Capítulo 8.

Ondas en tres dimensiones y Polarización de la luz. Introducción: Hasta ahora sólo hemos estudiado el fenómeno ondulatorio restringido a una única dimensión. En un espacio unidimensional, la única solución de la ecuación lineal de ondas es la onda plana, pero cuando extendemos el estudio a espacios de mayor dimensión, aparecen nuevas soluciones posibles. En particular en el espacio, las ondas planas pueden propagarse en una dirección arbitraria, no necesariamente concordante con alguno de los ejes cartesianos. Pero no sólo las ondas planas son solución de la ecuación lineal de ondas, por ejemplo, si tiramos una piedrita sobre el agua, no vemos ondas planas sino que observamos la propagación de la perturbación en todas las direcciones por igual, formando frentes de onda circulares. En un espacio de dos dimensiones (el plano) las ondas circulares son también solución. En el espacio tridimensional, se agregan más soluciones, como por ejemplo, las ondas esféricas y cilíndricas. La descripción del fenómeno ondulatorio a través de una onda plana o esférica o cilíndrica, depende fuertemente del origen de la perturbación y de la simetría del problema. En la Naturaleza las ondas planas, esféricas o cilíndricas, representan sólo una idealización, y el fenómeno ondulatorio se manifiesta en formas más complejas, pero en general es posible modelar la situación real a partir de una superposición adecuada de ondas ideales. Además, por simplicidad, hasta ahora sólo hemos considerado que la perturbación ondulatoria es un escalar, comprobaremos en este capítulo que un número no alcanza para la descripción de una onda transversal, que necesitamos un vector que de cuenta de la dirección de la perturbación (polarización). El carácter vectorial de las ondas transversales, se manifiesta en la aparición de fenómenos característicos, propios de este tipo de ondas, que pueden observarse en la Naturaleza.

( tx,ψ )

))

Sabemos que las ondas sonoras corresponden a la propagación de vibraciones de la densidad del aire (aumento o disminución local de la densidad), a lo largo de la dirección de propagación. Por lo cual, existe una única dirección característica de la onda, que es la de propagación. Por esta razón, se las llama ondas longitudinales, y alcanza con un solo número (escalar) para describir a la onda. En el caso del sonido, representa las variaciones de densidad o presión respecto de la situación de equilibrio.

( tx,ψ( tx,ψ

Las ondas en una cuerda, en una membrana (como una cama elástica), o las que

se producen sobre la superficie del agua (cuando la perturbación es pequeña), corresponden a la propagación de un movimiento transversal de las partículas del medio, suben y bajan (vibran) perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Por simplicidad, hasta el momento, hemos analizado ejemplos de propagación de ondas transversales sobre cuerdas tendidas en la dirección x, y considerado las vibraciones en la dirección y (perpendicular a la dirección de propagación). Por esta

207

razón, nos alcanzó con el plano x-y para la descripción de la onda y hemos representado a los apartamientos (en la dirección y) con un número ( )ψ x t, . Pero claramente, las vibraciones en una cuerda pueden producirse también en otras direcciones, tal como la dirección z, o cualquier dirección contenida en el plano y-z (desplazamientos en ese plano resultan perpendiculares a la dirección de propagación x). Por esta razón, no alcanza con un número para describir el desplazamiento en una onda transversal, necesitamos un vector ( )r

ψ x t, que describe la dirección y sentido del apartamiento y cuyo modulo representa la amplitud del desplazamiento. En general, si la onda es transversal, hay todo un plano, perpendicular a la dirección de propagación, donde puede estar ocurriendo la perturbación. La perturbación ya no puede ser un escalar, sino que la magnitud que se propaga tiene un carácter vectorial. El carácter vectorial de la perturbación determina una nueva propiedad asociada a la propagación de la onda, llamada polarización, que será el tema principal de estudio en este capítulo. A través de este capítulo comprobaremos que hay una mayor riqueza de comportamiento en la propagación de ondas transversales que en el caso de las longitudinales. En particular, la observación de fenómenos asociados a polarización, resultaron una evidencia importante para aceptar el carácter ondulatorio de la luz y determinar si la perturbación es transversal o longitudinal.

Para fijar ideas pensemos en una cuerda tensa, sujeta por un extremo a una pared, tal que la dirección de la cuerda coincide con el eje x. La cuerda está tendida a través de una abertura larga y estrecha (rendija), y la abertura posee su eje en la dirección y (ver figura 1).

Supongamos ahora que, agitamos la cuerda en la dirección vertical (onda linealmente polarizada en la dirección y), el movimiento ondulatorio se propaga a través de la cuerda y atraviesa la rendija sin inconvenientes. Pero si la cuerda se excita en la dirección horizontal (onda linealmente polarizada en la dirección z) el movimiento ondulatorio se atenúa al atravesar la abertura, y del otro lado de la misma no se nota un movimiento apreciable de la cuerda (ver figura 1).

x

y

y

x

z

208

Figura 1: Onda transversal en una cuerda, atravesando una ventana angosta. Si oscila en la

misma dirección de la ventana se transmite completamente, mientras que si oscila en una dirección perpendicular la onda transmitida se atenúa.

La rendija actúa como un analizador que sólo permite la propagación de ondas con una polarización determinada, en este caso ondas que vibran en la dirección y (onda linealmente polarizada en la dirección y). Por supuesto, los movimientos horizontales y verticales no son la única forma en que podemos excitar ondas en la cuerda. Resulta posible perturbar a la cuerda en cualquier dirección (diagonal) contenida en un plano perpendicular a la dirección de propagación (siempre es posible describir la perturbación como superposición de oscilaciones horizontales y verticales, proyectando

rψ sobre los ejes). Si una onda

polarizada en una dirección arbitraria incide sobre la rendija, del otro lado veremos que la cuerda oscila mayormente en la dirección vertical, o sea que, la rendija se comporta (aproximadamente) como si proyectara la onda sobre el eje y. Decimos que una onda transversal se halla linealmente polarizada si el medio mantiene la dirección de oscilación en el tiempo y en el espacio, de tal forma que, la dirección de propagación y la dirección de vibración determinan un plano en el que vive permanentemente la onda, al que llamaremos plano de polarización. En el ejemplo de la figura 1, también podemos mover la mano en forma circular, en este caso la perturbación no mantiene su dirección constante en el espacio y el tiempo sino que gira permanentemente (podemos pensar que el plano de polarización rota alrededor del eje que coincide con la dirección de propagación), decimos que la onda está circularmente polarizada.

rψ

Luego analizaremos el caso general en donde la amplitud de vibración no es la misma en la dirección horizontal y vertical, dando origen a ondas con polarización elíptica. Comprobaremos que estos tipos de perturbación pueden describirse como superposición de oscilaciones polarizadas linealmente.

Las primeras evidencias sobre el carácter transversal de la luz se deben a Bartholinus (siglo XVII), el cual, realizó experiencias con un cristal llamado espato de Islandia (actualmente conocido como calcita).

Como discutimos en el capítulo anterior, por esa época no se sabía si las luz era un chorro de partículas o una onda y, en caso que fuera una onda, si era longitudinal o transversal. Bartholinus encontró que si se observaba un objeto a través de un cristal de calcita, se veían dos imágenes del objeto. Este fenómeno no fue bien comprendido en su momento, pero hoy sabemos que está asociado a la asimetría en la estructura del cristal, tal que existe una dirección preferencial en el mismo llamada eje óptico. Debido a esta anisotropía del material, es como si la luz viera índices de refracción distintos de acuerdo a cual sea su estado de polarización. En este capítulo, estudiaremos la forma general en que se describe una onda en el espacio y analizaremos el fenómeno de polarización de la luz. Los ejercicios recomendados son el 2, 7, 11, 12, 19, 26 y 28 .

209

1. Guía Teórica. Ecuación de ondas tridimensionales. Ondas Planas: En el capítulo 4 (ver guía teórica 7), hemos estudiado la ecuación diferencial lineal de ondas (no dispersiva), en una dimensión (eje x),

∂∂

∂∂

2

2 2

2

2

1Ψ Ψ( , ) ( , )x tx v

x tt

= (Ecuación lineal de ondas) (1)

Donde es un número (escalar) que representa el valor de la perturbación en una dada posición x del espacio y en un determinado instante t.

(Ψ x t, )

Demostramos que cualquier función de onda (unidimensional) cuya dependencia funcional con el tiempo y la posición es del tipo,

) (),( tvxftx ±=Ψ (Onda plana) (2) donde es una función continua y dos veces derivable, es solución de la ecuación de ondas 1, y puede representar la evolución de una onda plana que se propaga en una única dirección sin deformación.

)(xf

A partir de 2, concluimos que la solución más general de la ecuación de ondas (en una dimensión) es una combinación lineal de ondas propagándose en ambas direcciones:

)()(),( 21 vtxgcvtxfctx ++−=Ψ , (3) donde c1 y c2 son dos constantes cualesquiera y f y g son funciones arbitrarias dos veces derivables (verifique que la función de ondas 3 es solución de la ecuación de ondas 1). Hemos estudiado, como ejemplo importante de ondas planas en una dimensión, a las ondas armónicas, tales como, a) ( ) ( )Ψ x t A kx t, sen= − ω

ωb) ( ) ( )Ψ x t A kx t, cos= +

c) ( ) ( )tkx i , ω−=Ψ eAtxd) etc.

donde λπ

=2k es el número de ondas (escalar) y ω es la frecuencia angular. Las

cantidades k y ω no son independientes, sino que están relacionadas por la relación de dispersión:

kv=ω (4) En el caso de ondas que se propagan en el espacio (ondas tridimensionales), la ecuación de ondas debe modificarse. Usando argumentos intuitivos de invariancia y simetría, la ecuación de ondas tridimensional puede obtenerse como una generalización de la ecuación 1, agregando términos de tal forma que las variables x, y y z participen “democráticamente” en la ecuación (arte del tanteo), o sea,

( ) ( ) ( ) ( )∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2 2 2 2

Ψ Ψ Ψ Ψx y z tx

x y z ty

x y z tz v

x y z tt

, , , , , , , , , , , ,2 2 2 2 2

1+ + = (5)

Definiendo al Laplaciano de una función (comúnmente se nota∇ 2 ) como,

( ) ( ) ( ) ( )∇ = + +2

2 2 2ΨΨ Ψ Ψ

x y z tx y z t

xx y z t

yx y z t

z, , ,

, , , , , , , , ,∂

∂

∂

∂

∂

∂

2 2 2

(6)

la ecuación de ondas 5 puede compactarse en la forma,

( ) ( )∇ =2

2 2

1Ψ

Ψx y z t

vx y z t

t, , ,

, , ,

2∂

∂ (7)

210

Las ondas planas siguen siendo solución de la ecuación 5 (o 7), pero no son las únicas posibles en el espacio, luego veremos que existen otras soluciones, tales como las ondas esféricas y cilíndricas. Por su importancia y simplicidad, analizaremos primero la propagación de ondas planas. Ondas planas en el espacio: En tres dimensiones, las ondas no sólo pueden propagarse en la dirección x, como hasta ahora hemos analizado, sino en cualquier dirección arbitraria. Como ejemplo, escribimos tres ondas planas armónicas propagándose en las direcciones positivas de x, y y z, Onda plana propagándose en la dirección x: ( ) ( tkxAtvxftzyx cos ),,,( ω− )=−=Ψ (8) Onda plana propagándose en la dirección y: ( ) ( tkyAtvyftzyx cos ),,,( ω− )=−=Ψ (9) Onda plana propagándose en la dirección z: ( ) ( tkzAtvzftzyx cos ),,,( ω− )=−=Ψ (10) Note que la onda plana que se propaga en la dirección x (ec. 8) no depende de las coordenadas y y z. Esto significa que el valor de la función de onda Ψ es el mismo sobre todo el plano y-z, sólo depende de la variable x. Justamente por esta razón, a este tipo de ondas se las denomina ondas planas, ya que, son planos (infinitos) propagándose en el espacio (ver figura 2), todos los puntos de un plano tienen asociado el mismo valor de Ψ . En la figura 2 hemos representado una onda armónica (onda plana), propagándose en la dirección x, en un instante fijo t = 0 (“foto de la onda”). Hemos identificado los planos en donde la amplitud de la onda es máxima (en módulo), todos los puntos del plano tienen la misma amplitud máxima. y

z

x=0 x=1

x=2

x=3

x

( )Ψ x y z t= 0, , , ( )Ψ x y z t= 1, , , ( )Ψ x y z t= 2, , , ( )Ψ x y z= 3, , , t

Figura 2: Onda plana propagándose en la dirección x. La amplitud de la onda es la misma sobre todo el plano perpendicular a la dirección de propagación.

La figura 2, podría representar una onda plana sonora (ideal), donde cada plano representa los puntos del espacio donde, por ejemplo, la variación de presión es máxima. En el ejemplo de la ecuación 8, el desplazamiento Ψ es máximo en los puntos del espacio x e instantes de tiempo t que satisfacen la relación,

( ) 1 cos =ω− tkx ⇔ π=ω−= mtkxfase con m (11) Ζ∈

211

Es decir, cada plano se halla formado por todos los puntos del espacio con el mismo valor de la fase . Cada valor del entero m determina un plano en donde la amplitud de la onda es máxima (ver figura 2).

tkx ω−

Para fijar ideas supongamos que analizamos el plano determinado por , entonces, a partir de 11, obtenemos la posición que ocupa el plano a medida que transcurre el tiempo,

0=m

vttk

x =ω

= (12)

comprobando que el plano se desplaza hacia la derecha con velocidad v. En general para cualquier otro valor de amplitud, x y t se relacionan por,

constantetkxfase =ω−= (13) donde el valor de la constante es distinto para cada valor de amplitud de la onda. Verifiquemos que una onda plana armónica como la 8 (o 9 o 10) es solución de la ecuación de ondas tridimensional 5. Derivando la función de onda armónica 8 dos veces respecto de x, y, z y de t obtenemos,

( )tkxAkx

tzyx cos

),,,( 22

2

ω−=∂Ψ∂

∂

∂

2

2 0Ψ( , , , )x y z t

y =

∂

∂

2

2 0Ψ( , , , )x y z t

z =

y

( )tkxAt

tzyx cos

),,,( 22

2

ω−ω=∂Ψ∂

comprobando que la función armónica 8 es solución de la ecuación de ondas tridimensional 5 (o 7) si se satisface la relación de dispersión (lineal) (ver ec. 4),

ω= v k. ya que se cumple,

( ) ( ) ( ) ( )tkxAvt

tzyxv

tkxAktzyx cos

,,, 1 cos,,, 2

2

2

2

222 ω−

ω=

∂Ψ∂

=ω−=Ψ∇

Onda armónica propagándose en una dirección arbitraria: Las ondas armónicas 8, 9 y 10 son fáciles de escribir ya que se propagan paralelas a los ejes cartesianos, de esta forma, para describir la fase de la onda sólo nos basta con una única coordenada, por ejemplo en la ecuación 13, con la coordenada x,

constantetkxfase =ω−= (13) En lo que sigue queremos generalizar la descripción para una onda plana que se propaga en una dirección arbitraria. La fase debe ser función de las tres coordenadas x, y y z (las cuales, determinan la posición de un punto arbitrario del espacio kzjyixr ˆ ˆ ˆ ++=

r ). Primero tanteemos un poco. Reescribimos a la ecuación 13, de tal forma, que contenga a las demás coordenadas (y y z),

constantetzykxfase =ω−++= 00 (14) A partir de la expresión 14, intuimos que puede ayudarnos definir un vector número de onda k

r, con coordenadas,

kjikk ˆ 0ˆ 0ˆ ++=r

(15) y módulo,

λπ

==2kk

r, (16)

cuya dirección concuerda con la dirección de propagación de la onda (en el ejemplo, dirección x ), o “en la dirección del rayo” . De tal forma que, la fase (ec. 14) puede

212

reescribirse en función de kzjyixr ˆ ˆ ˆ ++=r (posición de un punto cualquiera del

espacio) y del vector número de onda kr

, como, constantetzykxtrkfase =ω−++=ω−= 00 .r

r (17)

A partir de lo tanteado, intuimos que el vector número de onda kr

es un buen candidato para indicar la dirección de la propagación de la onda en el espacio. Definimos al vector número de onda, de componentes , y , como, xk yk zk

kkjkikk zyxˆ ˆ ˆ ++=

r (18)

cuyo módulo es (al igual que el caso unidimensional),

λπ

=++==2222

zyx kkkkkr

(19)

y cuya dirección determina la dirección de propagación de la onda (“dirección del rayo”), ver figura 3. En base a esta definición, podemos proponer como candidata a fase de la onda en tres dimensiones a la expresión:

tzkykxktrkfase zyx ω−++=ω−⋅=rr

. (20) (lo que acabamos de hacer no es una demostración rigurosa, sino que estamos proponiendo una forma de solución, después habrá que probar que es válida). En seguida comprobaremos que con esta propuesta, los puntos de fase constante definen un plano perpendicular a la dirección de propagación, determinada por el vector

kr

; y que estos planos se propagan con velocidad kk

v ω=

ω= r .

De acuerdo a lo discutido, proponemos como solución (onda plana) de la ecuación de ondas tridimensional, a la expresión:

)()(),( 21 trkgctrkfctr ω+⋅+ω−⋅=Ψrrrrr , (21)

que en el caso particular de que la onda se propague en la dirección de uno de los ejes coordenados, coincide con la ecuación 3. Por la forma en que definimos la fase, la función f corresponde a una onda que se propaga en la dirección k

r, mientras que g

debe entenderse como una onda que se propaga en la dirección kr

− . Queda como ejercicio para el lector comprobar que la función 21 es solución de la ecuación lineal de ondas en el espacio. Escribimos algunos ejemplos de ondas armónicas (escalares), propagándose en una dirección arbitraria del espacio: a) ).cos(),( trkAtr ω−=Ψ

rrr b) ).sen(),( trkAtr ω−=Ψ

rrr

c) ).( ),( trkieAtr ω−=Ψrrr

d) etc. Comprobaremos que los puntos de fase constante definen un plano perpendicular a la dirección de propagación, determinada por el vector k

r.

213

Saltear en una primera lectura

A partir de nuestros conocimientos de geometría, sabemos hallar la ecuación de un plano que

pasa por el origen y es perpendicular a un vector dado, en nuestro caso perpendicular al vector . El

plano queda definido por todos los puntos

kr

kzjyixr ˆ ˆ ˆ ++=r

del espacio perpendiculares al vector

, es decir, kr

0. =rk rr (22)

Ahora si en lugar de que el plano pase por el origen queremos que pase por un punto

cualquiera del espacio, la ecuación 22 se transforma en (ver figura 3), kzjyixr ˆ ˆ ˆ 0000 ++=r

( ) 0. 0 =− rrk rrr (23)

es decir, el nuevo plano queda definido por todos los puntos kzjyixr ˆ ˆ ˆ ++=r

del espacio, tal que el

vector resulta perpendicular al vector r rr r− 0 k

r (ver figura 3). A partir de 23 podemos escribir a la

ecuación del plano como,

⇒ constanterkrk == 0.. rrrr (24)

La ecuación 24 nos dice que los puntos, pertenecientes al plano, son aquellos cuya proyección sobre el

vector kr

se mantiene constante, ese número constante determina la ubicación del plano (y el vector kr

su orientación). La ecuación 24 también puede escribirse, r r

k r kr constante. cos= =θ (25) siendo el ángulo comprendido entre θ k

r y rr (ver figura 3).

rr0

r rr r− 0

rk

z

x

y

θ

d r= cosθ rr

Figura 3: Onda plana propagándose en la dirección rk . La amplitud de la onda es la misma

sobre todo el plano perpendicular a la dirección de propagación.

214

Ya comprobamos que el producto r rk r constante. = determina un plano perpendicular a k

r,

ahora queremos que ese plano se propague con velocidad k

v ω= . Intuimos que la forma de lograrlo es

reemplazando al número constante por un número que evolucione en el tiempo (ver ecuación 27). A partir de 25 y observando la figura 3, comprobamos que el plano se halla a una distancia del origen igual a,

( )k

tcterd =θ= cos (26)

Note que hemos puesto cte(t) porque queremos que, a medida que transcurre el tiempo, la onda avance y el plano vaya cambiando, alejándose del origen. Por analogía con la función de onda unidimensional, propondremos:

tconstantetcte ω+=)( , (27) donde ω corresponde a la frecuencia angular de la onda. Entonces, vemos que la distancia al origen

crece al aumentar el tiempo, a una velocidad dada por k

v ω= ; como se deduce de la expresión de la

distancia del origen al plano:

vtk

constantekt

kconstante

ktconstante

ktcted +=

ω+=

ω+==

)(. (28)

Con la suposición que efectuamos, obtenemos un plano que se aleja del origen a la velocidad de propagación v y, por añadidura resulta satisfecha la relación de dispersión (ec. 4).

Retomar la lectura En base a la discusión anterior, los puntos del espacio de igual fase ( ), representan planos perpendiculares al vector número de onda

trk ω−rr.

kr

, que se propagan a

velocidad k

v ω= , ya que,

( ) tconstantetcterk ω+==rr. ⇒ constantetrkfase =ω−=

rr. (29) describe la propagación de un plano. Ondas estacionarias (saltear en una primera lectura): En el capítulo 5, hemos estudiado detenidamente a las ondas estacionarias en una dimensión (por ejemplo, en una cuerda). Allí comprobamos que las condiciones de contorno obligan al sistema a oscilar en modos bien determinados, dando origen a las frecuencias de resonancia del sistema. En más de una dimensión el problema resulta similar (no nos extenderemos mucho en su estudio, para más información consultar en el Vol. 3 de Berkeley). Como ejemplo supongamos que estudiamos las oscilaciones de un parche de tambor cuadrado de lado l. Las condiciones de contorno de este problema implican que la amplitud de oscilación se anula en los bordes (ver ecuaciones 32, 33, 34 y 35). La generalización de una onda estacionaria en dos dimensiones, suponiendo que el parche se halla en el plano x-y y los desplazamientos Ψ se producen sobre el eje z, resulta (sin fases molestas),

( ) ( ) (Ψ( , , ) sen sen cosx y t A k x k y t= x y ω ) (30)

donde se cumple la relación de dispersión,

k k kv

= + =x2

y2 ω

(31)

y v es la velocidad de propagación de la onda en el parche (verifique que la función de onda 30 satisface la ecuación de ondas tridimensional, discuta sobre ¿por qué la función 30 describe a una onda estacionaria?). Suponiendo que el parche se halla recostado sobre los ejes x e y, las condiciones de contorno del sistema son,

( ) ( ) ( )Ψ( , , ) sen sen cosx y t A k k y t= =0 0x y ω = 0 (32)

215

( ) ( ) ( )Ψ( , , ) sen sen cosx l y t A k l k y t= = x y ω 0= (33)

( ) ( ) ( )Ψ( , , ) sen sen cosx y t A k x k t= = =0 0x y ω 0 (34)

( ) ( ) ( )Ψ( , , ) sen sen cosx y l t A k x k l t= = =x y ω 0 (35)

Las ecuaciones 32 y 34, se satisfacen siempre, pero la 33 y la 35 sólo se satisfacen (en todo momento) sí se cumple que,

k l mx = π k l my = ′π (36) La relación 36, condiciona definitivamente a las frecuencias de oscilación posibles, de la onda estacionaria bidimensional, llamadas frecuencias de resonancia. Estas frecuencias se obtienen a partir de las ecuaciones 31 y 36, asignándoles valores enteros a los números m y ′m . Si el parche fuera circular, ¡como todo parche decente!, las condiciones de contorno resultan distintas y las ondas estacionarias poseen simetría cilíndrica. En general, el tipo de onda estacionaria queda determinado por las simetrías del sistema. 2. Recomendado. Escriba la función de onda de una onda armónica escalar, de amplitud unidad y m1=λ , que se propaga con una velocidad seg

mv 2= , a) en la dirección z. b) en la dirección y. c) sobre el plano yx − formando con el eje x. o30 3. Compruebe que cualquiera de las tres expresiones siguientes, a) ).cos(),( trkAtr ω−=Ψ

rrr b) ).sen(),( trkAtr ω−=Ψ

rrr

c) ).( ),( trkieAtr ω−=Ψrrr

es solución de la ecuación de ondas en tres dimensiones, si se cumple la relación de dispersión: 22222 )( vkkk zyx ++=ω

4. Guía Teórica. Ondas esféricas: Las ondas planas son la única solución de la ecuación de ondas unidimensional 1 (de la guía teórica 1), pero cuando aumentamos la dimensión del espacio aparecen nuevas soluciones que representan otro tipo de ondas no-dispersivas. Por ejemplo, si tenemos un recipiente con agua y, en algún punto de la superficie, agitamos suavemente, hacia arriba y hacia abajo, vemos como se producen ondas bidimensionales, que se propagan por la superficie del fluido, formando círculos concéntricos. Asimismo, aún cuando no las podamos ver tan fácilmente como en el caso anterior, podemos suponer debido a la simetría del problema que, al golpear con un palillo el parche de un tambor, o una superficie delgada metálica, generamos ondas bidimensionales concéntricas. La propagación de estas ondas superficiales, a su vez, genera vibraciones en el aire circundante, que luego se traducen en ondas acústicas tridimensionales, las cuales seguramente no se propagan como ondas planas en las inmediaciones de la superficie. Si consideramos una fuente puntual de luz, como una lámpara muy pequeña, la radiación que emana de ella lo hace en forma de ondas tridimensionales que se propagan isotrópicamente por todo el espacio denominadas ondas esféricas. En las ondas esféricas, las superficies de igual fase son superficies esféricas que se expanden radialmente a partir de un punto o fuente de ondas, por lo cual, como

216

veremos, no mantienen su amplitud constante, ya que, ésta disminuye a medida que la onda se aleja de la fuente, ver figura 4.

r Fuente

Frente de onda

Figura 4: Onda esférica. Frentes de onda alejándose de una fuente puntual. En la figura 4 hemos denominado frente de onda a la superficie esférica que posee la misma fase (por ejemplo, una cresta), y por ende, tiene el mismo valor de la función de onda Ψ . Primero trataremos de hallar la descripción matemática de una función de onda esférica en base a argumentos físicos muy poco formalizados y principalmente basándonos en el “arte del tanteo”: La densidad de energía de una onda, en muchos sistemas físicos, depende de la amplitud al cuadrado de la onda. En el caso de una onda plana, su amplitud no varía a medida que se propaga, por lo cual, la potencia transmitida por la onda se mantiene constante. En el caso de una onda esférica, la onda no puede conservar su amplitud al expandirse radialmente, ya que si se mantuviera constante, ocupando una superficie cada vez mayor, esto significaría un aumento de la energía, lo cual no resulta posible, si el sistema es conservativo (ejemplo de sistema no conservativo: gas en combustión). Aceptamos que la densidad de energía llevada por la onda resulta proporcional a la amplitud al cuadrado, es decir,

dE A∝ 2 por consiguiente, la energía transportada por un frente de ondas, de radio r, la podemos hallar multiplicando a la densidad de energía por el área de la superficie esférica del frente de ondas,

E A Sup A r∝ =2 2 4. . π 2 Como suponemos que el frente de ondas debe llevar una energía constante, al expandirse debe disminuir la densidad de energía. Esto puede lograrse si la amplitud de la onda decrece a medida que aumenta el radio r, en forma inversamente proporcional al radio, es decir,

Ar

∝1

de esta forma, al elevar al cuadrado y multiplicar por la superficie de la esfera nos da una constante independiente del radio. Lo discutido nos da fuerzas para proponer como descripción de una onda esférica a la función de onda,

( ) (Ψ x y z t )r

f r vt, , , = ±1

(Onda esférica) (1)

donde r x . El ± indica ondas expandiéndose (−), desde la fuente, y ondas confluyendo desde el infinito al punto central (+), respectivamente.

y z= + +2 2 2

217

En el apartado siguiente comprobaremos que la función de onda dada en 1 es solución de la ecuación lineal de ondas tridimensional (ec 5 de la guía teórica 1), para todo punto excepto en el origen o fuente de ondas. Para tener en cuenta la fuente, la ecuación de ondas debe modificarse levemente. Descripción matemática de una función de onda esférica (Saltear en una primera lectura): Debido a la simetría esférica del problema, ninguna dirección es preferencial respecto de cualquier otra, y resulta más conveniente trabajar con coordenadas esféricas, que se adaptan mejor a la simetría del problema, ver figura 5 .

