Capítulo VII Análisis de esfuerzos en uniones de...

61

Capítulo VII

Análisis de esfuerzos en uniones de tapas

Una vez que se comprendió la teoría de recipientes, ahora se comprobará, mediante

tres métodos diferentes que los valores son similares. Los métodos son los siguientes:

1. Por Teoría de Flexión y Membranal

2. Por las instrucciones dadas en el manual ASME para Pressure Vessels división I y II.

3. Por el software Algor.

En este capítulo se comprenderá muy fácilmente como es la discontinuidad y la teoría de

flexión, así como los diferentes usos que se tienen para las diferentes tipos de tapas. A

continuación se resolverá un recipiente cilíndrico con presión interna y tapas planas, y

posteriormente, un recipiente cilíndrico sometido a presión interna con tapas semiesféricas.

Los parámetros a tomar en cuenta son:

Diámetro del contenedor: 1 m

Longitud del recipiente: 1.5 m

Presión interna: 1 bar

Espesor (para tapa y cilindro) .00635 m

Tomando en cuenta el espesor como si no se conociera, se busca en:

( )( )PES

RPt

*-*

*=

6.0 y resulta que podemos utilizar el menor espesor, que es .00635 m.

7.1 Recipiente cilíndrico con tapas planas mediante teoría de flexión.

62

Ecuaciones del recipiente

D

Qo

D

Mo

tE

RPWo

*2*221

32

2

bbu

-+˜¯

ˆÁË

Ê -*

*= (7.1)

2*2*0

bbq

D

Qo

D

Moo +-= (7.2)

Ya que se han obtenido las fórmulas para la carcaza, se obtienen las fórmulas para la tapa.

Mediante superposición se obtiene:

Para el caso debido a la fuerza Qo se obtiene:

˜˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁ

Ë

Ê-

=2

*1

tQo

RE

Wou

(7.3)

qo = 0 (7.4)

Wo= 0 (7.5)

( )qu

oP R

D= -

+

* 3

28 1Donde ( )D

E t2

32

212 1=

-

*

u

Wo=0 (7.6)

( )qu

oMo R

D=

+

*

2 1(7.7)

Una vez que se obtuvieron las fórmulas tanto para la carcaza como para la tapa, se igualan las

fórmulas y se obtiene Wo y qo.

Wo(carcaza)=Wo(tapa)

Figura 7.1

63

D

Qo

D

Mo

tE

RP

*2*221

32

2

bbu

-+˜¯

ˆÁË

Ê -*

*=

˜˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁ

Ë

Ê-

2

*1

t

QoR

E

u

(7.8)

Y qo(carcaza)=qo(tapa)

( )2*2* bb D

Qo

D

Mo+- = ( )-

+

P R

D

* 3

28 1 u+ ( )

Mo R

D

*

2 1+ u(7.9)

Ya teniendo éstas dos ecuaciones se resuelve mediante matrices para obtener los siguientes

resultados:

Mo=1633.51N*m/m

Qo=37962.2N/m

De estas ecuaciones se van a obtener los esfuerzos principales, así como el espesor

mínimo necesario.

En la carcaza:

MPat

Mo1.243

621 ==s

MPat

M92.72

62

22 ==s donde M Mo2 = u *

q Mo=0 para x=0 kPaRD

QotE866

***2

**3

==b

t

P MPat

RPt 88.7

*==s

64

MPat

RPl 94.3

*2

*==s

Se suman los esfuerzos por teoría membranal y los esfuerzos por teoría

de flexión y da como resultado:

MPat

RP

t

MoTOTALt 94.250

**62

=+=-

us

MPat

RP

t

MoTOTALl 86.76

*2

**62

=+=-s

7.2 Recipiente cilíndrico con tapas planas mediante ASME

Al igual que en la teoría de flexión, se van a obtener las ecuaciones para el

desplazamiento radial y el desplazamiento angular. A continuación se presenta las ecuaciones

para una de las tapas planas.

1. Tapa

( ) ( ) ooB MRtRE

FQ

RtE

Fw

233

/*/**3

*2+-= (7.10)

( ) ooB MRtRE

FQ

RtRE

F32

32

3

/**

*2

)/(**-=q (7.11)

Donde F3 es una constante geométrica obtenida en el manual ASME, sección VII, división 2,

tabla 4-540.1, con F3=3.8538

65

Se colocan los valores de espesor (t), radio (R), y módulo de elasticidad del material y

se obtienen los siguientes valores:

ooB MQw 99 10*936.23810*00115.1 -- +-= (7.12)

ooB MQ 69 10*2555.7510*936.238 -- -=q (7.13)

2. Para el caso del recipiente cilíndrico:

ooB MD

BQ

D

Bw

**2**2 212

211

bb+= (7.14)

ooB MD

BQ

D

B

**2**222

212

bbq += (7.15)

Donde

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

Bsinh L sin L

sinh L sin L11 2 2

2 2

2 2 2=

-

-

b b

b bB11 10ª .

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

BL L

sinh L sin L12

2

2 2

2 2

2 2 2=

-

-

cosh cosb b

b bB12 10ª .

( ) ( )( )( ) ( )( )

Bsinh L sin L

sinh L sin L22 2 2

2 2=

+

-

b b

b bB22 2 0ª .

Al igual que en el paso anterior, se colocan los valores y se obtiene:

ooB MQw 99 10*484.20710*15285.9 -- +-= (7.16)

ooB MQ 69 10*40683.910*484.207 -- -+=q (7.17)

66

A continuación se hacen los cálculos de desplazamiento debido a la presión.

3. Para el caso de la tapa plana

( )P

RtE

FB 3

1

/=q 210019.0=Bq

Donde F1 es una constante geométrica obtenida en el manual ASME sección VII división 2,

tabla 4-540.1 F1=0.8604

cB

tw q

2-

= 000666811.-=Bw m

4. Para el caso del recipiente cilíndrico

( )( ) ( )[ ]w P

R

E Ro R RmRm RoB =

-- + +

2

2 2

2 21 2 1u u (7.18)

wB = -16 8943 10 6. * m

qB = 0

Una vez que se tienen los valores anteriores, se igualan las ecuaciones ya que los

desplazamientos son iguales para el recipiente y la tapa.

tapawrecipientew BB =

666811936.23800115.16.16894484.20715285.9 -+-=++- oooo MQMQ (7.19)

taparecipiente BB qq =

610*099.2105.75255936.23883.9406484.207 +-=- oooo MQMQ (7.20)

Ya que se tienen estas ecuaciones se obtienen los valores de QL y ML.

mNQo /6380=

mNmM o /2479=

Con estos valores se sustituyen en la ecuación de desplazamiento radial, ya sea la de

la tapa o la del recipiente. Por facilidad se sustituyen en la del recipiente y se obtiene:

67

w mB = -0 000323.

A continuación, se sustituyen los valores para encontrar los esfuerzos debido a

flexión.

MPat

M ol 369

*62

==s

( )MPa

t

M

tR

wE oBt 085.239

**6

2/

*2

=++

=u

s

s r = 0

Ya que se tienen los esfuerzos debido a flexión, se van a sumar a los esfuerzos debido

a la presión interna, para obtener los esfuerzos principales totales.

( )( ) MPaY

ZPMPattt 956.24687386.7604.247

1

1085.239

2

2

21 =+=-

++=+= sss

( ) MPaY

PMPalll 912.372912.3369

1369

221 =+=-

+=+= sss

( )( ) kPaY

ZPrrr 53.49

1

10

2

2

21 -=-

-+=+= sss

Donde

Z R Ro m= /

Y R Ro= /

Von Misses MPallttEq 32922. ª+-= sssss

7.3 Recipiente cilíndrico con tapas planas mediante Algor

68

Ya teniendo los valores obtenidos de acuerdo a los métodos anteriores, se compara

con los valores resultantes mediante el software Algor. Los parámetros para esto son los

mismos que se usaron para los métodos anteriores.





Figura 7.2

69

Figura 7.3

Al comparar los resultados se tiene

que los esfuerzos resultantes son mayores a

los obtenidos que en los métodos anteriores.

Esto se debe, en gran parte a la forma en que se establecieron las condiciones de frontera, y

que de cierta forma aumentan los esfuerzos del contenedor.

7.4 Recipiente cilíndrico con tapas semiesféricas mediante Teoría de

recipientes

1. Tapa hemisférica=Recipiente (debido a la presión interna)

( ) ( )2/1*

*

2

1

*

*

1

2

2

2

uu

-=-

=tE

RP

tE

RPw (7.21)

00 ==q

Tapa Plana

MétodoEsfuerzos Teoría ASME ALGOR

Longitudinal 251 373 420Tangencial 77 247

* unidades enMpa

70

2. Ecuaciones de la tapa

ooA MtE

QtE

Rmw

*

*2

*

**2 2ll+= (7.22)

ooA MtERm

QtE **

*4

*

*2 32 llq += (7.23)

Donde

( )( )

422

2

*

1*3

tR

ub

-= y l b= * Rm

3. Ecuaciones del recipiente

ooB MD

QD

w**2

1

**2

123 bb

+-

= (7.24)

ooB MD

QD **2

1

**2

12 bb

q-

+= (7.25)

Una vez obteniendo las ecuaciones para la tapa y el recipiente, se igualan los

desplazamientos para encontrar los valores de momento y fuerza.

( ) ( )2

1

*

*21

*

*

**2

1

*

*2

**2

1

*

**2

2

2

1

2

22

2

32

uu

b

l

b

l ---=˜̃

¯

ˆÁÁË

Ê-+˜̃

¯

ˆÁÁË

Ê+

tE

RP

tE

RPM

DtEQ

DtE

Roo

(7.26)

0**2

1

**

*4

**2

1

*

*2

2

3

22

2

=˜̃¯

ˆÁÁË

Ê++˜̃

¯

ˆÁÁË

Ê- oo M

DtERQ

DtE bl

bl (7.27)

71

52.98426102.20195.18 =+ oo MQ

05.188746102.2 =+ oo MQ

Mo=-0.07554Nm/m

Qo=546.277N/m

kPat

M Ll 24.11

*62

==s

kPat

M Lt 37.3

**62

==u

s

s r = 0



MPat

RPkPattt 88.7

*37.3

121 =+=+= sss

MPat

RPkPalll 94.3

*2

*37.3

121 =+=+= sss

7.5 Recipiente cilíndrico con tapas semisféricas mediante ASME

Recipiente cilíndrico con tapas esféricas mediante los métodos de cálculo de ASME sección

VII, división II para discontinuidades.

Para el caso del desplazamiento radial y angular en las tapas esféricas se tiene que

1. Tapa

ooA MtE

QtE

Rmw

*

*2

*

**2 2ll+= (7.28)

72

ooA MtERm

QtE **

*4

*

*2 32 llq += (7.29)

Donde

( )( )

bu

=-

+

3 1

2

2

2 24

*

/ *R t ty l b= * Rm

Se sustituyen los valores de acuerdo al material y da como resultado,

w Q MA o= +- -9 03843 10 204 89 1090

9. * . * (7.30)

qA o oQ M= +- -204 89 10 9 28923 109 6. * . * (7.31)

A continuación se calcula el desplazamiento debido a la presión,

2. Tapa debido a presión

( )( ) ( )[ ]w P

R

E Ro R RmRm RoA =

-- + +

3

3 3

3 31 2 1u u (7.32)

wA = -6 92693 10 6. * m

3. Para el caso del recipiente se tiene:

ooB MD

BQ

D

Bw

**2**2 212

211

bb+

-= (7.33)

73

ooB MD

BQ

D

B

**2**222

212

bbq -= (7.34)

Donde

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

Bsinh L sin L

sinh L sin L11 2 2

2 2

2 2 2=

-

-

b b

b bB11 10ª .

