Carlos Andrés Lopera González

LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN

LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID

Carlos Andrés Lopera González

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE CIENCIAS

MEDELLÍN, COLOMBIA

2015

LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID

CARLOS ANDRÉS LOPERA GONZÁLEZ

Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

M. SC. ELMER JOSÉ RAMÍREZ MACHADO

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Medellín, Colombia

2015

DEDICATORIA

A mi familia por su apoyo y comprensión en los momentos duros.

A Dios por darme la constancia y perseverancia

para alcanzar un escalón más en mi formación Profesional.

A mi prometida Alejandra Pérez por ser mi apoyo incondicional

en todo momento y brindarme su paciencia.

AGRADECIMIENTOS

El autor expresa sus agradecimientos a las siguientes personas:

Al decano de la facultad de ciencias básicas, sociales y humanas del Politécnico

Jaime Isaza Cadavid “José Javier Rodríguez Hoyos”, por creer en este proyecto de aula

y facilitarme todas las instancias para la realización de ello, de igual manera a mis

compañeros maestros Eduardo Clavijo, Sergio Guerra y Carlos Mario Restrepo quienes

brindaron espacios para la realización de este proyecto, por su paciencia, buena fe y

colaboración en todo instante.

Al magister Elmer José Ramírez Machado, quien como director del trabajo final

orientó, ayudó y apoyó al maestrante a poner en orden sus ideas y hacerlas realidad.

A todos los que en algún instante colaboraron en la elaboración de este trabajo.

A mi familia por su paciencia y buena voluntad brindándome su apoyo para así

cumplir la meta final de la maestría.

Resumen y Abstract IX

Resumen

El diagnóstico que arrojaron las encuestas que fueron aplicadas a los estudiantes

de algunos programas de ingeniería de la facultad de ciencias básicas, sociales y

humanas del Politécnico Jaime Isaza Cadavid, sede Poblado, presentan dificultades en el

tema específico de la transformación lineal al momento de cursar la asignatura de

algebra lineal, lo cual se ha convertido en el objeto de estudio de este trabajo, cuyo

objetivo es el diseño de un proyecto de aula que aporte a la estructura cognitiva del

estudiante unos elementos en la interpretación de dicho tema y unos elementos de

estrategia didáctica al maestro titular del curso.

Su fundamentación teórica se basa en Ausubel, Chevallard, Gardner, Cardelli,

Moreira, Sierpinska, Lorenzano, Perkins, Deaño, Piaget, Zimmerman, las teorías de la

enseñanza para la comprensión, la de los aprendizajes significativos y el aprendizaje

basado en problemas. De igual modo la metodología que se estableció es desde el

estudio de casos realizado en el análisis de experiencias desde una maestría de

profundización, todo esto se encuentra centralizado en el aprendizaje significativo y en la

teoría de la enseñanza para la comprensión de tal manera que se favorezca la

pedagogía en el interior del aula y se contribuya al aprendizaje autorregulado en el que

se debe apoyar los estudiantes.

Palabras clave: aprendizaje significativo, enseñanza para la comprensión,

transformación lineal, proyecto de aula, aprendizaje basado en problemas, aprendizaje

autorregulado.

X LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN


Abstract

The diagnosis that was yielded by the surveys which were applied to students from some

programs of the faculty of basic, social and human sciences of the Jaime Isaza Cadavid

Polytechnic, located in El Poblado, show some difficulties related to the main topic of the

linear transformation when studying the subject of linear algebra, which has become the

study object of this work, which aims to design a classroom project so that in this way it

can contribute some elements in the interpretation of the topic to the student's cognitive

structure, besides other elements of teaching strategy to the head teacher of the course.

Its theoretical foundation was based on Ausubel, Chevallard, Gardner, Cardelli, Moreira,

Sierpinska, Lorenzano, Perkins, Deaño, Piaget, Zimmerman, the teaching theories for

understanding, meaningful learning and problem-based learning as well. Likewise, the

methodology that was established was taken from the study analysis of experiences

made during a Master degree program, all of which is focused on meaningful learning and

teaching theory for understanding, so that in this way it can support teaching experiences

inside the classroom and thus contributes to self-regulated learning from which students

should be supported.

Keywords: meaningful learning, understanding, linear transformation, classroom

project, problem-based learning, self-regulated learning.

Contenido XI

Contenido

Resumen ..................................................................................................................... IX

Contenido ................................................................................................................... XI

Lista de figuras .......................................................................................................... XIV

Lista de tablas ............................................................................................................ XV

Introducción ............................................................................................................... 17

1. Aspectos Preliminares ......................................................................................... 20

1.1 Tema ..................................................................................................................... 20

1.2 Problema de Investigación ..................................................................................... 20

1.2.1 Antecedentes ........................................................................................................................... 20

1.2.2 Formulación de la pregunta ..................................................................................................... 24

1.2.3 Descripción del problema ........................................................................................................ 26

1.3 Justificación ........................................................................................................... 28

1.4 Objetivos ............................................................................................................... 31

1.4.1 Objetivo General ...................................................................................................................... 31

1.4.2 Objetivos Específicos ............................................................................................................... 31

2. Marco Referencial ............................................................................................... 32

2.1 Marco Teórico........................................................................................................ 32

2.1.1 Lenguaje en la ciencia .............................................................................................................. 32

2.1.2 Enseñanza para la comprensión (EpC) ..................................................................................... 34

2.1.3 Aprendizaje significativo .......................................................................................................... 37

2.1.4 Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) ................................................................................. 39

XII LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN


2.2 Marco Disciplinar ................................................................................................... 41

2.2.1 Transformaciones lineales ....................................................................................................... 43

2.2.2 Isomorfismo en Espacios Lineales ........................................................................................... 48

2.2.3 Matrices asociadas a un operador lineal ................................................................................. 49

2.3 Marco Legal ........................................................................................................... 51

2.4 Marco Espacial ....................................................................................................... 55

3. Diseño metodológico .......................................................................................... 56

3.1 Tipo de Investigación: Profundización de corte monográfico ................................... 56

3.2 Método ................................................................................................................. 57

3.2.1 Estudio de casos....................................................................................................................... 58

3.2.2 Aprendizaje autorregulado ...................................................................................................... 59

3.2.3 Experiencia de aula .................................................................................................................. 60

3.3 Instrumento de recolección de información ............................................................ 65

3.3.1 Elementos diagnósticos ........................................................................................................... 65

4. Trabajo Final ....................................................................................................... 68

4.1 Desarrollo y sistematización del proyecto ............................................................... 68

4.2 Resultados ............................................................................................................. 69

5. Conclusiones y recomendaciones ......................................................................... 87

5.1 Conclusiones .......................................................................................................... 87

5.2 Recomendaciones .................................................................................................. 90

Referencias ................................................................................................................ 91

A. Anexo: Tabla. Cronología del algebra lineal ......................................................... 96

B. Carta confidencialidad ........................................................................................ 98

C. Diagnóstico: diseño encuesta estudiantes............................................................ 99

D. Prueba diagnóstica estudiantes: encuesta .......................................................... 101

Contenido XIII

E. Diagnóstico: diseño entrevista: docentes ........................................................... 124

F. Prueba diagnóstica docentes: entrevista ............................................................ 125

XIV LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN


Lista de figuras

Gráfico 1. Primera pregunta. ........................................................................................................................... 70

Gráfico 2. Segunda pregunta. .......................................................................................................................... 71

Gráfico 3. Tercera pregunta ............................................................................................................................. 72

Gráfico 4. Cuarta pregunta .............................................................................................................................. 73

Gráfico 5. Quinta pregunta .............................................................................................................................. 75

Gráfico 6. Sexta pregunta ................................................................................................................................ 76

Gráfico 7. Séptima pregunta ............................................................................................................................ 77

Gráfico 8. Octava pregunta ............................................................................................................................. 78

Gráfico 9. Novena pregunta ............................................................................................................................ 79

Gráfico 10. Décima pregunta ........................................................................................................................... 80

Gráfico 11. Décima primera pregunta ............................................................................................................. 81

Gráfico 12. Décima segunda pregunta ............................................................................................................ 82

Contenido XV

Lista de tablas

Tabla 1. Núcleos temáticos Algebra Lineal PCJIC ............................................................................................. 53

Tabla 2. Elementos de una unidad didáctica. .................................................................................................. 63

Tabla 3. Matriz DOFA ....................................................................................................................................... 66

Tabla 4. Datos primera pregunta..................................................................................................................... 69

Tabla 5. Datos segunda pregunta .................................................................................................................... 70

Tabla 6. Datos tercera pregunta ...................................................................................................................... 72

Tabla 7. Datos cuarta pregunta ...................................................................................................................... 73

Tabla 8. Datos quinta pregunta ....................................................................................................................... 74

Tabla 9. Datos sexta pregunta ......................................................................................................................... 75

Tabla 10. Datos séptima pregunta .................................................................................................................. 76

Tabla 11. Datos octava pregunta .................................................................................................................... 77

Tabla 12. Datos novena pregunta ................................................................................................................... 79

Tabla 13. Datos décima pregunta .................................................................................................................... 80

Tabla 14. Datos décima primera pregunta ...................................................................................................... 81

Tabla 15. Datos décima segunda pregunta ..................................................................................................... 82

Introducción 17

Introducción

La mayor dificultad que presentan los estudiantes cuando resuelven problemas de

orden matemático puede decirse que es debido a que no establecen relaciones entre los

procesos generales, los conocimientos básicos y el contexto, es así como se hacen

visibles las inapropiadas operaciones que realizan de tal manera que al aplicarlas lleva a

una incorrecta solución y métodos inadecuados.

Esta monografía se centra en una parte del Álgebra Lineal y específicamente en

el concepto central de las transformaciones lineales. El interés de esta es diseñar un

proyecto de aula que contribuya a los estudiantes de ingeniería al aprendizaje

significativo de las transformaciones lineales en el curso álgebra lineal del Politécnico

Colombiano Jaime Isaza Cadavid, mediante la implementación de la matriz asociada a

un operador lineal basada en la enseñanza para la comprensión.

El diseño de este proyecto se encuentra fundamentado en las teorías de la

enseñanza para la comprensión (Perkins y Gardner) y el aprendizaje significativo

(Ausubel), de tal manera que se pueda a través de un proyecto de aula y una

metodología propia y adecuada a través de procesos sistémicos (estudio de casos) y en

base en los aprendizajes significativos, una contribución que favorezca en un trabajo de

profundización como este a la formación pedagógica en la facultad de ciencias básicas,

sociales y humanas en el área de algebra lineal del “Politécnico Jaime Isaza Cadavid” .

Es así como este proyecto contribuye en la práctica pedagógica del docente a

renovar la manera de enfrentar la metodología tradicional que conlleve al maestro o

docente a tener estrategias de cómo mejorar el lenguaje abstracto de las ciencias

exactas, tales como las matemáticas y en este caso el álgebra lineal, ya que ésta área es

fundamental en toda la formación ingenieril en sus estructuras cognitivas del ser y del

pensar.

18 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN


Son entonces los maestros, no solo en el ámbito universitario sino de cualquier

tipo de escolaridad, quienes tienen la responsabilidad social de ser agentes formadores

del ser de una persona, pero aún más si son del área de las ciencias exactas, debido a

que en esta formación del ser también deben contribuir a un desarrollo del pensar,

convirtiéndose entonces en aquellos seres que fomentan las bases del pensamiento

científico.

Por esto se establece entonces como el proceso de comprensión desde una

manera cognitiva, tiene que ver con el alto nivel de abstracción en los conceptos de una

temática, o sea si se presentan o no dificultades para ser entendida, lo cual se puede

evidenciar en la interpretación, argumentación y proposición personal que en muchos

casos difieren de la verdadera interpretación que se predente comunicar y que ocasiona

la obstaculización de su entendimiento. (Sierpinska, 1996)

Es así como en los cursos tradicionales de álgebra lineal, se pasa la mayoría del

tiempo realizando tediosos y largos cálculos matemáticos (aritmética básica),

preocupándose más por el conocimiento e implementación de técnicas numéricas para

resolver cualquier tipo de estructura algebraica que en realidad no desarrollan dominios

de competencias específicas del curso.

De acuerdo a lo anterior este proyecto surge del interés de ver cuáles son las

dificultades de la enseñanza de las transformaciones lineales, esto debido a que no hay

una estructura algebraica que oriente al docente y al estudiante a cambiar sus métodos,

formas y medios de la didáctica del álgebra lineal; se parte entonces de como la

enseñanza de estos tipos de conceptos no pueden ser enseñados de manera aislada y

memorística sin ninguna fundamentación conceptual.

El problema en cuestión para indagar es ¿Cómo las transformaciones lineales

contribuyen en el desarrollo del pensamiento matemático? y como este media entre el

proceso de razonamiento, exploración y ejercitación para que pueda existir un lenguaje

comunicacional que establezca una relación entre lo sucedido en clase y los conceptos

previos presentes en los estudiantes buscando un mediador que permita mejorar el

aprendizaje significativo de este concepto en el dicente.

Introducción 19

Todas estas falencias son grandes retos que tiene la educación universitaria en

este tema y en especial los maestros de este saber disciplinar, enfocados desde

diferentes aspectos como: lo disciplinar, lo didáctico, lo metodológico y lo humano, es

necesario aclarar que no existe una manera adecuada o no de impartir una clase o un

método eficaz al momento de enseñar, por tal motivo este proyecto surge como un

aporte a la comunidad educativa desde la maestría en Enseñanza de las Ciencias

Naturales y Exactas de la Universidad Nacional para su discusión y mejoría mediante

una transposición didáctica del saber sabio de la pedagogía, la didáctica y el álgebra

lineal.

Este trabajo final, tiene la siguiente estructura:

El Capítulo I, Aspectos preliminares, en el cual se presenta el tema, el problema

de investigación (antecedentes, formulación de la pregunta y la descripción del

problema), la justificación y los objetivos (generales y específicos).

El Capítulo II, el marco referencial el cual da cuenta del marco teórico, donde se

expone el estado del arte de los teóricos que apoyan este trabajo, el marco conceptual

donde se hace alusión al saber disciplinar, el marco legal en el cual está apoyado lo

jurídico y el marco espacial donde se va a ejecutar el trabajo

El Capítulo III, contiene el diseño metodológico, el cual señala el tipo y diseño de

la investigación, las fases en que está dividido, la población, la muestra y el tipo de

instrumentos para la recolección de los datos. Además, se plantea la validez de la

investigación.

El Capítulo IV, presenta las conclusiones y trabajos futuros.

En Los Anexos, se dan a conocer las estrategias que han posibilitado hallar las

necesidades latentes que poseen los estudiantes y docentes, las cuales serán abordadas

en un proyecto de aula llamado “El mundo de las transformaciones lineales”. Para

finalizar se expone la bibliografía consultada.

Se trata de algún modo que más adelante este trabajo se convierta en un insumo

para las posibles reflexiones académicas que surjan de los docentes en sus procesos de

enseñanza de las matemáticas y en particular del curso del algebra lineal en la temática

transformaciones lineales.



1. Aspectos Preliminares

En este capítulo del trabajo se harán manifiestos el tema, el problema de

investigación, la justificación, el objetivo general y los objetivos específicos.

1.1 Tema

La enseñanza del concepto transformación lineal como una matriz asociada a

un operador lineal.

1.2 Problema de Investigación

1.2.1 Antecedentes

Teniendo en cuenta lo observado en clase, en el curso de algebra lineal, se ha

podido establecer que en los estudiantes el manejo que poseen de las estructuras

algebraicas es bajo, dado a la mala interpretación que tienen de los enunciados y sus

inadecuados argumentos; especialmente en este trabajo de profundización se tomaron

enunciados en relación a las funciones de variable real, en donde le es desconocido la

diferenciación de la terminología y procedimiento adecuado para hallar el dominio y

rango, al igual que la parte de los conjuntos numéricos por no decir que no posee la

definición de lo que es llamado número.

1. Aspectos preliminares 21

Aunque no es el fin de este trabajo, realizar un extenso recorrido por los orígenes

de este saber hasta nuestros días, se realizará un vasto recorrido por los antecedentes

más significativos, quedando esto supeditado a otra investigación con relación a ello.

“De acuerdo con (Luzardo & Peña, 2006) el álgebra lineal y todos los estudios

matemáticos se deben en parte a los babilonios, pues lograron desarrollar un sistema

para solucionar ciertos problemas relacionados con la agrimensura, los cuales tenían

características específicas similares unos de otros, y dado que al tratar de referirse a

cualquiera de ellas se cumplía esa solución para cualquier otra, estas fueron llamadas

de algún modo como incógnitas, y con este sistema se lograba encontrar solución a ellos,

valiéndose de herramientas tales como lo que hoy se conoce como factorización y

resolución de sistemas de ecuaciones. Con esto y la evolución del hombre hoy en día

este método prevalece y nos encontramos con las ecuaciones lineales y cuadráticas que

modelan de una manera la lógica de un problema”. Sin embargo en otros lugares del

mundo Egipto, Grecia, China entre otros, estos problemas eran pensados y solucionados

con sistemas geométricos.

El pensamiento lineal tuvo un impulso realizado por los chinos, quienes

continuaron con los estudios de los babilonios, quienes perfeccionaron varios métodos,

entre ellos la eliminación gaussiana, sin embargo los islámicos, griegos y algunos

europeos evolucionaron en el estudio de esta rama.

(Mosquera, 2008), en su artículo “Introducción a la Historia del Algebra Lineal”

como anexo de su artículo y para la fundamentación del mismo, proporciona una tabla de

la cronología de pensadores (anexo A: tabla Cronología del algebra lineal) que ayudaron

en el desarrollo de la matemática pero en un caso específico al Álgebra Lineal.

Junto con estos “No se puede desmeritar a grandes pensadores como Rene

Descartes (1596-1650) y su aporte sobre la consolidación de proponer las primeras

letras del abecedario como los coeficientes y las ultimas como las variables. De igual

manera grandes aportes como el proporcionado por el doctor en medicina, astrologo,

filósofo y matemático Girolamo Cardano (1501-1576) y los números complejos” ver

(Luzardo & Peña, 2006), entre muchísimos más que le dieron su aporte a un saber en

desarrollo.



De este modo:

(El álgebra de matrices se debe en gran parte al matemático Ingles

Arthur Cayley (1821-1895), quien en 1858 publicó sus resultados sobre

este tema, nacidos de las observaciones sobre el modo como combinan

las transformaciones lineales en la teoría de los invariantes algebráicos.

(pág.3))

El álgebra lineal inicio con problemas complejos en su época, pero hoy en día a

evolucionado a un nivel que ya es uno de los mejores métodos para dar solución a

problemas de la vida cotidiana; esta es una valiosa herramienta, ya que sin ella muchas

de las cosas que en este momento son necesarias para llevar nuestro ritmo de vida no

estarían allí, cosas que hacen que disfrutamos de ciertas comodidades (satélites,

telefonía, computación, …) además ha abierto puertas a nuevas ramas del conocimiento

frente a las ciencias exactas.

Es por esta razón que se debe de anclar el lenguaje a esta y cualquier ciencia, ya

sea exacta o social, ya que esta es la manera a través de la cual nos comunicarnos a

diario con las personas, y como la relación entre las palabras que utilizamos y las cosas

a las que remiten hacen que haya una buena interacción entre el saber y quien quiere

aprender.

Se debe tener claro entonces que el lenguaje humano es la capacidad que tienen

las personas para comunicarse a través de signos, y es en nuestra cabeza que esos

símbolos se anclan como en un engranaje en la máquina de la capacidad cognitiva de

cada ser.

De este modo la problemática característica de este tipo de asignaturas, es el

paso del lenguaje natural al lenguaje abstracto que implica, o sea, a la falta de significado

y poco uso que se da a los conceptos. Es decir, la falta de comprensión, la escasa

modelación de problemas con referente a los conceptos y la constante memorización de

la parte aritmética, es lo que no permite visualizar ciertos procesos de resolución desde

la aplicabilidad de lo aprendido.

Como solución a estas problemáticas se muestran algunas de las investigaciones

realizadas con el tema que es objeto de este estudio:


(Molina & Oktac, 2006). Concepciones de la transformación lineal en contexto

geométrico. En donde los autores se enfocan a través de un trabajo minucioso en tratar

de identificar aquellos modelos intuitivos que pueden tener los estudiantes con respecto a

la transformación lineal en un contexto geométrico y las dificultades que se presentan en

la adquisición de esto.

(Uicab & Oktac, 2006). Transformaciones lineales en un ambiente de geometría

dinámica. Este artículo reporta la ausencia de un pensamiento sistémico en los

estudiantes al resolver problemas de tipo lineal por medio de imágenes geométricas.

Además se hace énfasis en la implementación de las nuevas tecnologías apoyándose en

el software Cabri-geometre II, como una herramienta de colaboración en el aula.

Los autores concluyen que no es tarea fácil ayudar a los estudiantes a que

construyan conexiones entre conceptos matemáticos. Sin embargo, empezar a realizar

actividades con la inclusión de la geometría puede ayudar al desarrollo de metodologías

que permitan precisar conexiones entre los conceptos: su abstracción y la práctica en

problemas.

(Jiménez Alba, 2013). Enseñanza del concepto de matriz a estudiantes de grado

noveno, a través del programa computacional Derive. Para dicha propuesta se planteó la

implementación y la utilización de las TIC en el proceso de enseñanza aprendizaje en su

caso el software DERIVE, de tal forma que se favorezca la construcción de un nuevo

aprendizaje.

(Rosales Ordoñes, 2012). Diseño e implementación de talleres para la enseñanza

y aprendizaje del álgebra matricial y soluciones de ecuaciones lineales con Scilab. Por

medio de actividades mediante la implementación del software matemático Scilab los

estudiantes pudieron tener una mejor adquisición de los conceptos y pudieron centrarse

en los objetivos del curso, sin embargo se deja referencia que la utilización de esto redujo

en un alto nivel las capacidades prácticas de la aritmética.

(Ciancio & Oliva, 2006). APLICACIÓN EDUCATIVA DE LAS NUEVAS

TECNOLOGÍAS PARA EL APRENDIZAJE DE TRANSFORMACIONES LINEALES. En

este documento se establece una propuesta donde la utilización de un software libre

como lo es el MAPLE V, proporciona la opción de visualizar y realizar ciertas



demostraciones a través de las transformaciones lineales mediante la manipulación de

los algoritmos, cuya intencionalidad es apartarse del tablero.

(Costa, Sc, Scarabino, Idiart, & Knoblauch, 2010). ENSEÑANZA DEL ALGEBRA

LINEAL PARA ALUMNOS DE INGENIERÍA AERONÁUTICA: EXPERIENCIA

MOTIVADORA. Por medio de diversas actividades se concluye que a través de que la

aproximación desde el ámbito informacional al algebra lineal la implementación de la

tecnología optimiza los procesos y es práctica al poder mostrar su aplicabilidad en el área

de la aeronáutica.

(Loaiza Chalarca, 1984). ALGEBRA LINEAL. Este es un trabajo que pretende

responder a las necesidades latentes en ese momento, tratando de colocar al alcance de

los estudiantes los contenidos abordados en el área, ya fuera para cursos presenciales o

a distancia partiendo más de las demostraciones y la aplicabilidad de esta área, sin

olvidar la ejercitación de los temas.

Se muestra entonces como se han realizado diversos trabajos en relación al

algebra lineal y en las temáticas que conciernen a ella, pero en especial a las

transformaciones lineales es poca la información que se desprende de ellas, sin embargo

la mayoría de los trabajos que se han desarrollado parten de la utilización de las TIC,

pudiendo resaltar que los computadores en la enseñanza de cualquier área puede

motivar al estudiante, pero también esto se puede convertir en un distractor llevando al

fracaso y la frustración de las actividades, en este caso en particular son tomados más

como un facilitador de procesos algorítmicos, en pocas palabras el estudiante piensa que

la transformación lineal es el vector transformado como objeto mas no como proceso.

1.2.2 Formulación de la pregunta

Al ser testigo a través de las observaciones realizadas en mi practica pedagógica

de la brecha entre lenguaje abstracto en los estudiantes de ingeniería de la facultad de

ciencias básicas del Politécnico Jaime Isaza Cadavid y el lenguaje disciplinar y didáctico

de los docentes y como esto ha hecho que se incremente la deserción semestre a

semestre poniendo en entredicho la responsabilidad que se tiene como docente, se


propone entonces una experiencia de aula enfocada a esas dificultades de tal manera

que se ajuste a un proceso de enseñanza aprendizaje mediado por situaciones problema

desde el manejo de los operadores lineales.

Todos estos procesos como el razonamiento, el lenguaje y comunicación de las

ciencias, la ejercitación y exploración en problemas matemáticos, la modelación y

simulación, y resolución de problemas son grandes retos que tiene la educación

universitaria particularmente en los centros de ciencias básicas y en especial los

maestros, y deben de ser tratados mediantes transposiciones didácticas en diferentes

aspectos tales como: lo disciplinar, lo didáctico, pedagógico y humano, llevando a

proponer un proyecto donde el manejo de los conceptos permita la comprensión en los

estudiantes de esa temática.

De este modo se hace manifiesto el siguiente problema:

¿Cómo las transformaciones lineales contribuyen en el desarrollo del pensamiento

matemático de los estudiantes del Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid (PCJIC)

sede Medellín en los programas de ingeniería en la asignatura álgebra lineal en cuánto a

la comprensión de dicho concepto?

Es por esto que el operador lineal en última instancia es el que tendrá que

establecer la relación entre los diferentes espacios vectoriales del algebra lineal.

Por lo anterior el énfasis del por qué el trabajo está orientado al eje temático

Transformaciones lineales, es por ser una temática central relacionada con conceptos

de los espacios vectoriales. Además las transformaciones lineales son importantes en

muchas áreas de las matemáticas por su aplicación en problemas asociados en las

ciencias físicas, económicas y sociales.

Es de mencionar que gran parte de las carreras, incluyen en su currículo o

programa de estudio un curso como este por su aplicabilidad en diferentes ramas de la

matemática.



1.2.3 Descripción del problema

Al definir problema como aquella situación que es susceptible de mejora y desde

ahí poder establecer que la problemática radica en que los estudiantes de algebra lineal

poseen un desconocimiento de las estructuras algebraicas, desconociendo cosas como

lo son los grupos, los grupos abelianos, los anillos, cuerpos y los campos, y al

desconocer estas se establece que no conocen los conjuntos ni se conocen las

invariantes (propiedades).

Desconocimiento de cosas tales como que un grupo abeliano debe cumplir las

condiciones de que es un conjunto diferente a vacío que cumpla con que sea Cerradura,

Asociativa, Neutro, Inverso y Conmutativa, lo llamado CANICO; estructuras que deben de

ser ya aprendidas por los estudiantes y es ahí donde hay una problemática grande pues

los hechos muestran fallas en lo relacionado al campo en los números reales que impide

de cierta manera la consolidación de temáticas como las transformaciones lineales en los

estudiantes.

Además al desconocer la importancia de estos hechos y al no haber una

estructura consolidada en los reales en el pensamiento matemático de los estudiantes y

docentes es muy complicado comprender la dimensión de este tipo de cursos.

Para ser matemáticamente competente en la enseñanza del algebra lineal se

debe desarrollar una relación entre los procesos generales mencionados anteriormente,

el pensamiento y sistema lógico con sus contextos desde situaciones problemas de

pensamiento matemático y un avance en el concepto de enseñanza de la transformación

lineal el docente debe concebir está como una estructura de aprendizaje que establezca

una aplicación entre los conjuntos, las operaciones y las relaciones de dicho concepto,

sin embargo esto no se ha realizado de la mejor manera, pues se ha ido enseñando a

través de técnicas que facilitan el modo de enseñanza, pasando por alto el

desconocimiento de este tipo de situaciones y donde nadie se toma la labor de enseñar

dicho concepto bajo una estructura de forma clara, profunda y seria de este concepto

bajo la teorización y ejemplificación del mismo.


De esta manera en la descripción del problema se plantea él porque es

importante conocer que las estructuras algebraicas en la formación del pensamiento

matemático del estudiante es indispensable para llegar a estos estados de formalización

concreta, para poder así establecer la relación entre los hechos y las explicaciones y

analizar los supuestos en los que se apoyan los elementos identificados en la

problemática que vamos a resolver en este trabajo final.

Se tratará entonces de dar respuesta a preguntas como ¿Qué está pasando

verdaderamente cuando el estudiante llega a enfrentar este concepto cuando hay un

desconocimiento en su estructura mental y cognitiva? ¿Cuáles son las razones por las

cuales sucede esto? Será entonces que las respuestas a estos interrogantes van acorde

con que los estudiantes siguen trabajando en su estructura cognitiva en función de una

sola variable y no comprende que ya no es así y que se debe de hablar entonces en

función de varias variables conocidas como funciones de variable vectorial las cuales le

dan la bienvenida a los espacios vectoriales.

Por ende el presente trabajo pretende establecer concretamente la relación que

existen entre los conocimientos básicos para el aprendizaje de la matemática con cada

uno de los pensamientos propuestos por el Ministerio de Educación Nacional, cuya

intencionalidad es el de establecer una relación de dichos pensamientos con los espacios

vectoriales propuestos por el álgebra lineal.

Desde el enfoque de sistemas los lineamientos dan la apertura de que es en lo que

verdaderamente se ha de centrar el pensamiento matemático como una propuesta de

enseñanza de la matemática; entonces lo que propone el ministerio es que para la

enseñanza de la matemática hay que conocer muy bien los conjuntos, las operaciones y

muy bien las relaciones.

Es por esta razón que se dará a conocer en algún momento como es visto esto

desde los pensamientos propuestos por el MEN; así como lo expresado en los

estándares sobre los pensamientos y logros que debe de obtener un estudiante que

curse un área como lo es el Algebra lineal a nivel universitario.

De esta manera en la educación y ubicándonos en el área de las matemáticas lo que

se pretende es que los estudiantes sean “matemáticamente competentes” lo cual se

refiere a ser capaz de establecer cognitivamente una relación entre el saber, el modo de



hacer y su entorno, en pocas palabras (adaptar su saber para resolver una situación de

la mejor manera), a través del análisis, la justificación, argumentación y el

establecimiento de los nuevos conceptos en la relación del aprender. Es así, como en la

enseñanza de las transformaciones lineales en un curso de algebra lineal se pretende

contribuir a los aprendizajes de los estudiantes de tal manera que tengan unos elementos

conceptuales y teóricos en el mismo curso y cursos posteriores donde ellos necesiten

esa temática.

Como se ha visto en los antecedentes se han realizado indagaciones para

trabajar temáticas tales como las matrices, los sistemas de ecuaciones e incluso las

transformaciones pero desde un desarrollador (software educativos libres o privados) con

el fin de simplificar los procesos algorítmicos por parte de los estudiantes o sobre el

álgebra lineal en sí. Sin embargo el elemento diferenciador de este proyecto es el trabajo

del álgebra lineal desde los operadores lineales, llevando así a la máxima comprensión

de los procesos y dejando de lado la memorización característica de algoritmos por parte

del estudiantado, estableciendo una relación de dichos operadores con los espacios

lineales (vectoriales) propuestos por el álgebra lineal mediante situaciones problemas

apoyados en las teorías de Aprendizaje Basados en Problemas (ABP).

1.3 Justificación

El proyecto sobre “La enseñanza del concepto transformación lineal como una matriz

asociada a un operador lineal, en la facultad de ciencias básicas, sociales y humanas del

Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid” surge ante la necesidad de los distintos

antecedentes sobre bajo rendimiento académico que se presentan, ya sea por

conocimientos deficientes o en algunas ocasiones hasta escasos de los estudiantes,

atendiendo entonces ha aspectos relevantes tales como la interpretación de los

enunciados, comprensión y aprehensión del lenguaje matemático, dado que la mayor

problemática es el desconocimiento de las estructuras algebraicas y simplemente la

memorización algorítmica de los procesos.

El Álgebra lineal es un saber que se puede cursar en el segundo, tercer o hasta

cuarto semestre de las carreras de Ciencias Exactas en ingeniería del Politécnico


Colombiano Jaime Isaza Cadavid (PCJIC). La cual cuenta con una población estudiantil

de diferente índole a nivel económico y social. Problemáticas como estas ha llevado a

que los docentes nos cuestionemos sobre la didáctica que se emplea actualmente y la

necesidad de un proyecto de aula diferente, que permita a los estudiantes superar las

dificultades que presentan en el aprendizaje de esta asignatura.

El beneficio del diseño de este proyecto se hace debido a que los estudiantes solo

acuden a la memorización esquemática de algoritmos que requiere esta asignatura, lo

cual no deja mucho tiempo a lo realmente importante como lo es la conceptualización, el

análisis de los problemas y sus resultados, sin hablar de su implementación en el

cotidiano vivir.

Como profesor universitario, me interesa saber las diferentes causas por las cuales

los estudiantes no comprenden las temáticas relacionadas con el álgebra lineal,

llevándolos a la reprobación de la asignatura y en algunas veces a desertar, no solo de

cursar la asignatura sino de sus estudios académicos. A la vez determinar que medios

podrían utilizarse para que este fenómeno que es algo común en los pasillos de todas las

universidades disminuya.

El punto de partida entonces, se basará en como la enseñanza a nivel universitario

trata de manera aislada los conceptos de matriz y transformaciones lineales en los

Espacios Lineales (EL), llevándolas casi al punto de tratarlas como temas separados sin

ninguna relación. Además algo común en la enseñanza y el aprendizaje del Algebra

lineal en este nivel o cualquier otro está caracterizado por el manejo excesivo del lápiz y

el papel por los estudiantes, como lo dicen ellos (para aprenderla es necesario rayar

mucho) ejecutando los problemas a partir de reglas que generalizan los procedimientos a

seguir. Debido a esto y la manera como se refuerzan estas reglas al realizar ejercicios

similares a los trabajados en el aula de clase, se lleva al estudiante a la constante

memorización de algoritmos sin la comprensión necesaria de lo que ha realizado y del

porque se debe este resultado o proceso.

Por esto el sistema educativo presenta debilidades por su alto grado de perdida y

deserción, lo que conlleva a los estudiantes a una baja motivación, es allí donde con el

fin de mejorar la calidad y mejorar en cierto modo las falencias que se presentan en la

educación, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) propone un sistema que logre el



mejoramiento continuo en todos los niveles educativos a través de planes de

mejoramiento que permitan desarrollar competencias en los jóvenes de tal manera que

les permita adquirir aprendizajes y con ellos unos elementos fuertes para enfrentarse a

las exigencias no solo académicas sino sociales.

El alcance de este trabajo está orientado al diseño de un proyecto de aula que

despierte una motivación por parte del estudiante y el docente hacia la comprensión del

algebra lineal y en particular las transformaciones lineales como matrices asociadas a un

operador lineal, de tal forma que conlleve a un cambio de actitud del estudiante frente al

estudio no solo de esta asignatura sino de las matemáticas en general y que de igual

forma con ello mejore su rendimiento académico en general. Materializando está en una

cartilla (Proyecto de aula) que tendrá el desarrollo de la temática en tres (3) unidades,

apoyadas en la programación institucional de la asignatura y llevando a un

enriquecimiento no solo para la facultad de ciencias básicas sino como un posible

modelo a seguir por parte de los docentes en los demás cursos en este tema y sirva

posteriormente como insumo para organizar las demás temáticas del curso de algebra

lineal.

De este modo a nivel institucional el perfil docente se enmarca en un ascenso

porque al tratar de implementar, actualizar e innovar en la didáctica de las clases, se

mejora no solo el plan curricular, sino el modo de evaluación y planeación al momento de

dirigir un curso.

En síntesis el proyecto de aula lo que busca es establecer una relación entre:

( ) ( ) ( )

Dónde:

es la matriz asociada al operador

es el operador lineal

es el valor propio

es el vector propio


1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo General

Diseñar un proyecto de aula que contribuya en la enseñanza para la comprensión

del concepto de transformación lineal que favorezca el aprendizaje significativo de

los estudiantes de ingeniería en el curso álgebra lineal del Politécnico Colombiano

Jaime Isaza Cadavid, mediante la implementación de la matriz asociada.

1.4.2 Objetivos Específicos

Diagnosticar el dominio conceptual en términos de conocimientos (teóricos y

prácticos) que poseen los estudiantes acerca de las estructuras algebraicas.

Analizar las estrategias seguidas por los estudiantes para encontrar y dar

respuesta a las diferentes situaciones presentadas, las cuales hacen referencia a

las transformaciones lineales (funciones lineales).

Diseñar una serie de actividades basadas en las transformaciones lineales,

isomorfismos en espacios lineales y las matrices asociadas a un operador lineal

que contribuyan a la práctica pedagógica.



2. Marco Referencial

Este espacio está determinado por aquellas teorías que fundamentarán y harán

explicito ese elemento diferenciador que aporta este trabajo al mundo académico, esto se

realizará a través de teorías del saber pedagógico y saber especifico, las cuales

desarrollarán la problemática expuesta y darán cumplimiento a los objetivos tanto general

como específicos.

2.1 Marco Teórico

La profundización en un determinado tema podría ser igual o más complejo que el

de realizar una investigación, y más si es en enseñanza y/o aprendizaje; ya que se

pretende realizar un proyecto de aula que permita mejorar las dificultades que pueden

poseer los estudiantes y las anomalías de la educación que se presentan a diario en un

ambiente escolar, y en esta ocasión a nivel universitario.

2.1.1 Lenguaje en la ciencia

Para comenzar debemos tener presente algo que es esencial en el proceso no solo

de enseñanza sino de socialización con los demás, la comunicación, y con ella el

lenguaje; aunque el lenguaje tiene diversas funciones, la más importante por así decirlo,

es la función de comunicar.

Como punto de partida se puede establecer que en ocasiones el lenguaje común

del día a día no es el adecuado para la precisión en la descripción de los fenómenos

científicos, es por esto que (Deaño, 1971) establece “el lenguaje científico es ante todo

2. Marco referencial 33

gráfico, y su forma oral no es en cierto modo más que una traducción codificada y

aproximada de la original”; teniendo en cuenta esto y haciendo referencia a que el

lenguaje de las ciencias se establece como un lenguaje informativo, pues su fin es el de

informar lo que se sabe, se puede entender este como un sistema que estructura las

operaciones de la información de manera objetiva y que no da a otras interpretaciones, o

sea que su fin sea unívoco, pues lo que se pretende con ello es demostrar la veracidad o

falsedad de los conocimientos científicos de acuerdo con los vocabularios específicos

que cumplan las necesidades de cada ciencia.

Dado que el lenguaje es un sistema eficaz donde a través de las estructuras ya

establecidas se comunican las ideas (lenguaje escrito), las ciencias se valen de ellas

para un uso concreto como lo es el realizar las descripciones de la parte observacional

para proceder a darles un orden teórico, pues al poseer el dominio sobre un lenguaje

establecido, como lo es el lenguaje científico, esto implicaría poseer la capacidad de

transformar los lenguajes visuales por otros que sean aceptados por la comunidad

científica.

(Lorenzano, 2011) expresa que ya establecido el lenguaje científico como un canal

de información, que se compone por enunciados, se puede establecer los términos como

básicos y complejos, esto facilitará establecer las relaciones entre ellos y como esta

relación tiene el rol de posibilitar el entendimiento o no de las afirmaciones científicas.

Es por esta razón que en el aula de clase el canal entre el lenguaje y la ciencia está

en constante conflicto, ya que el lenguaje escrito no es lo suficientemente claro y al

suprimir la parte observacional para los estudiantes en un área como lo es el álgebra

lineal, que por su manera abstracta y el bajo enfoque que proporcionan los docentes al

momento de enseñar los conceptos, genera un desasosiego frente a la asignatura y esto

se manifiesta semestre a semestre en él estudiantado, no solo al momento de cursarla,

sino también en el momento de elegir y matricularla, ya que se enfrentarán con algo que

para ellos es carente de metodología, práctica y extensa en la parte teórica.

Los profesores universitarios y en especial los de las ciencias básicas esperan que

sus estudiantes comprendan la temática y todos los procesos que se hacen desde una

forma abstracta de tal manera que sea para ellos algo tan natural como el respirar.

Olvidando que la ciencia se vale del lenguaje para explicar con precisión la vida cotidiana



y no para hacerla ver más conflictiva de lo que ya es. Suposiciones, ideas o malos

acercamientos al lenguaje matemático influye en el desempeño y visión que se tiene de

un área o en un caso extremo de la ciencia por parte de los estudiantes.

De esta manera, es así como el lenguaje es importante al momento de investigar,

indagar, observar, expresar y en nuestro caso el de enseñar un saber sabio, sin embargo

a veces los errores que se cometen en el aula de clase frente a cualquier saber en gran

parte es el no conocer su parte histórica (orígenes) de los conceptos, los fundamentos

pedagógicos y la estructura de la parte disciplinar en los que se apoya su práctica.

Pasando por el origen del algebra lineal, por quienes y porque surgió esta linda

herramienta matemática, se debe de pensar como buscar la manera de colocar a un nivel

asequible para el estudiante este saber que no se podría llamar puro (aunque en realidad

no lo es, debido a que ya ha sufrido transformaciones desde su invención hasta el

momento de llegar al aula) sino saber enseñable de un saber sabio, es de esta manera

como los docentes recurren a la transposición didáctica para valerse de ello. En palabras

de (Chevallard & Yves, 1997), la Transposición Didáctica es el “conjunto de las

trasformaciones que sufre un saber con el fin de ser enseñado”.

De acuerdo con (Cardelli, 2004), “El educador no es protagonista del saber

enseñado… El educador se legitima como transmisor, enseña un saber que él no ha

producido y como el producto no es visible pareciera no ser de nadie…esta invisibilidad

política de la Noosfera es parte de un proceso discursivo que se legitima desde el Estado

y que plantea el carácter técnico de las actividades de la misma y, como tal, se subordina

a las necesidades de orden político de los que gobiernan la educación o se adecua a las

demandas de los educadores”

2.1.2 Enseñanza para la comprensión (EpC)

Los procesos de enseñanza-aprendizaje en la actualidad, exigen una revisión

constante no solo del método y las estrategias sino del referente teórico que transformen

las acciones que se desenvuelven en un aula de clase, en la triada que se da entre

estudiante-maestro-saber.


No se puede descartar que una de las razones por las cuales se dan los bajos

rendimientos sea debido a los malos hábitos de estudio, pues estos van de la mano con

la inadecuada técnica de estudio que se utiliza, cabe resaltar entonces que aprender a

aprender tiene una alta influencia en la formación de los estudiantes.

Es aquí donde el estudiante se debe enfrentar a estas situaciones tratando de

determinar la manera de comprender a través de su interpretación, ese lenguaje

científico y entendiendo como esto se asemeja con su leguaje.

Desde este punto de vista se pretende renovar los pensamientos en los docentes

para con ello reformular las actividades que se realizan en las clases. Es decir se pase

de un docente que sea transmisor de un saber sabio a un docente que emprenda la

potencialidad de las habilidades de los estudiantes de tal manera que comprenda y

establezca que hay ritmos de estudio y aprendizajes diferentes.

La propuesta de la Enseñanza para la Comprensión (EpC) surge con el propósito

de desarrollar no solo sujetos capaces pensantes que utilicen sus conocimientos

respondiendo a las necesidades de su entorno de manera coherente, exigiendo leer,

(entendiendo esto no como la unión de letras para formar monosílabas y producir sonidos

de ellas, sino como la comprensión, reflexión y apropiación de lo que se está leyendo),

de tal manera que pueda desarrollar y apropiarse de un discurso autónomo y pueda

ordenar lo que piensa, el cómo establecer el mejor modo de enfrentar un problema y

como desechar las que no son soluciones; además de esto se tratará también de

brindarle a los docentes el espacio de poder pensar sobre su quehacer, vea (Patiño ,

2012); esto debido a que la forma de hacerlo no está dando buenos resultados.

Desaprender lo aprendido es entonces desde donde se inicia un buen proceso de

aprendizaje pues esas teorías que hacen parte de la estructura cognitiva de las personas

a veces no son sino simples interpretaciones y adaptaciones del mundo que les rodea

generándole una explicación de él. Lo que se debe de pretender entonces es lograr

cambiar esas teorías pero no desde la enseñanza textual y memorística que pretenden

los docentes en los estudiantes, sino de una manera que le pueda ayudar a resolver

situaciones y no la acumulación de saberes.

La enseñanza para la comprensión permite al docente establecer relaciones que

lo conlleven a las prácticas de enseñanza a tener aspectos como: Metas de



Comprensión, Desempeños de Comprensión y Valoración continua permitiéndole al

estudiante llegar a una buena comprensión.

Donde las Metas de comprensión: son aquellos objetivos por los cuales se

delimitarán la forma como se abordará la temática, pues el hecho de que se avance más

en un curso no significa que se está comprendiendo en clase, entonces al establecer

estas metas claras se podrá hacer una visualización general de cual es el fin del proyecto

de aula.

Es así como los desempeños de comprensión serían el modo a través del cual se

tratará de alcanzar el tópico anterior, desarrollando esto con actividades donde al

estudiante se le posibilite aplicar lo comprendido, estas actividades deben ser desarrollas

de manera gradual y en un transcurso de tiempo que posibilite la aprehensión de las

temáticas; las cuales tienen un orden lógico de desarrollo (exploración, de manera guiada

y un resultado final).

Finalmente la valoración continua es aquella donde el estudiante debe de hacerse

consciente de sus avances ya sea a través de la autoevaluación o retroalimentación de

las temáticas, de tal manera que esto no sea un punto a parte de la formación, ni sea

visto como un castigo a su proceso de aprendizaje sino un tópico más de su formación

que posibilita un continuo desarrollo entre temáticas; teniendo como punto de referencia

aquellas metas que se establecieron al inicio.

Es de esta manera se plantea el proyecto de aula que posibilite las respuestas a

estos cuestionamientos:

¿Qué se pretende que los estudiantes comprendan?

Dado que lo que se predente es dejar de lado la parte memorística de la

aritmética y los tediosos procedimientos algorítmicos, para pasar a la aprehensión e

interiorización de los conocimientos, de tal manera que el estudiante pueda modificar su

estructura cognoscitiva e instalarlos en su estructura para poder hacer uso de ellos en el

momento que sea necesario.

¿Cómo tener claridad si los estudiantes comprenden?


Esto se determina a través del avance progresivo que el estudiante realice

enfrentando lo desconocido y dando respuestas claras a las actividades propuestas en

las unidades temáticas.

¿Cómo saben los estudiantes si realmente comprenden?

La comprensión es entonces como lo diría (Perkins, 1999)): “La habilidad de

pensar y poder desarrollar un tipo de habilidades que demuestren que se entendió un

tópico y al mismo se tiempo se apodero de él, de tal manera que lo amplia y es capaz de

utilizarlo de una forma innovadora.

Todas estas cuestiones que surgen desde el modelo de la Enseñanza para la

Comprensión (EpC), son tópicos que se pueden abordar desde los fundamentados de las

inteligencias múltiples (Gardner & Boix-Mansilla, 1994) de tal manera que se puede

posibilitar un proceso de enseñanza-aprendizaje que facilite el ritmo de aprendizaje

diferente de cada estudiante.

2.1.3 Aprendizaje significativo

Para Ausubel, el aprendizaje depende de la estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva información, en otras palabras la nueva información interacciona con una estructura de conocimiento específica que Ausubel llama "concepto subsumidor (o subsunzor)" o, simplemente, "subsumidor", existente en la estructura cognitiva de quien aprende. De esta manera las nuevas ideas pueden ser aprendidas y retenidas –“modificación de la estructura cognitiva”. (Moreira, 2000)

En la enseñanza y aprendizaje de las ciencias naturales y las matemáticas, el

aprendizaje significativo en el estudiante es un medio con el cual se vinculan por así

decirlo un saber nuevo con su estructura cognitiva a través de una manera no arbitraria y

sustancial (no literalidad). Es de esta manera que se dice que la nueva información se

ancla en conceptos relevantes preexistentes-subsumidor-en la estructura cognitiva, sin

olvidar que el significado de subsumidor lo aceptamos como conocimiento o idea previa.

En el proceso de enseñanza aprendizaje no hay un derrotero de pasos a seguir

donde se constate el resultado o no de una manera de proceder, sin embargo hay



aspectos relevantes que implican una mirada integradora de todos esos momentos que

se dan en el aula que contribuyen en el aprendizaje significativo, aspectos tales como la

motivación, comprensión, sistematización, transferencia y retroalimentación, son algunas

etapas que proporcionan una metodología a seguir sin ser necesario su estricto orden.

La etapa inicial del aprendizaje es la motivación, una etapa donde el docente

plantea y muestra la importancia que tiene el objeto de estudio para los estudiantes de tal

manera que se cree en ellos una necesidad y un interés por la apropiación de esos

contenidos, donde el docente de recurrir a esos conocimientos previos que el estudiante

tiene para poder establecer una relación entre el fin último de la enseñanza y el objeto de

estudio.

Cuando hablamos de comprensión es la capacidad que posee el estudiante

para adquirir lo que le es importante para aprender, es en esta parte que se le enseña al

estudiante la manera de pensar, ver y encontrar la parte importante de la temática; en

este ámbito se establece entonces la relación entre temática-método

La sistematización es la parte sustancial del aprendizaje ya que es en esta

instancia donde el estudiante se apropia de la temática de tal manera que deja a un lado

la visión simplista y desarrolla un dominio de este saber a tal punto de hacer suyo el

nuevo saber integrándolo a su estructura cognitiva, esto a través del apoyo de aquellos

materiales que proporciona el docente.

La transferencia hace parte a la ejercitación y asimilación de los contenidos con

el fin de que los estudiantes apliquen lo aprendido de una manera que gradualmente su

dominio sea mejor para así poder entender mejor y aplicarlo en nuevas situaciones.

Finalizando la retroalimentación hace referencia al desempeño por parte del

estudiante, ya que lo que se pretende es que se pueda establecer una comparación entre

lo que se esperaba (objetivo) y lo que logro alcanzar en el dominio de la temática.

Es así como en el aprendizaje significativo es importante que el estudiante posea

ideas previas de las cuales se pueda basar para poder aprender, ya que sin ellas aunque

se cuente con todas las condiciones favorables no se puede realizar un aprendizaje.


Es importante establecer que el docente cumple también un papel similar al del

estudiante, ya que él debe estar dispuesto, tener los conocimientos necesarios,

pertinentes y bien definidos además tener una motivación para poder enseñar

significativamente.

Este proyecto partirá de las ideas previas puestas en práctica con situaciones

que faciliten la motivación, comprensión, sistematización, transferencia y

retroalimentación pues como dice (Rodríguez Palermo M. L., 2011) su finalidad es

abordar los elementos que garanticen la asimilación, retención y apropiación de los

contenidos de tal manera que estos adquieran significado para los estudiantes. El

concepto que se trabajará son las transformaciones lineales como una matriz asociada a

un operador lineal donde se tendrán en cuenta los conceptos previos ya aprendidos,

como lo son las matrices sobre un campo (concepto de matriz, operaciones binarias

(internas y externas), operaciones unitarias, equivalencia y sistemas lineales) al igual que

los espacios lineales (la estructura de espacio lineal, subespacios lineales, base

dimensión) y todos los tipos de operaciones en los números reales.

Pretendiendo entonces que lo aprendido por el estudiante sea asociado con lo

que ya sabía para hacer el puente entre eso y lo que pretende aprender haciendo de este

modo un aprendizaje significativo y pueda aplicarlo en el contexto.

2.1.4 Aprendizaje Basado en Problemas (ABP)

Para dar solución problemas, basándonos en el ABP se debe de partir de como la

colaboración y la cooperación es una fuente fundamental en el momento de enfrentar el

aprendizaje de manera positiva, sin olvidar la autonomía del estudiante.

El Aprendizaje Basado en Problemas surge como una opción de que los

estudiantes no aprendan desde la memorización de los contenidos sino para que

adquieran las herramientas necesarias que puedan ser usadas en el momento de

afrontar ya sea un problema real o en nuestro caso uno propiciado desde la unidad

didáctica propuesta, se trata entonces de ir llevando a los estudiantes a una reflexión

continua de su aprendizaje, ya que el docente esta como un facilitador y no como un

transmisor de contenidos.



Según (Piaget , 1999) el ABP provoca conflictos cognitivos en los estudiantes de tal

manera que pueden intensificar su aprender y establecer un aprendizaje significativo.

Para poder desarrollar de una manera adecuada este tipo de metodología en las

clases el docente debe entonces a través de una puesta en escena de los objetivos del

aprendizaje y de qué manera se pretenderá alcanzarlos, no hay un esquema fijo o la

manera de cómo utilizar el ABP, sin embargo muchos autores coinciden en una

secuencia lógica que debe establecer el docente:

- Establecer los objetivos.

- El tiempo de duración de la práctica.

- La evaluación de como el estudiante enfrentó el problema y que estrategias de

aprendizaje utilizó el estudiante para dar solución.

De esta misma manera surge una ruta intuitiva por parte de los estudiantes al

momento del desarrollo del ABP:

- Lectura y análisis del problema: donde se trata de que el estudiante

comprenda y discuta su manera de ver el problema.

- Lluvia de ideas: aquí se trata de lanzar hipótesis sobre la mejor manera de

resolverlo, las cuales se irán desechando o aceptando según sea la evolución

de la solución.

- Establecer una lista de las cosas conocidas.

- Escribir lo que se desconoce: aquí se hace referencia aquello que se debe

de saber para dar solución al problema.

- Cuáles son las estrategias para afrontar el reto.

- Esclarecimiento del problema: es en esta instancia donde se explica

claramente que es lo que se desea resolver y de qué manera.

- Obtención de la información: se establece las fuentes desde donde poder

resolver el problema.


- Presentación de resultados: aquí se muestra bien sea la solución o la

manera como se afrontó el problema, sacando las conclusiones e inferencias

y recomendaciones para aquellos que pretendan resolver el mismo problema.

Es de esta manera como la implementación del ABP y el aprendizaje significativo

se complementan como estrategia en la resolución de problemáticas, ya que aportan a

un análisis crítico y una reflexión autónoma sobre su aprender, apropiándose entonces

de un discurso propio que le posibilita la mayor retención de la información.

2.2 Marco Disciplinar

El álgebra lineal estudia conceptos tales como: vectores, matrices, sistemas de

ecuaciones lineales, espacios vectoriales, transformaciones lineales, entre otros valiosos

aspectos (que no son nuestra línea de profundización); y no solo esto sino que su campo

de acción es amplio dado que este estudio es adaptable al análisis funcional, a las

ecuaciones diferenciales, gráfica de computadoras, campos de ingeniería, entre otras

áreas de conocimiento.

Enfocándonos en que las transformaciones lineales sean entendidas como un

conjunto de reglas y operaciones y que así se permita el uso idóneo de ellas de tal

manera que se puedan aplicar y sea visible que al hacerlo por ejemplo en un vector,

cambia su dirección o aumenta o disminuye su tamaño y que de igual manera sea

posible realizar lo mismo en matrices o cualquier campo del algebra.

En esta misma línea reconocer la importancia y abordar aquellos trabajos que han

sido tratados en cuanto al Álgebra Lineal, permite la profundización de saberes, ya que

está es la que transversaliza los parámetros establecidos anteriormente. Debemos de

entender que el álgebra lineal es una de las áreas básicas para ingenieros, por tal motivo

es de relevancia que los estudiantes desde el inicio del semestre sean conscientes de su

importancia y lo fundamental de su aplicabilidad, aunque aparentemente sus contenidos

sean muy abstractos.



Un ejemplo concreto entre muchos permite ver el álgebra lineal como una

herramienta fundamental de la informática y las ciencias de la computación. Entre sus

aplicaciones esta la teoría de la información, la teoría de códigos, la criptografía e incluso

las más recientes tendencias en computación (computación cuántica), un ejemplo

puntual es en el campo de la administración de empresas, donde esto proporciona

instrumentos para la toma acertada de decisiones en lo referente a la optimización de

recursos escasos, además de permitir determinar ingresos, ventas, pérdidas, entre otras.

Debido a que los estudiantes no realizan la conexión entre los conceptos y los

toman como elementos apartados los unos de los otros y esto es una dificultad que está

presente y que se ha tratado de afrontar en diversos trabajos; algunos de ellos han tenido

como eje articulador la construcción de actividades a través de la implementación ya sea

de software libre o con licencia(Cabri-géometre II, Derive, MATLAB, Scilab,..), donde se

pretende ver la computadora como una herramienta que ofrece una reducción de

procesos tediosos para los estudiantes.

Lo anterior afirma cuáles son las implicaciones de trabajar con los medios

informáticos y como el conocimiento en el ámbito educativo y en particular las

tecnologías digitales están transformando el modelo de universidad tradicional, en las

instituciones de enseñanza superior, sin embargo no es objeto de estudio de este

proyecto las implicaciones del trabajo con medios informáticos

Es necesario entonces enfocarnos en la manera como los estudiantes asimilan de

manera no muy clara cuando se habla de transformación lineal, ya que no logran

entender que las transformaciones son sinónimos de cambios, aplicaciones, funciones,

operaciones, mapeos,… de tal manera que un momento dado se pueda dar respuesta

con este trabajo a: ¿qué es lo que se entiende como un cambio en la matemática?, que

en sí son las transformaciones y enfocándolas a un solo componente como lo son las

transformaciones lineales.

El presente proyecto pretende establecer concretamente la relación que existe entre

los conocimientos básicos para el aprendizaje de la matemática con cada uno de los

pensamientos propuestos por el Ministerio de Educación Nacional.


Cuya intencionalidad es la de desarrollar el pensamiento numérico enfocándonos en

el campo de los números reales, donde se espera que los estudiantes apliquen lo

aprendido a través de la utilización de la comparación racionamiento, análisis, bosquejo,

solución y planteamiento de problemas.

Fundamentados en la Constitución Política que establece el derecho a la educación,

a la libertad a la enseñanza, aprendizaje, investigación y cátedra y sujetos a la Ley 115

de 1994, en los artículos 1 y 4, los cuales establecen que la educación es una formación

constante en el sujeto que busca a través de ella su integralidad, dando así un horizonte

a la formación de los estudiantes a través de una educación con calidad, de tal manera

que se prepare al estudiante para el desempeño óptimo de su profesión ya sea técnica,

científica, humana, cultural, filosófica o social.

2.2.1 Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales que

consisten en transformar un espacio vectorial en otro.

2.2.1.1 Concepto de operador lineal

Sean y dos espacios lineales sobre un mismo campo ,

entonces un operador lineal ( ) estaría definido como:

1 una función ( )

esto significa que a cada elemento de le corresponde un único elemento de .

Siendo denominada función: transformación: aplicación: operador: … lineal

si conserva invariante la estructura de espacio lineal, y además cumple con las siguientes

condiciones:

1 Entiéndase a y como espacios vectoriales formados por distintos elementos: vectores, matrices, polinomios,

conjuntos de polinomios



Sea

i. operador aditivo. (Operación Binaria Interna-OBI)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ii. operador homogéneo. (Operación Binaria Externa-OBE)

( ) ( )

Estas propiedades se resumen en:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Dónde:

El primer miembro es de elemento de .

El segundo miembro es . de elemento de .

también recibe el nombre de entre los espacios y W

2.2.1.2 Espacio de los operadores lineales

Partamos de que ( ) es el conjunto de todos los operadores (funciones)

lineales. Definidas de V en Entonces precisando un espacio lineal teniendo en cuenta

que

⟨ ( ) ⟩

Donde en este conjunto se definen:

i. Relación de equivalencia

Sean ( )


( ) ( )

ii. Adición (OBI):

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

La adición de operadores lineales es un operador lineal, ya que cumple con la

aditividad y homogeneidad.

iii. Producto por un escalar (OBE):

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

El producto de real por un operador lineal es un operador lineal, ya que cumple con

la aditividad y homogeneidad.

2.2.1.2.1. Propiedades de los operadores lineales

i. Conserva el elemento neutro

Si ( ) entonces ( )

De tal manera que:

se tiene que ( )

Al aplicar se cumple:

( ) , ( ) - ( ) ,( ) -

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ii. Conserva el elemento inverso

Si ( ) entonces ( ) ( )

De tal manera como es un espacio lineal:

( ) , inverso aditivo de , de tal manera que ( ) .

Al aplicar se cumple:



, ( )- ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

iii. Todo elemento del espacio queda bien definido por su acción sobre una

base del espacio .

Si ( ) y * + es una base de . Entonces si se conocen las

imágenes de los elementos de mediante , se puede conocer la imagen de cualquier

elemento de .

2.2.1.3 Núcleo y rango de un operador lineal

Todo operador lineal determina dos importantes subespacios

Sea ( ) con , espacios lineales de dimensión finita sobre .

2.2.1.3.1. El Núcleo del operador es un subespacio de :

( ) * ( ) +

NOTAS

i. ( ) , como es lineal, conserva el elemento neutro, así:

( ) ( )

ii. ( ) conserva la OBI

( ) ( ) ( )

Si { ( )

( ) {

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

iii. ( ) conserva la OBE

( ) ( )


Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

iv. ( )

v. ( ) recibe el nombre de nulidad de .

2.2.1.3.2. El Rango (recorrido) del operador es un subespacio de :

( ) * ( ) +

NOTAS

i. ( ) , pues existe tal que:

( )

ii. ( ) conserva la OBI

( ) ( ) ( )

Si { ( )

( ) {

tal que { ( ) ( )

( ) ( ) ( ) luego ( ) ( )

iii. ( ) conserva la OBE

( ) ( )

Si Y ( ) tal que ( ) ( ) ( )

Luego ( )

iv. ( ) es un subespacio de .

v. ( )

vi. Si y son Subespacios de dimensión finita, entonces

( ) ( ) .



2.2.2 Isomorfismo en Espacios Lineales

2.2.2.1. Tipos de operadores lineales

Se trata de determinar cuándo una función lineal posee inversa y que

características especiales tienen este tipo de funciones.

Sea ( ). se considera un operador lineal:

i. Inyectivo (1 a1) si:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) * + ( ( ) )

ii. Sobreyectivo o Exhaustivo si:

tal que ( ) ( )

iii. Biyectivo o regular si y solo si:

es inyectivo y sobreyectivo ( ) * + y ( )

Todo operador lineal regular transforma una base del espacio de partida en una base

del espacio de llagada.

2.2.2.2. Espacios lineales isomorfos

Sea y espacios lineales de dimensión finita en el campo .

se dice isomorfo de , denotado por: , si existe un

operador lineal biyectivo.

, si y solo si tal que es:

i. Lineal: , - ( ) ( )

; ( ) ( )


ii. Inyectivo ( ) * +

Sobreyectivo ( )

iii.

iv. ( )

NOTA: Para establecer un isomorfismo entre dos espacios lineales, basta con

establecer una correspondencia entre sus bases canónicas

2.2.3 Matrices asociadas a un operador lineal

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ

A todo operador lineal definido entre espacios lineales de dimensión finita se

puede asociar una matriz que depende de las bases tomadas en cada espacio y de sus

respectivas dimensiones.

Dados:

, espacios lineales de dimensión finita sobre un campo

;

( )

* + una base ordenada de .

* + una base ordenada de .

Existe ( )

Matriz asociada a en las bases y , tal que:

( ) , ( )-



Para obtener la matriz asociada a se procede de la siguiente manera:

Como es una función del espacio en el espacio de entonces

( ) ( )

Así obtenemos ( ) como Combinación Lineal (CL) de la base ordenada y su

vector ordenado:

( ) , ( )- ( )

El cual procede del producto de la matriz formada por los soportes de cada ( )

escritos como vectores columna (o como filas y se toma su matriz transpuesta) con su

respectivo vector coordenado de en su base ordenada .


2.3 Marco Legal

Dentro de lo establecido en la educación colombiana podríamos determinar

algunos aspectos:

La educación colombiana ha atravesado por cambios en los últimos tiempos, estos

han estado regulados por la Ley General de Educación (Ley115/1994), la cual establece

las normas que dan cumplimiento a la función social de acuerdo a las necesidades de

cada población basándose en los principios constitucionales donde cada persona posee

el derecho a la educación.

Los lineamientos curriculares de matemáticas, afirman que el estudio del algebra

debe darse desde otra visión diferente a la establecida, ya que si se realiza de ese modo

se priva al estudiante de llegar al modelo o acercarse a los sistemas simbólicos, ahí es

donde este proyecto pretende que sean los estudiantes quienes encuentren las

relaciones y establezcan las conclusiones y estructuras para dar solución a un problema.

En los centros académicos de educación superior en sus pensum académicos,

algunos de sus pregrados han establecido el curso de Álgebra lineal por su importancia

y en ella inmersa las transformaciones lineales, se establece entonces la importancia del

estudio del algebra lineal ya que en ella se encuentra que tiene un gran número de

aplicaciones en diferentes áreas del conocimiento como las matemáticas, la física, la

química, programación lineal, la administración e ingenierías, además que muchos de los

problemas asociados a fenómenos naturales, económicos y sociales se pueden expresar

a través de modelos lineales y en esta asignatura se proveen los elementos

fundamentales que le permitirán al alumno caracterizar y resolver estos problemas

mediante métodos lineales.

Sin embargo cabe resaltar como desde la parte legal, y al estar establecida en la

constitución de 1991, los docentes tienen libertad de cátedra: “El Estado garantiza las

libertades de enseñanza, aprendizaje, investigación y cátedra.” (Artículo 27,

CONSTITUCIÓN POLÍTICA DE COLOMBIA 1991), donde cada docente es idóneo y

capaz de enseñar a través del método que crea conveniente cada temática como las

transformaciones lineales o guiar un curso en particular como lo es el Álgebra Lineal; sin



embargo no es fácil ser agradable para el total de la población estudiantil, pues no a

todos este tipo de asignaturas es desagradable, ni la manera como sea dictada (método).

Entendemos entonces como “los establecimientos educativos que ofrezcan la

educación formal gozan de autonomía para organizar las áreas obligatorias y

fundamentales definidas para cada nivel…” (MEN, Decreto 230, 11 de febrero de 2002).

La educación colombiana desde su estructura legal postula lo siguiente:

A nivel nacional y como ente superior, el MEN en su plan seccional “Educación con

Calidad: El camino para la prosperidad” (2010-2014) se postula como el conocimiento es

primordial para la transformación social cuyo propósito es formar mejores seres humanos

que contribuyan al progreso y la prosperidad del país.

Dentro de estas estrategias se promueve una educación competitiva que

transforme los sujetos para que sean capaces de tener las mismas oportunidades a nivel

laboral en la sociedad, logrando así que cada ser logre tener un desarrollo de su proyecto

de vida.

A nivel departamental (Gobernación de Antioquia) en Antioquia la más educada

(2012-2015) plantea como reto central “la transformación, en el marco de todas las

necesidades que debemos atender, se produce cuando abrimos la puerta de las

oportunidades”, logrando esto a través del enfoque en las capacidades de las personas.

A nivel regional (Alcaldía de Medellín, 2012) a través del Plan de Desarrollo (2012-

2015), plantea como a través de la educación se puede garantizar la equidad y la

inclusión social, entendiendo esto como la práctica generalizada en aspectos como vida

política, económica y social de toda la población, ya que sin inclusión no es posible la

equidad, de igual manera sin olvidar como esta pretende el fortalecimiento de la

convivencia y el respeto por la vida.


Contexto Institucional

Las transformaciones lineales en el Politécnico Colombiano Jaime Isaza

Cadavid

El Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid dispone la asignatura Álgebra

Lineal que corresponde a la facultad de ciencias básicas desde el segundo semestre de

las diferentes tecnologías e ingenierías que en su pensum así lo tengan estipulado. Por

otra parte la temática Transformaciones Lineales aparece en el núcleo temático

específicamente en el segundo bimestre:

Tabla 1. Núcleos temáticos Algebra Lineal PCJIC

COMPETENCIA GENERAL DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL

Propone, plantea y resuelve problemas prácticos y teóricos mediante métodos lineales

utilizando matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.

QUINTA UNIDAD DE

APRENDIZAJE:

VALORES Y VECTORES

PROPIOS Y

TRANSFORMACIONES

LINEALES

ELEMENTO DE COMPETENCIA

Diagonaliza matrices y determina la matriz asociada a una

transformación lineal.

Contenido Cognitivos Procedimentales Valorativos Socializadores

Definición y

cálculo de

valores y

vectores

propios de una

matriz

cuadrada.

Reconoce los valores y vectores propios de una matriz cuadrada.

Halla los valores y

vectores propios de

una matriz

cuadrada.

Demuestra

orden al

calcular los

valores y

vectores

propios de

una matriz

cuadrada.

Expone sus

ideas en forma

clara y acepta

las ideas de los

demás.



Diagonalización

de una matriz.

Identifica

cuando una

matriz

cuadrada es

diagonali-

zable.

Diagonaliza

correctamente una

matriz cuadrada.

Se apropia

del método

para la

diagonaliza-

ción de

matrices

cuadradas

Socializa

procedimientos

que facilitan la

comprensión de

la diagonaliza-

ción de una

matriz.

Definición de

transformación

lineal, ejemplos

y propiedades.

El núcleo y la

imagen de una

transformación

lineal.

Identifica los conceptos de transforma-ción lineal, núcleo e imagen de la misma.

Determina si una

transformación es

lineal.

Calcula el núcleo y

la imagen de una

transformación

lineal.

Demuestra

seguridad al

calcular el

núcleo y la

imagen de

una

transforma-

ción lineal

Participa

activamente en

el grupo

exponiendo los

hallazgos

individuales.

Matriz de una

transformación

lineal.

Reconoce la

matriz de una

transforma-

ción lineal

Calcula la matriz de

una transformación

lineal.

Muestra

interés en la

adquisición

de conceptos

claros sobre

matriz de

una

transforma-

ción lineal.

Trabaja en

grupos

respetando el

aporte de sus

compañeros.

Tomado de: Núcleos temáticos para el logro de las competencias de Álgebra Lineal:

Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid (2010)


2.4 Marco Espacial

Contextualización

La Facultad de Ciencias Básicas, Sociales y Humanas ocupa un lugar central en el

Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid. Tal centralidad tiene que ver con su

función y con la posibilidad de dar cuenta de la vocación tecnológica de la institución. Lo

primero concierne al modo como esta unidad académica impacta los currículos de los

diferentes programas; mientras que lo segundo refiere la manera como esta unidad

académica se vincula a los diversos ejercicios teórico-prácticos llevados a cabo en el

resto de la institución.

Misión

Somos una Unidad Académica que proporciona los principios básicos y las

herramientas para fortalecer el pensamiento y el desarrollo integral del ser, contribuyendo

al propósito misional de la institución.

Visión

La Facultad de Ciencias Básicas, Sociales y Humanas se destacará en el 2020 por

proporcionar los lineamientos conceptuales para la gestión de conocimiento científico,

humanístico y tecnológico en beneficio de la formación integral del estudiante y de la

sociedad en general.2

2 Tomado de: (Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid - Facultad de Ciencias Básicas, Sociales y

Humanas)



3. Diseño metodológico

Este proyecto se enmarca en la intención de dar respuesta a ciertos

cuestionamientos: ¿Qué es lo que se pretende resolver? ¿Qué se pretende obtener?

¿Qué estrategias se han de utilizar? ¿Para qué se realiza esto?

Sin embargo es importante resaltar bajo qué condiciones se desarrollará esta

monografía, partiendo de la descripción de ella y de igual manera que es un estudio de

caso y una experiencia de aula.

3.1 Tipo de Investigación: Profundización de corte monográfico

El programa de maestría en la enseñanza de las ciencias de la universidad

nacional de Medellín se apoya en una investigación de profundización

La indagación que se hace en este trabajo final, está apoyada en una investigación

de tipo aplicado que cabe como monografía.

La monografía ( uno; : escribir) es un texto argumentativo que

organiza datos sobre un tema a través del estudio minucioso de fuentes de información

seria (estado del arte) que pueden ser tomados de diferentes fuentes; las monografías

pueden ser realizadas ya sea sobre una descripción o una temática que hace parte de la

ciencia o de un asunto particular; este tema debe de resultar interesante y también de

interés para el público al que va destinado; su extensión varía desde unas pocas páginas

hasta la dimensión de un libro, es por ello que es conveniente delimitar el tema (algo muy

específico y puntual) para poder llegar a ser realizado.

3. Diseño metodológico 57

La elaboración de esta monografía consta de las siguientes partes:

Aspectos preliminares.

Marco referencial.

Diseño metodológico.

Trabajo final.

Conclusiones y recomendaciones.

Anexos.

3.2 Método

El proyecto será realizado en el Politécnico Jaime Isaza Cadavid en la Facultad de

Ciencias Básicas, Sociales y Humanas, sede Poblado en el municipio de Medellín, la

institución es de carácter privada y la población estudiantil es mixta.

En el tercer semestre de la carrera ingeniería informática se observó que los

estudiantes manifiestan y demuestran dificultades para comprender las temáticas y

enunciados que componen el álgebra lineal, y por tal motivo no realizan de manera

correcta las operaciones adecuadas al solucionar las situaciones.

Al ser un trabajo de índole educativo y sobre todo cuando se trabaja con personas

adultas que cursan estudios universitarios, se debe tener presente que en este proceso

la formación es algo inherente y que ella gira en torno al estudiantado. Es por este motivo

que se toma el estudio de casos como una herramienta de ayuda para tal fin, ya que

como ellos no poseen un buen dominio de la parte aritmética, se tratará entonces de que

al momento de abordar el álgebra lineal sea a través de un lenguaje, en el cual pueda

descifrar no solo la connotación del enunciado sino que el vocabulario que se emplea sea

algo normal y con sentido para él, no solo en el momento leer sino también de escribir, y

esto será a través de las transformaciones lineales como ese elemento diferenciador.

El proyecto se desarrollará a través del estudio de casos, donde se pretende que

los estudiantes y docentes adquieran las diferentes estrategias para el desarrollo óptimo



de la solución de situaciones a través de tres unidades prácticas, que le permitirá

interactuar con el conocimiento de manera significativa.

3.2.1 Estudio de casos

Definición

Es una herramienta metodológica que se utiliza en el ámbito educativo y por su

carácter investigativo está identificado a la metodología cualitativa; además es una

herramienta de fácil acceso para el momento de comunicar un conocimiento científico por

su descripción detallada. Este método es práctico debido a que permite a través de la

observación desarrollar una infinidad de factores que permiten dar respuesta a las

preguntas iniciales de toda investigación, ya que dentro de su esquema se trata de

aprender acerca de la complejidad de una sola unidad de un todo a través de una

descripción y un análisis extensivo.

De acuerdo con (Villareal & Landeta, 2010) “El estudio de casos permite analizar

el fenómeno objeto de estudio en su contexto real, utilizando múltiples fuentes de

evidencia, cuantitativas y/o cualitativas simultáneamente”.

Pero ¿Qué puede ser un estudio de caso?, un caso en tanto a lo educativo puede

ser cualquier entidad observable del mundo real, esto puede ser un niño (estudio de caso

único), un profesor, una clase, o un colegio o en poca palabras cualquier cosa que se

pueda definir y observar.

Sus características esenciales se pueden definir como:

Particularista: es particular porque se centra en un caso, una situación o evento

en particular, del cual se conoce muy bien, esta singularidad implica que se conocen

otros casos, pero es importante que se enfatice solo en la necesidad de dicho caso.

Descriptivo: porque pretende realizar una densa y puntual descripción del

fenómeno objeto de estudio.


Heurístico: ya que se pretende dar a entender sobre la comprensión del caso,

puede dar al descubrimiento de nuevos significados, ampliar la experiencia del

observador o confirmar lo que se sabe.

Inductivo: se llega a generalizaciones, es decir se caracteriza más por el

descubrimiento de nuevas relaciones y conceptos que por la verificación de hipótesis

determinadas.

3.2.2 Aprendizaje autorregulado

Una de las responsabilidades de ser universitario es que cada persona es

consiente y responsable sobre su propio saber, ya que se estudia lo que se gusta y la

autoeficiencia es una creencia vinculada a la autorregulación del aprender, es por este

motivo que se debe hacer caer en cuenta que debe de convertirse en una necesidad no

en una opción.

El establecer las estrategias de las cuales se vale un estudiante para emplear su

tiempo y la manera como se dedicara a estudiar; realizando un esfuerzo propio por el

aprendizaje autorregulado determinará que al obrar de una u otra manera esto influirá en

su proceso de formación y que dependerá en gran medida de su actividad e interacción

con el conocimiento (autonomía), según (Zimmerman, 2000), ”la autorregulación se

define como las acciones, sentimientos y pensamientos autogenerados para alcanzar las

metas de aprendizaje”.

Sin olvidar que todo esto funciona por la parte motivacional del individuo en

cuestión, ya que debe de haber una iniciativa personal y una constancia.

Este tipo de aprendizaje se caracteriza por:

- Establecimiento de metas.

- Selección de estrategias de autorregulación del tiempo.

- Uso adecuado de las estrategias.

- Autoevaluación de su aprendizaje.

- Acciones correctivas.



El aprender a aprender es fundamental en el proceso de formación en el ámbito

educativo, ya que aquel que autorregula su formación es autónomo en muchos aspectos

de su vida.

3.2.3 Experiencia de aula

En el momento de ingresar a la educación universitaria no solo se produce un

cambio en cuanto a los estudiantes por parte de la metodología sino frente a la

mentalidad que debe de establecer para afrontar este tipo de situaciones; pues ya no

está el maestro (guía) quien supervisa su rendimiento frente al trabajo que se realiza. En

la enseñanza universitaria el docente es el encargado de mostrar la puerta del camino al

conocimiento y las pautas para llegar a él; se espera entonces que el estudiante realice

un aprendizaje autorregulado de manera responsable de tal manera que mejore su

rendimiento académico es entonces en este contexto donde surge la experiencia de aula

como una alternativa para fortalecer esa actividad de conocimiento.

Una experiencia de aula es una propuesta que atiende la necesidad que se

identifica en el proceso de enseñanza, la cual se basa en una fundamentación teórica y

metodológica coherente tratando de generar un buen impacto en el ambiente escolar; en

ella participan activamente las partes (docente-estudiante) tratando de llevar un

seguimiento no solo en la ejecución, sino en los avances, dificultades y aprendizajes que

se establezcan.

Una propuesta de aula tiene algunas características:

Tiene un tiempo de desarrollo mínimo, el cual es idóneo con la

metodología del estudio de caso.

Es un punto de referencia para la autoevaluación docente, en cuanto a su

creatividad y su quehacer pedagógico.

Fomenta el desarrollo cognitivo de los estudiantes a partir de las

competencias básicas.

Lo que se pretende es que el estudiante comprenda que en un ambiente universitario

se le abren mundos nuevos, ideas nuevas y que su capacidad de análisis y de


perspectiva se debe de desarrollar, y una buena manera de hacerlo es a través de un

proyecto de aula donde habrá una interacción constante entre el estudiante y el

conocimiento tratando así de generar un aprendizaje significativo; y de esta manera

lograr desarrollar una capacidad de análisis crítico de su formación intelectual.

Aprender es apropiarse de otras maneras de pensar y de actuar, otros criterios otros

valores, contrastar lo que se tiene con lo nuevo que se ofrece y así poder tener otra

visión para ver las cosas y enriquecer su saber, es por esto que la formación universitaria

es una preparación para la eficacia y eficiencia en el ámbito profesional.

Todos los estudiantes son entes activos del proceso de enseñanza-aprendizaje, con

lo que aprender y no solo eso sino enseñar es un acto complejo, ya que el tratar

comunicar un lenguaje científico con palabras que sean entendidas por parte de los

estudiantes, teniendo en cuenta que cada uno de ellos tiene creencias y conocimientos

establecidos por su experiencia educativa, se pretende entonces ofrecer una oportunidad

diferente a la hora de enseñar como un reto donde los docentes logren que los

estudiantes aprendan y logren contextualizar lo aprendido en su mundo laboral,

remitiéndonos a (Hirsch, 2006)“…en particular, el estudiante debe ser un testigo traductor

y transmisor de los fenómenos y cambios que suceden en el tiempo…”

Es de esta manera que el método basado en problemas a través de un proyecto de

aula soportado bajo una unidad didáctica será el fin de este trabajo de profundización,

partiendo entonces de que una unidad didáctica es una propuesta metodológica en la

cual se encuentran un conjunto de actividades, cuya principal función es la de facilitar la

enseñanza y el aprendizaje a través de un uso estratégico consciente de procedimientos

que permiten una solución adecuada a la situación planteada.

“La intensión en sí de las unidades didácticas es la de lograr que los estudiantes a

través de algunos métodos favorezcan su aprendizaje, o sea el cómo, el cuándo y el por

qué es indicado o no aplicar un procedimiento enseñado” (Monereo, et al., 2001)

El proyecto de aula, es entonces, una propuesta didáctica en el aula. Entendiendo

la didáctica como un proceso de mediación entre sujetos que se comunican haciendo y

como transposición de las ciencias hacia su enseñanza a través de preguntas para poder

así que los estudiantes adquieran no solo la información necesaria, sino también

actitudes y habilidades. Es entonces el docente quien realiza la intervención pedagógica



a través de elaboración de actividades intencionadas por medio de situaciones que

faciliten el aprendizaje en los estudiantes. (González Agudelo, 2001)

“El proyecto de aula se encuentra en tres momentos: la

contextualización, lo metodológico y lo evaluativo. En la

contextualización, se centra en el problema, el objeto, el objetivo y el

conocimiento. En lo metodológico se relaciona el método, la población y

los medios. Finalmente lo evaluativo hace referencia a la obtención del

objetivo planteado inicialmente por parte de los estudiantes, comparando

resultados para determinar aciertos y desaciertos” (González Agudelo,

2001)

En lo contextual se parte entonces de la profundización en la temática desde una

perspectiva menos formal y más asequible para el estudiantado sin dejar de lado el

objetivo de aprendizaje, en lo metodológico es el camino y herramientas que se le darán

al estudiante a través de la ejemplificación que le permitan lograr los objetivos de

aprendizaje y lo evaluativo será la puesta en práctica de lo aprendido y así comprobar el

cumplimiento del objetivo inicial.

Para realizar una intervención en el curso algebra lineal del Politécnico Colombiano

Jaime Isaza Cadavid, el proyecto de aula tendrá un diseño de unidades didácticas, las

cuales permitirán llevar una secuencia lógica que permita el dominio conceptual de las

transformaciones lineales pretendiendo así mejorar su desempeño académico. Según el

Ministerios de Educación y Cultura de España (1992) (MEC) considera una unidad

didáctica como:

“La unidad de programar y actuar del docente configurada por el

conjunto de actividades que se pretenden desarrollar en un tiempo

determinado, para la consecución de los objetivos, dando respuesta así a

todas las cuestiones curriculares al que enseñar (objetivos y contenidos),

como enseñar (actividades, organización de los tiempos, recursos

didácticos) y la evaluación, enmarcando todo esto en un tiempo

claramente delimitado” (Corrales Salguero, 2010)

Las unidades didácticas apuntarán al desarrollo de ciertas actividades que

posibiliten la apropiación de los conceptos relacionados con las transformaciones

lineales; esta será elaborada según los parámetros estructurales establecidos por


Yesenia Quiceno Serna y Diana Estella Gallego Madrid en la guía para la elaboración de

unidades didácticas, cuya estructura es la siguiente:

Tabla 2. Elementos de una unidad didáctica.

ELEMENTOS DE LA UNIDAD DIDÁCTICA

Descripción de la

unidad didáctica

Acá se indica el tema o nombre de la unidad, los conocimientos

previos por parte de los estudiantes, hacia quien va dirigido.

Hacer referencia al número de sesiones de que consta la unidad

y el momento en que ha de ser puesta en práctica.

Objetivos didácticos

Los objetivos establecen qué es lo que se pretende que

adquiera el estudiante durante el desarrollo de la unidad

didáctica. A la hora de concretar los objetivos didácticos, es

importante tener presente todos aquellos aspectos relacionados

con los temas transversales y las estrategias para hacer

partícipe al estudiante en el desarrollo de los objetivos.

Marco teórico

Está determinado por un escrito que relaciona aquellas teorías

de las cuales se sustentan el desarrollo de los contenidos y de

las actividades de aprendizaje.

Contenidos de

aprendizaje

Son seleccionados según los objetivos planteados. Se debe

realizar una secuencia de aprendizaje sobre lo que se ha de

trabajar a lo largo de la unidad, prestando atención a los

conceptos que los estudiantes aprenderán, entre ellos los

contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales.

Secuencia de

actividades

Permite facilitar la consecución de los objetivos y contenidos

obtenidos. En este apartado, es muy importante establecer unas

secuencias de aprendizaje en la cual las actividades estén

íntimamente relacionadas.

Se debe tratar de ajustar las actividades según las necesidades

educativas de la población que es variantes en los diferentes

estudiantes.



Recursos o

materiales

Establecer los recursos específicos para el desarrollo de la

unidad (bibliográficos, audiovisuales, informáticos,…)

Organización del

espacio y el tiempo

Se señalan los aspectos específicos en torno a la organización

del espacio y del tiempo de las actividades a desarrollar.

Evaluación

Las actividades que van a permitir la valoración de los

aprendizajes de los estudiantes, de la práctica docente y los

instrumentos que se van a utilizar para ello, deben ser situadas

en el contexto general de la unidad, aclarando cuales será los

tópicos de valoración de dichos aspectos.

Recordando que la evaluación es un aprendizaje continuo y

esta debe de estar reflejada de principio a fin.

(Quiceno Serna & Gallego Madrid, 2010)

La finalidad en sí de esta unidad es poder planificar y organizar el proceso

enseñanza aprendizaje que lleva dentro del aula. Donde se mantendrá un ambiente

controlado sin tener espacio para las improvisaciones que pueden representar un fracaso

de la actividad, de tal manera que se puede anticipar a los posibles fracasos y que estos

sean atendidos y prevenirlos antes de que ocurran.


3.3 Instrumento de recolección de información

3.3.1 Elementos diagnósticos

El taller diagnóstico consta de dos partes: la primera parte es una encuesta

realizada a los estudiantes y una entrevista a los maestros, su diseño fue apoyado en los

lineamientos curriculares de las carreras de Ingeniería y Matemáticas. La estructura de la

encuesta está compuesta por 10 enunciados de selección múltiple con única respuesta,

las cuales poseen tres (3) opciones, y dos (2) preguntas abiertas, dichos enunciados

fueron diseñados teniendo en cuenta la definición de conjunto numérico de los reales

( ) y de función de variable real y los componentes de ellas. Estos fueron desarrollados

en 30 minutos.

Se buscó con ella establecer si el estudiante posee una buena estructura de

pensamiento científico, de tal manera que pudiera dar cuenta de las estructuras,

conceptos y categorías fundamentales sobre las cuales se basa el álgebra lineal.

La entrevista tiene una estructura con 7 cuestionamientos, donde se busca

establecer a través de los maestros un diagnostico con sus aportes en las intervenciones

del aula y poder contar con su opinión al enseñar determinadas temáticas, para de esa

manera poder establecer algunas ideas de su trabajo y metodología establecida en el

aula. Estas tuvieron un promedio de respuesta de 5 minutos.

Para explicar los resultados obtenidos en las dos tomas de información se ha

utilizado una herramienta que permita realizar un análisis de dichos resultados

enfocándose solamente en los factores claves que posibiliten el éxito de este proyecto,

esta será la matriz DOFA, entendiéndose esta como: Debilidades internas,

Oportunidades externas, Fortalezas internas y Amenazas externas.



Tabla 3. Matriz DOFA

Fuente: Elaboración propia.

Según (Aguirre Marín, 2014) propone una adecuada manera de establecer estos

tópicos:

FORTALEZAS:

Capacidad de: análisis, interpretación, argumentación, verificación, realización,

ejecución, evaluación y conclusión.

Motivación por parte de los estudiantes al realizar las actividades.

Relación de los conceptos nuevos con los ya aprendidos.

Posibilidad de indagar otras fuentes.

Socialización de cada una de las actividades

OPORTUNIDADES:

Generalización de actividades extra para facilitar la comprensión de los enunciados.

Las diferentes estrategias que posibiliten la comprensión del problema.

La posibilidad de utilizar las nuevas tecnologías.

Disposición a mayor participación en las actividades.

Positivo Negativo

Fortalezas Debilidades

Oportunidades Amenazas

O

rig

en

In

tern

o

O

rig

en

Exte

rno


DEBILIDADES:

La dificultad de interpretación matemática de los enunciados.

Poco compromiso frente a las actividades realizadas.

Tardanza y deficiencia en la entrega de los resultados.

Desconocimientos de los conceptos que establecen las transformaciones lineales.

Falta de concepción hacia las características de los grupos abelianos.

Dificultad frente a las pautas a seguir, ya sean escritas u orales.

AMENAZAS

Vacíos conceptuales que impiden la comprensión de las temáticas.

Falta de interiorización de los estudiantes.

El paralelismo entre lo que se explica y se realiza.

Apatía hacia las temáticas y el curso Algebra Lineal.

Desmotivación a no obtener los resultados esperados,

Todo esto nos permitirá conocer y establecer las dificultades existentes en el grupo y

con ellas poder formular estrategias más convenientes para el afianzamiento de las

temáticas en los estudiantes y de esta manera poder facilitar la labor docente de tal

manera que se pueda mejorar la planeación y programa del Algebra Lineal en su quinta

unidad de aprendizaje.



4. Trabajo Final

4.1 Desarrollo y sistematización del proyecto

Al ver las dificultades inherentes de los estudiantes al momento de cursar una

asignatura como lo es el álgebra lineal, se pretende entonces realizar una intervención de

aula a través de un proyecto, de tal manera que se haga frente a esas falencias y

dificultades y se haga más amena la incursión en las temáticas propuestas.

Es de esta manera como se diseña un cuestionario de entrada para ver si se

poseen o no los conceptos básicos del algebra, de la aritmética y de las funciones de

variable real.

De igual modo se diseñó una entrevista a los docentes con el fin de establecer sus

metodologías y puestas en práctica de las temáticas en clase; más no en ningún

momento se ha tratado de medir o determinar el nivel académico de los docentes.

A partir de ellos se pudo realizar un análisis cuantitativo que permite el desarrollo

de gráficas (diagrama de barras) y así poder ver claramente el comportamiento de las

falencias que se presentaban inicialmente y como son comprobadas desde el análisis

realizado.

Finalmente se realizará entonces un proyecto de aula, llamada El mundo de las

transformaciones lineales la cual se consta de tres capítulos: en el capítulo 1

(contextual), conducta de entrada: Operador Lineal, donde se trata de hacer claridad

en cuál es la diferencia entre un operador lineal, una forma lineal y una matriz asociada a

un operador lineal, aquí se dispone de una explicación contextualizada de las temáticas.

El capítulo 2 (metodológico), Aprendamos más sobre los operadores lineales: a partir

de ejemplos se pretende establecer la puesta en práctica de los conceptos ya vistos y

4. Trabajo Final 69

como a través del estudio de contraejemplos desarrollen las competencias matemáticas

necesarias. Y finalmente el capítulo 3 (evaluativo): Pongamos a prueba nuestros

conocimientos, contiene una evaluación a través de unas situaciones matemáticas

planteadas en fichas de trabajo, de igual manera presenta una autoevaluación del

proyecto y de sus conocimientos durante la incursión del proyecto de aula.

4.2 Resultados

En la encuesta realizada a los estudiantes se propusieron algunos enunciados, donde

se esperaban las siguientes respuestas y se realizaron los análisis de los resultados

obtenidos.

Pregunta 1. ¿Qué entiendes por conjunto de números reales?

Al ser una pregunta abierta debe ser analizada por categorías de respuesta próxima

a la esperada.

La respuesta que se esperaba especialmente para un estudiante de ingeniería

seria: es un conjunto formado por los números racionales y los irracionales, el cual es un

conjunto ordenado que se puede representar en una recta donde a cada punto le

corresponde un único valor concreto.

Se encuentran respuestas donde se confunde las propiedades y características de

cada conjunto numérico.

Tabla 4. Datos primera pregunta

Responden correctamente

Responden incorrectamente

5 6




Gráfico 1. Primera pregunta.


Pregunta 2. ¿A qué se debe que se afirme que el conjunto de números reales sea

denso?

a. ya que posee muchos números. b. ya que entre dos números hay infinitos números. c. ya que comienza en infinito y termina en infinito.

En la opción a se plantea una respuesta de cantidad.

En la opción b se establece que en la recta numérica dado dos números racionales

es posible siempre encontrar otro comprendido entre los números dados. Con los

. Esta es la respuesta correcta.

En la opción c pretende establecer la noción intuitiva de cantidad.

Tabla 5. Datos segunda pregunta



4 7


4,4

4,6

4,8

5

5,2

5,4

5,6

5,8

6

6,2

1

¿Qué entiendes por conjunto de números reales?

Responden correctamente Responden incorrectamente

4. Trabajo Final 71

Gráfico 2. Segunda pregunta.


Pregunta 3. En el conjunto N de los números naturales la suma es una ley interna,

que afirma que para todo par de números naturales N su suma es un único

número natural N, ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?

a. los enteros

b. los racionales

c. los reales

En la opción a se plantea una respuesta donde se confirma la ley de composición

interna ya que si sumamos dos números enteros su resultado es otro número entero.

En la opción b se establece que en los números racionales no existe un único

número de la suma de dos racionales, esto debido a que todo número racional puede ser

expresado de diferentes modos, de esta manera puede dar como resultado un entero o

un número natural. Esta es la respuesta correcta.

En la opción c se plantea una respuesta donde se confirma la ley de composición

interna ya que si sumamos dos números reales su resultado es otro número real.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

¿A que se debe que se afirme que el conjunto de números reales sea denso?




Tabla 6. Datos tercera pregunta



1 10


Gráfico 3. Tercera pregunta


Pregunta 4. En el conjunto N de los números naturales la multiplicación es una ley

interna, que afirma que para todo par de números naturales N su producto es un

único número natural N, ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo

mismo?

a. los enteros

b. los reales

c. los irracionales

0

2

4

6

8

10

12

1

En el conjunto N de los números naturales la suma + es una ley interna, que afirma que para todo par de números

naturales 𝑚, 𝑛 N su suma es un único número natural

𝑝=𝑚+𝑛 N, ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?


4. Trabajo Final 73

En la opción a se plantea una respuesta donde se confirma la ley de composición

interna ya que si se realiza el producto entre dos números enteros su resultado es otro

número entero.

En la opción b se plantea un argumento donde se confirma la ley de composición

interna ya que si se realiza el producto entre dos números reales su resultado es otro

número real.

En la opción c se establece que en los números irracionales al realizar el producto

entre dos irracionales su resultado no será un número irracional sino un número natural.

Esta es la respuesta correcta.

Tabla 7. Datos cuarta pregunta



6 5

Gráfico 4. Cuarta pregunta


4,5

5

5,5

6

6,5

1

En el conjunto N de los números naturales la multiplicacion es una ley interna, que afirma que para todo par de números

naturales 𝑚, 𝑛 N su producto es un único número natural

𝑝 = 𝑚 𝑛 N, ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo

mismo




Pregunta 5. En el conjunto de los números enteros la resta es una ley interna, que

afirma que para todo par de números enteros su diferencia es un único número

entero , ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?

a. los enteros

b. los reales

c. los racionales

En la opción a se plantea una respuesta donde se establece la ley de composición

interna

En la opción b se plantea un argumento donde se confirma la ley de composición

interna.

En la opción c se establece que en los números racionales no existe un único

número de la diferencia entre dos racionales, esto debido a que todo número racional

puede ser expresado de diferentes formas. Esta es la respuesta correcta.

Tabla 8. Datos quinta pregunta



4 7


4. Trabajo Final 75

Gráfico 5. Quinta pregunta


Pregunta 6. ¿Una adecuada definición de variable podría ser?

a. una expresión simbólica que puede tomar diferentes valores. b. es un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.

En la opción a se emplea la definición común de variable. Esta es la respuesta

correcta.

En la opción b se expone de lo que podía ser llamado constante.

En la opción c se establece la relación convencional a la que se hace referencia

cuando se habla de símbolo matemático.

