Limite casos e indeterminaciones limite a)Cuadrtica respuesta: (x-x1). (x-x2) cambiar el signo a las races , reemplazar y simplificar

b)

Factor comn de letras o nmeros x.(4-3x) 4.(x-3) Reemplazar simplificar Mas de 2 en el exponente ruffini dividir por la base ej : Entonces divido con x-2 ruffini cambia el signo

c)

a)

es decir 2 Mas de 2 en el exponente ruffini dividir por el valor del limite con signo opuesto : x-3

Racionalizar Solo distributiva donde estn las races similares Dividir cada termino por la mayor variable y simplificar

Formulas

(

)

(

)

DerivadaSe llama derivada de una funcin y = F(x) en el punto x, al lmite del cociente incremental:

=

(

)

( )

Reglas de derivada o tabla de derivada

Funcin F(x) K X xn

Derivada F(x) 0 1 n.xn-1

Ejemplos F(x) 3 x X3 ex+1( ( ) ) ( )

F(x) 0 1 3-1 3.x =3.x2 ex+1

ex

ex

Sen x Cos x tg x arcsen x arccos x arctg x (u v) Funciones Compuestas u.v

Cos x -sen x Sec2 x

Sen (x+3) Cos(x+5) tg (x+3) arcsen (x+4) arccos (x+7) arctg (x+3)

Cos (x+3) -sen (x+5) Sec2 (x+3) ( ( ( ) ) )

(u v) u.v+u.v

Regla de cadena

F(u)

F(u).u u= 3u

F(u)= F(u).u=(

= =2.x+cosx .(2.x+cosx)

Superpicie y volumen

TEMA: SUCESIONES Y SERIES

Actividad N 1: Resolver las siguientes situaciones: 1) Juan Pablo recibi un correo electrnico en l se le indicaba iniciar una campaa de conservacin ecolgica enviando ese correo a otras personas. En el trmino de la semana en que ocurri ese hecho, Juan Pablo haba enviado el mensaje a 4 personas. Una semana despus cada una de esas personas distribuyo el correo a 4 personas ms dos semanas ms tarde, los nuevos elegidos enviaron el correo a cuatro personas ms. a) Cuntas personas enviaron correo seis semanas despus que Juan Pablo? b) Determina el trmino general la sucesin y la serie correspondiente.

2) Toma un folio; sus dimensiones son, aproximadamente, 30 cm. de largo 20 cm. de ancho y 0,1 Mm. de espesor. Calcula su rea? Doblado por la mitad su espesor (e ) es: e = 0, 1 . 2= 0,2 Si lo doblamos por segunda vez la mitad e = 0, 1 . 4= 0,2 a) Si hubiramos podido doblar la hoja 50 veces con cul de las siguientes dimensiones crees que sera comparable el espesor obtenido Grosor de una gua telefnica (60mm aproximadamente) Altura de una habitacin (32 m aproximadamente) Altura de la torre Eiffel (320 m aproximadamente) Altura del Monte Everest (8880 m aproximadamente) Distancia de la tierra a la luna (350 000 Km. aproximadamente) Distancia de la tierra al sol (144000000 Km. aproximadamente) b) Determina el trmino general la sucesin y la serie correspondiente.

3) El alquiler de una bicicleta cuesta $5 la primera hora y $2 ms cada nueva hora. Cual es el precio total de alquiler de 2, 3,4n horas? 4) En un rascacielos el primer piso se encuentra a 7,40 m de altura y la distancia entre cada dos pisos consecutivos es 3,80 m a qu altura estn los pisos 2 ,3,4,n-simo?

5) Sol diseo el siguiente patrn para armar pulseras con perlas coloc una perla dorada y la rodeo con seis perlas blancas como ndica el dibujo. a) Calculen cuntas perlas tendr que colocar si pone 20 perlas doradas? b) Determina el trmino general la sucesin y la serie correspondiente.

6) Depositamos $100 en un banco que da unos intereses anuales del 10%. Al cabo de 5 aos vamos a recoger los intereses En cunto se han convertido en $10000?

