Carta Informativa 23

8/19/2019 Carta Informativa 23

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1. Introducción.

Empezaré este escrito aclarando el título del mismo, para estohabrá que remontarse muchos años en el pasado y pensar enla evolución del hombre. Cuando el ser humano adopta una

posición erguida, una de sus primeras visiones fue la magnificien-cia del cielo y el resplendor de sus estrellas. De la fascinación deeste espectáculo y a base de una observación constante, muy prontoaprende que el movimiento de los astros le proporcionan una exce-lente forma de orientarse, pudiendo de esta forma recorrer grandesdistancias y regresar a aquellos lugares que le parecián más segurosy que le proveían de mejores recursos; es decir, la posición de lasestrellas en el cielo le proporcionaban un marco de referencia en el

cual moverse. Avanzando en la historia vemos que estos conocimien-tos les permitieron fundar ciudades en los lugares más adecuados yconducir grandes rebaños, entre otras muchas cosas. De lo anteriorconcluyo que la profesión más antigua del mundo es la mecánicaceleste, rama de las matemáticas que estudia el movimiento de losastros en el cielo. Estoy conciente de que ésta es una afirmación po-lémica, mis amigos médicos y filósofos también se adjudican estaprimicia; con los astrónomos coincidimos en ser parte del mismoequipo, y siempre está la creencia popular de que la prostitución tie-ne este honor. Espero que algún día pueda conversar con algunos deustedes a este respecto.

A través de la historia de la humanidad, con la participación devarias civilizaciones, principalmente la valiosa aportación de los an-tiguos astrónomos y astrólogos, fueron germinando las semillas del

problema central de la mecánica celeste, conocido como el proble-ma de los n –cuerpos. En un escrito tan breve como este, dar unacronología más detallada de los sucesos relevantes es imposible, así que me concentraré en la etapa moderna de este problema, que nacecon la publicación del Philosophiae Naturalis Principia Mathemati-ca por Isaac Newton en 1687, donde por primera vez se da una claraformulación del problema en términos de un sistema de ecuacionesdiferenciales, teniendo como modelo la ley de atracción de Newton,que establece que la atracción entre dos cuerpos celestes es propor-cional al producto de sus masas y está en razón inversa del cuadradode su distancia. Aquí aparece una idea sencilla, elegante y genial,considerar a los cuerpos celestes como masas puntuales en el espa-

cio. Entremos pues a la formulación matemática del problema de losn–cuerpos.

Consideremos n–masas puntuales en el espacio cuyas posicionesestán dadas por los vectores ri ∈ R3, i = 1, 2, · · · n, con respecto aun sistema de coordenadas fi jo, con el origen en el centro de masas,es decir

n

i=1 mirin

i=1 mi= 0,

a r = (r1, r2, · · · rn) le llamaremos la configuración o forma delsistema. Si suponemos que el valor de la constante de atracción es

uno, G = 1, entonces el movimiento de las n–masas esta determi-nado por las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales desegundo grado dadas por:

mir̈i =j=i

mimjr3ij

(rj − ri), (1)

donde rij = |rj − ri|, el término cúbico en el denominador de laecuación (1) viene de multiplicar la magnitud de la fuerza por elvector unitario (rj − ri)/|rj − ri| para obtener la dirección de lafuerza correspondiente.

Una de las grandes dificultades para resolver el sistema anteriores la presencia de colisiones en el modelo, es decir, cuando dos omás partículas llegan a una misma posición al mismo tiempo; paraaclarar esto definamos

∆ij = {(r1, . . . , rn) ∈ R3n | ri = rj}, ∆ =

i


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T = 12 ptM −1 p es la energía cinética del sistema. La formulación

usual del problema de los n–cuerpos esta dada por

ṙ = M −1 p = ∂H

∂p , (3)

˙ p = ∇U = −∂H

∂r .

El lector puede consultar [23] y [14] para mayores detalles. Pa-

ra n = 2, el problema es integrable, es decir conocemos todas sussoluciones. Esto se debe principalmente a que sólo existe un tipo decolisión, la dada por el choque entre las dos partículas o colisión bi-naria, que se estudia como si se diera un rebote elástico entre ellas.En términos matemáticos decimos que esta singularidad es regula-rizable; su solución puede ser encontrada en casi cualquier libro demecánica celeste o astronomía y es conocido como el problema deKepler. Dependiendo de las condiciones iniciales la solución puedeser una elipse, una parábola o una hipérbola. Entre las solucioneselípticas incluimos a las órbitas circulares y a las soluciones rectilí-neas, estas últimas son las únicas donde puede darse una colisión, locual nos ayuda a resolver totalmente este problema.

Para n ≥ 3, el problema de los n–cuerpos es un problema abierto,en el sentido de obtener soluciones explícitas, el cual ha sido ataca-

do por muchos matemáticos importantes, quienes en su intento porresolverlo han demostrado bellísimos resultados que nos permitenhoy en día tener un mejor entendimiento del problema, aunque aúnestemos lejos de comprenderlo en su totalidad. Del estudio del pro-blema de los n–cuerpos han surgido nuevas e importantes teoríasmatemáticas, vale la pena puntualizar que cada vez que surge unanueva idea en matemáticas, los especialistas tratan de encontrar suaplicación en el problema de los n–cuerpos, en su estudio podemosencontrar aplicaciones de sistemas dinámicos, topología diferencial,topología algebraica, geometría algebraica, geometría simpléctica,teoría de nudos y teoría de modelos matemáticos usando modernascomputadoras. Todo esto hace de la mecánica celeste una rama delas matemáticas muy completa e interesante, además, por supuesto,de tener un nombre muy bonito.

A continuación describiré un par de tópicos provenientes direc-tamente del problema de los n–cuerpos que nos permitirán darnoscuenta de algunas particularidades y problemáticas que éste presen-ta.

2. Sobre las singularidades

del problema.

Del teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales,sabemos que por cada punto (r(0), p(0)) ∈ (R3n \ ∆) ×R3n, existeuna única solución del sistema (3), definida para todo tiempo t entrecero y β , es decir 0 ≤ t < β , donde β es maximal.

Definition 2.1. Si β < ∞, decimos que la solución r(t) tiene unasingularidad en β .

Como es de suponer, las singularidades de la función poten-cial U están relacionadas con las singularidades de las solucio-nes de (3), esta relación se hace clara con el famoso resultado dePainlevé demostrado en 1897 [16] que establece lo siguiente: da-da r(t) = (r1(t), r2(t), · · · rn(t)) una solución de (3), sea γ (t) =mini=j{|ri(t) − rj(t)|}, entonces tenemosTeorema 2.2. (Painlevé.) Si r(t) tiene una singularidad en β enton-ces γ (t) → 0 cuando t → β .

Es importante remarcar que este resultado no implica necesaria-mente que ocurra alguna colisión, podría suceder por ejemplo, que

una partícula oscilara entre muchas otras de tal manera que en cadaencuentro con otra partícula, su distancia se hiciera más y más pe-queña, pero sin nunca chocar, con lo cual podríamos encontrar unasucesión de tiempos tn, convergiendo a un tiempo finito β , con lapropiedad de que ∇U (tn) → ∞, es decir, la solución debería teneruna singularidad al tiempo t = β .

Poco tiempo después, Painlevé logró demostrar que en el proble-ma de los tres cuerpos toda singularidad corresponde a una colisión

de al menos dos partículas. Sin embargo, las técnicas que él empleóno se pueden generalizar para n ≥ 4, quedando como una conjeturasi este resultado es cierto para n ≥ 4.

Del teorema de Painlevé deducimos que si una solución r(t) delproblema de los n–cuerpos tiene una singularidad en β entoncesr(t) → ∆ cuando t → β . Si existe un q ∈ ∆ tal que r(t) → q ,entonces la singularidad corresponde a una colisión de al menos unpar de partículas, pero a priori la solución r(t) puede oscilar entrevarios puntos de ∆, lo que provocaría una singularidad sin colisión.

La conjetura de Painlevé permaneció abierta por muchos años du-rante los cuales muchos matemáticos intentaron demostrarla sin éxi-to, obteniendo en su intento resultados muy pobres que no permitíandesentrañar el misterio sobre la existencia o no de las singularida-des sin colisión. No fue sino hasta la aparición de las computadoras

electrónicas, cuando los investigadores pudieron obtener simulacio-nes más precisas del problema de 3 y 4-cuerpos, que algunos hechosmuy característicos de este problema fueron identificados, uno de losmás importantes fue la observación de que después de pasar cercade una colisión triple, dos partículas permanecen cercanas formandouna “binaria”, mientras que la tercer partícula sale expulsada a granvelocidad en dirección “contraria” a la binaria. Este resultado ha si-do muy importante para los astrónomos en su estudio de las estrellasbinarias, mientras que a los matemáticos los puso a pensar en la po-sibilidad de que, en un problema de varios cuerpos, podría sucederque el sistema dejara de ser acotado en tiempo finito; es decir, quehubiera escape a infinito de al menos una partícula en tiempo finito,generando de esta forma una singularidad sin colisión.

La idea clave para entender qué sucede cuando las partículas es-

tán cerca de colisión triple apareció en 1974, en un bello trabajo deR. McGehee [13], donde se estudia la colisión triple en el proble-ma colineal de 3-cuerpos; es decir, tres partículas moviendose to-do el tiempo en una línea recta. La idea de McGehee viene de lageometría algebraica y él mismo confiesa que su inspiración fuerónvarias partidas de billar. La idea consiste en lo siguiente: primerose restringen las ecuaciones de movimiento a un nivel fi jo de ener-gía (recordemos que el sistema es conservativo), en el cual se haceuna explosión de la singularidad, es decir, se introducen coordena-das polares en el espacio de configuración y después se descomponela velocidad en una componente radial y otra tangencial, las cualesson multiplicadas por un factor adecuado que hace frenar las partí-culas para que de esta forma, después de una reparametrización deltiempo, las partículas alcancen la colisión triple en tiempo infinito.

De esta forma McGehee obtiene un campo vectorial analítico defini-do en una variedad con frontera, la cual bautiza como la variedad decolisión;finalmente pruebaque esta frontera es independiente delva-lor de energía escogido. La variedad de colisión es ficticia en tiemporeal, pero en las nuevas coordenadas el flujo se proyecta sobre ellade manera suave o lisa, esto nos permite hacer uso del teorema deecuaciones diferenciales sobre continuidad con respecto a condicio-nes iniciales, de esta forma podemos analizar las órbitas que van acolisión triple y las que están cerca de ella.