Como se puede deducir a partir de la figura 5, la relación entre los sistemas de coordenadas cartesianas y esféricas está dada por las ecuaciones de transformación siguientes:

rr

θ

φ y

z

Figura 5: Coordenadas esféricas. x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ=φθ=φθ=

cossensencossen

rzryrx

(2)

Entonces, si decidimos trabajar en coordenadas esféricas la ecuación diferencial de ondas adopta una forma muy diferente, y de apariencia bastante complicada. En esta representación de coordenadas la ecuación se convierte en:

0),(1),(sen1),(sen

sen1)),((1

2

2

22

2

2222

2

=∂Ψ∂

−φ∂

Ψ∂θ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂Ψ∂

θθ∂∂

θ+

∂Ψ∂

ttr

vtr

rtr

rrtrr

r

rrrr(3)

No obstante el aspecto tan horrible y desesperanzador de esta expresión veremos que, cuando el problema tiene simetría esférica, es mucho más fácil de trabajar con ella que con la ecuación en coordenadas en cartesianas. En efecto, volviendo al caso de una fuente puntual de luz, que emite radiación en forma completamente isótropa. Si colocamos el sistema de coordenadas justo en la fuente, es claro que éste es un problema con simetría esférica. Entonces la perturbación ondulatoria no puede depender de las coordenadas angulares, porque si no dependería de la dirección en que estamos mirando, por lo cual, la función de onda toma la forma:

),(),,,(),( trtrtr Ψ=φθΨ=Ψr

, (4) donde la última igualdad se debe precisamente a la simetría de revolución alrededor de cualquier eje centrado en la fuente. Pero entonces, como Ψ no depende de las variables angulares, sus derivadas respecto de éstas dan cero y la ecuación de ondas se convierte en:

0),(1)),((12

2

22

2

=∂Ψ∂

−∂Ψ∂

ttr

vrtrr

r

rr

. (5)

¡Ahora no tiene un aspecto tan horrible! Más aún, si multiplicamos esta ecuación por r, y recordamos que r y t son variables independientes, obtenemos:

0)),((1)),((2

2

22

2

=∂Ψ∂

−∂Ψ∂

ttrr

vrtrr rr

, (6)

218

que resulta ser una vieja conocida, ¡es la ecuación unidimensional de ondas para la función Ψ r !. Como ya sabemos la solución más general de esta ecuación es de la forma:

)()(),( 21 vtrgcvtrfctrr ++−=Ψ , (7) de lo cual deducimos que, si , la solución más general para una onda esférica es de la forma: 0≠r

r

vtrgcr

vtrfctr )()(),( 21+

+−

=Ψ . (8)

Recordemos que f y g son funciones arbitrarias, dos veces diferenciables. Esta solución se interpreta como una superposición de una onda que sale de la fuente (f) y otra que se aproxima a la fuente (g). Notemos que la solución en el origen (el punto r=0), presenta una singularidad, allí la función de onda diverge, no está bien definida. Esto sin embargo no representa un gran problema. Desde el punto de vista físico, el origen de coordenadas corresponde a la fuente de ondas y allí no nos interesa estudiar las ondas viajeras. No obstante, debemos mencionar que es posible describir la singularidad matemáticamente apelando a ciertas funciones especiales (la delta de Dirac), pero ese es un tema que está más allá del alcance del texto.

Para simplificar un poco la notación sólo vamos a considerar las ondas salientes. Así como

antes encontramos algunas expresiones para ondas planas no dispersivas, ahora podemos representar una onda esférica, propagándose radialmente, por ejemplo, como:

)cos(),( tkrrptr ω−=Ψ

r, o

)sen(),( tkrrptr ω−=Ψ

r, o

)(),( tkrierptr ω−=Ψ

r.

Resaltemos algunos aspectos interesantes de estas expresiones:

a) Como la onda es esférica, la dirección de propagación, definida por el vector kr

, es la dirección

radial, de allí que krrk =⋅rr

. b) La onda va perdiendo intensidad, se va atenuando, a medida que avanza, ya que su amplitud decrece

como 1/r; este resultado era de esperar ya que si no fuese así violaríamos el principio de conservación de la energía, como ya hemos discutido.

c) El cuadrado de p resulta proporcional a la energía emitida por la fuente, en la unidad de tiempo (potencia).

d) Los frentes de onda corresponden a esferas concéntricas centradas en el origen del sistema de coordenadas.

Ejercicio: Escriba expresiones similares a las anteriores, pero para una onda entrante. ¿Qué ocurre con la amplitud de la onda a medida que nos aproximamos al origen de coordenadas? Ejercicio: Comprobar que cualquiera de las tres expresiones anteriores es solución de la ecuación de ondas esféricas en tres dimensiones, si se cumple la relación de dispersión:

ω= k v Además de las ondas planas y de las esféricas, hay otra familia de ondas muy importante: las ondas cilíndricas. Estas ondas se generan cuando la fuente es muy larga y delgada, de aspecto filiforme. Se puede observar ondas aproximadamente cilíndricas, por ejemplo, en las cercanías del punto medio de un tubo fluorescente muy largo, o cuando se hace pasar un haz de luz a través de una abertura muy larga y estrecha (lo que usualmente denominamos rendija). No vamos a mostrar las técnicas matemáticas asociadas a este tipo de ondas, porque no las necesitamos para trabajar, pero es importante saber que existen y que aparecen en muchas situaciones físicas, como veremos más adelante. 5. Guía Teórica. Descripción vectorial de una onda transversal: Ondas Electromagnéticas. En la introducción de este capítulo ya hemos anticipado que, para describir a una onda transversal, no alcanza con un escalar, sino que la perturbación ondulatoria posee un carácter vectorial.

219

Dimos como ejemplo la propagación de una onda transversal en una cuerda, en donde la oscilación puede desarrollarse en cualquier dirección perpendicular a la dirección de propagación, por lo cual, el desplazamiento de la cuerda debe ser un vector

, que describe la dirección y sentido del apartamiento y cuyo módulo representa la amplitud del desplazamiento. (rψ x t, )

En general, si la onda es transversal, el medio puede vibrar en cualquier dirección contenida en un plano perpendicular a la dirección de propagación. La perturbación ya no puede ser un escalar, sino que la magnitud que se propaga tiene un carácter vectorial. Cada componente del vector de onda ( )r

ψ x t, debe satisfacer la ecuación de ondas, o sea, debe cumplirse,

( ) ( ) ( ) ( )∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2 2 2 2

r r r rΨ Ψ Ψ Ψx y z tx

x y z ty

x y z tz v

x y z tt

, , , , , , , , , , , ,2 2 2 2 2

1+ + = (1)

o en forma compacta,

( ) ( )∇ =2

2 2

1rr

ΨΨ

x y z tv

x y z tt

, , ,, , ,

2∂

∂ (ecuación vectorial de ondas) (2)

Note que la ecuación 1 (o 2), en realidad, representa tres ecuaciones de onda, una para cada componente del vector. El carácter vectorial de la perturbación determina una nueva propiedad asociada a la propagación de la onda, llamada polarización. En este capítulo, estudiaremos el fenómeno de polarización asociado a ondas de luz. Ondas Electromagnéticas: En el capítulo anterior comenzamos a estudiar las ondas luminosas, allí afirmamos que no son otra cosa que ondas electromagnéticas, en donde los campos eléctrico y magnético oscilan y se propagan en el espacio, sin necesidad de un medio que los sustente, a diferencia de lo que ocurre en el caso del sonido que necesita un medio material para propagarse (las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío). Se puede deducir, a partir de la teoría electromagnética (leyes de Maxwell), que las cargas eléctricas en movimiento acelerado generan campos eléctricos y magnéticos acoplados, que se propagan en el espacio. Lejos de las fuentes que generan estos campos, los mismos se propagan como ondas transversales y aproximadamente planas. Estas ondas planas tienen una dirección de propagación dada por el vector de onda k

r,

mientras que la perturbación electromagnética (campos Er

y Br

), evoluciona en el plano perpendicular al vector k

r.

Las leyes de Maxwell, predicen que lejos de las fuentes los campos eléctrico y magnético satisfacen, cada uno, una ecuación tridimensional vectorial de ondas, es decir,

( ) ( )∇ =2

2 2

1rr

E x y z tv

E x y z tt

, , ,, , ,

2∂

∂ (3)

( ) ( )∇ =2

2 2

1rr

B x y z tv

B x y z tt

, , ,, , ,

2∂

∂ (4)

Éstas son ecuaciones diferenciales vectoriales, en derivadas parciales, lineales, homogéneas y de segundo orden. Son ecuaciones vectoriales, porque la perturbación es un vector ( E

r o B

r), y no un escalar (Ψ), como en la propagación de ondas

unidimensionales.

220

En el caso particular de las ondas electromagnéticas, que se propagan en el

vacío, se puede probar a partir de la teoría electromagnética, que la dirección de propagación k

r y los vectores de campo BE

rry , forman siempre una terna derecha, es

decir, el producto vectorial entre y Ekrr

es un vector que apunta en la dirección de Br

. En símbolos

r r rB k E∝ ∧ , donde denota aquí el producto vectorial y la constante de

proporcionalidad depende del sistema de unidades utilizado, ver figura 6 . ∧

y

x

z

Er

Br

kr

Figura 6: Onda Electromagnética. Los campos eléctricos y magnéticos oscilan transversalmente a la dirección de propagación.

En principio podría parecer bastante complicado tener que trabajar con dos perturbaciones simultáneamente pero, afortunadamente, hacia fines del siglo pasado Wien demostró experimentalmente que, en el caso de la luz, el responsable de la sensación luminosa en la retina (y el que impresiona las películas fotográficas), es el campo eléctrico

rE (denominado vector óptico) y no el campo magnético.

A partir de las leyes de Maxwell es posible demostrar que la interacción más fuerte entre la radiación y la materia se realiza a nivel del campo eléctrico antes que del magnético. Es la fuerza eléctrica la principal responsable de que se aceleren las cargas atómicas y no la magnética. Por lo expuesto, no tendremos que preocuparnos del campo magnético, en lo que a la óptica elemental se refiere, y trabajaremos sólo con el campo eléctrico, al que de ahora en más llamaremos vector óptico. Por otra parte, dada la dirección de propagación kr

, una vez que determinamos el campo eléctrico Er

, el magnético Br

se obtiene de la relación:

r r rB k E∝ ∧ .

Por ser una onda transversal el vector óptico vibra en dirección normal a la dirección de propagación de la onda. Al plano definido por los vectores

rr se lo

denomina plano de polarización o plano de vibración (en la figura 6 corresponde al plano x-z).

y Ek

Es importante tener en cuenta que no necesariamente el vector óptico tiene una dirección fija en el espacio, en general su dirección puede cambiar en el tiempo, con lo cual, también varía en el tiempo el plano de polarización (por ejemplo en polarización circular y elíptica). Luego estudiaremos en detalle las posibles polarizaciones de la onda electromagnética. 6. Guía Teórica. Intensidad de una onda. Intensidad de Luz. En nuestra vida cotidiana utilizamos bastante el concepto de intensidad de una onda, tanto para ondas de luz como para ondas sonoras. Intuitivamente utilizamos a la palabra intensidad para dar cuenta de una mayor sensación luminosa, en el caso de ondas de luz, y de un mayor

221

volumen en el caso del sonido. Pero esa noción intuitiva no resulta ni completamente precisa ni correcta para la física, trataremos aquí de precisar el concepto. El concepto de intensidad no es exclusivo de las ondas electromagnéticas o sonoras, es general a todo tipo de ondas; y resulta de fundamental importancia, ya que muchos fenómenos naturales pueden describirse a partir de él, sin necesidad de apelar a la descripción de la perturbación en sí. Por ejemplo, las ondas electromagnéticas varían muy rápidamente en el tiempo. En el rango de frecuencias ópticas, la frecuencia de vibración es del orden de (10

Hz 10 14

14 oscilaciones por segundo). Por esta razón, el vector óptico es una cantidad prácticamente indetectable. Sin embargo, la intensidad luminosa I (a veces llamada irradiancia), puede medirse y/o percibirse directamente usando una gran variedad de dispositivos, como por ejemplo: fotoceldas, bolómetros, emulsiones fotográficas o directamente con los ojos.

Hemos estudiado en el capítulo 4 que la onda al propagarse en el espacio o en un medio material, transporta una cierta densidad de energía. En el caso de una onda en una cuerda (unidimensional), hemos definido una energía por unidad de longitud (ver capítulo 4, guía teórica 8); pero en el caso general de ondas propagándose en el espacio, la onda tiene asociada una energía por unidad de volumen, o simplemente, densidad de energía . Hemos discutido que, en general, la densidad de energía que transporta una onda resulta proporcional al cuadrado de la amplitud de la misma, es decir,

ε

20Ψ∝ε (1)

La densidad de energía puede estar variando muy rápidamente en el tiempo, como sucede en el caso de la luz. En muchos fenómenos de interés, no necesitamos conocer exactamente esa variación (ni la podemos determinar experimentalmente), nos alcanza con calcular y medir el valor medio temporal de la densidad de energía ε . En general (a partir de 1) se cumple,

20Ψ∝ε (2)

La energía (en valor medio) contenida en una cierta región del espacio, por donde se propaga la onda, se determina simplemente multiplicando a la densidad de energía ε por el volumen de la región considerada, es decir,

VE ε= . (3) La onda puede finalmente incidir sobre una superficie, la cantidad de energía que llega a ésta (en valor medio), depende de la densidad de energía de la onda ε , del tamaño de la superficie , del tiempo total de exposición a la onda y además del ángulo de incidencia (resulta mayor para incidencia normal y “nula” para incidencia rasante).

S

Llamamos intensidad de una onda al valor medio de la energía que incide sobre una superficie (arbitraria), por unidad de superficie y unidad de tiempo. Si consideramos que en un intervalo de tiempo t∆ , incide sobre la superficie S, una cantidad de energía E∆ , entonces la intensidad puede calcularse como,

StE

I∆

∆= (4)

222

A partir de 4 vemos que la intensidad tiene unidades de potencia por unidad de área,

que en el Sistema Internacional corresponden a: wattm2 .

Calculemos primero, la intensidad I , para el caso de incidencia normal a la superficie ( ), ver figura 7. Por simplicidad supondremos que se trata de una onda plana, pero nuestro razonamiento resulta general si luego tendemos al límite de una superficie infinitesimal.

0=θi

En la figura 7, hemos representado la incidencia normal de una onda sobre una superficie . Queremos determinar cuánta energía atraviesa la superficie durante un pequeño intervalo de tiempo ∆ .

St

En la figura notamos que, durante ese tiempo ∆t , sólo puede atravesar la superficie , a lo sumo toda la energía acumulada a una distancia menor que v de la superficie, donde v es la velocidad de propagación de la onda (ver figura 7), es decir, toda la energía contenida en el cubo de lado v

S t ∆

t∆ y base de superficie S , y por consiguiente, de volumen,

Volumen del cubo S v t = ∆ (5)

Onda Plana

v tkr

S

De acuerdo a este razonamiento, transcurrido un tiempo ∆t , la superficie es atravesada por una cantidad de energía (ver ec. 3):

Figura 7: Intensidad de una onda. Onda plana incidiendo normalmente sobre una superficie.

tSvE ∆ε=∆ (6) A partir de las ecuaciones 4 y 6 comprobamos que la intensidad de la onda resulta,

vSt

EI

ε=

∆

∆= (sólo incidencia normal) (7)

resultado válido sólo para incidencia normal. En la figura 8, hemos representado una onda que incide sobre una superficie S , formando un ángulo θ respecto de la normal a la superficie ( ). Nuevamente queremos determinar cuánta energía atraviesa la superficie durante un pequeño intervalo de tiempo ∆ .

i $n

t La diferencia que aparece respecto de incidencia normal, es que la energía, que atraviesa en ese lapso, se halla contenida en un paralelepípedo (ver figura 8) cuya S

223

base tiene una superficie , al igual que en incidencia normal, pero la altura ya no es sino,

Sv t ∆

altura del paralelepípedo v t i = ∆ cosθ (8) por lo cual el volumen del paralelepípedo resulta,

Volumen del paralelepípedo S v t i = ∆ cosθ (9)

θcosvt iθ v tn kr

S

Por consiguiente, transcurrido un tiempo ∆t , la superficie ha sido atravesada por una cantidad de energía (ver ec. 3),

Figura 8: Intensidad de una onda. Onda plana incidiendo oblicuamente sobre una superficie.

∆ ∆E Sv t i= ε θ cos (10) A partir de las ecuaciones 4 y 6 comprobamos que la intensidad de la onda resulta,

IEt S

v= =∆

∆ ε cosθ (11)

A partir de las ecuaciones 2 y 11 (o 7), vemos que en general, la intensidad de la

onda resulta proporcional al promedio temporal de la amplitud de onda, es decir, I ∝ Ψ0

2 (12)

Otra forma de expresar a la intensidad es a partir del valor medio de la potencia P transportada por la onda, o sea,

SP

StE

StE

I =∆∆

=∆∆

=1

(13)

A partir de 13 comprobamos que si, una fuente de ondas (por ejemplo, una lamparita eléctrica) emite una cierta potencia media P (en ), con igual amplitud en todas las direcciones, la intensidad de la onda debe disminuir a medida que avanza, ya que, la superficie que abarca la onda aumenta. En el caso de una onda esférica, la superficie es archiconocida y vale , por lo tanto la intensidad (en el caso de incidencia normal) resulta inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente, es decir,

watt

24 rS π=

24 rP

SP

Iπ

== (14)

Si la onda esférica puede escribirse en la forma,

224

)cos(),( tkrrptr ω−=Ψ

r (15)

entonces a partir de 12 y 15,

2

220 r

pI ∝Ψ∝ y 24 rP

Iπ

= ⇒ 2pP ∝ (16)

notamos que la constante resulta proporcional a la potencia media emitida por la fuente.

p

Nivel de Intensidad sonora: La mínima intensidad sonora que puede percibir el oído-cerebro humano (sensibilidad mínima), es de aproximadamente 10 12

2− watt

m ; y la máxima, más halla de la cual sentimos dolor (umbral de dolor), es de 1 2 watt

m . Por supuesto estos son valores promedio, que corresponden a un oído normal, distintas personas tienen una sensibilidad mínima y un umbral de dolor diferentes, pero para la mayoría se encuentra alrededor de estos valores. Por otro lado, estos valores dependen mucho de la frecuencia del sonido escuchado, y de la edad del oyente. Es un hecho común, por todos conocido que con la edad, se va perdiendo la sensibilidad auditiva.

Por otra parte, el oído humano no responde linealmente al nivel de intensidad

sonora. Por ejemplo, al duplicar la intensidad de un sonido la sensación sonora no es el doble de ruidosa. Esto se debe a la forma en que el oído-cerebro procesa la información que recibe, es decir, a su propio funcionamiento fisiológico, el cual parece obedecer una ley logarítmica como respuesta al sonido. Debido a este hecho, y a que el rango de audición es muy amplio se ha propuesto una escala de tipo logarítmica como medición de la intensidad sonora, más adecuada al funcionamiento auditivo y más práctica de manejar, denominada nivel de intensidad (β), cuya unidad es el decibel (dB ). La definición del nivel de intensidad es la siguiente:

0

log 10II

=β (17)

En esta expresión I es la intensidad del sonido que se está escuchando, e I0 es un nivel de referencia que en general se toma como el umbral de audición: . 212

0 /10 mwattI −= En esta escala el nivel mínimo de audición corresponde a 0 y el umbral de dolor a 12 (Verifíquelo). Para tener una idea de ordenes de magnitud: una conversación normal corresponde a aproximadamente 60 , una calle de tránsito pesado a unos 80 y un concierto de rock puede superar los 12 (el límite del umbral de dolor). Asimismo, es importante tener en cuenta que las exposiciones prolongadas a sonidos de más de 90 suelen ser peligrosas porque, aún cuando se está por debajo del umbral de dolor, el hecho de estar sometidos mucho tiempo a tal nivel de intensidad puede ocasionar daños irreversibles al oído (y en el caso particular del rock, daños irreversibles al cerebro por más que se escuche a baja intensidad).

dB0 dB

dB dB 0 dB

dB

7. Recomendado. Suponiendo que una lamparita de emite uniformemente en todas direcciones,

watt100

a) ¿Cuál es la intensidad de la luz a una distancia de 1m de la fuente (considere incidencia normal)?.

b) ¿Cuánta potencia llega, desde la fuente, a un objeto plano cuya superficie es ?. 201,0 mS =

c) ¿Cuánta energía le llega al objeto en 1 hora?.

225

d) Repita los cálculos anteriores, pero ahora suponiendo que la onda incide sobre la superficie con un ángulo θ . i = 30o

8. Si el nivel de intensidad de un piano es de 70dB, el de un saxo 65dB, al igual que el de un clarinete y el de una guitarra es de 68dB: a) ¿Cuál es el nivel de intensidad de los cuatro instrumentos tocando en conjunto? ¿El

resultado corresponde a la suma de los niveles de intensidad de los cuatro instrumentos?

b) ¿Cuál es el nivel de intensidad del sonido a una distancia de ?. m10Ayuda: Tenga en cuenta que las intensidades de dos fuentes de ondas independientes se suman. 9. Un sistema absorbente del sonido atenúa el nivel del sonido en 30dB. ¿En qué factor ha disminuido la intensidad. Resp. Disminuye un factor 1000. 10. Guía teórica. Descripción matemática de los estados posibles de polarización: En la introducción del capítulo, hemos discutido cualitativamente el concepto de polarización de ondas transversales, propagándose sobre una cuerda, sin profundizar en la descripción matemática de la onda. En esta guía, vamos a formalizar matemáticamente el concepto de polarización y estudiar en detalle todos los estados posibles (lineal, circular, elíptico, etc.), aplicado al estudio de las ondas electromagnéticas, y en particular a las ondas luminosas. Existe una fuerte evidencia experimental de que las ondas electromagnéticas son ondas transversales, y que pueden hallarse en diferentes estados de polarización. Estos estados posibles, se hallan de acuerdo a las predicciones de la teoría electromagnética (leyes de Maxwell). Posteriormente, analizaremos algunas fenómenos naturales en donde la onda luminosa adquiere un estado de polarización particular. Por el momento, en esta guía, sólo estudiaremos la descripción matemática de la onda polarizada. Por simplicidad, analizaremos el estado de polarización asociado a una onda plana armónica que se propaga según el eje z. Polarización lineal: Si la perturbación óptica está contenida en el eje x (el vector óptico vibra en esa dirección), entonces la función de onda puede describirse en la forma,

)(cos )(cos ),( 00 tkzEitkzEtzE xxx ω−=ω−=)rr

. (1) donde hemos definido al vector amplitud, como,

xx EiE 00 )r

= (2) el cual, representa no sólo la amplitud de la onda (constante), sino también la dirección de oscilación (perpendicular a la dirección de propagación). El vector óptico no cambia de dirección, no obstante que su magnitud varía con el transcurso del tiempo y en diferentes puntos del espacio. En este caso, se dice que la onda está linealmente polarizada o plano polarizada, con polarización según x. Notar que el vector óptico sólo depende de las variables z y t, mientras que el subíndice x indica la dirección de la polarización (lineal).

226

Análogamente, si la luz se halla polarizada linealmente, según el eje y, tenemos: )(cos ˆ),( 0 tkzEjtzE yy ω−=

r (3)

En general, una onda puede hallarse linealmente polarizada en cualquier

dirección (diagonal) contenida en un plano perpendicular a la dirección de propagación. Debido a la linealidad de la ecuación de ondas vale el principio de superposición, y siempre resulta posible descomponer al vector óptico en sus componentes, en este caso,

xEr

y yEr

(ver figura 9). De esta forma, el vector óptico resultante puede expresarse como,

( ) )(cos ˆ ˆ)(cos ˆ)(cos ),( 0000 tkzEjEitkzEjtkzEitzE yxyx ω−+=ω−+ω−=r

(4) Definimos un nuevo vector amplitud (constante), en la forma (ver figura 9),

yx EjEiE 000 ˆ ˆ +=r

(5) cuyo módulo, dirección y sentido se mantienen constantes en el tiempo e independientes de la posición. El ángulo que forma con los ejes coordenados depende de la amplitud relativa de cada componente. El módulo puede hallarse a partir de (usando Pitágoras),

20

2000 yx EEEE +==

r (6)

A partir de esta definición, reescribimos al vector óptico resultante (ec. 4) como,

rE0

Ey

Figura 9: Onda electromagnética polarizada linealmente.

Exx

y

)(cos ),( 0 tkzEtzE ω−=rr

(7) En la ecuación 7, notamos que el vector óptico vibra con amplitud y dirección constante, determinadas por el vector amplitud 0E

r, por lo cual la onda descripta, se

halla linealmente polarizada. Otros estados de Polarización: La polarización lineal no es el único estado posible observado en la Naturaleza, ni es la solución más general de la ecuación de ondas vectorial. En la introducción del capítulo, discutimos el ejemplo de propagación de ondas transversales sobre una cuerda. Allí hablamos sobre la posibilidad de perturbar la cuerda de diferentes formas, la más simple, perturbando en una dirección fija en el espacio (onda linealmente polarizada), pero también dijimos que podemos perturbar a la cuerda en forma circular. En este último caso, la perturbación

rψ no mantiene su

dirección constante en el espacio y el tiempo sino que gira permanentemente (podemos pensar que el plano de polarización rota alrededor del eje que coincide con la dirección de propagación), decimos que la onda está circularmente polarizada (ver figura 10).

227

Luego veremos que, existe evidencia experimental de que las ondas electromagnéticas (o la luz), pueden hallarse también en estados de polarización circular o elíptica, y de hecho, la teoría electromagnética (leyes de Maxwell) los acepta como estados de polarización posibles (solución de la ecuación de ondas). Ahora queremos encontrar la forma analítica más general de describir a una onda (armónica plana) polarizada, para luego estudiar los casos particulares de polarización circular y elíptica. Al satisfacerse el principio de superposición, el vector óptico puede descomponerse según los ejes coordenados (perpendiculares a la dirección de propagación, en el ejemplo, dirección z). Afirmamos que, el estado más general de polarización, solución de la ecuación lineal de ondas, puede expresarse como la superposición dos ondas linealmente polarizadas en las direcciones de los ejes, en la forma, )(cos ˆ),( 0 tkzEitzE xx ω−=

r,

)(cos ˆ),( 0 δ+ω−= tkzEjtzE yy

r (8)

Cada componente representa a una onda polarizada linealmente, pero ahora hemos introducido una diferencia de fase δ entre ambos. Esta fase podría ser, en principio, función del tiempo, sin embargo, en lo que sigue supondremos, salvo que se indique lo contrario, que es una cantidad constante. Al considerar la superposición de ambas componentes de la onda, la perturbación óptica resultante es la suma vectorial de las mismas:

)(cos ˆ)(cos ),(),(),( 00 δ+ω−+ω−=+= tkzEjtkzEitzEtzEtzE yxyx

rrr (9)

que comprobaremos, corresponde a una polarización arbitraria, mientras no se fije la diferencia de fase. A continuación analizaremos diferentes estados posibles descriptos por la ecuación 9: Primer Caso, δ es igual a 0 o múltiplo de 2π: Onda linealmente polarizada. En este caso las dos componentes de la onda se hallan en fase y la ecuación 9 se simplifica a,

( ) )(cos ˆ ˆ)(cos ˆ)(cos ),( 0000 tkzEjEitkzEjtkzEitzE yxyx ω−+=ω−+ω−=r

(10) que como vimos, representa una onda linealmente polarizada (el vector amplitud se mantiene constante en el tiempo y en cualquier lugar del espacio). Segundo Caso, δ es un múltiplo impar de π: Onda linealmente polarizada. En este caso las componentes se hallan a contrafase, por lo cual, la ecuación 9 queda, si , π=δ

( ) )(cos ˆ ˆ)(cos ˆ)(cos ),( 0000 tkzEjEitkzEjtkzEitzE yxyx ω−−=π+ω−+ω−=r

(11) que representa también a una onda linealmente polarizada, pero cuya dirección resulta simétrica a la onda dada en 10, respecto del eje x (compruébelo gráficamente). Tercer Caso, δ≡−π/2 (o sea, δ=−π/2+m2π) y amplitudes iguales E0x=E0y: Onda polarizada circularmente en sentido horario (polarización circular derecha).

Analizamos el caso en que el desfasaje es 2π

−=δ , y las componentes poseen igual

amplitud yx EEE 000 == , entonces la función de onda 9 resulta,

)2

(cos ˆ)(cos ˆ),( 00π

−ω−+ω−= tkzEjtkzEitzEr

(12)

228

sabiendo que,

( )tkztkz ω−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω− sen2

cos

entonces, ( )[ ]tkzjtkziEtzE ω−+ω−= senˆ)(cos ˆ ),( 0

r (13)

La función de onda dada en 13, no representa a una onda linealmente polarizada, ya que el vector óptico, a pesar de mantener su amplitud constante, varía su orientación en el espacio a medida que transcurre el tiempo, compare con 10 y 11, en donde la dirección no cambia en el tiempo.

0E

A partir de elaborar una tabla de valores, comprobaremos que el vector óptico rota en sentido horario con velocidad angular ω (visto por un observador que ve a la onda venir de frente), por esta razón, si yxE0 EE 00 == decimos que la onda posee una polarización circular derecha (horaria). Para elaborar la tabla de valores, analizamos la evolución del vector óptico en una posición fija del espacio, por simplicidad, tomaremos 0=z . En esta posición, el vector óptico evoluciona en la forma,

( )[ ] ( )[ ]tjtiEtjtiEtE ω−ω=ω−+ω−= senˆ)(cos senˆ)(cos ˆ ),0( 00

r (13)

Evaluamos a , para algunos instantes en donde el resultado es simple (queda como ejercicio para el lector completar la tabla para otros instantes),

),0( tEr

t t

Tt π=ω

2 ),0( tEr

0=t 0 =ω t iE ˆ 0

4Tt = 24

2 π=

π=ω

TT

t jE ˆ0 −

2Tt = π=

π=ω

2 2 T

Tt iE ˆ 0−

Tt43

= π=π

=ω23

43 2 T

Tt jE ˆ 0

Tt = π=π

=ω 22 TT

t iE ˆ 0

A partir de la tabla, en la figura 10 graficamos la evolución de la dirección del vector óptico, comprobando que completa un giro, en sentido horario, en un tiempo , por lo cual, concluimos que gira con velocidad angular

Tt =ω (visto por un observador que ve a

la onda venir de frente, eje ),. El extremo del vector describe un círculo debido a que hemos considerado que las amplitudes de las componentes x e y son iguales (polarización circular derecha u horaria).

z

229

ω

Ey

Er

ω y

Er

Ex

t 0 ω

y

Er

Ex

ω

Ey

Er

Ex

t=T/2 ω

Ey

Er

Ex

Figura 10: Onda electromagnética polarizada circularmente. Evolución del vector óptico en el tiempo.

t=3T/4

t T/4

t=T

Ex

Para completar la idea, podemos analizar el comportamiento del vector óptico en el espacio en un instante fijo (foto de la onda), por ejemplo 0=t . Dejamos como ejercicio para el lector, elaborar una tabla, determinando el valor del vector óptico para diferentes posiciones en el espacio, a tiempo fijo, y comprobar que el extremo del vector describe una espiral (en sentido horario), completándose un ciclo en una longitud igual a , tal como se muestra en la figura 11. Discuta como evoluciona la onda cuando permitimos que el tiempo transcurra.

λ

y

z

λ

t=0 t=Tx

Figura 11: Onda electromagnética polarizada circularmente.

Vector óptico en distintos puntos del espacio, a tiempo fijo. En cursos posteriores, comprobaremos que una onda luminosa polarizada circularmente (o elípticamente), transporta además de un impulso lineal, un impulso angular, asociado a la rotación del campo eléctrico. Cuarto Caso, δ≡π/2 (o sea, δ=π/2+m2π) y amplitudes iguales E0x= E0y: Onda polarizada circularmente en sentido antihorario (izquierda). Analizamos el caso en

que el desfasaje es 2π

=δ , y las componentes poseen igual amplitud ,

entonces la función de onda 9 resulta,

yx EEE 000 ==

)2

(cos ˆ)(cos ˆ),( 00π

+ω−+ω−= tkzEjtkzEitzEr

(14)

sabiendo que,

( )tkztkz ω−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω− sen2

cos

entonces,

230

( )[ ]tkzjtkziEtzE ω−−ω−= senˆ)(cos ˆ ),( 0

r (15)

La ecuación 15 sólo difiere en una fase π , en la componente y, con respecto a la onda polarizada circularmente derecha (giro horario). Queda como ejercicio para el lector, demostrar gráficamente que la onda se halla también polarizada circularmente pero su giro se produce en sentido antihorario, por lo cual se la denomina: onda circularmente polarizada antihoraria o izquierda. Quinto Caso, Polarización elíptica. Los dos casos de polarización que acabamos de ver, lineal y circular, corresponden, en realidad, a situaciones particulares de lo que se denomina luz elípticamente polarizada o simplemente luz elíptica. En general el desfasaje en el campo eléctrico puede ser una cantidad arbitraria, y sus componentes no tienen por qué ser iguales. En tal caso, el vector óptico rota y cambia de magnitud, de un punto al otro del espacio y a medida que transcurre el tiempo. El extremo del vector r

traza una elipse en el plano perpendicular a la dirección de propagación E kr

, ver figura 12.

Volvamos a escribir a la onda electromagnética como superposición de dos

ondas linealmente polarizadas con una diferencia de fase arbitraria: )(cos ),( 0 tkzEitzE xx ω−=

r,

)(cos ˆ),( 0 δ+ω−= tkzEjtzE yy

r (16)

Estas expresiones corresponden a las dos componentes de un vector que varía en el tiempo trazando una curva en el espacio. La manera de hallar la ecuación de dicha curva es eliminando la dependencia espacio-temporal entre ambas ecuaciones. El calculo es tedioso y recomendamos, en una primera lectura saltearlo y retomar en la ecuación 23, en donde se ha logrado hallar una expresión que relaciona las componentes

y E con las amplitudes EE x y x0 y E y la fase y0 δ , donde no aparece la dependencia con el tiempo ni con la posición.

Saltear en una primera lectura.

Para ello, reescribimos la componente y , del vector óptico, como:

)sen()(sen)cos()(cos0

δω−−δω−= tkztkzEE

y

y , (17)

donde hemos dividido a la componente por la amplitud y desarrollado el coseno (coseno de la

suma). yE yE0

En forma similar dividiendo la componente por la amplitud , obtenemos, xE xE0

)(cos0

tkzEE

x

x ω−= . (18)

Utilizando la identidad trigonométrica , la ecuación 18 se puede reescribir como: 1cossen 22 =α+α2

01)(sen ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=ω−

x

xE

Etkz . (19)

Si insertamos 18 y 19 en la expresión 17, obtenemos,

)sen(1)cos(2

000δ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−−δ=

x

x

x

x

y

yE

EE

EE

E. (20)

Despejando el término que contiene a la raíz cuadrada,

231

)sen(1)cos(2

000δ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=−δ

x

x

y

y

x

xE

EE

EE

E , (21)

y elevando ambos miembros de esta ecuación al cuadrado obtenemos:

)(sen1)cos(2)(cos 22

000

2

0

22

0δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=δ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+δ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

x

x

y

y

x

x

y

y

x

xE

EE

EE

EE

EE

E (22)

Retomar la lectura.

Reagrupando términos y utilizando nuevamente que , llegamos finalmente a:

1cossen 22 =δ+δ

δ=δ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ 2

00

2

0

2

0sencos2

y

y

x

x

y

y

x

xE

EE

EE

EE

E . (23)

La expresión 23 es la ecuación de una cónica, que en este caso corresponde a una elipse. Las cónicas son figuras geométricas que se obtienen cuando se corta una superficie cónica (un cono), con un plano. Según como se haga el corte, los puntos de intersección de ambas superficies definen diferentes curvas: elipse, parábola e hipérbola.

Eligiendo convenientemente el desfasaje δ y las amplitudes E x0 y E , la ecuación 23 describe ondas con polarización lineal, circular y elíptica. Asimismo, dependiendo del valor del parámetro δ, la elipse se halla, o no, centrada en los ejes. Como ilustración, en la figura 12, mostramos algunos ejemplos, queda como ejercicio para el lector verificar que los valores de

y0

δ , E x0 y E , indicados en la figura, representan ese tipo de polarizaciones.

y0

Ey

Ex

δ=−π/2 y E0x < E0y

ω ω Ey

Ex

δ=−π/ 4 y E0x= E0y

Ey

Ex

δ=0 y E0x= E0y

Ey

Ex

δ=π/2 y E0x= E0y

ω

Figura 12: Diferentes estados de polarización de la luz. Polarización elíptica.

232

11. Recomendado. Describir completamente el estado de polarización de cada una de las siguientes ondas: a) )(cos ˆ)(cos ˆ

00 tkzEjtkzEiE ω−+ω−=r

b) )(cos ˆ)(cos ˆ00 tkzEjtkzEiE ω−−ω−=

r,

c) ( ) ( ))(2sen ˆ) (2sen ˆ00 t fzEjtfzEiE −λπ+−λπ=

r,

d) )2(cos ˆ)(sen ˆ00 π−−ω−−ω= kztEjkztEiE

r,

e) )4(cos ˆ)(cos ˆ00 π+−ω+−ω−= kztEjkztEiE

r.

12. Recomendado. Escribir la función de onda de una onda luminosa, que se propaga en la dirección x, de longitud de onda λ = 1 cm, amplitud E0 1= y velocidad de fase

, con cada uno de los siguientes estados de polarización, km/seg 300000 = va) Linealmente polarizada en la dirección z. b) Linealmente polarizada, formando un ángulo de 45 con el eje y. o

c) Circularmente polarizada derecha (sentido horario). d) En los tres ítems anteriores, verifique sus resultados a partir de construir una tabla de

valores. 14. Muestre que la superposición de dos ondas circularmente polarizadas, una izquierda y otra derecha, si tienen la misma amplitud , da como resultante una onda linealmente polarizada:

0E

rE E i kz t= −2 0

$ ( ) cos ω . 15. Guía teórica. Polarización natural: Cuando una fuente de luz ordinaria como el Sol, una lámpara incandescente, una vela encendida, etc. brillan, la luz que emana de ellas muy difícilmente se encuentre polarizada. En efecto, todas estas fuentes consisten de un número muy grande de átomos moviéndose al azar. Cada emisor atómico emite un pulso, o tren de ondas (fotón), con una dado estado de polarización y frecuencia. El pulso de onda (fotón) posee una duración de aproximadamente 10 8− seg . De esta forma, aunque las emisiones correspondieran a una misma frecuencia y se combinaran entre sí para formar una onda polarizada resultante, ésta sólo persistiría por aproximadamente

. 10 8− seg Debido a que los átomos emisores se mueven constantemente en forma impredecible mientras están emitiendo nuevos trenes de onda, estos nuevos pulsos tienen polarizaciones arbitrarias, de tal manera que el nuevo estado de polarización total, para cada frecuencia, cambia totalmente al azar. Si los cambios, en la polarización, tienen lugar tan rápidamente que es imposible distinguir cualquier estado de polarización resultante, es común hablar de luz no polarizada. Sin embargo, dado que esta luz está compuesta de una sucesión rápidamente variable de diferentes estados de polarización resulta más adecuado denominarla luz natural. Es posible representar matemáticamente la luz natural como una superposición de dos ondas linealmente polarizadas, contenidas en el plano normal al de propagación, ortogonales entre sí, de igual amplitud (porque en principio ninguna dirección es privilegiada), e incoherentes (es decir, ondas para las cuales sus diferencias de fase relativa cambian rápidamente y al azar), o sea,

233

)(cosˆ),( 0 tkzEitzE xx ω−=r

,

))((cosˆ),( 0 ttkzEjtzE yy δ+ω−=r

. En este caso la diferencia de fase )(tδ es una función del tiempo que varía en

forma totalmente al azar. En algunos casos, la luz no está ni completamente polarizada ni no polarizada. El vector óptico varía en una forma que no es ni totalmente regular ni irregular y se dice que la luz está parcialmente polarizada. En esta situación es posible pensar el haz de luz como compuesto por una parte de luz natural y otra de luz polarizada. En este caso, el vector óptico se mueve barriendo todo el plano normal a la dirección de propagación, pero tiene mayor intensidad en alguna dirección preferencial. 16. Guía teórica. Polarización de la luz: Como dijimos, en general, la luz emitida por una fuente luminosa no se halla polarizada, sin embargo, en la naturaleza hallamos al menos cuatro fenómenos físicos que permiten obtener luz polarizada a partir de un haz de luz natural, ellos son: a) Polarización por absorción. b) Polarización por reflexión. c) Polarización por dispersión o “scattering”. d) Polarización por birrefringencia o doble refracción. No vamos a estudiar en detalle los conceptos físicos involucrados en estos procesos, ya que necesitamos conocer la teoría electromagnética y la estructura cuántica de las moléculas, de las sustancias involucradas; simplemente analizaremos algunas situaciones donde los fenómenos de polarización ocurren, y los describiremos en forma cualitativa. Comprobaremos que, la propiedad fundamental de estos cuatro fenómenos es que existe alguna forma de asimetría asociada al proceso, que privilegia la propagación de ondas con un determinado estado de polarización. 17. Guía teórica. Polarizadores por absorción (Ley de Malus): Hasta el momento hemos analizado la incidencia de ondas de luz sobre materiales que se comportan de acuerdo a lo esperado en la óptica geométrica (vidrios, agua, etc.). En el interior de estos materiales, la luz se propaga con la misma velocidad en todas las direcciones, no existen direcciones privilegiadas en el espacio, por lo cual se los llama isótropos. Estos materiales son isótropos, debido al desorden existente en su estructura molecular. Las moléculas se hallan orientadas al azar, sin privilegiar una dirección sobre otras. Existen materiales, en donde las moléculas se hallan ordenadas, formando estructuras simples, como por ejemplo en cristales. En ellos la velocidad de la luz, no necesariamente es la misma en todas las direcciones y puede depender de la polarización de la onda luminosa. A estos materiales se los llama anisótropos. Un ejemplo particular de ellos son los llamados polaroid o polarizadores. Estos materiales, poseen dos direcciones especiales, desde el punto de vista óptico. A una de esas direcciones se la denomina eje de transmisión del polarizador, debido a que si una onda plana linealmente polarizada, incide normalmente sobre el polarizador, con su vector óptico paralelo al eje de transmisión, la onda se transmite, siendo atenuada levemente (el polarizador se ve transparente). En cambio, si la onda incide con su vector óptico polarizado perpendicular al eje de transmisión, entonces la onda resulta completamente absorbida por el material (el polarizador se ve opaco). Compare con el ejemplo discutido en la introducción del capítulo, de la onda que se propaga sobre una

234

cuerda e incide sobre una rendija estrecha, en ese caso, el eje de transmisión concuerda con el largo de la rendija.

La mayoría de los polarizadores comerciales son substancias compuestas por moléculas largas de hidrocarburos donde, tratadas apropiadamente, se consigue que las moléculas queden alineadas (paralelas). Cuando una onda electromagnética incide polarizada en la dirección del eje mayor de las moléculas, la fuerza eléctrica ( EeF

rr= )

realiza trabajo desplazando (oscilatoriamente) a los electrones externos a lo largo de la molécula y parte de la energía de la onda es absorbida. En cambio, una onda polarizada en la dirección transversal al eje mayor de las moléculas realiza un trabajo despreciable y así puede pasar “sin ser afectada”. El eje de transmisión es, entonces, perpendicular al eje mayor de las moléculas del cristal. Podemos imaginarnos al polaroid como una rejilla formada por hilos conductores muy finos y muy cercanos, tales como se muestra en la figura 13.

Fig.13

Eje de transmisión

A lo largo del alambre los electrones pueden moverse libremente, de tal forma que un campo eléctrico, paralelo a ellos, obliga a los electrones a oscilar (les entrega energía), y por consiguiente, la onda es atenuada o absorbida. Mientras que un campo eléctrico, perpendicular a los hilos, no puede transferir energía a los electrones, ya que estos “no pueden moverse” en esa dirección, por lo cual, la onda atraviesa la rejilla sin grandes perdidas de energía. De acuerdo a esto, el eje de transmisión de la rejilla, resulta perpendicular a los hilos (ver figura 13). Analice la diferencia entre lo que sucede con una onda luminosa que atraviesa un polarizador y lo que sucedía en el ejemplo analizado en la introducción, donde una onda que se propagaba en una cuerda atravesaba una rendija.

Hilos conductores

Dependiendo del grosor de la lámina polarizadora, podemos lograr que una onda polarizada linealmente, perpendicular al eje de transmisión, resulte completamente absorbida por el material (el material se calienta), por lo tanto, si observamos del otro lado del polarizador lo vemos “completamente” obscuro (“no se transmite luz del otro lado”, material opaco). Por el contrario, si iluminamos con luz polarizada linealmente, paralela al eje de transmisión, la onda se transmite “casi completamente” (sólo una pequeña parte de la energía de la onda resulta absorbida por el material), por lo cual, del otro lado lo vemos como si fuera transparente. Supongamos ahora que incide sobre un polarizador, cuyo eje de transmisión se halla sobre el eje x, una onda luminosa no polarizada, que se propaga en la dirección z, ver figura 14. Como sabemos, puede pensarse el estado de polarización de la onda incidente como una superposición de dos ondas linealmente polarizadas, una paralela al eje de transmisión (eje x) y otra perpendicular (eje y), sin relación de fase fija entre ambas y de igual amplitud (luz no polarizada), es decir, E0 r r r

E z t E z t E z tx yI ( , ) ( , ) ( , )= + (1) donde,

235

( )rE z t i E kz tx ( , ) $ cos= −0 ω ,

( )( )rE z t jE kz t ty ( , ) $ cos= − +0 ω δ . (2)

yx EE =

xEr

yEr

xEr

2I

TII =Onda incidente

Polarizador

Eje detransmisión

II

Al atravesar el polarizador, la componente y resulta “completamente” absorbida (idealización), mientras que la componente x atraviesa el material, en primera aproximación, sin ser alterada (idealización). De esta forma, a la salida del polarizador, la onda resulta linealmente polarizada en la dirección x (eje de transmisión), o sea,

Figura 14: Polarizador. La luz natural incidente se polariza linealmente, a la salida del polarizador, con el vector óptico paralelo al eje de transmisión.

( )r rE z t E z t i E kz txT ( , ) ( , ) $ cos= = −0 ω (3)

Recalcamos que para llegar a la ecuación 3, hemos considerado que la onda no pierde energía, cuando su polarización concuerda con el eje de transmisión, mientras que resulta completamente absorbida, cuando su polarización es perpendicular. Ambos supuestos, son sólo una buena aproximación. Intensidad transmitida: A partir del análisis anterior, podemos hallar la intensidad de luz que se transmite a través del polarizador. En base a la teoría electromagnética resulta posible probar que la intensidad I es proporcional al cuadrado del campo eléctrico o vector óptico (amplitud de la onda), es decir,

2 EvI ε= (4) donde es la velocidad de propagación de la onda y v ε es la permitividad eléctrica del medio. Por simplicidad, nos olvidaremos en este curso de las constantes dependientes del medio, y definimos la intensidad luminosa simplemente como (eligiendo convenientemente las unidades del vector óptico) ,

2EI = (5) A partir de reemplazar 1 en 5, calculamos la intensidad de luz incidente I I , sobre el polarizador (complete la cuenta y verifique),

( ) ( )( )I E E E E kz t E kz t t EI I I I= = = − + − +202 2

02 2

02=. cos cosω ω δ

r r (6)

donde hemos usado que el valor medio del coseno al cuadrado vale,

( )21cos2 =ω− tkz

(para un valor de z fijo, concordante con la posición del polarizador), y también que,

236

( )( )cos2 12

kz t t− + =ω δ

(considerando que la fase ( )δ t varía lentamente, comparada con el período de oscilación de la onda). De igual forma, reemplazando 3 en 5, calculamos la intensidad de luz transmitida I , a través del polarizador, T

( )I E E E E kz tE

T T T T= = = − =202 2 0

2

2

r r. cos ω (7)

Comparando la intensidad incidente y transmitida, obtenemos que, si la onda incidente no posee polarización definida, sólo se transmite la mitad de intensidad, es decir,

II

TI=

2 (8)

Si la luz no posee estado de polarización definido (luz natural), las amplitudes del campo eléctrico son las mismas en cada dirección perpendicular. Como no existe relación de fase fija entre ambas la intensidad de la luz es, simplemente, la suma de las intensidades de cada componente. De aquí que si eliminamos una, utilizando el polarizador, la intensidad resulta ser la mitad de la original. Ley de Malus: Cuando frente al paso de luz, con cualquier estado de polarización, se colocan dos polarizadores enfrentados, con sus ejes de transmisión perpendiculares (θ = ), la onda resulta completamente absorbida, o sea, los polarizadores superpuestos se ven opacos (total obscuridad), ya que, del primer polarizador sale una onda linealmente polarizada en una dirección que resulta perpendicular al eje de transmisión del segundo. Mientras que si, se enfrentan dos polarizadores con sus ejes paralelos (θ = ), éstos se ven transparentes (si se los ilumina con luz natural).

90o

0o

En el caso general en que la onda incide sobre dos polarizadores enfrentados, con sus ejes de transmisión formando un ángulo θ , como se muestra en la figura 15, la intensidad transmitida por el segundo polarizador (que en esta situación se suele denominar analizador), se reduce en un factor , resultado conocido como ley de Malus, en honor a quien descubriera experimentalmente este fenómeno.

cos2θ

2Er

Eje de transmisión rotado

rE1

x′

1er polariz.

Eje de transmisión

θ

2do polariz.

x

z

Figura 15 Ley de Malus. Polarizadores con sus ejes de transmisión

formando un ángulo θ.

237

Demostremos la ley de Malus analíticamente: De acuerdo a la figura 15, a la salida del primer polarizador tenemos una onda linealmente polarizada en la dirección x, es decir,

( )rE z t i E kz t1 0( , ) $ cos= − ω (9)

y por consiguiente, la intensidad de la onda es,

( )I E E E E kz tE

1 = = = − =12

1 1 02 2 0

2

2

r r. cos ω (10)

El segundo polarizador tiene su eje de transmisión (eje ′x ) formando un ángulo θ con el eje x, por consiguiente, no toda la onda

rE z t1 ( , ) puede transmitirse, sólo su

proyección sobre el nuevo eje ′x . La proyección sobre el eje perpendicular (eje ′y ) resulta “completamente” absorbida. Observando la figura 15, calculamos la proyección del vector sobre el eje

rE z t1 ( , )

′x , como, ( )

rE z t i E kz t2 0( , ) $ cos cos= ′ − θ ω (11)

donde es el versor que identifica a la dirección ′$i ′x . Comparando las amplitudes de las ondas

rE z t1 ( , ) y

rE z t2 ( , ) (ec. 9 y 11),

comprobamos que al atravesar al segundo polarizador, la amplitud de la onda se reduce en un factor co . A partir de 5 y 11, calculamos la intensidad transmitida por el segundo polarizador,

sθ

( )I E E E E kz tE

2 = = = − =22

2 2 02 2 2 0

2 2

2

r r. cos cos

cosθ ω

θ (12)

Comparando e I (ec. 10 y 12), obtenemos la relación, I1 2

I I2 12= cos θ (13)

Lo hallado en 13, concuerda con lo la ley empírica de Malus, es decir, la intensidad transmitida por el segundo polarizador, se ve afectada por un factor dependiente del ángulo θ . En el caso particular que el ángulo fuera θ = 90o , la onda no se transmite, la intensidad resulta nula ( ), mientras que si los ejes de transmisión son paralelos (θ = ) la intensidad transmitida resulta “igual” a la incidente ( I I

I2 0=0 o

2 1= ). Visión en 3-D: El fenómeno de la polarización ha resultado ser muy útil en la industria cinematográfica y en revistas para niños, dado que ha permitido filmar películas y observar imágenes en tres dimensiones. La visión en tres dimensiones se debe a que el cerebro compone imágenes que provienen de diferentes lugares. En efecto, ambos ojos observan un determinado objeto desde distintos ángulos. Es la combinación de estas imágenes, en el cerebro, la que da la sensación de profundidad. Las películas tridimensionales se consiguen tomando una serie de pares de fotogramas, con una separación angular similar a la de los ojos. ¡Se filma dos veces la película pero desde distintos ángulos! Posteriormente ambas películas se proyectan simultáneamente sobre una pantalla. Ambas proyecciones se filtran, una a través de un polarizador vertical y la otra a través de uno horizontal. El espectador está provisto de un par de anteojos los cuales también tienen una lente con un polarizador vertical y la otra con uno horizontal. Así, cada ojo ve sólo una de las proyecciones y es la composición de ambas en el cerebro la que da la sensación de profundidad. Anécdota: Lo anterior lo aprendí experimentalmente en el cine, cuando mi amigo Luis, que no veía nada del ojo izquierdo, estuvo diez minutos mirando la película (tridimensional), hasta que se cansó y exclamó: ¡Che bxxxxo, esta película no está traducida!. El problema era que la luz proveniente de las letras se hallaba polarizada y sólo podía verse por el ojo izquierdo de su anteojo. Por suerte (yo, Mac

238

Giver), pude resolver el problema rápidamente y le aconseje que diera vuelta sus anteojos. A partir de allí no molesto más. 18. Supongamos tener dos láminas de polaroid con sus direcciones de transmisión cruzadas, de modo que no pasa luz a través del conjunto. Se inserta una tercera lámina entre las dos de modo que su dirección de transmisión forma un ángulo θ con la primera. Se hace incidir luz no polarizada de intensidad I0 y longitud de onda λ = , sobre la primera lámina.

700nm

a) Hallar la intensidad transmitida a través de las tres si, i) θ = ; 45o

ii) θ = 30o

b) Considerando que la onda se propaga en la dirección z y tiene amplitud E0 1= , escriba las funciones de onda, de las ondas entre los polarizadores y a la salida del sistema, haga las suposiciones que considere necesarias.

c) Demuestre que la intensidad transmitida a través de las tres láminas es máxima cuando θ = . 45o

19. Recomendado. Una onda de luz circularmente polarizada derecha (giro horario), de frecuencia f seg= 5 1014 1 , y amplitud E0 1= (con unidades adecuadas), se propaga en el vacío, según el eje y . a) Escriba la expresión que describe a la onda. Verifique su resultado a partir de

construir una tabla de valores. b) Si la onda anterior incide sobre un polarizador que posee su eje de transmisión

según la dirección z. Escriba la función de onda saliente del polarizador y halle la intensidad.

c) Suponga ahora, que la onda saliente del polarizador del ítem b) atraviesa un segundo polarizador, cuyo eje de transmisión forma un ángulo θ con la dirección del anterior (eje ). Escriba la función de onda saliente del segundo polarizador y halle la intensidad.

z

20. Guía Teórica. Polarización por reflexión: Muchas personas usan anteojos polarizados para atenuar la luz reflejada en la nieve o el agua, o tienen polarizados los parabrisas de sus autos; pero la mayoría de ellos no saben exactamente por qué estos elementos se polarizan, ni que significa polarizar. Accidentalmente, Malus descubrió que la luz solar reflejada en una ventana se hallaba parcialmente polarizada. Investigaciones posteriores demostraron que el fenómeno es general (¡no es fundamental que sea una ventana!): Si una onda, de luz natural (no polarizada), se refleja sobre una superficie o interfase entre dos medios (aire-agua, aire-nieve, aire-vidrio, etc.), la luz reflejada se halla parcialmente polarizada. El grado de polarización depende del ángulo de incidencia y de los índices de refracción de ambos medios. En 1812, poco después de la observación de Malus, Sir David Brewster comprobó, experimentalmente que si el ángulo de incidencia es tal que los rayos, reflejado y refractado, forman un ángulo de 90º, la luz reflejada se halla completamente polarizada en el plano normal al de incidencia (paralelo a la superficie de la interfase), ver figura 16.

239

La luz transmitida se halla parcialmente polarizada, principalmente en una dirección paralela al plano de incidencia.

θ t

o90

θi

aire

agua

La luz reflejada se halla completamente polarizada en una dirección perpendicular al plano de la hoja, o sea, paralela a la superficie. Los puntos indican que el vector óptico oscila en esa dirección

Luz natural (no polarizada)

Figura 16: Ángulo de Brewster. La luz reflejada, sobre una superficie, se polariza

completamente si el rayo reflejado y el transmitido forman un ángulo de 90o. A este ángulo especial de incidencia se lo conoce como ángulo de Brewster (θB). Para calcularlo, debemos apelar a la ley de Snell. Sabemos que se cumple,

n n1 2sen senθ θi t= (Ley de Snell) (1) además, a partir de la ley empírica de Brewster y de la figura 16, sabemos que,

θ θio

to+ + =90 180 ⇔ θ θ (Ley empírica de Brewster) (2) i t

o+ = 90Reemplazando 2 en 1, obtenemos,

( )n n n1 2 290sen sen cosθ θio

i θ= − = i (3) Si denominamos a este ángulo especial de incidencia como θB (ángulo de Brewster), de la ecuación 3 obtenemos la relación,

tg tgθ θi B= =nn

2

1 (4)

Por ejemplo, en el caso de una onda que incide desde el aire y se refleja en vidrio, el ángulo de Brewster es aproximadamente,

θBo=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≅arctg arctg

,nn

2

1

1 51

56 (5)

O sea que, si intentamos observar, con anteojos polarizados, una onda de luz reflejada en vidrio, cuyo ángulo de incidencia es aproximadamente 56 , no podremos verla, a menos que nos saquemos los anteojos (¿Cuál es la dirección del eje de transmisión de los anteojos polarizados para atenuar los reflejos?).

o

Si el ángulo no es exactamente θB la onda reflejada se halla parcialmente polarizada (el grado de polarización depende del ángulo de incidencia), de esta forma, los anteojos polarizados atenúan la intensidad reflejada, pero no la anulan. En el caso de la nieve, no existe una superficie uniforme, como sucede en el vidrio o en el agua, por lo cual nunca la luz reflejada se halla completamente polarizada. El grado de polarización de la luz reflejada en la interfase puede deducirse a partir de la teoría electromagnética. Utilizando las ecuaciones de Maxwell se encuentra que el ángulo de polarización coincide con el hallado experimentalmente por Brewster.

Saltear en una primera lectura Aún no podemos apelar a la teoría electromagnética, pero podemos comenzar por entender cualitativamente el fenómeno, para ello, plantearemos un modelo simple de absorción y reemisión de la luz:

240

Radiación dipolar eléctrica (antena dipolar): Para entender el fenómeno, plantearemos un modelo simple (de juguete) de absorción y reemisión de la luz. En otro curso (electricidad y magnetismo), estudiaremos el fenómeno de radiación, allí comprobaremos que toda carga acelerada emite una onda electromagnética. En particular estudiaremos el modo más simple de emisión, aquel generado cuando dos partículas, de cargas opuestas, oscilan sobre una línea (radiación dipolar eléctrica). Supongamos que una onda luminosa polarizada linealmente incide sobre un sistema formado por dos partículas con cargas eléctricas opuestas (modelo de juguete de una molécula). Las partículas interactúan con la onda a través del campo eléctrico (vector óptico) y comienzan a oscilar en la misma dirección en que oscila el vector óptico (dirección de polarización), por lo tanto, absorben parte de la energía de la onda. Luego de un pequeño intervalo de tiempo, las cargas vuelven a su estado inicial emitiendo una onda de luz. La onda emitida por las cargas oscilantes, no es igualmente intensa en todas las direcciones, sino que la mayor intensidad se irradia en el plano perpendicular a la dirección de oscilación, ver figura 17.

-

+

y

x

Figura 17: Emisor dipolar eléctrico. La intensidad emitida resulta más intensa en el plano perpendicular a la dirección de oscilación de las cargas.

En la figura 17, se muestran dos cargas oscilando en la dirección y; la longitud de las flechas representa la intensidad emitida en cada dirección. Vemos que la mayor intensidad se emite en la dirección x, mientras resulta completamente nula en la dirección y (dirección en que se mueven las cargas). En realidad como el sistema es simétrico respecto a rotaciones sobre el eje y, podemos afirmar que las cargas emiten con mayor intensidad sobre todo el plano x-z. El vector óptico (campo eléctrico, emitido) oscila en la misma dirección en que oscilan las cargas (eje y), por lo cual, lejos de las cargas, detectamos una onda electromagnética linealmente polarizada en la dirección y, ver figura 18 (propagándose en la dirección x).

rEy

-

+

y

x

Figura 18: Emisor dipolar eléctrico. El vector óptico oscila en la misma dirección en que oscilan las cargas.

Usaremos el modelo de radiación dipolar para entender el fenómeno de polarización por reflexión (éste modelo funciona bastante bien cuando la superficie es conductora): Tomaremos el ejemplo de una onda de luz que incide sobre una superficie de vidrio. Consideraremos un modelo simplificado para describir el comportamiento de las moléculas que forman el vidrio, cuando sobre ellas incide una onda luminosa. Supondremos que se comportan en forma similar a dos cargas opuestas oscilantes (emisor dipolar eléctrico), absorbiendo y reemitiendo la luz en la forma que hemos discutido para el caso de radiación dipolar (modelo de juguete). Cuando la luz incide sobre las moléculas, estas absorben parte de la energía y comienzan a oscilar, en la misma dirección en que lo hace el vector óptico (campo eléctrico). Luego de un pequeño intervalo de tiempo, la molécula reemite esa energía en forma de luz, volviendo a su estado inicial. La

241

onda emitida sale principalmente en el plano perpendicular a la dirección de oscilación de la molécula (radiación dipolar) y se halla polarizada en la dirección en que oscilan las moléculas (ver figuras 17 y 18). La onda reflejada es producida por la reemisión de las moléculas, mientras que la onda transmitida es el resultado de la suma de la onda incidente más la onda reemitida por las moléculas. En el caso particular del vidrio, la mayor parte de la energía se transmite y sólo un 7 5 de la energía se refleja.

%,

En seguida veremos que, la polarización por reflexión se debe a la forma en que emiten las moléculas del medio, y por esta razón sólo la onda reflejada se halla completamente polarizada cuando la luz incide con el ángulo de Brewster, la luz transmitida sólo se halla parcialmente polarizada. Consideramos el caso general, que sobre la superficie del vidrio incide, con ángulo θ , luz natural (no polarizada). Podemos describir al vector óptico en base a sus componentes, una componente paralela al plano de incidencia y otra perpendicular. Analizaremos por separado lo que ocurre con cada componente:

B

• La componente polarizada paralela al plano de incidencia (ver figura 19), al incidir sobre las moléculas del vidrio, las impulsa a oscilar en esa dirección. Las moléculas emiten una nueva onda cuya dirección, de intensidad máxima, resulta perpendicular a la dirección de oscilación (dirección de la onda transmitida), mientras que en la dirección perpendicular la intensidad resulta nula, que en este caso (θ θi = B

B

), concuerda con la dirección de la onda reflejada. Por consiguiente, si la onda incidente se halla polarizada en el plano de incidencia, no existe onda reflejada y la onda transmitida se halla polarizada en ese mismo plano, ver figura 19.

La componente polarizada perpendicular al plano de incidencia (ver figura 20), al incidir sobre las moléculas del vidrio, las impulsa a oscilar en esa dirección. Las moléculas emiten una nueva onda cuya dirección, de intensidad máxima, resulta perpendicular a la dirección de oscilación, que en este caso (θ ), concuerda con la dirección de la onda reflejada, mientras que en la dirección perpendicular la intensidad emitida resulta nula (dirección de la onda transmitida). Por consiguiente, si la onda incidente se halla polarizada perpendicularmente al plano de incidencia, las moléculas no emiten en la dirección de la onda transmitida y la onda reflejada se halla polarizada en el plano perpendicular al plano de incidencia, ver figura 20. Recordar que aunque las moléculas no emiten en la dirección de transmisión, sí existe una onda transmitida ya que la onda transmitida es el resultado de la suma de las ondas incidente y emitida por las moléculas.

θi =

La onda incidente se halla polarizada en una dirección paralela al plano de incidencia

La luz transmitida se halla polarizada en una dirección paralela al plano de incidencia.

90o

θi

aire

agua

No se emite luz en esa dirección. No observamos la reflexión de la luz.

Figura 19: Ángulo de Brewster. Si incide luz linealmente polarizada en una dirección paralela al plano de incidencia, con el ángulo de Brewster, la onda no se refleja, mientras que la onda transmitida se halla polarizada en una dirección paralela al plano de polarización.

242

La onda incidente se halla polarizada en una dirección perpendicular al plano de incidencia

θ t

90o

θi

La luz reflejada se halla polarizada en una dirección perpendicular al plano de la hoja, o sea, paralela a la superficie. Los puntos indican que el vector óptico oscila en esa dirección agua

aire

Las moléculas no emiten en la dirección de la onda transmitida. Pero ésta nunca se anula, ya que es el resultado de la suma de la onda incidente y la reemisión de las moléculas.

243

De acuerdo a lo discutido, si incide luz natural (no polarizada), con un ángulo θ , la B componente del vector óptico, paralela al plano de incidencia, se transmite completamente y no se refleja; mientras que la componente perpendicular al plano, parte se refleja y parte se transmite. Por consiguiente, la luz reflejada se halla polarizada en dirección perpendicular al plano de incidencia (paralela a la superficie de la interfase) y la transmitida se halla parcialmente polarizada paralela al plano de incidencia (ver figura 16). Si el ángulo de incidencia no es exactamente θB, las ondas reflejadas y transmitidas se hallan parcialmente polarizadas. 21. La luz que se refleja en un espejo de agua, o en la nieve se encuentra parcialmente polarizada. Este reflejo puede ser muy molesto y, debido a ello, se ha hecho muy común la utilización de lentes polarizados, para disminuir la intensidad de la luz que llega a los ojos. Si Ud. tuviera que construir un par de estos lentes ¿de qué manera colocaría los polarizadores? 22. Si el ángulo crítico para la reflexión total interna de una sustancia es 45o. ¿Cuál es

su ángulo de polarización (ángulo de Brewster)?. 23. Guía Teórica. Polarización por dispersión o “scattering”. Si miramos al cielo azul con anteojos polarizados (girándolos convenientemente), podemos comprobar que la luz no se halla polarizada, pero tampoco se halla completamente no-polarizada (parcialmente polarizada). Esta luz no proviene directamente del sol, sino que se origina en la dispersión (absorción y reemisión) de la luz solar por las moléculas que forman el aire. Las moléculas que forman parte de nuestra atmósfera absorben la luz que les llega del sol (luz blanca). Debido a las características de las moléculas, no todas las frecuencias son absorbidas por igual, ya hemos dicho que la luz de color azul es la que mayormente resulta absorbida y luego reemitida por la molécula (dispersión), mientras que otras frecuencias (rojo) “pasan a través de ellas como si fueran transparentes”. A nuestros ojos llegan, provenientes del cielo, sólo aquellas ondas de luz que han sido reemitidas hacia abajo (dispersadas), mayormente luz azul, por consiguiente, el cielo se ve azul. Además, esta luz se halla parcialmente polarizada, y este efecto es notable cuando las direcciones de propagación de la ondas provenientes del sol y las reemitidas por las moléculas forman un ángulo de 90 , ver figura 21. o

eje x eje z 90o

Figura 20: Ángulo de Brewster. Si incide luz linealmente polarizada en una dirección perpendicular al plano de incidencia, con el ángulo de Brewster, la onda se refleja completamente y se halla polarizada perpendicularmente al plano de incidencia (o paralela a la superficie).)

Figura 21: Dispersión de la luz solar en la atmósfera. El color azul es el que más se dispersa. Dependiendo del ángulo que forman los rayos solares incidentes y la dirección de observación, la luz dispersada puede estar parcialmente polarizada

Para entender cualitativamente el fenómeno de polarización por dispersión, vamos a plantear un modelo simple (de juguete), pensando que las moléculas de la atmósfera se comportan en forma similar a dos cargas opuestas oscilantes (emisor dipolar eléctrico), absorbiendo la luz proveniente del sol y reemitiéndola en la forma que hemos discutido para el caso de radiación dipolar. Supongamos que la luz proveniente del sol (no polarizada), se propaga en la dirección z, por supuesto, por ser una onda transversal el vector óptico (campo eléctrico) oscila en el plano perpendicular al eje z (plano x-y), ver figura 21. Cuando la onda incide sobre una molécula de la atmósfera, ésta absorbe parte de la energía y comienza a oscilar en el mismo plano en que oscila el campo eléctrico (plano x-y). Luego de un pequeño intervalo de tiempo, la molécula reemite esa energía (radiación dipolar eléctrica), volviendo a su estado inicial. Supongamos que nosotros observamos la onda que proviene de la molécula en la dirección x (ver figura 21). Esta onda se origina principalmente en oscilaciones de la molécula en la dirección y (corresponde a la máxima intensidad emitida, ver figura 17), por lo cual, la luz llega a nuestros ojos, fundamentalmente polarizada en la dirección y (ver figura 18). La luz no se halla completamente polarizada, recibimos luz proveniente de muchas moléculas, que oscilan en diferentes direcciones del plano x-y, y no necesariamente en la dirección y, ya que, la radiación dipolar eléctrica es intensa en un ancho rango de direcciones, no sólo en la dirección perpendicular a la línea de oscilación (ver figura 18). Este fenómeno, puede verificarse fácilmente si se dispone de anteojos polarizados, observando aquella zona del cielo que emite luz hacia nuestros ojos formando un ángulo de 90 con la onda que incide desde el sol (ver figura 21). o

24. Guía Teórica. Laminas retardadoras, Materiales Birrefringentes y Actividad Óptica: Láminas Retardadoras: Un ejemplo interesante y simple de material anisótropo lo constituye un celofán cuando se lo estira (o plásticos estirados). El celofán está formado por moléculas de hidrocarburo desordenadas, por lo cual en principio, no existe ninguna dirección privilegiada y el material resulta isótropo. Si se estira al celofán en alguna dirección particular (lo cual ocurre muchas veces en el proceso de fabricación), debido a las tensiones provocadas, las moléculas se reorientan en esa dirección. De esta forma, el material estirado pierde su isotropía y la velocidad de propagación de las ondas luminosas depende del estado de polarización de la onda, las ondas polarizadas en la dirección de estiramiento se propagan a una velocidad distinta de las ondas polarizadas en una dirección perpendicular.

244

De esta forma, la dirección de estiramiento y la dirección perpendicular a ésta, determinan dos ejes especiales, desde el punto de vista óptico. Un caso particular es el de la cinta adhesiva (cinta Scocht). Debido al proceso de fabricación, el material es estirado en la dirección de enrollado. La cinta adhesiva marca Scocht, por casualidad, tiene un espesor tal que se comporta aproximadamente como una lámina retardadora de media onda, que estudiaremos en seguida; otras marcas tiene otros espesores. Otro material anisótropo, que es bastante fácil de encontrar, es la mica. En éste material también podemos identificar dos direcciones especiales tal como sucede en el caso del celofán estirado. En seguida veremos que, tanto el celofán como la cinta adhesiva o la mica, pueden servir para cambiar el estado de polarización de una onda, como por ejemplo, cambiar la dirección de polarización de una onda linealmente polarizada, o transformarla en una onda polarizada elípticamente o circularmente, a la salida del material, y viceversa. Experimento: Con ayuda de dos polarizadores, usted puede estudiar este fenómeno. Con el primer polarizador puede polarizar a la luz linealmente, esa onda luego puede atravesar una cinta adhesiva o una lámina de celofán estirado. Con el segundo polarizador (analizador) puede estudiar el estado de polarización de la onda al salir de la lámina, ¡pruebe!, gire el primer polarizador y anote lo observado, saque conclusiones. El celofán o las cintas adhesivas o las placas de mica, son algunos ejemplos de lo que se conoce con el nombre de láminas retardadoras (caso particular de material birrefringente que discutiremos luego). Estas láminas delgadas, tienen la particularidad de ser materiales anisótropos con dos direcciones especiales (desde el punto de vista óptico), mutuamente perpendiculares (en el caso del celofán, dirección de estiramiento y dirección perpendicular). Una onda plana, linealmente polarizada, que incide sobre la lámina, se propaga con distinta velocidad según sea su estado de polarización paralelo a uno u otro eje. Por esta razón, distinguiremos a los ejes de la lámina con el nombre de eje rápido y eje lento de propagación. Cuál es el lento y cual el rápido depende del material con que se construye la lámina. Si la onda (plana) incidente se halla linealmente polarizada paralelamente al eje rápido, se propaga con velocidad v , mientras que si la onda se halla polarizada paralela al eje lento, se propaga con velocidad v

R

L . Debido a esta propiedad del material, la onda, que incide sobre la lámina, “ve” un índice de refracción distinto, de acuerdo a su estado de polarización (paralelo al eje rápido o perpendicular a éste), que podemos calcular como,

nc

vRR

= y nc

vLL

= (1)

Si sobre la lámina incide, normalmente, una onda plana con polarización arbitraria, las proyecciones del vector óptico, sobre el eje rápido y el eje perpendicular (lento), se propagan cada una con una velocidad distinta. De acuerdo a esto, las componentes (de polarizaciones perpendiculares) salen de la lámina desfasadas una de la otra, ya que recorren caminos ópticos distintos.

245

En el capítulo 9 aprenderemos a calcular diferencias de fase δ debidas a diferencias de caminos ópticos, aquí nos conformaremos con una idea intuitiva. Si pensamos en la evolución de las crestas de las ondas, de cada componente (de polarizaciones mutuamente perpendiculares), mientras que una se desplaza a velocidad

, la otra lo hace a velocidad vvR L , por esta razón, al atravesar la lámina se retrasa una respecto a la otra, provocando un desfasaje δ entre las ondas.

En una primera lectura puede saltearse y sólo estudiar la expresión final 6. Cuánto se retrasa una onda respecto de la otra, lo podemos hallar simplemente calculando el tiempo que tarda cada onda en atravesar el espesor e de la lámina, o sea,

te

vRR

= y te

vLL

= (2)

por lo cual, el intervalo de tiempo que hay que esperar para que salga la onda más lenta es (usando 1),

(∆t t te

ve

vec

n n= − = − = −L RL R

L R ) (3)

De esta forma, en ese tiempo ∆ , la onda que sale primero (ya en el vacío), recorre una distancia igual ta,

(∆ ∆d c t e n n= = − L R ) = diferencia de camino óptico (4) El desfasaje δ indica el ángulo, en radianes, que se retrasa una onda armónica respecto de la otra. Para calcularlo, debemos determinar cuántas o que fracción de longitudes de onda entran en ∆d . Por ejemplo, si entra justo una longitud de onda, las ondas no se desfasan ya que δ (un giro π= 2completo), en cambio si entra media onda, se hallan a contrafase, es decir, δ π= (medio giro). El desfasaje es simplemente la fracción de longitudes de onda, que entran en ∆d , multiplicadas por 2π (ver Capítulo 9), es decir

Fracción de longitudes de onda =∆dλ

⇒ δ πλ

= 2∆d

(5)

A partir de 5 y 4, encontramos que el desfasaje de la componente lenta respecto de la rápida es,

( )δ π

λ=

−2

e n n L R (6)

De acuerdo a la expresión 6, el desfasaje entre componentes (de polarización mutuamente perpendicular), depende de la diferencia entre los índices de refracción (lento y rápido), del espesor de la lámina e y de la longitud de onda de la onda incidente. De acuerdo a lo discutido, con una lámina retardadora podemos introducir fases adicionales entre las diferentes componentes del vector óptico. De esta forma, veremos que es posible cambiar el estado de polarización de la onda incidente. Por ejemplo, cambiar la dirección de una onda linealmente polarizada o transformarla en polarización elíptica o circular y viceversa. Esto lo lograremos eligiendo adecuadamente las características de la lámina (espesor, índices de refracción), para lograr un desfasaje conveniente a nuestros intereses. En lo que sigue analizaremos casos particulares de láminas retardadoras, para valores de desfasaje especiales, como por ejemplo, δ π= (láminas de media onda) o

δπ

=2

(láminas de cuarto de onda). Recordemos que el desfasaje depende fuertemente

de la longitud de onda, por lo cual, si una lámina retardadora produce un desfasaje δ π= (láminas de media onda) para el color rojo, no necesariamente produce el mismo desfasaje para el verde.

246

Lámina de media de onda (δ=π): Vamos a analizar el caso particular en que, el espesor de la lámina y los índices de refracción son tales que, el desfasaje que se produce entre cada una de las componentes del vector óptico, paralela al eje rápido de la lámina y perpendicular a éste (eje lento), vale δ π= . Como dijimos, una cinta adhesiva marca Scocht cumple bastante bien con esta característica (por lo menos para algunos colores). Para entender el comportamiento de esta lámina, analizaremos dos ejemplos: Primer Ejemplo: Supongamos que, sobre una lámina de media onda, incide normalmente una onda plana, linealmente polarizada en una dirección arbitraria. Supondremos que la onda se propaga en la dirección z y la lámina se halla en el plano x-y. Por simplicidad, tomaremos que el eje rápido es el eje x y el lento es el eje y. Describimos a la onda incidente (linealmente polarizada) en base a sus componentes, polarizadas en las direcciones x e y (ver figura 22), en la forma,

( ) ( )rE E kz t E kx t= −$ cos $ cosi + j x y0 0ω ω−

)

(7) Cuando la onda atraviesa la lámina de media onda, la componente y se desfasa respecto de la x un ángulo δ . Suponiendo, por simplicidad, que la onda no se atenúa al atravesar la lámina, a la salida de la lámina la onda puede describirse en la forma,

π=

r( )

( ) (rE E kz t

E E kx t E kx tx x

y y y

i

j j

= −

= − + = − −

$ cos$ cos $ cos

0

0 0

ω

ω π ω (8)

De la expresión 8, concluimos que la onda plana saliente también se halla linealmente polarizada, pero el cambio de signo de la componente y, produce un cambio en la dirección de polarización, es como si el vector óptico se reflejara sobre el eje x (eje rápido), ver figura 22. Observando la figura 22, comprobamos que la onda linealmente polarizada rota un ángulo igual a α θ= 2 . En el caso particular en que la onda se halla polarizada formando un ángulo θ = , entonces la dirección de polarización rota exactamente 90 45o o

x

θ

y rE Onda incidente

Lámina retardadora de media onda

rE

x θ

Onda saliente

y

Lámina retardadora de media onda

Figura 22: Lámina retardadora de media onda. Si incide sobre ella una onda linealmente polarizada, la onda transmitida también se halla linealmente polarizada pero en una dirección distinta, rotada en un ángulo 2θ respecto de la incidente.

Experimento: Ahora que sabe un poco más, vuelva a tomar dos polarizadores y una cinta Scocht, muestre que se comporta aproximadamente como una lámina de media onda y determine cuál es el eje rápido. Luego construya una nueva lámina retardadora

247

superponiendo dos cintas Scocht. ¿Cuánto vale el desfasaje que produce esta lámina?, verifíquelo experimentalmente. Usando filtros de color, estudie el comportamiento de la cinta para diferentes colores, compruebe que el desfasaje depende fuertemente de la longitud de onda de la luz con que se ilumina. Segundo Ejemplo: Suponemos ahora que, sobre la lámina de media onda, incide normalmente una onda plana, polarizada circularmente derecha (horario). La onda incidente (polarizada circular derecha),se describe en la forma,

( )[ ]tkzjtkziEtzE ω−+ω−= senˆ)(ˆ),( 0 cos r

(9) Cuando la onda atraviesa la lámina de media onda, la componente y se desfasa respecto de la x un ángulo δ . Suponiendo que, la onda no se atenúan al atravesar la lámina, a la salida de la lámina la onda puede describirse en la forma,

π=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tkxtkzEtkxtkzEE ω−−ω−=π+ω−+ω−= senˆcosˆsenˆcosˆ00 jiji

r (10)

De la expresión 10, concluimos que la onda plana saliente también se halla polarizada circularmente, pero el cambio de signo de la componente y, la transforma a circular izquierda (antihorario). Lámina de cuarto de onda (δ=π/2): Ahora analizamos el caso particular en que, el espesor de la lámina y los índices de refracción son tales que, el desfasaje que se produce entre cada una de las componentes del vector óptico, paralela al eje rápido de la

lámina y perpendicular a éste (eje lento), vale δπ

=2

. Para entender el comportamiento

de esta lámina, analizamos dos ejemplos: Primer Ejemplo: Suponemos que, sobre una lámina de cuarto de onda, incide normalmente una onda plana, linealmente polarizada en una dirección arbitraria. Nuevamente suponemos que la onda se propaga en la dirección z y la lámina se halla en el plano x-y, el eje rápido es el eje x y el lento es el eje y. La onda incidente (linealmente polarizada) es,

( ) ( )tkzEtkzEE ω−ω−= cos j+cos i y0x0

r (11)

Cuando la onda atraviesa la lámina de cuarto de onda, la componente y se

desfasa respecto de la x un ángulo δπ

=2

. Suponiendo, por simplicidad, que la onda no

se atenúan al atravesar la lámina, a la salida de la lámina la onda puede describirse en la forma,

( )

( ) ( )tkzEtkzE

tkzEtkzEE

ω−ω−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω−ω−=

senˆcosˆ2

cosˆcosˆ

00

00

yx

yx

j- i

j+ ir

(12)

A partir de la expresión 12, comprobamos que, a la salida de la lámina de cuarto de onda, la luz se halla polarizada elípticamente izquierda (antihorario). En el caso particular en que el vector óptico, de la onda incidente, forma un ángulo de 45 con los ejes se cumple

o

E E0x 0y= y por consiguiente la onda a la salida de la lámina se halla polarizada circularmente izquierda. ¿Cómo identifica experimentalmente si una onda se halla polarizada circularmente o elípticamente?.

248

Segundo Ejemplo: El segundo ejemplo lo dejamos para que lo complete el lector. Compruebe que si incide una onda elípticamente polarizada (o circular), centrada en los ejes, a la salida de la lámina de cuarto de onda, la onda resulta linealmente polarizada. Como vemos, la utilización de las láminas retardadoras permite cambiar el estado de polarización de cualquier haz polarizado. Si tenemos un haz de luz natural y colocamos a su paso dos polarizadores cruzados luego de éstos no hay intensidad luminosa. Pero si intercalemos una lamina de cuarto de onda entre ambos. La luz que sale del primer polarizador, linealmente

polarizada, incide sobre la lámina y sufre un desfasaje en δπ

=2

, al atravesarla.

Dependiendo de la orientación relativa entre el vector óptico y el eje de la lámina se tienen distintos estados de polarización para la luz que incide sobre el analizador. Así, rotando la lámina alrededor de su eje se consigue que pase más o menos luz por el analizador. Habrá dos posiciones de máxima intensidad y dos de anulación casi total ¿podría explicar por qué? Este fenómeno, además de su interés científico, tiene aplicaciones técnicas en el control de calidad de ciertos materiales que son sometidos a tensiones. Un ejemplo de ellos son los parabrisas de automóviles, los cuales son curvados, por lo cual, presentan anisotropías que pueden ser usadas para controlar su curvatura. Este hecho puede comprobarse observando con anteojos polarizados a través del parabrisas, se observan zonas más obscuras que otras, trate de explicar por qué. Optativo. Materiales Birrefringentes: En general, a los materiales anisótropos que presentan dos índices de difracción distintos, según el estado de polarización de la onda, se los llama materiales birrefringentes. Ejemplos de este tipo de materiales son la calcita y, las ya estudiadas, láminas retardadoras. Estos materiales poseen propiedades “extrañas”, a nuestra experiencia. Si una onda (plana) incide sobre ellos, puede dividirse dentro del material en dos ondas refractadas (según como esté cortado el cristal), con polarizaciones perpendiculares entre sí, por esta razón, es que se los llama birrefringentes. Uno de los rayos, se comporta tal como es esperado en la óptica geométrica (en cristales monoaxiales), por lo cual se lo denomina “rayo ordinario”, mientras que el otro se desvía “anormalmente”, por lo cual se lo conoce como “rayo extraordinario”. Si incide una onda plana normalmente sobre el cristal (θ i = 0), el rayo ordinario no se refracta (no cambia su dirección), verificando así las leyes de la óptica geométrica. En cambio el rayo extraordinario, se refracta (cambia su dirección), al entrar y luego al salir del cristal, saliendo paralelo al rayo ordinario (si el cristal es plano-paralelo), pero desplazado una cierta distancia, que depende del espesor del material. Si se gira el material, el rayo extraordinario gira en el espacio. Estos dos rayos se hallan polarizados, y sus direcciones son perpendiculares entre sí. De acuerdo a lo expuesto, si observamos un objeto a través de uno de estos cristales, veremos dos imágenes del objeto. Cortando adecuadamente un cristal birrefringente, pueden fabricarse polarizadores, o también láminas retardadoras. Optativo. Actividad Óptica: Si una onda de luz linealmente polarizada, atraviesa un cristal de cuarzo, se observa que la dirección de polarización se halla rotada al salir del cristal. El ángulo rotado depende del espesor del cristal. Se observa el mismo fenómeno en diferentes sustancias, como por ejemplo, en soluciones de azúcar o en aguarrás. A las sustancias que presentan esta propiedad, se las conoce con el nombre de sustancias ópticamente activas.

249

El fenómeno se halla relacionado con la estructura helicoidal de las moléculas de la sustancia. Algunas sustancias producen rotaciones en sentido horario (dextrogiras) mientras que otras lo hacen en sentido antihorario (levogiras). El estudio de la actividad óptica de un material, nos brinda información importante de la estructura molecular de la sustancia. Pero además, posee importantes aplicaciones técnicas en química y biología. Una aplicación importante es, la determinación del nivel de concentración de azúcar en una solución, basado en que el poder rotatorio de la solución se halla relacionado con la concentración de azúcar. 25. La calcita (material birrefringente) posee índices de refracción rápido n y lento

R =1 4864,nL = 1 6584, , para una longitud de onda λ = 589 3, nm . Suponga que puede cortarla

adecuadamente para fabricar una lámina retardadora, a) ¿De qué espesor la cortaría para obtener una lámina de media onda, para esa longitud

de onda?. b) ¿Y para obtener una de cuarto de onda? 26. Recomendado. Una onda de luz, de frecuencia y amplitud Hzf 1410 6= 02E (módulo del vector óptico), avanza en la dirección z (en el vacío), y se halla polarizada linealmente a en el primer cuadrante (x-y). La onda incide normalmente sobre una lámina de cuarto de onda, con su eje rápido en la dirección x.

o45

a) Escriba la función de onda correspondiente a la onda incidente. Verifique su resultado a partir de construir una tabla de valores.

b) Escriba la función de onda saliente y muestre que se halla polarizada circularmente, indique si es izquierda o derecha. Construya una tabla de valores para verificarlo.

c) Explique que experimento haría para comprobar si resulta correcto lo respondido por usted en el ítem anterior.

250