Cartilla Segundo corte Clculo

IntegrantesErika Roci Camargo 9761Julin Esteban Malagn 13998Rubn Daro Velandia 15522Francy Julieth Prez 13794

ProfesorRene Fernando Veloza Villamil

Escuela Colombiana de Carreras Industriales

MateriaCalculo Diferencial

Bogot D.C 2014LIMITES

Competencia: El estudiante debe ser capaz de Conocer los conceptos de lmite de una funcin en un punto (tanto finito como infinito), saber determinar las asntotas verticales, horizontales y oblicuas de una funcin, conocer el concepto de lmite lateral y su relacin con el de lmite.Definicin: Si f(x) es una funcin usual (polinmicas, racionales, radicales, exponenciales, logartmicas, etc.) y est definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el lmite se sustituye en la funcin el valor al que tienden las x.

Clculo del lmite en una funcin definida a trozosEn primer lugar tenemos que estudiar los lmites laterales en los puntos de unin de los diferentes trozos. Si coinciden, este es el valor del lmite. Si no coinciden, el lmite no existe.

En , los limites laterales son: Por la izquierda

Por la derecha Como en ambos casos coinciden, el lmite existe y vale 1.En x = 1, los lmites laterales son: Por la izquierda

Por la derecha

Como no coinciden los lmites laterales no tiene lmite en x = 1. Para calcular el lmite de una funcin cuando x se sustituyen las x por .LEYES DE LOS LMITES

Si Si los limites Existen.Ley de la sumaEl lmite de la suma de sus funciones es la suma de sus lmites.

Ley de la diferenciaEl lmite de la diferencia de dos funciones es la diferencia de sus lmites

Ley del productoEl lmite del producto de dos funciones es el producto de sus lmites

Ley del mltiplo constanteEl lmite de una constante por una funcin es la constante por el lmite de la funcin

Ley del cocienteEl lmite del cociente de dos funciones es el cociente de sus lmites, siempre que el lmite del denominador sea diferente de cero

Ley de la potenciaEl lmite de la potencia Racional de una funcin, es el lmite de la funcin elevado a la potencia racional*

Ejercicio Encontrar

x2

Parte 1 La funcin no est definida en x = 2, pero podemos reducir la funcin de la siguiente

x2

Parte 2 De la primera parte, ahora podemos ver que el lmite es 4

x2

Derivadas

Competencia: El estudiante debe ser capaz de analizar, y solucionar diferentes tipos de casos.

Derivada de la Suma

Laderivada de una sumade dos funciones es igual a lasuma de las derivadasde dichas funciones. Esta regla se extiende a cualquier nmero de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Derivada de un cociente Laderivada del cocientede dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Derivada de una potenciaLaderivada de una potencia o funcin potencial,es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base. Si la base es la funcin identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.f(x) = xkf'(x)= k xk1

Derivada de una razLaderivada de la raz ensimade una funcin es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raz ensima de la funcin radicando elevada a n menos uno.

Derivada de la raz cuadrada

Laderivada de la raz cuadradade una funcin es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raz.

Derivada del producto

Laderivada del productode dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo ms el segundo factor por la derivada del primero.

Regla de la cadena

Laregla de la cadenaes la frmula resultante de laderivada de la composicin de funciones.

ConstanteLaderivada de una constanteescero.

Derivada de una potencia:Ejemplo explicativo:Unafuncin exponencialcon exponente real se representa pory su derivada es.

Por ejemplo tomemos la funcin:

Lo primero que se debe hacer es "bajar" elexponentede tal forma que ste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, as:

Quedando finalmente:

Considrese la funcinSe tiene:

Derivada de una constante por una funcin:Ejemplo explicativo:Cuando una funcin est representada por medio de, su derivada equivale ade la siguiente manera:Consideremos la siguiente funcin:, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaa, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

Para obtener

Cuando una constante acompaa a una variable cuyo exponente es 1 su derivada ser el valor de la constante:

Entonces su derivada con respecto a esta variable ser:

Puesto que

Derivada de una suma:Ejemplo explicativo:Se puede demostrar a partir de la definicin de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.Es decir,o.Como ejemplo consideremos la funcin, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada trmino aparte y la suma de ambos ser la derivada de la funcin: Para la resta se utiliza el mismo mtodo.

Derivada de un producto:

Ejemplo explicativo:La derivada se expresaliteralmentede la siguiente forma:"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera funcin sin derivar y la derivada de la segunda funcin y el producto de la derivada de la primera funcin por la segunda funcin"Ymatemticamenteexpresado por la relacin. Consideremos la siguiente funcin como ejemplo:

Identificamos ay, utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:y quePor lo tanto

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

Sumamos trminos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera funcin es deciren donde(sin importar que dos funciones escogemos).

Derivada de un cociente:Ejemplo explicativo:La derivada de uncocientese determina por la siguiente relacin:

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de ms se puede escribir as:

Es decir:"La derivada de un cociente de dos funciones es la funcin ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la funcin en el denominador por la funcin del numerador sin derivar, todo sobre la funcin del denominador al cuadrado".Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente funcin:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso esy se multiplique por la derivada del numerador que seria; luego la segunda parte dice que tomemos la funcin del numerador () sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de, que seria, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, as:

Ahora todo es cuestin de simplificar:

Regla de la cadena:Ejemplo explicativo:Laregla de la cadenaes unafrmulapara calcular laderivadade lacomposicinde dos o msfunciones. Esto es, sifygson dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de lafuncin compuestafgen trminos de las derivadas defyg. Por ejemplo , la regla de la cadena defg(x) f[g(x)]es

o escrito en notacin de Leibniz

Ejercicios Propuestos: Dada f x( ), obtener f x ( ) :

Derivada potencial:

Derivada de una raz:

Derivadas exponenciales:

Derivadas Logaritmicas:

Ejercicios resuletos:

Problemas propuestos:1/ El servicio de reprografa de un centro universitario permanece abierto desde las 8 hasta las 20 horas. El nmero de universitarios que acuden diariamente a dicho servicio viene dado, dependiendo de la hora del da, a travs de la funcin: N t =At 2Bt , 8t20 , donde t representa la hora del da. Sabiendo que a las 11 horas se alcanza el nmero mximo de 121 universitarios en dicho servicio:a) Determinar las constantes A y B.b) Representar grficamente la evolucin del nmero de universitarios que acuden a dicho servicio entre las 8 y las 20 horas.2/ El nmero de inmigrantes que ha recibido una determinada ciudad a lo largo del ltimo ao se ha comprobado que sigue la funcin: I t=2t333t2108t525 , 1t12 , donde t representa el mes del ao. Determinar:a) El nmero de inmigrantes que llegaron a dicha ciudad durante el primer trimestre.b) El mes en que se produjo la llegada mnima y el mes en que se produjo la llegada mxima de inmigrantes.c) El nmero mnimo y el nmero mximo de inmigrantes que llegaron en un mes.3/ Un centro comercial cuyo horario de apertura es de 10 horas diarias estima que el nmero de clientes en funcin del nmero de horas que lleva abierto es N t =15t2180t , 0t10 , donde t es el nmero de horas que lleva abierto. Se pide:a) Hallar la hora de mxima clientela.b) Cul es el nmero de clientes mximo?c) Si queremos acudir al centro comercial cuando haya un nmero de clientes inferior a 300, entre qu horas debemos ir?Problemas Resueltos:La cotizacin de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los das de un mes de 30 das, responde a la siguiente ley:C = 0.01x3 0.45x2+ 2.43x + 300

5Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:r = 300t (1t).Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:1En qu momentos aumenta o disminuye el rendimiento?2En qu momentos el rendimiento es nulo?3Cundo se obtiene el mayor rendimiento y cul es?

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