Poco tiempo después, utilizando este tipo de ideas, Mather y Mc-Gehee muestran que en el problema colineal de 4-cuerpos, es posi-ble tener escape a infinito en tiempo finito [11], sin embargo en este

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trabajo siempre aparecen colisiones binarias, las cuales son regulari-zables (es decir, la solución correspondiente puede ser extendida demanera analítica más allá de la singularidad en β ) y aparecen comoun simple rebote elástico. Como este es un problema regularizado,no fue aceptado por la comunidad cientí fica como un contraejemploa la conjetura de Painlevé.

Figura 1: El ejemplo de J. Xia.

En 1988 J. Xia da un ingenioso contraejemplo a la conjetura dePainlevé [22], él considera un problema de 5 cuerpos con 4 masasiguales donde un par de masas iguales (m1 y m2) se mueven en ór-bita elíptica con una excentricidad muy grande en un plano paraleloal plano x − y y encima de éste, el otro par de masas iguales (m3y m4) se mueven en una órbita similar a la anterior pero en sentidocontrario y en un plano paralelo al x− y pero debajo de éste, la quin-ta partícula de masa m5, que es mucho menor que las anteriores, semueve siempre sobre el eje z de tal forma que el momento angu-lar total es nulo (ver Figura 1). Esta partícula pequeña oscila entrelos binarios, pasando cerca de colisión triple cada vez y alejándo-los del origen más y más, obteniendo de esta forma un movimientono-acotado en tiempo finito. Este ejemplo puede ser extendido pa-ra toda n > 5. Poco después del ejemplo de Xia, apareció en laliteratura otro interesante modelo obtenido por J. Gerver, donde daotro contraejemplo a la conjetura de Painlevé en un problema de 3n–cuerpos en el plano con n suficientemente grande. En este ejemplo,2n de las partículas están moviéndose en órbitas elípticas cuyos cen-tros de masa están sobre los vértices de un n-polígono regular. Lasotras n-partículas de masas iguales pero mucho más pequeñas quelas anteriores, se mueven rápidamente de un binario a otro, pasan-do en cada paso cerca de colisión triple y haciendo que el polígonosea más y más grande. Escogiendo el valor adecuado de las masasy velocidades iniciales, Gerver obtiene una sucesión de tiempos queconvergen a un valor finito y hacen al sistema no acotado, es decir,da un ejemplo de una singularidad sin colisión para un problema enel plano. Para n = 4, la conjetura de Painlevé permanece abierta;en 2003, J. Gerver da un posible escenario para la construcción deun contraejemplo en el problema de 4–cuerpos. Muchos de sus argu-mentos aunque muy ingeniosos, son heurísticos y hasta el momentonadie ha podido hacer una demostración formal de ellos.

3. Sobre las configuraciones centrales.

Las configuraciones centrales en el problema de los n–cuerposson posiciones particulares de las n partículas donde el vector de

posición de cada partícula ri y el vector de aceleración r̈i son pro-porcionales, y la constante de proporcionalidad es la misma para losn–cuerpos.

La formulación matemática de las ecuaciones que nos permi-ten encontrar las CC es muy sencilla de obtener. Decimos quer = (r1, r2, · · · , rn) es una configuración central si

r̈i = λri, i = 1, 2, · · · , n. (4)

Usando las ecuaciones de movimiento (1), tenemos que una confi-guración central debe satisfacer

∇iU = λmiri i = 1, 2, · · · , n. (5)

La historia de las configuraciones centrales, que llamaré por bre-vedad CC, empieza en 1767 cuando Leonhard Euler publica un in-teresante trabajo sobre el problema de los 3-cuerpos [6]. En esa épo-ca los investigadores estaban muy interesados en el estudio de órbitasperiódicas. En su trabajo, Euler encuentra explícitamente una fami-lia completa de ellas, concretamente demuestra que si tres partículasson colocadas inicialmente en línea recta, de tal forma que la razónde sus distancias satisfagan una fórmula que solo depende del valorde las masas, y si además, las velocidades iniciales son escogidas

adecuadamente, entonces cada partícula se moverá periodicamentesobre una elipse, pero en todo momento las tres partículas se man-tendrán sobre una línea recta, conservando siempre la misma razónentre sus distancias (ver Figura 2).

Figura 2: El ejemplo de Euler.

Unos años después, en 1772, J. L. Lagrange redescubre las ór-bitas de Euler y encuentra una nueva familia de órbitas periódicas,obtenidas al colocar tres masas sobre los vértices de un triánguloequilátero, donde por supuesto, hay que escoger adecuadamente lasvelocidades iniciales [10]. Aquí nuevamente cada partícula se move-rá sobre una órbita elíptica; en todo momento la configuracion seráde triángulo equilátero, el cual podrá variar de tamaño pero nunca deforma (ver Figura 3).

La configuración inicial de la cual parten tanto Euler como La-grange es una configuración central. Se verifica fácilmente que lasCC son invariantes ante homotécias y rotaciones, es decir, si en unaCC la posición de las partículas se multiplica por cualquier núme-

ro positivo, la nueva configuración sigue siendo central, y lo mismoocurre cuando aplicamos una rotación de la misma. Esto nos lleva acontar las CC módulo estos movimientos Euclidianos; de esta formael número total de CC en el problema de los 3-cuerpos es 5, de lascuales 3 son colineales y corresponden a las posibles permutacio-nes de las tres partículas en una recta módulo rotaciones; las otrasdos corresponden a las posibles orientaciones de un triángulo en unplano.

Los resultados de Euler y Lagrange se generalizan al problema delos n–cuerpos, es decir, se demuestra que cada CC da origen a unaórbita periódica. Lo más sorprendente es que estas son las únicas so-luciones del problema de los n–cuerpos que se pueden obtener en

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Figura 3: El ejemplo de Lagrange.

forma explícita; las cuales son conocidas como soluciones homográ-ficas, más adelante en este trabajo volveremos a ellas. Por este solohecho, el estudio de las CC es de primordial importancia en la méca-nica celeste, pero ésta no es la única propiedad interesante que ellastienen. En 1912, K. Sundman demostró que en el problema de los 3-cuerpos, cuando las partículas chocan simultáneamente (colisión tri-ple) lo hacen acercándose a una configuración central; este resultadotambién ha sido generalizado y hoy en día sabemos que en el proble-ma de los n–cuerpos, cualquier colisión simultánea de k–partículascon 3 ≤ k ≤ n, es asintótica a una CC formada por esas k partí-culas. Otra propiedad importante de las CC es que para una familiagrande de soluciones en el problema de los n–cuerpos, el escape ainfinito es también asintótico a una CC, este resultado obtenido porD. Saari en [19], ha sido explotado intensamente por astrónomos ycosmólogos en sus investigaciones sobre el movimiento de galaxiasen el universo.

La formulación matemática de las ecuaciones que nos permiten

encontrar las CC es muy sencilla de obtener, basta recordar que elvector de posición y el de aceleración deben ser proporcionales. Te-nemos entonces que r = (r1, r2, · · · , rn) es una configuración cen-tral si

r̈i = λri, i = 1, 2, · · · , n. (6)

Usando las ecuaciones de movimiento (1), tenemos que una confi-guración central debe satisfacer

∇iU = λmiri i = 1, 2, · · · , n. (7)

El sistema de ecuaciones (7) parece muy inofensivo pero es real-mente complicado de resolver, es uno de esos problemas que tienenun planteamiento sencillo, pero que su solución es muy difícil. Unaconjetura famosa referente a las CC nos dice que el número total

de CC en el problema de los n-cuerpos es finito, esta conjetura fueplanteada por Wintner en 1941 [23], y retomada por Smale en el año2000 [21], como uno de los grandes problemas a resolver en este si-glo. Para n ≥ 5 la conjetura continúa siendo un problema abierto,para n = 4 recién en el año 2004 Moeckel y Hampton lograron de-mostrar que el número es finito [9], sin embargo, ellos dan una cotamuy grande en su demostración, las evidencias numéricas muestranque para n = 4, el número total debe ser 50. Cualquier resulta-do, aunque sea parcial sobre estos problemas será bienvenido por lacomunidad interesada en mecánica celeste.

Debido a que el problema es muy complicado, uno trata de es-tudiar primero algunos casos particulares; así en 1985 A. Albouy

demuestra que en el problema de 4-cuerpos con masas iguales, lasCC planas (no colineales) poseen un eje de simetría que contiene ados de las partículas [1]. Usando este resultado el mismo autor prue-ba que para 4 masas iguales el número total de CC es 50 [2]. En2005, en un trabajo conjunto con J. Bernat y J. Llibre [4], nosotrosconseguimos obtener todas las configuraciones centrales en el pro-blema de 4-cuerpos con tres masas iguales y poseyendo un eje desimetría. En un principio queríamos demostrar que toda CC con tresde sus masas iguales debería poseer un eje de simetría, sin embar-go después de muchas discusiones entre nosotros, nos dimos cuentade que esto no es cierto, a partir de aquí con un poco de trabajo lo-gramos construir un contraejemplo. En nuestro resultado, el númeromáximo de CC sólo se obtiene cuando todas las masas son iguales,recobrando de esta manera el resultado de Albouy.

Regresando a las soluciones de Euler y Lagrange discutidas an-teriormente, vemos que éstas son obtenidas a partir de una configu-ración central a la cuál le aplicamos una rotación seguida de unahomotecia, es así que logramos que cada partícula se mueva en unaórbita elíptica, conservando siempre su configuración inicial colinealo de triángulo equilátero. Dada la importancia de este tipo de solu-ciones vamos a dar su definición formal:Definición 3.1. Decimos que una solución r(t) =(r1(t), · · · , rn(t)) es homográfica, si existe una función es-calar ν (t) y una matriz de rotación R(t) tal que, para todai = 1, 2, · · · , n y para todo tiempo t, se tiene

ri(t) = ν (t)R(t)roi ,

donde q = (ro1, ro2, · · · , r

on) es una CC.

Existen dos casos límitede soluciones homográficas,cuando R(t)es la matriz identidad y cuando ν (t) = 1. La primeras son llamadassoluciones homotéticas y las segundas equilibrios relativos, caracte-rizadas por

ri(t) = R(t)roi 1 = 1, 2, · · · n.

En estas últimas soluciones el sistema rota alrededor del centro demasa como si se tratara de un cuerpo rígido, las distancias mutuas nocambian cuando t varía, cada partícula se mueve exactamente en unaórbita idéntica, es decir ellas forman una bella coreografía. El nom-bre de equilibrio relativo viene del hecho de que si a nuestro sistemade referencia lo hacemos rotar alrededor del centro de masa, enton-ces en el nuevo sistema, las partículas permanecen en equilibrio oreposo. En este tipo de soluciones existe un perfecto balance entre lafuerza de rotación del sistema y la fuerza centrífuga. Este equilibriosolo puede obtenerse en movimientos sobre un plano, las solucioneshomográficas no existen para problemas en el espacio.

