puesto que hay un termino por ca-da permutacion deSn. Cada sumando contiene un producto de la formaa1σ(1) · · ·anσ(n).Estosn escalares sonn entradas de la matrizA que estan enn filas distintas, y tambienenn columnas distintas. Recıprocamente, si elegimosn entradas deA que esten en fi-las distintas y en columnas distintas, el producto de esosn escalares aparecera en unode los sumandos que definen|A|: la permutacion correspondiente sera la que asocia, acada fila, la columna donde esta la entrada elegida. Por tanto, |A| es la suma de todosestos posibles productos, cada uno de ellos con un signo determinado por la permutacioncorrespondiente.

Ejemplo3.1.1. Si A es una matriz de orden2 × 2, solo hay dos permutaciones posiblesenS2, la identidad y la que permuta los elementos1 y 2. La primera es par, y da lugar al

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sumandoa11a22. La segunda es impar, y da lugar al sumando−a12a21. Por tanto, en elcason = 2, tenemos la conocida formula:

∣

∣

∣

∣

a11 a12a21 a22

∣

∣

∣

∣

= a11a22 − a12a21.

Ejemplo3.1.2. Si A es una matriz de orden3× 3, y como hay6 permutaciones enS3, laformula que define|A| consta de6 sumandos, tres de ellos pares y tres impares. Concre-tamente:∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.

Dos resultados inmediatos son los siguientes. No necesitamos dar la demostracion, alser evidentes a partir de la definicion del determinante.

Proposicion 3.1.3. Si una matriz cuadradaA tiene una fila o una columna de ceros,entonces|A| = 0.

Proposicion 3.1.4.Si I es la matriz identidad de ordenn× n, entonces|I| = 1.

3.2. Efecto por trasposicion y operaciones elementales

Veamos como varıa el determinante de una matrizA, al aplicar a esta algunas de lasoperaciones definidas anteriormente, como pueden ser la trasposicion, o las operacioneselementales.

Invariancia por trasposicion

Para toda matriz cuadradaA, se tiene: |A| = |At|.

PRUEBA: Por definicion, tenemos

|At| =∑

σ∈Sn

sg(σ) · [A]t1σ(1)[A]t2σ(2) · · · [A]

tnσ(n)

=∑

σ∈Sn

sg(σ) · [A]σ(1)1[A]σ(2)2 · · · [A]σ(n)n

=∑

σ∈Sn

sg(σ) · [A]σ(1)σ−1(σ(1))[A]σ(2)σ−1(σ(2)) · · · [A]σ(n)σ−1(σ(n)).

Reordenando los terminos en cada producto, para que los primeros ındices esten en ordenascendente, se tiene:

|At| =∑

σ∈Sn

sg(σ) · [A]1σ−1(1)[A]2σ−1(2) · · · [A]nσ−1(n).

Finalmente, comosg(σ) = sg(σ−1), nos queda:

|At| =∑

σ∈Sn

sg(σ−1) · [A]1σ−1(1)[A]2σ−1(2) · · · [A]nσ−1(n).

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Pero toda permutacion deSn tiene una unica inversa, luego en el sumatorio anterior,σ−1

toma como valor todas las posibles permutaciones, por tantodicho sumatorio es igual a|A|, como querıamos demostrar. 2

Veamos ahora el efecto que producen las operaciones elementales por filas en el de-terminante de una matriz.

Determinante y operaciones elementales de tipo I

Si la matriz cuadradaB se obtiene deA al intercambiar dos filas (o doscolumnas), entonces:

|B| = −|A|.

PRUEBA: Supongamos queB se obtiene deA al intercambiar las filasi y j, coni < j.Tendremos:

|B| =∑

σ∈Sn

sg(σ) · [B]1σ(1) · · · [B]iσ(i) · · · [B]jσ(j) · · · [B]nσ(n)

=∑

σ∈Sn

sg(σ) · [A]1σ(1) · · · [A]jσ(i) · · · [A]iσ(j) · · · [A]nσ(n)

=∑

σ∈Sn

sg(σ) · [A]1σ(1) · · · [A]iσ(j) · · · [A]jσ(i) · · · [A]nσ(n).

Si llamamosτ a la permutacion (llamada trasposicion) que intercambialos elementosi yj, dejando invariantes los demas, se tiene:

|B| =∑

σ∈Sn

sg(σ) · [A]1σ(τ(1)) · · · [A]iσ(τ(i)) · · · [A]jσ(τ(j)) · · · [A]nσ(τ(n)).

Ahora observemos que una trasposicion siempre es impar, como se puede ver en su re-presentacion grafica: hayj− i− 1 lıneas que empiezan entrei y j, y todas ellas se cruzancon las lıneasi y j; ademas tenemos el cruce de la lıneai con la lıneaj, y no hay ningunotro cruce. Por tanto,ni(τ) = 2(j − i − 1) + 1, luegoτ es impar. Esto implica quesg(σ) = −sg(σ ◦ τ), y ası tenemos:

|B| =∑

σ∈Sn

−sg(σ ◦ τ) · [A]1σ(τ(1)) · · · [A]iσ(τ(i)) · · · [A]jσ(τ(j)) · · · [A]nσ(τ(n))

= −∑

σ∈Sn

sg(σ ◦ τ) · a1σ(τ(1)) · · ·aiσ(τ(i)) · · · ajσ(τ(j)) · · · anσ(τ(n)).

Como en este sumatorioσ ◦ τ toma como valor todas las posibles permutaciones, la sumada precisamente|A|, luego se obtiene|B| = −|A|, como querıamos demostrar.

Supongamos ahora queB se obtiene deA al permutar dos columnas. En este casoBt

se obtiene deAt al permutar dos filas, luego|B| = |Bt| = −|At| = −|A|. 2

Un corolario inmediato de este resultado es el siguiente:

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Determinante de matrices con filas o columnas iguales

Si A es una matriz cuadrada con dos filas o dos columnas iguales, en-tonces

|A| = 0.

PRUEBA: En este caso,A se obtiene de sı misma al intercambiar dos filas o dos columnas(aquellas que son iguales). Por tanto,|A| = −|A|, luego|A| = 0. 2

Nota3.2.1. En la demostracion anterior, hemos supuesto que2 6= 0 en el cuerpok. Enefecto,|A| = −|A| es equivalente2|A| = 0, que implica|A| = 0 siempre que2 6= 0.Hay cuerpos en los que esto no ocurre (por ejemploZ/Z2), aunque incluso en este caso elresultado sigue siendo cierto. Un buen ejercicio es demostrar este resultado directamentecon la definicion de determinante.

Para estudiar el efecto que una operacion elemental de tipoII o III induce en el deter-minante de una matriz, veremos un resultado mas general, que incluye a ambos.

Determinante y combinaciones lineales de filas

SeanB,A1, . . . , At matricesn× n tales que:

La fila i de B es una combinacion lineal de las filasi deA1, . . . , At, es decir, existen unos escalaresα1, . . . , αt tales que

[B]i∗ = α1[A1]i∗ + · · ·αt[At]i∗.

Para todok 6= i, las filask deB,A1, . . . , At son todas iguales.

Entonces|B| = α1|A1|+ · · ·+ αt|At|.

Ejemplo3.2.1. A partir de la combinacion lineal(2, 3, −1) = 2(1, 5, 1)+(−1)(0, 7, 3),se deduce la igualdad:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

13 57 362 3 −1248 504 311

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

13 57 361 5 1248 504 311

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ (−1)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

13 57 360 7 3248 504 311

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

PRUEBA: Para todok 6= i, sabemos que la entrada(k, j) de cualquiera de las matricesestudiadas es[B]k,j. Para la filai, denotaremos[Am]i,j a la entrada(i, j) de la matrizAm, param = 1, . . . , t. Entonces tenemos[B]i,j = α1[A1]i,j + · · ·+ αt[At]i,j, para todoj = 1, . . . , n.

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La formula del determinante deA queda:

|B| =∑

σ∈Sn

sg(σ) · [B]1σ(1) · · · [B]iσ(i) · · · [B]nσ(n)

=∑

σ∈Sn

sg(σ) · [B]1σ(1) · · ·(

α1[A1]iσ(i) + · · ·+ αt[At]iσ(i))

· · · [B]nσ(n)

=

(

∑

σ∈Sn

sg(σ) · [B]1σ(1) · · · (α1[A1]iσ(i)) · · · [B]nσ(n)

)

+ · · ·

· · ·+

(

∑

σ∈Sn

sg(σ) · [B]1σ(1) · · · (αt[At]iσ(i)) · · · [B]nσ(n)

)

= α1

(

∑

σ∈Sn

sg(σ) · [B]1σ(1) · · · [A1]iσ(i) · · · [B]nσ(n)

)

+ · · ·

· · ·+ αt

(

∑

σ∈Sn

sg(σ) · [B]1σ(1) · · · [At]iσ(i) · · · [B]nσ(n)

)

= α1|A1|+ · · ·αt|At|,

como querıamos demostrar. 2

El mismo resultado es claramente cierto para columnas:

Determinante y combinaciones lineales de columnas

SeanB,A1, . . . , At matricesn× n tales que:

La columnaj deB es una combinacion lineal de las columnasj deA1, . . . , At, es decir, existen unos escalaresα1, . . . , αt talesque

[B]∗j = α1[A1]∗j + · · ·αt[At]∗j .

Para todok 6= j, las columnask deB,A1, . . . , At son todas igua-les.

Entonces|B| = α1|A1|+ · · ·+ αt|At|.

PRUEBA: Inmediato, puesto que las traspuestas de las matricesB,A1, . . . , At satisfacenlas hipotesis del resultado anterior. 2

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Determinante y operaciones elementales de tipo II

Si la matriz cuadradaB se obtiene deA al multiplicar una fila (o co-lumna) por un escalarα, entonces:

|B| = α|A|.

PRUEBA: Inmediato a partir de los resultados anteriores, tomandot = 1, α1 = α yA1 = A. 2

Determinante y operaciones elementales de tipo III

Si la matriz cuadradaB se obtiene deA al sumar a una fila (o columna)un multiplo de otra, entonces:

|B| = |A|.

PRUEBA: Supongamos queB se obtiene deA al sumar, a la filai, la fila j multiplicadaporα ∈ k. DenotemosA1 = A, y seaA2 la matriz que se obtiene deA al sustituir la filai for la j, dejando la filaj como esta: es decir, las filasi y j deA2 son ambas iguales a lafila j deA. En este caso,B, A1 y A2 satisfacen las hipotesis de los resultados anteriores:las filask conk 6= i son todas iguales, y la filai deB es combinacion lineal de las filasideA1 y A2. Concretamente:

[B]i∗ = [A]i∗ + α[A]j∗ = [A1]i∗ + α[A2]i∗,

por lo que se tiene|B| = |A1| + α|A2|. ComoA2 es una matriz con dos filas iguales,|A2| = 0, luego|B| = |A1| = |A|.

El caso de las operaciones elementales por columnas se demuestra igual. 2

3.3. Regla del producto

Veamos ahora como se comporta el determinante con respectoal producto de matrices.Para ello usaremos dos argumentos que ya conocemos: como secomporta el determinanteal aplicar una transformacion elemental, y que las transformaciones elementales equivalena multiplicar por una matriz elemental.

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Determinante de las matrices elementales

Si E es una matriz elemental de tipo I, entonces|E| = −1.

Si E es una matriz elemental de tipo II, que se obtiene al multiplicaruna fila de la matriz identidad porα 6= 0, entonces|E| = α.

Si E es una matriz elemental de tipo III, entonces|E| = 1.

PRUEBA: Las tres afirmaciones son inmediatas, una vez que sabemos que |In| = 1, ycomo se comporta el determinante al aplicar una transformacion elemental de tipo I, II oIII. 2

Determinante y producto por matrices elementales

Si A y E son matricesn× n, y E es una matriz elemental, entonces

|EA| = |E||A| = |A||E| = |AE|.

PRUEBA: La primera igualdad es consecuencia de queEA se obtiene deA al aplicaruna transformacion elemental de filas. Por tanto, siE es de tipo I, sabemos que|EA| =−|A| = |E||A|. Si E es de tipo II y el escalar correspondiente esα, se tiene|EA| =α|A| = |E||A|. Finalmente, siE es de tipo III, tenemos|EA| = |A| = |E||A|. Encualquier caso, se tiene la primera igualdad.

La seguna igualdad es inmediata por la propiedad conmutativa del producto enk. Latercera se prueba de identica manera a la primera, utilizando transformaciones de colum-nas. 2

A partir de este resultado, podemos dar una nueva caracterizacion de las matricesinvertibles:

Existencia de inversa y determinantes

Una matriz cuadradaA es invertible si y solo si|A| 6= 0.

PRUEBA: Consideremos una matriz cuadradaA, y seaR su forma escalonada redu-cida por filas. Recordemos queR se obtiene a partir deA mediante una sucesion detransformaciones elementales por filas, y esto equivale a multiplicar aA, por la izquier-da, por una serie de matrices elementales. Esto es:R = E1 · · ·EkA, dondeE1, . . . , Ek

son matrices elementales. Aplicando reiteradamente el resultado anterior, obtenemos:|R| = |E1| · · · |Ek||A|. Como las matrices elementales tienen todas determinante disti-to de cero, obtenemos que|A| = 0 ⇔ |R| = 0.

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Ahora recordemos que siA es invertible,R es la matriz identidad, luego|R| = 1 6= 0y |A| 6= 0. Por otra parte, siA no es invertible,R tiene una fila de ceros, luego|R| = 0 y|A| = 0. 2

Ya podemos demostrar como se comporta el determinante con respecto al producto dematrices.

Determinante y producto de matrices

SeanA y B matricesn× n. Se tiene:

|AB| = |A||B|.

PRUEBA: Supongamos queA es singular. Entonces|A| = 0, y ademas sabemos queA = E1 · · ·EkR, dondeE1, . . . , Ek son matrices elementales yR es la forma esca-lonada reducida por filas deA, que tiene una fila de ceros (al menos la ultima). Pe-ro en este caso la ultima fila deRB tambien es de ceros, luego|RB| = 0. Por tanto|AB| = |E1 · · ·EkRB| = |E1| · · · |Ek||RB| = 0 = |A||B|.

SiB es singular, se tiene|AB| = |(AB)t| = |BtAt|, dondeBt es singular, y podemosaplicar el caso anterior, obteniendo:|AB| = |BtAt| = |Bt||At| = |B||A| = |A||B|.

Supongamos entonces queA y B son no singulares. Seran entonces producto de ma-trices elementales,A = E1 · · ·Ek y B = E ′

1 · · ·E′

r. Pero entonces|A| = |E1 · · ·Ek| =|E1| · · · |Ek|, |B| = |E ′

1 · · ·E′

r| = |E ′

1| · · · |E′

r| y por ultimo|AB| = |E1 · · ·EkE′

1 · · ·E′

r| =|E1| · · · |Ek||E

′

1| · · · |E′

r|. Por tanto,|AB| = |A||B|, como querıamos demostrar. 2

3.4. Rango y determinantes

En esta seccion veremos como el rango de una matriz cualquiera puede calcularseusando determinantes. Para ello necesitamos la siguiente definicion

Submatrices

Dada una matrizA, m × n, si elegimos unas filas, es decir, un subcon-junto I ⊂ {1, . . . , m}, y ademas elegimos unas columnas, es decir, unsubconjuntoJ ∈ {1, . . . , n}, se define lasubmatrizdeA determinadapor I y J como la matriz

[A]I,J

cuyas entradas son las entradasaij deA tales quei ∈ I y j ∈ J . Enotras palabras, es la matriz que se obtiene deA al eliminar las filas queno estan enI, y las columnas que no estan enJ .

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Menores

Dada una matrizA, m× n, losmenoresdeA son los determinantes delas submatrices cuadradas deA. Es decir, los escalares

mI,J = |[A]I,J | ,

dondeI ⊂ {1, . . . , m} y J ⊂ {1, . . . , n} son dos conjuntos con elmismo numero de elementos.

Diremos quemI,J es un menor deordens si la submatriz[A]I,J tieneordens× s, es decir, siI y J tienens elementos.

Recordemos que el rango de una matrizA es igual al numero de columnas basicas, o alnumero de filas distintas de cero de su forma escalonada reducida por filas. Con respectoa las submatrices, el rango se comporta de la siguiente manera:

Rango y submatrices

Si [A]I,J es una submatriz deA, rg([A]I,J) ≤ rg(A).

