Capítulo VI - danielmorochoruiz

Capítulo VI

OPTIMIZACIÓ DIÁMICA

VI.1 Introducción

El problema fundamental de la economía consiste en la asignación eficiente de

recursos escasos entre distintos fines competitivos. La manera más sencilla de

resolver este problema es a través de la programción matemática considerando

que las variables económicas son invariantes en el horizonte temporal o que nos

encontramos en un determinado instante del tiempo. Bajo estas simplificaciones,

estaríamos frente a un problema de optimización estática que busca optimizar

una función (función objetivo) a través de la elección de ciertas variables

(variables de elección o de decisión) que pueden tomar valores dentro de un

conjunto de oportunidades (conjunto factible). La solución buscada en tales

problemas usualmente consta de una única magnitud óptima para cada variable

de elección, lo cuál no exige un programa de acción secuencial óptima.

Cuando permitimos que las variables de elección varíen con el tiempo, sujetas a

una determinada dinámica entre un instante inicial y un instante final, nos

encontramos frente a un problema de Optimización Dinámica u Optimización Intertemporal. La optimización dinámica estudia la optimización de sistemas

dinámicos, esto es, la optimización de sistemas que evolucionan con el tiempo.

Dado un sistema que evoluciona en el tiempo, se busca conducir o controlar el

sistema de manera óptima a lo largo de un horizonte de tiempo determinado, de

acuerdo a un objetivo previamente establecido.

En contraste a los problemas de optimización estática, los problemas de

optimización dinámica plantean la interrogante de cuál es la magnitud óptima de

una variable de elección en cada periodo del tiempo dentro de un periodo de

planificación (caso de tiempo discreto) o en cada instante del tiempo en un

intervalo de tiempo dado, digamos [ ]10 t,t (caso de tiempo continuo). Es incluso

posible considerar un horizonte de planificación infinito, de manera que el

intervalo relevante pordría ser [ ].,t 0 +∞ Es decir, desde el instante actual hasta la

“eternidad”. La solución de un problema de optimización dinámica por tanto,

adoptará la forma de una senda (trayectoria) de tiempo óptima para cada variable

de elección, detallando el mejor valor de dicha variable desde el inicio del

periodo de planificación hasta el final del mismo.

CIRO BAZÁ OPTIMIZACIÓ DIÁMICA

420

Por ejemplo, la economía de un país es un sistema que evoluciona a lo largo del

tiempo, por lo que rerpresenta un sistema dinámico. En determinado instante, el

estado de dicha economía es recogido en un cuadro macroeconómico, donde

figuran los valores de las siguientes variables (variables de estado1): consumo

privado y consumo público, variación de existencias, demanda interna,

importaciones y exportaciones, PBI, tasa de inflación, tasa de desempleo, etc. La

autoridad económica decide realizar una serie de medidas de política fiscal y de

política monetaria (variables de control2), que van a afectar el comportamiento

de los agentes económicos y que conducirán a nuevos valores de las variables de

estado, cuando éstas sean presentadas en el futuro. Los valores del cuadro

macroeconómico al final del año dependerán de los valores del mismo a

comienzos de año, de las medidas de política económica adoptadas durante el

transcurso del año, y de la respuesta de los agentes económicos a dichas

medidas. Las medidas de política económica dependerán de los objetivos que

tenga el gobierno en el instante que se adoptan.

Para poder resolver el ejemplo anterior con las técnicas de la optimización

dinámica, será necesario que el sistema dinámico en cuestión se pueda expresar

matemáticamente a través de un sistema de ecuaciones diferenciales (tiempo

continuo) o mediante ecuaciones en diferencias (horizonte temporal discreto),

que contengan las variables de estado y las de control. Además, las condiciones

iniciales del sistema, las restricciones de las variables, y la funcional3 objetivo

del problema tienen que poderse representar matemáticamente.

Existen tres métodos diferentes para resolver problemas de optimización

dinámica los cuales son equivalentes en muchos sentidos. El primer método es el

del Cálculo de Variaciones (1696) que resuelve el problema con las Ecuaciones

de Euler (1744). El segundo método es el del Control Óptimo o Teoría Moderna de Control que resuelve el problema por medio del Principio del Máximo de

Pontryagin (1958). El tercer método se denomina Programación Dinámica que

se basa en el Principio de Optimalidad de Bellman (1957). Las tres

aproximaciones pueden formularse en tiempo discreto o en tiempo continuo.

El cálculo de variaciones se ha aplicado fundamentalmente, tras su

descubrimiento, en mecánica (campo de la física). El desarrollo sistemático del

control óptimo se inició en los EEUU alrededor de 1930 en el campo de las

ingenierías mecánica y eléctrica. Durante las décadas del cincuenta y del sesenta

del siglo pasado, en el campo de la economía, aparecen algunas aportaciones

aisladas sobre el control óptimo. En los años sesenta se utiliza de forma

sistemática las técnicas del conrol óptimo en la teoría de crecimiento, y desde

entonces se difunden trabajos sobre el tema, los cuales han sido el instrumento

básico para describir el comportamiento de individuos y empresas cuando la

actividad económica se desarrolla a lo largo del tiempo.

1 Una variable de estado es aquella que define la dinámica de un sistema. Es aquella que describe el estado

de un sistema 2 Una variable de control es un instrumento que permite al agente que se enfrenta a un problema de

optimización dinámica influir sobre una variable de estado. En general, una variable de control está sujeta a

la elección discrecional del agente planificador, y se caracteriza porque la elección de dicha variable afecta a la variable de estado. Es decir, una variable de control es aquella que puede ser controlada por el

planificador u operador del sistema en todo instante del tiempo. 3 Ver apéndice al final del capítulo.

MATEMÁTICAS PARA EL AÁLISIS ECOÓMICO

421

En la actualidad, los métodos de la teoría de control se utilizan en el análisis

macroeconómico, tanto bajo la perspectiva de la macroeconomía clásica como

de la nueva macroeconomía clásica. El término “Economía Dinámica”

frecuentemente puede encontrarse en la literatura económica actual, en la cual la

teoría de control juega un papel preponderante.

VI.2 El cálculo de variaciones

El cálculo de variaciones es una técnica empleada para resolver problemas de

optimización dinámica, la cual es predecesora de la teoría del control óptimo. El

cálculo de variaciones es la aproximación clásica al problema de la optimización

dinámica, data del siglo XVII, y desde entonces este tema se ha constituido

como una parte importante de las matemáticas aplicadas. Los primeros en

resolver problemas de optimización dinámica utilizando está técnica fueron

Isaac Newton (1687) y los hermanos Bernoulli (1696)4.

En la economía, esta técnica se empleó por primera vez a finales de los años

veinte y a comienzos de los treintas en los trabajos de Roos5, Evans

6, Ramsey

7 y

Hotelling8. Su finalidad fue resolver problemas relativos a encontrar la

trayectoria temporal óptima de una variable, con el propósito de optimizar

alguna funcional relacionada con los beneficios o la utilidad.

1. Formulación del problema fundamental del cálculo de variaciones: punto terminal fijo

En esta sección vamos a formular el problema básico del cálculo de

variaciones. Este problema se caracteriza porque la funcional a optimizar

(funcional objetivo) depende de una sola variable de estado, ( ),tx de una sola

variable de control, ( ),tx' de las condiciones iniciales y finales que están

completamente especificadas (condiciones de borde), no hay restricciones

(que podrían ser ecuaciones diferenciales o simplemente funciones del

tiempo y de las variables de estado), y el horizonte temporal es continuo.

( )

[ ] ( ) ( )( )

( )( )

=

=

= ∫Ω∈

bordedescondicionextx

xtx:a.s

dtt,tx,txfxJoptI

11

00

objetivofuncional

t

t

intermediafunción

'

x

1

0

4444 84444 76

44 844 76

4 Para más detalle, ver Kline, M. (1962): “Mathematics: A Cultural Approach”, Mass.: Addison-Wesley.

5 Roos, C. (1925): “A Mathematical Theory of Competition”, American Journal of Mathematics, 46, pp.

163-175. 6 Evans, G. (1924): “The Dynamics of Monopoly”, American Mathematical Monthly, febrero, pp. 77-83.

7 Ramsey, F. (1928): “A Mathematical Theory of Savings”, Economic Journal, Oxford: Blackwell

Publishers, diciembre, pp. 543-559. 8 Hotelling, H. (1931): “The Economics of Exhaustible Resourses”, Journal of Political Economy,

Chicago: The University of Chicago Press, abril, pp. 137-175.


422

Donde ( ) ( )( )t,tx,txf ' es una función de clase C2, ( )

( ),

dt

tdxtx' = y los parámetros

1010 xyx,t,t son dados previamente. Siendo Ω el conjunto de todas las

funciones “x” con derivadas primeras y segundas continuas en un intervalo

cerrado [ ]10 t,t con ,tttyt 1010 <∧ℜ∈ y que viene dado por:

[ ] [ ] .t,tenCesxt,t:x 102

10 ℜ→ℜ⊂=Ω

Donde el conjunto factible (denominado conjunto de sendas admisibles)

viene dado por:

( ) ( ) ( )II1,0ixtxx ii ==Ω∈=Ψ

Es decir, la tarea del cálculo de variaciones consiste en encontrar entre todas

las trayectorias “x”, mostradas en la figura 1, que parten de x0 en el instante

t0 y llegan a x1 en el instante t1, aquella trayectoria *x , de clase C2 en [ ]10 t,t

tal que ( ) ( ),1,0ixtx ii* == que hace máxima (o mínima) la integral [ ]xJ

(funcional).

*x

0t 1t

( ) 00 xtx =

( ) 11 xtx =

t

( )tx

Figura 1

Para que el problema (I) se pueda resolver es necesario que la funcional sea

integrable, es decir que la integral sea convergente. Además, las funciones

que aparecen en dicho problema deberán ser continuas y continuamente

diferenciables. Esto es necesario ya que la metodología sobre la cual se basa

el cálculo de variaciones es muy semejante a la utilizada en el clásico cálculo

diferencial. La diferencia fundamental radica en que en lugar de utilizar la

diferencial “dx” que cambia el valor de ( ),xfy = se empleará la “variación”

de una trayectoria (curva) completa “x” que afectará al valor de la funcional

[ ].xJ

Este problema se diferencia de un problema de optimización estática en dos

aspectos. En primer lugar, tiene carácter dinámico (aparece la variable

temporal) y la solución del problema es una trayectoria *x que depende del

tiempo. En segundo lugar, lo que se optimiza es una funcional, no una

función.


423

Sin pérdida de generalidad, inicialmente supondremos que todos los

problemas de cálculo de variaciones consisten en maximizar la funcional

objetivo [ ]xJ . Más adelante, cuando se expliquen las condiciones de segundo

orden, se distinguirán entre problemas de maximización y de minimización.

Por tanto, el problema que resolveremos será:

[ ] ( ) ( )( )( )( ) 11

00

t

t

'

x

xtx

xtx:a.s

dtt,tx,txfxJmax

1

0

=

=

= ∫Ω∈

)III(

2. Optimalidad local: punto terminal fijo Condición necesaria de primer orden: Ecuación de Euler (1744)

A la condición que permite seleccionar, de un extenso conjunto factible de

curvas (sendas o trayectorias) “ x ”, aquella que maximice o minimice la

funcional objetivo [ ]xJ (trayectoria óptima: *x ) se le denomina ecuación de

Euler. Por tanto, si 2*Cx ∈ resuelve el problema (III), es decir:

[ ] ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )IVtxdtt,tx,txfxJdtt,tx,txfxJ

1

0

1

0

t

t

*'**

t

t

' ∀

=≤= ∫∫

Para cualquier senda admisible ,Cx2∈ dicha función debe satisfacer la

siguiente ecuación (Ecuación de Euler):

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

[ ] ( )Vt,tttx

t,tx,txf

dt

d

tx

t,tx,txf10'

''

∈∀

∂

∂=

∂

∂

Si por simplicidad obviamos los paréntesis en “f”, en “x” y en “ 'x ”

tendremos:

( ) [ ] ( )VIt,ttdt

fdf

x

f

dt

d

x

f10

xx'

'

∈∀=⇒

∂

∂=

∂

∂

Teniendo en cuenta que:

'xf

x '

x

t

t

t


424

La diferencial total de 'xf es:

dtt

fdx

x

fdx

x

fdf

'''

'x'

'xx

x⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=

Por tanto:

( )( )VIIfxfxf

t

f

dt

dx

x

f

dt

dx

x

f

t

f

tx''

xx'

xxx

'

'xxx

''''

''''

+⋅+⋅=∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=

δ

δ

Reemplazando (VII) en (VI) tenemos:

[ ] ( )VIIIt,ttfxfxff 10tx''

xx'

xxx '''' ∈∀+⋅+⋅=

La ecuación (VIII) es una ecuación diferencial de segundo orden. A las

soluciones de esta ecuación se les denomina extremales9 y su forma genérica

es la siguiente:

( ) ( )IXC,C,txx 21=

Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Para obtener soluciones que

verifiquen la condición necesaria de máximo local del problema (III), hay

que resolver la ecuación de Euler (ecuación VIII) e imponer las condiciones

inicial y final dadas.

Condición necesaria de segundo orden: condición de Legendre

Una condición necesaria de segundo orden de optimalidad local es la de

Legendre. Esta condición establece que si en el extremal ( )tx* de (III) se

cumple que:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ).tttpara,

IIIdelocalmínimo:tx0

IIIdelocalmáximo:tx0t,tx,txf 10

*

**'*

xx '' ≤≤⇒≥

⇒≤

3. Optimalidad global: punto terminal fijo

Condición suficiente de segundo orden:

Sea el problema de cálculo de variaciones (I). Donde ( ) ( )( )t,tx,txf ' es una

función (función intermedia) dos veces diferenciable respecto a “x” y “ 'x ”,

entonces se verifica que:

9 Un extremal no tiene porque ser un óptimo, sólo es un candidato a óptimo.


425

a) Si f es cóncava respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es

una condición suficiente de máximo global.

b) Si f es convexa respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es

una condición suficiente de mínimo global.

Si ( ) ( )( )t,tx,txf ' es una función de clase dos y es estrictamente cóncava

(convexa) en “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es una condición

suficiente de máximo (mínimo) global estricto (único).

Ejemplos:

Modelo de competencia dinámica

Un productor en un mercado competitivo desea encontrar el camino óptimo

de producción ( ),tx donde ,Tt0 ≤≤ de manera tal que partiendo de un nivel

de producción x0 en ,0t = alcance un nivel objetivo xT en el instante T, de

modo que se maximicen los beneficios.

Debido al carácter dinámico del problema, dichos beneficios dependerán del

tiempo, y los consideraremos como la diferencia entre los ingresos y los

costos:

( ) ( )t,x,xCpxt,x,x '' −=π

El problema al que se enfrenta el productor será el de maximización

temporal de beneficios que se reduce al siguiente problema de cálculo de

variaciones10

:

( ) [ ] ( ) ( )[ ]( )( ) T

0

T

0

'T

0

'

tx

xTx

x0x:a.s

dtt,x,xCpxdtt,x,xxJmax

=

=

−=π= ∫∫

Siendo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] .t,xCxCtpxt,x,xCtpxt,x,x '21

'' +−=−=π

Se han considerado dos tipos de costos, por un lado se han incluido los

costos de producción:

( ) ( )0cyb,acbxaxxC 21 >++=

10

En este problema consideraremos que el productor valora los beneficios futuros en el mismo grado que

los beneficios presentes. Por tanto, en este problema el factor de descuento intertemporal es igual a uno

(tasa de descuento interporal es nula).


426

Por otra parte, se seleccionan otros costos ( )t,xC '2 asociados a los

incrementos de la producción ,x' tales como construcción de capacidad extra

en previsión a los crecimientos de la producción, alquiler de mano de obra

extra y su formación, reclutamiento de directivos o inflación. Supondremos

que el agregado de este tipo de costo se puede representar como:

( ) ( ) ( )0CyB,ACtBxxAt,xC '2''2 >++=

La función de beneficios será:

( ) [ ] ( ) .CtBxxAcbxaxpxt,x,x '2'2'

++−++−=π

Por tanto el problema a resolver será:

( ) [ ] ( ) ( )( )( ) T

0

T

0

'2'2

tx

xTx

x0x:a.s

dtCtBxxAcbxaxpxxJmax

=

=

++−++−= ∫

La ecuación de Euler será:

( )1xdt

d

x '

∂

π∂=

∂

π∂

Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de

Euler:

( )2bax2px

−−=∂

π∂

( )3BAx2x

'

'−−=

∂

π∂

[ ] ( )4Ax2BAx2dt

d

xdt

d'''

'−=+−=

∂

π∂

Reemplazando (2) y (4) en (1) se tiene:

( ) 0bpax2Ax2Ax2bax2p '''' =−+−⇒−=−−

( )5A2

pbx

A

ax ''

−=−


427

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden dos con

coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es:

( )

−=

=

⇒=−=

A

ar

A

ar

0A

arrP

2

12

La solución complementaria es:

( ) ( )6eAeAtxtAa

2tAa

1c−+=

Mediante el método de los coeficientes indeterminados podemos verificar

que la solución particular será una constante, digamos:

( ) ( ) ( ) ,0txtxktx p''

p'

p ==⇒= por lo que reemplazando estos valores en

(5) tenemos que:

a2

pbk

A2

pbk

A

a0

−=⇒

−=−

Por tanto, la solución particular será:

( ) ( )7a2

bp

a4

bp

a4

bptx p

−=

−+

−=

Por tanto, la trayectoria óptima es:

( ) ( )8a2

bpeAeAtx

tAa2

tAa1

*−

++= −

Donde A1 y A2 se determinan utilizando condiciones de borde, esto es:

( ) 021* x

a2

bpAA0x =

−++=

( )9a2

bpxAA 021

−−=+

( ) TTAa

2TAa

1* x

a2

bpeAeATx =

−++= −

( )10a2

bpxeAeA T

TAa2

TAa1

−−=+ −


428

Resolviendo (9) y (10) tenemos:

−

−−−

−−

=TAa2

TAaT0

1

e1

ea2

bpx

a2

bpx

A

−

−−−

−−

=TAa2

TAa0T

TAa

2

e1

ea2

bpx

a2

bpxe

A

Finalmente, tenemos que:

( )

a2

bpe

e1

ea2

bpx

a2

bpxe

e

e1

ea2

bpx

a2

bpx

tx

tAa

TAa2

TAa0T

TAa

tAa

TAa2

TAaT0

*

−+

−

−−−

−−

+

+

−

−−−

−−

=

−

Ahora comprobaremos las condiciones de segundo orden deoptimalidad

local (Legendre) y de optimalidad global. Para ello vamos a calcular la

matriz hessiana de la función intermedia:

( ) ( ) ( ) ( )

++−++−=π≡ CtBxxAcbxaxpxt,x,xt,x,xf '2'2''

Cuya matriz hessiana evaluada en cualquier ( )t,x,x ' es:

−

−=

ππ

ππ=π

A20

0a2H

'''

'

xxxx

xxxx

Esta matriz es definida negativa ya que tiene dos autovalores negativos

( )A2ya2 21 −=λ−=λ . Por tanto, ( )t,x,x 'π es estrictamente cóncava (por tanto

también estrictamente cóncava) respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación

de Euler es una condición necesaria y suficiente de máximo global estricto.

Es decir, ( )tx* maximiza la funcional objetivo globalmente.


429

Además, se verifica la condición necesaria de segundo orden de óptimo local

dado que:

( ) ( )( ) [ ] .T,0t0A2t,tx,tx '**xx '' ∈∀<−=π

Por tanto, ( )tx* es también un óptimo local.