En 1970, estudiando las propiedades y la estabilidad de las solu-ciones acotadas en el problema de los n–cuerpos, D. Saari estableciósu famosa conjetura [18], para comprenderla vamos a establecer unaforma de medir el tamaño del sistema, noción que, como es de es-perar, viene de la física y es conocido como momento de inerciadefinido por

I =n

i=1

mi|ri|2 =

1

2µi=j

mimjr2ij .

Donde µ = m1 + m2 + · · · + mn es la masa total del sistema.Ahora si podemos establecer la conjetura de Saari:

“Toda solución plana del problema de los n –cuerpos que tienemomento de inercia constante es un equilibrio relativo”

Es fácil demostrar que si a lo largo de una solución del proble-ma de los n–cuerpos el momento de inercia permanece constante,entonces tanto la energía cinética T , como la energía potencial U ,también son constantes a lo largo de la solución (2); parecería pués



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que, con tantas restricciones, la conjetura debería de ser fácil de re-solver, pero que va, esto es una mera ilusión, ya que la conjeturasalió airosa ante los embates de varios matemáticos durante el finaldel siglo pasado. Por algunos años y dada la dificultad del problema,prácticamente nadie se ocupó de él; sin embargo, con la aparicióndel sorprendente resultado de Chenciner y Montgomery [5], sobrela existencia de una solución periódica en forma de ocho para elproblema de los 3-cuerpos con masas iguales, muchos matemáticospensaron que esta solución podría ser un contraejemplo a la conje-tura de Saari. Evidencias numéricas muestran que en esta soluciónel momento de inercia no es constante, aunque está muy próximo deserlo. Hasta el momento no hay ninguna demostración analítica deeste hecho.

En 2002 C. McCord prueba la conjetura para el problema de lostres cuerpos con masas iguales [12]. En 2003 R. Moeckel con ayudade una computadora, obtiene una demostración de la conjetura parael problema general de los tres cuerpos [15]. La conjetura permaneceabierta para el problema de los n–cuerpos con n ≥ 4 . En 2004, encolaboración con F. Diacu y M. Santoprete [7], nosotros probamosla conjetura de Saari para el problema colineal de los n–cuerpos;en [17] los interesados podrán encontrar un artículo de divulgaciónsobre esta conjetura.

Para finalizar este escrito me gustaría mencionar que en el Depar-tamento de Matemáticas de la UAM-Iztapalala, tenemos un grupode varias personas trabajando en éstos y otros tópicos de mecánicaceleste, cualquier interesado es bienvenido a unirse a este grupo detrabajo en la profesión más antigua del mundo.

Bibliografía

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4. J. Bernat, J. Llibre and E. Pérez-Chavela, On the planar centralcon figurations of the 4 –body problem with three equal masses,Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy (por aparecer),(2005).

5. A. Chenciner and R. Montgomery, A remarkable periodic so-lution of the three body problem in the case of equal massess ,Annals of Mathematics 152, 881-901 (2000).

6. L. Euler, De motu rectilineo trium corporum se mutuo at-trahentum. Novi Comm. acad. Imp. Petrop. 11, 144-151,(1767).

7. F. Diacu, E. Pérez-Chavela and M. Santopetre Saari’s Conjec-ture for the Collinear n-Body Problem. Transactions, AMS.(por aparecer).

8. J. Gerver The existence of pseudocollisions in the plane. Jour-nal of Differential Equations 89, 1-68, (1991).

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10. J.L. Lagrange, Essais sur le probleme des trois corps , Paris ,(1772).

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12. C. McCord, Saari’s conjecture for the three-body problemwith equal massess. Celestial Mechanics and Dynamical As-tronomy 89, 99-118 (2004).

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14. K. Meyer and G.R. Hall, Introduction to Hamiltonian Dynami-cal Systems and the N-Body Problem, Applied Mathematical

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16. P. Painlevé, Lecons sur la théorie analytique des équations dif- fér entielles, A. Herman, París, (1897).

17. E. Pérez-Chavela, La conjetura de Saari, una nota histórica yalgo más., Miscelánea Matemática 41, por aparecer, (2005).

18. D. Saari, On bounded solutions of the n-body problem, PeriodicOrbits, Stability and Resonances , G.E.O., Giacaglia (Ed.), D.Riedel, Dordrecht, 76-81 (1970).

19. D. Saari, On the role and properties of n-body central con figu-

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gress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), 101–115,Progr. Math., 201, Birkhäuser, Basel (2001).

21. S. Smale, Mathematical problems for the next century, in Mat-hematics: Frontiers and Perspectives, V. Arnold, M. Atiyah,P. Lax, and B. Mazur, editors, Amer. Math. Society, 271-294(2000).

22. J. Xia, The existence of the non-collision singularities in New-tonian Systems, Annals of Mathematics 135, 411-468 (1992).

23. A. Wintner, The Analytical Foundations of Celestial Mecha-nics, Princeton University Press (1941).

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Alos que conocíamos la vitalidad y energía de Sevín Reci-

llas, su muerte, el pasado 20 de junio, a sus casi 62 añosnos parece un acontecimiento no sólo lamentable, sino

también prematuro.

Su pérdida es motivo de duelo especial para todos los que algunavez fuimos sus alumnos o nos consideramos sus allegados académi-cos. La influencia del legado que Sevín nos dejó, es en la actualidadincalculable. Su partida está tan cerca en el tiempo que no podría-mos juzgar ahora con objetividad su verdadero significado para lasmatemáticas en México.

Estas páginas son un intento por sintetizar la obra matemática pu-blicada de Sevín Recillas. Otra parte importantísima de su creacióncientí fica quedó dispersa en cartas, en conversaciones, en interven-ciones en seminarios. Este es también mi sincero y sencillo homena-

je a la persona que influyó decisivamente en mi formación académicay humana.

0. Introducción: superficies de Riemanncompactas y variedades Jacobianas

En esta sección establecemos brevemente los conceptos funda-mentales en que está basada toda la obra de Sevín Recillas.

El término superficie de Riemann compacta, será libremente in-tercambiado por el de curva algebraica no singular, irreducible y pro-yectiva definida sobre C, o simplemente una curva. Dada una apli-cación holomorfa entre curvas

f : X → Y,

el grado n de f se define como el número de puntos en la preimagende un punto general y ∈ Y . Este número está bien definido, los pun-

tos y tal que su preimagen consta de menos puntos se llaman valoresde ramificación. Existe una manera de contar “multiplicidades” enlas preimagenes y de este modo n iguala a la cardinalidad de la prei-magen de cualquier punto. f se llama usualmente cubriente de gradon de Y .

Fijemos Y = P1, esto es, Y es la esfera de Riemann C ∪ {∞},entonces:

1) si X admite una aplicación holomorfa X → P1 de grado 1 ,entonces X es isomorfa a P1 y se llama racional,

2) si X admite f : X → P1 de grado 2 , entonces X se llamahiperelíptica,

3) si X admite f : X → P1 de grado 3 , entonces X se llamatrigonal,

4) si X admite f : X → P1 de grado 4 , entonces X se llamatetragonal.

Una notación clásica para los casos 2)- 4) es decir que X tiene,respectivamente, un g12 , g

13 ó g

14 . Estas propiedades son especiales

si consideramos curvas de género alto. Por ejemplo, si gX = 1, 2,entonces X es siempre hiperelíptica. Si gX = 3, entonces X es tri-gonal pero en general no es hiperelíptica. La curva general de género7 no es hiperelíptica, trigonal, ni tetragonal.

Asociada a toda superficie de Riemann X , de género al me-nos 1 , existe su variedad Jacobiana JX , un toro complejo que sedefine como H 0(X, Ω1X)

∗/H 1(X,Z), la inclusión H 1(X,Z) ⊂H 0(X, Ω1X)

∗ es la inducida por la sucesión exacta ([31]):

0 → Z → O → O∗ → 0, 0,1

y la dualidad: H 0(X, Ω1X)∗ H 1(X, OX). La integración sobre

una base de H 0

(X, Ω1X) C

g

define una inmersión holomorfa:

a : X → JX,

conocida como la aplicación de Abel.JX no es sólo un toro complejo. Usando un argumento clásico

sobre “factores de automorfía” es posible construir la llamada fun-ción theta de Riemann. En términos más modernos, esto significaque existe un fibrado en rectas holomorfo sobre J X que tiene exac-tamente una sección holomorfa no cero, salvo multiplicación porconstantes. Es decir, JX es una variedad abeliana principalmentepolarizada, de acuerdo a la siguiente:Definición 0.1: A una pareja (A, L), con A un toro complejoproyectivo y L un fibrado en rectas holomorfo amplio sobre A,

con h0

(A, L) = 0 se le llama una variedad abeliana. Si ademásh0(A, L) = 1 se llama variedad abeliana principalmente polariza-da, y L se llama polarización principal.

La variedad Jacobiana JX tiene la propiedad de parametrizar ha-ces lineales holomorfos de grado cero, módulo isomorfismos. Estainterpretación se deriva una vez más de la sucesión exacta 0.1, to-da vez que H 1(X, O∗X) parametriza a las clases de haces linealesholomorfos y la aplicación:

c1 : H 1(X, O∗X) → H

2(X,Z) Z,

envía un haz lineal en su grado, es decir, en el número de ceros deuna sección holomorfa general.



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Finalmente, será esencial considerar los espacios de moduli Mg yAg. Estas variedades algebraicas parametrizan clases de equivalen-cia de superficies de Riemann compactas de género g y variedadesabelianas principalmente polarizadas de dimensión g ([33]). Sus di-mensiones son, respectivamente, 3g − 3 y (g+1)g

2 . La asignación:

X → JX,

define un morfismo algebraico:

t : Mg → Ag.

Tenemos el célebre ([31]):Teorema de Torelli. La aplicación t es inyectiva.

Con estos antecedentes podemos adentrarnos en las contribucio-nes fundamentales de Sevín Recillas a la teoría de curvas y sus jaco-bianas.

1. La construcción de Recillas y la fibra

de la aplicación de Prym

Dada una aplicación holomorfa f : X → Y entre dos super-ficies de Riemann compactas el levantado de haces lineales defineuna aplicación:

f ∗ : J Y → JX.

La imagen f ∗JY ⊂ JX , define un subtoro complejo de JX .Se sigue de un teorema clásico de Poincaré que existe un “comple-mento” para f ∗JY . Esto es, existe P ⊂ J X , variedad abeliana, talque:

+ : P × f ∗JY → JX

es sobre y P ∩f ∗JY es finito. Esta P sería la definición más generalposible de variedad de Prym asociada a una aplicación f .

Sin embargo, los casos realmente importantes ocurren cuando P resulta ser principalmente polarizada (ver definición 0.1).

Entre estos casos se encuentra la situación en que f es de grado2 y no ramificada. Un resultado elemental de la teoría de superficiesde Riemann, el teorema de Riemann-Hurwitz, nos indica que en talcaso gX = 2gY − 1. En este caso, si denotamos por Lθ la polari-zación principal de J X , entonces Lθ|P = M ⊗2, donde M es unapolarización principal para P ([29], [34]).

Un problema esencial aquí es determinar cuándo (P, M ) es iso-morfa a la variedad jacobiana de alguna superficie de Riemann. Escon este problema con que está relacionada la célebre construcciónde Recillas. En 1974 ([3]), Sevín Recillas, que llevaba apenas un añode doctorado, demostró el siguiente teorema:Teorema de Recillas. Sea C una curva trigonal de género g y C̃ →C un cubriente 2 : 1 no rami ficado. Existe una curva X tetragonalde género gC −1 tal que JX P ( C̃/C ). Inversamente, la variedad

jacobiana de cualquier curva tetragonal es isomorfa a la variedad de Prym de un cubriente doble no rami ficado de una curva trigonal.

En este enunciado, P ( C̃/C ) denota la variedad de Prym (princi-palmente polarizada) asociada al cubriente C̃ → C . Tan importantecomo el teorema es la demostración del mismo, conocida como laconstrucción de Recillas.

La demostración hace uso, fundamentalmente, de dos hechos: elcriterio de Masiewicki, que permite identificar cuándo una curva( C̃, ∗), con ∗ una involución holomorfa, y un morfismo φ : C̃ → A,A una variedad abeliana principalmente polarizada, determinan unisomorfismo P ( C̃/∗) A; y la existencia de ciertas aplicacionesdefinidas entre espacios de Hurwitz ([2]).

Los espacios de Hurwitz parametrizan clases de isomorfismos decubrientes α : C → P1, con el género de C , el número de valoresde ramificación, y el grado de α fi jos.

Una aplicación α de este tipo está determinada por un homomor-fismo de grupos π1(P1 − B) → S n, con B el conjunto de valoresde ramificación de α y S n el grupo de permutaciones de n letras.

Recillas combinó este modo de construir cubrientes de P1 conciertos homomorfismos naturales de S n → S m, para algunos m quedependen de n, y de este modo dedujo la existencia de morfismosdominantes (esto es, de imagen densa) entre diferentes espacios deHurwitz.

Concretamente, en la demostración del teorema, utilizó la exis-tencia de un morfismo dominante

K : H (4, s) → H (3, s),

donde H (n, s) denota el espacio de cubrientes de P1 de grado n cons valores de ramificación. Este morfismo K está determinado por elcociente S 4 → S 3 con núcleo el grupo de Klein.

Debemos resaltar que la teoría de los espacios de Hurwitz era to-talmente novedosa al principio de la década de los 70. Su utilizaciónpor parte de Sevín es una prueba más de la gran actualidad y origi-nalidad de sus trabajos.

Un caso de la construcción de Recillas es particularmente impor-tante: el caso gC = 4, y consecuentemente gX = 3. Sea R4 elespacio parametrizando parejas (C, i), con C una curva de género 4e i un cubriente doble de C . La variedad de Prym es entonces unavariedad abeliana principalmente polarizada de dimensión 3 y obte-nemos una aplicación:

P : R4 → A3.

Una consecuencia del Teorema de Torelli es que el elemento ge-neral de A3 es una variedad jacobiana de una curva de género 3. Estaaplicación P , conocida como la aplicación de Prym, es dominante,precisamente por la construcción de Recillas, ya que toda curva degénero 4 es trigonal, y toda curva de genéro 3 es tetragonal. Como

dim R4 = dim M4 = 9

y

dim A3 = 3 · 4

2 = 6,

la fibra general de P será de dimensión 3. Tiene sentido entoncespreguntarse por una descripción de esta fibra.

En uno de sus trabajos más hermosos ([13]), mezcla de resultadosclásicos, técnicas novedosas y cuidadosos cálculos, Sevín demostróque para A ∈ A3 genérica, A = JX , la fibra de la aplicación dePrym es biracionalmente equivalente a K (X ), la variedad de Kum-mer de J X , que se define como K (X ) := J X/{±1}.

Estudiar con detalle la fibra de esta aplicación, para toda A ∈

A3 y obtener una descripción biregular de P −1

(A) fue una de lasobsesiones matemáticas de Sevín. La tesis doctoral de Laura HidalgoSolís estuvo dedicada a este tema.

2. Resultados varios sobre curvas espe-

ciales

Entre la segunda mitad de la década de los 70 y finales de los80, Sevín Recillas publicó varios trabajos sobre propiedades de cur-vas especiales, es decir, familias de curvas caracterizadas por ciertaspropiedades que definen cerrados en Mg.

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Para Sevín las matemáticas estuvieron siempre estrechamenteunidas a la amistad. Sus colaboradores y personas afines académi-camente eran casi siempre sus amigos. Entre los nombres de susamigos, cercanos también desde el punto de vista profesional, ha-bría que mencionar en primer lugar a G. R. Kempf (una sugerenciade Kempf permitió a Sevín completar la demostración del teoremaexplicado en la sección anterior).

Varios de los trabajos de la época que ahora reseñamos fueronen coatuoría con su amigo el geometra italiano Andrea del Centina.Sólo como una muestra del trabajo de Sevín en esta época señale-mos el trabajo ([9]), donde Recillas y del Centina caracterizan a lascurvas elípticas-hiperelípticas. Estas son curvas Y que admiten unaaplicación 2 : 1:

Y → E,

con gE = 1. Una curva de género 1 se llama elíptica.La caracterización en cuestión es difícil de explicar en este bre-

ve espacio, pues implica introducir varios conceptos de la teoría decurvas algebraicas. Basta decir que esta formulada en términos de laexistencia de ciertas curvas en J Y contenidas en subvariedades conpropiedades especiales de tangencias.

Una vez más, este resultado está relacionado con una novedosa

teoría de aquellos años: la teoría de Brill-Noether.

3. Jacobianas con acciones de grupo y

descomposiones asociadas

Este tema fue el último al que se dedicó Sevín, y sin duda uno delos más fructíferos de su carrera. Tiene, además, una dimensión hu-mana particular, pues está vinculado a la amistad que lo unió a los in-tegrantes del grupo de geometría compleja chileno y a los geometrasdel departamento de Matemáticas de la Universidad de Salamanca,por un lado, y al Prof. Herbert Lange, por otro.

La idea de este programa de investigación surgió de conversacio-nes de Sevín con J. L. Verdier. Recuerdo que cuando llegué a Méxi-

co, en 1991, había dos documentos que Sevín repetidamente me

hacía notar. Uno era un artículo de Narashiman y Seshadri sobre eldivisor Theta generalizado, el otro, una carta de Verdier, donde es-bozaba una respuesta al problema de descomposición de Jacobianascon acción de grupo.

El problema es relativamente sencillo de describir. Sea X una su-perficie de Riemann, gX ≥ 3, tal que el grupo de automorfismosholomorfos de X :

G = Aut(X ) = id.

El conjunto {X ∈ Mg | Aut(X ) = {id}} es un cerrado.Todo σ ∈ Aut(X ) induce un automorfismo σ̄ ∈ Aut(X ), de

hecho:

Aut(JX )/{±1} G.

También tenemos una acción inducida de G en H 0(X, Ω1X) T 0JX , el espacio tangente a J X en el punto 0. Como H 0(X, Ω1X)es un espacio vectorial de dimensión g sobre C, la acción de G lodescompone en suma directa de subespacios invariantes:

T 0JX = V 1 ⊕ ... ⊕ V l.

Surgen entonces varios problemas naturales: determinar cuántos

y de qué dimensión son estos subespacios, estudiar si son espaciostangentes de subvariedades abelianas de J X , las posibles interpre-taciones geométricas de estas subvariedades, y, en particular, deter-minar si son variedades de Prym de algún cubriente.

A la respuesta a estos problemas dedicó Sevín los últimos añosde su vida. Con una mezcla de argumentos geométricos y de teo-ría de representaciones de grupos, y con la colaboración de distintosmatemáticos, obtuvo una multitud de resultados en estos temas, de-sarrollando ejemplos y técnicas de cálculo. Entre sus colaboradoresde esta etapa se cuentan Rubí Rodríguez, H. Lange, A. Rojas, A.Carocca, A. Sánchez Argáez (que realizó su tesis doctoral en estetema), J. M. Muñoz Porras y F. Plaza ([17], [21], [23] a la [28]).

Una revisión de todos estos trabajos (y de otros todavía que toda-vía no se publican) y una conceptualización generalizadora de ellos

es sin duda tarea esencial y todavía por realizar.



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Sevín nació en la Ciudad de Puebla, procedío de una familia depersonas dedicadas a la ciencia, su madre Paris Pishmish fuedestacada investigadora en el Instituto de Astronomía de la

UNAM, Cd. de México, y su padre Félix Recillas es un matemático

activo en el Instituto de Matemáticas de la UNAM, Cd. de México.Obtuvo su Licenciatura en Matemáticas en la Facultad de Cien-cias de la UNAM en 1964, la Maestría y el Doctorado en BrandeisUniversity, U. S. A., en 1967 y 1970 respectivamente, este últimocon una tesis de título “A relation between curves of genus 3 and curves of genus 4”, bajo la dirección de Alan L. Mayer.

Su campo de especialidad fue la geometría algebraica, en particu-lar, las curvas algebraicas y las variedades Abelianas

Desde su regreso a México a principios de los setentas fue in-vestigador titular en el Instituto de Matemáticas de la UNAM. Suproducción cientí fica consta de alrededor de 26 títulos y dos libroseditados.

Sin duda su trabajo más influyente es “Jacobians of curves withg14’s are the Prym’s of trigonal curves”, ver [3], mismo que surgió

de su investigación doctoral. En este trabajo Sevín estudia las varie-dades Jacobianas (originadas desde los trabajos de N. H. Abel, CarlG. Jacobi en integrales) y las variedades de F. Prym (hacia 1911),asociadas a curvas algebraicas.

De manera breve, las variedades Abelianas son toros sobre losnúmeros complejos que son también variedades proyectivas, esto es,que poseen abundantes funciones meromorfas. Las variedades Jaco-bianas y las de Prym permiten describir minuciosamente las curvasalgebraicas, i.e. las superficies de Riemann compactas, mediante elestudio de las integrales de todas sus 1–formas holomorfas y sus fun-ciones meromorfas asociadas. Toda variedad Jacobiana es variedadAbeliana. El lector interesado debe consultar “Sobre la apliacióncanónica de una curva”, ver [22], trabajo en el que Sevín revisa al-gunos de estos conceptos.

Fue uno de los primeros investigadores en retomar con técnicascontemporáneas las variedades de Prym (que David Mumford con-sideró en su trabajo de 1974, ver [34]). Ello le valió numerosas citasinternacionales en artículos de investigación y en libros (el conteoactual es de aproximadamente 200 citas).

A lo largo de su trayectoria de investigación Sevín continuó trabajando principalmente sobre esta línea, logrando publicar en muchasrevistas prestigiadas a nivel internacional; Crelle’s Journal, Advan-ces in Geometry, Journal of Algebra entre otras.

Dos artículos donde él mismo describe panorámicamente su tra-bajo cientí fico y la evolución del mismo, son:– “Curvas Algebraicas”, ver [10], para su trabajo hasta fines de los

años ochentas emanado de sus tesis doctoral,– “Descomposiciones de Jacobianas de curvas algebraicas”, ver[23], para su investigación los años noventa y dos mil, donde se con-sidera la accion de grupos en Jacobianas. (El lector interesado debe

estudiar la reseña anterior de Alexis García Zamora.)El libro de Lange y Birkenhake “Complex Abelian Varieties”, ver[30], que es el texto más completo sobre variedades Abelianasdescri-be con precisión la primera etapa del trabajo de Sevín. Otra fuentepara aprender sobre su trabajo cientí fico y su impacto en el mediomatemático mexicano es el artículo de A. I. Ramírez “Geometría”,ver [35].

Sevín realizó estancias largas de investigación en CINVESTAV,en las universidades de Pisa, Florencia, Madrid, Salamanca, París,Berlín, Santiago de Chile ... Sin duda fue una persona que gustode viajar, pero no solo en el extranjero, sino también en México, elcual conocía ampliamente, tanto en el aspecto académico como enel aspecto lúdico.

En 1991, formó parte del grupo de investigadores del Instituto de

Matemáticas de la UNAM que fundaron la Unidad Morelia. Natural-mente desde esos años, participó como profesor asociado en la Uni-versidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, tanto en licenciatu-ra como en posgrado. Paralelamente desde mediados de los noventadesarrolló también actividad académica en CIMAT.

Tanto en Morelia como en Guanajuato, interactuó con otros pro-fesores y estudiantes, andando el tiempo, este trabajo contribuyó aldesarrollo de un núcleo de geometría algebraica en esta parte de laRepública.

Muchos geómetras algebraicos destacados a nivel internacional(Herbert Clemens, George Kempf, Jean Louis Verdier, Lê DungTrang, Herbert Lange, Andrei Tyurin, José M. Muñoz Porras, Ru-bí Rodríguez ... es largo enumerarlos) visitaron México, Morelia y/oGuanajuato a invitación de Sevín, con lo que él contribuyó decisi-

vamente a enriquecer el ambiente cientí fico en geometría en nuestropaís.

Sevín participó regularmente en la organización de congresos in-ternacionales en México. (Por ejemplo en la Unidad Morelia delInstituto de Matemáticas, cuando esta se iniciaba, realizó el “Con-greso Internacional de Geometría Algebraica en Honor de George

Kempf”, el “Taller Internacional de Variedades Abelianas y Funcio-nes Theta”, lo que resultó esencial para el trabajo académico ahí).

Sevín impulsó siempre la interacción de grupos de investigado-res en geometría algebraica de Alemania, Francia, España, U. S. A.,Chile y Cuba entre otros, con el grupo en México. Como ejemplode ello esta el impulso que dió a los “Congresos Iberoamericanos

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de Geometría”, celebrados en Chile 1998, México (CIMAT) 2001 ...Como un reconocimiento a todo este trabajo, en 2004, la Universidadde Salamanca, España, le dedicó el “III Congreso Iberoamericano deGeometría” con motivo de su 60 aniversario.

Dirigió las tesis de licenciatura (en orden cronológico) de; Xa-vier Gómez–Mont, Socorro Soberón, Javier Bracho, Juan AntonioNido, Guillermo Férnandez (todos ellos en la UNAM), José Anto-nio Hernández (en la Universidad Michoacana) y Lorena Ceballos(licenciatura en la Universidad Autónoma de Zacatecas y maestríaen la Universidad Michoacana). Sus alumnos de doctorado fueron;Laura Hidalgo (en la UNAM) y Armando Sánchez (en CIMAT).

Muchos de quienes conocimos a Sevín en la Ciudad de México,en Morelia, en Guanajuato ... , admiramos en él su generosidad y laclaridad de sus objetivos cientí ficos, así como su calidad humana.

Particularmente, quienes tuvimos la suerte de trabajar con él en laUnidad Morelia del Instituto de Matemáticas tenemos una deuda conlo que realizó en favor de la Unidad y el impulso que dio al núcleode investigadores y estudiantes de geometría. Gracias Profesor.

Artículos y libros editados

por el Dr. Sevín Recillas Pishmish.

1. La variedad de módulos de curvas de género 4 es uniracional,An. Inst. Mat. Univ. Nac. Autónoma México 11 (1971) 63-79.

2. Maps between Hurwitz spaces, B. Soc. Mat. Mexicana 18(1973) 59–63.

3. Jacobians of curves with g14’s are thePrym’s of trigonal curves,B. Soc. Mat. Mexicana 19 (1974) 9–13.

4. Mor fismos entre espacios de clases de isomor fismos de cu-biertas rami ficadas de P 1C , Actas del 9 Colloquio Brasileirode Matemática, Boletím Sociedade Brasileira de Matemática 4(1973) 155–161.

5. La aplicación Prym–canónica de una curva algebraica, Coau-tor J. Bracho An. Inst. Mat. Univ. Nac. Autónoma México 21,1 (1981) 105–127.

6. On a gonality problem for unbranched 2–sheeted covers,Coautor A. Del Centina Boll. Unione Mat. Ital., 6, Ser. B 1(1982) 563–574.

7. Some projective geometry associated with unrami fied doublecovers of genus 4 , Coautor A. Del Centina Ann. Mat. PuraAppl. (4) 133 (1983) 125–140.

8. Curve of genus 9 with a half–cannonical embedding in P 3 , AttiAccad. Naz. Lincei, VIII, Rend. Cl. Sci. Fis. Natur. 77, no. 3-4(1984) 99–101.

9. On a characterization of elliptic-hyperelliptic curves, CoautorA. Del Centina J. Reine Angew. Math. 380 (1987) 166–170.

10. Curvas algebraicas Instituto de Matemáticas 1942–1987, Ce-lebración del 45 Aniversario Memoria UNAM (1987) 41–42.

11. On a property of the Kummer variety and a relation betweentwo moduli spaces of curves, Coautor A. Del Centina Alge-braic Geometry and Complex Analysis (Pátzcuaro 1987) Lec-ture Notes in Math. 1411 (1989) 28–50.

12. Lüroth hypersurfaces, Memorias XXI Congreso Nacional dela Sociedad Matemática Mexicana, Aportaciones Matemáticas,Comunicaciones 6 (1989) 71–76.

13. Symmetric Cubic Surfaces and Curves of Genus 3 and 4 B.Unione Mat. Ital. 7-B (1993) 787–819.

14. On the trigonal construction, Coautores L. Hidalgo–Solís, H.Pla Memorias XXVI Congreso Nacional de la Sociedad Mate-mática Mexicana, Aportaciones Matemáticas, Comunicaciones14 (1994) 111–122.

15. La Jacobiana de la extensión de Galois de una curva trigonal,Memorias XXVI Congreso Nacional de la Sociedad Matemáti-ca Mexicana, Aportaciones Matemáticas, Comunicaciones 14(1994) 159–167.

16. Taller de Variedades Abelianas y Funciones Theta, CoeditoresR. Rodríguez, J. M. Muñoz–Porras Taller de Variedades Abe-lianas y Funciones Theta, Aportaciones Matemáticas, Investi-gación 13 (1998) 155.

17. Jacobians ans representations of S 3 , Coautora R. RodríguezTaller de Variedades Abelianas y Funciones Theta, Aportacio-nes Matemáticas, Investigación 13 (1998) 117–140.

18. A note on the 2Θ map for genus 3, Coautor A. G. Zamora Ta-ller de Variedades Abelianas y Funciones Theta, AportacionesMateáticas, Investigación, 13 (1998) 141–149.

19. The hyperelliptic fiber of the Prym map in genus four, Coau-tora L. Hidalgo–Solís Complex geometry of groups (Olmué),Contemporary Mathematics 240 (1999) 223–229.

20. The fiber of the Prym map in genus four, Coautora L. Hidalgo–Solís Boll. Unione Mat. Ital. (8) 2 (1999) 219–229.

21. Complex manifolds and hyperbolic geometry, Coeditores C. E.Earle, W. J. Harvey Contemporary Mathematics 311 (2002)343.

22. Dihedral Groups acting on Jacobians, Coautores A. Carocca,R. Rodríguez Contemporary Mathematics 311 (2002) 41–77.

23. La aplicación canónica de una curva, Tópicos de Geome-tría Algebraica, Aportaciones Matemáticas Comunicaciones,31 (2002) 197–209.

24. Descomposiciones de Jacobianas de curvas algebraicas, Ma-temáticas en la UNAM, Memorias del 60 Aniversario, Institutode Matemáticas (2003) 87–95.

25. Prym varieties of pair of covers, Coautor H. Lange Adv. inGeometry 4 (2004) 373–387.

26. Poincaré’s reducibility theorem with G–action, Coautor H.Lange Bol. Soc. Mat. Mexicana 10 (2004) 43–48.

27. Abelian Varieties with group action, Coautor H. Lange J. ReineAngew. Math. 575 (2004) 135–155.

28. Prym Varieties of pair of covers, Coautor H. Lange Adv. inGeometry 4 (2004) 373–387.

29. A family of Prym-Tyurin varieties, Coautores H. Lange, A. Ro- jas J. Algebra 289 (2005) 594–613.Obras de otros autores.

30. Prym Varieties: A Survey , A. Beauville Proccedings of Sym-

posia in Pure Mathematics 49 (1989) 607–620.31. Complex Abelian Varieties, Ch. Birkenhake, H. LangeSpringer

Verlag (2004).

32. P. Grif fiths, J. Harris Principles of Algebraic Geometry NewYork -Toronto (1978).

33. D. Mumford Curves and their jacobians, The University of Mi-chigan Press (1974).

34. D. Mumford Geometric Inavriant Theory, Springer Verlag(1965).



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35. Prym Varieties, D. Mumford Contributions to Analysis (1974)325–350.

El pasado 13 de Junio, falleció a la edad de 58 años, el matemático Jesús Jorge OntiverosAlmada. Primer egresado de la licenciatura en matemáticas de la Universidad de Sonora, obtuvo el grado de maestro enciencias por el Instituto de Matemáticas de la UNAM en 1972 y realizo estudios de doctorado en Lieja y

Madrid en la rama de probabilidad.

El Profesor Ontiveros hasta un año antes de su deceso fue profesor de tiempo completo en elDepartamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora donde atendía básicamente los cursos deálgebra moderna.

36. Geometría, A. I. Ramírez Instituto de Matemáticas Memoriasdel 50 Aniversario, 1942–1992. UNAM (1994) 115–192.

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Comité de publicaciones electrónicas de

la SMM

Este comité, coordinado por el Dr. Emilio Lluis-Puebla y elDr. Carlos Rentería, ha continuado su actividad. Se publicóun libro en la Serie Memorias y otro en la Serie Textos. Se

tiene en proceso la publicación de otros dos para la Serie Textos.Se ha decidido crear, dentro de las Publicaciones Electrónicas,

la Serie Divulgación, donde ya se tienen los dos primeros libros enproceso de recepción y arbitraje.

Las Publicaciones Electrónicas tienen una excelente accesibili-dad, así como un prácticamente costo nulo, lo cual redunda en unservicio de la Sociedad Matemática Mexicana a muchísimos estu-diantes y colegas de México y del extranjero.

Este Comité informa la creación de las siguientes dos modalida-

des además del acceso libre en línea, de poder copiarse en la compu-tadora o imprimirse en papel para uso personal. A partir de esta fe-cha, el lector podrá adquirir bajo demanda y a un costo muy bajo, laspublicaciones en CD (impreso con el título, autor y logotipo de lasPublicaciones Electrónicas de la SMM) así como impresas en papel,con portada y contraportada..

Cabe mencionar que las publicaciones electrónicas tienen el mis-mo proceso de arbitraje estricto que las demás publicaciones denuestra sociedad. Invitamos a la comunidad matemática a publicarsus libros de texto, de divulgación, memorias o cursos en esta versá-til modalidad.

Comité de Difusión y Carta Informativa de la SMM Coordinadopor Jesús Muciño, reporta que se publicaron los números correspon-dientes a este periodo, y se ha invitado a que escriban en ella miem-

bros de la Sociedad de toda la República.

Comité Editorial de Aportaciones Mate-

máticas

Coordinado por Luis Gorostiza y Luz de Teresa. En febrero de2005 entró como editora ejecutiva Luz de Teresa en sustitución deMartha Takane. Se ha publicado lo siguiente:De la serie: INVESTIGACIÓN

No. 3 Sistemas dinámicos holomorfos en super ficies. 2a edición.Xavier Gómez-Mont, Laura Ortíz-Bobadilla (2004) 194 p.ISBN: 968-36-0767-5(Editado en diciembre de 2004).Tiraje: 500 ejemplaresFinanciado por:IM, UNAM; PAEP2004, UNAM.

De la serie: TEXTOS

No. 23 Introducción a los grupos topológicos de transformaciones.Sylvia de Neymet U. Con la colaboración de Rolando JiménezB.Nivel avanzado (2005) 126 p.ISBN: 970-32-1070-8(Editado en mayo de 2005)Tiraje: 500 ejemplaresFinanciado por:Depto. de Mat., FC, UNAM;Posgrado en C. Mat., PAEP2005, UNAM;IM, UNAM;CONACyT.

No. 12 Introducción a la teoría de redes. 2a edición.Ma. del Carmen Hernández Ayuso.Nivel medio (2005) 261 p.

ISBN: 970-32-1070-8(Editado en agosto de 2005)Tiraje: 750 ejemplaresFinanciado por:Posgrado en C. Mat., PAEP2005, UNAM.

No. 30 The fi xed point property for continua.Sam B. Nadler, Jr.Nivel avanzado (2005) 126 p.ISBN: en trámite(por editarse en octubre 2005)Tiraje: 500 ejemplares



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Financiado por:Posgrado en C. Mat., PAEP2005, UNAM;IM, UNAM.

De la serie: COMUNICACIONES

No. 35 Memorias de la Sociedad Matemática Mexicana.Editado por Marcelo Aguilar, Raúl Quiroga (2004) 179 p.

0 ISSN: 1870 - 2112(Editado en octubre de 2005).Tiraje: 300 ejemplares+ 25 sobretiros de los 16 artículos que integran el libro.Financiado por:SMM;CONACyT;IM, UNAM.

En proceso:

1. Matemáticas y la imaginación. Edward Kasner y James New-man.Traducción: Miguel Lara. (Por concluirse las correciones)

2. Introducción a las integrales de norma. Charles SwartzTraducción del libro “Gauge integrals”:Fausto Arturo Contreras Rosales. (En arbitraje).

3. Invitación a la teoría de los continuos y sus hiperespacios. Edi-tado por Raúl Escobedo, Sergio Macías y Héctor Méndez. (Seestán realizando las correcciones propuestas por los arbitros)

4. Introducción a la teoría de grupos. Felipe Zaldívar. (En arbi-traje)

5. Hyperspaces of sets, Sam B. Nadler. (Reedición, nos cedió losderechos. Se está pasando a LATEX)

Se continúa la promoción de los libros de Aportaciones:

Descuento del 30Anuncios en: - carta informativa SMM, - Boletín del Depto. deMatemáticas, Fac. Ciencias, UNAM

Se busca mejorar y unificar el formato de nuestros libros por loque el Dr. Constancio Hernández está elaborando macros en LATEX.Próximamente cambiaremos ligeramente el tamaño de los libros paratener un mejor aprovechamiento del papel lo que reducirá un pocolos gastos por este concepto.

Se decidió que las “Memorias del Congreso de la Sociedad Ma-temática Mexicana” cambien de nombre a “Memorias de la Socie-dad Matemática Mexicana” y con este nombre ya fueron registradascomo publicación periódica contando ya con ISSN.

Se ha realizado la actualización de las publicaciones en la página

web.Se están buscando otros canales de distribución. Hay varias pro-puestas pero la mesa directiva de la sociedad debe concretar las pro-puestas que tienen planteadas. Creemos que para la venta de Aporta-ciones sería de suma utilidad que la SMM contara con la posibilidadde vender aceptando los pagos con tarjetas de créditos.

Se han iniciado pláticas con el Fondo de Cultura Económica parala coedición de libros de divulgación. Es posible que Matemáticas yla imaginación se publique de esta manera.

Exhibición y venta de publicaciones en otros eventos:

1. XXXVII Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Me-xicana. Ensenada, B.C., 10-15 de octubre.

2. VI Escuela de Otoño en Biología Matemática. Noviembre (conla colaboración del Dr. Faustino Sánchez).

3. Escuela Regional. Hermosillo, Son. Marzo (con la colabora-ción de la Dra. Luz de Teresa).

4. Feria del Libro Cientí fico y Técnico. Amoxcalli, Fac. Ciencias,4-8 de abril.

5. 4a Feria del libro para la investigación cientí fica en la UNAM.Instituto de Biología, 7-9 de junio.

6. Congreso Topología (CITA), Puebla, Pue. 4-7 de julio.

Agradecemos el apoyo otorgado por el Instituto de Matemáticasde la UNAM y, en particular, al personal del Departamento de Pu-blicaciones y al director del Instituto, Dr. José Antonio de la Peña.Debemos destacar también el apoyo del Posgrado en Ciencias Mate-máticas a través del Programa de Apoyo a los Estudios de Posgrado(PAEP) en la publicación de varios de nuestros libros.

En 2005, el programa de apoyo a estudiantes de posgrado de laUNAM apoyó con 50,000 pesos a “Aportaciones Matemáticas”. Di-cho apoyo se utilizó para la publicación de tres libros.

Asimismo la Facultad de Ciencias de la UNAM aportó 8,000 pe-sos que se utilizaron en la publicación del libro de Sylvia de Neymet.

este año además, el instituto pago el papel para interiores de las memorias del congreso

de Ensenada, Comunicaciones 35, $5,025.50

y para el libro de Nadler, Textos 30, $15,070.00

Comité Editorial del Boletín de la SMM

El Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana publica artícu-los de investigación original de alta calidad en cualquier área de lasmatemáticas y sus aplicaciones, así como artículos panorámicos porinvitación. Todos los artículos son sometidos a una rigurosa evalua-ción por especialistas. Es la revista de investigación más importantede nuestra Sociedad y se considera en el medio como la carta de pre-sentación de la Sociedad en el mundo entero, ya que está reconocidomundialmente y, en opinión de distinguidos colegas, es la mejor ensu especialidad en Latinoamérica. Los editores generales son el Dr.José Carlos Gómez Larrañaga y el Dr. Enrique Ramírez de Arellanoy su Consejo Editorial cuenta con 16 distinguidos investigadores dis-tribuidos en distintas áreas de las matemáticas.

El Boletín está incluido en el listado del “Science Citation Index”del “Institute for Scientific Information”, es reseñado íntegramenteen el “Mathematical Reviews” (MathSciNet) y en el “Zentralblattfuer Mathematik”, además de aparecer en el Índice de Revistas Me-xicanas de Investigación Cientí fica y Tecnológica del CONACYT yotros índices especializados de revistas cientí ficas (Latinindex, etc.).

Sus principales actividades de octubre de 2004 a septiembre de2005 fueron:

Se publicó el número 2 del volumen 10 y el número 1 del vo-lumen 11, con un total de 230 páginas, correspondientes a latercera serie, con 17 artículos de investigación original de au-tores nacionales y extranjeros y se terminó de editar el segundonúmero del volumen 11 con 12 artículos de investigación.

Se terminó de editar y está por enviarse a prensa un núme-ro especial dedicado al Dr. Francisco González Acuña (FICO)con las memorias de la conferencia realizada en ocasión de susexagésimo aniversario. Este número contiene 34 artículos deinvestigación original y uno panorámico, con 558 páginas entotal. Sus editores fueron Mario Eudave, José Carlos GómezLarrañaga y John Luecke.



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Se han mantenido actualizadas las páginas del Boletín en la redde Internet, incluyendo los resúmenes de los artículos acepta-dos para su publicación.

Se han recibido ofertas de dos empresas editoriales internacio-nales de prestigio para tener acceso en línea en la Internet ala colección completa de las tres series del Boletín, que datandesde 1943, y se espera llegar a un acuerdo al respecto próxi-mamente.

Comité Matemática y Sector Productivo

Coordinado por Carmen Hernández realizó las siguientes activi-dades: Noviembre de 2004

Del 15 al 18 de Noviembre, se llevó a cabo en las instalaciones dela Facultad de Ciencias de la UNAM, el Taller de Modelación Ma-temática para Estudiantes 2004. Se resolvieron problemas relacio-nados con el quehacer del INEGI, y fueron planteados por quienesserían los usuarios de los modelos.

Se propusieron soluciones sobre cuatro problemas de Estadísticay uno de Geografía. Se tuvo una asistencia de aproximadamente 30estudiantes.

Marzo de 2005Se presentaron dos de los problemas que se resolvieron en el Ta-

ller en el Seminario de la Maestría en Estadísticas Oficiales que seimparte en el INEGI.

Está pendientela publicación de lasMemorias delTaller “Compu-tational Fluid Dynamics” que se han estado integrando este año.

Es de resaltar que en la inauguración de este congreso se firmó unconvenio de colaboración con el Instituto Nacional de Estadística,Geografía e Informática (INEGI).

Comité de Miscelánea Matemática

Miscelánea matemática es una revista semestral con un tiraje de

mil ejemplares dirigida a la comunidad matemática de habla hispanaen el continente, muy en particular a los profesores de bachillera-to, licenciatura, y a los estudiantes de las diversas licenciaturas dematemáticas. Cada número tiene un promedio de 100 páginas y esenviado a las principales instituciones matemáticas del país. Su ob-

jetivo es difundir con un punto de vista original temas escogidos dematemáticas, aplicaciones, historia y filosofía de las mismas.

Desde 1999 todos sus artículos son rigurosamente arbitrados y re-señados en el Mathematical Review. Desde febrero de 2003 cuentacon certificado de derechos de autor al uso exclusivo de la revistacon ISSN 1665-5478. En lo que va de 2005 se han arbitrado 21 ar-tículos, actualmente hay 10 en proceso; en abril de 2005 se publicóel número 40 con ocho artículos y recientemente el número 41 con 7artículos, una reseña de libro y varios testimonios donde se le brinda

un homenaje especial al Dr. Juan José Rivaud Morayta, quien fueuna persona fundamental para la consolidación de Miscelánea Ma-temática.

En diciembre de 2004 hubo cambio de coordinador del comitéeditorial, entrando el Dr. Ernesto Pérez Chavela en sustitución delDr. Ricardo Quintero.

Este año por primera vez Miscelánea Matemática tuvo una sesiónde pláticas de divulgación durante el Congreso Nacional de la SMM.

El comité editorial lo constituyen: Carlos Bosch Giral (Depar-tamento de Matemáticas, ITAM), Ana Meda Guardiola (Facultadde Ciencias, UNAM), Max Neumann Coto (Instituto de Matemáti-cas, UNAM), Ernesto Pérez Chavela (UAM- Iztapalapa), Ana Irene

Ramírez Galarza (Facultad de Ciencias, UNAM), Ramón S. SalatFigols (Escuela Superior de Física y Matemáticas, IPN), Jesús A.Riestra Velásquez (Departamento de Matemática Educativa, CIN-VESTAV), Raúl Rueda Díaz del Campo (Instituto de Investigacio-nes en Matemáticas Aplicadas y Sistemas, UNAM), Adolfo SánchezValenzuela (CIMAT), Carlos Velarde Velásquez (IIMAS, UNAM),Jorge X. Velasco Hernández (Matemática Aplicada y Computación,IMP), y Rigoberto Vera Mendoza (Departamento de Matemáticas,UMSNH), representando a un buen número de las instituciones ma-temáticas de México.

Comité del Premio Sotero Prieto

Coordinado por Marcelo Aguilar reporta que este año se recibie-ron 22 tesis para el Premio. Las tesis fueron realizadas en universi-dades de diversos estados del país, así como de la Ciudad de México.Como en años anteriores, recibimos trabajos de muy alto nivel. Fuemuy difícil para el comité poder escoger a los ganadores del premioy de las menciones honorí ficas, ya que todas las tesis tenían aspectosmeritorios.

Los ganadores del Premio son: Jorge Agustín Albarrán MoralesDavid José Mireles Morales Carlos Ramos Cuevas

Los ganadores de Menciones Honorí ficas son: Carlos García Az-peitia Ana Rechtman Bulajich Ramón Zárate Saiz

Comité de Escuelas de Matemáticas

Coordinado por Rocío Peniche, reporta, referente a cada uno delos Proyectos que le ocupan, lo siguiente:

EL PORTAL DE MATEMATICAS Pedro Flores y su equipo en-tregaron el portal a la SMM quien actualmente lo administra. Soli-citó a la SMM la co-administración con los creadores del mismo,alumnos y profesores de la Universidad de Sonora sin tener aún unarespuesta.

EMAT Francisco Zepeda informó que se reagruparon las escuelas

y se re-programaron los cursos de capacitación para especialistas deEMAT en cada uno de los estados participantes.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA Rocío Peniche presentó a la direcciónde la SMM la versión final de dicho trabajo, con objeto de que elDr. Díaz Barriga presentara al Dr. Julio Rubio la solicitud de apoyopor parte de la Subsecretaría de Educación Superior; la respuesta hasido favorable y se apoyará a cinco universidades con el proyecto deRed de Biblioteca. Estas universidades son: la Unison, la UJAT, laUABC, la UADY y la UAQ.

VIDEO-CONFERENCIAS Y EDUCACION A DISTANCIAHumberto Madrid habló con varias instituciones para tratar de esta-blecer un programa nacional de videoconferencias sobre matemáti-cas. Aunque se contaba con el interés de algunas instituciones comoCINVESTAV (Departamentos de Matemática y Matemática Educa-

tiva) y Facultad de Ciencias de la UNAM, en la práctica no se pudoconcretar esta actividad.

ORGANISMOS EVALUADORES Y ACREDITADORES Sora-ya Gómez Estrada apoyada por la SMM llevó a cabo la promocióndel trabajo y reuniones que llevarán a la formación de un organismoacreditador constituido por miembros de la misma. Elaboró una listade las instituciones interesadas en desarrollar este trabajo. Se insis-tió en el compromiso que la SMM tiene de proponer a evaluadoresmatemáticos para formar parte de los CIEES.

La Subsecretaría de Educación Superior ha otorgado un apoyo ala SMM para llevar a cabo una reunión con el fin de avanzar en larealización de este proyecto.



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PROPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGURIDAD PARA AD-MINISTRAR UN CENTRO DE CÓMPUTO CON AMBIENTEWINDOWS Pedro Flores tiene mejorado y ampliado el sistema deseguridad para administrar un centro de cómputo, elaborado en laUNISON y lo mantiene a la disposición de las escuelas de ma-temáticas en provincia. También tienen disponible la versión paraWindows-XP. Se está trabajando en el sistema SECPASS de seguri-dad para centros de cómputo con ambiente Windows.

MOVILIDAD ACADEMICA Adolfo Sánchez planteó la necesi-dad de formar una red académica fuerte, mediante una mayor comu-nicación entre todos los departamentos, escuelas e instituciones. Enel XXXVIII Congreso se presentaron diferentes alternativas para fle-xibilizar la normatividad con objeto de que los estudiantes puedantomar cursos en las diferentes escuelas.

REVISION DE PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIO Espe-ranza Guzmán ha estado trabajando en una propuesta de los Planesy Programas de un tronco común en matemáticas.

Comité de Educación

En un proyecto con la Universidad Pedagógica Nacional se hamantenido y vigorizado la página web dirigida a profesores de pri-

maria llamada Mi ayudante.Del proyecto Matemática Aplicada y su Enseñanza se han publi-

cado dos libros más junto con el CIMAT y se está en pláticas con laeditorial Reverté para la publicación y distribución de más fascícu-los.

La semana que entra se llevará a cabo en la Ciudad de México lareunión del International Program Committee del ICME 11.

El próximo lunes se firmará un convenio con la Secretaría de Edu-cación del Estado de Sonora y la UNISON para llevar a cabo undiplomado para profesores de primaria en diversos municipios delEstado de Sonora. Sobre este mismo proyecto se tienen pláticas con

la Secretaría de Educación del Estado de Tabasco y la UJAT, así como con la Secretaría de Educación del Estado de Querétaro y laUAQ.

Se está apoyando la organización del Psychology of MathematicalEducation, North American Chapter (PMENA), que se realizará enoctubre de 2006 en la ciudad de Mérida, Yucatán.

Comité de escuelas particulares

Este comité reporta que continúa elaborando un directorio de ins-tituciones particulares.

Reunión Conjunta CMS-SMM

En este congreso se reunieron miembros de la Canadian Mathe-matical Society y de la Sociedad Matemática Mexicana y se acordóllevar a cabo el primer Joint Meeting en el mes de septiembre de2006 en la ciudad de Guanajuato, Gto.

Premio Nacional de Ciencias

La Junta Directiva de la Sociedad Matemática Mexicana propusoa José Antonio de la Peña para el Premio Nacional de Ciencias. Mecomplace informar que el lunes pasado fue notificado el Dr. De laPeña que es el ganador de este premio.

Asamblea de la Sociedad Matemática Mexicana 27 de octubre de2005 Orden del día 1. Información sobre el añadido que se realizó alos estatutos de la Sociedad para poder registrarla ante la SEDESOL.2. Informe de los comités de la Sociedad Matemática Mexicana 3.Informe financiero 4. Votación 5. Asuntos Generales



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Trabajos realizados por el comité de la Olimpiada Mexicana de Ma-temáticas durante el período 2004-2005.

4. Olimpiada Nacional1. El Comité organizador de la OMM, estuvo integrado por:

Radmila Bulajich Manfrino (presidenta),

Anne Alberro Semerena,

Ignacio Barradas Bribiesca,

Martín Eduardo Frías Armenta,

José Antonio Gómez Ortega,

Alejandro Illanes Mejía,

Jesús Jerónimo Castro,

Humberto Montalván Gámez

Antonio Olivas Martínez

Elena Ruiz VelázquezCarmen Sosa Garza.

2. Actualización de la página de la OMM durante todo el año

http://erdos.fciencias.unam.mx.

3. Se elaboró la forma de registro para crear la base de datos delos participantes a la IMO, la cual también se utilizó para elregistro de la 19a Olimpiada en Campeche.

4. Con base en ella se elaboró el programa para la captura de ca-lificaciones.

5. Elaboración de dos folletos: el folleto de problemas introduc-torios y el folleto de problemas avanzados.

6. Dentro de la serie “Cuadernos de la Olimpiada” apareció el

libro titulado “Inequalities”.7. En Ixtapan de la Sal, Estado de México, se llevó a cabo del

5 al 10 de noviembre de 2004, el 18a Concurso Nacional dela Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Participaron todos losEstados de la República.

8. Los entrenamientos de la preselección se llevaron a cabo mescon mes. El primero tuvo lugar en diciembre de 2004, y el úl-timo durante el mes de agosto de 2005.

9. Se ha apoyado a algunos Estados con cursos para profesores,contándose entre ellos Campeche y Tamaulipas. Esto se realizócon los fondos obtenidos a través del proyecto del Calendario

Matemático 2005 auspiciado por la SEP. Convenio refrendadopara el 2006.

10. Durante el mes de marzo se aplicó el Examen de la Olimpia-

da de la Cuenca del Pací fico, a todos los alumnos que en esemomento se encontraban en los entrenamientos. Dicho examenllega por correo. Se aplica y califica en México. Los mejoresexámenes se enviaron a Corea para ser evaluados por el Comi-té Coreano. Los alumnos participantes fueron: Pablo SoberónBravo de Morelos, con medalla de plata y Héctor Daniel Gar-cía Lara de Chihuahua, con medalla de bronce. Mencionamosa continuación los alumnos que obtuvieron mención honorí-fica, ellos son: Paúl Iván Gallegos Bernal y Isaac BuenrostroMorales de Jalisco, Manuel Angel Guevara López de Zacate-cas, Galo Higuera Rojo de Morelos, Iván Joshua HernándezMaynez de Coahuila, Andrés Ruíz Vargas de Yucatán, MarioAlejandro Huicochea Masón del Distrito Federal y FranciscoJavier Ibarra Goycoolea de Baja California.

11. Entre el 7 y el 11 de junio, se celebró en El Salvador, la VIIOlimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe. La dele-gación mexicana estuvo integrada por los alumnos: Jan MarteContreras Ortiz, Isaac Buenrostro Morales y Paúl Iván Galle-gos Bernal todos ellos de Jalisco. Los alumnos Isaac y PaúlIván obtuvieron 2 medallas de oro y Jan Marte una medallade plata. México ocupó la posición número uno de 12 paísesparticipantes.

12. La 46a Olimpiada Internacional de Matemáticas se llevó a ca-bo en Mérida, Yucatán, del 8 al 19 de julio. La delegación querepresentó a México estuvo integrada por los alumnos: IsaacBuenrostro Morales de Jalisco, Héctor Daniel García Lara deChihuahua, Manuel Angel Guevara López de Zacatecas, David

Guadalupe Torres Flores de Guanajuato, Pablo Soberón Bravode Morelos, Iván Joshua Hernández Maynez de Coahuila. Ob-tuvieron 4 medallas de bronce: Isaac, Guevara Manuel Angel,Iván Joshua y Pablo y dos menciones honorí ficas de HectorDaniel y David Guadalupe. México ocupó el lugar 31 de 91países participantes.

13. La XX Olimpiada Iberoamericana se llevó a cabo en Cartage-na, Colombia del 25 de septiembre al 1◦ octubre de 2005. Losalumnos concursaron fueron: Héctor David Guadalupe TorresFlores de Guanajuato, Manuel Angel Guevara López de Za-catecas, Pablo Soberón Bravo de Morelos e Iván Joshua Her-nández Maynez de Coahuila. Obtuvieron dos medallas de oro



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tanto Manuel Angel con un examen perfecto como Iván Jos-hua, una de plata de Pablo y la de bronce de David Guadalupe.Aquí México ocupó el 2◦ lugar de 22 países participantes.

14. A efecto de resolver el problema financiero de la Olimpia-da Mexicana de Matemáticas se han hecho gestiones ante elCONACYT, la Secretaría de Educación Pública, la UNAM, laANUIES, La Red de Consejos Estatales de Ciencia y Tecno-logía. Asimismo con varias empresas de la inicitiava privada

solicitando apoyo.15. Se han hecho gestiones ante la red de Consejos Estatales de

Ciencia y Tecnología asi como la ANUIES solicitando el apo-yo para las delegaciones estatales. En algunos casos ya hanempezado a apoyar.

5. Olimpiada Internacional

de Matemáticas

El evento de mayor relevancia para la Olimpiada Mexicana deMatemáticas fue la 46a Olimpiada Internacional de Matemáticas,que se llevó a cabo en Mérida, Yucatán, del 8 al 19 de julio. Partici-

paron 92 países, 91 de ellos venían con su delegación y un país sólocomo observador. Siendo hasta hoy la Olimpiada Internacional conmayor afluencia de países. Dada la situación geográfica de Méxicocontamos con el agrado de recibir a un gran número de países deAmérica Latina que por primera vez participaron en esta Olimpiada.

Para poder cubrir los gastos generados en este gran certamen sehicieron gestiones, desde julio de 2004 hasta junio de 2005. Los prin-cipales patrocinadores del evento fueron: Secretaría de EducaciónPública, CONACYT, Gobierno del Estado de Yucatán, además deun gran número de Universidades, Centros de Investigación, Conse-

jos Estatales de Ciencia y Tecnología como de algunas empresas.Asimismo, se conformó el Comité General presidido por Radmila

Bulajich Manfrino y entre los responsables de los distintos subcomi-tés están:

Marcela Santillán NietoAlejandro Díaz BarrigaAlejandro Illánes MejíaFlorian LucaOmar Antollín CamarenaJosé Antonio Gómez OrtegaAnne Alberro SemerenaKelly Scoggings MartínezAna Irene Ramírez GalarzaCarmen Sosa GarzaJavier Paez CárdenasFrancisco Zaragoza MartínezIgnacio Barradas Bribiesca

Rita Vázquez PadillaGabriela Campero ArenaAlejandro Lara RodríguezYosune Chamizo AlberroGloria Minauro Sanmiguel.

Gracias al apoyo de varias personas de cada uno de los subcomi-tés, se hicieron todas las tareas que se requieren para organizar unevento de esta magnitud.

1. Se elaboró la página de la Olimpiada Internacional(www.imo2005.org)

2. Se elaboró el programa para el registro de los participantes a laIMO.

3. Con base en ella se elaboró el programa para la captura de ca-lificaciones.

4. Durante 2005 México recibió un gran número de problemasprovenientes de varias partes del mundo y en junio de 2005,el Comité de Selección de Problemas trabajó para elaborar la“Lista Corta” de la cual se extraen algunos problemas parahacer el examen.

5. También se organizaron paseos y convivencias para los alum-nos.

6. De igual suerte, se elaboraron las memorias del evento.

El Comité General contó además con el invaluable apoyo de cercade 230 personas, entre ellos los coordinadores, guías y voluntarios.

En mi carácter de Presidenta del Comité de la 46a Olimpiada In-ternacional de Matemáticas, quiero hacer partícipe a todos los inte-grantes de la Comunidad Matemática de las felicitaciones que hemosrecibido de varios países y personalidades. Se ha considerado a ésta,una de las Olimpiadas mejor organizadas en varios aspectos, resal-tando el académico.

El Comité de Selección de Problemas, integrado por varios pro-fesores mexicanos, algunos de nuestros alumnos exolímpicos y pro-fesores extranjeros, realizo un excelente trabajo dada la magní ficaselección de problemas que integró la Lista Corta. Por otro lado, labuena conducción de las reuniones que llevó a cabo el Comité Aca-démico para seleccionar los problemas del examen, hizo que estetrabajo resultara fluido.

Uno de los termómetros principales para medir la calidad acadé-mica de una olimpiada es el trabajo que realizan los coordinadores yeste fue uno de los más elogiados por los delegados y codelegados.

Los guías que acompañaron a sus delegaciones hasta el últimodía de su estancia en México, cumplieron con creces su difícil papel.Los encargados de montar y atender los salones de juego, trabaja-ron tanto de día como de noche, proporcionándole a los alumnos laoportunidad, tanto de relajarse como de conocerse, en un ambienteagradable y cordial.

Los responsables del transporte, que en los días pico difícilmentedurmieron, hicieron todos los viajes con el mejor ánimo y humor, pe-se a que, algunos días se hizo el mismo recorrido demasiadas vecesal día.

Las responsables del Reporte Final que gracias a su dedicación y apesar del embate de “Emily”, lograron entregarlo a las delegacionesantes de su partida. Cosa pocas veces vista.

En resumen, todos los que aceptaron el compromiso de sacar ade-lante este certamen internacional, lo hicieron hasta sus últimas con-secuencias. Gracias a ello, la comunidad matemática mexicana logróproyectar una imagen de excelencia.



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Lugar: Instituto Politécnico Nacional, Auditorio Jaime Torres Bodet,Zacatenco.Funcionarios: Dr. Gilberto Calvillo Vives, Presidente del INEGI Dr.

Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Presidente de la SociedadMatemática Mexicana.

En el marco de la inauguración del XXXVIII Congreso Nacionalde la Sociedad Matemática Mexicana, que se celebró en las instala-ciones del Instituto Politécnico Nacional, los doctores Gilberto Cal-villo Vives, presidente del INEGI, y Alejandro Javier Díaz BarrigaCasales, presidente de la Sociedad Matemática Mexicana, firmaronConvenio de Colaboración entre ambas instituciones.

El doctor Calvillo, señaló durante su intervención que el Congre-so es un espacio donde se pueden intercambiar experiencias, ideas,trabajo y conocimientos, que enriquecerá a los estudiantes y acadé-micos que asisten al mismo, para lo cual invitó a los participantesa reflexionar sobre las ventajas y desventajas que ofrece un eventocomo dicho Congreso.

Indicó también que debe fortalecerse y fomentar la investigacióny que la participación conjunta entre instituciones arroja resultadospositivos que son en beneficio de la comunidad de cada institución.

El objetivo del Convenio es realizar acciones conjuntas de capa-citación, investigación y difusión, en materia de información esta-dística y geográfica, de acuerdo con los propósitos institucionales decada parte.

Para lo anterior, se apoyará y promoverála realización de activida-des de investigación relacionadas con información estadística y geo-gráfica; de igual forma, se organizarán y fomentará la participaciónen cursos, talleres, seminarios, conferencias y mesas redondas sobredichos temas. Asimismo, se intercambiarán experiencias en áreas de

interés común y habrá colaboración en la promoción de programas yproyectos de investigación y de programas de estudio, entre otros, enmateria estadística y geográfica. Se realizará intercambio de materialeditorial, bibliográfico y audiovisual, en las materia señaladas, pro-moviendo entre la comunidad matemática los productos y serviciosque presta y genera el INEGI en dichos rubros.



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Firma de Convenio durante las Actividades del XXXVIII Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana.

Álgebra Superior Araceli Reyes

Copy 2005

Formato 19 X 24.5

Páginas 375

ISBN: 970-686-410-5

En este libro se abordan los temas introductorios al enfoque moderno del álgebra.

Ejemplo de esta innovación es que el concepto de estructura algebraica se

incorpora desde un inicio y se desarrolla gradualmente a lo largo del texto,

culminando con un capítulo de "Estructuras algebraicas", en el cual sólo se

incorpora un resumen. Este enfoque permite al alumno asimilar los conceptos. Por

otro lado, se integran dos temas que tradicionalmente se enseñan en los cursos de

cálculo diferenci

Carta Informativa 23

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