7) Un automvil costo $ 170000 al cabo de unos aos se vendi a la partes de su precio. Pasado unos aos volvi a vender se a las 3/4 y as sucesivamente. a) Cunto les costo el auto al quinto dueo? b) Cul es la sucesin y cul es la serie? 8) Averigua cuntos palos y cuntas bolas son necesarios para hacer una estructura como la de la figura A, pero de n pisos.Y para la figura B?

9) Una rana da saltos en lnea recta hacia adelante, y cada vez salta los 2/3 del salto anterior. Quiere atravesar una charca circular de 5 m de radio, y el primer salto es de 2 m. Llegar al centro de la charca? Llegar al otro lado de la charca siguiendo el dimetro? 10) En el ao 1986 fue visto el cometa Halley desde la Tierra, a la que se acerca cada 76 aos. Esta era la cuarta vez que nos visitaba desde que el astrnomo Halley lo descubri. a) En qu ao fue descubierto? b) Cundo ser visto en el siglo XXI? 11) El 1 de enero de 2005 un banco me concedi un prstamo de $ 2000 a pagar en 8 aos del siguiente modo: A partir del ao siguiente: 2006, durante 8 aos, el 1 de enero de cada ao tendra que pagar dos cantidades:

1 a)Amortizacin de capital : 8 Del capital prestado;b)Los intereses anuales del capital que aun no haban sido devueltos, cobrados al 12%

Otra entidad bancaria me concedi un prstamo de $ 1 000 tambin el primero de enero de 2005, a pagar del siguiente modo: 36 mensualidades de $34 ,665 pagaderas el da 1 de cada mes desde febrero de 2005, a enero de 2008. En el banco me dijeron que me estaban cobrando unos intereses del 15% anual. Qu cantidad debo pagar cada ao para amortizar el primer prstamo Qu cantidad total tendr que pagar ? Es verdad que el segundo banco me est cobrando unos intereses del 15%?

Actividad N 2: Resolver las siguientes situaciones:

1) Escribe los seis primeros trminos de las siguientes sucesiones: a) Cada trmino se obtiene sumando 3 al anterior. El primero es 8.

b) El primer trmino es 16. Los dems se obtienen multiplicando el anterior por 0,5. c) El primer trmino es 36, el segundo, 12 y los siguientes, la semisuma de los dos anteriores.

d) El primero es 2. Cada uno de los siguientes se obtiene invirtiendo el anterior. 2) Escribe los seis primeros trminos de las sucesiones cuyos trminos generales son:

3) Escribe los trminos

a10 a 25,

y

a100

de las siguientes sucesiones:

a) Identificar el tipo de Serie al que pertenece cada una de las sucesiones del prctico. b) Encontrar trmino general de la serie que forma cada sucesin del prctico.

4) Escribe los 2 trminos siguientes en cada conjunto ordenado e induce los trminos generales.

5) Representa los 4 primeros trminos en la recta numrica

6) Clasifica las siguientes sucesiones como crecientes, decrecientes o alternantes

7) Escribe los cinco primeros trminos de las sucesiones cuyos trminos generales son:

Entre ellas hay una progresin aritmtica y otra geomtrica. Cules son? 8) De las sucesiones siguientes indica cuales son progresiones aritmticas:

a) a n 2n

b) bn 4n 2

c) c n

1 n

d) d n 5n 7

9) Identifica las progresiones aritmticas, las geomtricas y las que no sean de estos tipos. Obtn el trmino general de cada una:

10) Escribe el trmino general de una progresin aritmtica en la que a1 = 7 y a4 = 40. 11) En una progresin aritmtica, a8 = 4 y la diferencia es 5. Calcula el primer trmino y la suma de los veinticinco primeros trminos. 12) En una progresin geomtrica, a1 = 64 y r = 0,25. a) Calcula el primer trmino no entero. b) Expresa, de forma indicada, a25. 13) En una progresin geomtrica, a1 = 1 000 y a4 = 8. Calcula la suma de los cinco primeros trminos. 14) Comprueba si esta sucesin es una progresin aritmtica o geomtrica y escribe los tres trminos siguientes: 8; 12; 18; 27; 40,5;

TEMA: LIMITE DE SUCESINES 1) Dibuja las siguientes vecindades o entornos.

2) Para cada una de las siguientes sucesiones, halla la vecindad de radio conveniente en ls que estn todos los trminos de la sucesin.