PRUEBA: Supongamos queA es una matriz de ordenm× n y rangor. Sabemos que unaserie de operaciones elementales por filas transformanA enE, su forma escalonada re-ducida por filas. Si llamamosM = {1, . . . , m}, podemos considerar la submatriz[A]M,J ,que estara formada por algunas columnas deA. Si aplicamos a[A]M,J las mismas opera-ciones elementales, obtendremos las columnas correspondientes de la matrizE, es decir,obtendremos una matriz que tendra como muchor filas no nulas. Esto implica que la redu-cida por filas de[A]M,J tiene como muchor filas no nulas, luego rg(AM,J) ≤ r = rg(A).

Hemos probado entonces que, dada una matrizA de rangor, toda submatriz formadapor columnas completas deA tiene a lo sumo rangor. Pero observemos que([A]I,J)t

es una submatriz de([A]M,J)t formada por columnas completas, luego rg([A]I,J) =

rg(([A]I,J)t) ≤ rg(([A]M,J)t) = rg([A]M,J) ≤ rg(A), como querıamos demostrar. 2

Veamos que existe otra definicion de rango, a partir de los menores de una matrizA.

Rango y menores

El rango deA es igual al mayor orden alcanzado por los menores nonulos deA. Es decir, rg(A) = r si y solo si:

Existe un menormI,J 6= 0 de ordenr.

Todos los menores deA de orden mayor quer son nulos.

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PRUEBA: Supongamos queA es una matriz de ordenm× n, que tiene rangor. Sabemosque hay unas operaciones elementales por filas que transformanA en su forma escalonadareducida por filasE.

Seanp1, . . . , pr las columnas basicas deA, y definamosJ = {p1, . . . , pr} y M ={1, . . . , m}. La submatriz[A]M,J esta formada por las columnas basicas deA. Si apli-camos a[A]M,J las mismas operaciones elementales que aA, obtendremos las columnasbasicas deE, es decir, una matrizm×r cuyas primerasr filas forman la matriz identidad,y las restantesm− r filas son de ceros. Como esta matriz es una reducida por filas con rpivotes,[A]M,J tiene rangor.

Consideremos ahora([A]M,J)t. Sabemos que tambien tiene rangor, luego el mismo

argumento anterior nos dice que tomando sus columnas basicas obtenemos una matrizde rangor. Seanq1, . . . , qr sus columnas basicas. Observemos que tomar las columnasq1, . . . , qr de ([A]M,J)

t es lo mismo que definirI = {q1, . . . , qr} y considerar la matriz([A]I,J)

t. Esta matriz tendra entonces rangor, luego la matriz[A]I,J tambien lo tendra.Pero entoncesAI,J es una submatriz deA, de ordenr×r y rangor, luego su determinantees distinto de cero. Es decir, el menormI,J , de ordenr, es no nulo.

Consideremos ahora un menormI′,J ′ de ordenk > r. Como una submatriz no puedetener mayor rango que la matriz original,[A]I′,J ′ es una matriz de ordenk × k y rangomenor o igual ar < k, luego su determinante debe ser cero. Es decir,mI′,J ′ = 0.

Hemos demostrado entonces que para todor, una matriz de rangor admite un menorno nulo de ordenr, y todos sus menores de orden mayor quer son nulos. Por tanto,el mayor orden alcanzado por los menores no nulos deA es igual al rango deA, comoquerıamos demostrar. 2

Mas adelante veremos que para calcular el rango de una matriz usando menores, no esnecesario ver que se anulantodoslos menores de un cierto orden. Pero antes necesitamosver una nueva caracterizacion del determinante.

3.5. Desarrollo por adjuntos

El determinante de una matriz cuadradaA se puede describir (y calcular) de una formarecursiva, usando determinantes de matrices mas pequenas. Esto se consigue gracias aunos menores muy especiales, que se llamanadjuntos.

Adjuntos

Dada una matriz cuadradaA de ordenn, y dadosi, j ∈ {1, . . . , n}, seanI = {1, . . . , i− 1, i+ 1, . . . , n} y J = {1, . . . , j − 1, j + 1, . . . , n}. Sedefine eladjunto (i, j) de la matrizA como el escalar:

Ai,j = (−1)i+jmI,J .

