CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL …...CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO...
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CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL DICIEMBRE 2019
1
GUÍA PARA EXAMEN SEMESTRAL
1) Resuelve los siguientes límites por sustitución:
25) lim𝑥 → 0
𝐿𝑛(1 + 6𝑥)
𝑥 26) lim
𝑥 → 0
𝑒𝑥 − 1 − 𝑥
𝑥2
27) lim𝑥 → 0
2 − 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥2
𝑥4 28) lim
𝑥 → 0
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
) =−+
+−−
→ 187
63427
2
23
2lim
xx
xxx
x
) =−
+
−→ 16
2059
2
23
4lim
x
xx
x
) =++
+
−→ 158
1248
23
limxx
x
x
) =−
−+
→ 64125
2092012
3
2
54
limx
xx
x
) =−+
+
−→ 26
82711
2
3
32
limxx
x
x
) =+−
−
→ 31110
92510
2
2
53
limxx
x
x
) =+
→2
4
521 lim
x
x
x
) =−→
532 2
2lim xx
) =+
−
−→ 3
123
2
3lim
x
x
x
) =−
−
→ 25
1324
25
limx
x
x
) =−
−
→ 2
425 lim
2 x
x
x
) =+
+
−→ 27
36
33
limx
x
x
)( )
=−
−
→2
4 4
513 lim
xx
) =−
−
→ 23
7214
25
limx
x
x
) =−+−
+−−
→ 121545
8104515
23
23
54
limxxx
xxx
x
) =+
+−
−→ 3164
205418
3
2
43
limx
xx
x
) =−+
−
→ 524
431617
2
3
23
limxx
x
x
) =+−
−
−→ 5112
20316
2
2
3lim
xx
x
x
) =++
−−
−→ 273
185221
2
2
2lim
xx
xx
x
) =−−
−−
→ 15174
2020
2
2
5lim
xx
xx
x
) =+−
−
−→ 4211
919
2
2
3lim
xx
x
x
) =−
−+
→ 410
423524
23
52
limx
xx
x
) =−
−−−
→ 124
6223
23
3lim
x
xxx
x
) =+−
−−
−→ 415
36222
3
2
4lim
xx
xx
x
CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL DICIEMBRE 2019
2
RESPUESTAS
25) 6 26) 1
2
27) −1
12 28) 2
)16
131E
) 72E ) ( )
( ) +=
−=
+
−
−→
−→
xf
xfE
x
x
lim
lim
3
3
3
) ( )
( ) −=
+=
+
−
→
→
xf
xfE
x
x
lim
lim
5
5
4 ) 25E )27
16E
)11
57E
) 28E ) 109 −E
) 3010E )7
3611 −E )
240
4112E
) ( )
( ) −=
−=
+
−
→
→
xf
xfE
x
x
lim
lim
4
4
13 )2
314E )
91
3415 −E
)8
116E )
7
1117E )
2
1318E
)17
619E )
23
920E )
5
1321E
)33
1722 −E )
2
723E )
25
5224E
CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL DICIEMBRE 2019
3
2) Resuelve los siguientes límites:
RESPUESTAS
) =−
−−
→ 3
257
2
3lim
x
x
x
) =−+
−−
→ 145
214109
22
limxx
x
x
) =−+
+
−→ 62
210
22
limx
x
x) =
−+
−
→ 443
1611
2
4lim
x
x
x
) =−−−
−+
−→ xx
xx
x 215
8212
2
4lim
) =−
−−−
−→ 9
563128
23
limx
xx
x
) =−
−−
→ 3
7231 lim
3 x
x
x
) =+−
−−
→ 107
31533
22
limxx
x
x
) =−+
+
−→ 152
24 lim
2 x
x
x) =
−+
−
→ 412
165
2
4lim
x
x
x
) =−−−
+