Tabla 9. Datos sexta pregunta



7 4


0

2

4

6

8

1

En el conjunto ę de los números enteros la resta − es una ley

interna, que afirma que para todo par de números enteros

𝑝,𝑞 Z su diferencia es un único número entero 𝑟 = 𝑝−𝑞 Z, ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?




Gráfico 6. Sexta pregunta


Pregunta 7. ¿Una adecuada definición de constante podría ser?

a. una expresión simbólica que puede tomar valores variantes. b. un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.

En la opción a se emplea la definición común de variable.

En la opción b se expone la mejor descripción de lo que es llamado constante. Esta

es la respuesta correcta.


cuando se habla de símbolo matemático.

Tabla 10. Datos séptima pregunta


0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

¿Una adecuada definición de variable podría ser?




10 1

4. Trabajo Final 77

Gráfico 7. Séptima pregunta


Pregunta 8. ¿Una adecuada definición de símbolo podría ser?

a. una expresión simbólica que puede tomar valores variantes. b. es un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.

En la opción a se emplea la definición común de variable.

En la opción b se expone la descripción de lo que es llamado constante


cuando se habla de símbolo matemático. Esta es la respuesta correcta.

Tabla 11. Datos octava pregunta



9 2


0

2

4

6

8

10

12

1

¿Una adecuada definición de constante podría ser?




Gráfico 8. Octava pregunta


Pregunta 9. Según usted ¿Cuál es la definición de función de variable real?

Al ser una pregunta abierta debe ser analizada por categorías de respuesta próxima

a la esperada.

La respuesta que se esperaba especialmente para un estudiante de ingeniería

seria: que una función de variable real es un esquema que está definido de R en R, de

tal manera que corresponda a una regla de correspondencia en los elementos de plano

que se trabaje, por ejemplo en el espacio a un par ( ) se le asigna un solo número real

.

Se encuentra entonces que en esta pregunta entre las respuestas que predomina el

no recordar el concepto, además en los pocos que tuvieron la osadía de responder se

nota la confusión entre dominio y rango y de las partes de la función como lo son quien

es la variable dependiente e independiente.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

¿Una adecuada definición de símbolo podría ser?


4. Trabajo Final 79

Tabla 12. Datos novena pregunta



0 11


Gráfico 9. Novena pregunta


Pregunta 10. ¿Qué entiendes por el dominio de una función?

a. los valores que puede tomar la variable dependiente para saber si es relación.

b. los valores que puede tomar donde la función está definida.

c. los valores que toma la ordenada para hallar los valores de .

En la opción a, se trata de llevar al estudiante al análisis de los elementos de la

función en relación al plano cartesiano.

En la opción b, se realiza correctamente la correspondencia entre los valores de

entrada que puede tomar la función para ser definida. Esta es la respuesta correcta.

En la opción c, se caracteriza por mezclar los componentes del plano en la definición

simplista de función.

0

2

4

6

8

10

12

1

Según usted ¿Cuál es la definición de función de variable real?




Tabla 13. Datos décima pregunta



7 4


Gráfico 10. Décima pregunta


Pregunta 11. ¿Qué entiendes por el rango de una función?

a. son todos los valores reales dependientes posibles que puede producir la función. b. los valores que toma la abscisa para darle valores a la función.

c. los valores que toma para arrojar .

En la opción a, se establece en pocas palabras el conjunto de todas las salidas

posibles de una función. Esta es la respuesta correcta.

En la opción b, se describe la interacción entre la función y las variables que están

ligadas a ella.

En la opción c, se describe el concepto de dominio.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

¿Qué entiendes por el dominio de una función?


4. Trabajo Final 81

Tabla 14. Datos décima primera pregunta



6 5


Gráfico 11. Décima primera pregunta


Pregunta 12. ¿Para determinar si una función tiene inversa según la clasificación de las

funciones debe ser?

a. inyectiva b. biyectiva c. sobreyectiva

En la opción a, se establece entonces que una función tiene inversa si cumple con

la siguiente igualdad ( ) ( ), donde se establece que a cada imagen le

corresponde un solo valor de entrada. Esta es la respuesta correcta.

4,4

4,6

4,8

5

5,2

5,4

5,6

5,8

6

6,2

1

¿Qué entiendes por el rango de una función?




En la opción b, en este apartado se establece una correspondencia “uno a uno “entre

los elementos de entrada y salida de una función.

En la opción c, acá se menciona que todos los elementos del rango se relacionan

con algún elemento del dominio, por lo tanto no cumpliría con la unicidad.

Tabla 15. Datos décima segunda pregunta



3 8


Gráfico 12. Décima segunda pregunta

En relación a la entrevista realizada a los docentes se aclara que no se presentará un

análisis de respuesta correcta o incorrecta en relación a sus respuestas sino una

reflexión , ya que lo que se pretende es encontrar las metodologías en las cuales apoyan

sus prácticas al momento de enseñar ciertas temáticas, categorizando sus respuestas

por similitudes, esto debido a que son preguntas abiertas y las respuestas son extensas.

0

2

4

6

8

10

1

¿Para determinar si una función tiene inversa según la clasificación de las funciones debe ser?


4. Trabajo Final 83

1. Describa por favor la metodología que sigue al enseñar la función de

variable real.

Al analizar cada una de las respuestas de los docentes se encontraron respuestas

muy similares pudiendo categorizarlas de la siguiente manera:

Es importante trabajar desde el constructivismo donde es mejor establecer

situaciones contextualizadas del mundo real, partiendo desde allí para poder

llegar al concepto de relación, entendiendo esta como la proyección de un

conjunto sobre otro, donde son parejas ordenas de unos conjuntos.

Al hablar de funciones en el caso del algebra lineal hay que establecer que ya

no se trabaja en el conjunto de los reales, sino que se pasa a trabajar en

espacios vectoriales.

Se acostumbra normalmente a enseñar la parte operativa de lo que es una

función de variable real.

2. ¿Por qué al enseñar el concepto de rango esto es tan complejo para los

estudiantes?



Se asume que el valor algebraico que resulta después del proceso de reemplazar

la variable es solo un número y no alcanzan a dimensionar el valor que se ha

encontrado.

Los estudiantes no poseen bases algebraicas con las cuales procedan a

identificar las restricciones de las funciones, es más ni las funciones como tal.

Hubo docentes que prefieren no responder esta pregunta guardando silencio, sin

justificar el porque de su silencio.

2.1.¿Cuál considera usted que es la metodología adecuada para la enseñanza de

dicho concepto?



Sin duda alguna los docentes manifiestan que las clases magistrales son la mejor

manera para abordar este tipo de temáticas. Partiendo de dos maneras de ser

enseñado: parte gráfica o a través de la parte analítica donde de nuevo se enfoca

en la parte algebraica para ser encontrado.

3. ¿Por qué las funciones de variable real se consideran una estructura

algebraica y no de espacio vectorial?



Al momento de abordar estas temáticas por parte de los docentes se enfoca

solamente en la parte operativa, reemplazo de una variable para hallar la otra,

imposibilitando la identificación de lo que es una estructura.

Algunos de los docentes identifican el concepto de estructura como el conjunto

que está compuesto por unas propiedades y unas operaciones características de

ella.

De igual manera docentes que no relacionan este concepto y por lo tanto es

inadecuado enseñarlo.

3.1.¿Cuál considera usted que es la complejidad en el aprendizaje de estos

conceptos en el estudiante?

No se posee la comprensión de los conceptos previos en lo relacionado a la

definición de número y la teoría de conjuntos numéricos.

Hay dificultades en la interpretación de los conceptos por ser abstractos, se

realiza paralelismo entre lo explicado entre el maestro y la ejercitación y hay

carencia por parte del estudiantado en la parte aritmética y algebraica.

4. Trabajo Final 85


justificar el porque de su silencio.

4. ¿Cuál es el método más apropiado para la enseñanza de las funciones

inversas?



Los docentes plantean que primero se debe tener claridad de lo que es llamado

función y desde la clasificación de las funciones para establecer sus

características.


justificar el porque de su silencio, al igual que otros donde su respuesta es

redundante.

5. ¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de las funciones inyectivas,

sobreyectivas y biyectivas?



Este tipo de funciones son enseñadas como características importantes de las

funciones pero sin profundizar en ellas, en ocasiones se obvia su enseñanza pues

es mejor pasar a la parte algebraica para dar cumplimiento a los tiempos

establecidos en las planeaciones.

De igual modo se plantean como una característica a la cual se debe de dar

cumplimiento si se pretende establecer la inversa de una función.

Hubo docentes cuya respuesta no cumplía con el fin de la pregunta y se volvía

redundante.



6. ¿Por qué cree usted que es importante la enseñanza en el curso de algebra

lineal el concepto de transformaciones lineales?

Al analizar cada una de las respuestas de los docentes y enfocados en el álgebra

lineal y en particular de las transformaciones lineales se encontraron respuestas muy

similares pudiendo categorizarlas de la siguiente manera:

Se hace la similitud entre las funciones y su categorización con las

transformaciones lineales

Los docentes establecieron que las transformaciones lineales en si no son

enseñadas en su sentido estricto solo como una aproximación a las funciones, su

categorización y algunas operaciones con ellas.

De igual modo establecen la no necesidad de ser enseñadas y redundan en las

respuestas.

7. ¿Por qué cree usted que no se trabaja esta temática?

Al analizar cada una de las respuestas de los docentes y enfocados en el álgebra

lineal y en particular de las transformaciones lineales se encontraron respuestas muy

similares pudiendo categorizarlas de la siguiente manera:

Se establece que los docentes no le ven relevancia a la temática pues posee un

grado de dificultad muy alto no solo para los estudiantes sino también para los

maestros.

Hay desconocimiento en los docentes de los conceptos relacionados a ellas y

muchos de ellos no están dispuestos a asumir el reto de abordar algo que no

conocen.

Se establece que es algo importante al momento de cursar algunas asignaturas

tales como cálculo diferencial pero se espera que se enseñe allá.

Algunas de las respuestas son redundantes y no dan cuenta del enunciado.

5. Conclusiones y recomendaciones 87

5. Conclusiones y recomendaciones

5.1 Conclusiones

A través de los resultados de la encuesta aplicada a los estudiantes la cual hace

parte del diagnóstico se logra percibir que algunos estudiantes muestran dificultades en

relación a la comprensión de los conceptos y a la interpretación de las preguntas, de

igual modo hubo estudiantes que no recordaban y no tenían claridad frente a algunos

conceptos. Esto evidencia que a los estudiantes les cuesta la abstracción y el lenguaje

técnico propio de las matemáticas, además no relacionan conceptos disciplinares con su

lenguaje cotidiano presentando vacíos conceptuales en relación a las funciones de

variable real, conjuntos numéricos y en los conceptos previos en relación a ellos, de tal

manera que estas cuestiones impidan que haya un aprendizaje significativo en los

estudiantes.

De las dificultades que se hacen presentes y que influyen en el proceso de

enseñanza aprendizaje y en el desempeño académico, es que los estudiantes no son

competentes matemáticamente ya que no han adquirido claramente los conocimientos

conceptuales y procedimentales, es decir el saber qué, el saber por qué y el saber cómo,

de igual manera se presenta dificultades en las habilidades en los procesos generales y

actitudes tales como seguridad y confianza.

Las causas por las cuales no se comprende esta temática es debido a que los ejes

del aprendizaje tales como los procesos (ejercitación, razonamiento, modelación,

comunicación y resolución de problemas), los conocimientos básicos haciendo

referencia a los sistemas (numéricos, geométricos, métricos, de datos y algebraicos) y el

contexto, no se encuentran en la estructura cognitiva que deben tener los estudiantes en



esta etapa de formación académica, imposibilitando la comprensión de los enunciados e

impidiendo la interpretación del lenguaje simbólico y natural (del lenguaje concreto al

lenguaje abstracto).

Se espera que al terminar un curso de álgebra lineal el estudiante pueda establecer

y tener claridad de la relación que existe en la ecuación secular ( ) ( ) ( ),

para poder permitir que los conceptos que a ellos no le queden claros mediante las

transformaciones lineales lo puedan hacer mediante la matriz asociada al operador lineal

que es el objetivo central de este trabajo y que se muestra en este trabajo en la cartilla

numero dos llamada aprendamos más sobre operadores lineales.

Se presenta entonces un proyecto de aula llamado “El mundo de las

transformaciones lineales” en el cual se plantean una serie de situaciones en relación a

los operadores lineales en el álgebra lineal de los estudiantes de ingeniería de la facultad

de ciencias básicas del Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid de tal manera que

haya una aproximación al lenguaje simbólico matemático desde una mirada contextual y

metodológica, de un aprendizaje significativo.

Al realizar una guía que se piense y articule en la preparación de los recursos

necesarios para establecer una estrategia de enseñanza de abordaje una temática en

particular, no solo requiere de tiempo sino que puede ser visto como una carga extra

laboral para los docentes, sin embargo esta estrategia puede ser un mediador y

optimizador del tiempo, ya que después de ser montado, realizar cambios o actualizarla

no requieren de mayor tiempo, y una ventaja de ello es que tanto el docente como el

estudiante tienen un recurso con el cual avanzar, además de permitir la claridad en los

conceptos cuando un estudiante no asista y pueda realizar un trabajo autónomo.

El proyecto de aula es una estrategia o un mediador para la enseñanza del algebra

lineal y específicamente en el tema de transformaciones lineales, ya que este está

relacionado con las teorías propuestas dentro del marco teórico para que haya una mejor

comprensión y aprehensión de estos conceptos tanto en la metodología del docente

como en las formas de aprendizaje de los estudiantes.

5. Conclusiones y recomendaciones 89

Por último la estructura que presenta la cartilla “El mundo de las

transformaciones lineales” tiene los elementos característicos de un proyecto de aula,

quiere decir esto que en el primer capítulo operadores lineales se muestra los tres

elementos fundamentales los cuales son:

- La contextualización (problema, objeto, objetivo y contenidos)

- Lo metodológico (método, población y medios)

-Lo evaluativo

En el segundo capítulo aprendamos más sobre los operadores lineales se muestra

específicamente el método y los medios, apoyados en las categorías personales de la

didáctica general de Elvia María González y Carlos Zayas

En el tercer capítulo se hace referencia a lo que podría ser la categoría evaluación.



5.2 Recomendaciones

Emplear en el Politécnico Jaime Isaza Cadavid en la facultad de ciencias básicas,

humanas y sociales el proyecto de aula “El mundo de las transformaciones lineales” en el

curso de algebra lineal con el fin de establecer las ventajas y desventajas de este

proyecto en relación a la enseñanza de la contextualización y el aprendizaje para la

comprensión de los estudiantes de ingeniería.

En el curso de algebra lineal de la facultad de ciencias sociales y humanas del

Politécnico Jaime Isaza Cadavid .se propone consolidar el trabajo a través de proyectos

de aula, donde este proyecto sirva como un insumo para la realización de otros proyectos

de aula de tal manera que se propicie el aprendizaje significativo.

A partir de la indagación realizada y de las problemáticas expuestas en este trabajo

sobre la enseñanza del algebra lineal, y al ser el politécnico una institución con una gran

población estudiantil, donde en el centro de ciencia básica en la actualidad oferta 15

cursos de algebra lineal donde los dirigen un (1) profesor de tiempo completo y siete (7)

de cátedra; se ve una preocupación muy importante de hacerle tanto a la coordinación de

la asignatura como a la coordinación académica del programa, que con estos indicadores

sería bueno proponer unas vacantes para la vinculación de profesores o en caso tal un

profesor, ya sea de tiempo completo o de medio tiempo, que supla(n) con la necesidad

de contribuir a la deserción y mortandad que hay en este tipo de cursos, de tal manera

que se pueda ir superando estas dificultades que son preocupantes al interior del centro

de ciencias básicas.

Referencias 91

Referencias

Aguirre Marín, Y. (2014). Propuesta metodológica para manejar el lenguaje

simbólico en la interpretación de situaciones problemáticas en las

estudiantes de cuarto de primaria de la Compañía de María. Tesis enédita

de maestria en la enseñanza de las ciencias exactas y naturales,

Universidad Nacional de Colombia, Medellín, colombia.

Alcaldía de Medellín. (2012). Medellin un hogar para la vida. Abgerufen am 15.

Abril 2015 von

https://www.medellin.gov.co/irj/go/km/docs/wpccontent/Sites/Subportal%20

del%20Ciudadano/Plan%20de%20Desarrollo/Secciones/Publicaciones/Do

cumentos/PlaDesarrollo2012-2015/2012-04-

30_Proyecto%20de%20acuerdo%20VERSION%20COMPLETA.pdf

Boyer, C. B. (1994). Historia de la Matemática. España: Alianza Editorial.

Cardelli, J. (2004). Reflexiones críticas sobre el concepto de Transposición

Didáctica de Chevallard. Cuadernos de Antropología Social(19), 49-61.

Chevallard, M., & Yves, C. (1997). La transposición didáctica. Del Saber Sabio al

Saber Enseñado. AIQUE, Buenos Aires.

Ciancio, M. I., & Oliva, E. S. (2006). Aplicación educativa de las nuevas

tecnologías para el aprendizaje de transformaciones lineales. PREMISA,

25-34.

Constitución Política de Colombia, 1991.



Corrales Salguero, A. R. (2010). EmásF,Revista Digital de Educación Física.

Abgerufen am 08. Marzo 2015 von La programación a medio plazo dentro del

tercer nivel de concreción: las unidades didácticas:

http://emasf.webcindario.com/La_programacion_a_medio_plazo_dentro_del_terce

r_nive_%20de_concrecion_unidades_didacticas.pdf

Costa, V. A., Sc, Scarabino, A., Idiart, M. I., & Knoblauch, M. (2010). Enseñanza

del algebra lineal para alumnos de Ingeniería Aeronáutica: experiencia

motivadora. SAE (World Congress & Exhibition ENGINEERING-

ARGENTINA).

Deaño, A. (1971). Filosofía, lenguaje y comunicación. Convivium, 34, 24-53.

DIENES, Z.P. & GOLDING,E.W.(1969) La geometría a través de las

transformaciones lineales. 1ª edición. Barcelona: Teide. Tomo 1,2 y 3.

Díaz, G. (2004). MATRICES SOBRE UN CAMPO. Álgebra Lineal. Tercera

edición. Segunda reimpresión. Pág.3.

DIAZ SANTA, Georlin. Álgebra Lineal. 3ª edición. Medellín: editorial UPB. 2001.

407 p. (Texto Guía)

Gardner , H., & Boix-Mansilla, V. (1994). Enseñar para la comprensión en las

disciplinas- y más alla de ellas. Teachers Collage Record, 96(2), 1-27.

Gobernación de Antioquia. (kein Datum). Antioquia la más educada. Abgerufen

am 29. Marzo 2015 von

http://www.antioquia.gov.co/index.php/gobernadorminas/bloggobernaminas

/7534-antioquia-la-mas-educada

González Agudelo, E. (2001). El proyecto de aula o acerca de la formación en

investigación. Revista Universidad de Medellín, 124-132.

GROSSMAN, Stanley I. Álgebra Lineal y sus aplicaciones.5ª edición. México:

Mc Graw Hill. 1996

Referencias 93

Hirsch, E. (2006). Aprendizaje autorregulado y rendimiento: una experiencia de

aula. Revista de estudios y experiencias en educación (REXE), 5(9), 107-

118.

Jiménez Alba, J. P. (2013). Enseñanza del concepto de matriz a estudiantes de

grado noveno, a través del programa computacional Derive. Maestría

thesis, Universidad Nacional de Colombia.

Larson, R. (2013). Fundamentos de álgebra lineal, séptima edición.

Ley general de educación.

Loaiza Chalarca, G. (1984). Algebra Lineal. Medellín: Universidad EAFIT.

Lorenzano, C. (2011). El lenguaje de la ciencia. Ciencia, pensamiento y cultura,

187(747), 1-7.

Luzardo, D., & Peña, A. (2006). Historia del Álgebra Lineal hasta los Albores del

Siglo XX. Divulgaciones Matemáticas, 14(2), 153-170.

Ministerio de Educación Nacional. Lineamientos Curriculares (1998)

MEN, M. D. (11 de febrero de 2002). Decreto 230

Molina, J. G., & Oktac, A. (2006). Concepciones de la transformación lineal en

contexto geométrico. Revista Latinoamericana de investigación en

Matemática Educativa, 241-273.

Monereo, Monereo, C., Badia, A., Baixeras, M. V., Boadas, M., Castelló, I., et al.

(2001). Ser estratégico y autónomo aprendiendo. Unidades didácticas de

enseñanza estratégica. Barcelona: GRAÓ, de IRIF, S.L.

Moreira, M. (2000). Teoría de aprendizaje significativo: la visión clásica. Actas del

PIDEC, Texto de Apoyo N° 6, Vol. 2, 33-52.

Mosquera. (2008). Introducción a la Historia del Álgebra Lineal. Abgerufen am 13.

septiembre 2014 von Universidad Nacional Abierta (academia.edu):

http://www.academia.edu/4225763/Introducci%C3%B3n_a_la_Historia_del

_%C3%81lgebra_Lineal



Patiño , S. (2012). La enseñanza para la comprensión (EpC): propuesta

metodológica centrada en el aprendizaje del estudiante. Revista

Humanizarte. Año 5(8), 1-10.

Perkins, D. (Febrero 1999). ¿Qué es la comprensión? In M. Wiske Stone, La

enseñanza para la comprensión, vinculación entre la investigación y la

práctica (S. 69-92). Buenos aires: PAIDÓS.

Piaget , J. (1999). Psicología de la Inteligencia,. Ed. Psique.

Piñeiro, D. (2008). ¿Qué es y cómo se elabora una monografía científica?LA

INVESTIGACIÓN EN MEDICINA. BASES TEÓRICAS Y PRÁCTICAS,

Elementos de Bioestadística. Primera edición.Prensa Médica Argentina.

Capítulo 5, pág. 51-57. Abgerufen am 28. Octubre 2014 von http://atero-

esclerosis.com.ar/diplomatura/textos/libro.pdf#page=48

Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid - Facultad de Ciencias Básicas,

Sociales y Humanas. (kein Datum). Abgerufen am 14. FEBRERO 2015 von

http://www.politecnicojic.edu.co/index.php?option=com_content&view=articl

e&id=87&Itemid=88

Quiceno Serna , Y., & Gallego Madrid, D. E. (2010). Guía para la elaboración de

unidades didácticas que potencialicen los procesos de investigación

escolar. Abgerufen am 22. Marzo 2015 von

https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/.../guia-para-la-elaboracion

Rodríguez Palermo, M. L. (2004 a). La Teoría del Aprendizaje Significativo.

FirstIntenationalConferenceon Concept, (S. 535-544). Pamplona (España).

Rodríguez Palermo, M. L. (2011). La teoría del aprendizaje significativo: una

revisión aplicable a la escuela actual. Revista Electrònica d’Investigació i

Innovació Educativa i Socioeducativa, 3(1), 29-50.

Rosales Ordoñes, G. R. (2012). Diseño e implementación de talleres para la

enseñanza y aprendizaje del álgebra matricial y solución de sistemas de

Referencias 95

ecuaciones lineales con Scilab. Maestría thesis, Universidad Nacional de

Colombia-Sede Manizales.

Sierpinska, A. (1996). Problems related to the design of the teaching and learning

process in linear algebra. la Research Conference in Collegiate

Mathematics Education. USA: Central Michigan University.

Transformaciones geométricas en la historia. Recuperado de

http://www.soarem.org.ar/Documentos/31 %20Moriena.pdf

Uicab, R., & Oktac, A. (Noviembre 2006). Transformaciones lineales en un

ambiente de geometría dinámica. Proyecto CONACYT 2002. Facultad de

Matemáticas. Universidad Autónoma de Yucatán. Relime, 9(3), 459-490.

Villareal , O., & Landeta, J. (2010). El estudio de casos como metodología de

investigación científica en dirección y economía de la empresa. una

aplicación a la internacionalización. Investigaciones Europeas de Dirección

y Economía de la Empresa., 16(3), 31-52.

Zimmerman, B. (2000). El logro de la excelencia académica: Una perspectiva de

autorregulación. La búsqueda de la excelencia a través de la educación,

85-110.



A. Anexo: Tabla. Cronología del algebra lineal

1900

AC

Los comienzos de las matrices y los determinantes se encuentran en el estudio de sistemas de

ecuaciones lineales, el cual fue introducido primero por los babilonios. Los babilonios estudiaron

problemas que le llevaron a plantearse ecuaciones lineales simultáneas

200

AC

Los chinos realmente llegaron más cerca de las matrices que usamos hoy en día mediante un

método muy similar al que conocemos con el nombre de eliminación gaussiana. Esta técnica fue

usada por los chinos aún antes de que tuvieran ecuaciones o variables.

1545

Cardano, en su obra Ars Magna, presenta una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones

lineales llamado regula de modo, la cual es esencialmente la regla de Cramer, pero Cardano no

llegó al último paso, de manera que él no llegó a la definición de un determinante.

1683

El matemático japonés Takakasu Seki Kowa (1642-1708) escribió el Método de Resolver

Problemas Disimulados, el cual contiene métodos de matrices escritos en tabletas, de la misma

manera en que los chinos los registraban. Seki también introdujo los determinantes y dio métodos

generales para calcularlos basándose en ejemplos. Seki hallo matrices de 5x5 y las aplico a la

resolución de ecuaciones pero no a sistemas de ecuaciones.

Leibniz explico que un sistema de ecuaciones

Tenía una solución porque

, lo cual es exactamente la

condición que la matriz de coeficientes tenga determinante igual a 0. Los puntos indican la

multiplicación y los dos caracteres describen primero la ecuación y el segundo sustituye la letra.

1750 Cramer presentó una fórmula basada en determinantes para resolver sistemas de ecuaciones

lineales, mejor conocido como la Regla de Cramer para sistemas de ecuaciones nxn

1753 El primer uso implícito de las matrices ocurrió en el trabajo de Lagrange sobre las formas

bilineales para la optimización de función de valores reales de 2 o más variables. Lagrange

buscaba caracterizar el máximo y el mínimo de funciones de varias variables.

1800 Carl Friederich Gauss (1777-1855) fue el primero en usar el término “determinante”. Usó este

término porque el determinante determina las propiedades de la forma cuadrática, el cual no es el

mismo concepto de determinante en uso hoy en día. Gauss describió la multiplicación de matrices

y la inversa de una matriz, en el contexto particular de los arreglos de coeficientes de formas

Referencias 97

cuadráticas. También desarrolló la Eliminación Gaussiana mientras estudiaba la órbita del

asteroide Pallas por medio de la obtención de un sistema de seis ecuaciones lineales y seis

incógnitas. Este método fue más tarde usado para resolver problemas de mínimos cuadrados en

cálculos celestiales y en cálculos para medir la Tierra y su superficie

1812 Cauchy usó el término “determinante” en su sentido moderno y demostró el teorema de la

multiplicación de determinantes por primera vez.

1826 Cauchy encontró los valores propios y dio resultados sobre la diagonalización de una matriz en el

contexto de convertir una forma a la suma de cuadrados. Cauchy también introdujo la idea de

matrices similares y mostró que si dos matrices son similares, ellas tienen la misma ecuación

característica y demostró que toda matriz simétrica real es diagonalizable.

1834 Jacques Sturm dio una generalización del problema de los valores propios en el contexto de la

resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

1844 Grassmann propuso la primera álgebra vectorial que involucró un producto vectorial no

conmutativo (VxW no tiene que ser igual a WxV). Grassmann también introdujo el producto de

una matriz columna y una matriz fila lo cual resultó en lo que es hoyen día denominado una

matriz simple o de rango uno.

1850 James Joseph Silvestre fue el primero en introducir el término “matriz”, el cual describió como

“un arreglo oblongo de términos”. Silvestre también definió la nulidad de una matriz cuadrada.

1855 Arthur Cayley cultivó el álgebra de matrices. Cayley estudió composiciones detransformaciones

lineales y fue llevado a la matriz definiendo la adición, la multiplicación, la multiplicación

escalara y las inversas.

1870 La forma canónica de Jordan apareció en su publicación Treatise on Substitutions and Algebraic

Equations. Ésta apareció en el contexto de una forma canónica de substituciones lineales sobre un

campo finito de orden primo

1878 Frobenius obtuvo resultados importantes sobre las natrices canónicas como representativas de

clases de equivalencias de matrices. Frobenius también definió el rango de una matriz, el cual usó

en su trabajo sobre formas canónicas y la definición de matrices ortogonales

1888 Peano, en su libro Calcolo Geometrico Secondo l’Ausdehnungslere de H. Grassmann Preceduto

dalle Oparazioni della Logica Deductiva, presentó una introducción moderna de espacios lineales

y del álgebra lineal

1890 Weierstrass usó una definición axiomática de un determinante

1925 Heisenburg reinventó el álgebra matricial para la mecánica cuántica.

1942 Gibas representó matrices generales como suma de dos matrices simples.

1948 Turing introdujo la descomposición LU de una matriz.

1958 Wilkinson desarrolló la factorización QR.



B. Carta confidencialidad

MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

14 de marzo de2015

Estimado estudiante:

El Departamento de la Maestría En Enseñanza De Las Ciencias Exactas y Naturales apoya la práctica de obtener el consentimiento informado, y proteger a los sujetos humanos que participen en investigaciones.

En esta investigación se pedirá que usted participe en una sesión de trabajo durante el I semestre del año en el horario que se ha establecido para dicha actividad.

En esta sesión se pedirá que usted de respuesta a un test, que busca conocer las ideas alternativas que usted tiene sobre las funciones reales y los conjuntos numéricos. Es importante también que conozca que existe una posibilidad de filmar en video y audio estas reuniones si así se han de requerirse.

En caso tal que se llegue a necesitar posteriores reuniones se le pedirá que responda las preguntas y desarrolle las actividades propuestas mediante una hoja de trabajo y de cuenta de su avance respondiendo un post test.

Nos interesa conocer las respuestas instantáneas de los estudiantes ante las situaciones planteadas, para dar cuenta cómo cambian las concepciones de los estudiantes durante la instrucción.

Su participación es estrictamente voluntaria, y los investigadores se comprometen a mantener la confidencialidad de sus nombres y se hará referencia a ellos sólo mediante un código numérico de ser necesario.

Si desea obtener información adicional de la investigación antes y después, puede contactar al investigador mediante entrevista directa.

Atentamente:

Elmer José Ramírez Machado

Referencias 99

C. Diagnóstico: diseño encuesta estudiantes

CUESTIONARIO ESTUDIANTES INGENIERÍA

PRESENTACIÓN:

El objetivo de este cuestionario es detectar el grado de desarrollo que los

conocimientos matemáticos han alcanzado en la mente del estudiante cuando llega a la

situación previa al aprendizaje del álgebra formal y su predisposición para el estudio de la

misma. Para ello se pretende analizar la capacidad de comprensión, generalización,

formalización y abstracción de los estudiantes ya que han recibido una enseñanza

algebraica en la escuela.

Las preguntas del cuestionario son las siguientes:

1. ¿Qué entiendes por conjunto de números reales?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿A qué se debe que se afirme que el conjunto de números reales sea denso? a. ya que posee muchos números. b. ya que entre dos números hay infinitos números. c. ya que comienza en infinito y termina en infinito.

3. En el conjunto de los números naturales la suma es una ley interna, que

afirma que para todo par de números naturales su suma es un único

numero natural , ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?

a. los enteros b. los racionales

c. los reales

4. En el conjunto de los números naturales la multiplicación es una ley interna,

que afirma que para todo par de números naturales su producto es un

único número natural , ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?

a. los enteros

b. los reales

c. los irracionales



5. En el conjunto de los números enteros la resta es una ley interna, que afirma

que para todo par de números enteros su diferencia es un único número

entero , ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?

a. los enteros b. los reales

c. los racionales

6. ¿Una adecuada definición de variable podría ser?

a. una expresión simbólica que puede tomar diferente valores b. es un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.

7. ¿Una adecuada definición de constante podría ser?

a. una expresión simbólica que puede tomar valores variantes. b. un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.

8. ¿Una adecuada definición de símbolo podría ser?

a. una expresión simbólica que puede tomar valores variantes. b. es un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.

9. Según usted ¿Cuál es la definición de función de variable real?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

______________________________________________________________

10. ¿Qué entiendes por el dominio de una función? a. los valores que puede tomar la variable dependiente para saber si es relación.

b. los valores que puede tomar donde la función está definida. c. los valores que toma la ordenada para hallar los valores de .

11. ¿Qué entiendes por el rango de una función? a. son los valores reales dependientes posibles que puede producir la función b. los valores que toma la abscisa para darle valores a la función.

c. los valores que toma para arrojar .

12. ¿Para determinar si una función tiene inversa según la clasificación de las funciones debe ser? a. Inyectiva b. biyectiva c. sobreyectiva Muchas gracias.

Referencias 101

D. Prueba diagnóstica estudiantes: encuesta

Prueba diagnóstica estudiante 1.

Referencias 103

Prueba diagnóstica estudiante 2

Referencias 105


Referencias 107

Prueba diagnóstica estudiante 4.

Referencias 109


Referencias 111


Referencias 113


Referencias 115


Referencias 117


Referencias 119


Referencias 121


Referencias 123



E. Diagnóstico: diseño entrevista: docentes

Entrevista a profesores

PRESENTACIÓN:

Objetivo: contar con la información necesaria para poder sistematizar y hacer un

diagnóstico de no solo sus intervenciones en el aula sino también contar con su opinión al

enseñar determinadas temáticas, para así poder hacerse a algunas ideas de su trabajo y

metodología.

Estimado profesor:

De antemano le doy las gracias por su colaboración y le solicito de manera encarecida el

favor de ser lo más sincero posible en la siguiente entrevista.

Las preguntas serían las siguientes:

1. Describa por favor la metodología que sigue al enseñar la función de variable real.


estudiantes?


dicho concepto?

3. ¿Por qué las funciones de variable real se consideran una estructura algebraica?



4. ¿Cuál es el método más apropiado pala la enseñanza de las funciones inversas?

5. ¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de las funciones inyectivas, sobreyectivas y

biyectivas?

6. ¿Por qué cree usted que es importante la enseñanza en el curso de algebra lineal

el concepto de transformaciones lineales?


Muchas gracias por su colaboración

Referencias 125

F. Prueba diagnóstica docentes: entrevista

Se presenta la transcripción de los audios ya que las entrevistas fueron grabadas.

AUDIO 01 Docente 1


R// Yo pienso que el concepto hay que retomarlo desde el origen, yo siempre

asumo lo que vieron desde el concepto de relación y retomo ordenadamente porque

los muchachos no están familiarizados con una temática de estas, a ellos eso les

suena como algo desconocido, así lo hubieran visto, yo les digo que lo primero que

ustedes hacen para conceptualizar muchas cosas elementales en primaria fue

necesario el concepto de relación, para poder llegar hasta el de función, pero ellos

están acostumbrados a la parte operativa, a ellos les gusta sumar, restar, multiplicar,

¿pero eso para qué?, entonces les retomo, miro lo que es relación, de qué manera

llegamos de la relación a la función, que tipos de funciones hay, porque cuando

llegamos a las transformaciones inmediatamente uno las clasifica, todo eso es

necesario entonces retomo para poder llegar hasta allá; lo más amplio que podemos

llegar a ver es lo que estamos desarrollando en algebra lineal, que es cuando dejamos

de tomar un conjunto de reales y tomamos ya espacio vectorial en espacio vectorial.


estudiantes?

R// Porque nunca les enseñaron bien el concepto, ellos simplemente creen que el

dominio es todo lo de donde yo arranco, ni siquiera diferencian eso, -si es función

tienen que ser todos y como son todos entonces, ah eso siempre es así- ¿Qué es el

rango? –ah entonces el de llegada- y se quedan bien tranquilos, entonces cuando

usted está con los muñequitos y la plastilina, el concepto es fabuloso, pero tome

funciones polinómicas donde tengan que efectuar alguna transformación, operación

algebraica, no saben de qué manera tienen que despejar, mirar y analizar, lo mismo

que hicimos en el dominio.


dicho concepto?

R// Aunque suene feo lo mejor es arrancar como si no supieran nada y empezar

por cosas elementales e ir creciendo en el concepto, cuando se llega a la parte donde

se necesita un análisis serio, ya entienden porque, pero si se empieza desde lo más

elemental, yo creo que es muy importante retomar de cero.




R// Para hacer estructura yo tengo que analizar todas las propiedades de una

estructura, si las cumplen perfecto, pero es que eso no es así, gratis como uno cree,

hay que empezar por repasar el concepto que nadie lo sabe. Los muchachos nunca

han trabajado con estructuras, por eso la dificultad en algebra lineal. Este es el

trasfondo de porque les da tan duro el álgebra lineal.

Porque estas pequeñas cosas como estructura, campo, eso nunca se los han

mencionado, es mas siempre ha sido la parte operativa.

Antes era un poquito más riguroso, ya ahora hemos perdido mucho rigor, que

cuando uno analiza porque esto es un espacio vectorial- ¿Cómo así para que

eso?, eso sí lo vemos alguna vez.



R// Porque no tienen fundamentación, no tienen bases, porque nunca recalcamos

que estamos trabajando con los reales por estas condiciones, vamos a trabajar en

este otro conjunto por estas otras condiciones, y nos crecemos, pasamos al concepto

y empiezan los estudiantes -¿y porque no hacemos cosas como más practicas? ¿esto

cuando lo aplicamos?- es lo primero que sacan a relucir, porque no saben.


R// Las funciones inversas son muy sencillas, se arregla un concepto de función,

pero el concepto de función se quedó muy atrás, uno dice si estoy en una función que

es BI inmediatamente, si no te toca analizar – ¿y eso porque?- porque mira, si es

inyectiva no hay ningún problema, si es sobreyectiva ya no me funciona -¿Por qué?-

porque no tiene las bases, si tuvieran bien claro el concepto de función, hallar la

función inversa es sencillísimo.


biyectivas?

R// Porque es necesario, si yo voy a trabajar con la función inversa, yo necesito

saber eso, porque bajo esas condiciones yo puedo decirle, en este caso

inmediatamente se da al revés, pero en este otro no se da al revés, porque es como

reestructurar, volverme a mirar que todo lo que se cumplió en este lado, se tiene que

cumplir al revés.

Referencias 127



R// Yo creo que es la cúspide de lo que uno empezó con relación, función, cuando

yo llegue a transformación lineal, es lo más amplio, lo más general que yo puedo hacer

sobre una aplicación.