3) Analiza las siguientes sucesiones para determinar cuales de ellas son convergentes en tales casos determina cada limite

4) Calcula el lmite de las siguientes sucesiones

5) Clasifica si las siguientes sucesiones son crecientes y decrecientes. En cada caso calcula el lmite si existe.

TEMA: LIMITE DE FUNCIONES

1. Calcula los limites de las siguientes funciones polinmicas en el punto dado.

2. Calcula el lmite de los siguientes productos.

3. Aplica el lmite del cociente de dos funciones y calcula.

4. Halla los siguientes limites

5.

6. Evala los siguientes lmites.

7. Calcula los siguientes lmites.

8. Calcula el lmite de las siguientes funciones trigonomtricas.

9. Halla los limites siguientes

10. Asigna el valor de verdad a cada preposicin y justifica tu respuesta

11. Utiliza la grafica y determina el valor del lmite en el punto indicado.

12.

13. Sobre la grfica de la funcin f (x), halla:

14. Resolver los siguientes lmites por definicin. Salvando las indeterminaciones y calculando los lmitesespeciales.

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)

o) p) q) r) s) t) u) v) w) ( ) 1. 2. 3. 4. 5. 6.( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

[ ( ) [ ( )

( ) ( )

] ]

15. Calcular el lmite de las funciones trigonomtricas (considerando las identidades) a) b) c) d)( ( ) )

e) f) g) h)( ( ) )

16. Calcular los siguientes limites notables a) b) c) d) e) f) g) h)( ( ( ( ) ) ) )

Limite 1. Resolver los siguientes lmites por definicin. Salvando las indeterminaciones y calculando los lmites especiales.

a)

b)

c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

m) n) o) p) q) r) s) t) u) v)

2. Calcular el lmite de las funciones trigonomtricas (considerando las identidades) a) b) c) d) e) f)

3. Calcular los siguientes limites notables a) b) c) d)Derivada

e) f) g) h)

1. Resolver las siguientes derivadas por definicina) b) c) d) e) f)

2. Resolver las siguientes derivadas empleando reglas de derivada. a) +3 c) b)+2+

d)

e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) 3. Resolver las siguientes derivadas empleando regla de cadena. a) n) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)o) p) q)

q) r) s) t) u) v) w) x) y) z)

r) s) t)u)

v) w)

4. Analizar las siguientes situaciones y resolverlas. a) El saldo, en millones de euros, de una empresa en funcin del tiempo viene dado por la funcin:

Deduce razonadamente el valor de t en el que el capital fue mximo. b) Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a medida que transcurre la jornada laboral. (Dicho rendimiento corresponde al nmero de instancias revisadas en una hora). La funcin que expresa dicho rendimiento es: 3 siendo t el nmero de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral. Determina cundo se produce el mximo rendimiento y cundo se produce el mnimo rendimiento. Halla la tasa de variacin media del rendimiento R(t) entre t = 2 y t = 4. c) Un banco lanza al mercado un plan de inversin cuya rentabilidad R(x) en miles de euros viene dada en funcin de la cantidad que se invierte, x en miles de euros, por medio de la siguiente expresin: Deduce y razona qu cantidad de dinero convendr invertir en ese plan. Qu rentabilidad se obtendr?

d)

e)

f)

g)

5. Resolver las siguientes derivadas empleando regla de cadena. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 6. Resolver los problemas Problema 1 La ecuacin de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instante Problema 2. Se calcula que el valor de una accin t meses despus de salir al mercado durante el primer ao viene dado por la funcin v(t)=t2-6t+10. Explique razonadamente en qu mes conviene comprar las acciones para adquirirlas al precio mas ventajoso. Problema 1En 1980 se fund una asociacin ecologista. Se sabe que el nmero de sus miembros ha variado con los aos de acuerdo con la funcin. N(x) = 50(2x3 - 15x2 + 36x + 2) a) Cuntos fueron los socios fundadores? 7. Analizar las siguientes funciones: en todos sus aspectos. p) q) r) s) t) u) v) w) x) y) z)

a) b) c)d)

j) k) l)m)

s) t) u) v) w)

e) f)g)

y 5x 2 / 5 2x x 1 y x5 x2 3 y x2 y x2 1

n) o) p) q)r)

x)

h) i)

8. Hallar los puntos crticos de las funciones

a) b) c) d) e) f) g) h) i)9. Analizar las siguientes situaciones y resolverlas.

j) k) l) m) n) o) p) q)

a) Un fondo de inversin genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, segn la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros Cunto dinero debemos invertir para obtener la mxima rentabilidad posible? b) La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la funcin V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de mxima y mnima virulencia c) La cotizacin de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los das de un mes de 30 das, responde a la siguiente ley: C = 0.01x3 0.45x2 + 2.43x + 300 *Determinar las cotizaciones mximas y mnimas, d) En el mercado el precio de un artculo, en miles de euros, estaba relacionado con el tiempo, t, en aos, que este llevaba en el mercado por la funcin: 5t2+83 2

si 0 0 x 7

8/12.t +2t +26 si 7 x 16 *Cul fue el precio mximo que alcanz el artculo en t= 8? e) Se quiere cercar un terreno rectangular, situado junto a una carretera. Si la valla que est junto a la carretera cuesta a 2400 ptas. por metro y la del resto a 1200 ptas. , hallar el rea del mayor campo que se puede cercar con un presupuesto de 432000 ptas. f) De todos los rectngulos issceles de 30 cm de permetro, cul es el de rea mxima? g) Hallar el radio y la altura del cilindro de volumen mximo que se puede inscribir en una superficie esfrica de 24 cm. de radio. h) Un jardinero tiene que hacer un jardn con forma de sector circular de 120 m de permetro. Qu radio le debe dar para que su superficie sea mxima?

i) Un rectngulo tiene 120 m. de permetro. Cules son las medidas de los lados del rectngulo que dan el rea mxima? j) Una ventana tiene forma de rectngulo, culminando en la parte superior con un tringulo equiltero. El permetro de la ventana es de 3 metros. Cul debe ser la longitud de la base del rectngulo para que la ventana tenga el rea mxima? k) Un faro se encuentra ubicado en un punto A, situado a 5 Km. del punto ms cercano O de una costa recta. En un punto B, tambin en la costa y a 6 Km. de O, hay una tienda. Si el guardafaros puede remar a , y puede cambiar a , dnde debe desembarcar en la costa, para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible? l)Los puntos A y B estn situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. El punto D est a 600 mts. de B y en su misma orilla. (fig. 4.22). Una compaa de telfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% mas caro bajo el agua que por tierra. Cmo se debe tender el cable, para que el costo total sea mnimo?. m) Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un crculo y con la otra un cuadrado. Cmo debe ser cortado el alambre para que: a. La suma de las reas de las dos figuras sea mxima. b. La suma de las reas de las dos figuras sea mnima. n) Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. Cul debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea mximo? Cul es el volumen de la caja?. o) Una ventana tiene la forma de semicrculo montada sobre un rectngulo. El rectngulo es de cristal transparente, mientras que el semicrculo es de cristal de color que transmite la mitad de luz por unidad de rea transparente. El permetro total (exterior) de la ventana es fijo. Hallar las proporciones de la ventana que proporcionan la mayor cantidad de luz. p) Una persona amante de las matemticas desea donar sus 3.600 libros a dos bibliotecas, A y B. Sus instrucciones son que los lotes se hagan de modo que el producto del nmero de libros destinados a la biblioteca A, por el cubo del nmero de libros destinados a la biblioteca B, sea mximo. Determina la cantidad de libros recibida por cada biblioteca. q) Se desea construir una caja abierta (sin cara superior) y de base cuadrada con 108 pulgadas cuadradas de material. Cules sern las dimensiones de la caja para que el volumen sea mximo? r) Si se quiere hacer una caja rectangular abierta con una cartulina de 8 por 15 pulgadas, cortando en las esquinas cuadrados congruentes y doblando hacia arriba los lados. Cules son las dimensiones de la caja que se puede hacer de esta manera con el mayor volumen, y cul es ese volumen? s) Una parcela rectangular en una granja tendr lmites, por un lado, por un ro, y por los otros tres mediante una cerca elctrica con un solo alambre. Si se cuenta slo con 800 metros de alambre, cul es la mayor rea que puede ocupar la parcela y cules son sus dimensiones?

