Catedra grafos

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  • TEORIA DE GRAFOS

  • Que es un Grafo?

    Un GRAFO es un conjunto de nodos o vrtices (V) y

    un conjunto de aristas (E), donde cada arista

    relaciona a un par de nodos pertenecientes a V.

    La estructura algebraica para los grafos es G=(V,E).

    Existen dos tipos de Grafos:

    GRAFO DIRIGIDO

    GRAFO NO DIRIGIDO

  • GRAFO DIRIGIDO

    Un GRAFO DIRIGIDO G consiste de un conjunto V de vrtices y un conjunto E al conjunto de aristas del grafo.

    Los vrtices de un grafo dirigido pueden usarse

    para representar objetos y los enlaces relaciones entre los objetos, ejemplo de ello que los vrtices pueden representar ciudades y los enlaces vuelos areos entre ciudades.

    Un enlace es un par ordenado de vrtices (v, w), donde v es la cola y w corresponde a la cabeza del enlace.

    a b

    c d

    V={a, b, c, d}

    E={(a,c), (a,b), (b,c),

    (b,d), (c,d)} v w

  • GRAFO NO DIRIGIDO

    Sea G un Grafo no Dirigido, donde G=(V,E) y V

    corresponde al conjunto de

    vrtices y E al conjunto de

    aristas del grafo.

    Un Grafo no Dirigido se diferencia de un Grafo Dirigido

    debido a que cada arista en E

    es un par no ordenado de

    vrtices. Si (v,w) es una arista

    no dirigida (v,w) = (w,v).

    a b

    c d

    V={a, b, c, d}

    E={(a,c),(c,a),(a,b),(b,a)

    (b,c),(c,b),(b,d),(d,b),

    (c,d),(d,c)}

  • COSTOS

    Grafo Dirigido

    Etiquetado Grafo No Dirigido

    Etiquetado

    Los enlaces tanto para los grafos Dirigidos como No

    Dirigidos tienen un costo (valor), por lo tanto son grafos

    etiquetados.

    a b

    c d

    a b

    c d

    20

    30 25

    15

    40 40

    a b

    c d

    a b

    c d

    20

    30 25

    15

  • REPRESENTACION LOS GRAFOS

    Un grafo Dirigido o No-Dirigido se puede representar

    mediante:

    Matriz de Adyacencia

    Lista de Adyacencia

    Arreglos para la Lista de Adyacencia.

    Sea el siguiente Grafo Dirigido:

    Donde: V={1,2,3,4} E={(1,2),(2,3), (,3,1), ((4,2),(3,4)}

    2

    1

    3

    4

  • MATRIZ ADYACENTE

    casootroen

    Ejisijia

    0

    ),( 1],[

    Sea: E={( 1 , 2 ), ( 2 , 3), (3 , 1 ), ( 4 ,2),( 3 , 4 )}

    0010

    1001

    0100

    0010

    a

    La Matriz Adyacente A de un Grafo G=(V,E) tiene V*V elementos y se define como:

    Fila Columna

    2

    1

    3

    4

  • VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA MATRIZ DE ADYACENCIA

    VENTAJAS: Se puede determinar en un tiempo

    fijo y constante si un enlace(arco) pertenece o no al grafo.

    Es fcil determinar si existe o no un arco o enlace, solo se debe posicionar en la matriz.

    Es fcil determinar si existe un ciclo en el grafo, basta multiplicar la matriz por ella misma n veces hasta obtener la matriz nula(no hay ciclos) o bien una sucesin peridica de matrices(hay ciclo)

    DESVENTAJAS:

    Se requiere un almacenamiento |v|*|v|. Es decir O(n2).

    Solo al leer o examinar la matriz puede llevar un tiempo de O(n2).

  • LISTA ADYACENTE

    La lista de adyacencia para un vrtice v es una lista enlazada de todos los vrtices w adyacentes a v. Un grafo puede ser representado por |v| listas de adyacencias, una para cada vrtice.

    =

    1

    2

    2 3

    =

    3 4

    3

    2 1

    3 4

    4

    = 2

    =

    Lista de

    Adyancencia Grafos

    Vrtices

  • VENTAJAS Y DESVENTAJAS

    DE LAS LISTAS DE ADYACENCIA

    VENTAJAS: La lista de adyacencia requiere

    un espacio proporcional a la suma del nmero de vrtices ms el nmero de enlaces(arcos). Hace buen uso de la memoria.

    Se utiliza bastante cuando el nmero de enlaces es mucho menor que O(n2)

    DESVENTAJAS: La representacin con lista de

    adyacencia es que puede llevar un tiempo O(n) determinar si existe un arco del vrtice i al vrtice j, ya que pueden haber O(n) vrtices en la lista de adyacencia. Para el vrtice i.

  • UTILIZACION DE ARREGLOS

    PARA LA LISTA DE ADYACENCIA

    21

    3 4

    Grafos

    1

    2

    4

    3

    Vertices

    2

    3

    0

    4

    0

    2

    0

    3

    0

    Arreglo de

    Lista

    Adyacente

    Se utilizan los arreglos para implementar la Lista de Adyacencia:

  • EJERCICIOS

    Para los siguientes Grafos Dirigidos y No Dirigidos, calcular su:

    Matriz de Adyacencia

    Lista de Adyacencia

  • Construya la Matriz de adyacencia del siguiente

    grafo no dirigido:

    1

    3

    5

    8

    Ejercicio 1

  • Construya la Matriz de adyacencia del siguiente

    Grafo Dirigido:

    1

    4

    2

    3

    Ejercicio 2

  • a b

    c d

    a b

    c d

    8

    30 15

    15

    40 40

    a b

    c d

    a b

    c d

    120

    10 5

    15

    Ejercicio 3 Ejercicio 4

  • A partir de las siguientes Matrices,

    construir sus respectivos Grafos si es

    que es posible.