Extracción óptima de recursos naturales: versión simplificada del modelo de Hotelling

Una empresa es propietaria de una cantidad “Q” de un recurso agotable

(petróleo, cobre, oro, gas, etc). La función de beneficios de la empresa es

logarítmica de manera tal que por extraer “ q ” unidades del recurso agotable

obtiene beneficios:

( ) ( )11qlnq =π

El objetivo de la empresa es determinar el patrón de extracción de los

recursos de manera que se maximice el valor presente de los beneficios. Se

asume que la tasa de descuento11

es constante e igual a “ρ” y que el recurso

se agota en su totalidad en el periodo “T”.

Para resolver este problema, primero vamos a definir la variable a optimizar.

Para ello debemos distinguir entre variables de stock y variables de flujo. La

dotación de recursos “Q” constituye el stock total, y la cantidad “ q ” extraída

del recurso agotable en cada instante constituye un flujo. Una forma simple

de relacionar estas variables sería definiendo a las ventas acumuladas del

recurso natural como “ x ”. Las ventas acumuladas “x” constituyen una

variable de stock con un valor inicial igual a cero (en el periodo inicial no se

ha realizado ninguna venta previamente: ( ) 00x = ) y un valor terminal igual a

“Q” (todo el stock del recurso ha sido vendido previamente en el último

periodo). Por tanto, podemos relacionar la variable de flujo “q” con la

variable de stock “x” integrando la siguiente ecuación, la cual nos dice que la

cantidad extraída del recurso “ q ” en cada instante equivale a la variación en

el tiempo de las ventas acumuladas:

( )( )

( ) ( )12tqdt

tdxtx' ==

Por lo que, integrando (12) tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )Tt0dttqdttxtx

t

0

t

0

' ≤≤== ∫∫

11

Ver apéndice al final del capítulo.


430

Donde:

( ) ( ) 0dttqdttx)0(x

0

0

0

0

' === ∫∫

( ) ( ) Qdttqdttx)T(x

T

0

T

0

' === ∫∫

De esta forma, reemplazando (11) en (12) obtenemos la función de

beneficios de la empresa para cualquier instante del tiempo:

( ) ( )13xlnqlnq '==π

Por tanto, el valor presente de los beneficios vendrá dado por:

( )( ) ( ) ( )14dttxlnedttqe

T

0

'tT

0

t ∫∫ ρ−ρ− =π

En consecuencia, el problema que debe resolver la empresa será:

( ) [ ] ( )

( )( ) QTx

00x:a.s

dttxlnexJmax

T

0

't

tx

=

=

= ∫ ρ−


( )15xdt

d

x '

∂

π∂=

∂

π∂

Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de

Euler:

( )160x

=∂

π∂

( )17x

e

x'

t

'

ρ−

=∂

π∂

Reemplazando (16) y (17) en (15) tenemos:


431

ctekx

e

dt

x

ed

0'

t'

t

==⇒

=ρ−

ρ−

( )18ek

1x

t' ρ−=

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden uno con

coeficientes constantes. Integrando a ambos lados de la ecuación (18)

tenemos:

∫∫∫∫ ρ−ρ−ρ− === dteAdtek

1dte

k

1dtx

t1

tt'

Por tanto, la solución general es:

( ) ( )19eAAAeA

txt

322t1 ρ−ρ− +=+

ρ−=

Utilizando las condiciones de borde tenemos:

( ) ( )200AA0x 32 =+=

( ) ( )21QeAATx T32 =+= ρ−

Resolviendo (20) y (21) tenemos:

( ) ( )( )22

1e

QAy

1e

QA

T3

T2

−=

−−=

ρ−ρ−

Sustituyendo (22) en (19) obtenemos la senda óptima de las ventas

acumuladas:

( )( ) ( )

( )23

e1

Qe

1e

Qtx

T

t

T

*

ρ−

ρ−

ρ− −+

−=

Si derivamos (23) respecto de “t” obtendremos la trayectoria óptima de la

extracción del recurso:

( ) ( )( )

( )24e

e1

Qtxtq t

T

*'* ρ−

ρ−−

ρ==


432

Para 1T ≥ y ,0>ρ ( )Te1

Q

ρ−−

ρ tomará un valor positivo (ya que

1e0 T << ρ− ) y, por tanto, la trayectoria del patrón de extracción de recursos

disminuirá exponencialmente a lo largo del tiempo a la tasa “ρ” tal como se

aprecia en la figura 2.

t T

( )tq*

( )te1

Q

ρ−−

ρ

Figura 2 Ahora comprobaremos las condiciones de segundo orden deoptimalidad

local (Legendre) y de optimalidad global. Para ello vamos a calcular la

matriz Hessiana de la función intermedia:

( ) ( )txlnet,x,xf 't' ρ−≡

Cuya matriz hessiana evaluada en cualquier ( ) ( )( )t,tx,tx ' es:

( ) ( )( )( )

−=ρ−

2'

t'

x

e0

00

t,tx,txHf

Esta matriz es semidefinida negativa ya que todos sus menores principales

son menores o iguales a cero:

Tiene dos menores principales de orden uno:

Eliminando la primera fila y la primera columna tenemos:

( ) ( )0

x

e

x

e

2'

t

2'

t

<−=−ρ−ρ−


433

Eliminando la segunda fila y la segunda columna tenemos:

00 =

Tiene un menor principal de orden dos:

( )0

x

e0

00

2'

t=−

ρ−

Por tanto, ( )t,x,xf ' es cóncava respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación

de Euler es una condición necesaria y suficiente de máximo global. Es decir, *x maximiza globalmente la funcional objetivo.

Además, se verifica la condición necesaria de segundo orden de óptimo local

dado que:

( ) ( )( )( )

( )( )

[ ] .T,0t0Q

e1e

x

et,tx,txf

2

2Tt

2'*

t'**

xx '' ∈∀<ρ

−−=−=

ρ−ρρ−

Por tanto, ( )tx* es también un óptimo local.

4. Condición de transversalidad

Hasta este punto, el problema (III) se ha resuelto utilizando la ecuación de

Euler, y las condiciones de borde (condiciones que debían satisfacer las

trayectorias admisibles). No obstante, si no se conoce el valor inicial y/o el

valor terminal de la trayectoria óptima se perderá una condición de borde.

Por tanto, es indispensable contar con una condición adicional denominada

condición de transversalidad para poder resolver dicho problema. En

consecuencia, el nuevo problema que tendremos que resolver será:

[ ] ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

=

=

= ∫Ω∈

libres:xót11

dado:x00

t

t

'

x

11

0

1

0

xtx

xtx:a.s

dtt,tx,txfxJmax

)X(

Por conveniencia, se ha supuesto que sólo la condición terminal es variable.

Sin embargo, una vez que aprendamos a trabajar con este caso, la técnica

será fácilmente aplicable al caso de punto inicial variable.


434

4.1 Condición de transversalidad

La función 2* Cx ∈ resuelve el problema (X) si satisface la ecuación de

Euler y la condición de transversalidad:

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

0ttx

t,tx,txf

dt

tdxt,tx,txftx

tx

t,tx,txf1

tt

'

''

1

tt

'

'

11

=∆⋅

∂

∂−+∆⋅

∂

∂

==

O de forma compacta:

[ ] ( ) [ ] ( )XI0tfxftxf 1ttx

'1

ttx1

'

1

' =∆⋅−+∆⋅==

Donde ( )1tx∆ y 1t∆ son pequeñas variaciones de la condición final

“ ( )1tx ” y del instante final “ 1t ”.

4.2 Casos especiales de la condición de transversalidad

La ecuación (XI), a diferencia de la ecuación de Euler, es relevante sólo

en el instante final “ 1t ”. Su papel es tomar el lugar de la condición

terminal perdida en el presente problema. Dependiendo de la

especificación exacta de la línea o curva terminal, sin embargo, la

ecuación general (XI) puede ser escrita en varias formas especializadas.

A continuación, se presentan cuatro casos posibles de la condición de

transversalidad: línea terminal vertical u horizonte temporal fijo, línea

terminal horizontal o valor final fijo, curva terminal, y línea terminal

vertical truncada o estado terminal acotado inferiormente.

Línea terminal vertical (horizonte temporal fijo): (((( )))) (((( ))))libretx 1

En este caso se cumple que ,0t1 =∆ por lo que reemplazando en (XI)

tenemos:

[ ] ( ) ( )XII0txf 1ttx1

' =∆⋅=

Pero, dado que ( )1tx∆ puede tomar cualquier valor, la única forma de

que (XII) se verifique es que se cumpla la siguiente condición:

[ ] ( )XIII0f1

'ttx

==

Este caso se puede apreciar en la figura 3. Como en este caso sólo el

horizonte temporal [ ]10 t,tT = se encuentra fijo, mientras que existe un

amplio conjunto de valores terminales factibles. Al resolver el problema

debemos encontrar simultáneamente la trayectoria óptima y el valor

terminal ( ).tx 1 En este sentido, la ecuación (XIII) permite seleccionar el

valor final óptimo del conjunto de valores factibles.


435

( )tx

t 1t

( ) 00 xtx =

0t

Figura 3

Línea terminal horizontal (valor final fijo): (((( ))))libret1

Cuando el valor final de la trayectoria óptima ( )1tx se encuentra fijo,

( ) 0tx 1 =∆ por lo que (XI) se reduce a:

[ ] ( )XIV0tfxf 1ttx

'

1

' =∆⋅−=

Pero, de modo que se verifique (XIV) independientemente del valor que

adopte 1t∆ se tiene que satisfacer la siguiente condición:

[ ] ( )XV0fxf1

'

ttx' =−

=

En la figura 4 se aprecia el problema a resolver. En este caso, debemos

determinar la trayectoria temporal óptima y el valor final “ *1t ” óptimo,

ya que para un valor final ( )1tx dado existen varios “ 1t ” factibles. La

condición (XV) permite determinar el “ *1t ” óptimo.

( )tx

t

( ) 11 xtx =

( ) 00 xtx =

0t

Figura 4


436

Curva terminal: (((( ))))libret1

En esta situación, supondremos que el instante final “ 1t ” es libre, y que

“ 1t ” y el estado final “ ( )1tx ” y están ligados mediante una función “ φ ”

de clase uno, donde:

( ) ( ) ( )XVIttx:ttpara 111 φ==

Con una curva cuya ecuación es (XVI), no se puede asignar valores

nulos a ( )1tx∆ y 1t∆ , por lo que no podemos eliminar ningún término de

(XI). No obstante, para un pequeño cambio arbitrario 1t∆ , se producirá

un pequeño cambio en la curva terminal igual a:

( ) ( ) ( )XVIItttx 1tt

'1

1

∆φ≈∆=

Reemplazando (XVII) en (XI) y factorizando 1t∆ se podrá eliminar

( )1tx∆ de (XI), y obtendremos la siguiente ecuación:

( )[ ] ( )XVIII0tfxf 1ttx

''

1

' =∆⋅−φ+=

Por tanto, para cualquier valor arbitrario de 1t∆ la condición de

transversalidad para este caso será:

( )[ ] ( )XIX0fxf1

'

ttx'' =−φ+

=

En la figura 5 se aprecia el problema que debemos resolver en este

caso. Aquí, debemos determinar “ *x ” y “ *1t ”. Una vez encontrados

“ *x ” y “ *1t ” podremos determinar el estado final ( ).tx *

1

( )tx

t 0t

φ

( ) 00 xtx =

Figura 5


437

Línea terminal vertical truncada (estado terminal acotado inferiormente): (((( ))))(((( ))))mín1 xtx ≥≥≥≥

Cuando la línea terminal vertical es truncada, restringida por la

condición terminal ( ) mín1 xtx ≥ donde mínx es el nivel mínimo

permitido de “x”, la solución óptima puede tener dos posibles tipos de

resultado: ( ) mín1* xtx > o ( ) .xtx mín1

* = Donde ( )1* tx es el valor

terminal de una trayectoria admisible ( )tx* que satisface la ecuación de

Euler y la siguiente condición de transversalidad:

( ) ( )( )( )

0fxtxxtx0f

CHC

ttxmín1*

mín1*

ttx1

'

1

' =

⋅−≥≤

==

44444 844444 76

( )XX

Para aplicar (XX), primero suponemos que 0f1

'ttx

==

y verificamos si el

valor resultante de ( )1* tx satisface la restricción terminal ( ) mín1

*xtx ≥ . Si

es así, el problema está resuelto. En caso contrario, se fija ( ) mín1*

xtx =

para satisfacer la condición de holgura complementaria (CHC), y tratamos

el problema como si fuera uno con punto final dado ( )( ).tx,t 1*

1

( )tx

t 1t

( ) 00 xtx =

0t

( ) mín1 xtx =

Figura 6

5. Condiciones necesarias de optimalidad local para punto terminal variable

Línea terminal vertical (horizonte temporal fijo): (((( )))) (((( ))))libretx 1

( )tx* será un máximo local de (X) si se cumplen las siguientes condiciones:

1. La ecuación de Euler, la condición inicial ( ) 00 xtx = y la condición de

transversalidad [ ] .0f1

'ttx

==

2. La condición de Legendre: ( ) ( ) .0t,tx,txf*'*

xx '' ≤


438

Línea terminal horizontal (valor final fijo): (((( ))))libret1

( )tx* será un máximo local de (X), con el instante final óptimo dado por ,t*1

se cumplen las siguientes condiciones:

1. La ecuación de Euler, la condición inicial ( ) 00 xtx = , la condición final

( ) 1*1 xtx = y la condición de transversalidad [ ] .0fxf

*1

'

ttx' =−

=


xx '' ≤

Curva terminal: (((( ))))libret1

( )tx* será un máximo local de (X), con el instante final óptimo dado por ,t*1

se cumplen las siguientes condiciones:


( ) ( )*1

*1 ttx φ= y la condición de transversalidad

( )[ ] .0fxf*1

'

ttx'' =−φ+

=


xx '' ≤

Línea terminal vertical truncada (estado terminal acotado inferiormente): (((( ))))(((( ))))mín1 xtx ≥≥≥≥

( )tx* será un máximo local de (X) si se cumplen las siguientes condiciones:


( ) mín1* xtx ≥ y la condición de transversalidad

( ) ( )( )( )

.0fxtxxtx0f

CHC

ttxmín1*

mín1*

ttx1

'

1

' =

⋅−≥≤

==

44444 844444 76


xx '' ≤

6. Condiciones suficientes de optimalidad global de segundo orden para punto terminal variable

Si ( ) ( )( )t,tx,txf ' es de clase dos y es cóncava (convexa) en las variables ( )'x,x

para cada [ ],t,tt 10∈ si ( )tx* satisface la ecuación de Euler, las condiciones

de frontera y (en caso la condición terminal sea ( )1tx “libre” o ( ) mín1 xtx ≥ )

las condiciones de transversalidad (XIII) o (XX), entonces ( )tx* es un

máximo (mínimo) global de [ ]xJ .


439

Ejemplos:

1.- Una empresa tiene un pedido de “N” unidades que debe surtir en un

tiempo por determinar. Si ( )tx denota el número de unidades producidas

en [ ]t,0 (que puede interpretarse como el inventario acumulado en “t”), el

costo en “t” está dado por ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] .txtx2tx,txC2'' += Resolver el

problema de minimización de costos de la empresa si se sabe que

( ) ,00x = ( ) yNTx = “T” libre. Compruebe si el extremal hallado minimiza

localmente la funcional objetivo. Calcule los costos mínimos totales.

2.- Modelo de Ramsey12 (1928): La cuestión central tratada por Ramsey es la

de la asignación intertemporal del recurso: ¿Qué cantidad del producto

nacional neto en cualquier instante del tiempo la autoridad planificadora

debería destinar al consumo presente para producir utilidad presente, y

cuánto debería destinar al ahorro (y a la inversión) para incrementar la

producción y el consumo futuros, y por tanto producir utilidad futura?

Considere una economía que evoluciona a lo largo del tiempo donde

( )tKK = denota el stock de capital, ( )tCC = el consumo e ( )tYY = el

producto nacional neto en el instante “t”. Supóngase que:

( )( )tKFY = con ( )( ) ( )( )

0dK

tKFd,0

dK

tKdF

2

2

≤>

De manera que el producto nacional neto es una función cóncava

estrictamente creciente respecto al stock de capital. Además,

supondremos que la producción se divide en consumo e inversión, esto

es:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

dt

tdKtCtItCtKFY +=+==

De donde:

( ) ( )( )( )

( )Θ−=dt

tdKtKFtC

Asimismo, permítase a ( ) 0K0K 0 >= ser el stock de capital existente en

la actualidad, y supóngase que estamos considerando un periodo de

planeamiento [ ].T,0

12

Frank Ramsey no ha pasado a la historia como alguien especialmente recordado fuera del entorno

económico, en parte se ha debido a su temprana muerte a la edad de 27 años. A pesar de ello dejó

plasmadas varias ideas brillantes en sus trabajos, que serían desarrolladas posteriormente por varios

renombrados economistas: Solow y Swan (1956), Cass y Koopmans (1965).


440

Ahora, para cada elección de la función de inversión ( )( )

dt

tdKtI = en [ ],T,0

el capital es completamente determinado por la función

( )( )

ττ

+= ∫ ddt

dKKtK

t

0

0 y ( )Θ a su vez determina ( ).tC Además, se asume

que la sociedad tiene una función de utilidad “ ( )( )tCU ”, donde ( )( )tCU es la

utilidad (flujo) que el país disfruta cuando el consumo total es ( ),tC y

permítasenos requerir que:

( )( )( )

( )( )( )

0tdC

tCUd,0

tdC

tCdU

2

2

<>

De modo que ( )( )tCU es estrictamente creciente y estrictamente cóncava

(este supuesto implica que la gente en un determinado nivel de consumo

deriva menos incremento en su satisfacción ante un incremento dado en

el consumo que el que deriva la gente a un nivel de consumo más bajo).

Finalmente, se asume que la tasa de descuento es “r” y que el criterio de

inversión es el siguiente: escoger ( )( )

dt

tdKtI = para [ ]T,0t ∈ de manera que

la utilidad total descontada para el país en el periodo [ ]T,0 sea la mayor

posible.

Se pide resolver el problema de asignación intertemporal eficiente del

recurso teniendo en cuenta que ( )( ) ( ) ( ),0btbKtKF >=

( )( )( )[ ]

( ),101

tCtCU

1

<γ<γ−

=γ−

y que la condición terminal es:

a) ( ) ,0KTK T >=

b) ( ) .libreTK =

3.- Halle la senda, cuyo punto inicial es ( )1,0A = y cuyo estado terminal está

determinado por ( ) ,t34t −=φ que minimice la distancia entre “A” y ( ).tx

4.- Un individuo tiene una única fuente de ingresos que son los intereses

obtenidos por sus ahorros ( )tSS = a una tasa de interés “i” ( ).1i0 <<

Estos intereses son distribuidos entre consumo ( )tC y nuevo ahorro

( ) ( ) 0tStI '

<

>= (es decir, se permite el desahorro). Inicialmente el individuo

tiene unos ahorros de S0, y elige su tasa de consumo para maximizar su

flujo de utilidad descontada sobre un horizonte finito:

( ) ( )[ ] dtetCUmax rt

T

0tC

−∫


441

La elección de la senda temporal para ( )tC en la maximización es

restringida por la siguiente relación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tStSitCtCtSitS '' −=⇒−=

Y por las condiciones de borde:

( )

( )

>

=

=

libre)b

0S)aTS

S0S

T

0

Resuelva el problema si se sabe que:

( )[ ]( )

( )0e

tCU

tc

>αα

−=

α−

5.- Una empresa ha recibido un pedido de “A” unidades de su producto, que

deben entregarse al cabo de un tiempo T, fijado. La empresa quiere saber

cuál debe ser la tasa de producción ( ) ,t0,tP Τ≤≤ para atender ese

pedido en la fecha estipulada, al costo mínimo. Se sabe que el costo

unitario de producción es proporcional a la tasa de producción (sea

“ 0K1 > ” la constante de proporcionalidad), y que el costo unitario de

mantener el producto en inventario por unidad de tiempo es constante e

igual a “ 0K 2 > ”. Sea ( )tx el inventario acumulado en el instante “t”

igual a la producción acumulada pasada. Por lo que, bajo el supuesto

anterior, se verifica que ( ) ( ).txtP '= Entonces, se tiene que ( ) ,00x = y se

debe alcanzar ( ) .ATx = Se pide:

a) Encontrar la tasa de producción y el inventario acumulado óptimos

(ignórese la restricción ( )( ) .0tP ≥ ¿Qué condición tiene que

cumplirse para que la solución óptima cumpla ( ) 0tP ≥ ?

b) Suponer ahora que “A” es una constante dada, pero “T” es libre.