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

BL L

sinh L sin L12

2

2 2

2 2

2 2 2=

-

-

cosh cosb b

b bB12 10ª .

( ) ( )( )( ) ( )( )

Bsinh L sin L

sinh L sin L22 2 2

2 2=

+

-

b b

b bB22 2 0ª .

Al igual que en el paso anterior, se colocan los valores y se obtiene:

w Q MB o o= - +- -915285 10 207 484 109 9. * . * (7.35)

qB o oQ M= -- -207 484 10 9 40683 109 6. * . * (7.36)

4. Para el caso del recipiente cilíndrico

( )( ) ( )[ ]w P

R

E Ro R RmRm RoB =

-- + +

2

2 2

2 21 2 1u u (7.37)

wB = -16 8943 10 6. * m

Se igualan los desplazamientos para calcular Mo y Qo

w wA B=

9 03843 10 204 89 10 6 92693 10 9 15285 10 207 484 10 16 8943 109 9 6 9 9 6. * . * . * . * . * . *- - - - - -+ + = - + +Q M Q Mo o o o

(7.38)

q qA B=

204 89 10 9 28923 10 207 484 10 9 40683 109 6 9 6. * . * . * . *- - - -+ = -Q M Q Mo o o o

(7.39)

74

Se reducen las ecuaciones tanto de desplazamiento radial como de desplazamiento

angular y quedan estas dos ecuaciones:

181913 2 59 9967 37. . .Q Mo o- = (7.40)

- + =2 59 186961 0. .Q Mo o (7.41)

Se resuelven estas ecuaciones para obtener Mo y Qo

Nm/m 0.0759=Mo

547.93N/m=Qo

A continuación se sustituyen los valores para conocer el valor de los esfuerzos.

kPat

M Ll 31.11

*62

==s

( )kPa

t

M

tR

wE LBt 58.3

**6

2/

*2

=++

=u

s

s r = 0



( )( ) MPaMPakPaY

ZPkPattt 88.787386.758.3

1

158.3

2

2

21 =+=-

++=+= sss

( ) MPaY

PKPalll 92.39122.3311.11

1311.11

221 =+=-

+=+= sss

( )( ) KPaY

ZPrrr 53.49

1

10

2

2

21 -=-

-+=+= sss

Von Misses MPallttEq 8.622. ª+-= sssss

75

Donde

Z R Ro m= /

Y R Ro= /

7.6 Recipiente cilíndrico con tapas hemisféricas mediante Algor

Para comparar utilizamos un diseño en Algor. Los valores observados anteriormente

van a variar a comparación de los resultados obtenidos en Algor debido a la forma en que

fueron establecidas las condiciones de frontera.

Las dimensiones son:





Figura 7.4

76

Figura 7.5

Los esfuerzos

resultantes son más

cercanos para este caso.

Una vez más, la forma en

que se establecen las

condiciones de frontera ó

por decirlo más sencillo,

la forma en que fue soportado el contenedor.

Tapahemisférica

MétodoEsfuerzos Teoría ASME ALGOR

Longitudinal 3.94 3.92Tangencial 7.88 7.88 7.8

* unidadesen Mpa

Al analizar los resultados obtenidos para los recipientes con tapas planas y

hemisféricas, tenemos que, debido a las tapas hemisféricas, los esfuerzos por teoría de

flexión se reducen bastante y por lo tanto los esfuerzos principales.

Cabe aclarar, que son de mayor uso las tapas hemisféricas debido a que proporcionan

mayor resistencia y por lo mismo se pueden aumentar la presión ó disminuir el espesor.

Este análisis fue solamente para comparar tapas planas y hemisféricas en los

contenedores. Aunque no es tópico específico de este proyecto, la manufactura de una tapa

hemisférica es de mayor costo que el de una plana, así como su elaboración.

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