Tema: Estadstica descriptiva Para realizar una investigacin estadstica debemos tener los siguientes pasos: Definir el objetivo del estudio y las hiptesis de trabajo. Definir cual es la poblacin objeto de estudio y cual o cuales sern las caractersticas de los individuos de la poblacin Recolectar la informacin pertinente. Organizar y clasificar los datos. Procesar e interpretar Evaluar las hiptesis sobre la base de los resultados del anlisis de los datos Sacar conclusin

Para seguir estos pasos debemos conocer los siguientes conceptos bsicos:

Poblacin: es el conjunto infinito o finito de todos los individuos, objetos u observaciones motivo de estudio. Que comparten una caracterstica en comn. Muestra. Es un subconjunto de elementos representativos de la poblacin, que se ha seleccionado para el anlisis tamao se denota con: n Unidad estadstica: es el elemento u objeto indivisible de la poblacin que ser analizado Variable es una caracterstica presente en todas las unidades estadsticas, que varia de un elemento a otro en la poblacin o en la muestra.

Generalmente los datos obtenidos, mediante los diferentes mtodos enumerados no se pueden analizar o interpretar en la misma forma en que se recogen; por lo cual debemos organizarlos convenientemente para facilitar su anlisis. Una forma til de resumir una gran cantidad datos y representarla en forma de cuadros estadsticos es la Tabla de distribucin de frecuencias. GRAFICOS

Grficos de barras: simples o separadas: Cada valor de la variable se representa por una barra cuyo largo corresponde a la frecuencia con que se observa ese valor. La base de ellos puede estar, sobre el eje de las abscisas o sobre el eje de ordenadas, segn sea el eje que este representando a la variable. Las barras tambin se usan combinadas en la pirmide de poblacin, donde se representa la cantidad, el sexo y la edad de la poblacin. Grficos circulares o de torta: Se utilizan para representar distribuciones en frecuencias relativa para el caso de variables discretas y cualquier nivel de medicin, con pocos valores. Esta grfico consiste en un crculo dividido en tanto sectores circulares, su formula es:g= grados del sector circular t= parte del total que se quiere representar. T=total

Grficos lineales: Son grficos adecuados para analizar la existencia de asociacin entre dos variables2500 2000 1500 1000 500 0 1965

1970

1975 Serie1

1980

1985

continuas, usando para ellos un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. El diagrama esta formado por lneas rectas que unen los puntos del plano que representan valores de la variable.

Pictogramas: Se utilizan para representaciones en pblico o para fines publicitarios. Para realizar este tipo de grfico se debe tener en cuenta lo siguiente: Usar smbolos sencillos Repetir los smbolos para identificar mayor cantidad (no agrandarlos) Usarlos sobre todo para hacer comparaciones

360 g .t T

g 3,6. p

g= grados del sector circular p= porcentaje de la parte que quiere representar.

Pruebas automovilsticas1

Grafico de espiral Se utiliza para representar series de tiempo con fuerte tendencia a la expansin.5

34 33 32 31 30 29 28 27 26

2

4

3

Automvil A

Automvil B

Automvil C

INTEVALOS: n de intervalos= 1+ 3,3. log . n Amplitud: a

x mx x min R quedando , ya que R x mx x min nde int ervalos nde int ervalos

PARMETROS ESTADISTICOS Medidas de tendencia central Indican los valores centrales hacia los cuales tienden a agruparse los datos. MEDIA ARITMTICA Es la que conocemos como promedio Para una serie simple (conjunto de datos enumerados) Dados los datos x1 , x 2 , x3 ,..., x n la media aritmtica se calcula:

x

x .fi 1 i

n

i

n

MEDIANA Es el valor de la variable que divide al conjunto de datos en dos partes iguales. La mitad de los valores es menor que la mediana, y la otra mitad es mayor. Calculo para una serie simple: 1. 2. se ordenan los datos de menor a mayor. se ubica el dato que ocupa la posicin central. Cuando n es impar se ubica la posicin de la mediana como:

n 1 2n y el siguiente y se calcula la media 2

Cuando n es par se ubican los valores centrales, el que corresponde a aritmtica de ambos. Calculo para y una serie de frecuencias

Se ubica el intervalo de clase que contiene a la mediana: es el intervalo de clase al que le corresponde una frecuencia acumulada inmediata superior, a

n . La mediana ser el valor que corresponde ha esa clase o 2

categora. Si a esa clase le incluye ms de un valor, es decir es un intervalo de clase, la median se calculara utilizando la formula.

n Fi 1 2 Me L i .a fi

Me: mediana

L i : limite inferior del intervalo que contiene a la Me. Fi 1 : Frecuencia acumulada del intervalo anterior al que contiene a la Me f i : Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la Mea: amplitud del intervalo de clase

MODA: Es el valor de la variable que se repite ms veces. Se utiliza como primera aproximacin para el anlisis exploratorio. Solo es representativo cuando en la distribucin de los datos el resto de las clases o categoras tienen frecuencias absolutas no significativas en relacin ala de la moda. Pueden presentarse distribuciones sin moda, as como las bimodales y multimodales. En el caso en que la mayor frecuencia absoluta de una serie de frecuencias est asociada a un intervalo de clase, entonces la moda se calcula utilizando l formula:

Mo Li

d1 .a d1 d 2

L i : limite inferior del intervalo que contiene a la Mo.d1 f i f ( i 1)d 2 f i f ( i 1)

f i : Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la Mof ( i 1) : Frecuencia absoluta del intervalo anterior que contiene a la Mo f ( i 1) : Frecuencia absoluta del intervalo posterior al que contiene a la Moa: amplitud del intervalo de clase MEDIDAS DE DISPERSIN Indican la variacin o dispersin de los datos alrededor de los valores centrales. Las ms utilizadas son rango, Desviacin media, varianza, desviacin tpica, coeficiente de variacin. RANGO: R Indica el recorrido que tienen los valores de la variable:

R x mx x minVENTAJAS Y DESVENTAJAS VARIANZA Mide el promedio de las desviaciones de cada valor de la variable respecto de la media elevada al cuadrado. Se designa por S 2 cuando se refiere a la muestra y por 2 cuando se refiere a la poblacin Valores altos de varianza indican que los datos estn ms dispersos alrededor de la media. Para series simples: Para series de frecuencias

S2

(xi 1

n

i

x) 2 S2

(xi 1

k

i

x) 2 . f i

n 1

n 1

donde n

f

i

El numerador de estas frmulas se denomina suma de cuadrados y el denominados grados de libertad DESVIACIN TPICA: Dado que al calcular la varianza la unidad de medida original queda elevada al cuadrado. Para muchas aplicaciones eso resulta inconveniente y por eso se suele preferir la estadstica. La desviacin tpica la cual se define como: S S 2 COEFICIENTE DE VARIACIN Es un estadstico de dispersin que tiene la ventaja de que no lleva asociada ninguna unidad de medida, por lo que nos permitir decidir entre dos muestras, cual es la que tiene mayor dispersin. La denotamos por: C.V y se define por:

C.V

S x

Anual

1)

Resolver los siguientes problemas

Una fbrica de dulces los empaqueta en bolsas de una decena, se colocan diez bolsas en una caja parafacilitar su entrega a las tiendas y se empacan diez cajas pequeas en una grande, si siguiramos empacando 10 de estas cajas grandes en otras de mayor dimensin, y as sucesivamente. 1. Cuntos dulces contiene cada caja de 10 bolsas? 2. En cada caja grande cuntos dulces caben? 3. En la caja n cuntos dulces caben? 4. Determnale trmino general la sucesin y la serie correspondiente. Una cabeza de flor, en la fase final de su desarrollo, esta repleta de minsculas semillas al caer al suelo da origen a una nueva planta en el paso de un ao. Determina el nmero de plantas que nacen en 5 aos y al cabo de 10 aos. Si lanzamos un dado al aire Cul es la probabilidad de que salga 6? Si lanzamos dos dados Cul es la probabilidad de que salga 6? Y la de qu al lanzar tres, en los tres salga 6? Calcula la probabilidad de que al lanzar n dados en todos ellos salga 6. Forma la sucesin y la serie de las probabilidades calculadas. Los bilogos para sus estudios realizan cultivos de clulas las amebas (seres unicelulares) se reproducen por particin, es decir, cada ameba se parte en dos mitades se desarrolla y cuando le llega su momento vuelve a partirse dando lugar a otras dos y as sucesivamente. Cul es la ley que me indica el aumento de las amebas? Dejamos caer una pelota desde una altura de 2 metros y tras cada rebote, la altura alcanzada se reduce a la mitad de la altura anterior Qu altura alcanzara la pelota en cada uno de los 10 primero rebotes? Y en el rebote vigsimo? Halla la sucesin y la serie correspondiente Tal vez ustedes o sus amigos han recibido una carta annima en la que se indica que para que se cumplan sus deseos, deben enviarse 5 copias de la misma carta a otras 5 personas. Una persona recibi este annimo y envi 5 cartas. Una semana despus cada una de las personas elegidas hizo lo mismo y repiti el proceso. Si no se interrumpi la cadena Cuntas personas enviaron cartas seis semanas despus de que la primera lo recibi Cuantas despus de 12 semanas? y en la ensima semana?

2) Comprueba si esta sucesin es una progresin aritmtica o geomtrica y escribe los tres trminos siguientes: 8; 12; 18; 27; 40,5; 3) Clasifica si las siguientes sucesiones son crecientes y decrecientes. En cada caso calcula el lmite si existe.

4)

En los ejercicios calcule el lmite por intuicin:

5) a) b) c) d) e)

En los ejercicios calcule el lmite por intuicin: f) g)

k) l) m) n) o) u) x)

p) q) r) s)

h) i)

j)

t) w)

v) y)

6)a) b) c) d) e) f) g) h)

Resolver las siguientes derivadas

f ( x) ln( sen.x) tg . xf ( x) log 8 (cos.x 4 )3

x45

f ( x) arcsen[log 4 (tgx)]x f ( x) tg[ar cos(ln x)]

sen[cos(3.x 5 )]

[ln(tg 5 x 6 )]arcsen. x[tg (6 x 4 )] 5

f ( x) ln[tg( x 5)] [arctg( x )]6

x9

7)

Analizar las siguientes funciones.

d) e)

a)

x9 x 16x2 x 2 25

b) f)

x7 g) 3 x 27

c)

x1 / 2 x 36

8)

Un inversionista recibi un pagar por valor de $120.000 a un inters del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 das. Cunto recibe de valor vencido por el pagar el primer inversionista?

9) Un seor pago $2.500,20 por un pagar de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996 a un con 4,5 %de inters. En qu fecha lo pag? 10) Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de inters. qu cantidad acumulada paga el deudor? 11) Una persona descuenta el 15 de mayo un pagar de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe $ 19.559,90. A qu tasa se le descont el pagar? 12) Cuntos meses deber dejarse una pliza de acumulacin de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en $7.500? 13) Hallar el valor acumulado o futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 aos 4 meses. 14) Una inversionista ofreci comprar un pagar de $120.000 sin inters que vence dentro de 3 aos, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el valor adelantado 15) Hallar el Valor vencido o final $20.000 en 10 aos, a la tasa del 5% de inters. Comparar el resultado al 5%, convertible mensualmente. 16) Una mina en explotacin tiene una produccin anual de $8000.000 y se estima que se agotar en 10 aos. Hallar el valor presente o principal de la produccin, si el rendimiento del dinero es del 8%. 17) Cuntos aos deber dejarse un depsito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000? 18) Un banco paga 9% anual en cuantas de ahorros. Si se realizaron los siguientes movimientos: deposito de $500 el 2 de febrero, 3 de marzo un deposito de $800, 1de abril, 1de mayo un retiro de 130 y 31 de junio con base en el saldo mensual. Cunto inters gana hasta el 31 de junio? 19) La agencia de viajes Moore, una agencia de viajes nacional, ofrece tarifas especiales en ciertas travesas por el Caribe a ciudadanos de la tercera edad. El presidente de la agencia quiere informacin adicional sobre las edades de las personas que viajan. Una muestra aleatoria de 40 clientes que hicieron un crucero el ao pasado dio a conocer las siguientes edades. 18 23 34 36 38 41 43 44 45 50 50 51 52 52 53 53 54 54 56 58 58 58 59 60 60 61 62 62 62 63 63 63 65 67 66 71 71 77 83 84 Organice los datos en una distribucin de frecuencias