Antes de participar en el foro, resuelve los siguientes ejercicios:

1. Aplica las propiedades anteriores y calcula los límites de las siguientes funciones. Conserva tus resultados para que los compartas y los discutas con tus compañeros(as) en el foro.

(8)3 + 2(8)2 - 5(8) / (8)2 - 2 = 512 + 128 - 40 / 64 - 2 = 600 / 62 = 300 / 31

3(3)5 + 8(3)3 = 3(243) + 8(27) = 729 + 216 = 945

[(5)2 + 3(5)] [5 - 2] = (25 + 15) (3) = (40) (3) = 120

1525

(-1)3 - 5 / -1 - 1 = -1 - 5 / -2 = -6 / -2 = 3

2. En equipos, investiguen las propiedades de los límites para el cálculo de las funciones trigonométricas. Elaboren un formulario y un ejemplo para mostrar el procedimiento del cálculo de límites de funciones.

Limites de funciones trigonométricas:

Antes de establecer el límite de las funciones trigonométricas, estudiaremos y probaremos dos teoremas de gran utilidad.

Teorema 12: Dadas las funciones f(x) y g(x), si f(x) ≧ g(x), para valores de x en el

intervalo ]a - ∝, a + ∝[ y si , entonces L ≥ M.

Prueba: Por las hipótesis del teorema podemos asegurar que:

Unidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites

Sea un real positivo arbitrario. Por definición de límite sabemos que existe > 0 tal que si |x - a| < , entonces |f(x) - g(x) - (L - M)| < .

Ahora bien, si hacemos p = mín{∝, }, garantizamos que f(x) ≥ g(x) y |f(x) - g(x) - (L - M)| < . De esta última desigualdad, podemos deducir que:

De f(x) ≥ g(x), obtenemos f(x) - g(x) ≥ 0 y de aquí:

0 ≥ L - M +

Recordemos que era un real positivo arbitrario, por tanto, puede tomar cualquier valor mayor que cero; ello nos permite decir que L - M es un real con la siguiente característica: no importa el número positivo que le sumemos, el resultado siempre será mayor o igual que cero, esto nos permite afirmar que L - M ≥ 0.

Bueno, la última afirmación parece un tanto “gruesa”, requiere de una mayor explicación.

Nuestra explicación estará basada en uno de los métodos de demostración matemática más usuales, conocido como reducción al absurdo o contradicción. El método consiste en suponer que la tesis que queremos probar es falsa y llegar, a través de razonamientos lógico-matemáticos, a contradecir alguna de las hipótesis de partida o algún resultado que ya conocemos como válido.

Luego de esta disgresión, volvamos a nuestro problema. Recuerde que debemos probar que L - M ≥ 0, siempre que se cumpla que L - M + > 0, para cualquier > 0.

Supongamos que L - M < 0. Los números reales tienen la propiedad de que entre dos distintos, existe otro; sea K un número real entre L - M y 0:

L - M < K < 0

note que K - (L - M) > 0. Como puede ser cualquier número positivo, tomemos = K - (L - M).

Ahora:

L - M + = L - M + K - (L - M) = K

pero K < 0, con lo cual llegamos a una contradicción, con el hecho de que L - M + ≥ 0 para cualquier > 0.

De lo anterior, L - M ≥ 0, es decir, L ≥ M que es lo que queríamos probar.

Unidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites

Teorema 13 (del emparedado): Dadas las funciones f, g y h si f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) en

un intervalo alrededor de a y f(x) = g(x) = L, entonces h(x) = L.

Prueba: Sea > 0, existen 1, 2, 3 que cumplen:

i) si |x - a| < 1, entonces f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)

ii) si |x - a| < 2, entonces |f(x) - L| <

iii) si |x - a| < 3, entonces |g(x) - L| <

Para que estas tres condiciones se cumplan simultáneamente, hagamos = mín { 1, 2, 3}.

Para |x - a| < , se tiene:

i) f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)

ii) L - < f(x) < L +

iii) L - < g(x) < L +

Estas tres desigualdades nos permiten establecer que:

L - < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L +

de aquí:

L - < h(x) < L +

que es lo mismo que:

|h(x) - L| <

Teneos entonces que si |x - a| < , entonces |h(x) - L| < , con lo cual podemos

afirmar que h(x) = L.

Este último teorema será la base sobre la que nos apoyaremos para calcular límites de funciones trigonométricas.

Empezaremos estudiando la función seno. En primer lugar, calculemos el límite de sen x cuando x tiende a cero. Para ello, acudiremos a la ayuda del círculo trigonométrico y de la Geometría.