−→ xx
x
x 4113
46 lim
4
) =−
−−−
−→ 9
493122
23
limx
xx
x
) =−+
−+
→ xx
xx
x 56
20813
2
2
2lim ) =
+−+
−
→ 21256
414 lim
4 xx
x
x
) =−−−
−+
−→ xx
xx
x 4337
1215
2
4lim
)2
37 )
109
19
)2
610 − )
3
6411 ) 3612 −
)216
18 −
)72
31 )
6
13 −
) 14 ) 645 )3
1726
)2112
12 −
) 102413 − )2
2914 ) 191415 −
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4
3) Resuelve los siguientes límites en el infinito:
RESPUESTAS
4) Utilizando la fórmula correspondiente, deriva las siguientes funciones:
) =+−
+−
→ xxx
xx
x 526
5243
35
23
lim) =+−
−−
→ 476
2742
3
23
limxx
xx
x
) =+−
+−
→ 324
4231
23
35
limxx
xx
x
) =−
−−
→ 132
2276
3
23
limx
xx
x
) =+−
−−−
→ 472
2725
2
23
limxx
xx
x
) =+−
−
→ 2253
1324
2limxx
x
x
) +1E)
3
22E
) 03E
) 04E ) −5E )2
16E
) ( ) 321 −= xxf ) ( ) 562 2 −= xxf
) ( ) 343 3 += xxf ) ( ) 7344 20 +−= xxxf
) ( )xxx
xxf532
2523+−+= ) ( )
xxxxf
3476
20
2 −+=
) ( ) 4 5
3 2
3 5 227 x
xxxf −+= ) ( ) x
xxxf 7
478
5 3
5 9 −+=
) ( ) 4 7
2
229 x
xxf −+= ) ( ) 8
97
4710 x
xxxf −+=
) ( ) ( )22311 −= xxf ) ( ) ( )32 112 −= xxf
) ( ) ( )( )23231 +−= xxxf ) ( ) ( )( )527441 2 −−= xxxf
) ( ) 2 2 4451 +−= xxxf ) ( ) ( )23216 −= xxxf
) ( )32
6417
2
+
+=
x
xxxf ) ( ) ( )( )( )1233218 +−−= xxxxf
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5
RESPUESTAS
5) Utilizando la fórmula que corresponda a cada ejercicio, calcular la derivada de:
1) 𝑦 = −2(𝑥3 − 1)2 2) 𝑦 = −2(𝑥2 − 𝑥 + 1)
3) 𝑦 =−2
(𝑥3 − 1)2 4) 𝑦 =
−2
𝑥2 − 𝑥 + 1
5) 𝑦 =−𝑥
𝑥3 − 1 6) 𝑦 =
𝑥3 − 1
3
) ( ) 2'1 =xf ) ( ) xxf 12'2 =
) ( ) 212'3 xxf = ) ( ) 380'4 19 −= xxf
) ( )234
5662'5
xxxxf −+−= ) ( )
221
38014'6
xxxxf +−=
) ( )4
5
3
4
3
10'7
4
3 5
3 2 x
x
xxf −−= ) ( )
xx
xxf
2
7
5
12
5
63'8
5 8
5 4
−−=
) ( )4
74'9
4 3
3
x
xxf −−= ) ( )
8 7108
7367'10
xxxf −−=
) ( ) 1218'11 −= xxf ) ( ) xxxxf 6126'12 35 +−=
) ( ) 14'31 += xxf ) ( ) 144024'41 2 −−= xxxf
) ( ) 1'51 =xf ) ( ) 412'16 −= xxf
) ( ) 2'17 =xf ) ( ) 93212'18 2 +−= xxxf
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6
7) 𝑦 = (2𝑥2 − 3)(3𝑥 + 7) 8) 𝑦 = 2𝑥(𝑥2 + 1)
9) 𝑦 =2𝑥2 − 3
3𝑥 + 7 10) 𝑦 =
2𝑥
𝑥2 + 1
27) 𝑦 =4
(5𝑥 − 3)5 28) 𝑦 =
3
(5𝑥 + 3)4
) ( ) ( )73211 −= xxf ) ( ) ( )132 53212 −= xxf
) ( )( )43 34
131
+=
xxf ) ( )
( )32 74
541
−=
xxf
) ( ) ( )4 55351 −= xxf ) ( ) 5 2 34716 −= xxf
) ( )25
117
−=
xxf ) ( )
( )5 32 2
418
−
=
x
xf
) ( )9
37219
2 +−=
xxxf ) ( )
2
317420
9 +−=
xxxf
) ( )72
521
3 −=
xxf ) ( )
232
422
5 −−
−=
xxxf
) ( ) ( )( )725423 +−= xxxf ) ( ) ( )( )255324 2 +−= xxxf
) ( )37
3225
+
−=
x
xxf ) ( )
25
5626
2
2
−
−=
x
xxf
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7
29) 𝑦 =−5
(7𝑥 + 3)6 30) 𝑦 =
−243
(2𝑥 + 7)5
31) 𝑦 =𝑎
2𝑥5 − 𝑏 32) 𝑦 = (4𝑥2 − 3)(2𝑥2 + 3)
RESPUESTAS
1) 𝑦′ = −12𝑥5+12𝑥2 2) 𝑦′ = −4𝑥 + 2
3) 𝑦′ =12𝑥2
(𝑥3 − 1)3 4) 𝑦′ =
4𝑥 − 2
(𝑥2 − 𝑥 + 1)2
5) 𝑦′ =2𝑥3 + 1
(𝑥3 − 1)2 6) 𝑦′ = 𝑥2
7) 𝑦′ = 18𝑥2 + 28𝑥 − 9 8) 𝑦′ = 6𝑥2 + 2
9) 𝑦′ =6𝑥2 + 28𝑥 + 9
(3𝑥 + 7)2 10) 𝑦′ =
−2𝑥2 + 2
(𝑥2 + 1)2
) ( ) cbxaxxf +−= 533 ) ( ) 53434 2 −+= xxxf
) ( )75
3235
xx
cxxf −+= ) ( )
3 4
3 7536x
cxxf +=
) ( ) 4 9
3
22237 xab
x
axxf −+= ) ( ) ( )82438 cxxf −=
) ( )( )43 3
39+
=bx
axf ) ( ) ( )4 7
240 −= xxf
) ( )bx
cxf
−=
41 ) ( )
7
2342
5 cxxxf
+−=
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8
27) 𝑦′ =−100
(5𝑥 − 3)6 28) 𝑦′ =
−60
(5𝑥 + 3)5
29) 𝑦′ =210
(7𝑥 + 3)7 30) 𝑦′ =
2430
(2𝑥 + 7)6
31) 𝑦′ =−10𝑎𝑥4
(2𝑥5 − 𝑏)2 32) 𝑦′ = 32𝑥3 + 12𝑥
) ( ) ( )63214'11 −= xxf ) ( ) ( )122 53156'12 −= xxxf
) ( )( )53
2
34
48'31
+
−=
x
xxf ) ( )
( )42 74
120'41
−
−=
x
xxf
) ( )4
5315'51
4 −=
xxf
) ( )( )5 42 345
56'16
−
=
x
xxf
) ( )( )3252
5'17
−
−=
xxf ) ( )
( )5 82 25
24'18
−
−=
x
xxf
) ( )9
74'19
−=
xxf ) ( )
2
1736'20
8 −=
xxf
) ( )( )23
2
72
30'21
−
−=
x
xxf ) ( )
( )25
4
232
1240'22
−−
−=
xx
xxf
) ( ) 1816'23 += xxf ) ( ) 251245'24 2 −+= xxxf
) ( )( )2
37
27'25
+=
xxf ) ( )
( )22 25
26'26
−=
x
xxf
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9
6) Utilizando la fórmula que corresponda a cada ejercicio, calcular la derivada de:
1) 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑡(4𝑥 − 5) 2) 𝑦 = −5𝑐𝑜𝑡(2𝑥 + 3)
3) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑐(3𝑥 − 2) 4) 𝑦 = −4𝑠𝑒𝑐(3𝑥 + 2)
5) 𝑦 = 6𝑐𝑠𝑐(2𝑥 − 3) 6) 𝑦 = −7𝑐𝑠𝑐(4𝑥 + 1)
7) 𝑦 = 3𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡(4𝑥) 8) 𝑦 = −5𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡(2𝑥)
9) 𝑦 = 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(3𝑥) 10) 𝑦 = −4𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(3𝑥)
11) 𝑦 = 6𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐(2𝑥) 12) 𝑦 = −7𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐(4𝑥)
13) 𝑦 = 4𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(5𝑥) 14) 𝑦 = −5𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(4𝑥)
) ( ) baxxf −= 45'33 ) ( ) 38'34 += xxf
) ( )86
2152'35
xx
cxf +−= ) ( )
3 7
3 4
3
4
3
35'36
x
cxxf −=
) ( )4
9622'37
4 5
4
xab
x
axf −−= ) ( ) ( )7264'38 cxxf −=
) ( )( )53
2
3
12'39
+
−=
bx
abxxf ) ( )
( )2
27'40
4 3−
=x
xf
) ( )( )32
'41bx
cxf
−
−=
) ( )
7
215'42
4 −=
xxf
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10
RESPUESTAS
1) 𝑦′ = −12𝑐𝑠𝑐2(4𝑥 − 5) 2) 𝑦 = 10𝑐𝑠𝑐2(2𝑥 + 3)
3) 𝑦′ = 6𝑠𝑒𝑐(3𝑥 − 2)𝑡𝑎𝑛(3𝑥 − 2)
4) 𝑦′ = −12𝑠𝑒𝑐(3𝑥 + 2)𝑡𝑎𝑛(3𝑥 + 2)
5) 𝑦′ = −12𝑐𝑠𝑐(2𝑥 − 3)𝑐𝑜𝑡(2𝑥 − 3)
6) 𝑦′ = 28𝑐𝑠𝑐(4𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡(4𝑥 + 1)
7) 𝑦′ =−12
1 + 16𝑥2 8) 𝑦′ =
10
1 + 4𝑥2
) ( ) ( )54527 −= xsenxf ) ( ) ( )23428 2 −−= xsenxf
) ( ) ( )72cos729 += xxf ) ( ) ( )35cos330 3 +−= xxf
) ( ) ( )76tan231 += xxf ) ( ) ( )52tan732 4 +−= xxf
) ( ) ( )35251 += xarcsenxf ) ( ) ( )23352 2 +−= xarcsenxf
) ( ) ( )34arctan953 += xxf ) ( ) ( )34arctan254 2 +−= xxf
) ( ) 97655 −= xexf ) ( ) 45 2
756 −= xexf
) ( ) ( )353557 2 +−= xxLnxf ) ( ) ( )54458 2 −= xLnxf
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11
9) 𝑦′ =2
𝑥√9𝑥2 − 1 10) 𝑦′ =
−4
𝑥√9𝑥2 − 1
11) 𝑦′ =−6
𝑥√4𝑥2 − 1 12) 𝑦′ =
7
𝑥√16𝑥2 − 1
13) 𝑦′ =−20
√1 − 25𝑥2 14) 𝑦′ =
20
√1 − 16𝑥2
) ( ) ( )54cos20'27 −= xxf ) ( ) ( )23cos24'28 2 −−= xxxf
) ( ) ( )7214'29 +−= xsenxf ) ( ) ( )3545'30 32 += xsenxxf
) ( ) ( )76sec12'31 2 += xxf ) ( ) ( )52sec56'32 423 +−= xxxf
) ( )( )2351
10'51
+−=
xxf ) ( )
( )22 231
18'52
+−
−=
x
xxf
) ( )( )2
341
36'53
++=
xxf ) ( )
( )22 341
16'54
++
−=
x
xxf
) ( ) 9742'55 −= xexf ) ( ) 45 2
70'56 −= xxexf
) ( )353
2530'57
2 +−
−=
xx
xxf ) ( )
54
32'58
2 −=
x
xxf
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12
7) Derivar las siguientes funciones:
)( )
45
541
4
−
−=
x
xy )
( )535
43
−=
x
xy) ( ) ( )73372
4−−= xxy
)( )374
474
−
+=
x
xy )
( )435
36
+=
x
xy) ( )( )538835 +−= xxy
)( )
( )3
5
94
497
+
+=
x
xy )
( )x
xy
2
379
6+
=) ( ) ( )5795598 ++= xxy
)4
34
4310
+
+=
x
xy )
3
3
7212
+=
x
xy) ( )( ) 4295211 −+= xxy
)( )
52
5313
3
−
−=
x
xy )
( )47
7414
3
+
−=
x
xy )
( )452
2515
−
+=
x
xy
)( )553
2316
−
−=
x
xy )
( )
( )2
4
53
5217
+
+=
x
xy )
5
23
3218
−
−=
x
xy
)( )4 5
53
2319
−
−=
x
xy )
( )
( )5 2
4
53
5220
+
+=
x
xy )
( )12
2321
3 5
+
−=
x
xy
)( )4 5
53
2322
−
−=
x
xy )
( )
( )7 2
5 4
53
5223
+
+=
x
xy )
( )7
3 5
12
2324
+
−=
x
xy
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13
RESPUESTAS
)( ) ( )
( )2
3
45
396054'1
−
−−=
x
xxy ) ( ) ( )20510537'2
3−−= xxy
)( )635
1280'3
−
−−=
x
xy )
( )474
9756'4
−
−−=
x
xy
) ( ) ( )31114438'54
−+= xxy )( )535
945'6
+
+−=
x
xy
)( ) ( )
( )4
4
94
11924493'7
+
++=
x
xxy ) ( ) ( ) ( )6925409559'8
46+++= xxxy
)( ) ( )
( )2
5
2
67037'9
x
xxy
−+= )
( )
( )5
3
34
4328'10
+
+−=
x
xy
) ( ) ( ) ( )413629524'1133
+−+= xxxy )( )
( )4
2
3
7263'12
x
xy
+−=
)( ) ( )
( )2
2
52
351253'13
−
−−=
x
xxy )
( ) ( )
( )2
2
47
975674'14
+
+−=
x
xxy
)( )552
4130'15
−
−−=
x
xy )
( )653
1536'16
−
+−=
x
xy
)( ) ( )
( )3
3
53
101252'17
+
++=
x
xxy )
( )
( )6
4
23
3225'18
−
−=
x
xy
)( )4 9
534
309'19
−
−−=
x
xy )
( ) ( )
( )5 7
3
535
17010852'20
+
++=
x
xxy
)( ) ( )
( )23 2
12
15423'21
+
+−=
x
xxy
)( )4 9
53234
27'22
−−
−=
xx
xy
)( )7 95 535235
130108'23
++
+=
xx
xy
)( ) ( )
( )7 8
3 2
127
396423'24
+
+−=
x
xxy
CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL DICIEMBRE 2019
14
8) Derivar las siguientes funciones:
9) Calcula la segunda derivada de:
10) Calcula la tercera derivada de:
) ( )735413 −= xy ) ( )556615 −= xy) ( )652414 += xy
) ( )xxy 3sin416 = ) ( )xxy 2tan518 3=) xexy 62217 =
)( )x
xy
2
3cos19 = ) ( )xey x 2sin21 3=) 23ln820 −= xy
) ( )52ln22 −= xy ) 3223 += xey ) ( )1ln24 −= xey
) ( )334ln25 −= xy )xe
y5
26 = ) ( )3ln27 2 −= xy
) ( )( )433428 2 −−= xxy
) ( )54ln29 −= xy
) ( )4 74530 −= xy
CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL DICIEMBRE 2019
15
RESPUESTAS DE PARTE 8, 9 Y 10
) ( )635140'13 −= xy ) ( )55248'14 += xy
) ( )456180'15 −= xy ) ( ) ( )xxxy 3sin43cos12'16 +=
) xx xeexy 662 412'17 += ) ( ) ( )xxxxy 2tan152sec10'18 223 +=
)( ) ( )
( )22
3cos23sin6'19
x
xxxy
−−= )
23
24'20
−=
xy
) ( ) ( )xexey xx 2sin32cos2'21 33 += )( )252
4''
52
2'22
−
−=
−=
xy
xy
) 3232 4''2'23 ++ == xx eyey )( )21
''1
'24−
−=
−=
x
x
x
x
e
ey
e
ey
)( )234
48''
34
12'25
−
−=
−=
xy
xy )
xx ey
ey
5''
5'26 =
−=
)( )22
2
23
62''
3
2'27
−
−−=
−=
x
xy
x
xy
) 72'''3272''93236'28 2 =−=−−= yxyxxy
)( ) ( )32
54
128'''
54
16''
54
4'29
−=
−
−=
−=
xy
xy
xy
)( )
( )4 54
4 3
4564
2625'''
4516
525''
4
4535'30
−
−=
−=
−=
xy
xy
xy