R// En la mayoría, el profesor como tal porque uno dice es una pérdida de tiempo y

lo descarta y en otras porque los estudiantes no traen formación para uno poder entrar

fácilmente a ver el tema y la facilidad del profesor,- dejemos eso así, ¿eso para qué? Si

ellos no lo van a usar, no lo van a necesitar, eso que lo miren los de la Nacional cuando

estén en matemáticas puras o en la de Antioquia – así dicen los profesores, eso necesita

mucho tiempo y entrar a reestructurar, enseñar es fácil, re enseñar es muy complejo, es

quitar lo que ya ellos traen aprendido y meterle cosas nuevas.

7.1. ¿Cuál es la aplicación de las transformaciones lineales?

R// Uno se queda con el concepto más general, nunca mira las aplicaciones,

porque si esto no lo dominan bien cómo vamos a hacer con las aplicaciones, entonces

nunca vemos aplicaciones, ya es suficiente, ya saben que es una transformación, ya

saben clasificarla, entonces nos quedamos en lo elemental, superficial todo, nunca

profundizamos y menos aplicaciones, si no saben lo que es el concepto, un buen manejo

del concepto te permitiría hacer muchas aplicaciones, no lo sabe ni el profesor.



AUDIO 02 Docente 02


R// Cuando usted me pregunta por explicar la metodología, yo me quedaría corto al

darle respuesta a esa pregunta, yo lo que voy a decirle es como emprendo yo esa tarea,

lo primero es que para comenzar a hablar de función yo generalmente comienzo a

contarle a los estudiantes o a presentarles mejor situaciones de la vida real, básicamente

donde se manejan dos variables, situaciones en las que una variable depende de la otra y

a partir de ahí se comienza a ver todo un análisis, un análisis que termina en la definición

de variable real y comenzamos ahí el trabajo propiamente dicho que tiene que ver para el

desarrollo, obvio que en cada grupo por sus propias características la situación es distinta,

pero básicamente en el fondo esa es la metodología que utilizo para abordar ese tema.


estudiantes?

R// Esa pregunta hay que hacérsela a los estudiantes, pero lo que yo he podido

observar en mi experiencia es que hallar el dominio es muy sencillo, nosotros una función

la damos de la forma ( ) y solo miramos los valores de y listo, y a partir de ahí

hallamos el dominio, pero con el rango tenemos que hacer un proceso inverso para poder

mirar el comportamiento de la ordenada, y es ahí donde radica el problema, de todas

formas tampoco profundizamos nosotros al interior del aula en el tema que tiene que ver

con determinar el rango.


dicho concepto?

R// Esa no es una pregunta que se pueda contestar fácilmente, porque para uno

decir cuál es la mejor manera tiene que mirar varias cosas, primero hay que mirar la

característica del docente y la característica del grupo, entonces la mejor manera

depende del grupo donde estemos, uno utiliza un método para un grupo y le funciona

perfectamente luego se va para otro grupo a aplicar ese mismo método y ya no le da buen

resultado, entonces no puedo decir que este método o aquel es el mejor, eso depende del

grupo y depende del momento y del ánimo que uno este porque también depende mucho

del docente.


R// Primero hay que definir que es una estructura.



Referencias 129

R// Sin respuesta


R// Sin respuesta


biyectivas?

R// Según los estándares no hay como una fundamentación del porqué, además

mirando un poquito lo que pretenden nuestros estudiantes o por lo menos en el medio

donde yo me muevo esto sería muy importante para aquellos que van a estudiar ciencias

naturales o ciencias exactas mejor, pero muchos quieren ir a estudiar programas donde

las matemáticas únicamente es una herramienta que la aplican para la solución de

problemas, entonces ahí en ese sentido no serían muy importantes, por ejemplo para

estudiantes de ingeniería.



R// Yo no creo que sea necesario enseñarlo

7. ¿Por qué cree usted que no se trabaja esa temática?

R// Uno tiene que mirar en el contexto donde está, para que estamos formando

muchachos, entonces esto a nivel universitario sería muy importante en programas de

estudiantes que están estudiando matemáticas, donde tienen que desarrollar una

cantidad de elementos teóricos.

7.1. ¿Considera que en algún momento lo he ofendido con respecto a una pregunta?

R// No me has ofendido, yo me he sentido impotente para dar respuesta a algunas

preguntas porque hay unos conceptos que debo tener inicialmente muy claros para poder

contestarlas.



AUDIO 03 Docente 03


R// La metodología para enseñar el concepto de función siempre ha sido de forma

intuitiva a la forma formal, es decir, lo que hago es seguir el camino de la construcción

muy en la metodología pedagógica del constructivismo, parto del mundo real para llegar al

concepto de función, parto de la situación, hago el modelado para llegar al concepto de

función a través de la analogía de máquina, que todo lo que pasa por la maquina sufre

una transformación.


estudiantes?

R// Porque ellos piensan que una función, es una expresión algebraica sobre la cual

solo se reemplazan valores y no entienden que esos valores es la transformación que da

la maquina cuando ingresan números reales, ellos asumen que el resultado algebraico

que da el haber reemplazado el valor de la variable es simplemente un número, pero ellos

no saben qué implicaciones tiene ese número para el comportamiento de una función,

función que en el mejor de los casos uno lo va a representar en el tablero como el

recorrido grafico o el trazo grafico que une los puntos, que une el conjunto de puntos que

se obtienen cuando se reemplazan los valores de en una expresión algebraica para

obtener el valor de .


dicho concepto?

R// El concepto de rango puede ser enseñado a partir de dos vías, una a través de

la representación gráfica y cómo se comporta la , la otra a través del trazo vertical de

determinadas rectas para obtener intersecciones con los ejes, donde no hayan

intersecciones uno dirá entonces que no hay rango, o la otra es el análisis de las

expresiones algebraicas para el caso de la , invertido para el caso de la Y, y cuáles son

las restricciones que tienen esas expresiones algebraicas para el caso de la X, pero

previo a eso tendría que haberse explicado cómo se comportan todas las funciones

dentro de la clasificación de las funciones, cuando son funciones polinómicas, cuando son

funciones especiales, cuando son funciones trascendentes, cuando son funciones

trigonométricas, cuando son funciones por tramos, etc.


R// Son una estructura en el sentido amplio, sí, porque cumplen con las propiedades

de la estructura, una estructura algebraica entonces cumple, es cerrada, expresiones

Referencias 131

algebraicas al hacer una proyección del campo de las funciones reales en el campo de las

funciones reales siempre se va obtener una función real, en ese sentido la estructura es

cerrada, la estructura algebraica. Es conmutativa para el caso de la división y la

multiplicación, si, es asociativa para el caso de la multiplicación y la división, si, cumple la

composición para que sea estructura, sí, pero hay que hacer restricciones cuando se da la

composición de funciones para que se obtenga otra función o para que se obtenga la

identidad, si se busca que se dé la identidad entonces habría que pensar previamente en

el concepto de función inversa y mostrarle al muchacho que cuando uno compone una

función de otra función, uno está buscando, otra función que sea el resultado de una

función más grande o una función más pequeña y que la composición de funciones que

no es reemplazar huecos en huecos, es cómo se comporta una función cuando es

reemplazada en su variable por otras funciones, ósea que es más amplio el concepto de

función, porque inicialmente uno piensa que el concepto de función es llenar X con

números y el concepto de composición es llenar la X pero con otras funciones.

3.1.¿Cuál considera usted que es la complejidad en el aprendizaje de estos conceptos

en el estudiante?

R// El de variable real porque difícilmente se ha entendido el concepto de número y

continuidad dentro de los números, si uno preguntara haciendo el ejercicio en un salón de

clases cualquiera, ¿Cuál es el número que le sigue a 2 en el conjunto de los números

naturales? Ellos me van a decir que el 3, ¿Cuál es el número que le sigue en los números

racionales al 2? Ellos van a pensar un poco más, ¿Cuál es el conjunto que dentro de los

decimales le sigue al 2.1?, que sería el conjunto de los irracionales o los racionales para

mejor decir el conjunto de los reales, ¿dentro de los reales cual es el número que le sigue

al 2.1? ellos le van a decir que el 2.2 y entonces se devuelve la pregunta ¿Cuál es el

número que le sigue al 2.10? ellos van a decir el 2.11 ¿entonces cuál es el que le sigue al

2.101? entonces ellos le van a decir el 2.102, pero ellos lo que están haciendo es

construyendo el concepto de continuidad, como no han entendido el concepto de número,

por eso no entienden el concepto de función, esto para explicar lo que tenía que ver con

el concepto de función.


R// Eso depende si yo lo que quiero es mirar si toda función tiene su inversa, el

trazado de la recta horizontal, o si lo que quiero es que al hacer la composición me de la

identidad, entonces tendría que empezar a explicarles cómo se despejan las variables en

todo tipo de funciones.


biyectivas?

R// La intención del maestro es que el estudiante entienda que si la función es

inyectiva, es decir que va del dominio al rango, que si es sobreyectiva que va del rango al



dominio y que si es biyectiva es que es uno a uno, intencionalmente el maestro lo que

quiere es que el estudiante entienda que toda función es uno a uno, o sea que toda

función puede tomar elementos del dominio que lo van a llevar a elementos del rango y

que eso se produce haciendo una acotación en el asunto de las imágenes es uno a uno,

es la intención del maestro pero el estudiante no lo ve así, el estudiante piensa siempre

que en un diagrama sagital es flechas, flechas de A a B, flechas de B a A, que se

relacionan todos de izquierda a derecha, derecha a izquierda, y que eso produzca unas

parejas ordenadas en un conjunto de parejas ordenadas y él va a mirar en esas parejas

ordenadas, si se repite la primera componente, si se repite la última componente, pero no

ha entendido el concepto de relación como proyección de un conjunto sobre el otro,

entonces todo el trabajo que hace el maestro para intentar que el estudiante entienda que

implica ser función inyectiva, biyectiva o sobreyectiva se pierde y más bien en economía

del tiempo en la estructura curricular, uno lo que prefiere es presentar la función como una

proyección de R(r), diciendo que va a coger números reales, que los va a meter en el

dominio, que eso le va a dar un número real en el rango y que eso se puede traducir en

un trazo en el plano cartesiano que va a ser una gráfica y que es grafica es función si al

trazar la recta vertical, no corta dos veces ese mismo trazo, entonces se economiza el

lenguaje de parte del maestro y se economiza tiempo curricular, por eso no es que sea

más fácil o más difícil, si no que el maestro ve que es menos productivo todo ese trabajo,

que hacer de una vez en la presentación de la expresión algebraica y la aplicación en

determinadas situaciones problema de esa expresión algebraica.



R// Uno no enseña transformaciones lineales en el sentido estricto, uno lo que

enseña son operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación y división entre

números, entre expresiones algebraicas y composición de expresiones algebraicas o de

números dentro de las expresiones algebraicas, uno no enseña la dependencia o

independencia de funciones.

7. ¿Por qué cree usted que no se trabaja esto?

R// Por dos razones, una es por la complejidad del tema en la que muchos maestros

no estamos dispuestos a asumir el reto, lo cual implicaría de parte del maestro un

esfuerzo interesante en entender cómo se comporta el concepto de estructura y que

isomorfismo se puede establecer con el concepto de función en el sentido básico, y otro

es que eso representa un grado de dificultad muy alto para el estudiante entonces

haciendo toda esa economía de tiempo y del lenguaje, uno prefiere presentar aquello que

por el modelado de los textos o que por los ejercicios que uno se encuentra en internet o

que por la manera como a uno le enseñaron a pensar el currículo, uno puede conducir a

Referencias 133

ejercicios más sencillos en aplicaciones que para uno son aplicaciones del mundo real,

entonces uno va a pensar siempre en funciones de costo, funciones de producción,

funciones de máximo o funciones de mínimo, raras veces funciones de movimientos para

el caso de la física, pero a nadie se le ocurriría una función por fuera de esas

aplicaciones, porque para el estudiante no es familiar y para el maestro tampoco.



AUDIO 04 Docente 04


R// Inicialmente al estudiante se lo propone una situación problema que encierra la

idea central de función y que al procurar hallar posibles soluciones de alguna manera

entienda que relaciones hay entre cantidades que pueden ser variables y que esa relación

se puede expresar como una función.


estudiantes?

R// Sin respuesta


dicho concepto?

R// Inicialmente desde la interpretación geométrica que es la visualización desde la

gráfica porque si es desde la estructura algebraica usualmente los estudiantes tienen

muchos problemas en esa parte de la estructura algebraica.


R// Por supuesto que si



R// Las razones pueden ser muchas, una de tantas es que de alguna manera al

estudiante se le enseña una forma mecánica donde el simplemente recibe cierta

información y la aplica casi que literal como el docente le indica, si permitiéramos que el

estudiante por sí mismo analizara los conceptos, los hilara y de alguna manera lograra la

relación entre ellos, de alguna forma se lograría que esta comprensión fuera mucho más

elaborada y no tan mecánica.


R// Sin respuesta


biyectivas?

R// Como una necesidad de reconocer características importantes de las funciones,

en especial las inyectivas, para hallar funciones inversas.

Referencias 135



R// Sin respuesta


R// Quizás por falta de tiempo o de alguna manera podría ser por poco manejo del

concepto en los mismos docentes.



AUDIO 05 Docente 05


R// Yo soy chapado a la antigua y continuo con mi clase magistral, me parece

importante que haya una explicación del marco conceptual muy claro y una explicación de

la temática, luego procedo a realizar unos ejemplos pertinentes y luego procedo a

colocarles un taller para que ellos trabajen por fuera de clase, luego se socializa el taller y

se pasa al siguiente tema.


estudiantes?

R// Yo diría que de pende de cómo se explique, yo no le veo mucha diferencia a

explicar lo que es el dominio de una función, al rango de una función, pienso que tienen

que tener muy claras sus bases algebraicas y ante todo tener el concepto muy claro, en

matemáticas si no se tiene claro el concepto, el procedimiento le va a dar muchísima

dificultad.


dicho concepto?

R// Yo digo que con una buena explicación basta, clases magistrales.


R// Yo no tengo muy claro el concepto como tal de estructura



R// Yo pienso que porque son conceptos abstractos, inicialmente mientras uno no le

muestre al estudiante la aplicación del concepto le va a dar muchísima dificultad.


R// Yo no tengo si no una sola manera, la clásica, un buen concepto de lo que es

función inversa como tal, aplicando el concepto de la función compuesta y las

operaciones con funciones.


biyectivas?

Referencias 137

R// Tiene que ver con lo de las funciones uno a uno, un estudiante tiene que tener

claro cuando una función es uno a uno y cuando no es.



R// Sin respuesta


R// Por el desconocimiento de uno como docente, o de pronto porque dentro del

programa que uno dicta tampoco está estipulado, entonces uno no lo dicta.



AUDIO 06 Docente 06


R// Para enseñar el concepto de función de variable real se comienza con, dentro

de los conjuntos, lo que es el producto cartesiano, que es el ordenamiento de pares de

conjuntos de números en parejas ordenadas y a partir de ahí se desarrolla luego la

concesión de lo que es una relación, o sea como ordenar esas parejas ordenadas por

medio de una ley de formación y luego ya se particulariza esa ley de formación al

concepto de función de variable real que es básicamente asignarle una ley que viene en

la relación pero que asigna valores del rango a cada elemento del conjunto de partida y

le asigna un solo elemento del rango o del conjunto de llegada, esto es básicamente

como tal, y luego a partir de ahí se hacen unas relaciones de los conceptos en forma

gráfica utilizando plano cartesiano, utilizando diagramas sagitales, etc.


estudiantes?

R// Porque el concepto de rango tiene que ver con la evaluación del dominio de la

función en la ley de formación, en la regla que forma la función de variable real y en

muchos casos tiene que ver con la forma como se puede „‟calcular‟‟, porque lo puede

hacer uno intuitivamente o lo puede hacer gráficamente, y si lo hace analíticamente tiene

que hacer un despeje de la variable independiente, luego mirar para cuales valores está

definida esa función nueva que encuentran, creo que es por eso como tal, además que

hay muchas funciones que tienen varias restricciones y que eso genera en los

estudiantes cierta dificultad, divisiones por 0, raíces de índice par, etc.


dicho concepto?

R// Creo que uno debe partir inicialmente de la parte gráfica, la parte grafica ayuda

mucho a entender ese tipo de cosas, obviamente previo a eso hay que dar una

concepción de lo que es la evaluación de una función y luego continuar de forma

analítica, porque más adelante en la parte de aplicación de la derivada en la construcción

de gráficos se utiliza mucho hallar el rango en forma gráfica.


R// Sí, porque es una función que primero, si es una función de variable real al

tomar como dominio los reales, arroja valores reales y además puedo hacer operaciones

entre ellas, al tener una suma de funciones puedo encontrar una nueva función o al hacer

Anexos 139

multiplicación de la función por un escalar, encuentro una nueva función que es una

transformación de esto.



R// Pueden haber dos cosas, la primera que tenga ciertas dificultades como la

comprensión de los conceptos previos, sobretodo en la parte de conjuntos y operaciones

entre conjuntos que tienen que ver con la función de variable real que son realmente

conjuntos también, de parejas ordenadas, y segundo creo que básicamente tienen

dificultades en las operaciones, sobre todo en los procesos de, como tienen que hallar

dominios y tienen que entender la gráfica de la función dentro de ese dominio, muchas

veces debe aplicar conceptos del algebra básica para poder hacer entendimiento de todo

ese proceso.


R// Básicamente la función inversa es otra función nueva y la idea es hacerle ver al

estudiante que son funciones que tienen ciertas características y están relacionadas con

la función de partida, tratando de mostrarles que la función inversa es un reflejo sobre un

espejo de la función que estoy tratando y ese espejo es básicamente una recta que pasa

por el origen, esa es como la parte grafica que se puede mostrar, ya analíticamente hay

que hacer un trabajo ya dependiendo del tipo de función, darle los tópicos y las

características de cómo invertir la función.


biyectivas?

R// Porque para las funciones inversas hay unas condiciones mínimas de cómo

construirlas, y la base para construir una función inversa es que tiene que tener

propiedades de biyectividad, o sea que si yo invierto una función, puedo devolverme,

encontrar tanto la función como su inversa, si tengo la inversa también poder encontrar la

función, por eso es importante, tiene que cumplir que sean uno a uno inyectivas y que

además sean sobreyectivas, porque hay funciones que aunque cumplen una de tantas

propiedades, su inversión no es posible, porque no cumplen con la definición de la

función como tal.



R// Porque básicamente las operaciones con funciones están supeditadas en

cumplir dos cosas, en sumas de funciones y multiplicaciones de escalar por función y eso

va de la mano en que por hacer traslaciones, al hacer amplificaciones, al hacer reflejos,

tienen que conocer esos conceptos básicos de sumas, de funciones, etc.




R// Las transformaciones lineales son un tema que se trabaja dentro del algebra

lineal y en muchos currículos el álgebra lineal es una materia previa al cálculo diferencial,

actualmente en muchos currículos de los programas académicos, el álgebra lineal es

como si fuera una asignatura a parte de todas las otras, y la cadena normalmente

siempre está dada en matemáticas, los cálculos y no se le da la relevancia dentro de esa

parte, entonces dejan esa parte de la transformación lineal para el curso de algebra

lineal, y hay programas que no trabajan el álgebra lineal, siendo una asignatura muy

importante.

Carlos Andrés Lopera González

Documents

Transcript of Carlos Andrés Lopera González