Encontrar la solución óptima (ignorando la restricción ( )( ) .0tP ≥

c) Verifique si se cumple la condición de optimalidad local de Legendre.

d) Verifique si la solución es globalmente óptima.

6.- Considere el problema macroeconómico de conducir el estado ( )tx de la

economía sobre el curso del periodo de planificación [ ]T,0 hacia el nivel

deseado ,x independiente de “t”, por medio del control ( )tu , donde

( ) ( ).tutx ' = Ya que utilizar el control es costoso, el objetivo es minimizar la

integral ( )( ) ( )[ ] dttucxtx

T

0

22

∫

+− con ( ) ,xTx = donde “c” es una

constante positiva.


442

Es más conveniente definir ( )ty como la diferencia entre la variable de

estado original y el nivel objetivo ,x ( ) ( ) ,xtxty −= de manera que el valor

objetivo de ( )ty sea nulo: ( ) ( ) .0xTxTy =−= Entonces

( ) ( ) ( ).txtytu '' == Esto conduce al siguiente problema de cálculo de

variaciones:

( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) 0Ty

y0y:a.s

dttyctymin

0

T

0

2'2

ty

=

=

+∫

Donde 0y es la desviación inicial del nivel objetivo. Se pide:

a) Encontrar la trayectoria óptima global.

b) Suponiendo ahora que ( )Ty es libre, encuentre la trayectoria global

óptima de la variable de estado, y discuta qué le sucede al estado

terminal ( )Ty cuando el horizonte +∞→T y también cuando .c +∞→

7.- De un stock de capital igual a ( )tK en el instante “t” se puede producir

un bien a una tasa ( )( ).tKF La función de producción “F” se asume que

es de clase dos, creciente y cóncava. Esta producción puede consumirse,

produciendo inmediata satisfacción, o puede invertirse para aumentar el

stock de capital y por tanto la capacidad productiva futura. La producción

( )( )tKF es por tanto la suma del consumo ( )tC y la inversión ( )tK' (el

cambio en el stock de capital).

Es decir:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tKtKFtCtKtCtKF'' −=⇒+=

El problema consiste en elegir la parte de la producción a ser invertida en

cada instante “t” para maximizar la utilidad derivada del consumo a lo

largo del periodo [ ]T,0 . Es decir:

( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( )( ) 0TK

k0K

tCtKFtK:a.s

dttCUmax

0

'

T

0tC

≥

=

≡−=

∫ ( ) ( )( ) ( )[ ]

( )( ) 0TK

k0K:a.s

dttKtKFUmax

0

T

0

'

tK

≥

=

−∫

Se supone que la función de utilidad es una función de clase dos,

estrictamente creciente y estrictamente cóncava.

Resuelva el problema suponiendo que la función de utilidad es la función

de utilidad exponencial o función con coeficiente de aversión absoluta al

riesgo constante (CAAR):


443

( )( )( )

α−=

⋅α− tce

tcU para 0α >

Donde el coeficiente de aversión absoluta al riesgo es:

( )( )( )( )( )( )

( )

( ) α=α−

−=−=β⋅α−

⋅α−

tC

tC

e

e

tC'U

tC''UtC

Además asuma que la producción es:

( )( ) ( )tbKtKF = para 0b >

Solución:

1.- La formulación matemática de este problema es la siguiente:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

( )( ) libre:TyNTx

00x:a.s

dttxtx2maxdttxtx2min

T

0

tx,txC

2'

tx

T

0

tx,txC

2'

tx

''

=

=

−−=

+ ∫∫

−444 8444 76444 8444 76

La ecuación de Euler es:

( ) ( )( )25

x

C

dt

d

x

C

'

∂

−∂=

∂

−∂

[ ] ( )261xx2x2dt

d2 ''''' =⇒−=−=−

Integrando dos veces (26) se obtiene:

( ) ( )27BAt2

ttx

2

++=

La condición de transversalidad es:

( )( )280

x

CxC

Tt'

' =

∂

−∂−−

=

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ⇒=+−=−−−− 0TxTx2Tx2TxTxTx22'''2'

( )[ ] ( )Tx2Tx2' = ( )29


444

Por las condiciones iniciales tenemos que:

( )( )

( ) ( ) ( )30At2

ttx0BB0A

2

00x

22

+=⇒=⇒++=

Derivando (30) respecto del tiempo tenemos:

( ) ( )31Attx' +=

Evaluando (30) y (31) en “T” tenemos:

( ) ( )32AT2

TTx

2

+=

( ) ( )33ATTx' +=


( ) 0AAT2TAAT2TAT2

T2AT 222

22 =⇒+=++⇒

+=+

Reemplazando “A” en (30):

( ) ( )342ttx 2* =

Por las condiciones finales:

( ) ( )35N2TN2

TTx *

2

=⇒==

Dado que: ( ) ( )( ) ,02tx,txC '**xx '' <−=− en consecuencia, por la condición

de Legendre, ( )tx* maximiza localmente a ( ) ( )( )[ ]dttx,txC

T

0

'∫ − y minimiza

localmente a ( ) ( )( )[ ] .dttx,txC

T

0

'∫

N2T* = 0 t

( )tx

( ) 2ttx 2* =

N

Figura 7


445

Derivando (34):

( ) ( )36ttx '* =

Reemplazando (34) y (36) en ( ) ( )( )tx,txC ' obtenemos el valor máximo de la

funcional objetivo:

( ) ( )( ) ( ) 23N2

0

222

'** N23

2dtt2t

2

t2tx,txC =⇒+

= ∫


( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( ) 0

'

T

0

rt

tC

k0K

tCtKFtK:a.s

dtetCUmax

=

≡−=

∫ −

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) 0

rtT

0

'

tK

k0K:a.s

dtetKtKFUmax

=

− −∫

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )3710;e1

tKtbK

etCUt,tK,tKf rt

tCU

1tC

'

rt' <γ<γ−

−

== −

γ−

−

444 3444 21

44844 76

Las derivadas parciales de “f” de primer y segundo orden son:

( ) ( )38eKbKbebUf rt

U

'rt'K

'

−γ−− −==

4484476

( )39eKbKeUf rt'F

rt'K '

−

γ−

−

−−=−=

( ) ( ) ( )40eKbKbeUbff rt1'rt''F

KKKK

'

''−+γ−− −γ=−==

( ) ( ) ( )41eKbKbeUbf rt1'2rt''2KK

−+γ−− −γ−==

( ) ( ) ( )42eKbKeUf rt

U

1'rt''KK

''

''−+γ−− −γ−==

444 8444 76

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43eKbKKbKKbKreCUrUf rt

C

'''1''rt''''

tK

'

'−γ+−γ−−

−−γ+−=−=48476


446


( )44fftKK '=

Reemplazando (38) y (43) tenemos:

( ) ( ) ( )*UUbrCeCUrUebU''''rt''''rt' −=⇒−= −−

Teniendo en cuenta que el coeficiente de aversión relativa al riesgo de

Arrow-Pratt es ( )( ) ( )( )

( )( )tCU

tCUtCt

'

''

r

⋅−=β , tenemos:

( )( )

( )( )

( )( )**

t

rtKF

tC

tC

r

b

'

'

β

−

=

48476

Dado que se ha asumido que ( )( ) 0tCU '' < y ( )( ) 0tCU ' > , entonces

( ) .0tr >β Por lo que que:

( )( )

( )( ) rtKF0tC

tC ''

>⇔>

Por tanto, el consumo crece si y sólo si la productividad marginal del

capital “ ( )( )tKF ' ” excede a la tasa de descuento intertemporal “r”. Por

otro lado, si ( )( ) rtKF ' < , existe tanta impaciencia a consumir que el

consumo empieza alto, y luego decrece en el tiempo.

Reescribiendo (**) tenemos:

( )( )

( ) ( )( ) ( )***tKFttC

tCr

b

'

TRC

r

' 48476

44 844 76

=β+

La ecuación (***) se puede interpretar como una condición de equilibrio

intertemporal, en la que la tasa de retorno del consumo “TRC” debe ser

igual en todo instante a la tasa de retorno del ahorro (la productividad

marginal del capital o tasa de retorno real del capital).

Reemplazando 'U de (38), ''U de (42), y 'C de (43), en (*) tenemos:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1'

1'

'''' KbK

rbbr

KbK

KbKKbK

−

+γ−

γ−

−γ

−=−

−−

−=−


447

( )450KKK0Krb

bKbrb

K '''''' =δ+θ−⇒=

γ

−+

+

γ

−−

δθ484764484476

El polinomio característico es:

( ) .rb

yb0P 212

λ

−=λ=λ⇒=δ+θλ−λ=λ

La solución es:

( ) ( )46eAeAtK

trb

2bt

1*

γ

−

+=

Por tanto, la inversión óptima será:

( )( )

( )47erb

AbeAdt

tdKtI

trb

2bt

1

**

γ

−

γ

−+==

El producto nacional neto óptimo será:

( ) ( ) ( )48beAbeAtbKtY

trb

2bt

1**

γ

−

+==

El consumo óptimo será:

( ) ( ) ( ) ( )49erb

bAtItYtC

trb

2***

γ

−

γ

−−=−=

Considerando la condición inicial se tiene que:

( ) ( )50kAA0K 021* =+=

a) Para la condicón final ( ) ,0KTK T >= tenemos:

( ) ( )51KeAeATK T

Trb

2bT

1* =+=

γ

−

De (50) y (51) se obtiene que:

bTT

rb

bT0T

2

bTT

rb

T

Trb

01

ee

eKKAy

ee

KeKA

−

−=

−

−=

γ

−

γ

−

γ

−


448

Reemplazando “A1” y “A2” en (46), (47), (48) y (49) tenemos:

( ) ( )52e

ee

eKKe

ee

KeKtK

trb

bTT

rb

bT0Tbt

bTT

rb

T

Trb

0*

γ

−

γ

−

γ

−

γ

−

−

−+

−

−=

( ) ( )53erb

ee

eKKbe

ee

KeKtI

trb

bTT

rb

bT0Tbt

bTT

rb

T

Trb

0*

γ

−

γ

−

γ

−

γ

−

γ

−

−

−+

−

−=

( ) ( )54be

ee

eKKbe

ee

KeKtY

trb

bTT

rb

bT0Tbt

bTT

rb

T

Trb

0*

γ

−

γ

−

γ

−

γ

−

−

−+

−

−=

( ) ( )55erb

b

ee

eKKtC

trb

bTT

rb

bT0T*

γ

−

γ

−

γ

−−

−

−=

Ahora constataremos que la senda del stock de capital maximiza

globalmente la funcional objetivo.

La matriz hessiana de la función intermedia “f” en cualquier [ ]T,0t ∈ es:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )[ ]

−

−

−γ−= −

+γ−

1b

bbetKtbKt,t'K,tKHf

2rt

tCU

1tC

'

''

4444 34444 21

48476

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )561b

bbetKtbKt,t'K,tKHf

2rt

1tC

'

−

−

−γ= −

+γ−

48476

Dado que por condición del problema se debe verificar que:

( )[ ] ( ) ( )( )

( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

0tKtbK0tKtbK

1tC

'0tCU

tC

'0tCU

''' <

−γ−∧>

−

+γ−

⇒<

γ−

⇒>

4847648476

Ambas condiciones se verificarán si y sólo si:

( ) ( ) ( ) [ ] ( )57T,0t0tKtbKtC ' ∈∀>−=


449

Al ser ( ) ⇒> 0tC ( ) ( )

t,t'K,tKHf será semidefinido negativo ya que

tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a ( ).b1 2+− Por tanto,

“F” es cóncava. En consecuencia, (52) maximiza globalmente la

funcional objetivo. Por ende, las trayectorias (53), (54) y (55) también

serán óptimas.

b) Para la condición final ( ) :libreTK =

Junto con la ecuación de Euler y la condición inicial, deberemos utilizar

la siguiente condición de transversalidad:

( )580fTtK *' =

=

( ) ( )[ ] ( ) ( )590eTCeTKTbKf rT*rT*'*

TtK *' =−=−−= −γ−−γ−

=

Pero para:

( )( )( )[ ]

( )101

tCtCU

1

<γ<γ−

=γ−

Tenemos que:

( )( )( ) ( )

( ) 0tC0tC

1

tdC

tCdU>⇔>=

γ

( )( )( ) ( )[ ]( ) ( ) 0tC0

tCtdC

tCUd

12

2

>⇔<γ−

=+γ

Por tanto, para que se verifiquen las hipótesis:

( )( )( )

0tdC

tCdU>

( )( )( )

0tdC

tCUd

2

2

<

Se deberá verificar que:

( ) [ ]T,0t0tC ∈∀>

Por tanto:

( ) 0TC* >

Lo cual implica que:

( ) ( )600eTCf rT*

TtK *' <−= −γ−=

En consecuencia, para esta condición final, el problema no tendría

solución ya que (60) contradice a (59).


450

3.- Se consideran todas las curvas ( )tx de clase C2 que parten de ( ),1,0A =

que por tanto satisfacen la condición inicial, y que llegan a la recta

( ) ,t34t −=φ por lo que cumplen la condición final ( ) ( ) ,t34ttx 111 −=φ= tal

como se aprecia en la figura 8. A cada una de dichas funciones se les

asigna como valor objetivo, la longitud total del arco de la curva ( )tx , que

parte de ( )1,0A = y llega a la recta ( ) .t34t −=φ

Ahora vamos a deducir una expresión que nos permita calcular la

longitud de arco de una curva ( )tx que parta de ( )1,0A = y llegue a la

recta ( ) .t34t −=φ Para ello nos vamos a apoyar en el hecho que para dos

puntos muy próximos de una curva, la longitud de arco entre dichos

puntos se puede expresar, gracias al teorema de Pitágoras, de la siguiente

forma (ver la porción de la curva ( )tx encerrada en un círculo en la figura

8):

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )

dtdt

dx1dLdt

dt

dx1dLdxdtdL

2

22

2

22222 +=⇒

+=⇒+=

( ) ( )61dtx1dtdt

dx1dL

2'

2

+=

+=

dL

dt

dx

( )tx

t

( )1,0A =

( )tx*

( ) t34t −=φ

Figura 8

Por tanto, la longitud total del arco de la curva ( )tx , que parte de

( )1,0A = y llega a la recta ( ) t34t −=φ vendrá determinada por la

integral de “dL” desde 0t = hasta el instante terminal 1tt = :


451

[ ] ( ) ( )62dtx1xL

1t

0

2'∫ +=

En consecuencia, el problema a resolver consiste en determinar una

trayectoria que posea la longitud total de arco mínima, pero sujeta a la

condición terminal ( ) ,t34tx 11 −= esto es:

( ) [ ] ( )( )( ) 11

t

0

2'

tx

t34tx

10x:a.s

dtx1xLmin

1

−=

≡=

+= ∫

( ) [ ] ( )

( )( )

( )( ) 11

t

0

txF

2'

tx

t34tx

10x:a.s

dtx1xLmax

1

'

−=

=

+−=− ∫

4484476


( )( )[ ]( )

( )( )[ ]( )

∂

∂=

∂

∂

tx

txF

dt

d

tx

txF

'

''

Sustituyendo las derivadas correspondientes tenemos:

( ) ( )B

A1

AxA

x1

x

x1

x

dt

d0

2

2'

2'

'

F

2'

'

'x

=−

=⇒=

+

−⇒

+

−=

44 844 76

Integrando 'x tenemos:

( ) ( ) ( )63tt0,CBttx 1≤≤+=

Por la condición inicial tenemos:

( ) ( ) ( )641Bttx1C0x +=⇒==

( ) ( )65Btx' =

Por la condición final tenemos:

( ) ( )663B

3tt341Bttx *1111

+=⇒−=+=

La condición de transversalidad es:

( )[ ] 0FxF*1

'

ttx'' =−φ+

=


452

Calculando y reemplazando las expresiones correspondientes tenemos:

( ) 0

B1

BB3B1

2

2 =

+−−−++−

Resolviendo la ecuación anterior se obtiene que .3

1B = Reemplazando

“B” en (65) se tienen que: ( ) .3

1tx '* =⇒ Por tanto, dado que

( )( ) ( )( ) ,03111txF232'*

xx '' <+−= entonces gracias a la condición de

Legendre, ( )tx* será una trayectoria que reemplazada en la funcional

objetivo ( )[ ]txL− hará que ésta sea máximizada localmente, y por tanto,

al reemplazar ( )tx* en la funcional objetivo ( )[ ]txL hará que ésta sea

mínimizada localmente.

En consecuencia, el instante final, la trayectoria óptima, y el valor de la

trayectoria óptima en el instante final vienen dados por:

( )6710

9t*1 = ( ) ( ) ( )68109t01

3

ttx* ≤≤+= ( ) ( )69

10

13tx *1

* =

La distancia mínima es:

[ ] .1010

3t

9

10dt

9

10dt

3

11xL

109

0

109

0

109

0

2

* ===

+= ∫∫

Note que dicha distancia mínima también se puede calcular utilizando la

fórmula de distancia entre los puntos ( ) ( ):1013,109y1,0

( ) ( ) .1010

3101311090d

22* =−+−=


( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) 0

'

T

0

rt

tC

S0S

tCtiStS:a.s

dtetCUmax

=

≡−=

= ∫ −

( ) ( ) ( )[ ]

( ) 0

T

0

rt'

tS

S0S:a.s

dtetStiSUmax

=

−= ∫ −

( )( )( ) ( ) ( )[ ]

( ),0ee

tCU

tStiStC '

>αα

−=α

−=−α−α−

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( )

( )70e1

t,tS,tSf rttStiS'

tC

' −−α−

α−=

44 844 76


453

Las derivadas parciales de “F” de primer y segundo orden son:

( ) ( )71;ief rttC

S−α−= ( ) ( )72;ef rttC

S '−α−−=

( ) ( )73;ieff rttC

SSSS ''−α−α== ( ) ( )74;eif rttC2

SS−α−α−=

( ) ( )75;ef rttCSS ''

−α−α−= ( )[ ] ( ) ( )76ertCf rttC'tS '

−α−+α=


( )77fftSS '=


( ) ( )[ ] ( ) rttC'rttC ertCie −α−−α− +α=

( )[ ] ( )78rtCi ' +α=

Pero:

( ) ( ) ( ) ( )79tStiStC '''' −=

Reemplazando (79) en (78) se obtiene:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )80br

tiStSrtStbSb ''''''

α

−=−⇒+−α=

El polinomio característico es:

( )

=λ

=λ⇒=λ−λ=λ

i

00iP

2

12


( ) ( )81eAAtS it21

*c +=

Por tanto:

( ) ( ) ( )820tS1tS '11 =⇒=

( ) ( ) ( )83ietSetS it'2

it2 =⇒=


454

El determinante Wronsquiano es:

( ) 0ieie0

e1tW it

it

it

≠==

En consecuencia, ( )tS1 y ( )tS2 son linealmente independientes.

Entonces:

( ) it

it

it

1 eri

ieir

e0

tW

α

−=

α

−= ( )α

−=

α

−=ir

ir0

01

tW2

( ) ( )( )( )

( )84ti

ridt

i

ridt

tW

tWtStS

11p1

α

−=

α

−== ∫∫

( ) ( )( )( )

( )85i

ridte

i

iredt

tW

tWtStS

2

itit22p2

α

−=

α

−== ∫∫ −

Sumando (84) y (85) obtenemos la solución particular:

( ) ( )86i

rit

i

ritS

2p

α

−+

α

−=

Sumando (81) y (86) obtenemos la solución general:

( ) ( )87i

rit

i

rieAAtS

2

it21

*

α

−+

α

−++=

Derivando (87) respecto de “t” tenemos:

( ) ( ) ( )88i

riieAtStI it

2'**

α

−+==

De (70) sabemos que:

( ) ( ) ( ) ( )89tri

iAtStiStC 1'***

α

−+=−=

Considerando la condición inicial se tiene que:

( ) ( )90Si

riAA0S 0221

* =

α

−++=


455

a) Para la condicón final ( ) TSTS = tenemos:

( ) ( )91Si

riT

i

rieAATS T2

iT21

* =

α

−+

α

−++=

De (90) y (91) tenemos:

( )( )92

1e

i

rieiT1SeS

AiT

2

iTT

iT0

1−

α

−−++−

=

( )931e

Ti

irSS

AiT

0T

2−

α

−+−

=

Reemplazando (92) y (93) en (87), (88) y (89) tenemos:

( )( )

( )94i

rit

i

rie

1e

Ti

irSS

1e

i

rieiT1SeS

tS

2

it

iT

0T

iT

2

iTT

iT0

*

α

−+

α

−+

−

α

−+−

+

+−

α

−−++−

=

( ) ( ) ( )95i

riie

1e

Ti

irSS

tStI it

iT

0T

'**

α

−+

−

α

−+−

==

( )( )

( )96tri

i1e

i

rieiT1SeS

tCiT

2

iTT

iT0

*

α

−+

−

α

−−++−

=

Ahora constataremos que la trayectoria del ahorro (y por tanto la del

consumo) maximiza globalmente la funcional objetivo.


456

La matriz Hessiana de la función intermedia, para cualquier [ ]T,0t ∈ es:

( ) ( ) ( )

( )( )97

1i

iiet,t'S,tSHf

2rttC

−

−α=

+

−α−

43421

La matriz hessiana ( ) ( )

t,t'S,tSHf será semidefinida negativa ya que

tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a ( ).i1 2+− Por tanto, la

función intermedia “f” es cóncava.

En consecuencia, la ecuación (94) maximiza globalmente la funcional

objetivo. Por ende, las trayectorias dadas por (95) y por (96) también

serán óptimas.

b) Para la condición final ( ) :libreTS =

Junto con la ecuación de Euler y la condición inicial, deberemos utilizar

la siguiente condición de transversalidad:

( )980fTtS *' =

=

Reemplazando (72) en (98) y evaluando en “T” tenemos la siguiente

expresión:

( ) ( )990ef rTTC

TtS

*

*' ≠−= −α−=

Por tanto, en este caso particular, el problema en cuestión no tendrá

solución ya que la ecuación (99) contradice a la ecuación (98).

5.- De acuerdo al enunciado del problema tenemos que la tasa de cambio

instantánea de los costos totales de la empresa en cualquier instante “t” será:

( ) ( ) ( )dt

tdC

dt

tdC

dt

tdC InventprodTot += (100)

Aplicando la regla de la cadena a la tasa de cambio instantánea de los

costos de producción, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )dt

tdC

dt

tdq

dq

tdC

dt

tdC Inventprod

prod

prodTot +⋅= (101)

Definamos a “ ( )tq prod ” como la cantidad producida en cada instante de

tiempo “t”. Por el enunciado del problema se tiene que en cada “t” dicha

cantidad deberá ser igual al inventario acumulado. Esto es:

( ) ( )txtq prod = (102)


457

Derivando (102) respecto al tiempo, y teniendo en cuenta que por el

enunciado del problema y por (102) resulta que ( )( )

,dt

tdqtP

prod=

entonces tenemos que:

( )( )

( )txdt

tdqtp 'prod

== (103)

Por otro lado, de acuerdo al enunciado del problema:

( )( )tpK

dq

tdC1

prod

prod⋅= (104)

( )( )txK

dt

tdC2

Invent ⋅= (105)

Reemplazando (103), (104) y (105) en (101) se tiene que:

( )( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )txKtpKtxKtptpK

dt

tdC2

2121

Tot⋅+⋅=⋅+⋅⋅=

( )( )[ ] ( )txKtxK

dt

tdC2

2'1

Tot ⋅+⋅= (106)

Por tanto, el costo total de la empresa en el periodo [ ]T,0 será:

( )[ ] ( )∫

⋅+⋅

T

0

2

2'1 dttxKtxK (107)

En consecuencia, el problema que deberá resolver la empresa será:

( ) ( )[ ] ( )

( )( )( ) 0tp

ATx

00x:a.s

dttxKtxKmin

T

0

2

2'1

tx

≥

=

=

⋅+⋅∫

(108a)

Por lo que el problema equivalente será:

( ) ( )[ ] ( )

( )( )( ) 0tp

ATx

00x:a.s

dttxKtxKmax

T

0

2

2'1

tx

≥

=

=

⋅+⋅−∫

(108b)


458

a) La ecuación de Euler a resolver será:

( )

( )

( ) ( )

dt

txdt

tdCd

tx

dt

tdC 'TotTot ∂

−∂

=∂

−∂

( )[ ]( ) ( )

K2

KtxtxK2K

dt

txK2dK

2''''12

'1

2 =⇒−=−⇒−

=− (109)

Integrando (109) tenemos:

( ) 32' Kt

K2

Ktx += (110)

Integrando (110) tenemos:

( ) 432

1

2* KtKtK4

Ktx ++= (111)

Aplicando las condiciones iniciales a (111) se tiene:

( ) 0K0x 4* == (112)

Reemplazando (112) en (111) tenemos:

( ) tKtK4

Ktx 3

2

1

2* += (113)

Aplicando las condiciones finales a (113) se tiene:

( ) TK4

K

T

AKATKT

K4

KTx

1

233

2

1

2* −=⇒=+= (114)

Reemplazando (114) en (113) resulta:

( ) ( )Tt0tTK4

K

T

At

K4

Ktx

1

22

1

2* ≤≤

−+= (115)

Para que ( ) 0tP ≥ debe verificarse:

( ) ( ) 0txtP '** ≥= (116)

Derivando (115) respecto al tiempo tenemos:


459

( ) ( ) ( )Tt0TK4

K

T

At

K2

Ktptx

1

2

1

2*'* ≤≤−+== (117)


0TK4

K

T

At

K2

K

1

2

1

2 ≥−+ (118)

Dado que K1 y K2 son constantes positivas y ,Tt0 ≤≤ entonces,

para que (118) se verifique en cualquier [ ]T,0t ∈ bastará con que:

TK4

K

T

A0T

K4

K

T

A

1

2

1

2 ≥⇒≥− (119)

b) Para este nuevo caso, en el que “T” es libre, siguen siendo válidas la

ecuación de Euler, las condiciones iniciales y las condiciones finales

(pero “T” es desconocido) y las ecuaciones (115), (117) y (119). Pero

ahora hay que añadir la condición de transversalidad correspondiente

a “T” desconocido:

[ ][ ]

0x

xKxK

xxKxK

Tt

'

2

2'1

'2

2'1 =

∂

⋅−⋅−∂

⋅−

⋅+⋅−

=

(120)

( )[ ] ( ) ( ) ( ) 0TxK2TxTxKTxK *'1

*'*2

2*'1 =⋅+

⋅+⋅−

( )[ ] ( ) ( )[ ] 0TxK2TxKTxK2*'

1*

2

2*'1 =+⋅−⋅−

( )[ ] ( ) 0TxKTxK *2

2*'1 =⋅− (121)

Reemplazando (115) y (117), evaluadas en “T”, en (121) tenemos:

0TTK4

K

T

AT

K4

KKT

K4

K

T

AT

K2

KK

1

22

1

22

2

1

2

1

21 =

−+⋅−

−+

0AKT

AT

K4

KK 2

2

1

21 =−

+ (122)


460

Factorizando se tiene:

0TK4

K

T

AK

2

1

21 =

−

Entonces, como 0K1 > tenemos:

0K

AK2T0T

K4

K

T

A

2

1*

1

2>+=⇒=−

En consecuencia, reemplazando “T*”

en (115) y (117) tenemos:

( ) ( )*2

1

2* Tt00tK4

Ktx ≤≤≥=

( ) ( ) ( )*

1

2*'* Tt00tK2

Ktptx ≤≤≥==

c) La condición necesaria de Legendre:

( )[ ] ( )

( )0K2

tx

txKtxK

12'

*2

2'*1

2

<−=∂

⋅−⋅−∂

Nos dice que ( )tx* , tanto para el apartado a) como para el apartado

b), es un máximo local del problema (108b) y un mínimo local del

problema (108a).

d) Para verificar la globalidad de las soluciones debemos verificar si la

función intermedia es cóncava en ( )'x,x para cada [ ]T,0t ∈ en el

problema (108b). Para ello bastará con verificar que el Hessiano de la

función intermedia es semidefinido negativo en ( )'x,x para cada

[ ]T,0t ∈ . El Hessiano de la función intermedia para cada [ ]T,0t ∈

viene dado por:

( )[ ] ( )

−=

⋅−⋅−

12

2'1

K20

00txKtxKH

Los autovalores del Hessiano son:

0K2y0 121 <−=λ=λ

Por tanto, el Hessiano de la función intermedia es semidefinido

negativo, y ( )tx* , únicamente para el apartado a) es un máximo

global del problema (108b) y un mínimo global del problema (108a).


461

6.- El problema original y el problema equivalente vienen dados por:

( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) 0Ty

y0y:a.s

dttyctymin

0

T

0

2'2

ty

=

=

+∫

(123a) ≡

( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) 0Ty

y0y:a.s

dttyctymax

0

T

0

2'2

ty

=

=

+−∫

(123b)

a) La ecuación de Euler a resolver será:

( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ] ( )

dt

tytyctyd

ty

tycty'2'22'2 ∂

+−∂

=∂

+−∂

( )( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) 0tyc

1tytcy2ty2

dt

tcy2dty2 ''''

'

=−⇒−=−⇒−

=− (124)

El polinomio característico de (124) es:

−=

+=

⇒=−

c

1r

c

1r

0c

1r

2

1

2 (125)

La solución complementaria (y también total) de (124) será:

( ) ( ) tc1tc1*c

* BeAetyty−+== (126)

Ya que el Wronsquiano construido con:

( ) ( ) tc1'1

tc11 ec1tyety =⇒=

( ) ( ) tc1'2

tc12 ec1tyety

−− −=⇒=

Y que viene dado por:

( ) ( ) 0tW0c12

ec1ec1

eetW

tc1tc1

tc1tc1

≠⇒<−=

−

=−

−

Aplicando las condiciones iniciales a (126) se tiene:

( ) 0* yBA0y =+= (127)


462

Aplicando las condiciones finales a (126) se tiene:

( ) Tc12Tc1Tc1* AeB0BeAeTy −=⇒=+= − (128)


Tc12

0

Tc12

0

e1

yBy

e1

yA

−−=

−= (129)


( ) tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0* e

e1

ye

e1

yty

−

−

−+

−= (130)

Para verificar la globalidad de ( )ty* debemos verificar si la función

intermedia es cóncava en ( )'y,y para cada [ ]T,0t ∈ en el problema

(123b). Para ello bastará con verificar que el Hessiano de la función

intermedia es semidefinido negativo en ( )'y,y para cada [ ]T,0t ∈ . El

Hessiano de la función intermedia para cada [ ]T,0t ∈ viene dado por:

( ) ( )[ ]

−

−=

+−

c20

02tyctyH

2'2

Los autovalores del Hessiano son:

0c2y2 21 <−=λ−=λ

Por tanto, el Hessiano de la función intermedia es definido negativo,

por lo que la función intermedia de (123b) será estrictamente cóncava.

Entonces, ( )ty* es un máximo global del problema (123b) y un

mínimo global del problema (123a).

Finalmente, la trayectoria óptima global será:

( ) xe

e1

ye

e1

ytx

tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0* +

−+

−= −

−

b) Para este nuevo caso, en el que “ ( )Ty ” es libre, siguen siendo válidas

la ecuación de Euler, la condición inicial y las ecuaciones (126) y

(127). Pero ahora hay que añadir la condición de transversalidad

correspondiente a “ ( )Ty ” desconocido:


463

( ) ( )[ ]( )

0ty

tycty

Tt

'

2'2

=∂

+−∂

=

( ) ( ) 0Ty0Tcy2 *''* =⇒=− (131)

Derivando (126) respecto al tiempo tenemos:

( ) tc1tc1*' ec1Bec1Aty−−= (132)

Evaluando (132) en “T”, y teniendo en cuenta (131) se tiene:

( ) 0ec1Bec1ATyTc1Tc1*' =−= −

(133)

De (127) y (133) se obtiene:

Tc12

0

Tc12

0

e1

yBy

e1

yA

−+=

+= (134)


( ) tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0* e

e1

ye

e1

yty

−

−

++

+= (135)

De manera análoga al apartado a) podemos verificar que ( )ty* es un

máximo global del problema (108b) y un mínimo global del problema

(108a) con “ ( )Ty ” libre.

Evaluando (135) en “T” obtenemos:

( ) Tc1

Tc12

0Tc1

Tc12

0* e

e1

ye

e1

yTy

−

−

++

+=

( )Tc1Tc1

0*

ee

y2Ty

−+=

Por otro lado, cuando +∞→T ( )Ty* tiende a:

( ) 0

ee

y2límTylím

Tc1Tc1

0

T

*

T→

−=

−+∞→+∞→


464

Asimismo, cuando 0c → ( )Ty* tiende a:

( )

−=

−=

→−→→1e

ey2lím

ee

y2límTylím

Tc12

Tc10

0cTc1Tc1

0

0c

*

0c

Ya que si reemplazamos 0c → en ( )Ty* se obtiene la forma

indeterminada ,∞

∞ podemos aplicar L’Hôpital:

( ) 0

e

ylím

ec12

ec1y2límTylím

Tc1

0

0cTc12

Tc10

0c

*

0c→

=

=→→→

Finalmente, podemos observar que si 0c → entonces ( ) 0ty* →

incluso cuando “T” es fijo. Esto se aprecia aplicando límites a (135)

cuando 0c → :

( )

++

+= −

−→→

tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0

0c

*

0ce

e1

ye

e1

ylímtylím

( )( )

0

e1

eelímytylím

Tc12

tT2c1tc1

0c0

*

0c→

+

+=

−

−−−

→→

Lo anterior no es sorprendente, ya que según “c” se hace pequeño, es

decir, los costos se hacen insignificantes, entonces ( )ty* se ajusta a

cero casi inmediatamente.

7.- El problema a resolver es:

( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( )( ) 0TK

k0K

tCtKFtK:a.s

dttCUmax

0

'

T

0tC

≥

=

≡−=

∫ ( ) ( )( ) ( )[ ]

( )( ) 0TK

k0K:a.s

dttKtKFUmax

0

T

0

'

tK

≥

=

−∫ (136)


[ ]dt

KUd

K

U '∂∂=

∂

∂


465

( )( )

dt

K

tCUd

K

tCU

'

'

'

∂

∂

=∂

∂⋅

[ ]'

'

'

'''''''

'''

C

F

U

UCUFU

dt

UdFU =−⇒⋅−=⋅⇒

−=⋅ (137)

Para la función de utilidad exponencial o función con coeficiente de

aversión absoluta al riesgo constante (CAAR):

( )( )( )

α−=

⋅α− tcetcU para 0α >

Se tiene que el coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo

es:

( )( )( )( )( )( )

( )

( ) α=α−

−=−=β⋅α−

⋅α−

tC

tC

e

e

tC'U

tC''UtC (138)


α=⇒=α

''

'

' FC

C

F (139)

Por otro lado, la producción es:

( )( ) ( )tbKtKF = (140)

Entonces:

( )( ) btKF ' = (141)


( )α

=b

tC '

Por tanto, integrando obtenemos:

( ) γ+α

= tb

tC* (142)

Reemplazando (140) y (1142) en (136) se tiene que:

( ) ( ) ( )tKtbKtb

tC '* −=γ+α

=


466

( ) ( ) γ−α

−=− tb

tbKtK '

La ecuación diferencial homogénea es:

( ) ( ) 0tbKtK ' =−

El polinomio característico de la ecuación diferencial homogénea es:

( ) b0bP =λ⇒=−λ=λ

Entonces, la solución complementaria será:

( ) btc etK θ= (143)

Por lo que tenemos:

( ) bt1 etK =

El Wronsquiano vendrá dado por:

( ) 0eetW btbt >==

Para hallar la solución particular necesitamos calcular ( )tW1 :

( ) γ−α

−=γ−α

−= tb

tb

tW1

Por tanto, la solución particular será:

( ) ( )( )( ) ∫∫ α

+α

+αγ=

γ−

α−

==t

b

1dt

e

tb

edttW

tWtKtK

bt

bt11p (144)

La trayectoria del capital será:

( ) ( ) ( ) btpc

* et

b

1tKtKtK θ+

α+

α

+αγ=+= (145)

En este caso utilizaremos la condición de transversalidad de “línea

terminal vertical truncada”, esto es:

( ) ( )( )( )

0U0TK0TK0U

CHC

TtK**

TtK '' =

⋅−>≤

==

4444 84444 76

(146)


467

En este caso tenemos que:

( )[ ] ( ) 0eTCUU TC'

TtK ' <−=−= α−=

Por tanto, por la (CHC) que aparece en (146) se tiene que:

( ) 0KTK mín* == (147)

Evaluando (145) en “T”, y teniendo en cuenta (147) tenemos:

( ) 0eT

b

1TK bT* =θ+

α+

α

+αγ= (148)

Aplicando la condición inicial a (145) obtenemos:

( )b

1KK

b

10K 00

*

α

+αγ−=θ⇒=θ+

α

+αγ= (149)


( )

( )1e

1bT1Kbe

bT

0bT

−α

++−α=γ (150)


( )bT

0

e1

TK

−α

+α=θ (151)

Reemplazando (150) y (151) en (145) resulta:

( )( )

( ) ( )bt

bT

0

bT

bT0* e

e1

TKt

1e

TeKtK

−α

+α+

α+

−α

+α= (152)

Derivando respecto (152) del tiempo tenemos:

( )( )

( )bt

bT

0'* e

e1

TKb1tK

−α

+α+

α= (153)


( )( )

( )1e

1bT1Kbet

btC

bT

0bT

*

−α

++−α+

α= (154)


468

Ahora constataremos que la trayectoria del capital, ecuación (152), y la

trayectoria de la inversión, ecuación (153), maximizan globalmente la

funcional objetivo.

La matriz Hessiana de la función intermedia, para cualquier [ ]T,0t ∈ es:

( ) ( ) ( )

( )

−

−α=

+

α−

1b

bbet,t'K,tKHU

2tC

43421

La matriz hessiana ( ) ( )

t,t'K,tKHU será semidefinida negativa ya que

tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a ( ).b1 2+− Por tanto,

la función intermedia “U” es cóncava.

En consecuencia, las ecuaciones (152) y (153) maximizan globalmente la

funcional objetivo. Por ende, la trayectoria dada por (154) también será

óptima.

7. Horizonte temporal infinito

Un supuesto común en economía es considerar horizonte temporal infinito.

Este supuesto es razonable cuando los agentes enfrentan decisiones de muy

largo plazo y cuando los agentes se preocupan por el bienestar de sus

descendientes. La forma general del problema de cálculo de variaciones a

resolver en este caso sería:

( )( )

[ ] ( ) ( )( )

( )( )

=

=

= ∫∞

librefinalx

x0x:a.s

dtt,tx,txfxJmax

XXI

0

0

'

tx

Dado que ahora la funcional está dada por una integral impropia, para que

esta funcional esté definida, la integral debe ser convergente. A continuación

se presentan dos condiciones suficientes para que la funcional objetivo sea

convergente.

7.1 Condiciones para la convergencia de la funcional objetivo

Condición 1: Dada la integral impropia [ ] ( ) ( )( )dtt,tx,txfxJ

0

'∫∞

= , si la

función intermedia “f” posee un valor finito hasta el periodo “T”, y

luego toma un valor nulo y éste se mantiene constante a lo largo del

tiempo, entonces la integral converge.


469

Condición 2: Si la función intermedia es descontada mediante el

factor de descuento ( ),0re rt >− y durante todo el horizonte temporal

posee un valor mayor o igual a cero y menor o igual a “S”

( ),S0 +∞<≤ entonces la integral converge. Más formalmente, ya que

el valor de ( ) ( )( )t,tx,txf ' no puede nunca exceder el valor de su cota

superior “S”, podemos escribir:

[ ] ( ) ( )( )r

SdtelímSdteSdtet,tx,txfxJ

b

0

rt

b

rt

0

rt

0

' ==≤= ∫∫∫ −

+∞→

−∞

−∞

7.2 Condiciones de transversalidad

Cuando el horizonte temporal es infinito, la ecuación de Euler y la

condición suficiente de segundo orden siguen siendo válidas para la

resolución del problema de cálculo de variaciones. No obstante la

condición de transversalidad se modifica ligeramente. En lugar de

utilizar la condición (XI), ahora se emplea la siguiente condición:

[ ] ( ) [ ] ( )XXII0tfxftxf 1tx

'1

tx '' =∆⋅−+∆⋅∞→∞→

Donde cada uno de los dos términos deberá desaparecer

individualmente.

Considerando el segundo término de (XXII), como el horizonte

temporal es infinito, ,0t1 ≠∆ entonces deberá cumplirse la siguiente

condición:

[ ] ( )XXIII0fxflím 'x'

t=−

∞→

Considerando el primer término de (XXII), existen dos posibilidades a

tener en cuenta:

a) Si un estado terminal asintótico (meta asintótica), se especifica en el

problema:

( ) ( )XXIVdaespecificaconstanteuna:xtxlímt

∞∞→

=

Entonces el primer término de (XXII) será nulo, ya que ( ) ,0tx 1 =∆

por lo que la condición a utilizar será la ecuación (XXIV).

b) Si el valor terminal de la senda no está especificado (es libre), al

igual que en (XXI), deberá cumplirse la siguiente condición:

[ ] ( )XXV0flím 'xt=

∞→


470

Si el estado terminal está sujeto a la restricción del tipo ( ) mín1* xtx ≥ ,

entonces deberemos utilizar la condición (XX). No obstante, en la

práctica, siempre podremos utilizar (XXV) primero. Si la restricción

( ) mín1* xtx ≥ es satisfecha por la solución, entonces el problema

termina. De lo contrario, tendremos que utilizar mínx como un estado

terminal dado.

7.3 Condición Suficiente

Si la función intermedia ( ) ( )( )t,tx,txf ' es cóncava (convexa) en las

variables ( )'x,x en un problema con horizonte temporal infinito,

entonces la ecuación de Euler más la siguiente condición suplementaria:

( )[ ] 0xxflím *xt

'* ≤−+∞→

Son suficientes para un máximo (mínimo) absoluto de [ ]xJ .

En esta condición, “ 'xf ” está evaluada en la trayectoria óptima, y

( )*xx − representa la desviación de cualquier trayectoria admisible

“ ( )tx ” de la trayectoria óptima “ ( )tx* ”.

Ejemplo:

Modelo de Inversión13: Este modelo fue desarrollado por Eisner y

Strotz (1963). El modelo se centra en la inversión neta como un proceso

que amplía el tamaño de la planta de una empresa. Por tanto, no se

considera la depreciación del stock de capital. Se supondrá que una

empresa tiene como único insumo el capital K, que ( ) 2BKAKK −=π

( )0ByA > es su función de beneficios brutos, y que ( ) ( ) '2'' bKKaKC +=

( )0bya > es su función de costos de inversión (expansión de la

planta). Además, ,0brA >− donde “r” es el factor de descuento.

El objetivo de la empresa es escoger la trayectoria ( )tK* que maximiza

el valor presente de sus beneficios netos a lo largo del tiempo, esto es:

( ) [ ] ( ) ( )

( )

( )( ) libre:finalK

0K0K:a.s

dtebKKaBKAKKJmax

0

0

t,K,Kf

rt'2'2

tK

'

>=

+−−= ∫

∞−

444444 8444444 76

13

Basado en Eisner, R. y Strotz, R., “Determinants of Business Investment”, Impacts of Monetary Policy,

Prentice-Hall, Englrwood Cliffs, New Jersey 1963, pp. 60-233.


471

Donde:

( ) ( ) ( ) rt'2'2' ebKKaBKAKt,K,Kf −

+−−=

Con derivadas:

( ) rtK eBK2Af −−= ( ) rt'

KebaK2f '−+−= rt

KK Be2f −−=

0ffKKKK '' == rt

KKae2f ''

−−= ( )[ ] rt'''tK

eaK2rbaK2f '−−+=


( ) ( )[ ] rt'''rttKK eaK2rbaK2eBK2Aff '

−− −+=−⇒=

( )155a2

ArbK

a

BrKK '''

−=−−

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden dos con

coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es:

( )

( )

( )

+−=λ

++=λ

⇒=−λ−λ=λ

2

aB4rr

2

aB4rr

0ar

BrP

2

2

2

12


( )

( ) ( )

( )156eAeAtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

1c

22

+−

++

+=

Dos soluciones de ( )tKc son:

( )

( )

( )( )

( )t

2

aB4rr

2'1

t2

aB4rr

1

22

e2

aB4rrtKetK

++

++

++

=⇒=

( )

( )

( )( )

( )t

2

aB4rr

2'2

t2

aB4rr

2

22

e2

aB4rrtKetK

+−

+−

+−

=⇒=


472

El Wronsquiano será:

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

t2

aB4rr

2t

2

aB4rr

2

t2

aB4rrt

2

aB4rr

22

22

e2

aB4rre

2

aB4rr

ee

tW

+−

++

+−

++

+−

++

=

( ) ( ) 0eaB4rtW rt2 ≠+−=

Dado que ( ) ,0tW ≠ las soluciones ( ) ( )tKytK 21 son linealmente

independientes.

En consecuencia:

( )

( )

( )( )

( )t

2

aB4rr

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

1

2

2

2

ea2

rbA

e2

aB4rr

a2

Arb

e0

tW

+−

+−

+−

−=

+−−

=

( )

( )

( )( )

( )t

2

aB4rr

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

2

2

2

2

ea2

Arb

a2

Arbe

2

aB4rr

0e

tW

++

++

++

−=

−

++

=

Por tanto:

( )( )( )

( )

( )

( )

( )

dte

aB4ra2

eArbdt

tW

tWtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

11

2

2

∫∫

++

−

++

+

−=

( )( )( ) ( ) ( )

+++

−=∫

aB4rraB4ra

rbAdt

tW

tWtK

22

11


473

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

dte

aB4ra2

eArbdt

tW

tWtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

22

2

2

∫∫

+−

−

+−

+−

−=

( )( )( ) ( ) ( )

+−+

−=∫

aB4rraB4ra

Arbdt

tW

tWtK

22

22

La solución particular será:

( )( ) ( ) ( ) ( )

+−+

−+

+++

−=

aB4rraB4ra

Arb

aB4rraB4ra

rbAtK

2222p

Simplificando:

( )1570B2

rbAK p >

−=

Por tanto, la trayectoria óptima es:

( )

( ) ( )

( )158B2

rbAeAeAtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

1*

22

−++=

+−

++

( )( )

( )

( )( )

t2

aB4rr

2

2

t2

aB4rr

2

1'*

22

e2

aB4rrAe

2

aB4rrAtK

+−

++

+−

+

++

=

Obsérvese que 01 >λ y 02 <λ son reales y de signos opuestos y que el

supuesto 0brA >− implica que la solución particular .0Kp > La condición

inicial es:

( ) ( )159KKAA0K 0p21 =++=

Las condiciones de transversalidad son:

[ ] 0fKflím 'K'

t=−

∞→

( ) 0eKaBKAKlímCT rt2'2

t1 =

+−= −

∞→


474

Reemplazando ( )tK* y ( )tK '* en el límite anterior obtenemos lo siguiente:

( ) ( ) 0eKaKBAKlímCT rt2'*2**

t1 =

+−= −

∞→

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0eBKAKeBAAeBK2AA

BAAA2eBAAeBK2AAlímCT

rt2pp

tr222

22

trp2

2121tr22

121

trp1

t1

22

11

=

−+−λ+−+

+−λλ+−λ

+−=

−−λ−λ

−λ−λ

∞→

La única forma de que este límite sea convergente a cero es que .0A1 = Por

tanto, de (159) se tiene que:

( )160KKA p02 −=

Entonces, reemplazando 0A1 = y p02 KKA −= en (158) tenemos que:

( )

( )

( )161B2

rbAe

B2

rbAKtK

t2

aB4rr

0*

2

−+

−−=

+−

La segunda condición de transversalidad:

[ ] ( )1620flímCT 'Kt2 ==

∞→

No es necesaria en este problema. No obstante, si la utilizamos también

obtendremos que 1A debe ser nulo para evitar que (162) sea explosiva.

Ahora comprobaremos si la trayectoria del capital maximiza globalmente la

funcional objetivo. Para ello vamos a construir la matriz Hessiana de la

función intermedia, para cualquier [ )∞+∈ ,0t :

( ) ( )

−

−=

−

−

rt

rt

ae20

0Be2t,t'K,tKHf

La matriz Hessiana es definida estrictamente negativa ya que posee sus dos

autovalores negativos ( )0ae2,0Be2 rt2

rt1 <−=λ<−=λ −− . Por tanto, la

función intermedia “f” es estrictamente cóncava en .'K,K

En este caso, la condición suplementaria a utilizar es:

( )[ ] [ ] ( )[ ] 0KKlímflím0KKflím *

tKt

*Kt

'*'* ≤−⋅⇒≤−⋅+∞→+∞→+∞→

(163)


475

Derivando (161) respecto del tiempo se tiene:

( )( )

( )

( )164eB2

rbAK

2

aB4rrtK

t2

aB4rr

0

2'*

2

+−

−−

+−

=

Dado que ( ) ,ebaK2f rt'*K '*

−+−= entonces:

[ ] ( )

( )

−

−

−

+−= −

++

−

+∞→+∞→

rt

t2

aB4rr

02

tKtbeeK

B2

rbAaB4rralímflím

2

'*

[ ] 0flím '*Kt→

+∞→

En cuanto a ( )*KK − , la forma cuadrática en “K” de la función de

beneficios, representada en la figura 9, sugiere que según “t” tienda a

infinito, la diferencia entre el valor “K” de cualquier trayectoria vecina

admisible y el valor “K*” es limitada. Por tanto, el hecho que “ '*K

f ” tienda a

cero conforme “t” tiende a infinito, nos asegura que la condición

suplementaria (163) se satisfaga como igualdad. En consecuencia, la

concavidad estricta de la función intermedia hará que la ecuación de Euler

sea suficiente para un máximo global estricto en la funcional objetivo.

2BKAK −=π

K B2A 0

Figura 9

VI.3 Teoría de control óptimo

Las primeras investigaciones realizadas sobre control óptimo fueron efectuadas

por Valentine (1937), McShane (1939) y Hestenes (1949). Pero el verdadero

desarrollo de esta técnica fue realizado por los rusos Pontryagin, Boltyanskii,

Gamkrelidze y Mishchenko (1958). La teoría de control óptimo se ha aplicado

extensivamente a la solución de problemas económicos desde los tempranos

documentos de trabajo que aparecieron en Shell (1967) y los trabajos de Arrow

(1968) y Shell (1969). El campo es demasiado extenso para ser examinado

detalladamente aquí. Sin embargo, podemos citar algunos interesantes libros que

abordan este tópico: Seierstad y Sydsæter (1987), Kamien y Schwartz (1991),

Léonard y Long (1992), Takayama (1993) y (1997), Gandolfo (1997), Chiang,

A. (2000), De la Fuente, A. (2000).


476

1. Formulación del problema fundamental de control óptimo

En la sección V.2 hemos estudiado el método clásico para resolver

problemas de optimización dinámica, el cálculo de variaciones. No obstante,

esta técnica no resulta conveniente para resolver problemas de optimización

dinámica en los que aparecen restricciones sobre las derivadas de las

funciones que intervienen en dichos problemas. Además, mediante este

método sólo se admiten soluciones interiores.

La técnica moderna que permite tratar características no clásicas como

soluciones de esquina, restricciones en forma de desigualdad sobre las

trayectorias, y otras generalizaciones, es la teoría de control óptimo. Esta

técnica se centra en una o más variables de control14

que sirven como

instrumentos de optimización, y que están asociadas a una o más variables de

estado a través de la denominada ecuación de movimiento. Específicamente,

esta técnica tiene como principal objetivo determinar la trayectoria temporal

óptima para la/s variable/s de control, a partir de la/s cual/es podremos

determinar la/s trayectoria/s óptima/s de la/s variable/s de estado asociada/s.

Supongamos que tenemos un sistema que está representado en el tiempo por

ciertas variables, denominadas variables de estado, dadas por

( ) ( ) ( ),tx,,tx,tx n21 K cuya dinámica está descrita por un sistema de

ecuaciones diferenciales (tiempo continuo) o por un sistema de ecuaciones

en diferencias (tiempo discreto), y que pueden ser controladas por unas

variables denominadas variables de control, variables de decisión o instrumentos, denotadas por ( ) ( ) ( )tu,,tu,tu m21 K . El problema general de

control óptimo que se plantea es obtener una trayectoria (senda) para las

variables de estado ( ) ( ) ( )tx,,tx,tx n21 K eligiendo adecuadamente las

trayectorias temporales de las variables de control ( ) ( ) ( )tu,,tu,tu m21 K de

modo que se maximice un objetivo sujeto a determinadas restricciones.

En esta sección, vamos a plantear el problema más sencillo de control óptimo. El

problema fundamental del control óptimo se caracteriza porque la funcional a

optimizar (funcional objetivo) depende de una sola variable de estado, ( ),tx de

una sola variable de control, ( )tu15

, y de las condiciones de borde: condiciones

iniciales (completamente especificadas) y condiciones finales (donde el estado

terminal puede ser: libre (linea terminal vertical), una linea terminal vertical

truncada, o fijo). Asimismo, ( )tx no está sujeta a restricciones, ( )tu no está

sujeta a restricciones conjuntistas, es decir, ( ) ( ),,Utu +∞−∞=ℜ=∈ y el

horizonte temporal es continuo y fijo: [ ].t,tt 10∈ En términos formales, el

problema más simple de control óptimo es:

14

En economía, una variable de control (por ejemplo: el consumo, la tasa de impuestos (política fiscal), la

tasa de interés, la proporción de inversiones asignada a diferentes sectores, la tasa de extracción del stock

de un recurso agotable por unidad de tiempo, la inversión gubernamental) es un instrumento político que

permite influir sobre una variable de estado. En general, una variable de control está sujeta a la elección

discrecional del agente optimizador, y su elección afecta a la variable de estado. 15

La variable de control ( )tu puede escogerse de un conjunto de funciones U, denominado conjunto de

controles admisibles. Cuando ( ) ,Utu ∈ ( )tu es denominada control admisible. Al conjunto ,U de

imágenes de los controles admisibles, se le conoce como región de control.


477

( ) [ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

=

≥

=

=

ℜ=∈

= ∫

cybendado:x

dados:tyt,x

****bordedesCondicione:

xtxc

xtxb

libre:txa

:finalessCondicione

xtx:inicialessCondicione

***tu,tx,tgtx:estadodeEcuación

**Utu:a.s

*dttu,tx,tfuJmax

1

100

11

11

1

00

'

objetivoFuncional

t

t

ermediaintFunción

tu

1

044444 344444 21

44 844 76

En (XXVI)16

, la funcional objetivo, tiene como argumento a “u” y no a “x” y

la función intermedia tiene a “u” como argumento en lugar de “ 'x ” como

ocurría en el cálculo de variaciones. Además, debido a la presencia de “u”, es

indispensable contar con una conexión entre dicha variable y “x” para saber

cómo “u” afectará a la trayectoria adoptada por “x”. Esta información es

proporcionada por la ecuación diferencial, denominada ecuación de movimiento, de transición o de estado, que relaciona a “x” con “u”. Esta

ecuación nos muestra cómo, en cada momento del tiempo, para un valor

dado de “x”, la variable de control “u”, elegida por un “planificador”, guiará

a “x” a lo largo del tiempo. Una vez determinada la senda óptima de la

variable de control, ( ),tu* la ecuación de estado permitirá obtener la

trayectoria óptima de la variable de estado ( ).tx*

Para que (XXVI) pueda resolverse, deberá verificarse que las funciones

( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg sean continuas en todos sus argumentos, y posean

derivadas parciales de primer orden continuas con respecto a “t” y a “ ( )tx ”, pero

no necesariamente respecto a ( ).tu Además, ( )tu no tendrá que ser continua

para llegar a ser admisible; sólo necesitará ser continua a trozos17. Asimismo,

( )tx debe ser continua en el periodo de planificación temporal, aunque puede

presentar un número finito de puntos agudos o esquinas18

. Es decir, para que una

senda de estado sea admisible sólo necesita ser diferenciable a trozos19

.

16

Sin pérdida de generalidad, supondremos que todos los problemas de control óptimo consisten en

maximizar la funcional objetivo. Esto se adopta debido a que todo problema de minimización siempre se

podrá reformular como un problema de maximización añadiendo el signo menos a la funcional objetivo. 17

Esto significa que es continua en todos los puntos, excepto, quizá, en un número finito de ellos. Es decir,

( )tu podrá contener un número finito de saltos en los que ( )tu no tienda a valores infinitos (cualquier

discontinuidad que involucre saltos finitos). 18

Una esquina es un punto de una función en el que su derivada es discontinua. En una esquina la función

no es diferenciable. 19

Esto significa que es diferenciable en todos los puntos, excepto, quizá, en un número finito de ellos. Es

decir, ( )tx podrá contener puntos en los que no sea diferenciable respecto al tiempo (esto es, puede existir

un número finito de puntos donde las derivadas laterales derecha e izquierda de ( )tx respecto al tiempo

difieran la una de la otra).

(XXVI)


478

Al igual que las trayectorias de control admisibles20, las trayectorias de

estado admisibles deben tener un valor finito para cada instante en el periodo

de planificación temporal. Además, se asumirá que si ( )tu está definida en

[ ],t,t 10 entonces ( )tu es continua en los extremos del intervalo.

En el problema (XXVI), tenemos que la condición inicial está

completamente especificada (instante inicial y el valor inicial de la variable

de estado) y se conoce el instante final pero el valor final de la variable de

estado dependerá si estamos en el caso de estado terminal libre [caso (a)],

linea vertical terminal truncada [caso (b)], o estado terminal fijo [caso (c)].

Por otro lado, el conjunto de controles admisibles, U, por lo general es un

conjunto compacto (cerrado y acotado) y convexo. Esto deja abierta la

posibilidad de que existan soluciones de esquina en el problema de

optimización, a diferencia de los problemas de cálculo de variaciones. No

obstante, en el problema (XXVI), tenemos que ( ) ( ),,Utu +∞−∞=ℜ=∈ es

decir, la variable de control debe pertenecer al conjunto abierto ( ),,+∞−∞ por

lo que en este caso no hay restricciones sobre la variable de control. Por

tanto, en el problema (XXVI) podríamos omitir ( ) .Utu ∈

2. Condiciones necesarias de optimalidad: El principio del máximo de Pontryagin (1958)

En esta sección vamos a estudiar el método que nos permitirá resolver el

problema fundamental de control óptimo, el denominado principio del máximo de Pontryagin. Dado que el principio del máximo involucra

conceptos como función Hamiltoniana y variable de coestado, primero

vamos a explicar dichos conceptos.

Una variable de coestado, variable adjunta o variable auxiliar es una

variable, semejante a los multiplicadores de Lagrange que aparecen en

problemas de optimización estática restringida, que mide o valora el precio

sombra de una variable de estado asociada. Esta variable puede adoptar

diversos valores a lo largo del horizonte de planificación temporal, y la

denotaremos como ( ).tλ El medio a través del cual la variable de coestado

aparece en el problema de control óptimo es la función Hamiltoniana o

Hamiltoniano. El Hamiltoniano es la versión dinámica de la función

Lagrangiana en problemas de optimización estática con restricciones, y viene

denotado por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )tu,tx,tgttu,tx,tft,tu,tx,tH 0 ⋅λ+⋅λ=λ ( )XXVII

Donde:

0λ es una constante no negativa a determinar, ( ) ( )( )tu,tx,tf es la función

intermedia, ( ) ( )( )tu,tx,tg es la ecuación de movimiento de la variable de

estado y ( )tλ es la variable de coestado. Todos estos elementos constitutivos

del Hamiltoniano aparecen en el problema XXVI.

20

Aquellas que pertenecen al conjunto de controles admisibles: ( ) .Utu ∈


479

El principio del máximo de Pontryagin, que a continuación enunciaremos,

transfiere el problema de encontrar una ( )tu que maximice [ ]uJ sujeto a las

restricciones dadas, problema XXVI, al problema de maximizar la función

Hamiltoniana con respecto a ( ) .Utu ∈ En términos formales:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]

( )

∈

∈∀λ

Utu:a.s

t,ttt,tu,tx,tHMaxXXVIII

10tu

Además, este principio nos permite determinar la función ( ).tλ

El Principio del Máximo para problemas con intervalo de tiempo fijo

Sea ( )tu* la trayectoria de control óptima, continua a trozos, que resuelve el

problema XXVI, y sea ( )tx* la trayectoria de estado óptima asociada

continua y diferenciable a trozos, definidas en [ ]10 t,t . Entonces, existe una

constante 0λ y una función ( )tλ continua y con derivadas de primer orden

continuas a trozos21

tal que para todo [ ]10 t,tt ∈ se tiene que

( )( ) ( )0,0t,0 ≠λλ y ( )tu* maximiza ( ) ( ) ( )( ),t,tu,tx,tH * λ es decir:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Utut,tu,tx,tHt,tu,tx,tH *** ∈∀λ≥λ ( )XXIX

Excepto en los puntos de discontinuidad22

de ( ),tu* se verifica que:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )tx

t,tu,tx,tH

dt

tdt

**'

∂

λ∂−=

λ=λ ( )XXX

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )tu,tx,tg

t

t,tu,tx,tH

dt

tdxtx **

**' =

λ∂

λ∂== ( )XXXI

Asimismo, se cumple que:

0o1 00 =λ=λ ( )XXXII

21

Como ( )tλ es continua para todo “t” en el intervalo finito cerrado [ ]10 t,t , entonces ( )tλ debe ser

acotada en dicho intervalo. 22

Las posibles discontinuidades de ( )t'λ y ( )tx ' ocurren en los puntos de discontinuidad de ( ).tu Es

decir, los posibles puntos de esquina de ( )tλ y ( )tx ocurren en los puntos de discontinuidad de ( ).tu

Aunque los valores de ( )tu en los puntos de discontinuidades no son de alguna significancia en la

aplicación del principio del máximo, supondremos que en un punto de discontinuidad [ ],t,t 10∈τ se

cumple que ( ) ( ).tulímut

−τ→=τ Por otro lado, en “ τ ”, la inecuación XXIX seguiría siendo válida, pero se

transformaría en ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .Utu,u,x,H,tulím,x,H **

t

* ∈∀τλτττ≥

τλττ

+τ→


480

Finalmente, a cada condición final en (XXVI) le corresponde una condición de transversalidad:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

λ

=λ⋅−≥≥λ

=λ

condiciónsintc

0txtxxtx0tb

0ta

1

CHC

111*

11*

1

1

4444 84444 76

( )XXXIII

Al sistema de ecuaciones conformado por (XXX) y (XXXI) se le suele

denominar “Sistema Hamiltoniano” o “Sistema Canónico”. Siendo la (XXX)

la ecuación de movimiento de “ ( )tλ ” y (XXXI) la ecuación de movimiento de

“ ( )tx ”. Es importante resaltar que el principio del máximo de Pontryagin da

condiciones necesarias de primer orden para que ( )tu* sea la trayectoria

óptima. Estas condiciones necesarias no garantizan la existencia de un control

óptimo ( )tu* ; éstas solamente son las condiciones implícitamente contenidas

en la optimalidad, asumiendo la existencia de un control óptimo ( )tu* .

Asimismo, se hace notar que ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tHt,tu,tx,tH * λ≥λ ( ) Utu ∈∀

es equivalente a ( )

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tHMaxtu

λ , y que este requerimiento tiene en cuenta a

la condición de primer orden ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ (que necesitará ser

apoyada por una apropiada condición de segundo orden). No obstante, como

veremos a continuación, no siempre la condición de primer orden nos será útil para

determinar el control óptimo ( )tu* en U, incluso si el Hamiltoniano es diferenciable.

En la figura 10 se muestran algunas posibles curvas del Hamiltoniano como

funciones de ( )tu en un específico punto del tiempo y para específicos valores de

( )tx y ( ).tλ Por ejemplo, si el Hamiltoniano es una función lineal creciente respecto

a ( )tu en [ ]10 u,uU = , entonces el máximo del Hamiltoniano (punto A) se dará en

1u , mientras que si el Hamiltoniano es una función lineal decreciente respecto a ( )tu

en [ ]10 u,uU = , entonces el máximo del Hamiltoniano (punto B) se dará en 0u .

Tanto 1u como 0u son soluciones de esquina. Se aprecia que en estos dos casos la

condición ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ no es aplicable porque en ninguna parte

aquella derivada es igual a cero. Si el Hamiltoniano es una línea recta horizontal en

[ ]10 u,uU = , entonces no hay un único control óptimo. En este caso, todos los

puntos de la recta CD maximizan el Hamiltoniano, y todos los puntos de

[ ]10 u,uU = son controles óptimos. Por otro lado, para la curva que pasa por el

punto “E” y que es diferenciable con resppecto a ( )tu , el máximo del Hamiltoniano

ocurre en ( ) ,utu = punto interior de U, en este caso, la ecuación

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ sirve para identificar el control óptimo en aquel

punto del tiempo. Pero si la curva relevante es la que pasa por el punto “G”, entonces

el control óptimo ( )tu* en U que maximiza ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es ( ) ,utu 1= una

solución de esquina de U. Por tanto, la condición ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ no

es aplicable, aún cuando el Hamiltoniano es diferenciable.


481

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ

( )tu u0 u1

A

B

C D

E

G

u 0 Figura 10

Del análisis anterior podemos concluir que, mientras la condición

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ puede servir a nuestro propósito cuando el

Hamiltoniano es diferenciable respecto a ( )tu y puede producir una solución

interior23

, el hecho que U pueda ser un conjunto cerrado, con posibles

soluciones de esquina, necesita la más amplia condición:

( ) ( ) ( ) ( )( ).t,tu,tx,tHMax

tuλ Esto es así ya que bajo el principio del máximo no

se requiere que necesariamente el Hamiltoniano sea diferenciable con

respecto a ( )tu .

También es importante resaltar que la condición ( )( ) ( )0,0t,0 ≠λλ indica que

( )ty0 λλ no pueden ser ambos a la vez igual a cero. Dado que en la

mayoría de problemas de corte económico se encuentra que ,00 >λ 0λ

suele normalizarse a la unidad, ,10 =λ lo cual transforma el Hamiltoniano

que aparece en ( )XXVII en:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )tu,tx,tgttu,tx,tft,tu,tx,tH ⋅λ+=λ ( )XXXIV

Sin embargo, es recomendable en todo problema verificar que 00 >λ ya

que la eventualidad de 00 =λ puede presentarse en ciertas situaciones, no

muy usuales, donde la solución del problema es verdaderamente

independiente de la función intermedia ( ) ( )( )tu,tx,tf , es decir, donde la

función ( ) ( )( )tu,tx,tf no importa en la solución del proceso. Esto es, por

supuesto, porque el coeficiente 0λ debe ser igual a cero, de manera que

elimine la función ( ) ( )( )tu,tx,tf del Hamiltoniano.

23

Si el Hamiltoniano es no lineal y diferenciable, y ( )tu no está restringida, esto es,

( ) ( ),,Utu +∞−∞=ℜ=∈ entonces la condición ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ producirá una solución

interior.


482

Lo dicho antreriormente justifica la aparición de la condición ( )XXXII en el

principio del máximo de Pontryagin.

A continuación presentaremos algunos ejemplos en los que se intentará

indicar cómo “básicamente” trabaja el principio del máximo de Pontriagyn y

cómo éste permite seleccionar uno o unos pocos candidatos a óptimo. Es

importante señalar que no es del todo evidente cómo aplicar el principio del

máximo de Pontryagin. En realidad, la forma en que éste es usado difiere

significativamente de un tipo de problema a otro, de modo que ningún

procedimiento estándar para encontrar la solución puede ser concebido.

Ejemplos:

1.- Resolver el siguiente problema:

( ) [ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )2

2tu1

libre:2x

00x

tutxtx:a.s

1dttxuJMax

'

2

0tu

≤≤−

=

+=

= ∫

El Hamiltoniano viene dado por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tutxttxt,tu,tx,tH 0 +⋅λ+⋅λ=λ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tutttxt,tu,tx,tH 0 ⋅λ+λ+λ⋅=λ ( )3

Supongamos ahora que ( ) ( )( )tu,tx ** resuelve el problema. De acuerdo al

principio del máximo debe existir una constante 0λ y una función

continua ( )tλ tal que:

( )( ) ( ) [ ]2,0t0,0t,0 ∈∀≠λλ ( )4

Además, para cada [ ]2,0t ∈ , ( )tu* es aquel valor de ( ) [ ]2,1tu −∈ que

maximiza:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tutttxt,tu,tx,tH 0** ⋅λ+λ+λ⋅=λ ( )5

La variable de coestado ( )tλ satisface, de acuerdo a ( )XXX , excepto en

los puntos de discontinuidad de ( )tu* , la ecuación:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )[ ] ( )tttx

t,tu,tx,tH

dt

td00

**

λ−λ−=λ+λ−=∂

λ∂−=

λ ( )6


483

Ya que ( )2x es libre, por ( )XXXIII se debe verificar que:

( ) 02 =λ ( )7

De ( )4 se obtiene, en particular para ,2t = que 0λ y ( )2λ no pueden ser

ambos a la vez iguales a cero. Ya que ( ) ,02 =λ entonces ,00 ≠λ y en

consecuencia por ( )XXXII , .10 =λ

Reemplazando 10 =λ en la ecuación diferencial lineal con coeficientes

constantes que aparece en (6) se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) 1ttt1t '' −=λ+λ⇒λ−−=λ ( )8

La ecuación característica de esta ecuación es:

( ) 1r01rrp −=⇒=+=

La solución complementaria será:

( ) tC Aet −=λ

Donde:

( ) t1 et −=λ

Por tanto el Wronsquiano será:

( ) ( ) 0tW0eetW tt ≠⇒>== −−

Es decir, ( ) t1 et −=λ son soluciones de ( )tcλ que son linealmente

independientes.

Mientras que:

( ) 11tW1 −=−=

Por tanto:

( )( )

tt

t

1edtedt

e

1dt

tW

tW−=−=

−= ∫∫∫ −

La solución particular será:

( ) ( ) ( )( )

[ ] 1eedttW

tWtt tt1

1p −=−=λ=λ −∫


484

Por tanto, la solución general de ( ) ( ) 1tt' −=λ+λ es:

( ) 1Aet t −=λ − ( )9


( ) 22 eA01Ae2 =⇒=−=λ −

Por tanto, la variable de coestado será:

( ) 1et t2 −=λ − ( )10

Derivando (10) respecto al tiempo, tenemos:

( ) t0et t2' ∀<−=λ − ( )11

Teniendo en cuenta (11) y (7), se aprecia que para todo [ )2,0t ∈ la

variable de coestado ( ) 01et t2 >−=λ − .

Se observa que en el Hamiltoniano dado por la ecuación (5) únicamente

el término ( ) ( )tut ⋅λ depende de ( ).tu Por tanto, ( )tu* es el valor de

( ) [ ]2,1tu −∈ que maximiza ( ) ( )tut ⋅λ . Cuando [ )2,0t ∈ se cumple que

( ) 01et t2 >−=λ − , de modo que en este caso el máximo de ( ) ( )tut ⋅λ se

alcanza para ( ) .2tu = Para 2t = se verifica que ( ) 02 =λ y por tanto

(5) no determina ( )2u* . El valor de ( )tu* en este único punto no es de

importancia. Sin embargo, nosotros previamente hemos decidido escoger

( )tu como una función continua en los extremos de su dominio (ver

página 253). Por tanto, debemos hacer ( ) ,2tu* = de modo que nuestra

propuesta para un control óptimo sea:

( ) [ ]2,0t2tu* ∈∀= ( )12

La trayectoria asociada ( )tx* debe satisfacer ( )XXXI :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2txtutxtu,tx,tgdt

tdx ******

+=+==

( )( ) 2tx

dt

tdx **

=− ( )13

De manera análoga a (8), la solución de (13) será:

( ) 2Betx t* −= ( )14


485

Reemplazando la condición inicial ( ) 00x* = en (14) se tiene que .2B =

Por tanto:

( ) ( )1e22e2tx tt* −=−= ( )15

Nosotros ahora hemos probado que si el problema tiene solución, el

control óptimo es dado por (12) y la trayectoria óptima asociada está dada

por (15). El correspondiente valor de la funcional objetivo es:

[ ] ( ) ( ) ( ) 78,83e2dt1e2dttxuJ 22

0

t2

0

** ≈−=−== ∫∫

Hemos ilustrado como el principio del máximo de Pontryagin trabaja en

un caso simple. Sin embargo, nuestro esfuerzo no era realmente necesario

para resolver el problema. De (2) vemos que ( ) 2tu* = produce el más

alto valor de ( )tx para cualquier [ ],2,0t ∈ y por tanto ( ) 2tu* = debe

maximizar [ ] ( )dttxuJ

2

0

** ∫= .

2.- Consumo vs inversión: Un país recibe un flujo constante de 1 unidad

monetaria como ayuda económica. Sea ( )tx el nivel de infraestructura en

el instante “t”, y sea ( )tu la parte de la ayuda económica que es asignada

a la inversión en infraestructura en el instante “t”. Sea ( )( )tu1U − la

utilidad que perciben los habitantes del país por aquella parte de la ayuda

económica que destinan al conumo, ( ).tu1 − Donde ( )( )tu1U − es una

función de clase dos con ( )( ) 0tu1U ' >− y ( )( ) 0tu1U '' <− en [ ).,0 ∞+

El periodo de planificación es [ ]T,0 y se asume que ( ) TxTx ≥ , es decir,

se asume que el país intenta alcanzar al menos el nivel Tx al final del

periodo de planificación. El problema de planificación es encontrar la

asignación de inversión que maximiza la utilidad total.

El problema a resolver es:

( ) [ ] ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) [ ]

( )17

1,0tu

xTx

x0x

tutx:a.s

16dttu1UuJMax

T

0

'

T

0tu

∈

≥

=

=

−= ∫

Se asumirá que:

Txxx0 0T0 +<<< ( )'17


486

En este caso se aprecia que, en cada instante “t” del periodo de

planificación, la variación del nivel de infraestructura respecto del tiempo

debe ser igual a la parte de la ayuda económica que es asignada a la

inversión en infraestructura. Es decir, ( ) ( ).tutx ' = Es precisamente

gracias a esta ecuación diferencial (ecuación de movimiento) que

podemos darnos cuenta que la variablede estado será ( )tx y que la

variable de control será ( ).tu Esto es así, ya que ( )tu puede afectar el

comportamiento dinámico de ( )tx a través de la ecuación de movimiento

de ( ).tx

El Hamiltoniano de este problema de optimización intertemporal será:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )tuttu1Ut,tu,tx,tH 0 ⋅λ+−⋅λ=λ ( )18

Asumiendo que ( ) ( )( )tu,tx ** resuelve el problema. De acuerdo al

principio del máximo, debe existir una constante 0λ y una función


( )( ) ( ) [ ]T,0t0,0t,0 ∈∀≠λλ ( )19

Donde, por (XXXII), .0o1 00 =λ=λ Además, para cada [ ]T,0t ∈ ,

( )tu* es aquel valor de ( ) [ ]1,0tu ∈ que maximiza:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )tuttu1Ut,tu,tx,tH 0* ⋅λ+−⋅λ=λ ( )20



( ) ( ) ( ) ( )( )( )

⇒=∂

λ∂−=

λ0

tx

t,tu,tx,tH

dt

td **

( ) ct =λ (siendo “c” una constante) ( )21

Por ( )XXXIII , la condición de transversalidad en Tt = será:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

4444 84444 76

CHC

T*

T* 0TxTxxTx0T =λ⋅−≥≥λ ( )22

Evaluando (21) en “T”, y teniendo en cuenta (22) se tiene que:

( ) 0cT ≥=λ ( )'22

Pero por la continuidad de ( )tλ tenemos que:

( ) 0ct ≥=λ ( )23


487

Las derivadas de primer y segundo orden del Hamiltoniano respecto a

( )tu serán:

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )ttu1Utu

t,tu,tx,tH '0

*

λ+−⋅λ−=∂

λ∂ ( )24

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )tu1Utu

t,tu,tx,tH ''02

*2

−⋅λ=∂

λ∂ ( )25

Por (XXXII) sabemos que ,00 ≥λ y por datos del problema se sabe que

( )( ) 0tu1U '' <− . Por tanto se tiene que:

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) 0tu1Utu

t,tu,tx,tH ''02

*2

≤−⋅λ=∂

λ∂ ( )26

Por (26) sabemos que el Hamiltoniano será cóncavo en ( )tu . A

continuación, en la figura 11, se muestran todos los casos posibles a tener

en cuenta en nuestro análisis.

( )tu

1

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ

( )tu

1

b) c)

a)

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ

B G

A

0

0

( )tu

( ) atu * =

( ) 0tu * = ( ) 1tu * =

C

D

E

F

Figura 11


488

En la figura 11a) se observa que el máximo se alcanza en el punto “A”

donde ( ) [ ]1,0tu* ∈ y donde ( ) ( ) ( )( )

( )0

tu

t,tu,tx,tH **

=∂

λ∂ de modo que:

( )( ) ( ) cttu1U *'0 =λ=−⋅λ ( )27

En la figura 11b) se aprecia que, para la curva BD y para la recta BD, el

máximo se alcanza en el punto “B” (solución de esquina). Donde

( ) ,0tu* = y se verifica que24

:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) 0c1U0tu

t,tu,tx,tH '0

0tu

**

*

<+⋅λ−⇒<∂

λ∂

=

( )28

Asimismo, en la figura 11b) se aprecia que todos los puntos de la recta

BC maximizan el Hamiltoniano. Donde se verifica que:

( ) ( ) ( )( )( )

0tu

t,tu,tx,tH **

=∂

λ∂ ( )29

En particular, evaluando (29) en ( ) ,0tu* = tenemos que25

:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) 0c1U0tu

t,tu,tx,tH '0

0tu

**

*

=+⋅λ−⇒=∂

λ∂

=

( )30

Por tanto, de (28) y (30) tenemos que:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) 0c1U0tu

t,tu,tx,tH '0

0tu

**

*

≤+⋅λ−⇒≤∂

λ∂

=

( )31

En la figura 11c) se aprecia que, para la curva FG y para la recta FG, el

máximo se alcanza en el punto “G” (solución de esquina). Donde

( ) ,1tu* = y se verifica que26

:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) 0c0U0tu

t,tu,tx,tH '0

1tu

**

*

>+⋅λ−⇒>∂

λ∂

=

( )32

24

En realidad, en la curva BD y en la recta BD la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la

derecha de ( ) ,0tu* = es negativa.

25 En realidad, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la derecha de

( ) ,0tu* = es nula. Asimismo, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la

izquierda de ( ) ,1tu * = es nula.

26 En realidad, en la curva FG y en la recta FG la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la

izquierda de ( ) ,0tu* = es positiva.


489

Asimismo, en la figura 11c) se aprecia que todos los puntos de la recta

EG maximizan el Hamiltoniano. Donde se verifica que:

( ) ( ) ( )( )( )

0tu

t,tu,tx,tH **

=∂

λ∂ ( )33

En particular, evaluando (33) en ( ) ,1tu* = tenemos que27

:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) 0c0U0tu

t,tu,tx,tH '0

1tu

**

*

=+⋅λ−⇒=∂

λ∂

=

( )34

Por tanto, de (32) y (34) tenemos que:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) 0c0U0tu

t,tu,tx,tH '0

1tu

**

*

≥+⋅λ−⇒≥∂

λ∂

=

( )35

De (27), (31) y (35) se puede extraer lo siguiente:

( )( )

( ) ( )( )( )

⋅λ≥⇒

−⋅λ=⇒∈

⋅λ≤⇒

=

0Uc1

tu1Uc1,0

1Uc0

tu

'0

*'0

'0

* ( )36

Si suponemos que ,00 =λ de (19) y de (23), vemos que:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) 0cttu

t,tu,tx,tH *

>=λ=∂

λ∂ ( )37

Entonces, por (36), el Hamiltoniano sería maximizado por ( ) 1tu* = para

todo [ ].T,0t ∈ En consecuencia, por la ecuación de movimiento de ( )tx

que aparece en (17), se tendría que:

( ) ( ) ( ) 1*' kttxdttdx1tx +=⇒=⇒= ( )38

Reemplazando la condición inicial en (38) tendríamos:

( ) ( ) 0*

01* xttxxk0x +=⇒== ( )39

27

En realidad, en la recta EG la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la izquierda de

( ) ,1tu * = es nula. Asimismo, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la

derecha de ( ) ,0tu* = es nula.


490

Por lo que, teniendo en cuenta ( )'17 y reemplazando la condición

terminal en (39), se tendría:

( ) T0* xxTTx >+= ( )40

Pero, por (22) y (23), la condición (40) implicaría:

( ) ( ) T* xTxpara0cT >==λ ( )41

No obstante, (41) contradice (19). Por tanto, se tiene que:

10 =λ ( )42

Reemplazando (23) y (42) en (20) se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tuctu1Ut,tu,tx,tH * ⋅+−=λ ( )43

Reemplazando (42) en (26) se tiene:

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) 0tu1Utu

t,tu,tx,tH ''

2

*2

<−=∂

λ∂ ( )44

Además, reemplazando (42) en (36) se tiene:

( )( )

( ) ( )( )( )

≥⇒

−=⇒∈

≤⇒

=

0Uc1

tu1Uc1,0

1Uc0

tu

'

*'

'

* ( )45

La condición (44) nos indica que el Hamiltoniano es estrictamente

cóncavo respecto a ( ) ,tu y tiene un único máximo en “ u ” que es

independiente de “t”. Es decir, ( ) utu* = para alguna elección de

[ ].1,0u ∈ En consecuencia, las líneas rectas que aparecen en las figuras

11b) y 11c) serán descartadas, y sólo nos quedará por analizar las curvas

que aparecen en las figuras 11a), 11b) y 11c).

Para el caso que se presenta en la figura 11b), curva BD, se aprecia que

( ) 0utu* == , pero esto es imposible ya que por la ecuación de

movimiento de ( )tx que aparece en (17), se tendría que:

( ) ( ) ( ) ( ) 0*

02*

2*' xtxxk0xktx0tx =⇒==⇒=⇒= ( )46

De modo que reemplazando Tt = en (46), y teniendo en cuenta (17), se

tendría:

( ) T0* xxTx ≥= ( )47

Lo cual contradice a ( )'17 .


491

De lo anterior, resulta que ( ) .0utu* >= Entonces, la posibilidad que

( ) 0ct ==λ es imposible por (45). Por tanto, de la (CHC) en (22) se tiene

que:

( ) ( ) T** xTxy0cT =>=λ ( )48

En consecuencia, al haber descartado la optimalidad de no asignar

ninguna ayuda económica al consumo ( )( ),0utu* == ahora nos

corresponde analizar la posibilidad que ( ) .1utu* ==

Para el caso que se presenta en la figura 11c), curva FG, se aprecia que

( ) 1utu* == , pero esto es imposible ya que por la ecuación de

movimiento de ( )tx que aparece en (17), y cuya solución está dada por

(39), se tendría que:

( ) ( ) 0*

0* xTTxxttx +=⇒+= ( )49

Igualando (48) y (49) resulta que:

( ) T0* xxTTx =+=

La cual es inconsistente con ( )'17 .

Por consiguiente, el único caso que se puede dar es el de la figura 11a)

donde ( ).1,0u ∈ Resolviendo la ecuación de movimiento ( )tx que

aparece en (17), se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) 03*

3*' xk0xktutxdtutdxutx ==⇒+=⇒=⇒=

( ) ( ) 0*

0* xTuTxxtutx +⋅=⇒+⋅= ( )50

Igualando (48) y (50) tenemos que:

( ) ( )T

xxutuxxTuTx

0T*T0

*−

==⇒=+⋅= ( )51


( ) 00T* xt

T

xxtx +

−= ( )52

Evaluando (23) en Tt = , tenemos:

( ) 0cT* ≥=λ ( )53


492

Pero por (48) y por la continuidad de ( )tλ tenemos que:

( ) 0ct* >=λ ( )54


( ) ( )( ) 0tu1Uct *'* >−==λ ( )55


( ) 0T

xx1Uct

0T'* >

−−==λ ( )56

La solución óptima28

al problema viene dada por ( ) ( )( ),tu,tx ** con la

variable de coestado asociada ( )t*λ .

El valor óptimo de la funcional objetivo dependerá de los parámetros

,Tyx,x T0 como se puede apreciar a continuación:

[ ] ( )( ) TT

xx1Udt

T

xx1Udttu1UuJ

0TT

0

0TT

0

**

−−=

−−=−= ∫∫

Derivando parcialmente la funcional objetivo óptima respecto a x0 y a xT,

respectivamente, se obtiene:

[ ] ( )0T

xx1U

x

uJ *0T'

0

*

λ=

−−=

∂

∂

[ ] ( )TT

xx1U

x

uJ *0T'

T

*

λ−=

−−−=

∂

∂

Se puede apreciar que las derivadas anteriores nos permiten dar

interpretaciones de precio a la variable de coestado. Por ejemplo, ( )T*λ−

mide, aproximadamente, el incremento en la utilidad total óptima al

incrementar el requerimiento terminal sobre el nivel de infraestructura en

una unidad. Asimismo, ( )0*λ mide, aproximadamente, el incremento en

la utilidad total óptima al incrementar el requerimiento inicial sobre el

nivel de infraestructura en una unidad. Posteriormente estudiaremos

resultados generales que dan interpretaciones de precio a las variables de

coestado.

28

Más adelante se demostrará, utilizando el teorema de suficiencia de Mangasarian, que la solución

obtenida es un óptimo global del problema.


493

3.- Resolver el siguiente problema:

( ) [ ] ( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) [ ]

( )58

1,0tu

0Tx

00x

tutx:a.s

57dttuuJMax

2'

T

0tu

∈

=

=

=

= ∫

En este caso, el Hamiltoniano viene dado por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tuttut,tu,tx,tH 20 ⋅λ+⋅λ=λ ( )59

Asumiendo que ( ) ( )( )tu,tx ** resuelve el problema. De acuerdo al

principio del máximo, debe existir una constante 0λ y una función


( )( ) ( ) [ ]T,0t0,0t,0 ∈∀≠λλ ( )60

Donde, por (XXXII), .0o1 00 =λ=λ Además, para cada [ ]T,0t ∈ ,

( )tu* es aquel valor de ( ) [ ]1,0tu ∈ que maximiza:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tuttut,tu,tx,tH 20

* ⋅λ+⋅λ=λ ( )61



( ) ( ) ( ) ( )( )( )

⇒=∂

λ∂−=

λ0

tx

t,tu,tx,tH

dt

td **

( ) 1kt =λ (siendo “k1” una constante) ( )62

Por ( )XXXIII , no hay ninguna condición de transversalidad en Tt = para

( )tλ .

Suponiendo que ,10 =λ y teniendo en cuenta (62), el Hamiltoniano

sería:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tuktut,tu,tx,tH 21

* ⋅+=λ ( )63

De la condición de primer orden se tiene que:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )1

**1

*

k2

1tu0tuk21

tu

t,tu,tx,tH−=⇒=+=

∂

λ∂ ( )64


494

Reemplazando (64) en la ecuación de movimiento que aparece en (58) se

tiene que:

( ) ( ) ( ) 221

*

2

1

2

1

' ktk4

1txdt

k2

1tdx

k2

1tx +=⇒

−=⇒

−= ( )65

Reemplazando las condiciones iniciales en (65) se tiene que:

( ) ( ) tk4

1tx0k0x

21

*2

* =⇒== ( )66

Reemplazando las condiciones terminales en (66) se tiene que:

( ) 0Tk4

1Tx

21

* ≠=

Pero esta ecuación no puede anularse en el estado terminal. En

consecuencia ,00 =λ lo que por (60) implica que:

( ) 0kt 1* ≠=λ ( )67

En este caso el Hamiltoniano sería:

( ) ( ) ( )( ) ( )tukt,tu,tx,tH 21 ⋅=λ ( )68

La condición de primer orden será:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) 0tu0tuk2tu

t,tu,tx,tH **1

*

=⇒==∂

λ∂ ( )69

Reemplazando (69) en la ecuación de movimiento que aparece en (58) se

tiene que:

( ) ( ) 0tx0tx *' =⇒= ( )70

Reemplazando las condiciones iniciales y las condiciones finales en (70)

se tiene que:

( ) ( ) 0Tx0x ** == ( )71

Es decir, se verifican las condiciones de borde.


495

Para asegurarnos que (69) maximiza antes que minimiza el Hamiltoniano

vamos a analizar el signo de la derivada de segundo orden del

Hamiltoniano respecto a ( ).tu Para que (69) maximice al Hamiltoniano

será necesario que éste sea estrictamente cóncavo respecto a ( ) ,tu lo cual

a su vez requiere que:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) 0kt0k0k2tu

t,tu,tx,tH1

*112

*2

<=λ⇒<⇒<=∂

λ∂ ( )72

Por tanto, la solución óptima29

al problema viene dada por ( ) ( )( ),tu,tx **

con la variable de coestado asociada ( )t*λ .

El valor óptimo de la funcional objetivo será:

[ ] 0dt0uJ

T

0

* == ∫

3. Condiciones suficientes de optimalidad global para problemas con tiempo fijo: Teoremas de Mangasarian (1966) y Arrow (1968)

El principio del Máximo de Pontryagin proporciona un conjunto de

condiciones necesarias para un control óptimo, que por lo general no son

suficientes. No obstante, cuando se satisfacen ciertas condiciones de

concavidad/convexidad, entonces las condiciones estipuladas por el principio

del máximo de Pontryagin son suficientes para la maximización/minimización

global. En esta sección sólo vamos a presentar dos teoremas de suficiencia

que fueron desarrollados por O. Mangasarian y por K. Arrow. Las

condiciones de Arrow son más generales, pero es más difícil comprobar su

cumplimiento.

Teorema de Mangasarian

Sea ( ) ( )( )tx,tu ** un par admisible30 del problema (XXVI). Supóngase que

Ψ es un conjunto convexo y que ( ) ( )( )( )tu

tu,tx,tg

∂

∂ existe y es continua. Si

existe una función ( )tλ continua y con derivadas de primer orden continuas a

trozos tal que que las siguientes condiciones se satisfacen con ,10 =λ

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )tx

t,tu,tx,tH

dt

tdt

**'

∂

λ∂−=

λ=λ ( )XXXV

29

Como se verá a continuación, una condición suficiente que garantiza la optimalidad global de ( )tu * es el

teorema de suficiencia de Mangasarian. 30

Al par que satisface las condiciones (**), (***) y (****) del problema (XXVI) se le suele denominar par admisible. Un par admisible que maximiza la funcional objetivo (*) del problema (XXVI), y que por tanto

resuelve dicho problema, es llamado par óptimo.


496

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )[ ] ( ) tUtu0tututu

t,tu,tx,tH*

**

∀∧∈∀≥−⋅

∂

λ∂ ( )XXXVI

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

λ

=λ⋅−>≥λ

=λ

condiciónsintc

0txtxxtx0tb

0ta

1

CHC

111*

11*

1

1

4444 84444 76

( )XXXVII

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es cóncavo (estrictamente cóncavo) en ( ) ( )( ) ttu,tx ∀ (XXXVIII)

Entonces, ( ) ( )( )tu,tx ** es un máximo global (máximo global estricto) del

problema (XXVI). Es decir, ( ) ( )( )tu,tx ** es un par óptimo.

Una formulación equivalente del teorema de Mangasarian sería: Supóngase

que ( ) ( )( )tu,tx ** es un par admisible que satisface todas las condiciones del

principio del máximo de Pontryagin [(XXIX) → (XXXIII)] con 10 =λ y

siendo U un conjunto convexo. Si el Hamiltoniano ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es

cóncavo (estrictamente cóncavo) en ( ) ( )( ),tu,tx entonces ( ) ( )( )tu,tx ** es un

máximo global (estricto) del problema (XXVI), y por tanto, un par óptimo.

Note que si ( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg son cóncavas con respecto a

( ) ( )( )tu,tx , entonces el Hamiltoniano es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx siempre que

( ) .0t ≥λ Asimismo, si ( ) ( )( )tu,tx,tf es cóncava y ( ) ( )( )tu,tx,tg es lineal en

( ) ( )( )tu,tx , entonces el Hamiltoniano también es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx y

( )tλ no necesita restricción de signo.

Teorema de Arrow

Dado que en un número de interesantes problemas de control en economía el

Hamiltoniano no es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx , es indispensable ver qué

condiciones, menos restrictivas que la concavidad en ( ) ( )( )tu,tx , serán

suficientes para garantizar la optimalidad global en dichos problemas. Una

condición de suficiencia, más débil que la concavidad del Hamiltoniano

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ en ( ) ( )( )tu,tx , viene dada en el teorema de Arrow.

Sea ( ) ( )( )tu,tx ** un par admisible del problema (XXVI). Si existe una

función ( )tλ continua y con derivadas de primer orden continuas a trozos tal

que las siguientes condiciones se satisfacen con ,10 =λ

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )tx

t,tu,tx,tH

dt

tdt

**'

∂

λ∂−=

λ=λ ( )XXXIX

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) tUtut,tu,tx,tHt,tu,tx,tH *** ∀∧∈∀λ≥λ ( )XL


497

( ) ( ) ( )( ) ( ) condiciónsint;xtxsi00t;0t 111*

11 λ>=≥λ=λ ( )XLI

Si ( ) ( )( )t,tx,tu* λ es el valor de la variable de control que maximiza

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ para valores dados de ( ) ( )( ).t,tx,t λ El valor del

Hamiltoniano cuando es evaluado en ( ) ( )( )t,tx,tu* λ , denominado

Hamiltoniano maximizado, viene dado por:

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )t,tx,tu,tx,tgtt,tx,tu,tx,tf

t,tu,tx,tHmaxt,tx,tH

**

Utu

λ⋅λ+λ=

λ=λ∈

( )⊗

Si ( ) ( )( )∃λ t,tx,tH y es cóncavo en ( ) [ ]10 t,tttx ∈∀ , para un ( )tλ dado ( )XLII

Entonces, ( ) ( )( )tu,tx ** es un máximo global del problema (XXVI).

Además, si ( ) ( )( )t,tx,tH λ es estrictamente cóncavo en ( ) [ ]10 t,tttx ∈∀ , para un

( )tλ dado, entonces ( )tx* es único (pero ( )tu* no es necesariamente único).

Una formulación equivalente del teorema de Arrow sería: Supóngase que

( ) ( )( )tu,tx ** es un par admisible que satisface todas las condiciones del

principio del máximo de Pontryagin [(XXIX) → (XXXIII)] con 10 =λ . Si

el Hamiltoniano maximizado, definido en ( )⊗ , es cóncavo en en

( ) [ ]10 t,tttx ∈∀ , para un ( )tλ dado, entonces ( ) ( )( )tu,tx ** es un máximo

global del problema (XXV).

Es importante resaltar que el teorema de Arrow puede considerarse como una

generalización del teorema de Mangasarian (o el último como un caso

especial del primero), ya que la concavidad de ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ con respecto

a ( ) ( )( )tu,tx implica la concavidad de ( ) ( )( )t,tx,tH λ con respecto a ( )tx31

.

Ejemplos:

1.- En la sección 2, ejemplo 1, resolvimos el siguiente problema:

( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) 2tu1

libre:2x

00x

tutxtx:a.s

dttxuJMax

'

2

0tu

≤≤−

=

+=

= ∫

( )73

31

Si ( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg son cóncavas en ( ) ( )( )tu,tx y ( ) ,0t ≥λ como indica el teorema de

Mangasarian, entonces ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ también es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx , y de esto se desprende que

( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx , según lo estipulado por Arrow. Pero ( ) ( )( )t,tx,tH λ puede ser cóncava

en ( )tx incluso si ( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg no son cóncavas en ( ) ( )( )tu,tx , lo cual hace que la

condición de Arrow sea un requerimiento más débil.


498

Ahora, vamos a aplicar a este problema los teoremas de suficiencia de

Mangasarian y de Arrow.

En este caso, ya que ( ) ( )( ) ( ) ( )tu0txtu,tx,tf += es una función lineal en

( ) ( )( )tu,tx , también será cóncava en ( ) ( )( )tu,tx . Además, ya que la

función ( ) ( )( ) ( ) ( )tutxtu,tx,tg += es lineal en ( ) ( )( )tu,tx , también es

cóncava en ( ) ( )( )tu,tx . Para ambos casos, resulta irrelevante la restricción

( ) .0t ≥λ Entonces, el Hamiltoniano también es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx .

Por tanto, el teorema de Mangasarian se satisface, y

( ) ( )( ) ( )( )2,1e2tu,tx t** −= es el par óptimo (la solución óptima global)

del problema.

Una vez que se verifica el teorema de Mangasarian, ya no es necesario

verificar el teorema de Arrow. Pero, si deseamos aplicar el teorema de

Arrow, podemos proceder a verificar si el Hamiltoniano maximizado

( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx . En el presente ejemplo, el

Hamiltoniano es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )tutxttxt,tu,tx,tH +λ+=λ ( )74

Cuando el control óptimo ( ) 2tu* = es sustituido en (74) para eliminar

( )tu , el Hamiltoniano maximizado será:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )t2txt12txttxt,tx,tH λ+λ+=+λ+=λ ( )75

Se aprecia que ( ) ( )( )t,tx,tH λ es lineal en ( )tx para ( )tλ dado, por lo que

se satisface el teorema de Arrow.

2.- En la sección 2, ejemplo 2 (consumo vs inversión), resolvimos el siguiente

problema:

( ) [ ] ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) [ ]

( )77

1,0tu

xTx

x0x

tutx:a.s

76dttu1UuJMax

T

0

'

T

0tu

∈

≥

=

=

−= ∫

Con:

Txxx0 0T0 +<<< ( )78




499

En este caso se aprecia que ni ( ) ( )( ) ( )( )tu1Utu,tx,tf −= ni

( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tg = dependen de ( ),tx por lo que la condición de

concavidad se refiere sólo a ( )tu . Derivando ( ) ( )( )tu,tx,tf se obtiene:

( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

( )( ) 0tu1Utu

tu,tx,tfytu1U

tu

tu,tx,tf''

2

2' <−=

∂

∂−=

∂

∂ ( )79

Por tanto, ( ) ( )( )tu,tx,tf es una función cóncava en ( )tu . En cuanto a

( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tg = , ya que es lineal en ( )tu , es automáticamente

cóncava en ( )tu . Además, el hecho que ( ) ( )( )tu,tx,tg sea lineal hace que

la condición ( ) 0t ≥λ sea irrelevante. En consecuencia, se satisface el

teorema de Mangasarian, y el control óptimo que maximiza globalmente

a la funcional objetivo [ ]uJ es ( )T

xxutu

0T* −== .

Para aplicar el teorema de Arrow, procederemos a verificar si el

Hamiltoniano maximizado ( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx . En el

presente ejemplo, el Hamiltoniano es:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )tuttu1Ut,tu,tx,tH λ+−=λ ( )80

Cuando el control óptimo ( )T

xxutu

0T*−

== es sustituido en (80) para

eliminar ( )tu , el Hamiltoniano maximizado será:

( ) ( )( ) ( ) ( )tuu1Ut,tx,tH λ+−=λ ( )81

Se aprecia que ( ) ( )( )t,tx,tH λ contiene únicamente a ( )tλ , y no depende de

( )tx . Por tanto, ( ) ( )( )t,tx,tH λ es lineal y de ahí cóncavo en ( )tx para un

( )tλ dado, y se satisface el teorema de Arrow.

3.- En la sección 2, ejemplo 3, resolvimos el siguiente problema:

( ) [ ] ( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) [ ]

( )83

1,0tu

0Tx

00x

tutx:a.s

82dttuuJMax

2'

T

0tu

∈

=

=

=

= ∫




500

En este caso se aprecia que ni ( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tf = ni ( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tg 2=

dependen de ( ),tx por lo que la condición de concavidad se refiere sólo a

( )tu . Se observa que ( ) ( )( )tu,tx,tf es lineal en ( )tu , y por tanto cóncava

en ( )tu . Derivando ( ) ( )( )tu,tx,tg se obtiene:

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )

02tu

tu,tx,tfytu2

tu

tu,tx,tg

2

2

>=∂

∂=

∂

∂ ( )84

Por lo que la función ( ) ( )( )tu,tx,tg es estrictamente convexa en ( )tu . No

obstante, ya que de (62) se tiene que ( ) 1kt =λ , para que el Hamiltoniano

sea cóncavo en ( )tu es necesario que ( ) ,0kt 1 <=λ de modo que

( ) ( ) ( )( )tu,tx,tgtλ sea una función cóncava en ( )tu . Gracias a (72)

tenemos que ( ) ,0kt 1* <=λ por lo que esto garantiza que ( ) 0kt 1 <=λ y

que el Hamiltoniano sea cóncavo en ( )tu . En consecuencia, se satisface

el teorema de Mangasarian, y el control óptimo que maximiza

globalmente a la funcional objetivo [ ]uJ es ( ) .0tu* =

Para aplicar el teorema de Arrow, procederemos a verificar si el

Hamiltoniano maximizado ( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx . En el

presente ejemplo, el Hamiltoniano es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tuttut,tu,tx,tH 2λ+=λ ( )85

Cuando el control óptimo ( ) 0tu* = es sustituido en (85) para eliminar

( )tu , el Hamiltoniano maximizado será:

( ) ( )( ) 0t,tx,tH =λ ( )86

Se aprecia que ( ) ( )( )t,tx,tH λ es nulo, y no depende de ( )tx . Por tanto,

( ) ( )( )t,tx,tH λ es lineal y de ahí cóncavo en ( )tx para un ( )tλ dado, y se

satisface el teorema de Arrow.

4. Problemas con tiempo final variable

En los problemas de control óptimo que hemos estudiado hasta aquí el

intervalo de tiempo había sido fijado. En algunos problemas de control, que

surgen en economía, el instante final “ 1t ” no está fijado, sino que es una

variable que es determinada por el problema de optimización, junto con ( )tu ,

[ ].t,tt 10∈ Es decir, la única diferencia respecto del problema con

restricciones terminales estándar, problema (XXVI), es que “ 1t ” ahora puede

escogerse óptimamente. El problema de tiempo final variable se puede

formular como sigue:


501

( )

( ) [ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

φ

=

≥

θ=

γ=

βℜ=∈

α=

∆

∫

cybendado:x

libre:t

dados:t,x

xtxc

xtxb

libre:txa

:finalessCondicione

xtx:inicialessCondicione

tu,tx,tgtx:estadodeEcuación

Utu:a.s

dttu,tx,tfuJmax

1

1

00

11

11

1

00

'

t

tt,tu

1

0

1

El problema ( )∆ consiste en maximizar la integral en (α), sobre todos los

controles admisibles que, sobre el intervalo de tiempo [ ]10 t,t , llevan al

sistema desde ( ) 00 xtx = hasta el punto que satisface las condiciones finales

(φ). Note que en este caso, las variables de elección son “ 1t ” y ( )tu , y que

[ ].t,tt 10∈ En contraste a la situación estudiada en la sección 2, el tiempo

“ 1t ” no es fijado a priori ya que a los diferentes controles admisibles se les

permiten estar definidos en diferentes intervalos de tiempo.

5. El principio del máximo de Pontryagin para problemas con tiempo final variable

Sea ( )tu* la trayectoria de control, continua a trozos definidas en [ ]10 t,t

que resuelve el problema (XXVI) con “ 1t ” libre ( )[ ]∞∈ ,tt 01 y sea ( )tx* la

trayectoria de estado óptima asociada. Entonces todas las condiciones del

principio del máximo de Pontryagin [(XXIX) → (XXXIII)] se satisfacen en

[ ]*10 t,t y, además,

( ) ( ) ( )( ) 0t,tu,tx,tH *1

*1

**1

**1 =λ ( )XLIII

Una forma natural de resolver un problema con tiempo final libre es, para

cualquier 01 tt > , resolver primero el problema correspondiente con “ 1t ”

fijo. Denotar la solución a este problema como ( ) ( )( )tu,tx11 tt , con la

variable de coestado asociada ( ).t1tλ Entonces, la solución al problema con

tiempo final libre se obtiene considerando a “ 1t ” como un parámetro

desconocido. La condición ( )XLIII nos dice que podremos determinar “ 1t ” a

través de la condición:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0t,tu,tx,tHtF 1t1t1t11 111=λ≡ ( )XLIV


502

ota 1: Es importante resaltar que ( ) 0tF *1 = es una condición necesaria para

que “ *1t ” sea el tiempo final óptimo. Asimismo, se hace notar que el único

requerimiento del principio del máximo de Pontryagin, en problemas de

tiempo final variable, sobre el intervalo de definición de las variables

admisibles [ ]10 t,t es que 01 tt > . Supóngase que 21 T,T son números fijos,

,TTt 210 <≤ y supóngase que requerimos que [ ].T,Tt 211 ∈ Entonces, el

principio del máximo de Pontryagin para problemas de tiempo final variable

aún será válido siempre que ( ).T,Tt 21*1 ∈ Si ,Tt 1

*1 = entonces la igualdad en

( )XLIV será reemplazada por:

( ) 0tF *1 ≤ ( )XLV

Si ,Tt 2*1 = entonces la igualdad en ( )XLIV será reemplazada por:

( ) 0tF *1 ≥ ( )XLVI

Si ( )tu* es únicamente medible, ( ) ( ) ( )( )*1

*1

*1

**1 t,tu,tx,tH λ en ( )XLIII debe ser

reemplazado por ( )

( ) ( ) ( )( ),t,tu,tx,tHsup*1

*1

*1

**1

Utu

λ∈

que es finito32

.

Si 01 tT = y ,tt 0*1 = el principio del máximo de Pontryagin para problemas

de tiempo final variable y la condición en esta nota no tienen ningún sentido.

Las siguientes condiciones son necesarias: Existe un número

,0λ ,0o1 00 =λ=λ y un vector ( )*1tλ con ( )( ) ( )0,0t, *

10 ≠λλ tal que ( )*1tλ

satisface ( )XXXIII y ( )

( ) ( ) ( )( ) 0t,tu,tx,tHsup *1

*1

*1

**1

Utu

≤λ∈

.

6. Condiciones suficientes para problemas con tiempo final libre

Para problemas de tiempo final variable es difícil encontrar condiciones

suficientes de algún valor práctico, debido a una inherente carencia de

propiedades de convexidad en tales problemas. No obstante, las siguientes

condiciones, formuladas por Seierstad (1984), parecen algo promisorias.

Considerar el problema (XXVI) con [ ],T,Tt 211 ∈ para .TTt 210 <≤

Supóngase que para cada [ ]21 T,TT ∈ existe un par admisible ( ) ( )( )tu,tx TT

definido en [ ]T,t0 , con la variable de coestado asociada ( )tTλ que satisface

todas las condiciones en el teorema de suficiencia de Arrow de la sección 3.

Asimismo, supongamos que ( ) .TtUUtu 'T ∀∧∀⊆∈ Se supone también

que ( )Tx T es continua en “T” y ( ) [ ] 21T T,TT:T ∈λ es acotado. Finalmente,

se asume que la función:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )10T,Tu,Tx,THTF 0TTT =λ=λ= ( )XLVII

32

En el apéndice podrá encontrar la definición del supremo de una función.


503

Tiene la propiedad que existe un [ ]21* T,TT ∈ tal que:

( )( )

>≥≤

<≤≥*

2*

*1

*

TTsiTTpara0TF

TTsiTTpara0TF ( )XLVIII

Entonces, el par ( ) ( )( )tu,tx ** TT definido en [ ]*

0 T,t resuelve el problema

(XXVI) con [ ].T,Tt 211 ∈ El par es único si ( )XLVIII es válida también

cuando todas las desigualdades en ( )XLVIII son estrictas y ( ) ( )( )t,tx,tH *Tλ

es estrictamente cóncava en ( )tx para todo [ ] .T,tt *0∈ Cuando 01 tT = es

únicamente necesario contrastar las condiciones del teorema para .TT 1>

Es importante señalar que si se requiere que [ ) 1011 Tt,,Tt ≤∞∈ y si la terna

( ) ( )( )tu,tx,T *T

*T

*** satisface las condiciones suficientes para problemas con

tiempo final libre de Seierstad para todos los intervalos [ ]21 T,T que contienen

T*, entonces la terna es óptima.

Ejemplos:

1.- Extracción óptima de recursos naturales: Supóngase que en el instante

0t = existe una cantidad fija 0x > de algún recurso (digamos petróleo

en cierto yacimiento de petróleo) que es extraíble. Sea la tasa de

extracción:

( ) 0tu ≥ ( )87

Si “T” es el instante en el que la extracción finaliza, entonces:

( ) ( ) 0dttuxxdttu

T

0

T

0

≥−⇒≤ ∫∫ ( )88

Si definimos ( )tx como el stock del recurso que resta por extraer en el

instante “t”, [ ],T,0t ∈ se tiene que:

( ) ( )∫ ττ−=t

0

duxtx ( )89

Derivando (89) respecto al tiempo se tiene33

:

( ) ( )tutx ' −= ( )90

33

Para derivar esta expresión se ha utilizado una de las reglas de Leibniz, que se presentan en el apéndice.


504

Reemplazando Tt = en (89) y teniendo en cuenta (88), se tiene:

( ) ( ) 0duxTx

T

0

≥ττ−= ∫ ( )91

Además, si reemplazamos 0t = en (89) se tiene que:

( ) ( ) 0xdux0x

0

0

>=ττ−= ∫ ( )92

Se asume que el precio del mercado mundial del recurso en el instante “t”

es ( ),tp de modo que los ingresos de las ventas por unidad de tiempo en

el instante “t” son ( ) ( ) ( ).tutptI ⋅= Asimismo, se asume que los costos por

unidad de tiempo son estrictamente convexos en “ ( )tu ”, con ,0u

C

2

2

>∂

∂ y

vienen dados por ( )( ).tu,tCC =

Por tanto, la tasa instantánea de beneficios en el instante “t” será:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )tu,tCtutptu,t −⋅=π ( )93

El beneficio total descontado sobre el intervalo [ ],T,0 cuando la tasa de

descuento es “r”, es por tanto:

( ) ( ) ( )( )[ ] dtetu,tCtutp

T

0

rt∫ −−⋅ ( )94

El problema a resolver será: encontrar el instante “T” y la tasa de

extracción ( )tu que maximicen (94) sujeta a las restricciones (87), (90),

(91) y (92). Es decir, en términos formales tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )( )( ) 0tu

0Tx

0x0x

tutx:a.s

dtetu,tCtutpmax

'

T

0

rt

T,tu

≥

≥

>=

−=

−⋅∫ −

( )95

En este caso, la variables de estado y de control son ( )tx y ( )tu

respectivamente. Por tanto, el Hamiltoniano será:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )tutetu,tCtutpt,tu,tx,tH rt0 ⋅λ−−⋅λ=λ − ( )96


505

Supongamos que ( ) ( )tu,tx ** , ambos definidos sobre el intervalo

[ ] ,T,0 * resuelven nuestro problema. Entonces existe una variable de

coestado ( )tλ tal que para todo [ ],T,0t *∈

( )( ) ( )0,0t,0 ≠λλ ( )97

( )tu* maximiza ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH ≥∀λ ( )98

Salvo en los puntos de discontinuidad de ( )tu* , se cumple que:

( )( ) ( ) ( )( )

( )0

tx

t,tu,tx,tHt' =

∂

λ∂−=λ ( )99

Además, ,0o1 00 =λ=λ y

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

4444 84444 76

CHC

****** 0T0Tx0Tx0T =λ⋅−≥≥λ ( )100

Finalmente, de ( )XLIII tenemos:

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )***rT******0 TuTeTu,TCTuTp

*

λ=−⋅λ − ( )10134

De (99) vemos que ( ) λ=λ t para alguna constante λ , y por ( )100 ,

( ) ( )( )

44 844 76

CHC

**** 0Tx0Tx0 =λ⋅≥≥λ ( )102

Si suponemos que ,00 =λ de ( )97 resulta que ( ) 0t ≠λ=λ por lo que de

( )102 tenemos:

0>λ y ( ) 0Tx ** = ( )103

Entonces, reemplazando ( ) 0t >λ=λ y 00 =λ en ( )96 tenemos que:

( ) ( ) ( )( ) ( )tut,tu,tx,tH ⋅λ−=λ ( )104

De (98), se deduce que ( ) ,0tu* = y por la ecuación de movimiento de

( ),tx que aparece en (95), se tiene que:

( ) ( ) ktx0tx *' =⇒= ( )105

34

Si ,0T* = las condiciones deben ser modificadas de acuerdo a la nota 1 de la sección 5.


506

Reemplazando 0t = en (105), y teniendo en cuenta la condición inicial

dada en (95) se tiene que:

( ) 0xk0x* >== ( )106

Pero si reemplazamos *Tt = en (105), y teniendo en cuenta (106) y la

condición final dada en (95) se tiene que:

( ) 0xkTx ** >== ( )107

Pero (107) contradice (103). Por tanto, ,10 =λ y el Hamiltoniano resulta:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )tutetu,tCtutpt,tu,tx,tH rt ⋅λ−−⋅=λ − ( )108

Gracias a (99) y a (102) sabemos que ( ) ,0t ≥λ=λ donde λ es una

constante. Reemplazando λ en (108) tenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )tuetu,tCtutpt,tu,tx,tH rt ⋅λ−−⋅=λ − ( )109

Ya que ( )( )tu,tC es estrictamente convexa en ( )tu y los otros términos

de (109) son lineales en ( )tu , ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es cóncavo en ( )tu . De

acuerdo a (98), vemos que ( )tu* debe maximizar ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ

sujeto a que ( ) .0tu ≥ Por tanto, de acuerdo a las condiciones de Kuhn-

Tucker, si ( ) ,0tu* = se tendría que:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )

( )0e

tu

tu,tCtp

tu

t,tu,tx,tH rt*

0tu

*

*

≤λ−

∂

∂−=

∂

λ∂ −

=

Mientras que si ( ) ,0tu* > entonces:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )

( )0e

tu

tu,tCtp

tu

t,tu,tx,tH rt*

0tu

*

*

=λ−

∂

∂−=

∂

λ∂ −

>

En consecuencia, ( )98 implica que:

( )( )( )

( )( )( )0tusi00e

tu

tu,tCtp *rt

*

>=≤λ−

∂

∂− − ( )110

Ya que ( )( )( )

( )rt

*

etu

tu,tCtp −

∂

∂− es cóncava en ( )tu , entonces ( )110 es

también una condición suficiente que satisface ( )98 .


507

Para cualquier instante “t” en el que ( ) 0tu* > , ( )110 implica que:

( )( )( )

( )0e

tu

tu,tCtp rt

*

≥λ=∂

∂− ( )111

El lado izquierdo de la ecuación ( )111 es el beneficio marginal

( )( ) ( ).tutu,t ∂π∂ Por tanto, ( )111 nos dice que en el óptimo el beneficio

marginal debe crecer exponencialmente con una tasa igual al factor de

descuento “r”.

7. Horizonte infinito

8. El principio del máximo y el cálculo de variaciones

9. Hamiltoniano en tiempo corriente VI.3 Programación Dinámica


508

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Capítulo VI - danielmorochoruiz

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