INTRODUCCIÓN

Una carga impulsiva consta esencialmente de un impulso principal, el cual

generalmente es de corta duración como el que se muestra en la Fig. 4.1. Las explosiones y las ráfagas de viento son excitaciones de este tipo, que pueden ser idealizados por formas simples como se verá en párrafos posteriores.

La respuesta del sistema sujeto a carga impulsiva no llega a alcanzar el estado

estacionario de vibración; debido a que la respuesta máxima es alcanzada en un lapso corto de tiempo, antes de que la fuerza de amortiguamiento pueda absorber gran parte de la energía de vibración del sistema. Por esta razón, se considera solamente la respuesta no amortiguada en esta sección.

Este capítulo sirve para estudios posteriores en los que las cargas son más

complejas y para abordar los métodos numéricos. Utilizando ecuaciones diferenciales se determina la respuesta de un sistema sujeto

a carga impulsiva en dos fases: la fase de vibración forzada, que abarca el tiempo de excitación, y la fase en vibración libre, que continúa al finalizar la acción de la carga impulsiva.

Fig. 4.1 Excitación del tipo carga impulsiva

CARGA IMPULSIVA RECTANGULAR

El primer caso en analizar es la respuesta de la estructura sujeta a una carga

impulsiva de tipo rectangular como la que se muestra en la Fig. 4.2. La ecuación que gobierna el movimiento, es:

)(tpkuum =+&& (4.1)

Donde p(t) se define por

p(t)=

>≤≤

1

1

t t, 0

tt 0 , op

t

p(t)p(t)

p(t)

Fig.4.2 Impulso Rectangular

Con las condiciones iniciales en reposo 0)()( == tutu & , el análisis se realiza en dos fases:

Fase I

La fuerza es aplicada instantáneamente y permanece constante durante esta fase. La solución particular para la ecuación diferencial es:

k

ptpu o)( = (4.2)

Y la solución complementaria es:

tnsenBtnAtcu ωω ⋅+⋅= cos)( (4.3)

La solución total es la suma de ambas soluciones anteriores:

kop

tnsenBtnAtu +⋅+⋅= ωωcos)( (4.4)

Aplicando las condiciones iniciales a la ec. (4.4) se determinan las constantes A y B,

y la ecuación de respuesta para esta fase es:

( )tnk

ptu o ωcos1)( −= , 10 tt ≤≤ (4.5)

Fase II

La ecuación de respuesta para la fase de vibración libre esta dada por:

tnsenn

utnutu ωωω

)0(cos)0()(

&+⋅= (4.6)

y para t>t1, tenemos,

)()(

)(cos)()( 11

11 ttsentu

tttutu nn

n −+−⋅= ωω

ω &, 01 ≥− tt (4.7)

Cálculo de los máximos

t

p

1

0

Fase I Fase II1t-t

p(t)

t

Es evidente, que para este tipo de impulso rectangular, la respuesta máxima

ocurrirá siempre en la fase I, si 21nTt ≥ correspondiente a cargas de larga duración y el

factor de respuesta en este caso es Rd=2:

k

pu o

o 2= (4.8)

Para cargas de corta duración, la respuesta máxima ocurre en la fase de vibración

libre y está dada por:

2)(

2)(

1

1

t

n

t

o uu

u +

=

ω&

(4.9)

Con la velocidad final de la fase I 1)1( tnsennk

ptu o ωω ⋅=& y

nTnπω 2= en la ec. (4.9)

se tiene:

n

oo T

tsen

k

pu 12

⋅⋅= π,

21nTt ≤ (4.10)

nd T

tsenR 12

⋅⋅= π (4.11)

Por tanto, se observa que el factor de respuesta dinámica varía como una función

seno de la duración del impulso para 21nTt < , ver Fig.4.5.

CARGA IMPULSIVA TRIANGULAR

El segundo caso a analizar es el impulso triangular decreciente de la Fig.4.3, el análisis de la respuesta se realiza análogamente al análisis de la carga impulsiva

rectangular.

t

p

1

0

Fase I Fase II1t-t

p(t)

t

Fig. 4.3 Impulso Triangular

Fase I

La función que describe la carga durante esta fase es )1()(1tt

optp −⋅= . La

solución particular a la ecuación de movimiento para esta carga es:

)1()(1tto

p k

ptu −= (4.12)

Aplicando en la solución general las condiciones iniciales en reposo se determinan

las constantes de integración A y B obteniendo la ecuación de respuesta para esta fase:

+−−= 1cos

11

)(

t

tt

t

tsen

k

pu n

n

not ωω

ω (4.13)

Fase II

Evaluando la ec. (4.13) para el desplazamiento y la velocidad en t=t1 (fin de la primera fase) se tiene:

−= 1

1

1)( cos1 tt

tsen

k

pu n

n

not ωω

ω

(4.14)

−+⋅=

11

1

1)(1cos

1

ttsen

t

t

k

pu

nn

n

nnot

ωω

ωωω

&

Y sustituyendo en la ec. (4.6) se obtiene la respuesta en vibración libre para la fase

II. El máximo valor de desplazamiento, u0, es calculado evaluando la ecuación de respuesta para el tiempo en el cual la velocidad es cero.

Para cargas de corta duración (t1<0.4Tn) la respuesta máxima ocurre durante la

fase II de vibración libre, de lo contrario ocurre durante la fase I. El valor del factor de deformación Rd está tabulado para varias duraciones de carga en la Tabla 4.1.

t1/T 0.20 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00

Rd 0.60 1.05 1.19 1.38 1.53 1.68 1.76

Tabla 4.1. Factor de deformación para carga impulsiva triangular

CARGA IMPULSIVA TIPO SINUSOIDAL

La Fig. 4.4 ilustra este tipo de carga (impulso de onda sinusoidal). El análisis de la

respuesta es también realizado en dos fases:

Fase I

Durante esta fase la estructura está sujeta a una carga armónica, empezando desde el reposo. La respuesta no amortiguada, que incluye tanto el estado-transitorio como estacionario, está dada por la ec. (4.6):

( ) ( )[ ]tsentsenk

pu nn

n

ot ωωωωωω

−−

= 2)(

1

1, 10 tt ≤≤ (4.15)

Fig.4.4 Impulso de una mitad de onda sinusoidal

Fase II

El movimiento en vibración libre que tiene lugar en esta fase depende del

desplazamiento )( 1tu y de la velocidad )( 1tu& presentes al final de la fase I y puede ser

expresado como:

)()(cos)()( 1

)(

111 ttsenutttutu nn

t

n −+−⋅= ωωω &, 01 ≥− tt (4.16)

Para el ingeniero estructural la respuesta máxima producida por la carga impulsiva

es de mayor interés que la respuesta tiempo-historia completa. El tiempo en el cual ocurre el desplazamiento máximo es calculado igualando a cero la primera derivada de la ec. (4.15):

)coscos()(1

10 2 tt

k

p

dt

udn

n

o ωωωωωω

⋅−⋅⋅−

⋅==

De donde:

tt nωω coscos =

de aquí

...3,2,1,02 ±=±= n tnt nωπω (4.17)

t

p

1

0

Fase I Fase II1t-t

p(t)

t

p(t)=p0 sen ωt

Esta expresión es válida sólo mientras πω ≤t , es decir la respuesta máxima ocurre

mientras la carga impulsiva esta actuando. Para la condición de carga en la que la frecuencia de excitación se aproxima a la frecuencia natural, el tiempo en el cual la respuesta máxima ocurre está dado poniendo n=1 y utilizando el signo negativo en la ec.(4.17), la cual da:

)(12

ωωπω

n

t+

= (4.18)

La amplitud de respuesta máxima se obtiene reemplazando la ec.(4.18) en la

ec.(4.15), el resultado es válido sólo para ωt≤π, para el cual 1<nωω .

Para 1>nωω , la respuesta máxima ocurre en la fase de vibración libre. El

desplazamiento inicial y la velocidad inicial para esta fase se calcula reemplazando ω�t1=π en la ec.(4.15):

)0()(1

12

)( 1

nnn

ot senk

pu

ωωπ

ωω

ωω⋅−⋅

−⋅=

(4.19)

)cos1()(1 2

)( 1

nn

ot

k

pu

ωωπ

ωωω −−⋅

−⋅=&

La amplitud de esta fase está dada por la ec. (4.9), y sustituyendo los valores )( 1tu

y )( 1tu& en ésta se tiene:

nnn

kp

o

o

uωω

πωω

ωωcos22

)(1 2 +⋅⋅−

= (4.20)

Para 1>nωω , 1tt > el factor de respuesta de desplazamiento es:

nn

n

kp

od

o

uR

ωωπ

ωωωω

⋅⋅

−⋅==

2cos

)(12

2 (4.21)

RESPUESTA AL MOVIMIENTO DEL SUELO.

La respuesta máxima, como se observa en párrafos anteriores, depende de la relación de duración del impulso con el periodo natural de la estructura. Debido a esto es conveniente el graficar el factor de respuesta Rd en función de nTt1 para varios tipos de

carga impulsiva (Fig. 4.5); este tipo de grafica es conocida como espectro de repuesta de desplazamiento o espectro de respuesta para cargas impulsivas. Generalmente este

tipo de gráficas son útiles para predecir los efectos máximos causados por cargas impulsivas que actúan en una estructura simple.

Fig.4.5 Espectro de respuesta de desplazamiento para tres tipos de impulso (espectro de choque).

Este tipo de espectro de respuesta también sirve para indicar la respuesta de la

estructura a un impulso de aceleración aplicada en su base. Si la aceleración aplicada en la base es üg(t), ésta produce una carga impulsiva efectiva de peff(t) = -m�üg(t). Si la aceleración máxima en la base es denotado por ügo el impulso efectivo máximo es poeff = -m�ügo. El factor de deformación toma la forma de:

kp

o

ost

od

o

u

u

uR ==

)(

Reemplazando por oeffp :

go

on

go

od u

u

kum

uR

&&&&

⋅=⋅

=2ω

(4.22)

Alternativamente esta ecuación puede ser re-escrita como:

gouotu

dR&&

&&= (4.23)

Donde otu&& es la aceleración máxima total de la masa. Es evidente que el espectro

de respuesta de la Fig. 4.5 puede ser usado para predecir la respuesta de aceleración máxima de la masa, m, a un impulso de aceleración aplicada en la base, también como la

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

Razon de impulso, t /T

Fact

or d

e m

agni

fica

cion

din

amic

a, D

1

respuesta de desplazamiento máxima debido a carga impulsiva. Cuando es utilizada la Fig.4.5 para este propósito es generalmente designada como espectro de choque.

ANÁLISIS APROXIMADO DE RESPUESTA PARA CARGA IMPULSIVA.

El análisis del espectro de respuesta presentado en la Fig. 4.5 conduce a dos

conclusiones generales acerca de la repuesta de una estructura sujeta a carga impulsiva:

1. Para cargas de larga duración, por ejemplo, 11 >nTt , el factor de respuesta

depende principalmente del valor del incremento de la carga hasta su valor máximo.

2. Para cargas de corta duración, por ejemplo, para 4

11 <nTt , la amplitud del

desplazamiento máximo uo depende principalmente de la magnitud del impulso

aplicado dtpIt

t∫=1

0

)( y no es influenciada fuertemente por la forma de la carga

impulsiva. El factor de respuesta Rd , sin embargo, es completamente independiente de la forma de la carga debido a que es proporcional a la relación del área del impulso con la amplitud máxima de la carga. Por tanto uo es la medida más significativa de la respuesta y esta ocurre durante la fase de vibración libre.

A continuación es desarrollado un procedimiento aproximado para evaluar la

respuesta máxima de un sistema sujeto a una carga impulsiva de corta duración. De acuerdo a la segunda ley de Newton, si una fuerza p(t) actúa en el cuerpo de masa m, el valor del cambio de momento del cuerpo es igual al valor de la fuerza aplicada, esto es:

)()(

tpdt

umd =⋅ & (4.24)

Para una masa constante, la ecuación anterior, resulta:

pum =⋅ && (4.25)

Integrando ambos lados con respecto de t:

∫ ∆⋅=−⋅=2

1

)( 12

t

t

umuumpdt &&& (4.26)

La integral en el lado izquierdo de esta ecuación es la magnitud del impulso, y el producto de la masa por la velocidad es el momentum o cantidad de movimiento, esta ecuación establece que la magnitud del impulso es igual al cambio de momentum.

Este resultado es aplicable a un sistema simple, y debido a que la fuerza

actúa por un infinitésimo periodo de tiempo los componentes de elasticidad y amortiguamiento no tienen tiempo de responder; es así que, se tiene la respuesta después de la fase de excitación, es decir la respuesta en vibración libre:

)()(cos 1

)(

1)()(

11 ttsen

uttuu n

n

t

ntt −+−⋅= ωωω &

En la cual el término )( 1tu es despreciable por ser extremadamente

pequeño y la velocidad uu t && ∆=)( 1 . Por tanto, la ecuación anterior se puede escribir como:

)()(1

)( 1

0

1

ttsendttpm

tu n

t

n

−⋅

⋅

⋅= ∫ ω

ω (4.27)

378.02.0178.0 =+=t seg