En otras palabras,Ai,j es igual al determinante de la matriz que se obtiene deA aleliminar la filai y la columnaj, salvo un signo que viene determinado por los valores dei y j. No se debe confundir el adjuntoAi,j con el elemento[A]i,j = ai,j .

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Otra definici on de adjuntos

Seaek la matriz1 × n dada por(0 · · · 0 1 0 · · ·0), donde el 1 esta en laposicionk. Entonces:

El adjuntoAi,j es el determinante de la matriz que se obtiene deA al sustituir la filai porej .

El adjuntoAi,j es el determinante de la matriz que se obtiene deA al sustituir la columnaj por (ei)t.

PRUEBA: Probemos la primera afirmacion, siendo la segunda analoga. SeaB la matrizque se obtiene deA al sustituir la filai por ej. Haciendon − i trasposiciones de filas,podemos llevar esta filai hasta la ultima posicion. Haciendo ahoran − j trasposicionesde columnas, podemos llevar la columnaj a la ultima posicion, con lo que la matrizBqueda convertida en:

C =

a1,1 · · · a1,j−1 a1,j+1 · · · a1,n aj,n...

......

......

ai−1,1 · · · ai−1,j−1 ai−1,j+1 · · · ai−1,n aj,nai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1,j+1 · · · ai+1,n aj,n

......

......

...an,1 · · · an,j−1 an,j+1 · · · an,n aj,n0 · · · 0 0 · · · 0 1

Como hemos transformadoB enC medianten− i trasposiciones de filas yn− j traspo-siciones de columnas, se tiene|C| = (−1)2n−i−j|B| = (−1)−i−j |B|. Calculemos ahorael determinante deC. Observemos que, comocn,i = 0 si i < n, las unicas permutacionesque pueden dar un sumando no trivial en la formula del determinante deC, son aquellasen las que aparececn,n, es decir, aquellasσ tales queσ(n) = n. Por tanto:

|C| =∑

σ∈Sn

σ(n)=n

sg(σ) · c1σ(1) · · · cn−1σ(n−1)cnσ(n) =∑

σ∈Sn

σ(n)=n

sg(σ) · c1σ(1) · · · cn−1σ(n−1),

donde esta ultima igualdad se obtiene decnσ(n) = cnn = 1.Pero ahora observemos que una permutacionσ ∈ Sn tal queσ(n) = n, equivale a

una permutacion deSn−1. Ademas, el signo de esta permutacion es el mismo consideradoenSn que considerado enSn−1, puesto que la lınea correspondiente an no se cruza conninguna otra. Por tanto, la formula anterior se puede reescribir:

|C| =∑

σ∈Sn−1

sg(σ) · c1σ(1) · · · cn−1σ(n−1).

Ahora solo queda observar que este es el determinante de lasumbatriz deC formada porlas primerasn − 1 filas y n − 1 columnas, que no es otra cosa que la submatriz deA ala que le hemos quitado la filai y la columnaj. Es decir, es el menormI,J que apareceen la definicion de adjunto. En otras palabras:Ai,j = (−1)i+j|C|. Por tanto nos quedaAi,j = (−1)i+j(−1)−i−j|B| = |B|, como querıamos demostrar. 2

62


Usando los adjuntos, que son determinantes de matrices de ordenn − 1, podemosdescribir el determinante deA:

Desarrollo por adjuntos del determinante

Dada una matriz cuadradaA de ordenn, se tienen las siguientes igual-dades:

Desarrollo por la fila i. Para cualquieri ∈ {1, . . . , n}:

|A| = ai,1Ai,1 + · · ·+ ai,nAi,n.

Desarrollo por la columna j. Para cualquierj ∈ {1, . . . , n}:

|A| = a1,jA1,j + · · ·+ an,jAn,j.

PRUEBA: Este resultado es inmediato a partir del anterior, y de las propiedades del de-terminante. La filai deA se puede escribir como combinacion lineal:

(ai,1 · · ·ai,n) = ai,1e1 + · · ·+ ai,nen.

ComoAi,j es el determinante de la matriz que se obtiene deA al sustituir su filai porej ,se tiene:

|A| = ai,1Ai,1 + · · ·+ ai,nAi,n,

como querıamos demostrar. El caso de las columnas es analogo. 2

3.6. Metodo del orlado

Recordemos que el rango de una matrizX esr si y solo si existe un menor no nulode ordenr, y todos los menores de orden mayor quer son nulos. En principio, parasdemostrar que una matriz tiene rangor habrıa que encontrar un menor no nulo de ordenr, y calcular todos los menores de ordenr + 1 para ver que se anulan. En esta seccionveremos que esto no es necesario. Si encontramos una submatriz cuadradaM deX talque|M | 6= 0, y vemos que se anulan todos los menores de ordenr + 1 que correspondena submatrices deX que contienen aM , entonces rg(X) = r.

Para demostrar esto necesitamos un resultado previo:

Lema 3.6.1.SeanM , b, c y a matricesr × r, 1 × r, r × 1 y 1 × 1, respectivamente. Si

|M | 6= 0 y

∣

∣

∣

∣

M c

f a

∣

∣

∣

∣

= 0, entoncesf M−1c = a.

PRUEBA: Si |M | 6= 0, existe su inversaM−1. Observemos que se tiene siguiente produc-to:

(

M−10

−fM−1 1

)(

M c

f a

)

=

(

Ir M−1c

0 −fM−1c+ a

)

.

63


LlamemosP , Q y R a las matrices que aparecen en esta formula. Tenemos entoncesPQ = R. Por hipotesis|Q| = 0, y por otra parte el determinante deR es claramente−f M−1

c+ a. Por tanto,−f M−1c+ a = |R| = |P ||Q| = |P | 0 = 0. 2

Ahora ya podemos demostrar el resultado que necesitamos.

Teorema principal del metodo del orlado

SeaX una matrizm×n con un menor no nulo de ordenr, es decir, conuna submatriz cuadradaM de ordenr tal que|M | 6= 0. Supongamosque todas las submatrices cuadradas de ordenr + 1 que contienen aMtienen determinante 0. Entonces rg(X) = r.

PRUEBA: Observemos que intercambiar filas o columnas de una matriz no cambia surango, ni el hecho de que sus menores de un cierto orden sean o no sean todos nulos.Por tanto, podemos suponer que la submatrizM esta formada por las primerasr filas ycolumnas deX. Es decir, podremos escribirX de la forma:

X =

(

M AB C

)

.

Estamos suponiendo que|M | 6= 0, luego existe su inversaM−1, y podemos considerar elsiguiente producto:

(

M−10

−BM−1 Im−r

)(

M AB C

)

=

(

Ir M−1A0 −BM−1A+ C

)

.

Hemos escrito entoncesPX = Y , dondeP es una matriz cuadradam × m tal que|P | = |M−1| 6= 0. Por tanto, rg(X) = rg(Y ), y solo tenemos que probar que rg(Y ) = r.Bastara demostrar que−BM−1A+ C es la matriz nula, es decir, queBM−1A = C.

La fila i de la matrizBM−1A es[BM−1A]i∗ = [B]i∗M−1A, y la columnaj de esta

fila, es decir, el elemento(i, j) de la matrizBM−1A es

[BM−1A]ij = [[B]i∗M−1A]∗j = [B]i∗M

−1[A]∗j .

Por tanto, tenemos que demostrar que[B]i∗M−1[A]∗j = [C]ij para todoi = 1, . . . , m− r

y para todoj = 1, . . . , n− r.Ahora consideremos la submatriz deX formada por las filas1, . . . , r y r+ i, y por las

columnas1, . . . , r y r + j. Es la siguiente:(

M [A]∗j[B]i∗ [C]ij

)

.

Como esta submatriz es cuadrada de ordenr+1 y contiene aM , tiene determinante cero.Por el lema anterior, se sigue que[B]i∗M

−1[A]∗j = [C]ij , como querıamos demostrar.2

A partir de este resultado, el metodo del orlado para calcular el rango de una matrizX es el siguiente. Por abuso del lenguaje, diremos que un menor|M ′| contiene a|M | siM es una submatriz deM ′.

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Metodo del orlado

SeaX una matrizm × n. El metodo del orlado para calcular el rangoder es como sigue. SiX = 0, entonces rg(X) = 0. En caso contrario,tomamos un menor|M | de orden 1 no nulo. Comenzando porr = 1, serealizan los siguientes pasos:

1. Hallar, si existe, un menor no nulo de ordenr+ 1 que contenga aM .

2. Si no lo hay, rg(X) = r.

3. Si lo hay, repetir el paso 1 aumentandor una unidad, y reempla-zandoM por el menor encontrado.

Observemos que en el metodo anterior no es necesario comenzar conr = 1. Si seencuentra un menor no nulo de ordenr, se puede empezar con dichor en el paso 1.

3.7. Regla de Cramer

Veamos otra utilidad de los determinantes: resolver sistemas lineales en los que lamatriz de coeficientes es cuadrada y no singular. Recordemosque siAx = b es un sistemade ecuaciones lineales, dondeA es cuadrada y no singular, su solucion es unica y vienedada porx = A−1

b, aunque para hallarla de esta manera hay que calcular la inversa deA. Existe otra posiblidad, que ademas nos permite calcular el valor de una sola de lasincognitas, sin necesidad de calcular las demas.

Regla de Cramer

SeaAx = b un sistema de ecuaciones lineales, tal queA es una matrizcuadrada de ordenn no singular. SeaBi la matriz que se obtiene deAal sustituir la columnai porb (la columna de terminos independientes).Entonces la solucion del sistema es:

xi =|Bi|

|A|,

parai = 1, . . . , n.

65


PRUEBA: Seax1 = s1, . . . , xn = sn la solucion del sistema. Tenemos que probar quesi = |Bi|/|A|. Consideremos la matriz

Ci =

1 s1. ..

...1 si−1

sisi+1 1

.... . .

sn 1

que se obtiene de la matriz identidad al sustituir su columnai por la solucion del sistema(que llamaremoss). Recordemos que, si multiplicamosA porCi, las columnas del pro-ductoACi se pueden ver como[ACi]∗k = A [Ci]∗k. Por tanto, las columnas deACi seraniguales a las columnas deA, salvo la columnai, que quedara igual aAs = b, al sers la so-lucion del sistema. Es decir,ACi = Bi. Por la regla del producto tenemos|A||Ci| = |Bi|,y ya solo queda darse cuenta de que|Ci| = si, al ser la permutacion trivial la unica quepuede dar un sumando no nulo a|Ci|. Por tanto,|A|si = |Bi|, y como|A| 6= 0, tenemosfinalmentesi = |Bi|/|A|. 2

3.8. Inversa y determinantes

Terminaremos este tema explicando como los determinantespueden servir para cal-cular la inversa de una matriz. Para ello necesitamos la siguiente definicion:

Matriz adjunta

Dada ua matriz cuadradaA de ordenn, se define la matrizadjunta deA, como la matrizadj(A) dada por:

[adj(A)]i,j = Aj,i.

Es decir,adj(A) es la matriz cuyas entradas son los adjuntos deA, dispuestos en elordentraspuestoal que serıa, a priori, natural. Demostremos ya el ultimo resultado deeste tema.

Inversa y determinantes

Dada una matriz cuadradaA no singular, se tiene:

A−1 =1

|A|adj(A).

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PRUEBA: Observemos queA−1 es la unica solucion de la ecuacionAX = I. Esta ecua-cion puede verse como un conjunto den sistemas lineales, ya que se tieneA[X ]∗j = (ej)

t,para todoj = 1, . . . , n. Pero ya sabemos resolver este tipo de sistemas, por ejemplousan-do a la regla de Cramer. Esta regla nos dice que la incognitai de este sistema, es decir,xi,j, es igual a|Bi|/|A|, dondeBi es la matriz que se obtiene deA al sustituir la columnai por la de los terminos indepentdientes, es decir, por(ej)

t. Ahora bien, sabemos que alsustituir la columnai deA por (ej)t, y calcular el determinante, obtenemos el adjuntoAj,i. Por tanto, acabamos de demostrar que la entradaxi,j de la matrizA−1 es precisa-menteAj,i/|A|. Sacando fuera el escalar1/|A|, que aparece en todas las entradas de lamatriz, se obtiene finalmente

A−1 =1

|A|adj(A).

2

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