La siguiente figura nos muestra a x y sen x en el círculo unitario.

Unidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites

Advertimos al lector que los ángulos los medimos en radianes, así cuando escribimos sen x nos estamos refiriendo al seno del ángulo de medida x radianes. Trabajamos con radianes para establecer la “abertura” correspondiente al ángulo x. Hecha esta aclaración, sigamos adelante.

Nos ubicamos en el punto de intersección del eje de las abscisas y el círculo unitario (punto B de la figura). En ese punto ubicamos un extremo de un segmento de longitud x y, sin permitir que este extremo se separe de B, rotamos el segmento hasta que el otro extremo toque el círculo (punto A de la figura). Si unimos el punto A con el origen, entonces el ángulo buscado será el comprendido entre el eje X y el segmento OA.

El lector recordará que el segmento AC tiene una longitud igual a sen x y AB mide x.

Consideremos el triángulo CAB, note que es rectángulo y que su hipotenusa es AB y uno de sus catetos es AC, podemos entonces concluir que la medida de AB es mayor que la medida de AC, con lo cual aseguramos que:

sen x < x

Como nuestro propósito es calcular sen x, podemos establecer que el ángulo x se mueve en los cuadrantes primero y cuarto, de acuerdo con el signo de x. Así para x positivos, estaremos en el primer cuadrante, para x negativos, en el cuarto.

La figura que ilustra nuestra demostración, nos ubica en el primer cuadrante. El lector podrá comprobar que para x negativos podemos hacer una figura similar ubicada en el cuarto cuadrante.

Unidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites

Con los mismos razonamientos que empleamos para x > 0, podemos concluir que:

- sen x < -x

Uniendo las desigualdades (1) y (2) en una sola, escribimos |sen x| < |x|.

Ahora bien, como 0 < |sen x| < |x|, podemos escribir:

-|x| ≤ sen x ≤ |x|

Es fácil comprobar que |x| = 0 y por el teorema anterior podemos concluir que:

Nos proponemos ahora mostrar que sen x = sen a.

Sea > 0. Consideremos la expresión |sen x - sen a|, recuerde (por identidad

trigonométrica) que .

Sustituyendo, obtenemos:

Unidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites

Sabemos que |cos x| ≤ 1, para cualquier valor de x, además establecimos la

desigualdad |sen x| < |x|. Si en esta última desigualdad sustituimos x por , tendremos:

Ahora podemos establecer:

En resumen, podemos afirmar que:

|sen x - sen a| < |x - a|

Si tomamos = , entonces si |x - a| < , entonces |sen x - sen a| < , por tanto:

Ejemplo 1

Calcular el .

Solución: Para hacer este cálculo, aplicaremos el teorema de la composición:

Procedamos ahora a calcular el límite para la función coseno. Recordemos que cos

x = 1 - 2 sen2 , por tanto:

Unidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites

Para el cálculo de este límite usamos los siguientes hechos:

• sen x = sen a

• el teorema del límite de un producto

• el teorema del límite de una suma

• el límite de una constante

Estas cuatro propiedades de los límites dan plena validez a la siguiente fórmula:

Para encontrar el límite de la tangente, cotangente, secante y cosecante, basta con aplicar el teorema del cociente. Así, por ejemplo:

De igual manera procedemos para las restantes funciones trigonométricas. Se debe observar que debemos tener cuidado con el dominio de definición de estas funciones.

Unidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites

Con las fórmulas de límites de funciones trigonométricas hemos adquirido nuevas herramientas para el cálculo de límites.

Pinzón, A. (1973). Cálculo I: Diferencial. San José, Costa Rica: Editorial Universidad Estatal a Distancia.

Unidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites

Teoremas de límites

Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.

Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.

Teorema de límite 1:

Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema de límite 2:

Para cualquier número dado a,

Teorema de límite 3:

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de límite 4:

Teorema de límite 5:

Unidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites

Teorema de límite 6:

Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

Teorema de límite 7:

Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de límite 8:

Limite de una función. Consultado el 14 de junio de 2012 en: http://www.sectormatematica.cl/educsuperior.htm

3. Den a conocer su investigación en el foro, y los resultados obtenidos para las cinco funciones anteriores, comparen sus semejanzas y diferencias.

4. Consulta la rúbrica de participación en el foro. Da clic en el icono para descargar el documento.

Para ingresar al foro: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en Cálculo. Se enlistarán las actividades, da clic en Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites.

Unidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites