CARGAS IMPULSIVAS: Integral de Duhamel

Osciladores simples equivalentes: cálculo de rigideces y masas

1) Viga en voladizo

2 13

1 1 33M

EIu F L L K FEI L

−= = ⋅ ⇒ = =

(*)

2 41 4

21 3

1.8750.243

3

EImL M mL

K EIM ML

ω

ω

⎫= ⋅ ⎪⎪ = ⋅⎬

⎪= = ⎪⎭%

(*) Valor exacto para una viga con masa uniformemente distribuida m. Viga bi-articulada

21

3

2 1 483 2 4M

L L EIu F K FEI L

−⎛ ⎞= = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

(*)

2 41 4

21 3

0.49348

EImL M mL

K EIM ML

ω π

ω

⎫= ⋅ ⎪⎪ = ⋅⎬

⎪= = ⎪⎭%

(*) Valor exacto para una viga con masa uniformemente distribuida m. 2) Viga bi-empotrada

( )3 3

12 19222EI EIK

LL= =

( )MAX

2 2

6 242

fEI EIM

LL= =

(*)2 41 4

21 3

4.7300.384

192

EImL M mL

K EIM ML

ω

ω

⎫= ⋅ ⎪⎪ = ⋅⎬

⎪= = ⎪⎭%

(*) Valor exacto para una viga con masa uniformemente distribuida m.

M

L

EI , m

MfMAX = 1·L (carga unitaria)

MfMAX = 2

3EIL

(despl. unitario)

QMAX = 3

3EIL

(despl. unitario)

M

L

EI , m

MfMAX = 1·L/4 (carga unitaria)

MfMAX = 2

12EIL

(despl. unitario)

QMAX = 3

24EIL

(despl. unitario)

M

L

EI , m

MfMAX = 2

24EIL

(despl. unitario)

QMAX = 3

96EIL

(despl. unitario)

Ejemplos Sea una viga simplemente apoyada (bi-articulada) con las siguientes propiedades:

6 2

3 33 4 2

3

4 3 100.2 0.4 1.067 10 3200

12 1248 2400

L m E tn mb hI m EI tn m

EIK tn mL

−

= = ⋅

⋅ ⋅= = = ⋅ = ⋅

⋅= =

3

2 22

2

2.5 0.2 0.4 0.020399.81

0.50 0.04078

tn mm b h m m tn s mm s

M m L tn s m

δ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

≈ ⋅ ⋅ = ⋅

2400 0.04078 242.6 / ; 0

2 0.02590

DK M rad seg

T seg

ω ξ ω ωπω

= = = = ⇒ =

= =

Calcular los esfuerzos máximos producidos por las cargas impulsivas indicadas que poseen el mismo valor de impulso (I), definido como:

( )0

0.10Dt

P t dt tn seg= ⋅ = ⋅∫I

Carga Caso 1: 0.1Dt seg= Caso 2: 0.01Dt seg= Caso 3: 0.001Dt seg= [A] 2AP tn= 20AP tn= 200AP tn= [B] 2BP tn= 20BP tn= 200BP tn= [C] 1CP tn= 10CP tn= 100CP tn=

CASO 1

Carga [A]

( ){

( ) ( )

( )

( ){

( ) ( )( ) ( )

( )

2

2

sin1 cos

sin sincos

est

est

AD

D DU

t

DAD

D DU

t

tP tU t t t tM t t

t t tPU t t t tM t t

γ

γ

ωω

ω ω

ω ωω

ω ω ω

⎡ ⎤= − − + ≤⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤−= − − + ≥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

1444442444443

14444444244444443

t tD

P(t) PA

[A] ttD

P(t)PB

[B] ttD

P(t) PC

[C]

3

3.86 1.8721.87 1.558 10

2400

D MAX

MAX Adin est

t TPU U mK

γ γ

γ γ −

= ⇒ = =

= ⋅ = = = ⋅

Carga [B]

( ){

( )

( )

( ){

( )( ) ( )

( )

( ){

( )( ) ( )( ) ( )

( )

2

2

2

sin2

2 2

sin 2 sin2 2 2

2 2 2

sin 2 sin sin2

2 2 2

est

est

est

BD

D DU

t

DBD D

D D DU

t

D DB

D D DU

t

tP tU t t tM t t

t t tP tU t t t tM t t t

t t t t tPU tM t t t

γ

γ

γ

ωω ω

ω ωω ω ω

ω ω ωω ω ω ω

⎡ ⎤= + ≤⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤−= − + − ≤ ≤⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− −= − +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

144424443

14444444244444443

14444444442444 3

Dt t≥

444444

3

3.86 1.0421.04 0.867 10

2400

D MAX

MAX Bdin

t TPU mK

γ γ

γ −

= ⇒ = =

= = = ⋅

Carga [C]

( ){

( )( )

( ){

( )( ) ( )( )

2

2

1 cos

cos cos

est

est

CD

tU

CD D

tU

PU t t t tM

PU t t t t t tM

γ

γ

ωω

ω ωω

= − ≤⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − ≥⎣ ⎦

1442443

14444244443

3

3.86 2.0012.00 0.833 10

2400

D MAX

MAX Cdin

t TPU mK

γ γ

γ −

= ⇒ = =

= = = ⋅

CASO 2

Carga [A]

3

0.386 1.01201.01 8.417 10

2400

D

MAX Adin

t TPU mK

γ

γ −

= ⇒ =

= = = ⋅

Carga [B]

3

0.386 1.06201.06 8.833 10

2400

D

MAX Bdin

t TPU mK

γ

γ −

= ⇒ =

= = = ⋅

Carga [C]

3

0.386 1.87101.87 7.792 10

2400

D

MAX Cdin

t TPU mK

γ

γ −

= ⇒ =

= = = ⋅

CASO 3

Carga [A]

3

0.0386 0.1212000.121 10.08 10

2400

D

MAX Adin

t TPU mK

γ

γ −

= ⇒ =

= = = ⋅

Carga [B]

3

0.0386 0.1212000.121 10.08 10

2400

D

MAX Bdin

t TPU mK

γ

γ −

= ⇒ =

= = = ⋅

Carga [C]

3

0.0386 0.2421000.242 10.08 102400

D

MAX Cdin

t TPU mK

γ

γ −

= ⇒ =

= = = ⋅

Cargas consideradas como impulsos Cuando la duración de la carga es muy pequeña respecto al período, la respuesta sólo depende del “área bajo la curva” de la función de carga (impulso) que el sistema siente como una velocidad inicial:

( ) ( )

0

0 0sin MAXdin

U M

U UU t t UM

ωω ω ω

=

= ⇒ = =⋅

I

I

&

& &

Carga [A]

{ {

02

1

3

22

2

2000.121 10.08 102400

est

A D

MAX A D D Adin

U

MAXdin

P t

U P t t PUM T T M

U m

γ

ππω ω ω ω

−

⋅=

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅

I

&

123

Carga [B]

{ {

02

1

3

22

2

2000.121 10.08 102400

est

B D

MAX B D D Bdin

U

MAXdin

P t

U P t t PUM T T M

U m

γ

ππω ω ω ω

−

⋅=

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅

I

&

123

Carga [C]

{

02

1

3

22

1000.242 10.08 102400

est

C D

MAX C D CDdin

U

MAXdin

P t

U P t PtUM T T M

U m

γ

ππω ω ω ω

−

= ⋅

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅

I&

123123

NOTA: Luego de analizar varias funciones de carga impulsivas se encuentra que para duraciones adimensionales 0.20Dt T ≤ las cargas pueden considerarse como impulsos que imponen al sistema una velocidad inicial. Los factores de amplificación resultan en este rango proporcionales a la duración adimensional: Dt Tγ α= ⋅ (donde α depende de la forma de la carga impulsiva). Los desplazamientos dinámicos calculados por esta vía para duraciones adimensionales mayores ( 0.20Dt T > ) resultan demasiado sobreestimados. Cálculo de esfuerzos (Caso 1 – Carga [A])

M

L

EI , m

32 2

12 12 3200 1.558 10 3.7394

MAX MAXf din

EIM U tnmL

−⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =

33 3

24 24 3200 1.558 10 1.8704

MAX MAXdin

EIQ U tnL

−⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =