CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de...

137
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA “SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN EN LA ESCUELA SECUNDARIATesis que para obtener el grado de Maestría en Ciencias en Matemática Educativa Presenta: Rebeca Flores García Director de Tesis: Dr. Gustavo Martínez Sierra México, D. F., junio de 2010

Transcript of CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de...

Page 1: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA

“SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE

FRACCIÓN EN LA ESCUELA SECUNDARIA”

Tesis que para obtener el grado de Maestría en Ciencias en Matemática Educativa

Presenta: Rebeca Flores García

Director de Tesis: Dr. Gustavo Martínez Sierra

México, D. F., junio de 2010

Page 2: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

SIP-14

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARíA DE INVESTIGACiÓN Y POSGRADO

ACTA DE REVISIÓN DE TESIS

En la Ciudad de México siendo las 11 :00 horas del día 22 del mes de - - -

abril del 2010 se reunieron los miembros de la Comisión Revisora de Tesis designada

por el Colegio de Profesores de Estudios de Posgrado e Investigación de CICATA LEGARIA

para examinar la tesis de grado titulada :

"Si nificados asociados a la noción de fracción en la escuela secundaria"

Presentada por el (la) alumno(a):

Flores García Rebeca Apel lido paterno materno nombre(s)

Conregistro l s l o 17 11 aspirante de:

Maestría en Ciencias en Matemática Educativa

Después · de intercambiar opiniones los miembros de la Comisión manifestaron SU APROBACION DE LA TESIS, en virtud de que satisface los requisitos señalados por las disposiciones reglamentarias vigentes.

LA COMISION REVISORA

Director de tesis

Dr. Gustavo Mari inez Sierra

(J .

CICP .. ,'-''' Centroú' tll. " H'l~ - ""11:1' 1 eo \.: ~nclj Aplicada y Tecr,~I. ;:8 Aw,maoa del Instituto PI,;:llecnico Naclonat

------~-=~~~~~-------- ------~~~~~_t~~-------Dr. Gisela Montiel Espinosa

OFESORES

Dr. José Antonio Irán Diaz Góngora

Page 3: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

I NSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

SECRETARíA DE INVESTICACIÓN Y POSCRADO

CARTA CEsÓN DE DERECHOS

En la Cludad de México el día l0 del mes junio del año 2010, la que suscribe

Rebeca Flores Carcía afumna del Programa de Maestría en Cienclas en Matemática

Educativa con número de registro 8071738, adscrito al Centro de lnvestlgación en

Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, Unidad Legaria, manifiesta que es autora

lntelectual del presente trabaJo de Tesis bajo la dirección del Dr. Gu.stayo Mer!ínez

Sierra y cede los derechos del trabajo intitulado "Significados asoq

de frasc!ón en !a escuqla sec.undaria", al lnstituto Politécnico Nacional para su

difusión, con fines académicos y de investigación.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o

datos del trabajo sin el permiso expreso del autor ylo director del trabajo. Este

puede ser obtenido escribiendo a la siguiente d¡rección rebefg@gmail_.cgm. Si el

permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar

la fuente del mismo.

Page 4: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Agradecimientos

A Dios por permitirme arribar a senderos inalcanzables.

A mis padres por su apoyo en cada una de las actividades

en mi vida y desarrollo profesional.

A mis hermanos por su confianza y aliento.

Al colegio de profesores del Programa de Matemática Educativa

que condujeron mi formación académica.

Al Profr. Héctor Corte Trujillo por su orientación, fortaleza

y conocimientos.

A todos aquellos que con su apoyo hicieron posible la

culminación de este trabajo.

Page 5: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

�������

i

����������� �� � � � � � � � �� � � ����������������������� ������������� ��� � � � � � � ��������� ��� � � � � � � � � � � �������� ���� � � � � � � � � � � ������� �������� � � � � � � � � � ��������� !"#�$%�& ���#� �'���#�(�& � #�#"'���#� �� � � � ���

���� ���� ������������ �������������� � � � � �������� ����������� ������������� � � � � � � �������� ��� ���������������������� � � � � � � ������ � !��� ���������������������� ��������� �� � � � � ��"�

#�������� ������������������� �� � � � � ���������������$�#�������� ������ �������������������� ��� � � � ��%�

�&������ � � � � � � � � � ���

����� !"#�)%��"��* !��#����"�*�+�����#��*�(�*!*�*����+����#*�

����� '����������������� � � � � � � � ���

������ ������� ���%$��(��%%��� � � � � � � ��������� ������� ���%%��(��))�� � � � � � � � �

����� '�������������*���� � � � � � � � ���

������ ������ ��� �+������� � � � � � � ��������� ������ ��� �,�����-�!����� � � � � � ��������� ������ ��� �.�� ������ � � � � � � �"����� � ������ ��� �/��0� � � � � � � � �"�

����� ��� ��1�#������� �+�� ���� � � � � � � �$�

��� � ���������� ����������� � � � � � � � �)�

�� ��� ������ ��� �/�������� � � � � � � �)��� ��� ������ ��� �2����� � � � � � � ����� ��� ������ ��� �#������ � � � � � � ���

�&������ � � � � � � � � � � ��

���� !"#�,%���-"�*�*����-� ��#��

���� &������� �������� � � � � � � � ��������� #�������������� ��������� ����� � � � � ��������� #�������������������������� � � � � � ���

�������� 3����� ������������������ � � � � ���

Page 6: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

�������

ii

���� #������ ��4��� � � � � � � � � �$������� 5�������� ��� � � � � � � � �%������� 6��� ����� �� � � � � � � � ��������� 7������ �� � � � � � � � � �"��&������ � � � � � � � � � ��

����� !"#�.%���-"�*�*����-� ��#��

��� #������ ������ �������� ������ � � � � � �� ����� 5��������1�&������ ������������� � ��� � � � ��

������������ ������� � � � � � � %� ����� 5��������1�&������ � ����������� � � � � %�

������������ ������� � � � � � � �$� ����� 5��������1�8���������� ���������������� ������������� �%�

������������ �������� � � � � � � ��� ��� � 5������� 1�!���� ���������� � � � � � � �

������������ ������� � � � � � � "�� ����� 5��������1�!���� ���������9���� ������9��� � � "��

������������ ������� � � � � � � ""� ����� 5��������1�&���� �� ���������� � � � � "$�

������������ ������� � � � � � � $���

&������ � � � � � � � � � $���

���� !"#�/%��#��"!*�#��*��

���� &��4������������ � � � � � � � � %)����� 5��������*��������������������������������� � � � � %��

���+�������*�0�0"�#��-+���*�� � � � � � � %������1#*��

�� :���������������������������43���;��#�����<�%%%=� � �����������)��

�/� 6������������ ���� ����������������2����4��������

����#�����<�))�=� � � � � � � � �����������)"��

3� 7������ ������ �������� �������������� �������� ���5�������� ����� ���<�))�=� � � � � � ���������������

8� �9������ ��������� ��� ����������������������3�������>��3������>�3����� �>�+�����>��#����>�!���*��>�!�����>��!������-�6��?��<�))$=��������������� � � � � ��������� �������������

Page 7: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

�������

iii

�� �9������ ��������� ��� ����������������������/��0�-�@��*��<�))$=�� ��������� � � � � � � ��������������

+� �9������ ��������� ��� ����������������������/��?�-�@����<�))$=������������������������������ � � �����������%��

@� �9������ ��������� ��� ����������������������3�������>��3������>�3����� �>�+�����>�#����>�!���*��>�!�������-�+��������������������� � � � � � � �������������

A� �9������ ��������� ��� ����������������������/��?�-�@����<�))$=������������������������������ � � ���������� ��

Page 8: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������

iv

����������

��� ���� ��� ���� ������� ����� �� ��� ����������� ���� ����� ��������� � ���������������� �� ���� �������� ��� ���������� ��� ������ ��� ���������� �

��������� ���������� ��� ����� ��� ��� ������ ��� ��������� ���� ������������ ����

�������� ��� ��� ���������� �� ��� ������� �� ��� ��� ��� ��� ����������� ��� ������ �

���������������������������������� �����

����������� � � ������������ �� ��������� ���� ��� ����� ������� ���� �����������

������������������������� ���������������������������������������������!��� ��

��������� �� ���� ��������� ���� �������� ����������� ��������� ���� ������

����"���������������

��������� �� � ����� ���������� ������������������������������������������ ���������������������������� �����������#����������������������#�����������������

�!�����������������

��� ��� � � ���������� �� ������� �� ��� ����� ����� ����������� ��� ������ ��������� ��������������� ��� ��� ���� ���� � ��� ���� ��������� ��� ��� ���� ���� ����� ���

�������"������ ��� ��������� ���� �������� ���� ��������� ���� ������������ ��� ������ #� ����

������������������������

�������$���������������������������������������������������������������������� ��� ����� ��� ��%�� ���� ��� �������� ���� ���� ����� ��� ��� ��������������

��������������!��������������������&����'���������������#�������#�����������

����������������� �������������������������������

� � ��������������(�����������������������ba��� 0≠b �

!� ������������������������������������������������������������������������������!���������������������������������������������������������������

!� ���� ������)��������������������������������������������������*��+������������"����������������������������������������������#�����������������!���

��������������������������%��� ����������������������������������� ��

���������������!�������������������������������������

"�������������������������� ���������!������!�����������,���������������!�����#� ��%����� ���� (����� ��� ������� ��� �������� ��� �������� �� ���� ��������� ��� �� ���

�������������������������������������������-��

������������ ��������������������������������������.���������������������������������� ��������� �� �� ������� ���������� �� ���� �������� � ������� ������ ������ #�

���������������������������������������������������������/�����0���������������

������������������������������������������������������#������������

Page 9: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������

v

���� � �� ��������.� (��������� ��� ����� ��������.� �������� ������ #� ���������������������������������

# �$��� ��������� ��������������(����������������������������������������������� ���������� ��������� ��������� ��� �����"��� #� ����"��� ����� ��� ���������

������������������������������������������������������#����������������������

������������������������������������

%����&����������������������� ����������������"������������������������������������������������ ��������������������#��������������%����������

Page 10: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

vi

�������������� �������� ������� ��� � ��������� ���� ���������������� ����������� �������� ��������� ������������� �������������������������

����� �������

�������� ���������� �� xy 12= � ���

�������� ��������������� ������������� �� ���� � �!��������� "������#���������$���������� ������������ �� ���!��������� "������#���������$���������� ������ ����� �� �%�!��������� "������#���������$���������� ����������� �� �%�� �

� � �&�������� '����������������������� ����������� �� ��&�������� '������������������$��������� �����(�)*+�����,��� -� %�&�������� ���������� ����������� �� ���&�������� �������� ��������� �������������������(�.�����,�%��-� ���&������ � ����������� ���� ���(������������� ���&������/� 0� ����� �������������������������� �%�&�������� "�����������1��� ���&�������� +��������� ���������� ���&������%� 2��������� ���34"!3� ���&��������� )��� � � ������(������ ��������� ���&��������� '������������������� �������������������������� �����

�������$���������������

&��������� 5����������� � � ���������������6� �������������� ���&��������� '� ������ ��������� ���)7&7� ���&��������� '����������� ���������� �������������$����38+� ���&������� � 5���������������������$��������� ��9��������6��� ���������

�������� �

&�������/� 2���������� ����1����� �/�&��������� 5����������� � � ���������������6�:�� �� �/�&��������� 5�������� ����� ������� ���&�������%� 5��;������� ���� �� �����:������ ���&��������� �������6������ �������������������� �%�&��������� 2������������������ ���&��������� <�� �����������=������ ���&��������� "�� ������>������1� ���� ��������������� ���&��������� "��������� ������������� �� ������ ���&�������� ������

�'���������������������� ������� � �

�� ����/��

&��������� 5������������� ������� � �������������=����� �/�&��������� "������� ������ ��?�� �� ���

Page 11: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

vii

&���������� "������������ ��"��@���� ���&��������� 5���������� ��)������ ���&������� � "������� ������ ���� ��� ���&�������/� 5�������1����� ��)����� ���&��������� "������������ ��"���9� ���&��������� 5���������� ��A����� �%�&�������%� 2�������������� ���@��:������� ������������ �%�&��������� "��������� ������11��� ��&���������������

�'������� ������� � ��

� ��

&��������� '����������� ��32 ���� ����11�� ��

&��������� '����������� ��41 � ���� ����11�� ��

&������� � �'����������� ��61 ����11�� ��

&��������/��� ��

'������������� �� ��� �������� ��� ��������� �� ��� �������=�����

� ���� ��

&������ �� 5�����������������������8������ �&������ �� 5����������� ��)���� �&������ �� "������� ������ ��"��@���� �&������ � "������������ ��)���� /�&������ /� "������������ ��)������ /�&������ �� 5�����������������������5������ /�&������ �� "������� ������ ��?�� �� ��&������ %� 5�����������������������+���� ��&������/�� "������� ������ ���� ��� ��&������/�� �&����������@��:��������

31 � ��

&������/�� )�:����� ����������� %�&������/�� '����������� ������� � �,5 � ��1-� %�&������/�� '����������� ���������� ������� � � /��&������/ � 5�����������������������+���� �� /��&������//� 5�������������� ���������������� ��+���� �� /��&������/�� "������� ������ ��"��9�� /��&������/�� 5�����������������������<������� /��&������/%� "������� ������ ��3:��� /��&��������� 5���������� ��?�� �� /��&��������� "������� ������ ���� ��� /��&��������� 5����������� ��B=���� /��&��������� 5�����������������������)���� /��&������������� �

�'������������� ��

310 �

�/��

&�������/� '����������� ����������� � �+�@���� ������ +Q � /��

&��������� )������������������� ����1���� /��

Page 12: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

viii

&��������� '����������� �������������53 �� / �

&�������%� '����������� ��������������41 , ��

53 � ������� � -� / �

&��������� 5���������� ��&��� �� //�&��������� 5���������� ��0�1�� /��&��������� "������� ������ ��" ��� �� /��&��������� 5�������������� ���������������� ��" ��� ��� /��&��������� "������� ������ ��B=����� /��&������� � 5������������� �������� ������ ��B=���� /��&�������/� "������� ������ ��0�����+���� /��&��������� "������������ ���� ��� /��&��������� 5������������� ��.����� /%�&�������%� 5�������������� ��)������ /%�&�������%����%��

'������������� ���������� ������������� �����

&������%�� 5������������������� ������C�� � ���&�������%����% ��

�'������������� ���������������� ��C�� �

����

&������%/� 0�1���� ����������D���� �����D�� ���&������%�� '����������� ������� �� �����D������� ���&������%�� '����������� ������� �� �����D������� ���&������%%� '����������� ������� �� ������ ���D������ ���&���������� '����������� ������ � ��� ���������� � � ���� ���&���������� 5�����������������������A����+����� � �&���������� 5����������� ��2����� � �&���������� 5�������������� ��������� �/�&���������� 5������������������������������+������ �/�&�������� � 5�����������������������E����� ���&��������/� '������ �� ������:��� ���&���������� '������������������� �� xy 12= � ���

&���������� 5�����������������������5�1��;� ���&��������%� 5�����������������������+���� ���&���������� 5��������������F����������<������� ���&���������� 5���������� ���������� ���&���������� "������� ������ ��5������ ���&���������� 5�����������������������+�=����� ���&���������� 5���������� ��4��$� ���&�������� � "������� ������ ��+��D� ��� ���&��������/� 5�����������������������.����� ���&���������� "������� ������ ��A�������� ���&���������� 5����������� ��?�� �� ���&��������%� 5����������� ���5����� ���&���������� "������� ������ ��)�:� � ���

Page 13: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

��������

1

��������

������������������ ������������ ����������� �������� ��� �� ������� ����

� � �� � �� ���� �� ������ ��� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ��������� ��� ���

������������� ��� ��������� �� �� ���� �� �� ��� ���� ��� �������� ������ ������������

� � ����� ��� �������� � � � ����� ��� ������������ ���� � ������������ �� ���

��������� ������� ��� ��������������� �������������������������� ����������� ��

�� ���� ������� ��������������������������������������!�

"������� ���������� �������������������������������������� ��������� ������ ����

��� � ��� ����� �� �� � ������ ���� �� ������ ��� ����� �� ��#� � � � ��� ���� ������� ���

���� ������� ���������������������������$���� �������������������������������

������ � � � ���� � � �� %� �� ������� &� ��� � ������ ��� ���� ��������� ��� ��� � ��

��������������������� ���� ������!�

'��� ��������� ���� ��� ������ (�

�! )������������ ���������������������� ������ ������*+�&�*,���������� ���� ���� ������� ������������������#�� � �� ��� ������� ���������� ����

���� ������� ����������� �!�

�! -� � ��� �� ������ ��� ����� � ������� �� � � � ���� � ����� ��� ��� ���� ��������� ��� ���� � ��� ��� �� �� **� ��� � �� ��������� �� ��������� �� �� � ��

����� ���������������!�"���������������� ����� ������� ������ ������������

������������� ����������������� ���������������!�

�! "������� ����� ������� ����������������� ����������(��

. ������������ ����� �������� �� ��� /����� �����0� �� ������ ��� ��� ����� ���

���������� ������������ �����!�

. )�������������� �� ���� � ����������������������&������������

����� ���� ����� �������� ��� ����������!�

. ����������������������������� �� �������� ���� ��� ����� � �

��������� !�

. )������������������ �� ����������� ��� ������������� ���� ��

������ �������������� �����!�

. )���������������������������������������������� ���������������

� ����������� ��!�

Page 14: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������

2

���������

������������������������������� �������������������������� �������� ���������������

� ������������������������������������� ���������������������������������������

������������������������������ ����������������������������������������������������

������� �������������������������������� ����������������������������������������

�����������������������������������

���� ����� ���� ��������� �� ������� ��� ���������� ������� ��� ���� ������ ��� �� ���� ���

��������������� ��� ���������������������������������������������������������

���������������� ����������������������������������������� ����������������������

���������������������������� ��������������������������������������������

������� �������!�

�� ���� �������� ��������� ������� ��� ����� �������� "#� ���� "$� ������������������� ����� ���� ������� ��� �������� ��� ��� ��� ���������� � ����� �����

������������������������������

�� %���������������� ��� � ������������������������ ����������""������������������������������������������ &�� ������������������������� � ��������

��� ������� �����

� &���������� ��������������� ������������������'��

( )���� ����� ��� ��������� ��� �� *���� ����*� ���� � ����� �� � � ��� ����

�� ������

( ������������������������ ������+ ������������������������ ����,������

�������������� �������������������� �������

( )���� ����� ��� �������� ���� � ���� ������� ��� ��� ���������� ��� ��������

����������

( ���� � �������� ��� ������ ��� ���� ����� ������ � ����� ��� ������� ���

����������������������� ��

( -������������������������������������������������������������������

����������

Page 15: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

�������������

3

������������

��� ������������� ������������� ������������������������� �� ����������������������

��� ����� ������ ��������� ��� ��������� �������� ��������� ���������� ���� �������

����������� ������� ���� �� ��������� ���� ������ ������ � ��� ���������� � ��� ������� ���

��������� ��� ������������� ����������������� ����!"##$%��� ����&�� �� �������������'�

���� ������� �� �� ��� ����� �� ����� �� �� �����������(�)���������� ��������� ����������

��������������������������� �����������������������(��

*��� ������������� ���+�������������������������� ��������� �� ������ � ������������

��� ������������(�,������������ ����+�����������������������������������������������

������ ��������� ���� ��������������� ���� ������� -������ �� .�� ������ !"##/%��

���������� �� ���� ����������� ���� ���� �� ���� ������� ��� �� ���� ��������� +���

����������� �������� ��� ������ ����� ��� ����0����� ���� ����� ��� ����� �������

��� ����������� ��� ���� �������� ������� �� � �������(� 1�� �0�� !"##$%�� ����&��

��������� +��� ��� ������� �� ��������� �� ��� ��������� � � ��������� ������ ���� �� ����

������� ��� �� ���� �� ��� �� �� ��� ������� �� ��� �������������� ��� ���������

� �������� ��� ��+������+������������������� ����������� �� �������� ����������

���������������� ���� ������� �(���

2���� ���� ������������������������������������ ���������������'�� �����������������������������������������������������������������������������������������

��������������� �� �� �������������������(�3������������� ������������������������� ��

��� �������������������������������������������������������������������������������������

��� ���� �� ������� �� ���� ���������������� ��������� ��� ���� ��� ������� �� ���� ��4� ���

����� �������������������������������+������������������������������ ���������������

�������� �� ���� ��� ���� ��� ���� ������� �� ������ �������� ��� ���� ��� 5�������6�� ��

� ��������-7����������&����4������������������������������������������������������� ��

��������������������������������� ������� ������� ����������������������������������

���������������+����������� ����������������� ����������� � ���������������(��

��� ��������+���������������������� �����������6��������������� ��� �� �������������

�����'��

��������� ���6����� �������� ���� ����������� ��������������� ���� ������� ���������� �� ���

��������������� ������ ���� ��� ������������� ��� ��������� ���� ����������� ��� �����

�������� �� ��� ��� ����6�4� ������� ���� ���� ��� ������ +��� ��� ���� �� ��� ������� ��

��������� ������������������ �������(���

��� ��� ����� �� ���6����� ��� ��������� ��� ���� �� ������� �� ���� ����������������

��������� ��� ��� ������ �� ��� ������� �� ��������(�8����� ���� ��� ��1�� �0��!"##$%� ��

3���� !9:::�� "##9%� ���� ���������� ��� ��� ������������� �� ����� ��������������� ����

��� ������������������������� �� ������������������� ������������������ �����������������

���������� ��� ���� ��� ������� ����� +��� �������� ���� ��� � ���� �������� ������ �� �� ���

������������� �������������� ������������������������������;������ �� ����� &�� ��

������/#����������+���������� �������������������� ��� ������������ ����������(���

Page 16: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

�������������

4

��� ������� ���6����� �������� ��� ��������� ������� �� ����������������� ������ ��� ������

������� �� �����4� ����� ��������� ��� �������� ����� ���� �� ��� ��������� �� ��������

����������������������������� ����������������������������������������������

��������!2����0� ���<���������������"#9#%(� �����&�� �������������� ��������� �����������

�������� ���� ��������� ��� +��� ������ ����������� ��������� ���� ������� ���� ��� ����� ��

������ � �����������������6������������ ��������������������������� ��������� ��� ��

��������������+��������� ��� ���� ����������� ��(��

����������������6�������� ��������� ������������� ��������� ��� ���������������� �����

�����������+���������������������������������������������� �������� ������� ���������

����� ����� ������� �� ���&������������� � ���������������������99���9$��0��(��������

�������������������� ����������������������������������������� ��� ������������� ��

������������ ��������������������� ������ ���� ��� ����������� ���������������(���

1������������������6��������������������������������������������������������� ����+���

��� ������� ���������� ���������������������������� �������������6�����+���������������

��������������������������������(�

Page 17: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ����� ����� �����������

5

���������� � ����� ����� ����������������������������������������� !������������������� ��������������� �������������������������� ���������� ���

�� ����� �������������� �������� ������� ������������������������� �������

��� ���� ������� �� �� ���� ��� �� ���� ������� �������� �� � ������� �������� ��

�� �� ������!""#$%�&��� ��� ��������������������� � � ����������������������������

�����'�� ��� ��������������� ����������������������� ������������������ ���

����� ��� �������� ������� ���� �� ���� �%����� ��������(�� �� �!"")$�� ������� ��� ��

� ��� ��������� �� ��� �������� ��� ��� ��� �� ���� ��� ����� �� ������ ��� ����

������������� ��*� ���������� ���������������� ������� ������ ����������'����

�� ��� ������� ������� ������ ����� ��������� ��� ��������� ��� ������ � � �� ������ ���

����������������������������������������������������*������'�� �����������

����� ���������������� ���� ���������������������%�

+���������� � ��������� ��� �������,�������� �������������������� � ������������,�

��� ��� �� �� ����������� �� ���� �� ���� ���������� �� ���������� ������ ��� ����

����� ���������� ���� ����������������������������������������%�&�����������

���������� �� ����� ����������������������� �������-'.�����������������������������

������������������ �/�

�0$� ������������������� ��������������� ��� �������������� ���������������

����������������� ����1�������������������������������������� ������ ����

������ � ����������������������������������������������������������������������

�����������������2+���!""3���%))$%�

���������������������������� ������ ������� �������������������� ���� �������

������ �� ��!""3������ ����������� �� ����� ��������������������������� �� ��������

���� ������������ �� � ���� ������� �������������������� ����� ���������

��� ���� ������ ������������������������������� ��%�

�"��#�!$��% ��� �&��' (�� )��

+����� ��� ��������������������� �����������1�� ��� ��������������� ������ ����������

�� ������� *����� ����� ��� ������ ���� �� �� ��� ���� ����� ���� ��� �� ��� ���

������ ������������������������ ��� �������.���������������������������������2+���

)445���%�6)$%�

+���������� �������������� �������������� ���������������������������� ������

�� ���� ���� ��� �� ��� �� �� ��� ������ �� ��� ����������� �� + ������� - ���������

��� �� ������ �� ���� ����� ��� ��� ������� �������� �� ��� ���� *� ����� ���� ����$�

������������ ������������ �� ������� �������� ������������������� ��� ������ � ��

�7� ����� !""8$%� &�� ��������� � ����� ��� � ������ �� ������� �� ���� �������� 1������

��� �� ���������� ����� ��� ������ � �9��������� �����/�

Page 18: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ����� ����� �����������

6

- :� ��������������������������*� ����� ���� ������

- (����������������������������������*� ����������������

- ;������������ ������ ���������� �����

- <����������� ������=�����>��

- -����������������������

- 2����������������������

- <�������������������� ������

- ������ �������������������� � ���������������� ����

- -�������� ��� ���������� �� ������ ��������������� � ����%�

���� ��� ���� ��� ���������� �� ��� ������ � � ��� ����������� ��� �� �/� 2������� ���

������ ��� �� ��� ����� �� �������� �� ��� �������� ���� ������ �� ��� ���� ��� ���� ��

����� ��� ��� �������� ������/������� � �� �� ���������� �� �� ���� �� �� �� � ����� ���

������������������������������������������&�1������� �� ������������ ��������������� ������ ��� ����� ������������ �� � �����)�

��� ����� �� ��������������/�

?@������ ��� ���� �������� ��� ������ ��� �� ��� ����� �� �������� �������� �� ���

��������� ���������������A�

?@��������������������� ��������� ������������� ����������� ������� �����������

��� ����A�

�*��� ��+��!% �'�% ,' �!���!���

&��������������� ��������� ��������������������������� �����/�

�0$� ������������� �������������� ������������%�B������� ���������� ���

�� ��� ����������� ������� �� ���� ���� ��� �� �� ��� ����� � � � �.���������

�������������������� ��������� ����� ������������������������������� ��

����� �� ��� ���� ��� ��� ���� � �� �� ��� ��������� � ������ C� � ������� ��������

���������������1���������� �������� ���� ����� ��������%��- �������������������

!""8��%�!6$�

& ������@����� ���!""3$��������������� ����������� �������� ������������ ������

�������� � �������� �������/� ���� �� �� �� ���� ������� �� �.�� �� ���� ���� ��� ������ ���

�������9���������������������� ���.������������������������� ������������%�@�� ����

�� 7������� �!""#$� �� ��� ����� �������� ���� ��� �������� � �������� �������� ��� ���

� ���������� ��������� ����� ������������������������� � ��������������� ��

���� ������� ��� ����� �� � ������ �� ��� ���� ��� ��� ���������� ������� ��� ���� ���������

���� �� �� ��� ��'�� ��� �� �� ��� ��'� ,� ���� ��� ����������� ������� ���� ������������

����� � ��%�+�� ��������� ����������������������������������� ���� �����������������

)�&�� �� ������������ �� � ������������������.��� � ��������������������� �� �����/����

���������������������������� �%�

Page 19: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ����� ����� �����������

7

�����'�� �������.����������� ���������������� �������������������������������������

�� ���� �������� ��������%� +� ��� �������� ��� �������� ���� ���� ��� ����� �� ��������

� ���������������/�������������������������� �� �9������������������'� ���������� ��

�������������������������������� �����������2�����!""6���%)$%�+��������� ���� ������ �� �������� �� ������������� ������������� �� ����� ��������

� �������� �������� ����� �� �� ���� ���� ���� �� ��������� ��� �� ���������%�

+������ ��� ��� � ���� ��� ������� ������� �� ���� ��� ������ ���� �� ����������

���� ����������������������� �������������� ��%�2������������� ��� �������� �� ����

���� �� ������.������������������������������������ ��� �%+��� ����������� ��� ������ �� �������� ��� ��������� �� ���� ���������� �� ��� ��������

� ���������������� ������������ ����������'�� ��������������� ���������������

������� ����������������������� ����������������������������������������������������

� ���������� ������� ��� ������������ ���.�� ������������������������� � ��������

������� �� ����� ��� ��-'.���%�7���� �������������������������� ��������� �������

������ ����� ����� ����������� ���������������� � � �������������� ��������������

������� ��������������� ���������� � ����������� ������������%�&����� ��������������������� � ����� ����������� �������������� ������������ ���

������� �� ������ �� ��� - �������� + ������� ��������� ��� ���� ���� ��� ������� �����

�������� ���� ���� ���� ��������� �� ��� ���� ������ � ��������� ����� ��� �/�

������ ������������������������������������ ����������� ��������������D&�������

E� ����!""#$%�

�-� �������'!��!����!� )���� (� � ���!�

���������������������������������� � ���������� ���������� ������� �����������

�1���� �������������������������/�D&����� �!""8$� ��������� ���� ����� ����������� ��� ��������� ��� �������� �� ������ ����

������ �� ��� ������1��� �� ���1��� �������� ��� ���� F������� �� )4#4/� (��� ���1���

��������� ��� ������������� ���� ���1�������������!%�<������������������ ��������������

���������� �1��� ���������������� ������.����������G�������E�� ����!""6���%85$����

�(�� ��)444���%)38$������������������� ������%�

����� �)44#���%� )6)$�� ����� ��� �������� �� ��� �� ��� ���� �� ���� ��� ������� ������ ��

�� ������ �� ��� ��������� �� �� �� ������� ��� �� ���� �� ����� ���������� ��� ��� ����� ���

���� �������� �������������������%

2 �D&����� �������� ��� ������� ���� �� ���� ���1��%� ����� ���� �� ����� ��������� � E� ��� �� G���������� �� ���� �D&������ !""8�� �%� 5$�� ��� �������� �� ��� ��� �������� ���������� ���� ������ �� �� � ���

�������� �� � ������� � ��� ����� �� ���� ������ ���H1�����9� ��� �� ����������� �������� ������� ��

��������9� � ������ ���� ����� ���� �� ����� ����������� ���� �.��������� ���H1������ ���� �������� ���

�������� ���*� ���� ��� ���.�� �� ��� ���� ��� ����� ��������� �� �� �������� �������� �� ����������

�����������������������������%

Page 20: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ����� ����� �����������

8

G���I� �!"")�� �%� J8$�� ������� ���� �� ��� � ������ ����'� ��� ������� '�� ���� �����

�������� �� ��� � ��� �������� ��� ��� ��� ����� ��� '�� ���� ���������� ����� ��� �� � � ����

�� ��1����������������� �������������������������������� %���� �������� (��� ���� ������E� �����G������� !""5$� � ������ ���� ��� ������������

������ ������������ ��� �� ��� �������� �������� ����� ������������ �� ���� �� ��

����������� ��� ��� ������:� ����;����� ����)4!J�������������� ��������������

��������/�

. (+��� ���� )���'���!����% ��'!����� (� � ���!��

����� ��� ������ �� ��� - �������� + ������9� A � ��������� �� '�� ��� �� �.�������� ��������� B � ��� ������ � �������� ��������� ������������ ����� �� ����� ��������$���C ������������ �� ����������%���� ��� ����� �D&����� �!""8�� �%� J$� ��� ������ ���������� �� ������ ��� ��� ������� ���

��������� ��������� ������������������������ �������� �������������������������� ���

��� ��� � ��� �������������� �� ��� ��������� ��� ���������� �� �� �������� ��� ���� ����

������������ �� �������������������� ����� �� ��� ��'��� ��� �� � �� �������� ��� �� ����

����� ������� ��� ��%��

+� ���� ���� ����� �������� ��� ������������ ������ �� ���� � ����� ��� ��� ����� ��

����������� � �� ��� � �� ����1�� �� ���� ����� �� ���������� ��� ��������� ���� ���

�������� ��������������������� �� �������������%�&�������������������� ����� �����

������������������ ���������������������� ��� ������������������������ �� � ���������

���������������/����������%���!� )����!���#'!����� (� � ���!

(��� ��� ��=������>���������������� ������������ ���������������������������������

��� ��������������������� �������������������������������������������������

�������/������������������������� ���������� ��������������������� ��� ��

���������������������������������������������������������������� ������������� ��

��D&������!""8$%�

��

Page 21: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ����� ����� �����������

9

. (+��"� ���� )���'���!���#'!/� (� � ���!��(0��1�% !��2"3345

K���� ���1� ��� ��� � ���� �� ��� � ����� �� ���� �� ��� ����� �� �������� ��� ������

������� ������ ���������������������� �������� ���������� ���������� ����� ����

'�� ���� ������+������� ������������+��$%���!� )�������������,�' ������� (� � ���!

F�������I�� K������� 2I���� ����� L� ������ �!""8$�� �������� �� ��� ����� �� +������� ��

����������+��$������ ��������������.����� ������ ��������� ���� ����� ��� �����

�������� �� � %�<�� ���� �� ���������������������.������� ���� �������� ���� ������� ����

������ � ������������������������������������������.�%����� ������������������+�$�

������ ���������������� �/�

�� ����� ������������ ��� ������� ��������!����������"�������� �!"� ���

� ����������������������������������������������������� ���������#� ������

���� ���$� +�� �������� �� ��������� � ��� ������������ � ���� ���������

������������������� �����������!"���%�)"$%�

@�������� �������� �������������� �� ����������� ����1�� �������������'��� �1��

�������� ��� ��� ������%� � (��� �������� � ��������� ��� �� ����� ���� ��� �� ���

� ������������������� ��%�&����� ������������� �� �������������'������� ������

��� ��������������� ���������������������� ������������%�&������ ���'� �������������

������%�+�������� ������ ���������������� ����������������������� ����������� ������

������ ������ ���� ����%� @��� ���� ��� ���� ��� �������� �� �� �� ������� � ��������

������� �� �� ���� ��� �� ���� ���������� ���� ��� ���� ��� ��������� �� �� ����

������� �������������� ������������ ������ �����������%�

;��� � ���������� ������F�������I��������!""8$�������'�� ����������������� �����

� ������ ���� ���.������ ���� ����������� � �� ��� ���������� ���*� �� ��������

���������� ��������� ����� ��� ���������� �� ��� ���������� �� M� ��� �� ���� �� ��

������%��

Page 22: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ����� ����� �����������

10

. (+��*��!��'�+�� )����� (� � ���!J�

&��� ��� ������������������������ � � ���������������� � ���������� ����1������ ������

=���������������>���=�������������� �>% +���� �������� ��� �������� �� ��� ������������� ��������� �� � ����� ��� ���� ���

��������� �� ������������ ������ �� ���������������.�������������1���� �� �� ��������

� ������ �������%� ������� �������� ����� ������'� �� ���� �������� �� ������� ��

�������� �/������������������������������������������������ ������������������ ������������

� �������F�������I������!""8���%�)5$%+�� �������� �� �� � ��������� ������� ���� � ����� ���� ������H�� �� ���� �� � � ����

����������� ��������� ���� ��� �������� �� ��� �� ���� �������� = � �>� ��� �� ���

��� ���������������������1�������������� � ����� �� ������������������ ������

���� ������������� ��� ���� ��%� +�� ���������� �� �������� �� �� � ���������

���������� ��� ���� �������� �� ��� ��� ��������� ������� �� ���� ��������

� ��������%� � B�� �� �� ��� ������� ���� ��� �������� �� �� �� ������� � ��������

��� �� �� ��� ���1�� ����� ���������� ���������� ��� �������� �%� (��� ���������� ��

������� �������� ����� ���������������� ���������������������������������������������� ��

���� ��� ��������� ��� �� ���$� B�� �� �� ��� ���� ��� �� ��� ����������� �� � ��������

� ����������������������� ��� ����������� �������� ����� � � �$� ��������� �������

����%� ����� ������� ��� ������ ��������� ��� ��� ������ �� �������� ��� ���� ��� �� ���

����������� � �������F�������I�������!""8���%)3$%���� ��� ����� 2I���� ���� �!""8�� �%� 6J$�� � ������ ���� ��� �������� �� ����'� ��� ��

����������� �� �������� �� ���� ���������� ���������� ��� ����� ��������� ���� ��� ��������

� ������� �������� ���� �� � �� �� ���� �������� ��� �� �������� ��������� � �� ���

J N�� � �� ��F�������I��K�������2I���� �����L� �������!""8���%)!$

Page 23: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ����� ����� �����������

11

�������� ������������ � �� �������� ��� ��� ����� �������� �� ���� ����%� ��� �� ��1� ���

�������� �� �� �������� �� ��� ��������� ��� ���.��� �� ��� ������� ���� �� ���� �������� ����

�� �������������������� �������%��������� � �������'�� � ������������� ������

�������� ��������������������������� ��� �����������������.������������� ��

��������'������������������������������������������������������������ �������%�+��

�������� �� �������������� ������� ��� ���� ���������� ��� ������� ������������� ��

������ ���� � � ��� ��� ������%� +�� =�������� �>� �� ��� =������� � >� ��� �������� ��

�������� ����� ��%� +��� �1��� �� ����� ���9� ��� ��������� � ��1�� ������� ���

�������� �� �������� �� �� ��� � ������� � �������� �� ��� �������� �� �� ��������

�� ��������$%�&��� ��� ��:���!""8���%�!J)$������������� ����������� ����������������� �����

�������� ����� ���������� ���������� �������1��������� ��������������������

���� ��� ������%� <� �1������ ���� �������� ��� ����� �� �.���� ��� �� ��� ����� ��������

������� ��� ����� ������%� � (�� ������������� ��1� ����� �� ��� ������������%� +� ���

����������� ��� ����������������������������� ������������� ����� ��������

���������� ���������������� ���������� �/����������� �� ���� ���������������1���� �����

������������������������������������%7���� ����@�����)466���%�)J5$�������������������� ������ �������� �������������

,��� �������� ��� �.��������� ���� ���� ��� �1������� �������� ������� �� ���������

��������� ���� �� �� ���� �� ������� ���� ��� ��� �� �� �������� ����� �� ������ ��

�������� ,� ��� �� ��� ������ �� ���������� �� �������� �� �� '��� ��� �� ���� ����� ���

��������������� �� ������������ ����������������� �����������������% ��+% ���

(��� �������� ��� ����� ��� �� �� ������� �� ��� ������� �� �������� ���� ���� � ��� ���

�������1������������������� ���� ������������� �������9� ����������������������

������������������������ ��� �����N������������� �����%�

&�1�� ��� ��������� ��� � ����� ��� �������� �� ���� ���� ����� �� �������9� ���

������� �� ��� �� �������� �� ���� ���� ���������� �� ���� ���������� �� ������� �����

�.��������9� �� ���� ����������� ���������� �� ���� ���� ���������� ��� ���.�� �� ���

������� ���� ��������������������������� ����� �������%�

&��������������������������������������������� ���� �������� �� ��������� ��������

��������� �� � �� '��� ��� �� �������� ����� ���� �� �������/� ��� �������� ��������� ��

��� �� �9�����������'� ���������� ��������������������������������%�

���������������� ���������������������������������������������������� �������'��

�� ���� �������� �������� ��� ������ ����� � ���������� ���� ��� �� �� ���� ��� ����� ��

������ ��������� ��*� ���������� ���������������� ������������� ���������� ��%��

+����������������������������������������������������������������������������

������������ � �������������������������� � ��� �����%�

Page 24: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

12

������������ ��������� ��������� � � ���������� ����� ��������� ��������

���� ������� ���� � �� �������� ���� ������� ��� ����� �� ��� ���� ��� ����� ��� ����������� ����������� ��� �� � �� ���� ���� �� ����� �� ����� �� ������������� ���� ���� ��� ������������ ��� �� ���� ���� �� ��� ����� �� � ����� �� ��� ��� �������������� ��������� ������������ ���������� �������������� ���� ����������� ��������� ����������� ��������� ���� � ��������������� ���� ���!��"���#� � �������� ��������������� �������� ����$���%��������������� �������� �������������� ������ ����������� ��������� �������������� ��������&������'(��)*��������+��������� �����,�� ��'+---*��� ������ +(�� .���� '+-//*� �� �� � )� � ������� ��� � ��� ���� �� � � ������� ���0����' ��������1������+-//*������2� � �������� ������������ ����������������������� ������������������� ���������%��� ����������� ������� $���� 34� ��� �� 5������� ���� ��� ������ ������ �� 364� � ������ �� � �� ���� ����������� �� ��� �6 ������ ��� +--2�� �� ����� ���� � ���� �� -�������� � ������������ ��#��������� ��������� ������������������������ ��������� ��#�� �� +-/(� �� +--("� � ������� ��� ����� (��2� ��� �� +--(� �� (��(�� 7� ������� �� ������ ���� �� ������ ��� ������ ���� �������� ���� ���� ��� ���� �� ����������� ���� �� � ���%�� �� �� ������ �� 364� � �� ���� �6 ������ 8� ����6�� �� �������� �� ��� ���� �� ������ ����������� �� ������ ��� ���� ����� ���� ��� ���� ������������������� ������

������ ����� �!��"#$�""

��� ��� ����� �� ���� ��� �������� �� ���� ���� ������� ��� ��� ���������� �� ��������� ����� � � �������� � ����������� ��� �� �� ��� ������� ������%�� ��� ����� � 9� ������� � ����� � ���!��� ������� �� � ������ ����� ���� ����� �������� ��������� � � �� ������ �� �����"� ��#� � � �����!��� � � ��������������������������������� ������%�� ��$�� ���� �����:�������:� ;� �< ������� '+--2*����� ����������������������������� ���������� ��9

- =������� '+--���� +--��*� � ���� ��� ������ ����������� �� )+-� ���� ��� �� ��� ���������� ��� �����������������������8���� �������� � ������ �����%��������������������� � �� ������������ ���������#�� ������ ������� ������

- >����� �3 �� ���'+-/?��+-/-*"�&��������&��� � �@�������'+-/)��+-/A� �+-/?*"�&������� '+-//*"� @������� '+--2*"� ����������� ������� ���� ��� ���� ��������� ������� � ������� ���������� ����������� ���

Page 25: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

13

- ,� �� �3 ��#�� '+-/+*�� ����!����������� � � ���� ��� � ������!� ������ ����� �����!��� ���������������

- @������ � ����'+-//*��4������������ ��� ����������� ����������� ��������6�� ����� ���������@�������'+--�*� � ��������� ��������� ��������

- &������� � ����'+--+��+--(��+--2*�� ��������� ����������� ������������� ������������� �������������������� ����������� �������������������� �������� ���"����������6���� ������������� ��� ������� ������������������������������������� �� � �� �������� � ������������������

�- B�!%�!� '+-/)*�� ����!�� ��� ��%������ �� ��� ������ ���� � ������ ���� �� ����

��� ���� �� ��� ������ �� �4�� � �� ��� ������ ��� �� ����� ������� �� ����� � ���� ���� ����� ������� ���� ���� ������� ���������� ��� � ���� �� ��� ���� � � �����������������%��� ������������������������������� �����

�- 3�� ���'+--(*����������������6�������%������ ���� �������������� ������ ����

��� ����������� ���� �������� ����� � ��� � ��������� �����!��������������������� ���������� ���� � ���� �������� ������������� �������������� �������

���������� ��� ��#��� ����������������� ��������������������������9��- 7�������� ������ ����������������������� ������ � �� ������- 7� ������ ��� �� ���� � ��������� �� ���� �� ����� �� ���������� C�

�� ��� ����������� ����������� ����%������ �������- 8�� � ���� ������������������������������ ��������� ��� ������������

� �� ���� ������������� ������%�� ���- ����� � �� ������� � �� ������� ����� ���� ��� ���� �����6�� ��� � ���

������� ������%�� ������ ����������� ����4������������������� ����- ��� � �� ���� � ����!��� �� ���� ��� ���� �� �������� ������� �

��������������������������������������������������� �����,�� ������� ����������� �� ���� 6� �� �� ����� ������ ����� �� ������� �� ����%������ �� ���� ���������� �������� ���� � ������� ���� ��� ��� ������ ����#�� ����������� ��4��� �������� �������������������D�� ����� �������������&��������� '+-/2*�� .���� '+-?A*�� 1������ '+-//*� � :������� '+-/+*� �� ��������!���� ������������364� �����������������������364� ������ ���������������������������� ����������� ��� ������ ��������� �������� �������� ������ ��� 5E�3 � '5��������� ����� ��� �������� ���� �� ��� �����!�� �� ���� � ���%�� ��*������ :� ;�� :�������� �%������ ���� ���� ' ������ ��� :������� :� ;� � < �������+--2*���F�����������������������������%�� ������������� ������������������������� ��������� ���������������� ���� �������� ������

Page 26: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

14

���� ����� �!��""$%%

7��� ���� �� ���� ���� �� ��6��� �������� ���� ��������� �� ��#��� �� �� �� �� ������� ����� 7� � ������� � � ������ ��� ������������� ��� �#��� ���������� �����������������������������G�� ���.���� �H����&������������>������:� ;� �$��������'(��2*��������� �������� ������� ����������� �������������������������9�

�- 1����� '(���*�� ���� �� ��� ��� ����� �� ����� �� ���� ����� ��������� ��

����� �������������� � ����������������������� ������������������������� �� �� �� ��� ����� �� ������� ���� �������� ����� ���� ��������� ��� ��� ������� ���� ����� '�� ���� �� ��� ����������� ��� �����*�� G����6������� ��������� ��4���� ������ �������������� ������ ��������� ����������� ���� ���� ����������� ����� � ������ �� ���������� �� ������ � ����� ����� ��� ������������ �� ���� ������� &�������� ����� � ��� ��� ����� ������ ��������� ������������������������ ����������� ����� ��������� ������

- 3���#�!�'(��+*�������������������������� ���������������� ���������������� ��� ���� � ���� �� ���� ������ ����!��� �������� ���� # �� ���� ���� ��� ������������ ��� ��� ����� ���� ����� �� ��������� ��� ����� # �� ��� � ����� �� ������� ���� �������� ���� ����"� ����� ���� ��� �� ����� �� ���� ���� ���� ������� ���� ����� � �� ��� ����� ���� �� ���� ��� ����� G����6�������� ��� ��� �������� ���� # �� �� ��� ��� ��������� �������� �������� � ��� ���� ���� �� ��� ������� ������ ���� ����� �� � �� ��� ��� ������� ��� ��������&�������� � ����� ��� �� ��� � �� � �� ���� ���� ��� ��������������� ������ �� ���� ������ ������� ��� ��� ��������� ���� ���� ������ ���������� ����������

�- ��,��� �&����������'+--A*��������������������������������������������

���� � �������� �������������������� ��������������������� ������!�������� ���� �� ������� ��� ��� ������� �� ������ �� ��������� �� ��� �4���������������� �����"������������� � ������� ������������� �������� ��� ���� ��������������!��������� ������������������������������������������������ ������������� ������������� �����������������!��������������������� ��� ������������ ��� � � ��� ��������� �� ��� ��� � �� � � �� � ��� ������ �� ������ � �� ��� �� ���� ��� ����� ������� ���� � ���� ��� ���� ����������� ��� ������������ ������������'������� ������������������������ ��������������������������������������� ������������*�������!�������������!��� �� ���� ���� ����� �������� ���� ���� ��� ��#��� ��� ��� D����� �������� ���������������������� ��������������� �������

�- 8������ '(��+*�� ����� ��� ��� ����� �� ���� ��� �� ����� ����� ����!��

���������������������� ����������������� �4������������������������ ��� ���������������4������������� ������� ����������6��4�����������

Page 27: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

15

������������������ ����� ������������� ���� �����������������������������4��� � ����������� ������������

�- @������� '+--��� +--?*�� ���� ��� ��� ���� ��� ���� �� ���������� �� � ��

��������������� ����� ����������������� ������������ ����������������� ������� ���"� ���� ��� �@������� '+--2*�� ��������� �� ��� ������������������������������������������ ������������ �4����4�����������I#��� ��� ���� ���������6�� ����&��������@�������'+--)��(��+*������������������� ��������� ���������� ���� ����� ����������� ��� ����� ����

�� ��� ����� ���� ������ '������*� �� ������ ���4�������ba � �� �������� ������

����������������� ���������� ��� ����������������������

- E �� '+---� �� � �*�� � �� � ��� ��� ����� ���� ������ ����������� �� ����������� ������������������� ����� �4��������������������6��������������� ����� ��������������������� ������������� ���� ��������' �� ��������#� ��@������*��

�- ����� ����� ������������������� ��� &������� �� ���� ����� �� ��� ������ ',�����

+--2"�7��� +--2� � @�� �!�� +--2*� ����� ��� ��� �� ������� �� ��� �6 ���� �� ��� ����� ��� ��������� �� ��!���� ���� ���� ��� ���� ���� � �������������� ������ � ��� ��� �������� �� ���� �� ��� ��� ����� ����� ���� ������� ��������� ��������������� ��4��������������������������������������4��'�� ���������� #����� �����������*���������������������� ������������������������������������ � �������� ���������� �������%���������������� ������ � �� �������� �%�� ���������� ��� �� ���� ����� ������� ���������������

�&�������� ������ �������������� ������������ �������� ������ ������������� ��������6 �����J�������� ���� �������������������� �������������� ������J� ���������������� ����8����6�� ������ � ������� �����������������������!�������� � �������� �����'������ ��%������ ����������>�����������(��2*��E�� �� �����%����� ������������������������ ������������� �������� ����9��- K��6�!� '+--A��� ��*������������ ����������������� ����������� ��� ���� ���

���� ������������� ����������������������������� ��� �������������������� ���������������� �����������

�- H �� '+--�*�� ������ ��� ���� ��� ��� ��� ����� ��� ������!��� ��� ���� ����� C�

��� ���� ��� � �������� ������������ ��������� ��� ����� �������� ����� ��%����� ������� ���������� ����� ������ ������������������� ����%�� ��������������

�8����������������������������������� ������� ����������������� � ����� ���������� � ����� ���������� ����� �������������� ��������������������

Page 28: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

16

������ ������� ����������� ������������������� ������������������� �������� ���� �����%������� ������������%������ ������������ ����������3 ������������������������������������������� ������������������������%��������� ���!�������������� ����#������� ����������������% �� ������� ��� �������������������� ���������������4����������� �� �������������� ����������� �������� ���������������L����&���������������������������� ������� ������������������������ ��4����� ����� ������� ������ �� ���� ����������� ����� �������������������������������������������������!����� ����� ��������� ��4�����������J��! ������������������� ��!� �����������������������������������������������������������������E���%���� ��#� ��� �� ��� �� � ���� � �������� ���� �������� ���� �� ���� �� ���� ���� �� ��� ����� ���� ������� ���� � ��� ����������� ��� � ������ ��� � � �#�� ��� ������ �������������� � �������� ������

�� ��������� ��&��'() '�

����� ���&*+! �!�� �+���&

�,�� �������� ������&������� '+-//*���� �����9��������������������������������

�������� ��� �������� ��� ���� ���������� ��� ���� ����� ��� �� �� ��� ���� �� ��������%�� ������������!�� ���������!���������������� ������������ ����� ���������������� �����+-?)��E���!�������������������� � ��+++����������� � ��������� ����������� ���++� �+������ ���� �������� �������������������� �� � ��������� �� ���� �� ��������� ���� �� � �����9� ��� ������� �� �� �������%������ �� ������ �� �4�� �%�� �� �� �����6�� �� � ���� �� ���� �� ������ �� �4������������� ���%�� ��������� ����������� ����� � �������� �����������!������364� "� ��� ���������������%������ ��������������� �������� ������������� ������� �� ������!��� �� ���� ��� ���"� ��� �� ��� �� �� �� ��� ����� ���� �� ��� ������������������ ���� ���#���/������ ���� ��� ������������� ����� ���������� ���������� ������������������ ������ ����� ���������� � ���� ���%��������� ���������� �� ���� ��� ����� �� ��%������ �� ��������� ��� ������������������ ��M�� ��%������ ����������� � ������������ ����� �������� ������������ ���������� ��� ������%�����������������������������������������2(����� ��� �� ��� ������� ���� ����� �� ��� ����� ��� ��� �� ������ ��� �� ��#���������� ����������������������� ����������� � � �������������������� ��������� ������������ �� ������ ��������� � � �� �� ����� �� ���� � � � ����������������������� ����� ���������������������� �����

���� ���&*+! �!�,- ��./ ��'���

>����� � 3 �� ��� '+-/-*� ����������� ���� �������� ���� ��������9� �� ��������� ���

���������� �������� ��� ���������� �� ���� ��������� ��� ����������� �� (-2� ����� ���4�� ����������� ����� ������� ����� � ������������ ���������� ��� ���������� ��� � � �� ���������� E���!���� ���� �������� � ��%������ �� ������ �� �4���

Page 29: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

17

��������� ����������364� ������������� ��������������� ������������ ���������� ���������� �� ������� ����� � �������� ������ �,�� ����������������!�������������!�������������� ������������������������ ������������ � ���������� ����������� ����� ��������� ��� ��6� �������� ��������� �� ��#��� �������� � ����������������������������

����� ��� ��������� �������� ���������������� � ��� �� �� ������� ���� �������� ����� �� ������ #�������� ���������� ���������������������� �������� ������������ ���9� � ������������� �������� ����������� ����'����������6��� ���� � ���� �� ����*�� � � �� ������� � � ��!��� � � � �������$� �� ����������������� ���������� ���������������� ��������������9�

- ��������������������������������������������������� ���� �

- ���������������������������������������������������!���������������"�

'>����� �3 �� ���� ���������%�����(��(�����2+*�

��0� ���&*+! �!�1��!�� ���&

@������� '+--2*�� ����!�� ���� �������� ���� ��� �����9� �� ������������ ����

������������������������ ��������������������������������#�"��� ����������������������������� ��� ��2?������������������������ �������������� � �������� ������ �� ���� �� �� �� �� ����9� ��� ���� � ���� �� ��� ��������� 4��������� �������� �������������� ������������������ ������� ����� ������������������������������ � ������� � ��������� ����������������7� � �� ������������������ �������������� �4����� ������������� ����������������������!�"�����������%������������ ����������������������� ���������� �N�������6�� ������������������ ��� ������� � ,�� ����� ����� ���� �� ������ �� ��������� ��� ��������� ������ '4������� �� ������� �� ���� ��� ���*�� � ����� ��� ����������������� �� ��� ������� ��%��� �� ��� �� ������� �������� �� ��� ����������� ���� ��%��� ��� ������� �� � �������� ��� �������� �� ���� �%����������� ��������������������� ���������������� �������������������� ���� �����!��� �� ��� �������� ����� M��� �� ���� ������ ���� �%�� ������������ ���� ����� ������� ��� ����� �� ������� D�� ��� ����� ���� ����� ���� �������� �� ���� ��� ����������� �� ���4����� �� ���� �� �������� ����� ������%��� ����������� ����� ���%�� � ������ �������6��������� �������������� � � ��������� � ��� �������� &��������� �� ������� ������� �� ���� �� ��� �������������� �� �� ������� ���������� ��� .���� '+-?A� � +-/)� ����� ���@�������� +--2*� � � ��%� ������� �� � ��� ������ ���� ��� ����� O������P� �� ������� �������������������� �� ���������������������������

��2� ���&*+! �!�3��'4

�:� ;� '(��+*�� ��������� ���� �������� ���� ��� ������ �� ������� ��� ����� ��� ���

���$������������������������,�� �������� ��������������������������������� ��� ������� ����� �� ������� �� �� � ��� �� ��� ��� � ���� �� ��!��� �� ���"���� ���� �� � ����%� �� � ������!����� �� � ����%� �� ����������"� ���%�� ��

Page 30: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

18

�����!����������� ��������� ��������������!��� ����������� ������� #������� ������ ��� ������ ���� �� ��� ������ ���� �� ��� � ���%�� �� � �� ���� ������ ����� ���%�� �� �����������������������������������4���� ��������!���� �� +2� ���������� �� ����� ���� ������ �� ������ �� ���� �� ��� ��������� �� ()������ ��"����%�� ����!������������ ������������������� ����� ����� � ����������������!� ���������������������������� ��� ������ ����������� ����� �������������� �� �������% �� ����������������� ��������!����������������������������2Q� �)Q������������� ��������� ��������������� ������#�� ���� ������������ ������������� ����������� ��������!���J�������� �������� �������J���� � ��� ������ � ������� ��� �����������!���� ��� � ���9� � ����� � ���� � ������������������ ��� ��������7���������� ���������� ���� ��!��� �������� ����� �������� ����������������� ���� ������� �� ����������� ��������� ��������� ��� ��������� �� ���� ��� ���� �������� ������� ��� ���� ����� ������� ���� ���� ��������� ������ 4��������� �� ��� ������ 8��� ��� � � ������� ��� ����������������� ��� ������������� ����� ������������ ������������!������������ �� ����� �� ������� �� �� �� �� �� ������� ���� �� ��� � ���� �� ��!��� ����������#� � ������ ����� ���������� ������������������� ����������&����������������������� ��������!������ ������������ ����� ��������������� ���� � ���� �� ���� � ���%�� ��� �� ��� � ���� ���� ������ ��� ������� �� � � ������ �� �� ����� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ����� � ����� ��� ��� �� ������� ���������� ������� ������������� ���� ���������� ��������� ��������������!����� ��������!�������� �������� ������� %�������� �������� ������������������� ��������!��������� ��������� �����

�0� ��*�'�!��*�����5��!����! 6�

$��� ������� ��� ��� ����� � ����� �� &������ '(��)*� �� �������� �� ��� �� ������ ������%�� ������������������������������� �������� ����������������!��9����������� � ���������������������!������������������4�� �������A���������������3 ������5�����&������������ ��������������� ������������������������������������������� ������� ���� � ����������������� �������� ����������� ���� ������������� ������ ��������� ���� ������&������ '(��)*�� ������ �������� ������ ��������� �� �� �� �������� ���� ������������������� �������� ���������������������� ������ ��������� ������������ ���� ���� ��#��9� �� +-A�� �� +-/��� �� +-/�� �� +--�� � �� +--�� �� (��)"� � ��� ��� ��#��� ������� �������������� ������ ���9��E�� �� ��� ����� �� +-A�� �� +-/�� � �� ���� ���� ����� �������� �� ������� ������ ���������+�� �+/����������� ��������������������M����������������� ����������� ��!�������.�������� ���� � ���4���� ���������������� ���� ����� �� �6�� ��� O��� ���P�� � ������� ��� ���� �� ���� ���� ������

Page 31: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

19

���� ������� ����� ��� ������!���� ������� ����� �� �� � ��� � � �� ������� ��������� ������������������ �������������� ���9��

• %��������������&�����������������������������������������������������

����������

• %�������������&����������������������

• %����������������������������

• %����������������������������������������

• %��������������������������������

• %���������������������������������

• %�����������������������������������������������������

������������+-/����+--��������������������������� �������� ��� �9���

+� 8�����!�������������(� 8�����!�������� ���� ����� ������2� $����� �������������������������� ���� C�������� �� ���� �����

���� ������� �� ��� 4�������� �� ��� ������ ��������� �� ���� ��� ���� � ��� �� ���� ��

�� D���� ��� ��� ������ �� ���� �������� �������� ���� �� ��� � ���� ���O��� ���P���

���� �������� ���� �� ��� ������� ������� �������%�� �� ���� ����� ��������� ���%���������������������������� �������������9��

• 8��� �� ���# ���� �� B� � :������� ��� ������ �� ��� �����!�� �� ���������� �� �������������4���� ����������� ����6 ������ ���?�R��������� �������� �������&��� �����

• 1���� ������ ����������� �����0����E� ������������������������M�������+-?-����(����

���+--����(��)������������������� ��������������%�����%���� #�� ���'����������������������A� �+�����������*������� � ���� ������������ �� ������������� ������ ��������� ����� ���� � 9���� ���� ��������� ������ ���� ���� �������� �� ������7�����������������������������@���� ���' ���������&�������(��)*����������� ������������������������������� ���������������������������� ����� ������� ��� ��� ���� �� ��� ����� ���� ��� ������� ��� �� ����6�� �� ������������� ���������� �� ���������� ���� �������� ��� ���� ���� � ����� �����������������6��������������������������������������!���� � ����������������� ���#����� ��������!���� ������� ����� ���� �� ���� � ����� ������������ �� ����&�����������������������������$����������D�����S�3�������' ���������&�������(��)*�� � ����������%��� �������� ����������%�����

Page 32: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

20

�����������&���������� ��������������������� ������������� �������������9��

+� ,����� ���� � ����������������� �� ���������� ����� ����(� ,����� ���� � � �����2� ,����� ���� � ���!������ ,����� ���� � ��������)� ,����� �������������������A� ,����� ������������������?� ,����� ���� � �������� ������/� ,����� ���� � ������������� ������������-� ,����� ���� � ��������+�� ,����� ���� � ����� ���������� ����������� �����������++�� ,����� ���� � ��� ������+(�� ,����� ��������������� ��������+2�� ,�� � ������!� ������������ �����������#����@��������+��� ,�� � ������!� ���������J��������������

�2� ���+��&� �!���&*�7� '�&

8� ������ �������������������������� ������:��������.���� �,�� ����������� ������� �� ����!��� ������� ����� � � �� �� ��� ���#�� ������� �� ��� ��������!���� ��� �� ������������� ����������,�� ������ ��� ���� ��������������������% �� ����� ������� ������������.�����

�2��� ���&*+! �!�3��+&&��+

$�����������&������'(��)*�� ���� �������:�������������������������������� ������ ������������ � ����3 ���%�� �� ������������������������#����� ������ O�������#�� 4��������P�� ����� ������ �� ���� ����� ���� ���������� ��������� � ����3 ���%�� ���:���������� ����������������������� ������ ��!���� �� ����� �� �� +-/A�� � � �� � � ���� 3 ����� '(��)*�� ��� G�#�� ������� �������% �� ��"����������#���������������������� ������� ���#�� ��� ��������� �����!��� � ���!��� ���� ��� ������� ���% �� �� ��� ������ �� ��� ����� ��������6� � �� ��� ������ � �� ��������� ��� �� �� ��� ����� � ���%�� � � ������ #�� ������ ��� ���� ?�R��� :������� �� ������� ���� ��� � ��� � ��� �� ����� ���4��������������������#������� ����� ���������������������7����#��� �������� ��������������� ���� �����%������� ����� ������ �'������ ��*�������� ��� ������ �� �� ������ ���� ���������� ����������� ����� �������� �������� � �� ����������� ���%�� ������ ��������� �� �����A)�� ����'��+)�������*���������������������������������� ����������� ����� ����3 � ����� ������������������ ���������������������������� ������ � �������!� ������������ ������������ ������� ���%�� ����� ����9������ ������ ����� �� �����,���� �������������� ������������������������ ���������

Page 33: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

21

��������������������������%����+)� ����� ���%����?)�������������������� ������������ ������':��������:������� �< ��������(���*���M�� �� ��� ������� ��������� ������� ������ ��� ����� ��� ����� J� ���� ���������� ������N����#��� ������������������� ������!������������ ���%�� ������������������� ��������� ���� ����� �����%����������������� ��� �����,������ ������:������������������� �� ������ ���������������������������!���� �#����������������������� �� ������ ����� �������������������� ����� �� ������� �� �� ����� �������� � �����6�� �� �� �� ���� ��� ������� ������� ����� ����� ���� ������ �6 �� ��� �� ��� � ����� � ����� � ����������� �%������#������� ����O����������������� ���P� � ���������� �������� ���������#����� �������� ����� �����':��������:������� �< ��������(��-*�

�2�� ���&*+! �!�8 ����

�� � ���� �� @������� '+--2*�� �%����� '(��(*� � &������ '(��)*�� ��� �� �������������������6������ ���������������%�������������������������� �������������� ������������� ���������������������� �����������������������������������������������������.������������+-?A�����!����������� � ������� ������������������� ��������������� ����������������� ����������� ����� �������4����������%�����������������%�����'(��(*����������������������������������� ������� ����������������� ��� ���# ������ ��� ���� ������� ������������� �������� � ���������� ������ ��� 4���� ��� �� ��� � ��� ?� ������� ���� �������� ��� �6�� ��� O��� ���P�������� ��� ��� ���� ����� ��� �� ��� ��!��� ���� ����� �� ���� ���� ������� ��������!�������� ��� ������� ���� � ��� � � �� ���� ��� ���� '&�������(��)*���.����'+-//*���������� ����� ����� ������ � �� ����������6����������� �� ��� ����� ��� �� ����� �� ����� ������ �� ��� ����� �� ����� ������� �� � �� ����� � ���������������� �������� ������������ �������� �� �������� ���� �� ����� �� ��� � ���� �� ��� ���9� � ������ ����� ������� ��!��� �����������

��

� �+��2� �� ) '�!�&�&�' �!�&���)��'' 7�&��9�8 ����:�"##;�

������ �������� ���� ��� ��� ���� ���� � ������ ����� ��� ����� ���� ������ ������ ��������� ��������!����� ��������8������������������ �� ����������������� ������������ � ������������������ ����� ����������� ������ 6����� ��������� �� ��������������� ���� ���6�� ���� ������ ��� ����� '.�����+-/������+2�*��8��� ��� �� �� ���������� ������������������ ���

Page 34: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

22

�����!�� ��� ����� ��� ������ � �� ����� � ����� �� ��� �� ������ ���� ���������� �� < ����� �������� �� +-?A� ' ����� ��� .����� +-/��� ��� +22*�� � � �� ��� ������������������ ������ � ������� � �������������������!��� ����������������#�� ��� ����� ������� ��# ���������������� ���������� �������� ����� ����������� ������������ ������������������!��� ����� ������������ ������� ���� ���� ��� ���� ������ �������� .���� ����� �������� ��������� ��� � ��� ���� � �� ����� ��� ����� ��� �� ������ �� ��� '����� J���*� �� � ������ ����# ��� �� ���� ��� �� ����� � ��� ��� � ����� �� �� ������ ���9��

� �+��<�����' � ��*�= !���>!���9� �����' ������

��������������� ������������������� ���� � �� ���� � ����������������� ��� '����� �*�� �� ���� !��� �� � �� ���� �� � ��"� �� ��� �������� ����� ��� ��������������������������������� ��� ����� ����������� ����� ���������� ����� ������� ��� ������������ � ��� � ���� �� �������� ����������� ��� ���� ����� ���� �� ���� �� ���� ������ ���� O�����P� ���� ���� �� ����� ������ ������ ���������� ����������� ����������������������������������������� �������������� ������������������ � �� ������������ �������������'.����� +-//�� ��+A2*�� ��� ��� ������ ����� �� ��� ��� ��� ���������� ��������9�� ������ ����� ��!��� � ������ �������� �4���� �� ��� �� ��� ���� ����������%�������� ��� ��#��� ����O ��������P����������'���� ��������� ����� ��� ���*� ��������� �������'����������!��� ��������*�'@��������+--2�� ��(+*�� D���� ��� �� �� ����� ��� �� �� ��� ����� �� ��� ���� � ��� ����� ��� ������ ��� ������ �� �� � ��� ������ �� � ��� �������� ��� ��!��� ����

� G� �����3 ��������'(��)����+-*

Page 35: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

23

���� ����� ���� ���� � �������������� �������@�������' ��������3 ���������(��)����(/*��������6������� ������������ ����� � �O�������������� ��������������������!����� � ������������� ��������� ����������������� ��������� ����� � ������ �������� ��� � �������P�� ��� �� ����� ����� �� � ������� ���������� ������ ��� �������� ������������� ����������� ������������������#����������� ����� ���� ��� ��� �� ��� ��� ���� � ��� ����� �� ������ ��� �� ������ ����� ����� ��� ���������������� ��������� ����"� ��� ����� �� �� �� ��������� ���� ������������� ������ � � �� ���������������������������� ���� ��������������� ��� �� ��� ������ �� ������� &��������� ���� � ��� � ���� �� ���� ����� �� ���� ���%�� �� ��� 4���� ��������� ��� ���� ������ '��� ����� ��� ������� ���� � ����*� ������ ������ ��� ����� �� ��� � ���� �� ���� �����!�������%������������������ ������� ��

�2�0� ���&*+! �!���� ��

���� ������ ������ ��� ������ �� ,�� �� '+---*� ��� ���� ��� ���� � ���� ��� � ������� � �� .����� 7�� ������� ����%� �� �������� �� ��� �������� �� ������ ��%������������4���� ��������!���� ������ ��������� ������ ����������� ���+(�

�������� ����������������� ������ ����43� '������%����������6�����8�4�8*��

����� ����� �� ����� �������� ���� ��� � ����� ���� �� ���� �� �� ��� ��������� ���� ���� � ����� ����� ��� ������ �� �����"� ��� 4������ ������������� )� �� ���� +(� �������� ���9� ������������ ���� '� ����� �����������

����������������� ����������,� ������� ����� ��� ���������������� ���� ���� ,�� �� '(��+*� �����!�� ���������������������������������������������� �� �� ���������������$���������

��� ����������������� ���������!���������������� ��������#����ba������������

��� ��%����� O����� ��P� � ������� ���#�� � ����� �����!�� �� ������� �� ����� ��������7� 7����� � � ���� ���� ����� �� ��� �����!�� �� � ����� �� ��� ���������� �� ������� ���� ��� ���� � � ������ � � � ����� ��� ����� ���� ���������� �������6�� �� � � �������� ������ ��������������%�������������������������� �� ������� ����� ���� ��������� � �� �������� ���� ������ � ���� ����������6��������������������������� ����������������� ����� ���������������� ��������������������������� ������������� ���� ������ ��������������� ������������ ����� �� ����� ���� �������.���� '+-?A�� +-/�� ��������,�� ��(��)*�������������4���� ����� �� ���� ����� ������������������ � ����9� ��� ������������ ��� ����� ��� �������� ���� ����������� ����

���������� �����������'������%����������6�����8�4�:*���

Page 36: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

����������� ������� ����������� �����������������

24

&������������������������������� ������9���

- 8������������ �������� ��������N����������� ������������ ���� � ������������������������������������ ��������

- �������4���� �����������&�����������������&���������������������������

�����������������������������(���&+� ����� � �� ����������������� ������� ���������������������� ������������������������������� ������#� ������������� ����� �������� ���"������������� ���� �������!����������������������� � �������� ������� ���� �� �� ���� �� ���� �� ��� � ���� �� ��� ����� �������������������J����� ����'����� ���*���������� �������� ������� �� �����7��� ����� ��� ���� ���� �� ��� �������� ���� ���� ���� ��� ���9� ���� ������� ���������� ���� ��������� ��� � ����� ��� ������� �� �� � �� ����� ��� ����� ���������� �� ����� � ������!� ������ ��������� #�� ����8������������������� ������� ������� �9��- ,��������� ����������� ����������� �����- ,��� ������������������ ����� ������!��� ��������������- ��� � �� ���� � ����!��� �� ���� ��� ���� �� ������ ��������� �

�� ���������������!��������� � ������������������������ ����- ,������ � ��������������������������� ��������������� ��4���

- ,�� ����� ����������'������*������������4��������ba��� ����

�1������������� �����9��- $� � ����������������������������������������- ���� ����������������� �������� ���������J�����- D���� ��������������� � ������!� ����������������O� �����������P��- @���� ��������� ������� �������������������� �� ��� ��� �����������������

��� ��- $��� ��� � ���� �� ��!��� �� ������ �� ���� �� �� �� ����� ����� ��� ����

�������������� � ������� ����� ���%�� �����������

Page 37: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

25

����������� �������� �����

��� ������ ��������� ������������������� �� �������������������������� �� ������������� ���� ������� ������������ ��� ��� ����� ���� �� ��������� ����� ������ �� ���� �� ��������� � ������������������������� ������������ ���������������������� ���������������������� �������� ���������������� �������������� �������������� ��������������������������� ���! ������"##$%��&��������� ����'���(��)���������&���������*� �� ������������ ����+������)',*%�� ����-���������������������������� ���� �������� ����� ���������� �� �� ����� �� ��� ���� ������� � -�� ����������� � .������ ���� �� �� ����� ��������� ���������� ��� �������� ������� ������� �������� /� ����� � � ���� �� ��� ��� �� (�0���� ������ �� ��������� ��������������� ����������������/����������� ���0����������������� �� ����� �� ������� �� � ��� ��������������� �������� ����������������� ���������� ���������)',* ��"##"�����"1%��

����� �������� ��!�"������#$����$�����

�'�������������� ��*�� ����2331%���������� ����������������"##$���������������� �������� ����������� -�� ��� ������ � ��� ����� ������ ��� �������������������������-�������� ������������������������� ����������������&������-�������� �� ������������������������ ����������� ��������/���� �0���� ���������������-��������������������������������������������� ����(��������������������������� ������� ����� ������������0�(����������� ������������ ���� ��� �4� ����� ������� ��������������� ���5������� ������������6�����������������5�6��2331/����������������������������������� �� ����

���%� ��&��&�����&���' ���� (�����

'����� ��������������0���������� �������������������������������������"##$��7��������������������������� ������� �� �������� ������ ������������ ����� ������ ��� ����� ������ �� ��� ��8��0�� �� �� �����0�(�� ������������ �� � ���� ��� ����� �� (�� �� ������ �� *�.���� �� ���� ���� � �� ������ ���������� �������� �9���

: ���� �0������� ���-���� ����� ������������/��

: �� ������ ��������� � �� ��� ����� � ���� ���� �� ������ � ������ �� ���������

: �� �������������� ������

Page 38: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

26

4������������ ���������������� ����������������� �� ���(�9������������������ ��������� ����������� ���� �� ����� ������� �� ����� �� ������� ��� ��� �� ��!�� ��� ���

���������� "����&���� ���� ������������� ����� ����� �� ��� ���� ��� ����� ������ �� �� � ������ ����������� �� ������������������ ������������������� ����������8������������ ���������������� �������������� ����������������������������� ������������������ � ���� �� ������ � ���� �����������-��������� ����������������������������4����� �������-��������������������������������� ���� � -��� ������� ���� ����%� �� �������� �������� �������� ��� � ������ �� ��������-����������� ����������������� ����������� ������ ���������� ��������������������(�� ������������-����� ������� ��������������������������� �� ����� ; ��� ����� �� ���� �� ��� <,����� � ���� 6� �������� 7��� ����=� �����������-���� ��������-�9�4������ ����� ��������� ����� �� ������� �������6� ��������7��� �������������������������������� ���������( ����������� ��� ��� ������� �� ����������� ���������������� ������ ���� ���-���� �������������������������������������������������������! �������233>%�������������� �������(����������������� ����2331����9��

: 6� ��� ��������� �� ������� �� ���������9� &������0��� �� �� � ���� ����������������� ��������������� ����9�������?����������������������� ��������������������������

: @������ ������� �� ���9� @������� � ���� ������� �� ��������� � ������� ��������������� ��������

: *��(�� � ��� �����������9� 5������ ��������� -�� �-����� �� ���������� ���������0������� ��� ����� ������ �� ��� �� ��� ������ � � ���� #��$�� �!�� ���� ������ ��������������%� ������!��� ������������������������������������

�������&��������������������������������������'��4������ ����������������-�� ������������������ �(����������������?������������������������������������.����� ����������������?��������������������

���%��� ��$��$����&��)��� (�����

������� ����������������������������� ������������������ ������� �� ������ ��� ������ ��������� -���� ��������� �� ��� � ��� � "3$� ��� ������� �������� �� A� ���-��� �� $� (��� �� ���� -�� �� �������� ���� �� ��� ����� '������ ������������0�������� ������������9���������� ���������������6�&��2331%��4���� ��������������� ������ ����������-������� �������� ����������������� ���������������(���� ���9�

Page 39: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

27

"*"� �"'�� +���� � �, %, ,

��-��

6����������������������?����� $� 3� 3� �

6����������������������� ����� A� B� 1� �. /0 6������������������������������� 1� 1� "� �

1"'

,���������������� "� "� "� 2

@���������� ������ B� C� C� �3 0 *���� A� $� A� �

' � 4������������������������� #� A� 2� �43 50

5���� ���������������������� A� #� >� %%� � 3 . / �/ � 50 20 %60 �//0

��7!�����$��$����&��)��� (������

6���������������������������������������� ���� �������������������������(����(��� ������������������� ������������������� ������� �� ����������� �����6� � ��-������������������������ ����23������$>� ��������������� �� ���������������������������������������������������������-����������������������������������������C��$A�������� ����C��$3/�� ��������������������������.������ ��������������� ������-���-����� ���������� ���������������� �������������� ������������4�.��'%���4���������� ��� �0���� ��������������� �������������������� ���� �������-����(��� ��������� ����������-�������������������������������� ��� ��������������� ���� ������������-���� ������@���8����-�� ����� �������������� ������ ������� � ����(��������������������� 9���

"� �������������������� ����� ������������ ���������������� ��2� ���������������������� �$� �������������������0����B� ��������������������������������A�A� ������������������������1� �������������������������C� ���������������������� �(�>� ������������������?�������������#� �������������������� ��������� ������ ���"3� ���������������������""� ��� ��������� ����� �������� � ���� ��� ��� � ������� �� �� ���

�������%��"2� ��������������������� �(��"$� ���������������������(��� ������"B� �������� ����0������������������������ ������D������"A� �������� ����0������������;���( ���7�����

A @�� �������� �� ������� ��� ������� � ��������������� ���� �� �� ��� ������� � ��0��� �� � �������������������� ��������@���8���233A%�

Page 40: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

28

+���� � % 2 . 4 5 3 6 �/ �� �% � �2 �.�, E� E� E� E� E� E� E� E� E� E� E� � � � �%, � � E� E� E� E� � E� � � E� � � � �, � � E� E� � E� E� � � � � � � � �� "� "� $� $� 2� $� 2� 2� "� "� 2� � � � �

��7!�%���)$������������������!�$���#$��������#$�$�!&��)��� �����������

�&�� ���� � ������ �� ��� ������ �� ��������� -�� ��� � ���� ��� � ���� �������� ��������� ��� �� ���� ��� �����9� ��0���� ������������ �� ������������ 4���� � ������������� �� ���������� ����������� �������-������������?� ������8���������������� ����� ������� �����������-����������������������������������� . ������������ ����������������������������������-��������������� ��� ������� ���� -��� ����� � ���������� ����� �� �� ������� -��� ���� ��� ������� (�������� �� �� �������� �� ���� ��� �� ��� �������� ������� �������� �������� ��������� ���������

�%� ��7�������8��

'��������� ��� �8����� ���� 5���� �2332%�� ���� ������� � . �� ��� ���� ������ ����������������8��0�������-�������������������� ������������������������������������������������������������� �������� ���� ���������������������� ����-��������� ����������������������������� ��������������� ����������������������������

�F%���������� . ��� ������������������ ����������� ���������� ����/�������� ������������(�������������� ������� ������ ��������������������� ������� � ������� ���� �� �� ����� ��� ���� . �������������������������������������������������������������-������������������������������ ��� ����� ������������������������� ��������������������������� ���� ���������������������������$%��

�6� ��������� $� ���������� � ������� � . �� �� ���0���� ���� ��� 6�� ����� ����������&?�������������'�������������233>�;�233#/���������( ������������������������������������������������������������������������������� ��������� �����+����������� ����� ���0������������0����������������� �����������������������.���������� ����0��� �� ��� ��� �� � ������� � . �� �� ���0���� ���� ��� 6�� ����� ����������&?�������������'�������������233>�;�233#��������������0���������� ������� ������������ ������������������������������������-�������� ����������������������������������-����� ��� ����������������������������6� � ���� ��� � ������� ���� '�� �8��� 5����� �� *������ �23"3%� ��� �8����� -�� ��������� ��������������������������� �� ��������������������� . �������� ����� ������������������� ����������-����� ������ ����������������0��������

Page 41: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

29

����� -�� ���� ������� �� ������ �������� �� -�� ���� ���������� ��� ������������� ��� �������������������� �� �������4���� �������������������(��������������������������������������. ����������������������������

�%��� ���� ��)����

�!�� ���� ��� ������������ ��� �������������� �������� ��(�������� (���)����(����)�����

����*��+�,����� ���-�,�� ������� ��������*�$�,��.//0�'� ����*������1'������� ����

��������������������%�#������������������������ ����*����'� �2���%� �3��4�5����

���������������� ������������ � ���� �� �� ������ ���������� �9�&���� ����9 &�$�� �� �$� ����� ����$����9 � �����9�����$��9$:� �������� �!9��;#$9&��&����#$9�&������9&����$��<�9&��7�7�!����-$:� ��������$�!�����

���� ������' ����$��-��� &���$���4-��������� �������������-�������������������������������������������� ����������� �� ��� ������ ��������� ��� �� ��������� ����� ������� �������� �� ���

��� ���������� ����*����� ���������� ��� ������������������ � ��&���������������

��� ������� �������'� 4��� ����� ��� ������� � ������ ������������ ��� ������� ����������������������������

��

1�)���4�' �����#$����)�$��� ��� ������#&�����

Page 42: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

30

���� ����%�"!��� &���7�;��4��� �� �� ����� �� ���� ��� ������� �� �� ��� � ��������������� ��� ��� ����������������� ������������ �����������9� ����� ������ ��,�� �� ������ � ������� ���������'� &��� �� ��� ����������� �� �������0��� ���� ���� � ���8�� �� ������� ���� ������ ���������� 4�������� ���� ��� ������� � ������� � �������������������

1�)���5�"!��� &���7�;��

������ �������������<����������0��=���. ������ �������-�������������������������� ����� ����� ��� ����� ������� ��������� � ���������� �� ������������������������������� ������������4�.��7%����!�� ������������������������������������ ����������6���7���3���-���.//0�'���������1'�

������ ������������������������%�(�������'� �2���%����������� '�

������������������������� � ���������9�&�����������&������9��;#$9 &��&�����$�!����9 �����$��9 &����$��<�9 &��7�7�!����9� �����9 &�$�� �� �$� ����� ����$����9 ����� �!�� - $:� ��������$�!���

1 �� ���� �������������� ���������,������6� ��������7��� ��������� �������G������������

Page 43: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

31

���� ������=���������!������� ����������������������������0��������� ������ ������� . ���� ����/��-��� � �� ���� �� ��� ������������ ��� ������� �� �� -��.�� �������������� �� ��������� � ��� ������� �� ������ �� ��� ������� ���������� ���� ������������ �����������������������9� ������������ ����������,�� �� ���������������������'������ ����������� ������������ ���������������-������ ��������

1�)���3��� &!����#$���$7��������� ����%��$�!�;���$���� ���#$���� �� ����� ���������� ���� �������� � � ��� � ��� �� � ����� �(� � ����������� ������ ������-����������� �(����� ���0���������������-������ ���������������� ������ ������� ��� ����������� �������� �������0������ ��� �����6���������� �� ���� ��� ������������������������.����������������������� ������� ��������������0�������� �����

�1�)���6��$��$��������!��"+�

Page 44: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

32

�����4�.������������������� ������ ��������������������!�� ������������������������������������ ����������6���$���3��,��.//0�'���������

������������*������1'� �2���%����8�� �2���'�

������������ ������������ � ���� �����9� &���� ������ �&������9��;#$9&��&�����$�!����9�����$��9&����$��<�9&��7�7�!����9� �����9&�$�����$����������$����9����� �!���-$:� ��������$�!��

���� �����������! ��6����� ������������� �������� ����������� �����?������ ��� ��������?������ ���� ������������ ������� ���9� ����������� &������ ����������� ��������������������� ������������&�������������

1�)����/���$�������!��$:� ��������� �!������� ����%������� 7������� �������� ����� �� ��� �������� -�� .�� � � �� ��� �� ���� � ���� ������� �� ����������� ��� �� (� x � �� ��� ��� ����� �� � ��� ������� �� �� �� (� y ��� �� ���� � ������������������������������������������9���������������0��������� /������������������������� �� �������������������

�1�)��������&����$����#$)�(������!���!���#$�$���!��!�������$�&����$�-����� 7���

Page 45: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

33

&���������������������0���� ������� ���������������������������������������4�.��@���������������� ������ �������������������

�%�%� ��)�$��)����

�!�� ���� ��� ������������ ��� ���� ���������� �������� �� (�������� (����)����� ����*��

+�,����� ���-�,�� ������ ���*�$�,��.//0�'� ����*������ .'������� ���� ��� ��������

���������%�#������������������������ ����*����'� �2���%� �3��4�5����

������������ ������������ � ���� �����9�&��&�����$�!����9 &���� >����9��;�$��9�����$��9�&������-&��7�7�!�����

���� ���������7�7�!������ &?�����6����� �������������������������� ����������������� 9��

HH@�������������� �HH�,� ����������������

����� (����� ���������� ������� ��� ����������� � ����� ��� ���� � ���� ���� ����� ��������������� . �����I� ������(����������������-���������"###%���������������� �� ������������������������������� ������������4�.��4%����

��

1�)����%���&��7�7�!������������$��!���?$����������!���

Page 46: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

34

���� ����%�"<���������$��� �$��!������ ���������������������������-�������������������� ����������������� ��� �������������� ��� ��� ������� �� ���-�(��� �� � ���� ���������� ���� ���������������������������� �� ������� �������� ����������������������,����

��

1�)������������#$���$� �&���!��1�

�!�� ������������������������������������ ����������6���7���3���-���.//0�'���������.'�

������ ������������������������%�(�������'� �2���%����������� '�

������������ ������������ � ���� �����9� &��&�����$�!����9 ��;#$9�&������9$:� �������� �!9&��������9�����$��-&��7�7�!�����

���� ������"!�@�-���������������&��&�����$�!�����4�� ��������� ��� ���������������������� �� �� ���� ��� �� �������� ���� ��������� ��� �� ������ � (��� ��� ���� � ���� ������������� ��� �� ����� �������� ��� ����������������� ���������������������������������������� ��������������������������&��������(����������������9� �� ��������,������������ ������!�����&������������������

1�)����2���&����$����#$���$���7!���&��������$-��$�@��

Page 47: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

35

���� ����%�A�#$��B�-� (���$���$��C�5������������������������������� ������� ������������0����������� ���� ������������ ������ ��������� ���� ������������ �� �������� ������������ ���� ��,�� �� �������������������'�

��

1�)����.�����&����$����#$��7�!��-)�(������D�!���!��?�����!)�$���������

�!�� ������������������������������������ ����������6���$���3��,��.//0�'���������

������������*������.'� �2���%����8�� �2���'�

������������������������������ � ���������9�&��&�����$�!����9��;#$9�&������9 $:� ��� ����� �!9 &���� ����9 �����$�� -&��7�7�!������

���� ������"!�)����!�� #$������ ��������� ������0����������� �� ������ ����������� (����� ������ ���0?����� � ���� -�� �� ������ ������� ����� ��� -�� ����� �� �������� ���������� ����������,��������������� �� �������?����������������� ������!�/��������?� ������������������� ���

Page 48: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

36

��

1�)����4��$&��7!�� ���� �;�!���

����� ����%�' (��<�� &!����!�(!��!���&��7�7�!����������� ���� ������������� ���� ������������������������������(���������� �������������������������������0���������������������������������������������������������������������������������������������� ������������� ���������������������

1�)����5���&��7�7�!������������$��!���?$ �����

Page 49: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

37

�%�� ������)������!�� ���� ��� ������������ ��� �������������� �������� ��(�������� (���)����(����)�����

����*�� +�,����� ���-�,�� ������ �� �������� �.//0�'� ����*������ 9'� ������ ���� ���

�����������������%�#������������������������ ����*����'� �2���%� �3��4�5��������������� ������������ � ���� �����9� ��;#$9 &����$��<�9&��7�7�!����9 $:� ��� ����� �!9 &���� ����9 �����$�� -&��&�����$�!������

���� ������"<���������&����$��;���#$��������� ������������� �� ������������ �������������������� ������������������������������������������������������� ����������������������0������������������������� �����9���,�������������������������'��

1�)����3����!�������$���������

���� ����%�E����������$��$�����$� ����!���(������������� ���� ����� �����������-�������� �� ��� �� �����������-���������� � ��� � ��� ���� -�� �� ������ �� ��� �� �� ���� ����� ������� ����������������� ����������������������������� �������������J�������������� ������ ��� ������ �� -�� ���� ������������ ������� � ��� �� ����� ���� ������������������+����������������8������������������� ���������� ���������������� �� ������ ��� ������!��� ����� ������ �������� �� ���� &������ ���������'� K ������ �����������������������������������4�.��G��

Page 50: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

38

��

��

1�)����6���B����������$��$�����$� ����!�

��!�� ������������������������������������ ����������3���-���� ���,���.//0�'���������

9'������� ������������������������%�(�������'� �2���%����������� '�

����������� ������������ � ���� �����9�?$����9 &����$��<�9 $:� �������� �!9&��7�7�!����9&��������9�����$��-&��&�����$�!���������

Page 51: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

39

���� �������$(!������?$���������� ������ ���� � ���0���� ����� ���� ��� �� ����� ��� ���� � ���� ������������ ����������������� � ���� �� ��� ���� ���� ��� �� ��������������������0��� ��������������� �� ��������� � ������ �� ����� ������ � ���� � ��� ���������� � >�������� � ���� ������������ ������������ ���9� ��0��� ����� ������ �?����� ����������� � �����

1�)���%/���������?���������!)�$��&�7!����$������� ����%��� �!��������� ���;#$����� 7������� ����������� �� ������������ ������������� �������������������������������������������� �������������������������������������,�����������������������

Page 52: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

40

1�)���%���$&�����$7����!����

�!�� ������������������������������������ ����������6���$���3��,��.//0�'���������

������������*������9'� �2���%����8�� �2���'�

������������� ������������ � ���� �����9� ��;#$9 &����$��<�9$:� �������� �!9&��7�7�!����-&��&�����$�!������

���� ���������� �;�!���4���� �������� ����������-������� ���������������������������� ����������0����������������� ���� ����-����������������(������������� ������������ ������ ����� ������ �������� �� ������� ���������� 6����������� �����������9� �� ��������,�� �������������������'��

Page 53: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

41

��

1�)���%%�������������� ��F�������

����� ����%������ &�G��$!���$������������ � �� �� ����� �� �-���� �������� ��� ���� � � �������� � ��� ������� ���� ���� �� ����� �� �� ����� � � �������� � ��� ������� � �������� 6����������������������9� ���������������������������-����'��

1�)���%�"!����� &�G��!��$;����$���!���$����������

Page 54: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

���������� ���������������

42

�����4�.��L���������������� ����������� ����������������������� �$����������������� �� �������������������� �� ����������9���������������������� ����� ���� �� ��������� �� ��� ������ �� ���� �� ��������� � ��������� �������������������������� ������������������������������������������������������������������������� ����������*�.���� ���������-���� ���� ?� ������������� ������������ ������ ������������������������������������������8�������-���������� ����������������"##$����������������������������������������������������������-�������� ���� ��� ��� �� � �� �������� �� ���� � ���� ��� � 4� ����� � �� �������� ���������� �� ����������� ��������������������� ����������� ������������������5�6� ����� ���� ������%� �� ����� ������ �� ����� �� �� ����� ���� ��� ����� � �������������� ���(�9�6� ��������������������� �����������/�@������������������/� �� *��(�� � ��� �����������/� ���������� ��� ����� ������ � ��������� ������ �� �� ���� �� �������� �� ������ � ���� ����������� � ��������������������������������������4���������������������� �� ������������������� ������������� ��9� ����.���������������� ��������������� . ��������-����������� ����6�� ���������������&?����������������������������� ���0��������� ����������� . ���������������� �� ��� ������ ��������/� � �� ��� ��� �������� � ��� ����� � ����� ����(����� ������� �������� �������������������������������������������������������������� ���������������������� . ������������������.��� ����������������� ����2331������� ��0���������������������������9��: ��� ��� ���� ����������� ���� ��������� �����*������ �� ���� ��� �� ������

�� ���� ��������� �������� ����������������� ��� �������9������������� ������������� ���� ���� �� ���� �� ����� ������ ��� ��� ?� ���� ������� �� �������������������(�������������������������������0�������� �0���������������� ����

�: �������������������������������� ������-��������������������� ���� ��

����������������������-�����-������������������������ �����

: ����������� �������������������� ��� ���������*����������� ����� ��� ����������� �� ������ -�� ����� �� ��� ��� ������ �� ����������� ��������������������

�@������ ���������������������������� ���������� �������������9���� �0�������� ��� ������ ����� ������ ���� ��������� �� ��� ��������� �� �� � (�������� ����� ���������������� ����������������� . �%���

Page 55: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

43

CAPÍTULO 4: ANÁLISIS COGNITIVO   

4.1. Las producciones de los estudiantes  En este  capítulo  se  reportan evidencias de  los  resultados encontrados acerca de  los significados de las fracciones presentes en la escuela y su tratamiento en el discurso matemático escolar y las dificultades que presentan los estudiantes. Para ello se aplicó un  cuestionario  a  estudiantes de una  escuela  secundaria perteneciente  al  Estado de México, este instrumento incluyó seis situaciones problema, las cuales fueron tomadas tanto  de  resultados  de  investigación  como  de  libros  de  texto,  con  la  intención  de analizar la manera en la que algunos de estos significados son abordados y trabajados en  ellos.  El  cuestionario  fue  aplicado  a  36  estudiantes  de  cada  grado  del  nivel secundario, haciendo un total de 108 estudiantes correspondiente al turno vespertino. Los bosquejos que a continuación se presentan, se encuentran ordenadas en distintos niveles, que van del menor al mayor grado de profundidad, por lo que el último nivel – en  algunos  casos  –  representará  las  soluciones  “completas”  propuestas  por  los estudiantes,  el  propósito  de  efectuar  la  presentación  a  través  de  niveles  es  con  la intención de evidenciar la evolución del significado generada en los estudiantes.  

4.1.1. Problema 1: Reparto de tres barras de dulce  

Este problema fue retomado y adaptado del estudio que Lamon (1999) desarrolló con niños de nivel elemental. Aunque pareciera que el problema será sencillo y directo en su solución,  las respuestas de los estudiantes no evidencian una solución así, diversas son  las  formas  en  que  ellos  dan  cuenta  de  la  respuesta  a  la  que  los  conducen  sus percepciones e intuiciones.   

Seis niños comparten estas barras de dulce. ¿Cuánto le toca a cada uno?  

  

      

        

  

 

    

    

 

 Figura 24. El reparto de tres barras de dulces. 

 En la solución de este problema se alude a  una combinación de dos tipos de unidades, esto es,  de acuerdo con Lamon (1999, p. 47):  1. Una unidad que incluye más de un ítem continuo y  2. Una unidad que incluye uno o más objetos continuos que han sido preparticionados.  

Page 56: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

44

Asimismo, establece que:  

(…) diferentes tipos de unidades pueden proporcionar desafíos a diferentes a los  niños.  En  ocasiones,  uno  de  los  factores  que  afectan  un  pensamiento  del niño acerca de un problema está relacionado a si él puede o no ver  todas  las piezas bajo consideración.  

De igual manera, Lamon (1999), establece que:  

(…) la noción de partición es un mecanismo fundamental para la construcción de los conceptos y operaciones con números racionales (p. 77).  

De  la misma  forma    destaca  la  importancia  que  adquiere  la  noción  de  equivalencia cuyas raíces de su comprensión va más allá de las fracciones:    

(…) son cultivadas cuando se realizan diferentes particiones que resultan en las mismas cantidades relativas (p. 77). 

 La  respuesta  esperada  variará  dependiendo  de  la  forma  en  que  los  estudiantes reconceptualicen la unidad en piezas de diferente tamaño; que en este caso pueden ser tamaños que corresponden a:    a. Un rectángulo pequeño   b. Rectángulos pequeños    c. Una barra compuesta de seis rectángulos pequeños   d. Tres barras  Así que la respuesta, puede darse, respectivamente como:    3  (rectángulos pequeños) 

 2

3(de dos rectángulos pequeños) 

 2

1 barra 

 6

1(de 3 barras)  

 o bien, en expresiones equivalentes a alguna de las descritas.  Estas respuestas tienen relación con la noción unitizar propuesta por Lamon (1999, p. 42):  

(…) la asignación cognitiva de una unidad de medida para una cantidad dada; (…), es el tamaño del bite mental en términos de los cuales se piensa acerca de la unidad, (…) es un proceso que está en la mente de la persona.  

Page 57: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

45

De este modo, Lamon advierte que este proceso  es un proceso diferente al de decidir la unidad, agregando que:   

(…)  no  solamente  es  importante  para  los  estudiantes  el  ser  capaces  de identificar  la  unidad  en  una  situación  particular;  sino  que,  con  objeto  de desarrollar sofisticación en el razonamiento, es importante reconceptualizar la unidad en términos de piezas de diferentes tamaños; es decir, es de utilidad ser capaces de unitizar  y reunitizar en el curso de la solución del problema (p.48). 

 Siendo: 

3I (de 1)

18

118  

 

3U (de 1) 

2

16 (de  )1

6

118 (de

3

19)1 (de )1  

    

     

 

      

      

      

      

      

      

 

   

 

  

  

U (1 de 3) 

    

        

  

(3 de 1)  

Ó 

                   

                          

 

2

16 (de )1  

           

   

nn

1

Page 58: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

46

                                      

3

19 (de )1  

   

                                            

                                             

  

6

118 (de )1  

Figuras 25 – 30.  Distintas representaciones de la unidad.   La importancia matemática de las nociones incluidas en el problema: 

 1 de U  

 1 de 3  

 1 de 6  

 1 de 9  

 1 de 18  

 Figura 31. La interpretación de la unidad en la recta numérica. 

  Se “observa” que la unidad U , por las pre – particiones manifiestas se puede dividir 

en tantas partes enteras como se desee obteniendo fracciones unitarias como 3

1, 

6

1, 

9

ó 8

1. 

Y que  la unidad U queda entonces  “arreglada” como  3   (de 3

1); ó  6 ( de 

6

1); ó  9 (de 

9

1); o 18 (de 

18

1). 

 Por  lo  que  estos  hechos  se  colocan desde un punto de  vista  de  los  racionales  como estructura  en  cuestiones  que  apuntan  hacia  la  propiedad  de  densidad  y  hacia  la 

propiedad descrita como:  11

mm ; es decir, a la noción de inversos multiplicativos. 

 Propiedades que se enuncian formalmente de la siguiente manera: 

Page 59: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

47

1º Propiedad de densidad:  Entre dos racionales, existe un tercero; es decir, si  a  y b Q , entonces existe  Qr tal que  bra   

2º Si  Qm , con  0m ; entonces existe  Qm 1  tal que  11 mm , con m

m11  

3º  

mm

1

vecesm

mmm...

1...

11  

 De las respuestas de los estudiantes se puede decir que:  Más  del  90  %  de  los  estudiantes  de  cada  grado  respondió  apropiadamente  el problema,  en  cuyas  estrategias  observamos  su  percepción  del  problema  y  en  su respuesta reflejan la idea generada al respecto.  Aquí lo interesante es precisamente el cómo lo asumen y entienden, ya que a pesar de considerarse un problema “fácil”, cuya solución parece inmediata en el fondo no lo es, requiere de concepciones sólidas como lo son las nociones de partición unitización y equivalencia.  A  continuación  se  presentan  evidencias  de    las  soluciones  planteadas  por  7 estudiantes:  En un primer nivel se encuentran las realizaciones de Brenda y Enriqueta, de tercer y primer grado:  

  

Figura 32. El procedimiento de Brenda.  

  

Figura 33. El planteamiento de Enriqueta.  

Ambas consideraron a la unidad como compuesta de 18 rectángulos pequeños; por lo que su respuesta proviene de la realización del cociente  618  

Page 60: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

48

En  un  segundo  nivel,  se  encuentran  las  producciones  de  dos  estudiantes  de  primer grado y uno de segundo.  

  

Figura 34. La solución de Daniela.  

  

Figura 35. El procedimiento de Sandra.  

  

Figura 36. La realización de Daniel.  

Ellos  visualizan  la  unidad  como  compuesta  de  3  barras  por  lo  que  su  respuesta proviene de la realización del cociente  63  (una unidad formada por 3 de 1)  En un tercer nivel, se encuentran las producciones de Erick, de primer grado y Jaime de segundo:  

  

Figura 37. El planteamiento de Erick.  Erick visualiza a la unidad como una de 3 (una unidad formada por 1 de 3) por lo que su respuesta proviene del cociente   61   

Page 61: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

49

  

Figura 38. La solución de Jaime.  

En el  caso de    Jaime se observa una visualización similar a  la de Erick. Sin embargo 

parece  que  existe  una  confusión  en  cuanto  a  que: 18

3

6

1

6

1

6

1 ;  es  decir,  este 

estudiante parece  tener  la  falsa  idea de  la suma de  fracciones: db

ca

d

c

b

a

. Hecho 

que  parece  haberse  inducido  por  la  equivalencia  de  fracciones: 18

3

6

1   y  por  la 

condicional “si se suman” planteada por el estudiante.  

  

Figura 39. Una representación de equivalencia de fracciones.   

Algunas consideraciones   

El planteamiento generó la aparición de un par de nociones centrales en la respuesta, la unitización y la partición. Tanto una como otra juegan un papel fundamental en la comprensión del problema. Las producciones de los estudiantes permitieron “mirar” la  forma  en  que  percibían  a  la  unidad  a  partir  de  lo  que  veían,  ya  sea  una  unidad compuesta o no, su respuesta delata la idea que evoca en sus pensamientos.  A  pesar  de  aparentar  ser  un  “planteamiento  sencillo  y  directo”  las  respuestas generadas  por  los  estudiantes  dan  cuenta  de  una  variedad  de  interpretaciones  al respecto  y  de  cómo  establecen  un  vínculo  entre  una  imagen  y  un  tipo  de simbolización. 

 4.1.2. Problema 2: El reparto de dos pizzas 

 Este problema fue tomado de un texto denominado Libro para el maestro,  un material propuesto  por  la  Secretaría  de  Educación  Pública,  en  el  que  se  plantean aproximadamente 472 problemas, situaciones o ejercicios como apoyo al profesor. El  problema  se  ubica  en  el  tema  correspondiente  a  las  fracciones,  tema  en  el  que  se especifica lo siguiente: 

Page 62: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

50

El  estudio  de  las  fracciones  es  importante  por  sí mismo  y  porque  permite  el desarrollo  de  nociones  útiles  para  el  conocimiento  de  temas más  avanzados, como  son  el  razonamiento  proporcional  y  el  estudio  de  las  expresiones racionales en el álgebra (SEP, 2002, p. 81) 

 Con  el  objeto de  conocer  los  significados  involucrados  en  el  problema,  así  como  las operaciones  involucradas,  fue  como  se  decidió  considerarlo  como  parte  del cuestionario.   Tres  amigos  entran  a  un  restaurante  y  piden  dos  pizzas  que  reparten  entre  ellos. ¿Cuánto le toca a cada uno? Poco después llega otro amigo. ¿Cuánto debe convidarle cada uno para que los cuatro tengan la misma cantidad?  

 Figura 40. El reparto de 2 pizzas. 

  Una primera mirada a la solución del problema  Solución a la pregunta 1:  La  primera  corresponde  al  reparto  de  las  2  pizzas  (a  partes  iguales)  entre  los  3 amigos.  Lo cual se obtiene con sólo dividir la unidad de 2 (1 de 2) entre 3; es decir, al 

calcular 3

2, lo cual indicará que cada uno recibirá 

3

2 de pizza. 

  

                

 

                  

 Figuras 41 – 42.  Repartos de la unidad. 

 

3

22

3

1

3

1

3

2 T        Solución a la pregunta 1 

 Solución a la segunda pregunta:  Ahora bien, cuando llega el  cuarto amigo, claramente el reparto equitativo señala que 

ahora cada amigo recibirá 4

1del total; es decir  2

4

1, lo que equivale a 

2

1pizza. 

Page 63: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

51

Así que cada uno de los 3 personajes iniciales tendrá que ceder al 4º  una cantidad  x , de manera tal que   

2

1

4

22

4

1

4

1

4

2 T       Solución a la pregunta 2 

 

De donde:      2

1

3

2 x    

6

1x  

 

6

3

6

4 x                

6

1x  

 

Verificando que: 2

1

6

3

6

13

 

 

                            ó  2

1

6

3

6

1

6

1

6

1  

El total de las piezas cedidas al cuarto amigo es igual a 2

1pizza 

 Una segunda mirada al problema  a) Una solución independiente (a las 2 preguntas)    

  

Reparto a 3 amigos 

3

1 (de 2) 

6

2 (de 2) 

3

2 (de 1) 

 

Figura 43.  Representación de 3

2 de cada pizza. 

  

 

 

  

Reparto a 4 amigos 

4

1 (de 2) 

2

1 (de 1) 

 

Figura 44.  Representación de 4

1  de cada pizza 

Page 64: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

52

b) Una solución dependiente: (la segunda respuesta en función de la primera)   

 

2

1

3

2 x  

 

  6

1x (de 1) 

4

1

6

4de  

 

Figura 45. Representación de 6

1 de pizza 

 

Así;  cada  uno  de  los  3  amigos  iniciales;  deberán  dar 4

1  de  lo  que  recibieron  en  el 

primer reparto, al cuarto amigo que llega al final.   Esto debido a que 

6

4

3

2 de una 

pizza,   se convierte en la nueva unidad a considerar para dar respuesta a la segunda pregunta.   Ahora bien, estos procedimientos podrían representarse en una recta numérica:  

 0                           1                2    

 0                 1                          2   

        3

 0                  1                           2   

                  2

       

Page 65: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

53

 0                   1                           2   

                  2

                   3

                                 6

1(medida) 

  

0                   1                            2   

                  2

                   3

  

0                    1                   2   

 0                     

Figuras  46 – 51. Representaciones de la solución del problema en la recta numérica.   Ha  de  observarse  que  el  problema  y  su  solución  incluyen  (al  menos)  3  tipos  de unidades distintas:  1 (de 2) 2 (de 1) 

3

2de  

 Asimismo incluyen la noción de equivalencia:  

26

21

3

22

3

1  

2

11

2

12

4

1        

6

1

6

4

4

1

 

 y las operaciones de adición y diferencia de fracciones: 

Page 66: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

54

13

1

3

1

3

1         ó    1

4

1

4

1

4

1

4

1  

 

16

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

      1

2

1

2

1  

   

16

2

6

2

6

2  

ó   

2

1

6

1

3

2  

 

2

1

6

3

6

1

6

4  

 Hechos que apuntan a propiedades de Q  como estructura algebraica (es decir, como un  conjunto  no  vacío  en  el  que  se  tienen  definidas  operaciones  y  éstas  poseen propiedades).  Propiedades como:  

ab

cc

b

a  

11

mm  

   

mb

ma

b

a  ,  entre otros. 

 Al  mirar  con  detenimiento  el  proceso  de  solución  queda  de  manifiesto  que  el problema planteado incluye los siguientes elementos: entre los significados asociados a  la  noción  de  fracción  involucrados  en  el  problema:  (parte  todo, operador, medida, 

cociente, partición, la noción unidad: 2 de 1; 1 de 2; 1 de 3

2  (entre otras); junto con la 

equivalencia de fracciones, la adición, la diferencia y el producto de fracciones).  A  continuación  se  presentan  evidencias  de  las  soluciones  de  9  estudiantes.  En  un primer nivel se encuentran las realizaciones de Vanessa y Diana de primer grado:     

Page 67: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

55

  

Figura 52. La solución propuesta por Vanessa.  Vanessa  responde las dos preguntas representando el Todo (las 2 pizzas) usando sólo un círculo. Hace uso de la noción parte – todo.  Utiliza la escritura de fracciones de una 

manera aparentemente “ordinal” (3

1 para el primer tercio; 

3

2 para el segundo tercio, 

etc.). No percibe la conexión entre las 2 preguntas.  

  

Figura 53. La respuesta de Diana.  Diana  sólo  hace  uso  del  significado  parte  –  todo.  Tampoco  logra  conectar  las preguntas.  En un segundo nivel se encuentran las respuestas propuestas por Enriqueta, Diana y Daniela, quienes también se encontraban en primer grado:  

  

Figura 54. El procedimiento de Enriqueta.  

Enriqueta  conecta las dos preguntas. Sus respuestas son “aproximadas” y se deben a que la pregunta (que parece dominante) es la segunda.  Anticipa una partición de las 2 pizzas en un total de 16 rebanadas, de manera que al repartirlas entre los 4 amigos, cada uno reciba un total de 4 rebanadas. Hecho que obtiene cuando cada uno de los 3 

Page 68: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

56

amigos  iniciales  le  convida  una  de  sus  5  rebanadas  que  le  tocaron  en  el  primer reparto.  Obteniendo así 3 rebanadas, las cuales sumadas con aquella sobrante de ese primer  reparto,  le  proporcionaría  la  cantidad  requerida.  Enriqueta  sólo  realiza operaciones con enteros.  

  

Figura 55. El planteamiento de Diana.  

  

Figura 56.  El planteamiento de Daniela.  Tanto Diana como Daniela resuelven el problema privilegiando  la segunda pregunta también y apoyándose  fuertemente en representaciones parte –  todo.   Mientras que 

Diana  acierta  a  la  segunda  respuesta 6

1,  Daniela  evidencia  el  cociente  66.032  

pero  no  lo  advierte  como  respuesta  de  la  primera  pregunta.    Pareciera  no  conectar este resultado con el resto del ejercicio.  En un tercer nivel se encuentran las realizaciones de Leslie y Brenda de tercer grado:  

  

Figura 57. La solución propuesta por Leslie. 

Page 69: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

57

 

  

Figura 58. El procedimiento de Brenda.  Ambas  resuelven  correctamente  la  primera  parte;  no  obstante,  Brenda  hace  uso  de una  notación  fraccional,  Leslie  no  expresa  así.  Las  dos  estudiantes  conectan  las  dos preguntas  y  contestan  acertadamente  la  segunda  parte  también  (aun  cuando  no  lo consiguen  expresar  en  términos  fraccionarios  de  la  unidad  original).  Leslie  hace particiones  en  doceavos  (de  la  unidad  de  2);  o  bien,  en  sextos  de  cada  unidad. 

16

12

12

1 .  Hecho  que  fue  inducido  por  los  datos  3  y  4  del  problema.  (12  es  su 

mínimo común múltiplo): 2

1

6

3

6

1

6

4   

La respuesta de Brenda implícitamente establece que:   

2

1

6

3

6

1

6

4

6

1

3

2

3

1

2

1

3

2

 

                                                   2 rebanadas   1 rebanada 

 En un último nivel se encuentran los procedimientos de Alma de primer grado y Sandra de segundo grado, quienes ofrecen soluciones correctas.  

  

Figura 59. La solución propuesta por Alma.  

Alma  reconoce  que 6

2(de  2) 

3

2 (de  1);  sin  embargo  no  advierte  si 

6

1(que  es  su 

respuesta a  la  segunda pregunta) es  respecto a 2, o  si  es  respecto a 1. Parece  tener dificultades con unitizar. 

Page 70: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

58

 

  

Figura 60. El procedimiento de Sandra.  

Sandra incorpora en su solución; de manera implícita, los hechos:  

12

1

3

1

4

1

   

2

1

12

6

12

2

3

2  

2

1

12

6

12

2

3

1  

 Ella logra responder gráficamente la segunda pregunta. Obsérvese que la respuesta a la segunda pregunta está dada en términos de una pizza como unidad, y no como una 

comparación con la “nueva unidad 

3

2”  

Implicando nociones como: equivalencia, orden y comparación.  

  

Figura 61. Fracciones equivalentes de 3

 Algunas consideraciones  

 De  acuerdo  con  las  respuestas  proporcionadas  por  los  estudiantes,  una  solución “completa” la ofrecen estudiantes tanto de primer como de segundo grado.   

Page 71: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

59

Algunas de las dificultades detectadas son: a) la interpretación del problema, debido a que algunos sólo responden una de  las dos preguntas que incluye el problema; b)  la forma en que llegan a la respuesta de la segunda pregunta – evadiendo considerar las condiciones para responder esa pregunta; c) la nueva unidad que se considera y que 

es 3

2,    parece  ser  la  idea  que  no  logra  trascender,  el  hecho  de  partir  ahora  de  una 

fracción  y  repartirla  nuevamente  en  partes  iguales;  d)  acceder  a  la  noción  de equivalencia, pocos son los que perciben cómo es que esa noción les permite arribar a fracciones equivalentes para poder realizar el reparto solicitado.  

4.1.3. Problema 3: Determinación de la fracción señalada en  la recta  

Esta  situación  fue  retomada  de  la  planeación  propuesta7  para  la  aplicación  de  la reforma a la educación secundaria en 2006. En ella se propone reflexionar acerca de la posición del cero, el orden y la escala en la recta numérica.   En  la  siguiente  recta  numérica  el  segmento  (0,  5)  está  dividido  en  tres  partes iguales. Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha. 

    

 Figura 62. División de un segmento. 

 

La solución esperada es igual a  53

2 que equivale, entre otras a 

3.36.1253

12

3

10

  

        

        

 

 Figura 63.  Representación de la unidad (5  de 1). 

 y que en una representación parte – todo se vería como la parte sombreada 

  

7 La cual  se detalla en: http://www.reformassecundaria.sep.gob.mx/matematicas/  

0 5

Page 72: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

60

    

           

         

  

     53

2  

 Figura 64. Representación de una parte de la unidad. 

 Como  se  puede  observar  el  ejercicio  incluye  las  siguientes  nociones  ligadas    a  la fracción:  parte  todo,  partición,  medida,  cociente,  operador,  decimal  (periódico).  Así como  las  operaciones  producto  de  fracciones  (e  implícitamente  la  adición  de fracciones); la equivalencia de fracciones y la equivalencia de operaciones.  Por lo tanto, podrían hacerse explícitas propiedades como:  1: Propiedad de densidad en Q . 

2: Propiedad:  b

acc

b

a  

 A continuación se presentan las soluciones de 8 estudiantes.  En  los  primeros  2  casos  que  corresponden  a  Alfredo  y  Erika  de  primer  grado,    se observa la influencia de la estructura de los números naturales, y probables formas de enseñanza de la misma:  

  

Figura 65. La solución propuesta por Alfredo.  En este caso, cuya respuesta es 5 , parece evidenciar una visión “fragmentada” del segmento  5,0 ; es decir, una visión discreta, considerando únicamente la medida de “cada parte” del segmento como 5   

  

Figura 66.  La representación de la interpretación de Alfredo. 

Page 73: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

61

Mientras que:  

  

Figura 67. El procedimiento de Erika.  

Erika exhibe tanto una partición del segmento dado en 5 componentes; así como una aproximación  a  5.3   para  la  respuesta.  Ésta  inducida  sólo  por  el  hecho  de  que  lo solicitado se encuentra “entre” 3y 4 (considerando sólo la mitad correspondiente).  En un segundo nivel se encuentran los desarrollos de Patricia e Ivette, también del primer grado.  

  

Figura 68. La solución propuesta por Patricia.  

El  caso  de  Patricia  toma  como  referente  a  5.0 ,  y  no  a  5   como  se  propone  en  el ejercicio. Esto pudo provocarse por la forma de representación del segmento  5,0 , e interpretada  como  5.0   por  la  estudiante  (y  sólo  tomando  la mitad del  segmento de 0 a 5.0 ).  

  

Figura 69. El procedimiento de Ivette.  

El caso de Ivette parece ser una combinación de lo interpretado por Patricia y Alfredo. Aquí cabría enfatizar que Ivette calcula el cociente  35. , obteniendo como solución a 16. ; y reflejando de inmediato lo encontrado, en la recta dada.  En un tercer nivel se encuentran los planteamientos de Brenda de tercer grado y Sandra de segundo grado: 

Page 74: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

62

  

Figura 70. La solución de Brenda.  

  

Figura 71. El procedimiento de Sandra.  

Los  casos  de  Brenda  y  Sandra,  quienes  encuentran  soluciones  aproximadas, evidencian procesos de aproximación aditivos basados en la medida de las partes del segmento  original.  Uno  con  “exceso”  y  otro  con  “defecto”.  ( 1.5   y  8.4 , respectivamente).  En un cuarto nivel se encuentran los desarrollos de Héctor y Diana, ambos de primer grado:  

  

Figura 72. La respuesta de Héctor.  El  caso  de  Héctor,  así  como  el  de  Diana,  evidencian  procesos  de  aproximación, multiplicativos (Diana también incluye procesos aditivos).  En el primero, lo escrito refleja el cálculo:  

6.153

15  

         2.36.1253

125

3

2

 

 

Page 75: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

63

  

Figura 73. La solución propuesta por Diana.  En el caso de Diana se observan cocientes  35.  y    39.7  y de manera implícita el cociente  35   con soluciones aproximadas a  63.1,61.1,6.1   y  66.1 ;  esta última usada 

para los cálculos  53

1 y  5

3

2; reportados como  66.1  y  32.3  respectivamente. 

 Algunas consideraciones 

 La intención de este problema fue utilizar la recta numérica como recurso gráfico para resolver un problema de reparto (cinco entre tres) implicando a la vez el significado de la fracción principalmente como cociente.   Los posibles razonamientos son:  

1)  Si  el  segmento  dado  fuera  1,0   el  número  señalado  con  la  flecha  sería 3

2,  pero 

como el segmento es cinco veces más que eso, entonces el número señalado en la recta 

es 3

2 de 5 , es decir, 

3

10. 

  

0                                                             1    

             3

21

3

2       

       

0                                                             5     

3

105

3

2  

Figuras 74 – 75.  Representaciones de   3

10 

Page 76: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

64

2) Dado que  el  segmento  5,0   está dividido en  tres partes  iguales,  cada parte  es  el 

resultado  de  dividir  5  entre  3,  esto  es, 3

5;  por  lo  tanto,  a  la  segunda  parte  le 

corresponde 3

10

3

52

3

5

3

5

 Los  últimos  casos  presentados  en  este  problema  evidencian  elementos  de aproximación  interesantes en torno a la solución esperada (que guardan relación con la propiedad Arquimediana en  Q ).  Para todo  nm  con m y  n Q , entonces existe  k  entero tal que  mkn                            m  

  

     n  

 Figura 76. Representación de la propiedad Arquimediana en  Q  

  

4.1.4. Problema 4: Mezcla de pinturas  Esta  situación  se  retomó  del  libro  de  texto  de  Block  y  García  (2008)  en  la  lección correspondiente  a  analizar  la  interpretación de  tomar una  fracción de  una  fracción.  Cabe destacar la importancia que adquiere la noción parte todo dentro del problema, ya que si no se tiene cuidado con la pregunta que se realiza en esta situación podría errarse en la interpretación del problema, de hecho a los estudiantes les causo ciertas dificultades entender cómo habrían de interpretar la fracción de una fracción.      Una mezcla de pintura está compuesta por pintura roja, pintura blanca y agua.  

Las pinturas  roja y blanca  representan  juntas 5

3 de  la mezcla.   La  roja es 

4

1de 

esos 5

3. ¿Qué fracción de toda la mezcla representa la pintura roja? 

  

Figura 77. Determinar una fracción de mezcla.  

Page 77: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

65

La solución del problema, corresponde a calcular 

5

3

4

1 cuya solución se calcula como 

20

3. La cual puede representarse de la manera siguiente: 

         

   5

Figura 78. Representación de la fracción 5

3   

         

20

3

5

3

4

1

 

 Figura 79. Representación de la  fracción 

4

1 (de 5

3  de la unidad). 

 

Como  se  puede  observar  en  el  segundo  dibujo,  la  expresión 

5

3

4

1  puede 

reemplazarse por 

20

12

4

1;  (ya que 

5

3  y 

20

12  son  fracciones  equivalentes)  y  entonces 

también puede concluirse que 

20

12

4

1; es decir, la cuarta parte de 

20

12; es igual a 

20

 

Otra  forma  de  calcular  la  expresión 

5

3

4

1  es  a  través  de  una  forma  convencional, 

realizando  los  productos  de  numeradores  y  denominadores  (por  separado),  y escribiendo  los  resultados  obtenidos  como  numerador  y  denominador, respectivamente, de la fracción resultante: 

             

          

          

          

          

Page 78: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

66

20

3

54

31

5

3

4

1

5

3

4

1

 

 Una forma más de cálculo corresponde al uso de transformación de las fracciones que 

se operan 

4

1y 

5

3, en formas decimales. 

25.04

1   y  6.0

5

3  

 

 y  realizando  el  producto  indicado  15.0150.06.025.05

3

4

1 ,  expresión  que 

también se puede encontrar calculando la expresión:  45

3  la cual en forma decimal se 

expresaría como   15.046.0   Como  se  observa,  la  solución  involucra  los  siguientes  significados  de  la  noción fracción: parte todo, cociente (partición), medida, número decimal y operador. Así como:  

- La noción de unidad: Primero como 1, posteriormente como 5

- La equivalencia de fracciones  

- Las operaciones: producto y cociente de fracciones 

- La composición de operadores 

15

3

4

1  

 

Evidenciando la relación: a

b

d

c

d

c

b

a  al pensar la igualdad 

5

3

4

1 como  4

5

3  

 A continuación se muestran las producciones de 9 estudiantes.   En un primer nivel se tienen las realizaciones de Fernanda y Mitzi, de tercer grado:  

  

Figura 80. La solución de Fernanda.  

Page 79: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

67

  

Figura 81. La solución de Mitzi.  Ellas tienden a realizar operaciones “inmediatas” que pareciera fueron inducidas por un tipo de enseñanza. En el  caso de Fernanda, la operación dominante es la adición; mientras que en el caso de Mitzi, el tratamiento es a través de una regla de tres, bajo la idea de un comportamiento de “variación directamente proporcional” de los datos.  En un segundo nivel aparecen  los procedimientos de Eduardo y Héctor,  también del tercer grado; quienes tienden a resolver el problema de una “manera aditiva”.     

  

Figura 82. El procedimiento de Eduardo.  Eduardo  procede  a  sumar  las  fracciones    haciendo  transformaciones  equivalentes; 

hallando 20

17 como solución. 

          4

1  

  

                        1 

20

17  

 Figura 83. La interpretación del procedimiento de Eduardo. 

 

Por  su  parte Héctor  extiende  este  procedimiento,  restando  ese  resultado 

20

17  a  la 

unidad.   

  

Figura 84. El procedimiento de Héctor. 

Page 80: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

68

Héctor  encuentra  como  solución  a 20

3  (la  cual  es  correcta,  aun  cuando  el 

procedimiento no lo es).     

20

17  

                                              1 

     

           20

3  

 Figura 85. La interpretación del procedimiento de Héctor 

 En un tercer nivel están los procedimientos de Marco Antonio y Sandra,  del tercer y segundo grado respectivamente.  

  

Figura 86. El procedimiento de Marco Antonio.  Marco  Antonio  representa  la  unidad  (a  través  de  círculos)  y  representa 

respectivamente, 5

3  de  ella 

15

3;  y 

4

1  de 

5

3;  pero  no  hace  la  conexión 

correspondiente: 

15

3

4

 Marco  Antonio  no  representa  en  forma  fraccionaria  la  solución;  su  procedimiento queda  “estacionado”  en  un manejo  del  significado  parte  –  todo  con  un  solo  tipo  de representación y asignación de la unidad.  

  

Figura 87. El planteamiento de Sandra.  

Page 81: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

69

Por  su  parte  Sandra  hace  las  representaciones  gráficas  para 5

3  y  para 

4

1  de 

5

3, 

proporcionando su respuesta como 12

3, la cual siendo mal etiquetada “es correcta”, ya 

que  

20

3

60

9

5

3

12

3

5

3

4

1

 

 Sandra proporciona  su  solución haciendo uso de una  representación pictórica  tanto 

para la unidad original; como de los 5

3 de esa unidad original, así como del 

4

1 (de esos 

5

3 de la unidad original). Su respuesta la proporciona en función de su nueva unidad, y 

no la conecta con la unidad inicial.  En un último nivel aparecen las realizaciones de Karina y Daniela de tercer y primer grado respectivamente; junto con la de Obed, también de tercero.  

  

Figura  88.  La interpretación de Karina.  

 

  

Figura 89.  La representación de Daniela. 

Page 82: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

70

Tanto Karina como Daniela incluyen la solución correcta a través de representaciones gráficas  haciendo  uso  de  los  significados  de  la  noción  de  fracción  como: comparaciones parte – todo, partición, medida y unitización (Lamon 1999, 2001).   Nótese como tienen en mente la partición de una partición:  

        5

3                                                

 

    15

 0                          1     

   

15

3

4

 

       4

 

        20

31

5

3

4

1

 

 

      20

 Figuras 90 – 92. Representaciones de partición de una partición. 

 Por  otro  lado,  Obed  también  realiza  este  procedimiento,  sólo  que  de  manera  más completa (ya sin representaciones gráficas).  

  

Figuras 93. La interpretación presentada por Obed.  Para  ello  usa  números  decimales  y  operaciones  entre  ellos;  así  como  equivalencias entre representaciones fraccionales y representaciones decimales.  

Page 83: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

71

6.05

3       y       15.0

4

6.0  

20

3

100

1515.0  

 Que vistas sobre rectas numéricas se verían así:                  0                                                    1 

       

       10

     15.0                                                                                                                                                  0                    1                                                                                                               

Figuras 94 – 95. Representaciones de la interpretación de Obed.  

Obed implícitamente utiliza el hecho de que       a

b

d

c

d

c

b

a

  

               

                     45

3

5

3

4

1

 

 Algunas consideraciones  

 Entre algunos de los momentos que este problema ofreció en su solución, se tiene:  

- El  paso  hacia  una  representación  del  problema,  el  cual  genera  varias interpretaciones.  Se  parte  de  una  unidad  original  para  arribar  a  una  “nueva unidad” y a partir de ésta  se obtiene la solución.  

- La  aparición  de  modelos,  como  lo  es  “el  modelo  de  áreas”  para  explicar  la solución. 

- La transformación hacia una representación simbólica, la cual se “mira” desde la aritmética, la geometría y el álgebra. 

      

Page 84: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

72

4.1.5. Problema  5: Mezcla de agua con jugo de naranja  

Este problema fue extraído del libro de texto de Cantoral, Cabañas, Castañeda, Farfán, Lezama, Martínez, Molina, Montiel y Sánchez (2008) de primer grado, problema que se  encuentra  ubicado  como  ejercicio  de  profundización  en  el  tema  referido  a problemas multiplicativos. Tal como en el libro se advierte, las situaciones planteadas van  de  lo  simple  a  lo  complejo,  de  la  diversidad  a  la  síntesis,  con  la  intención  de articular  los conocimientos de manera progresiva. Y este problema es claro ejemplo de ello. Hecho que se manifiesta a través de las diversas dificultades  que enfrentan los estudiantes  para  poder  aproximarse  a  la  solución  del  problema.    Sólo  algunos estudiantes de tercer grado lograron acceder a la solución, recurriendo a dos nociones vinculadas con la noción de fracción que no habían sido contempladas en la solución esperada.  

 En dos jarras iguales tenemos una mezcla de agua con jugo de naranja. En una de las jarras, la proporción es de  7:3 ;  es decir, de 3 partes de agua y 7 de jugo de naranja, mientras que en la otra hay una proporción de  5:3 . Si juntamos el contenido de las dos jarras, ¿cuál será la proporción? 

  

Figura 96. Mezcla de agua con jugo de naranja.  La solución esperada de este problema puede alcanzarse a través del procedimiento siguiente:  1º La interpretación de la información, a través de una representación parte ‐ todo en cada una de las jarras:   

      

   

             

 Figura 97. Representación del contenido de la jarra 1 

  

                     

   

   

         

 Figura 98. Representación del contenido de la jarra 2 

 

Para la jarra 1: 7:3 3 partes de agua y 7 de jugo

Para la jarra 2: 5:3 3 partes de agua y 5 de jugo

Page 85: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

73

2º Información que al ser expresada en forma de fracción, indica que: 

  En la jarra 1 hay 10

3 de agua y en la jarra 2 hay 

8

3 de agua 

  (o bien: 10

7 de jugo en la jarra 1 y 

8

5 de jugo en la jarra 2) 

 3º Fracciones que al ser convertidas en otras equivalentes y con un denominador común se expresarían así:  

40

12

10

3   ;  

40

15

8

3  

40

28

10

7  ;  

40

25

8

 4º Fracciones que al “sumarse” (al juntar el contenido de las 2 jarras) quedarían expresadas como:  

 40

27

40

15

40

12  

 

40

53

40

25

40

28 

 5º Las cuales  reescritas con respecto al contenido total (correspondiente al de las 2 

jarras) quedarían expresadas como: 80

27 y 

80

53 

 

                               3            7                  3       5   

Figura 99. Representación del contenido de las dos jarras.  Pasando las representaciones a razones tenemos:  

         10

3               

8

 Transitando a fracciones equivalentes tenemos:  

        40

12            

40

15    

40

27    

80

27 

Page 86: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

74

6º Solución que al ser interpretada en términos de “proporción” quedaría como: 

80

53:

80

27 

 o en una forma equivalente más simple como:  53:27 ;  es decir; al reunir el contenido de las 2 jarras se tendrían 27 partes de agua por 53 de jugo.  Algunas observaciones necesarias respecto al problema:  1. El problema explicita inicialmente 2 jarras; es decir 2 unidades de 1. Finalmente 

una jarra de 2 (es decir, una unidad de 2 (1 de 2))     

Figura 100. Representación de 2 unidades de 1 o 1 unidad de 2.  

2. Los contenidos de la jarra son iguales, lo que posibilita la suma 8

3

10

3  

 ( la cual se pudo haber resuelto “directamente” 40

27

40

1512

8

3

10

3

 3. La  reescritura  en  el  5º  paso  se  induce  a  partir  de  la  incorporación  de  los 

contenidos  de  las  2  jarras  en  una  nueva  jarra  (cuyo  contenido  es  el  doble    del contenido de una de las jarras). 

 4. El problema incluye varios de los significados  de la noción de Fracción: el de razón 

(aquí mencionado como proporción), parte todo, medida y cociente (que involucra a la partición). 

5. El procedimiento de solución incluye:  a. Pasajes de la noción razón a la noción fracción común  

                                                                                              10

3   

                                                                                             7:3  

                                                                                               10

b. Equivalencia de fracciones     40

12

10

3  

 

c. Adición de fracciones       8

3

10

3  

 d. Pasaje de la noción fracción común a la noción razón 

Page 87: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

75

                  

                                     80

27 

                                               53:27  

                          80

53 

  

e. Equivalencia de razones   80

53:

80

27  ~   53:27  

 f. Suma de razones    53:277:35:3  

 Obsérvese  que  la  suma  de  razones  no  induce  ninguna  de  las  formas  de  adición  de fracciones reportada por Lamon (1999, 2001).  A continuación se muestran los planteamientos de 6 estudiantes.   En un primer nivel aparecen las soluciones de Joel Antonio y de Uriel de tercer grado, en ambos casos se puede notar la indicación de una adición, y sólo una adición.   

  

Figura 101. La solución propuesta por Joel Antonio.  

En  el  caso  de  Joel    se  presenta  una  adición  de  fracciones  cuyos  componentes 

provienen directamente de los datos del problema 

7

3

5

 

  

Figura 102. La respuesta de Uriel.  

En el caso de Uriel, la adición aparenta ser de decimales (en este caso la interpretación del  resultado  obtenido  pareciera  provenir  de  una  idea  de  números  denominados). Ambos casos son erróneos.  En el segundo nivel se puede observar lo planteado por Carlos del primer grado, quien recurre a  representaciones gráficas, descansando la idea central en la creencia de que 

Page 88: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

76

las partes son iguales en las mezclas originales. En ellos se observa la suma de razones siguiente:  

12:65:37:3   dbcadcba :::  

 

  

Figura 103. La representación de Carlos.  El último nivel lo forman las soluciones de Carlos Alberto y Ángel de tercer grado.  Estos  estudiantes  desarrollaron  estrategias  similares.  Ambos  hicieron  una interpretación de las razones originales para realizar un reparto proporcional a través de las nociones parte – todo, porcentaje, promedio y medida. Sus procedimientos sólo incluyen  representaciones  simbólicas.  Ambos  llegan  al mismo  resultado  encontrado por Carlos  12:6 ; o en una forma equivalente  6:3 ; sin embargo, su procedimiento es el correcto. No así el de Carlos.   Puede  observarse  que  el  procedimiento  de  Carlos  Alberto  y  Ángel  es  un procedimiento  equivalente  al  procedimiento  expuesto  en  la  sección  Solución esperada.   

  

Figura 104. La solución propuesta por Carlos Alberto.  

Page 89: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

77

  

Figura 105. La solución propuesta por Ángel.  

Algunas  observaciones  significativas  respecto  a  las  soluciones  en  este  nivel  son  las siguientes:  

a) El trabajo de Ángel se corresponde con los pasos 1 y 2 de Carlos Alberto, con la diferencia de que Ángel anticipa los redondeos. 

 b) El trabajo de Carlos  Alberto incluye dos pasos más, que desde una perspectiva 

de  la  matemática  resultan  innecesarios;  pero  que  desde  una  perspectiva psicológica le resultan obligados. Esto último parece haber sido inducido por el número total  18  de partes involucradas en el problema.  

c) Resulta  interesante  ver  cómo estos dos  estudiantes  “operan”  la  integración  – desintegración de  las dos  jarras en una sola  jarra; esto a través del promedio de  contenidos  expresados  en  porcentajes.  Podríamos  asegurar  que compactaron el procedimiento.  

d) La respuesta   53:27   es  equivalente  a  las  respuestas  25.66:75.33   y  925.11:075.6  

e) Las  nociones  de  porcentaje  y  decimal    (usadas  por  estos  estudiantes)  se agregan a las nociones consideradas en la solución esperada del problema. 

 Algunas consideraciones  

 Cabe  destacar  que  en  la  revisión  realizada  a  los  libros  de  texto,  aparecieron  varios problemas de mezclas, quedando de manifiesto la complejidad que adquiere este tipo de situaciones por la diversidad de significados y operaciones involucradas. Una de las dificultades enfrentadas al resolver este tipo de planteamientos es sin lugar a dudas, el tipo de interpretación que se le asignó, el grado de profundidad con que se reflexione, junto con la estrategia de solución a plantear. Este problema comprende un grado de dificultad  elevado;  sin  embargo,  se  observa  también  cómo  es  que  los  estudiantes recurren a elementos que les proporcionan herramientas “idóneas” que les permitirá acceder  a  una  solución  equivalente;  herramientas  que  no  necesariamente  serán  las 

Page 90: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

78

que se pudieran esperar. Cabe destacar el hecho de que los estudiantes que lograron “acceder”  a  la  solución  del  problema  se  encontraban  cursando  el  tercer  grado.  El hecho  de que el problema en consideración fuera tomado de un texto para el primer grado de secundaria y ninguno de los estudiantes de este grado arribó a    la solución correcta pareciera indicar que su ubicación no pudiera ser la adecuada. 

  

4.1.6. Problema 6  

Este problema  fue  tomado y adaptado de un proyecto de  investigación desarrollado por  Álvarez,  Jarillo,  Juárez,  Muñoz  y  Vargas  (1987)  referido  a  problemas multiplicativos de  isomorfismos de medidas. La  intención  fue  la de observar por un lado  la  interpretación  que  los  estudiantes  harían  del  problema,  el  tipo  de representaciones  que  utilizarían;  así  como  las  operaciones  que  sobre  fracciones incluirían.  

 Un móvil  recorre 3 kilómetros en 36 segundos;  ¿cuántos kilómetros recorrerá en 150 segundos?  

 Figura 106.  Recorrido de un móvil. 

 La solución esperada se fundamenta, implícitamente, en reconocer que el problema se corresponde  a  un  problema  de movimiento  uniforme  que  conlleva  un  problema  de variación directamente proporcional.  

t

sV  (con  velocidad  constante),  en  otras  palabras,  y  para  este  caso, 

seg

kmV

36

3

seg

km

12

1  

 que se interpreta como un recorrido de 1  km  por cada 12segundos que en forma de razón se representaría como 1  km : 12   seg  

tvts12

1 (con   t  en segundos) 

 Así  que si se desea calcular los kilómetros recorridos en un tiempo de 150 segundos, 

bastaría con sustituir en la fórmula:  ts12

1 ,   t   por  12  encontrando que          

 

5.1212

150150

12

1 kmkms km  

 Hecho que podría encontrarse a través del planteamiento de la proporción: 

Page 91: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

79

::150:

12:1

 

y la aplicación de la “regla de 3” :  kmx 5.1212

1150

, regla que proviene del uso de 

la proporción: 

15012

1 x  

 

y del uso de la propiedad 

bcad

d

c

b

 Una  forma  menos  condensada,  de  solución,  corresponde  al  reconocimiento,  en  el planteamiento del problema, de la razón  

36:3       (3 km es a 36 segundos)  y a la determinación de razones equivalentes a ésta: 

...

108:9

72:6

36:3

     o bien 

:

36:3

12:1

   

180:15

120:10

...

60:5

48:4

36:3

24:2

12:1

 

 

156:13

144:12

132:11

120:10

          12:1

6:2

1

 

            150:5.12   

Obsérvese que en este caso:  dbcadcba :::   Por ejemplo: 

150:5.126:5.144:12  

d

cdc

b

aba

:

:       

d

c

b

adcba ::  

Page 92: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

80

Los  datos  obtenidos  en  esta  última  forma  pueden  representarse  tanto  en  forma tabular como en forma gráfica:  Solución tabular:   

x   y      x   y   

1  12    12 1442  24    12.1 145.23  36    12.2 146.44  48    12.3 147.65  60    12.4 148.86  72    12.5  150 7  84    12.6 151.28  96    12.7 152.49  108    12.8 153.610  120    12.9 154.811  132    13 15612  144   13  156   

 Tabla 3. Tabulación de  xy 12  

 Solución  gráfica:   

  

Figura 107. Representación gráfica de  xy 12  

 A continuación se presentan evidencias de las soluciones de varios estudiantes. 

 En un primer nivel se tienen las producciones de Lizbeth y Alma de primer grado y lo realizado por Patricia de segundo.  Ellas realizan productos ( 12150,3150  y  936 , respectivamente) para proponer sus soluciones. Soluciones que son equivocadas.   

Page 93: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

81

  

Figura 108. La solución propuesta por Lizbeth.   

  

  Figura 109. La solución propuesta por Alma.   

  

Figura 110. La interpretación expuesta por Patricia.  Alma hace uso de 12  como operador, mientras que Patricia implícitamente describe la 

velocidad del móvil (al escribir T

D, la cual es 

12

1 seg

km); sin embargo, no hace un uso 

apropiado de estos datos.  En un siguiente nivel se encuentran los desarrollos propuestos por Cecilia de primero y Lucero de tercero: 

  

Figura 111. La solución de Cecilia.  

Page 94: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

82

  

Figura 112. El procedimiento de Lucero.  Tanto  Cecilia  como  Lucero  hacen  uso  de  razones  equivalentes  a  3:36   ó  a  36:3 , respectivamente,  “aproximándose”  de  manera  aditiva  a  la  razón  150:5.12 , correspondiente a la solución esperada. Cecilia con un valor de  15x  y Lucero con un valor  de  5.15x .  De  hecho,  sus  cálculos  no  incluyen  el  uso  explícito  de  números decimales  en  el  proceso,  sólo  hacen  uso  de  cantidades  enteras.  Se  observa  la aplicación de la adición de razones como  dbcadcba ::: .  En un tercer nivel se encuentran las realizaciones de Angélica   y Nancy, de primer y segundo grado respectivamente. 

 

  

Figura 113. La solución propuesta por Angélica.  

  

Figura 114. La solución de Nancy.  

Angélica  y  Nancy  obtienen  como  resultado  6.12   km,  mediante  un  proceso  de aproximación  sucesiva  de  carácter  aditivo.  “Comparan”  36   segundos  con  150  segundos mediante un factor de 4   

,144364(  faltando 6 para  )150   

Page 95: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

83

Después    utilizan  ese  factor para  calcular  el  kilometraje  correspondiente  a  los  3km originales. 

)1234( km  

El resultado que finalmente proponen, que es igual a 12y 3

2 en el primer caso; y  6.12  

en el segundo caso parece provenir (erróneamente) de los  6 kilómetros faltantes.  Se observa así una dificultad al trabajar con partes fraccionarias.  En un cuarto nivel se encuentran los desarrollos de Alejandro de primer grado y los de Karla y Jessica de tercer grado.  

  

Figura 115. El procedimiento de Alejandro.  

  

Figura 116.  La solución propuesta por Karla.  

  

Figura 117. El procedimiento de Jessica.  

En  los procedimientos de estos estudiantes  se observa  la aplicación de  la noción de proporción  (como  igualdad  de  dos  razones)  y  la  aplicación  de  la  regla  de  tres correspondiente. Karla equivoca el planteamiento de  la proporción adecuada,  lo que incide  en  la  obtención  de  un  resultado  erróneo.  Jessica  plantea  una  proporción apropiada;  sin  embargo  no  explicita  la  forma  de  calcular  su  resultado  (esto  en  el sentido  de  las  operaciones  realizadas).  Alejandro  hace  lo  contrario:  implícitamente deja propuesta la proporción y explicita sus operaciones.  Tanto Karla como Alejandro evidencian un uso inadecuado del signo igual.  En  un  quinto  y  último  nivel  se  encuentran  las  producciones  de  Brenda  y  Laura  de segundo grado y David de tercero.  

Page 96: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

84

  

Figura 118. La respuesta de Brenda.  

  

Figura 119. La respuesta de Laura.  

  

Figura 120. El procedimiento de David.  

En este nivel,  los estudiantes obtienen  la  solución esperada  (en el  caso de David de manera aproximada, por los cálculos realizados con decimales). El proceso de Brenda incluye  el  uso  de  razones  equivalentes  y  de  la  adición  de  razones  dbcadcba ::: , lo cual podría representarse como        

1505.12   El proceso de Laura puede representarse como:     

336

150 x        

36

3150 

 enfrentando cálculo con números decimales y perdiendo exactitud.  

121

65.

 

144:12

36:3  

x

150

336

Page 97: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

85

Algunas consideraciones   El problema dio pie a que  los estudiantes dieran cuenta de nociones como: regla de tres, valor unitario, función y escalar. Tal como en otros estudios se ha reportado. El problema brindó elementos para volver la mirada nuevamente a los planteamientos y advertir  la  importancia  que  adquieren  (entre  otros)  la  representación  gráfica  de  la información, junto con el tipo de unidades utilizado (números enteros, fraccionarios o decimales).  Los  estudiantes  que  alcanzaron  a  concretar  y  precisar  la  respuesta solicitada, pertenecían al segundo y tercer grado de la escuela secundaria.  Resumen  A  continuación  se  presenta  una  tabla  –  resumen  que  incluye  elementos  centrales propuestos  en este  capítulo.  La  idea de  colocar  la  tabla  se debe esencialmente  a  las representaciones generadas por los estudiantes en sus producciones en torno a cada problema propuesto.  

Tabla – resumen Donde:          SF= Significados fundamentales     NC= Nociones complementarias  

SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN  PROBLEMA 1 

  LO TEÓRICO  LO COGNITIVO Solución esperada  Respuestas de los estudiantes  OBSERVACIONES

SF 

‐ Comparaciones parte ‐ todo   ‐ Unitización (Una  unidad    compuesta  de  tres (1 de 3)) (Tres  unidades  compuestas de una (3 de 1))  ‐ Cociente (partición) 

‐ Logran  reconocer 18 partes;  es decir, 18 rectángulos pequeños   ‐  Asimismo  reconocer  la  unidad compuesta  de  3  barras  (una unidad formada por 3 de 1)  ‐ También se visualiza a la unidad como  una  de  3  (una  unidad formada por 1 de 3)  

Los  estudiantes  evidencian el uso de la  noción  unitización  de  manera  implícita, en sus escritos muestran la utilización  de  la  unidad  compuesta (ya sea en  términos de  (1 de 3) o  (3 de  1)).  Así  como  de  la  noción  de partición,  la  cual  a  pesar  de  ser interpretada  de  manera  distinta, conduce  a  respuestas  equivalentes tales  como:  3   (rectángulos 

pequeños), 2

1   barra  o   6

1 (de  3 

barras) La  noción  de  partición  ya  viene implícita  por  el  tipo  de  unidad considerada. Una de las principales dificultades fue arribar  a  una  respuesta    apropiada, puede    observarse  en  sus producciones  que  parcialmente  la tienen,  sólo  hizo  falta  formalizarla  a través de la simbolización. 

NC 

‐ Equivalencia de fracciones  ‐ Operaciones requeridas:      ‐  Adición      ‐  Producto      ‐  División de fracciones  

‐ Equivalencia de fracciones: ‐ Operaciones utilizadas:  ‐ Adición ‐ Producto ‐  División    (tanto  de  fracciones como  de decimales) 

 

Page 98: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

86

SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN  PROBLEMA 2 

  LO TEÓRICO  LO COGNITIVO Solución esperada  Respuestas de los estudiantes  OBSERVACIONES

SF 

‐ Comparaciones parte todo ‐ Medida ‐ Cociente (partición) ‐ Operador ‐Unitización  (unidades: 2 de 1; 1 de 2; 1 de  

2

3  ) 

Algunos  sólo  hacen  uso  de  la noción parte – todo, sin conectar la  información  entre  las preguntas  Otros  recurren  a  la  noción  de parte todo, partición y cociente Sólo  una  estudiante  realiza representaciones  de  particiones en doceavos (de la unidad de 2)  Se  recurre  a  la  representación gráfica para resolver el problema, se  apoya  en  la  noción  de equivalencia,  parte  todo  y  de manera implícita utiliza la noción de unitización. 

La  noción  de  partición  no  la  aplican en los términos en que se usa para las fracciones.  Algunos  intentaron darle  la  vuelta  al problema  manejando  las  fracciones en términos de porcentajes.  El  principal  obstáculo  generado  se debe a la escasa vinculación entre los datos para acceder a  la  respuesta de la  primera  pregunta  y  la conformación  de  la  nueva  unidad  a partir  de  la  cual  debía  generarse  la segunda respuesta.  

 Dado el tipo de planteamiento, varios acceden a  la  respuesta pero  sin usar una  parte  de  la  información  tal  cual se dio en el problema.  NC 

‐ Equivalencia  ‐ Operaciones requeridas:      ‐ Adición      ‐ Sustracción      ‐ Producto       ‐ División  

Pocos  se  apoyaron  en  la equivalencia de fracciones Operaciones  utilizadas:  adición, sustracción,  producto  y  división (tanto  de  fracciones    como  de decimales) 

   

SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA  NOCIÓN DE FRACCIÓN  PROBLEMA 3 

  LO TEÓRICO  LO COGNITIVO Solución esperada  Respuestas de los estudiantes  OBSERVACIONES

SF 

‐ Comparaciones parte todo ‐ Unitización (una unidad de 5 (1 de5)) ‐ Medida ‐ Punto de una recta orientada ‐ Cociente (partición) ‐ Operador ‐ Decimales   

‐ Se  interpreta  la  medida  (0,  5) como (0.5), realizando enseguida un cociente  ‐  Se  realizan  procesos  de aproximaciones  aditivas, multiplicativas  e  incluso  una combinación de ambas .  

Los  alumnos  que  lograron  acceder  a la  solución  del  problema  poseen claridad en la “unidad” que  presenta el problema.  Una de las dificultades esenciales fue no  percibir  la  conformación  de  una nueva  unidad,  varios  cercaron  la respuesta a través de aproximaciones sucesivas con los números decimales.  Se  detectó  una  dificultad  más  al confundir  la  expresión  (0,  5)  con (0.5)  orientándose  el  problema  en otro sentido   

NC 

Equivalencia Relación de orden Operaciones requeridas: ‐ Adición ‐ Producto ‐ Cociente 

Operaciones utilizadas:‐ Adición  ‐ Producto ‐ División  

       

Page 99: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

87

SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN  PROBLEMA 4 

  LO TEÓRICO  LO COGNITIVO Solución esperada  Respuestas de los estudiantes  OBSERVACIONES

SF 

‐ Comparaciones parte todo ‐ Cociente (partición) ‐ Operador  ‐Unitización  (la  unidad  como 

1 y como 5

3 ) 

‐Composición de operadores 

‐ Recurren  a  la  adición  de fracción de manera directa ‐ Utilizan la regla de 3 ‐Realizan  representaciones gráficas  y  algunos  logran  arribar a la solución en este contexto ‐ Se recurre al modelo de áreas  ‐Se  utiliza  la  partición  de  una partición  

Los estudiantes dan muestra de cómo el  llevarse  el  problema  a  un  terreno que  “conocen  o  les  da  seguridad”  ya sea  gráfico  o  simbólico  les  permite hacer emerger – como en este caso – nociones  escondidas,  tales  como  son la  partición  de  una  partición  y  la composición de operadores.  La  principal  dificultad  enfrentada  es el  visualizar  la  “nueva  unidad”  a considerar para hallar la solución del problema,  incluyendo  la simbolización  de  los  datos  del problema.  Sobresale  el  modelo  de  áreas utilizado  para  alcanzar  si  no  la solución completa,  si  se convierte en el medio para arribar a la solución. 

NC 

‐ Equivalencia   Operaciones requeridas:  ‐ Adición ‐ Sustracción ‐ Producto ‐ División  

‐ Equivalencia ‐ Operaciones utilizadas:  ‐ Adición ‐ Sustracción ‐ Producto ‐  División  (tanto  de  fracciones como de decimales).  

  

SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN  PROBLEMA 5 

  LO TEÓRICO  LO COGNITIVO Solución esperada  Respuestas de los estudiantes  OBSERVACIONES

SF 

‐ Comparaciones parte todo ‐  Unitización:  como  una unidad de 2 (1 de 2)) ‐ Razón (como proporción) ‐ Medida  ‐ Cociente (partición)    

‐ Recurren  a  la  adición  de fracciones directa  ‐ Otros  utilizan una  adición,  sólo que  de  números  decimales,  esto debido  a  que  interpretan  la proporción  7:3   y  5:3   como 

7.3  y  5.3  respectivamente. ‐  Generan  representaciones gráficas de  las  partes  intentando juntarlas,  considerando  una suma ‐  Se  lleva  el  problema  a  un terreno  más  familiar:  al  de  los decimales y los porcentajes. 

La  gran  mayoría  de  los  estudiantes asume  que  se  trata  de  una  suma directa  de  fracciones,  tendiendo  a hacer uso de los algoritmos en forma inmediata,  e  incluso  de  operar  como si fueran números decimales. Arribar a la solución requiere pasar a un  siguiente  nivel  en  la  compresión del problema. De hecho sólo lo logran 2 estudiantes del tercer grado, dando una  idea  del  grado  de  dificultad  del problema,  ellos  a  su  vez  evaden trabajar con fracciones mirando a las proporciones  en  términos  de porcentajes  y  estos  a  su  vez  en términos de números decimales.   

NC 

‐ Equivalencia de fracciones ‐ Equivalencia de razones  Operaciones requeridas: ‐ Adición ‐ Sustracción ‐ Producto ‐ División 

‐ Equivalencia de fracciones‐ Equivalencia de razones ‐ Promedio ‐ Operaciones utilizadas: ‐ Adición ‐ Sustracción ‐ Producto ‐  División  (tanto  de  fracciones como de decimales) 

    

Page 100: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

88

SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN  PROBLEMA 6 

  LO TEÓRICO  LO COGNITIVO Solución esperada  Respuestas de los estudiantes  OBSERVACIONES

SF 

‐Comparaciones parte todo ‐ Proporción: 

Variación  directamente proporcional Regla de 3 Valor unitario 

‐ Cociente  ‐ Operador ‐ Razón 

Razones equivalentes ‐ Medida 

‐ Recurren  a  una  multiplicación directa  con  los  datos proporcionados ‐ Elaboran una tablas de valores ‐ Establecen una regla de 3 ‐  Utilizan  un  valor  como operador ‐  Utilizan  aproximaciones sucesivas de manera aditiva 

La mayoría se apoya en una regla de 3  para  llegar  a  la  solución,  la dificultad  se  presenta  cuando  los datos comparados no se  “acomodan” en  el  lugar  que  les  corresponde  de acuerdo con la regla.  Algunos  otros  recurren  a aproximaciones sucesivas aditivas, en el momento en que se percatan que el resultado  incluye  un  valor fraccionario o decimal.  El  que  el  resultado  incluya  un decimal  obliga  a  que  se  deje  la respuesta  en  un  número  entero,  así que  la  respuesta  se  aproxima  ya  sea por la izquierda o por la derecha.  

NC 

‐ Equivalencia ‐ Operaciones requeridas: ‐ Adición ‐ Producto ‐ División   

‐ Equivalencia‐ Operaciones requeridas: ‐ Adición ‐ Producto ‐ División (con decimales)   

 Tabla 4. Tabla – resumen de contrastación. 

 Por último se muestra  a continuación, y a través de gráficas de barras, los porcentajes de  aciertos,  errores  y  omisiones  para  cada  uno  de  los  tres  grados  considerados,  al enfrentar los 6 problemas expuestos y analizados previamente.  Primer grado            

Gráfica 1. Aciertos, errores y omisiones de primer grado.  En el primer problema acertó el 91.67% del grupo; el 11.11% en el segundo; el 8.33% en el tercero, el 2.78 % en el cuarto; ninguno en el quinto y; el 2.78% en el último.  Los datos permiten identificar al problema 5 como uno de los más difíciles de resolver.      

Page 101: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Capítulo 4: Análisis cognitivo 

89

 Segundo grado             

Gráfica 2. Aciertos, errores y omisiones de segundo grado.  En este grado el 91.67 % resolvió  correctamente el primer problema,  el 11.11 % el segundo, el 38. 89 % el tercero, el 2.78 % el cuarto; ninguno el quinto y el 5.56 % el último.  Tercer grado  

           

Gráfica 3. Aciertos, errores y omisiones de tercer grado.  En este grado un 94. 44 % resolvió correctamente el primer problema; el 11.11 % en el segundo; el 38.89 % para el tercero; el 8. 33 % en el cuarto; el 5.56 % en el quinto y el 11.1 % en el sexto.           

Page 102: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

������������ ��������

90

��������������� ����

��� ������������������

����� ���� �� ��� ������� �� ������� ��� �� ������� �� ���������� �������� �� ���

���� ���������������� ���������� ������������������������������������������� �

������� � ������ ���������� ������ �������� ��������������� ��� ��� ���������

� ������������ ����������������� ����� � � ������� ����������� ������������� ���

���������������� ����� ���������������� ������� ���� ������ ��

������ ���� ������� ��������������� ������������������������� ������������� �

��� ������� ����� ������������� � ��������������� � ������� ��������� ��������

� ��� �� �� ������ ��������� ����� �!��� ����������� �"����������������������

�� � ��� #���"�� $%&&'(� �� ����� �� ���� ���� ��� ��� $)***(� ��������� ������� �

� ����� ������������������������ ����� �������������+��� ������� ��� � � �

,�� �� �� �� ��� #���"��� � ���� ��� ������ ����������� )-� �������� � ������������� �

����������������������� ���� ���$)***(������������� ����������������������)%��

������������������ �������������������� ����� ��� ����������$)***��%&&)(��� �

���� � ��������� ��� � ����� ������� ����.�����$)*//(������� � ����� �� ���������

�� ��� �� ������� ��� � � �������� � �� � ������� � ���� � ������ ���������� ���������

������ �� ��� �������� � ������ 0� ���� � � 1���� ��� � � �����2� � ���� �� ��� � �����

�� ������������#����������� ������� ����������� ������� ���� �3&4 ���� �����

�� �������� ���� � 5��� ���� � �� ����� � ��� ���� �������� ��� ������� � ������� ��

����� ���� ��� � � ���� � �� ������� ���� � � �"� �� ��� ����� ����� � �������� �

������ �� ����� ������� ��� ����� �� ������ ������ ����� ��� � � � �������� � �� �

������ ����� ����������� ���� ��������������������6���������� ��������� ���������

� ��7� ��� ����� �� ��

����������� ������� ������� ����� ������������������������ ������������������ �

�� �������� ������������ ����������� �� ���� �������� ����������������������

����������� ����+������������������ ������ � ������� �

!� ����+����� ����� �� �+ ������ ��� ���� ���� ���� ��� ������������� � ����� ��

����������������������������� ��8������ ����� � � ������� � ������� ������������

������� ��� �� �������� ��� �� � ����� ��������� ��� 9�+��:� ;�� ���� ���� �����

�� ������ �� ��������� ���� ��� ��� �� ������� �� ��� � ����� �� �� ����� � ��� � ���

��+��������� ������ �� ������� �

,�� �� ������� �� ��� � ����� $<,=�� %&&>(� ��� ��� ��� ������ �������� � � �� � ��� � %&�

��� � � ������� � ���� �� ������ ��� ��������� ��� ������� �� �������� 7���� ����� 36�

������������������� ����������������� �������� �!������������������ ������

������� �������� ��������� ���� � ������� � ��������� �����#���"��$%&&'(��� � �

��� ������ ������������� �6��������������� ���������))� ������� ����� �������>�

Page 103: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

������������ ��������

91

�� ��� ������� ������ ��� ����� - � � ;��+ ������ �� ������� �� ��������������� �� ��

�������������� ���� ������ ��

,�� � � �������� � ��� � � ��� � ��� ��+��� ��� ��� � �� �������� �� �������� � � ��� �

��� �������������������������� ������� ������� �� ������������� ������ ������

� ��������� � ���������������������� ���������� ����������������������������� �

������ �� ����� ������� �

=���� �� ���� ����� ����� �� ������ ��� ��� �� ����� � ��������� ��� �� ���� ���

��� ��� ������ �� ����� � � ��� �� ���� �������� ����� ����� ?�� ��� �������� @� ����

�������������� ����������������� ���� ������ �������������� ������� �� ���� ��

��7������������������� ����� ��������� ��������� ��� ���� ��������������������

������ ������ ��� � � � ���� ���� ���� �7� ��� � ������ �� ���������� � �� ���� �� 6�

������ ���� , ��� ����������� ��� ����� ������ ��������� ��� �� A������ ���<������� �

������� ������� �������� ������������5��� ��� ��

,���� ������� ������������� �� �� ������������������������� ������ ��������� ��

������ ��� ���������� ��� ���� �� ����� ������ ���� �� ���������� ��� ����� ���

�������� ��� ������ ������ � � ���� � �� ����������� �������� � ��� ��� �� �� � , ���

������������������ ���� �������� ���$)***��� �B>(�����������������2�� ��� � �� ��

C� ������ �� ���� ��� ������� ������� �� �� ������ �������� � ��� ��� ?� ����� ��� ���

�������� ����� �@� �� ���� ������� � � ����� ���� ��� �� ���� �������� ?��� ����@�

�������� ���� ����� ����� ���� �� ������ ��� �� � ��������� ����� ������ �������� ���

������ ���������? ���@ �!���� ������������� ��� ���>� ������� �������������� �

������ ��������������������������2���������������������������������������� �� ��

, ��� �������� ��� ��� � �������� ������� � ������� � ���� ���� � � ������� ��

��������� ��� � ���� ��� ���� �7 ������ ��� ���������� ��� ������ ����� ���

� ������� � !� �� ���� ��� ���� �������� � � �� ��� ����� ��� �����2�� ����������� ���

������� ������ ����������� ��� �������� ���� � �� ���� �� �������� ���� �������� ���

��������� � ���� ��������� �� �� ������ ��� ������ ��� �� �������� ���� ��� ���� ��

�� ������������ �� �������� ���������������� ��������������� ���� ������� �

,�� �� ���� ;�� ������ �� �� ����� �� � �� ��� �������� � ������� � ������� ���� ��

�����2������5��� ������������ ������������� ���� ������ ��������������������

��������������� �� ��� ������� ���� � ����� ������������� ��������� � ������� �

��� �������������������������������������������������� ���������� �� ��

=���������������� ��������� ������������������2���+��� ���� ����������� ������� ��

� ������������������������ �� 6���� ���������������� �������������������� ������

������ �������� 2����� ���� � � ���� �� �� ����� � ��� � ����� �� ������ ��� �� �����6� � �

��������� ��� ����������������� ��� ����� ���������� ������ ��� �����������������

������������ ��������� �������� ������������ ���� �!� ��������������������������� �

��� ������������������������ ��������������������������� �������� �������� ��

=��������������������� ������ ����������������� �� ���������� ������������� ��

Page 104: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

������������ ��������

92

������ ��� ����������� �� ���� �� ��� ����� �� ����� � ��� ��� ������ �� ���� ���

� ���� ���������������������� ������������������� ���

,�� �� ������� ������� ��� ���� ��� �������� � ������� ��� �� ����� ��� �� ��� ���� � ����

�������� �� �� ����� �������� ������� ��� D������� � ���� �������� ����� � ����� �� ��

������ ������ ��� �� ���������� � �������� ����+��� ������ �� ����� ����� �������� ��

��������� �� ��������6��� �� ������� �������� �� ��� � � ���� ����� � � ��� � � ���� ����

������������ ����+��� ����$���� ����� � ����� ����������� ��� �������� ��������(��

������� ������������ �������� ���������������������� ������������� ��

9 ����� ����������������������������� ����������������������� �����������������

�������������������2���������� ����������������� ���$)***(���� ������������������

������������������ ����� � �

,��� ����������������� � ��� ������������� � ��������������������������������

���������������2���������������� ��� ������������������������� �������������������

�������� ����������� ������������ ���� ����� �

!����� ����� �� ������ �� �� 7�� �� �������� ���� ��� ��� ��� �� ������ ?���� �@�� ��

������������������� ������� �� ������������� ��������� ��

=���� �� ��� ��� ������ ���� �2������ �� ��� ������ �������� � ��� �� ���� �� ����

������ ���� � � � ���� � ��� ��� ������ ���� �� ���������� ���2���� �� � ����� �� �����

�������� �� ������ ����� ��� ������ � ��� ��� � ����� ������ ������ ����������� �������

����������������������������� �,��� ������� ��������������� �����7� ����������6�

� ����� �� � ����������� ���� ������������������� ��������������������������

��� ������������ ��������� ���� ����� �� ���������������������� ��

,�� �� ������� ������� �� ����� � � ��� �2�� ��� � ��� �� ��� �� ��� ���� ���������

���������������� ���� ���������������������������������������6�������� ��������

���� � ������������ �� ������ ��������� ��������� ���� ��� ������� ����������������

��2����� ���� ���� �� ����� ��������� �� ��������� � � � �� ������� �� ���������

������� � ��� � ���� 6� � ����� ���� ��� ��� ��������� ��� � � �� � �������� �

�������� ��

=�������������������� ��������� ����� ���� ���� ���� �������� ����� �� ��"�����

��������� �� �������� ��� �� ���� �� ����� ������ ���� �� �� �� ��� �������� ��� ��

�������������� �������� ��������������������������������������� ����� �

;������ ��������������� ������� ������2��� ����2�� ������ �������� ���$)***(� ���

�� ������ ����� ���� ������+������� ���� ������������ �����������2������������6�� ��

��� �� ����� � �2�� �� � �� ������� � ��� �� ������� ������ ��� ���� 5��� ���� $%&&-��

%&&/( �

���7�� ����� ������� ������� ��������������������������� �� ������� ����������

���� �������� ������� ��� ����� ������� ������� ������������� ����������������

Page 105: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

������������ ��������

93

������� ����� ������ ��������������������� �����8���������������������� ��������� �

������� ���������������� ��������� �� ������� ���� ��������:�

!��� ������������� ������������ ��� �"��������������� ����������>� ������� ���

� ������� ��������� ����� ����������7�������, ��������9�+�� �

E� ���� ������������������ ���� ����� ��������

F !� ���� ���� .����� �� ��������� $������ ���� #���"��� %&&'(� �� �������� ���

������� �� ����� �������������� �������������������� ��������� ��������

��������������� � ���������� �

F !����������� ���������� ��� ���������� ������ ���������������� �������� ���

������������������ ��������� ��� ������������ ��� ����2����������� �?���� @�

������� ����� �� ����������� ����� ������� �� ��������������������� ������

2��������� ������ ��������������������� � �C���������� ������ � � ������� �

����� ��������2���� ���������� ��� � � ���������������������������������� ��

������� ������ �� � ���������� �� ��� �������� �� �� �� ������ ��� ������ � ��

��������� �

F ,�� �� ��� ��� ������ �� � � � ������� � ��������� �� ������ � ��� ��� ��������

$� ������ �� �������� ��� �������(�� ������ ����� $��� ���� �� � ��� ��������(��

�7� ��� � ���� �� �� �������� � ��������� � �� �� ��������� � ��� �� �� �� ��� ��

�������������������� �G������� ��������� ��� ������ ����� ���������� ����

� �� ������� �� ������������������������������ � �����������������������

��� ��� ������B��� ��� ������� ����) � �!� �� ������������2�� ��� �� �"���������

������������������������ �"��������� ��������� ���������������0���������� ���

���������� �� ����� ������� ���� ���� � � ��� ������� �� ���� �2�� ��� ��� ���

$)***����%&&)(�������������� ����� �� ����������������������������� �����

��������� ���� ������ ���� � ������� � ��� ���� ��� ������ ����������� ��

�� ��������� ��������� ��������������������� �������������� ��������� ����

�� �"���� �

F =���� �� ������� ������ ��� ������� ���� � � � � ������� � ���� �������� ����

?��� ���� ��@������������������� �������������������� ������� ����������

�� � ����� � G��� ��� � � ������� � �������� � ���� �� �����+��� ��� ������ ��� ��

� ���� �������� �� ���� �� � � � ������� � $������� �� ������ �� ��� �� ��������(�

�������� ���������� �"�����������������7� ��������������� ������������ ��� �

������ � �� ������� � ��� �� � ��� 2����� �������� ������ ������ ������ �������

���������� ��������� ��������� ���������� �������� � ��������� �� �������

��������� ��������� � ��� �� �� �� ��� �� ���� � ��������� �� �� ��� ���

�������� �

F ,������ ��������������� ������������������ ������� ����������� ��� ��������

��������� ����������������� ����� �������6�� �������� ������� �������� ���

������������ ���)����'��� ��������� � � ������ ���������������� �������� �����

Page 106: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

������������ ��������

94

�7� ��� � ���� �� � ����� � �� ������ ��� ���2������������� ��� � ������� � ����

������������ � ����������� � ������������������������$� �����������������(����

������������� �� ������7� ��� ����� �� ������������� �

F C� ��������� ������� � �-���'����� �������� ��� ������� ����� ���� ���������

�������� ��������������������������2����� ��������������� ��� ������� � �����

� ����� ?� ���� @� ����� ������ � ����� ������ ��� �������� ����� � � � ������� ��

����� ��� ������� ��� ���� � � � ������� � ���� �� ��������� ������������� ��

������� �������� ������ �� � � ���� ������ ������ � ;���� �"���� ���� ���� � � �

�������� ���� ��� ���� ��+��� ��� ��� � ������� ������� ����� ���������� ����

����� ���� �

,�� ���� � ������ � � ���� ������ �� ����� �������� ���� ��� ������ �� ������ � �

� ������� �� �� � ������ ��� ���� ������ � � ���� �� 2����� ���� � � ��������� � ����

������� � ,�� �� ������ �� -� ���� �2�� ���� ���� ��� �� �� �� ��� �� ���� ����

� �������� �������� �� � ����� ��� ���� � ����� ���� �� �� ��� ���� ��� ���� ��� �������

������� � � � ��������� � ���� ������ ������� � !���� � ��� � � ������ � �� � �

������� � ��������� � ��� � � ������ � ������ �� � �������� ������ ������

��������� ���������� ��� �� ���� ��� ��������� �� ����������� ����� � ���

��������� � ��� �� �� �� ��� �� ��������� �� �� ������� � 9 ����� � ���� ����� ��

������ ��'��� �� ������� ����������������� ��������������� �� ��?� �����@���

�������� ��� � � ��������2� � �� � � ���� �� � $ �� ������� ��� � ��� � � ������ �

��������� (� ����� �� ����� � � ��� �������� � ��� � � � ���� � �� ��� � ��� � �

�������� � �� � ������� � �� � � ������ � ��������� � �� ����� ������� �����

������ $��� �� ���������(�� ������ ������ � ����������� �������� $� ������ ��

�������(�� � ������ ��������� �� � � ������ � ��� ��������2�� �� �7� ���� ���� �6�

����� ����� ����������� � �� ����� ���������������������� �

F =������������ ��>���������� �������������������������� ��������������� ����

� ��������� �� � � ����������� ���������������� ������������������ �����

������ ���������������������B��������� ������������ ����� �������� ����� �

��������� �������� ���������������� �1��� ��� ����������������������� �����

�� ������� �$��� ����������� �����(��������������� �� ������������� ����� �

��� ����+���� ��� ��������������������� ����� �� �,��� ������ �� � �������� �

���� �������� ��������� ������ �� ������� ������������ �,������� ��������

�� ���� �� �������������������� ���� �� ��� ��������������� ����� ���� � ����� ��

�� ������� ��� ������� ���������������������������������������������������

��������$� ���������������(���7� �������� ������� ����������� � ����������

���� �� ����������������������� ��

F <�� �������� ?���� ���� ���@� ������ ������ ��� �� � �������� �� ����������� ����� � ��

��7�� ���� ��� ����� �������� ��� �� ����� ����� ��� ������ �� �� �� �������

��������6�� ���������������������������������������� ���� ��������������� ��

���������������� ������� ������ ��, ��� �� ���������� ����������� � ���������

� � �� ��� �� ��������� ���� � �� ������� ���� � ������� � �%��-���'����������

������� �� ��������������� ������� ������� ���������� ���� ���� ���������

Page 107: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

������������ ��������

95

���������� � � ������ ������ ���� � �������� � ����� �+������ � � ������ � ��� � �

������ � ��������� �

F <���� ��������� ���������� ������� ����� ����������������� ��� ������ �������

���� � ������������� 6� ����� ����� ����� ��������� �� ������ ������ �� � �����

�������������?�����������@��������������� ������������� ����� �

F ,��� � ������ ����� ������� � ������ ������������� �� ������� �� ��������

���2����� � ���� � ������� � ��� �� ������ ����������6� ������ ���� �� ������ ������

���������������������$�������(����������������������� �����������2���� ���� �

F �� � ������ � ��� � � � ������� �� ��� �������� ����� ���� � � � ������ � �

� �������������� ��� ��������������������������������� ����� ��?�������� ��

� ����@6������������������� ��������������� ������ ���� ������������ �����

������ �� ����� ������������������ ��� �����������

F =������������������� � ������ � ������������ ���� ������ ������� ���������

�� � ������� ��� � � �� � � � ����� � ������ � �� �� ������ ��� � � ������� � ��� ��

� �������� � � ! ����� � ��� ��� �� ������� ��� ������� �� ������� ��� �����������

��������� ��������������� ������������ ����� �� ���������� �

��� ���������������� �!��"��#� ����$��"�%�!�&�

;�� ��������������������������� �������� ������������� ��� �� ����� � ����

�+������� ������

C������������ ��������� ������0��� ��� �����������������������������������

����������������� ������������ �� ���� ������ ������������ �� ���� � ������� �

���� �� ��� � ����� �� �� � ��������� ���� ������� � �� ��� �� � � �������� � ���� ��

����������� ����� �

=���������� ��� �� ������ ����� ������ ��� � ����� ������� ������ ��� ���� .������ � ��

��� �����+��� �������5��� ����������� ����� � ������� �������� ��������������

��� �������� � �������� �� �� � ������ � �� ������ � ��� ���� � �� � 6� ��� ����� ����

��� �������� ������������������ ���$%&&)(���� ��������� ����� ����������.�����

����������� ���� �7�� ��� ������ ����� ��� �� � � ���� � � ����� ������������� ��

$��� �������� � ������ ������ � ������ ��������� ��������� �� �����(� ������� ���

�������� ������� ������� ���� �"������� ����������2� �

,� ������ ���� ���� ��� ���� � � ��� ������� � �� ������ �� � � �������� � �� ����

������������ ������ �� ����������� 6��������� �� �� ���������� ������� �������� �

�� ������������5��� ���6� � ����� ������ � ������ ���� � ������� ������� �����2� ����

H����������������#��������� �,����� �������� ���������� � �������� ����������

��� �� ����� � ����� ��������� ���� �� ��� ������� ���������� �� ��� ������ ���� �

��� ���� ���������� ���� ����� �� �

Page 108: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

��������������� �������

96

��������������� ���������

�������� �� �� ������� ��� ������ ��� ������ �� �� ������� �� �������� ����� �!��"#��� ��������$"� �� "����� �� %��!����� �"� %��&��!��� !��#�%����#����� �� ���!��'��!�� ��!� � ���� ("�)�"�����(��*��������+�� ,�##�*�� �( ������������������������� ����������������������� � �� ��� ������� ����� ���������� �� ��������� �� ������������� ���

����������� ��������� �� �-�� .� �/0�� �12���3� 4����$"� �� ��#�!�#���� ( ���#�����56�(47��.�5�6��

��������� )���8�9�� �� �����:����� �0;;<��� 5"���#������"�����&���� �����$"�%������������%��!������ ("3� �"���� 9�� =$%��� �� ��#�� ����� ��� ������� ������������ ����������� ������������� �������������!��"����������"�#�$������%$�&����������������������

������������ '(()*+,,'$� &�������� ��� �������� ���������� �%%�� -�� >� ��;�� �12���3��+� 5(�4(���(4?��

������� �� �� ��"����� (�� �������� =�� '�����$"3� �"�� �2%����$"� �'@���� �� �"#��%��#���� ("��� ����@�� �����������-�������������������.�������$�A������0��.�0A��

�)���8�9���0;;����/�������������"����������������������������������������$�-���������������$� 7����� �� ��#��� �� "�� %�&���� ��� ��"#��� �� 5"���#�����$"� �� �� (�#� ������"�� ��� ���5�6���12�����

�)���8�9�� ��B���@��4�� �0;;����0�������'�� 4�����%�������� �����$"�����" ����3���"�#�������12���3�( ����"���4� ��

�)���8�9�� ��B���@��4�� �0;;����0�������+�� 4�����%�������� �����$"�����" ����3���"�#�������12���3�( ����"���4� ��

�)�"����� (�� )���8� )�� �� C �� ���� B�� ����<���/�� ������������� &�������� ��� ��� 1�2����������������� ����� ��� .�������� �������� ',�� &��!��"�� �� 3�����"�#�� �� ����������������12���3���"������6����"��� ��5"���#�����$"�( ���#�����

�)���D���B$!����0;;����&���������������������������'���12���3�6������12������)���D���B$!����0;;����&���������������������������+���12���3�6������12������)���D���B$!����0;;����&���������������������������)���12���3�6������12������)���������B��)���������6��E�C ��'��� �����0;;-���F�#��"�����" � ���!���������G���� ��"�#D����D�������������! ��4�������������2���������5�2������+)��.0;���

)���������B��)���������6��E�C ��'��� ����0;;����F�#��"�����" � ���!���������G���� ��"�#D����D�������������! �����#�<��F�#��"�����" � ���!���������"����'�"�#��"����2��4�������������2���������5�2������0���/<>���A�

Page 109: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

��������������� �������

97

)���������B��)���������6��E�C ��'��� ����0;;����F�#��"�����" � ���!���������G���� ��"�#D����D�������������! �����#�-�����&��! ������"����!%��� �!�%%�"����" � ������"���2��4�������������2���������5�2������0����>�����

���"#�����F�����#��� ������&�����B��*��'�"�F��=���!�� �����#@"���B����"#����B������"�� �� ��4�"�D���� �� �0;;���������������'�� 4�����%�������� �����$"�����" ����3�9���������� �����"��!��"#����#�!�#������12���3���B��H�,�����

���"#�����F�����#��� ����*��'�"�F��=���!�� �����#@"���B����"#����B����4�"�D���� ���0;;���� ����������� +�� 4����� %���� ��� � �����$"� ����" ����3� 9���������� �����"��!��"#����#�!�#������12���3���B��H�,�����

���"#�����F����&�����B�����#��� ����*��'�"�F��=���!�� �����#@"���B����"#����B����*�������� ���0;;���������������)��4�����%�������� �����$"�����" ����3�9���������� �����"��!��"#����#�!�#������12���3���B��H�,����

����#��� �� �� �0;;A��� *��!���$"� �� �"� �������� �������3� ��� ����� ��� !�2�!�� �� �"��'�"��$"� �"� ��� �&��� �� =I,��%�#��� �� ������ B�� �"����� ������ /��������������� ��%��������������������������&�����������0��0/<�.�0A/�

����#��� �� �� F����� �� �� ����"�� B�� �0;�;��� (�� �������� !�#�!�#���� �������� �� ����������#!����"�������&���� ��#�2#�����������0�--��<>���

�����������������4��"�'��� ������"#� ���"�����%��" ���:�����������F�'��2��"����"�#��"�������"��%#�� ���%��" ���:�����"�'���#�����%����������������"�#���-����<��.��-0��

���� ����*���*������F���0;;����(������ ���������'������"���� ��������! �#�!�#�������������?"� ��#� ��� ������%��#�!��$����� �"� ��� "����� &������ �� #���1�� �� ���� ��&���� �� #�2#��� ������/�����������������%��������������������������&����������;�����><���

�9I!���� )�� �� B� �"�� �� �0;;���� (�� �"'�G��� �"#���!�$#���� ��!�� �"� ���������� �� ���7���@�� "#��%��$����� �"� 9� ��#���� �� ��� ��#�!�#����� ������ /��������������� ��%��������������������������&����������;�0�����>0����

�9I!����)���0;;/���5������������������������������������������������������������������������������������12�����F����#1��

�9������� ���0;;0���/���������������������������������!��"����������������$�3����������� ��� ������������ �� ��� ����� ��� �������������� 7����� �� !���#�@�� "�� %�&���� �����"#��� ��5"���#�����$"��� ��(�#� ������"�� ��� ���5�6���12�����

�*�" ����� �� 5���0;;/��� /�����"����������������������������������$�7����� �� ��#��� ��"��%�&���� ��?"������ � � ��)����"��5#������

Page 110: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

��������������� �������

98

*�������� +�� �������� 6���������� �� ������"�#�� ��� �� ������ �� ���!��"�� �� �������������� 7����� �� ��#��� �� "�� %�&���� ��� ��"#��� �� 5"���#�����$"� �� �� (�#� ������"�� ��� ���5�6���12�����

�B���@��4������" ����7���0;;����0�������)��4�����%�������� �����$"�����" ����3���"�#�������12���3�( ����"���4� ��

�B� �"�� �� �� )�#�"���� ��� �0;;-��� 4��"�'��� �� �"�#�#����"��� �� %����"��� �� ���� �&:�#���!�#�!�#������ ��2���2����������7��������2�����7��$��-�<�<0/�.�<//��

�J����"� 7�� ����;��� � 7D�� ��������� ������� ��������� 8� %�� �������� ��� ���2���� �� ("�F���"#�F������D��"�6�!&���=���"�"������!&���+D���(F5�K4�(���

�J����"� 7�� �������� �����"��� 8"�H�� ��� �'� ��#��"��� "�!&���3� 5#�� �"#��#���� �" � '��!��� �����%!�"#�� 5"� ��,��&��#�E�� ��)�D���( ����.�������������������������������2�������������%%���A0>������F��#�"��3�6�#��"������"�����'�7���D�����'���#D�!�#�����

�J��%�#���8� �� ,������ ��� 48���!���� +�� E� ������� ��� �0;;/����������� ��� ���2�������&���������6�H�L��8��4%��"�����

�=�!�"� 4�� �������� ����2���� ��������� ��� ������ ���� ���������� � &������� ��������9��:��������������������������������������2���� ���G��##��?"������#��� =�H��"���(��&��! �������#�����&���D�������DH�D�6�H� �������

�=�!�"�4���0;;���������"#�"���" ���%����"#�"�3�*��! �*���#��"��#��F�#��"����("����������( ���2����������������������������2�������2������$�0;;��L���&��8��'�#D��6�#��"������"�����'�7���D����'���#D�!�#�����%%�� �-A� >� �A/��F��#�"���3�6�#��"������"�����'�7���D����'���#D�!�#����

���"#���� (�� �0;;A��� ������� �� ��� &�������� ���������$� 0������������� ����������$�����������$� F���%��� �� ��� ;�� �� '�&����� �� 0;�;� ��D##%3KK� ������"��%��������% '���&�!2K�������K ���!�"#��K���������!)�����K4���" ����K%���K���#�!�#�����% '�

��������"��� ������������ ���0;;/���=��"���$"� ��%�� ����$"3�"���������%��%���#�� � ��#����%���� ��� � �����$"� �"������#������ ������ /��������������� �� %������������ ��������������&��������������0/�.�A���

�������%��B��� ���0;;/���%������������2������:��������2��;���������9��:��������������������������2�����������������������������������;���������������������9��:��������

���������������$�7����� �� ��#��� ��"��%�&���� ��+D���4#�#��?"������#������!&�������"#����B�� �0;;/���&���������������������������� 0���������������<������� 7����� �� ��#��� �� "�� %�&���� ��� ��"#��� �� 5"���#�����$"� �"� ���"���� %���� �� �� 7��"����@����"�� �� ���5�6���12�����

Page 111: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

��������������� �������

99

6�7����������(�#�" �������������������� ����������$"�%�������� �����$"�!�#�!�#�����(�%���3�4���� � �" ������ ��( �����$"���#�!�#����7,=(4��

�+D����"�4������������#D�!�#�����!��"�"���" ��%%����#��"���!��"�"���"�#D����!�"#�����'�'���#��"���" �����#� ���"��%#��� 5"� ��,��&��#�E�� ��)�D���( ����.�������������������������������2�������������%%��/<>�0���F��#�"��3�6�#��"������"�����'�7���D�����'���#D�!�#�����

�+##��� ���0;;/������"�"���" �!�#D�!�#�����("�J��%�#���8� ��,���������48���!����+����������������������������2�������&����������%%��0<��.�0A;��6�H�L��8��4%��"�����

�������� ��� �� ��� �!����� � � �0;;���� ���%���#�� � ��#���� %���� ��� �"����"��� �� ����'������"��� �"� ����#�� ��� �� �� � �����$"� %��!����$� %������������ ��� &�������������������M5�0;�.0����

����"�����"��� ��'�� F���%��� �� ��� ��� �� ���#�� �� 0;;�� ��D##%3KKHHH���'��!������" �������%���&�!2K!�#�!�#����K�

���"������������������������������������������������������������=�����12���3�569��

�F@�������0;;0���&������������>�����������������������������"�#�������<������5"'��!�� ��5"���#������"���( ���#������A�����0���>0/��

�48���!���� �0;;/��� ���"�"�� �"� ��#D�!�#���� ( ���#��"�� ("� J��%�#���8� �� ,������ ���48���!����+�� �� ���������� ��������������2�������&��������� �%%�� �<� .� �;;��6�H�L��8��4%��"�����

�4(�� �4����#��@�� �� ( �����$"� �N&������ �0;;0��� /����� ����� ��� �������� ( �����$"�4���" �������#�!�#�������12�����

�4(���4����#��@�� ��( �����$"��N&�������0;;A��������������&�����+,,?��( �����$"�&�������4���" �������#�!�#��������12����

���� �!������ ������<���/�����������������������#�������������������������������������������� ��� 1��� 7����� �� ��#��� �� "�� %�&���� �� ��"#��� �� 5"���#�����$"� �� ��(�#� ������"�� ��� ���5�6���12�����

������G���� 4� �� 4�"#��� =�� �0;;���� ?"� ��#� ��� ������%��#�!��$����� ��� ��������!�#�!�#���� ��������� (�� ����� �� ��� %��&�&��� � � ���!�"#����������� ��� �������� ������2������$��2���������������������������%��&�''��%%����.��0����12�����

��

Page 112: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

100

                

 ANEXOS 

                    

Page 113: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

101

Anexo A  

Interpretaciones para la fracción 4

3 según Lamon (1999, pp.32–36) 

Ejemplo 1:  Está  relacionado  con  situaciones  a  las  que  recurrimos  en  la  vida  cotidiana, donde Fandiño (2005) advierte que con frecuencia se encuentran muy lejos de la idea escolar de las fracciones, en este caso se expresa un tiempo.  Juan le dijo a su mamá que regresaría en 45 minutos. 

        

Figura 1. La unidad.                                             

                             4

3 de una hora 

Figura 2. La representación de 45 minutos de 1 hora.  

Ejemplo 2:  Se señala una distribución de pasteles, en el que las nociones de partición, cociente y parte todo se hacen presentes, cabe señalar que en este ejemplo predomina la noción de cociente. 

 Melissa  tenía  3  pasteles  circulares  grandes,  todos  del  mismo  tamaño  –  uno  era  de chocolate, otro de coco y uno más de fresa. Ella partió cada pastel en 4 partes iguales y se comió una parte de cada pastel. 

 

 Figura 3. La unidad es 3(unidades de 1) o 3 pasteles simples. 

 

Figura 4.   4

3 significa 3 (

4

1 de pastel) 

   

Page 114: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

102

Ejemplo 3:   Para el tercer ejemplo, se hace alusión a la noción de razón para referirse a la relación de niños con respecto a las niñas en un salón de clase, al mismo tiempo se requiere necesariamente expresar con un cociente la razón El Señor Alberto tiene 3 niños por cada 4 niñas en su grupo de historia.  

4

3 significa  4:3 o 3 niños por cada 4 niñas 

  

  

Figura 5. Representación de la razón de niños y niñas.  

Ejemplo 4:  Se alude también a las nociones de reparto, partición, cociente y parte todo; sólo que a diferencia del ejemplo 3, la unidad es “diferente”.  Cuatro  niños  estaban  discutiendo  sobre  cómo  compartir  un  paquete  de  galletas.  El problema es que un paquete contiene 3 galletas.  Su maestra de kínder tomó un cuchillo y cortó el paquete completo en cuatro partes iguales.  La unidad es una unidad compuesta:          

  

Figura 6.  La unidad compuesta. 

4

3 significa 

4

1 de la unidad de 3 tomada como una unidad compuesta, ó 

4

1 (unidad 

de 3) considerada como una pieza entera, más bien que como 3 piezas individuales. 

 

Figura 7. La representación de 4

Ejemplo 5:  

Se establece una unidad compuesta de 4 partes y a cada parte se le atribuye ser una parte del total. Las nociones involucradas serían parte todo, cociente, partición.  

BBB  BBB  BBB  BBB GGGG  GGGG  GGGG  GGGG 

Page 115: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

103

El chicle bomba viene en 4 piezas dentro de un paquete. Tres niños toman 1 pieza cada uno  

 Figura 8. La pieza de chicle. 

Es  la unidad. 4

3significa 3 piezas,  cada una de  las  cuales  es 

4

1 de  la unidad, o  (

4

1de 

unidad) 

 Figura 9. Piezas del chicle. 

 Ejemplo 6:  Se  expresa  la  cantidad  de  mujeres  en  un  grupo  determinado,  para  lo  cual  se manifiestan tanto razones, proporciones, parte todo,  incluidas operaciones como el producto y el cociente.  

En  una  reunión  hay  12  hombres  y  la  cantidad  de mujeres  (M)  es 4

3del  número  de 

hombres, es decir (H) o M =4

3H 

Éste es un problema de multiplicación. Para obtener el número de mujeres: a) Multiplicamos el número de hombres por 3 y dividimos el resultado entre 4 ó b) Dividimos el número de hombres entre 4 y multiplicamos el resultado por 3 

 Ejemplo 7:  Para este ejemplo se expresa a través de representaciones gráficas la forma en que se podrían representar cantidades menores que uno, es decir, decimales.  María le preguntó a José cuánto dinero traía. José buscó en su saco y mostró 7 de diez y un centavo. 

$ .75 es otra forma de escribir 4

3 de un peso.  .75 es un número decimal. 

 Figura 10. La representación de un peso. 

 

Page 116: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

104

 

Figura 11. La representación de 10

7de 1 peso y 5 centésimos. 

 Ejemplo 8:  Lamon  nos  presenta  la  manera  en  que  una  fracción  se  representa  en  una  recta numérica,  como  punto  de  una  recta  orientada  como  lo  señala  Fandiño  (2005), además  de  parte  todo,  medida;  advirtiéndose  que  todos  los  racionales  se corresponden con un punto en la recta. 

 

4

3 deberá tener una posición sobre la siguiente recta numérica. Su posición se encuentra 

tomando 3 de 4 subunidades del intervalo unitario.  

 

Figura 12. Ubicación de 4

3en la recta numérica.  

Ejemplo 9:  En  este  ejemplo  se  aprecia  otra  forma  de  expresar  la  unidad  compuesta  y  lo  que implica representar a  través de una  fracción una parte del  total o una parte de cada parte. Nuevamente, la noción parte todo se presenta en este caso.  Un tipo de dulces viene en paquetes de 4 y Natalia tiene 3 paquetes cada uno de diferente color. Ella se come un dulce de cada paquete. 

 La unidad es 3 unidades compuestas diferentes. 

 Figura 13. Paquetes de dulces 

 

Page 117: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

105

 4

3 significa 3 piezas, cada una de las cuales es 

4

1de uno de los paquetes. 

 Figura 14. Un dulce de cada paquete. 

   Ejemplo 10:  Aquí se observa una manera en que la noción de porcentaje puede presentarse, con un ejemplo referido a la representación gráfica de una fracción. Tres ideas se ponen en juego: fracción, porcentaje y decimal.  La tienda para caballeros MARTIN tuvo una gran venta – 75% de descuento. 

75% o 100

75 (75 de 100) es otra forma de escribir 

4

3. 

 

Figura 15. Representación de 4

3de la unidad. 

 Ejemplo 11:  Se aborda a través del funcionamiento de  una máquina para escuchar cierta cantidad melodías en función de la cantidad de monedas colocadas.  Mamá observó que en cada ocasión que Juanita colocaba 4 monedas en una máquina de intercambio,  se  escuchaban  3  melodías.  Cuando  mamá  tomó  su  turno,  colocó  12 monedas.  

4

3 define una  forma de operar sobre otro número en  tal  forma que reemplaza cada 4 

objetos por otros 3 (un intercambio de 3 por 4). Así que  9124

3  

Page 118: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

106

 

Figura 16. Representación del proceso  9124

3  

Ejemplo 12:  En  este  último  ejemplo,  se  recurre  a  la  noción  de  probabilidad  para  justificar  una posibilidad.  Alfredo tenía 12 calcetines azules y, 4 negros en su armario.   El se preguntó acerca de cuál era  su chance  (la probabilidad) de  tomar y  sacar un calcetín que correspondería con el calcetín azul que ya tenía puesto en su pie izquierdo. 

 Figura 17.  Calcetines azules y negros. 

 

12  de  los  16  calcetines  en  el  armario  son  azules.  Esto  significa  que 4

3  es  la 

probabilidad de que el calcetín que saque sea azul.  

                 

Page 119: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

107

Anexo B  

Subconstructos del modelo propuesto por Kieren expuestos por Lamon (2001)  a) La unidad y las comparaciones parte – todo  Señala  que  una  comparación  parte  –  todo  se  utiliza  para  contrastar  una  o  más porciones iguales de una unidad con el número total de porciones iguales en las cuáles se divide a la unidad, advirtiendo que una porción no es lo mismo que una pieza.  Considérese el siguiente ejemplo:  

En él están  sombreados 5

3.   Esto  se debe a que el área del  rectángulo completo  se ha 

dividido en 5 partes  iguales y estamos comparando el área de 3 de esas partes con el área de las cinco partes del total. 

 

Figura 18. Representación de 5

3 partes de la unidad. 

Podríamos  pensar  que  este  rectángulo  fue  compuesto  de  20  cuadrados  de  (4

1  de 

pulgadas por lado).  La porción sombreada entonces sería 20

12 del rectángulo. 

 

Figura 19. Representación de 20

12 de la unidad. 

 b) Los cocientes y la partición 

 Un número racional podrá verse como un cociente,  como resultado de una división.  Veamos el ejemplo:  

4

3 puede  interpretarse como  la cantidad de pastel que cada persona obtiene cuando 3 

pasteles se dividen igualmente entre 4 personas.   Advirtiendo  que  los  cocientes  los  cocientes  surgen  en  actividades  de  reparto, actividades bien conocidas por los niños de preescolar. 

Page 120: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

108

Respecto a la partición, señala lo siguiente:  Es el proceso de dividir un objeto u objetos en un número de partes ajenas y exhaustivas.  Esto significa que las partes no se traslapan y que cualquier cosa está  incluida en una de  las partes. Cuando utilizamos  la palabra en relación a las fracciones, es con la condición de que las partes sean del mismo tamaño.  Por ejemplo:  

   

      Figura 20. Representación de la unidad.  

                                

Figura 21. Un ejemplo de partición  

el  cual no es favorable para representar la fracción 4

3 porque las piezas no tienen el 

mismo tamaño.  

Lamon (1999),  subraya que en el proceso de partición descansa en el  corazón de  la comprensión de los números racionales y siendo ella una acción fundamental para la producción  de  números,  de  conceptos  matemáticos,  de  razonamiento  y  de operaciones, existiendo así razones para involucrar a los estudiantes en actividades de partición. Así las fracciones y los decimales están formados mediante la partición.   Contrario a lo impensable,  la enseñanza ha hecho poco uso de la partición. Se utiliza de manera implícita al  inicio de la enseñanza de las fracciones cuando las fracciones parte – todo están definidas: el denominador señala el número de partes iguales en las que  el  completo  se  dividió.  Los  niños  por  lo  general  hacen  algunos  dibujos  para representar comparaciones parte – todo, pero después abandonaron los dibujos.  c) Operadores   Entenderemos a la noción de operador como reducir o alargar, contraer o expander o multiplicar y dividir.  Los operadores son “transformadores” que: 

- Alargan o recortar los segmentos - Aumentan  o  disminuyen  el  número  de  ítems  en  un  conjunto  de  objetos 

discretos o - Tomar una figura en el plano geométrico, como un triángulo o un rectángulo y 

mapearla en otra figura más pequeña o más grande con la misma forma. 

Page 121: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

109

En el proceso de aplicación de  un operador pueden tomar lugar tanto una reducción como  un  alargamiento  (contracción  y  expansión,  alargamiento  o  reducción).  El resultado  final  del  proceso  es  reducción  o  alargamiento,  dependiendo  de  qué  ha dominado el proceso. Por ejemplo: 

El  resultado  final  de  un  operador  “3

4de”  será  un  alargamiento  porque  éste 

específica más alargamiento que reducción. Alarga mediante un  factor de 4 y reduce mediante un factor de 3 

 Una noción que aparece en el ejemplo planteado es la composición, concebida como un proceso en el que al realizar una operación, y después realizas otra operación sobre el resultado  de  la  primera  operación,  es  posible  “componer”  operaciones,  o  realizar alguna operación simple la cual es una combinación de dos.    Ejemplo:  

Se dice que el operador  “5

3de” define una composición de  la multiplicación  (un 

alargamiento,  tomando  algo  y  obteniendo  3  veces  su  tamaño)  con  la  división 

(una reducción, tomando algo y obteniendo 5

1 de su tamaño, o dividiendo entre 

5).    d) Medida   Al hablar acerca de los números racionales como medidas, el foco de atención estará sobre la partición sucesiva de la unidad. Indudablemente, la partición juega un papel esencial en otras de  las  interpretaciones de  los números  racionales, pero existe una diferencia.    Hay un aspecto dinámico en  la medición, en  lugar de comparar el número de partes iguales que se tiene con un número fijo de partes iguales en una unidad, el número de partes iguales en la unidad puede variar y el nombre que le des a la parte fraccionaria depende del número de veces que se esté llevando el proceso de partición  En  la noción de medida, un número racional es usualmente  la medida asignada a un intervalo  o  alguna  región,  dependiendo de  si  uno  está  utilizando un modelo  de  una dimensión o un modelo de dos dimensiones. En un espacio unidimensional se  mide la distancia  de  un  punto  de  la  recta  numérica  a  partir  de  cero,  mientras  que  en  un espacio bidimensional, se mide área.    Establecida  de manera  simple,  la  propiedad de  densidad  de  los  números  racionales dice que entre dos fracciones existe un número infinito de fracciones y que tú siempre puedes estar tan cerca como quieras de cualquier punto con una fracción.  La partición sucesiva nos ayuda a nombrar a otras fracciones entre dos fracciones dadas. 

Page 122: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

110

La  noción  de medida  comparte  ideas  y mecanismos  con  las  comparaciones  parte  – todo, cocientes y operadores.   e) Razón   Establece  a  la  razón  como  una  comparación  de  cualquier  par  de  cantidades,  puede utilizarse para presentar una idea que no se puede expresar con un simple número.   El diagrama resume los diferentes tipos de razones identificados: 

 

 Figura 22. Tipos de razones. 

 Las razones que comparan medidas del mismo tipo pueden ser: comparaciones parte – todo y comparaciones parte – parte.  Las comparaciones parte – todo son razones que comparan la medida de parte de un conjunto con la medida del conjunto completo, mientras que las comparaciones parte – parte comparan las medidas de parte de un conjunto con la medida de otra parte del conjunto.  Las  razones  que  comparan  medidas  de  diferentes  tipos  son  usualmente llamadas  tasas,  en  donde  implícito  en  el  uso  de  la  palabra  “tasa”  está  la  suposición adicional  de  que  la  comparación  describe  una  cualidad  que  es  común  a  varias situaciones.  Destacamos  lo que se señala  respecto a que en algunos sentidos  las  razones poseen otras interpretaciones. Por ejemplo:  las razones no son siempre números racionales, consideremos la razón de la circunferencia del círculo con su diámetro  dc : , no es un  número  racional  porque    no  puede  expresarse  como  cociente  de  dos  enteros, otro ejemplo sería  la razón del lado de un cuadrado con su diagonal  2:1 .  2  no es un número racional, es un irracional y un ejemplo más sería que las razones pueden tener un cero en su segundo componente, pero las fracciones no están definidas para un  denominador  cero,  como  ejemplo  se  menciona  que  si  se  reporta  la  razón  de hombres  respecto  a    las mujeres  en  una  reunión  a  la  que  asistieron  10  hombres  y ninguna mujer, podría escribirse  la razón  0:10 . Parece prevalecer dificultades en el uso de las tasas y de las razones en la enseñanza.  

Page 123: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

111

Al  respecto  cabe  señalar  que  las  razones  entre  números  enteros  son  racionales (siempre y cuando el denominador sea diferente de cero),  lo mismo que  las razones entre dos racionales.  En  ocasiones  una  razón  es  escrita  en  forma  de  fracción,  pero  no  siempre;  las comparaciones  parte  –  todo,  operadores,  medidas  y  cocientes  son  con  mucha 

frecuencia escritas en la forma de fracción b

La razón de  a  cosas a b  cosas puede escribirse en varias formas: 

1. b

a ó  ba /  

 2. ba  

 3. ba :  

 4.     b  

Respecto  al  estudio  longitudinal  que  Lamon  condujo  se  centró  en  el  desarrollo  de significados y operaciones de los números racionales por parte de los niños. Durante 4 años en dos escuelas urbanas de diferentes partes del país, cinco grupos del tercer al sexto grado experimentaron con la comprensión de los racionales, sobre una diferente 

interpretación  inicial  del  símbolo 8

7.  Uno  de  los  grupos  inició  su  estudio  de  las 

fracciones  al  interpretar  a8

7  como  una  comparación  entre  la  interpretación 

parte/todo y la unitización (la cual se refiere al proceso cognitivo de reconceptualizar una cantidad de acuerdo con una unidad de medida que es conveniente para pensar y operar sobre dicha cantidad). Un sexto grupo que recibió una enseñanza  tradicional de  fracciones  sirvió  como  grupo  control.  El  estudio  presentó  una  oportunidad  para comparar  enfoques  no  convencionales  con  la  enseñanza  tradicional  y  para documentar  la  secuenciación  y  el  crecimiento  de  ideas,  lo  amplio  y  profunda comprensión  desarrollados,  así  como  las  conexiones  que  los  niños  eran  capaces  de realizar con otros subconstructos de los números racionales.  Respecto a los resultados, después de 4 años, los cinco grupos de estudiantes habían desarrollado una comprensión más profunda del número racional que  la que habían desarrollado los estudiantes del grupo control, Utilizando diferentes interpretaciones de los números racionales, los niños adquirieron significados y procesos en diferentes secuencias, a diferentes profundidades de comprensión.     

a

Page 124: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

112

Anexo C  

Significados asociados a la noción de fracción del Programa de Estudio (2006):  

EJES  TEMAS  BLOQUES   1  2  3  4  5  T 

 SN y PA 

Significado y uso de los números 1.2     1 Significado y uso de las literales 4.3  5.2  2 

Significado y uso de las operaciones  2.12.22.3

3.1     4 

 FEM 

Transformaciones      Formas geométricas      Medida  4.5    1 

MI Análisis de la información 

1.61.7

2.72.8

3.53.63.9

  5.4  8 

Representación de la información     3.73.8

4.7  5.5  4 

T    3  5  6  3  3  20 Tabla 1. Primer grado. 

 EJES  TEMAS  BLOQUES   

1  2  3  4  5  T 

 SN y PA 

Significado y uso de los números      Significado y uso de las literales 3.3     1 Significado y uso de las operaciones      

 FEM 

Transformaciones       Formas geométricas      Medida        

MI 

Análisis de la información  1.71.8 2.6   4.4  5.4  5 

Representación de la información   

3.6 

    1 

T    2  1  2  1  1  7 Tabla 2. Segundo grado. 

 EJES  TEMAS  BLOQUES   

1  2  3  4  5  T 

 SN y PA 

Significado y uso de los números      Significado y uso de las literales 3.1      1 Significado y uso de las operaciones      

 FEM 

Transformaciones  3.4      1 Formas geométricas 3.3      1 Medida   4.3    1 

MI Análisis de la información 

 2.52.6       2 

Representación de la información 1.6      T    1  2  3  1    7 

Tabla 3. Tercer grado.  

Page 125: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

113

Anexo D  Ejemplos  de  significados  de  las  fracciones  presentes  en  Cantoral,  Cabañas, Castañeda,  Farfán,  Lezama,  Martínez,  Molina,  Montiel  y  Sánchez  (2008). Matemáticas 1. Serie para la educación secundaria: Desarrollo del Pensamiento Matemático. México: McGraw Hill  Cociente:   Para  trabajar  con  las  divisiones  de  fracciones  y  decimales  se  retoma  la  actividad utilizada en la noción de proporcionalidad.  

  

Figura 23. Otro rompecabezas  Operador:  La actividad implica la ampliación y reducción de un rompecabezas en el que pondrán en  juego  nociones  previas  que  se  trabajaron  en  nociones  como:  proporción,  razón, decimal, cocientes.  

Page 126: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

114

  

Figura 24. La ampliación de un rompecabezas.  Como  podemos  observar,  esta  actividad  permite  interconectar  algunos  significados, entre ellos parte todo, operador, cociente, razón, proporción, decimales.  Porcentaje:  Para la introducción del tema se presentan varias actividades, entre ellas se retoma la actividad  “el  cuadro  decimal”  para  cuestionar  sobre  el  porcentaje  de  cuadritos iluminados y no iluminados.  

  

Figura 25. El cuadrado decimal.    

Page 127: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

115

Probabilidad:  Esta  noción  se  introduce  con  varias  actividades,  la  intención  es  tratar  con  una diversidad de información, además de emplear términos y conceptos matemáticos con expresiones cotidianas.  

  

Figura 26.  Determinación de probabilidad de una llamada telefónica.                        

Page 128: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

116

Anexo E  Ejemplos de significados de  las  fracciones presentes en Block y García (2008). Fractal 1. Serie para la educación secundaria: Construir. México: Ediciones SM.  Como punto de una recta orientada, medida, parte todo:  Se presenta una pista para ubicar corredores, en el cual los recorridos corresponden tanto a números enteros como a números fraccionarios.  

      

Figura 27.  Una pista de corredores.  

Proporcionalidad:  En esta actividad se pide calcular datos y completar un par de tablas, una referida a edades, y otra a una tarifa de un taxi.  

  

Figura 28. Completando tablas. 

Page 129: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

117

Cociente (partición), parte todo y medida:  En  esta  actividad  se  refiere  a  un  artesano  que  necesita  cortar    tiras  de madera  en partes  iguales,  de  cada  tira  requiere  pedazos  iguales,  por  lo  que una noción  central para resolverla será la de partición.   

  

Figura 29.  Cortando tiras de madera.  

Razón:  La actividad sugiere expresar cada razón de 3 formas distintas, es clara la importancia que da a la noción como con dos números, un solo número y como porcentaje.  

  

Figura 30. Formas  de expresar una razón.  

Decimal, parte todo:  En  esta  actividad  se  destaca  la  importancia  de  realizar  la  lectura  y  escritura  de grandes y pequeñas cantidades a la vez.  

Page 130: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

118

  

Figura 31.  Lectura y escritura de cantidades.  Probabilidad, parte todo:  La actividad señala a la probabilidad en términos de una medida, en la que a través de la  representación de un  laberinto se deja  caer un objeto y  luego se pide determinar probabilidades. 

 

  

Figura 32. Un instrumento para entender la medida de la probabilidad. 

Page 131: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

119

Anexo F  Ejemplos de significados de las fracciones presentes en Bosch y Gómez (2008). Encuentro con las matemáticas 1. México: Nuevo México.  Medida, cociente, razón, parte todo:   La    manera  de  abordar  la  relación  entre  estas  nociones  se  realiza  a  través  de  una actividad  geométrica,  que  tiene  que  ver  con  el  Teorema  de  Thales,  y  en  el  que  se ponen en juego además la manipulación de objetos y conexión de significados.  

  

Figura 33. División de segmentos en partes iguales.  

Razón, parte todo, cociente:  Este  ejemplo  refiere  a  la  noción  de  razón  esencialmente,  además  de  apoyarse  en nociones  como cociente, parte  todo no parece  ser de  respuesta  inmediata, habrá de reflexionarse en las nociones a utilizar para resolverla.  

  

Figura 34. Ejemplo de una  razón que no es tan obvia. Operador:  La  actividad  presentada  nos  indica  el  uso  de  nociones  como  proporción,  razón, operador, cociente, parte todo. La actividad involucra encontrar las medidas reales de un  dibujo  (un  velero)  que  se  encuentra  a  escala,  enfatizando  la  comparación de  las longitudes del dibujo con las del objeto real. 

Page 132: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

120

  

  

Figura 35.  Un velero a escala.  Porcentaje, parte todo:  Para  desarrollar  la  noción  de  porcentaje,  se  recurre  a  una  actividad  en  la  que  la representación gráfica ayudará a determinar los porcentajes, en este caso se presenta una figura rectangular cuadriculada, en la que se solicita calcular distintos porcentajes del total de cuadritos.  

Page 133: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

121

  

Figura 36. Una representación gráfica para calcular porcentajes.  Racional:  Se delimita acerca de lo que habrá de interpretarse como un  número racional y  una fracción. 

  

  

Figura 37. La definición de número racional.  Probabilidad, parte todo, cociente, operador, proporción:  La actividad plantea un experimento, del que se obtendrá la probabilidad de sacar una bola de determinado color  

  

Figura 38. Un experimento para determinar probabilidad. 

Page 134: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

122

Anexo G  

Ejemplos  de  significados  de  las  fracciones  presentes  en  Cantoral,  Cabañas, Castañeda, Farfán, Lezama, Martínez, Montiel y Ferrari (2008). Matemáticas 3. Serie  para  la  educación  secundaria: Desarrollo  del  Pensamiento Matemático. México: McGraw Hill  Razón, proporción:  Aquí  se  presenta  un método  para  aplicar  una  escala  apoyándose  en  el  Teorema  de Thales, vemos como las nociones crean un vínculo con la Geometría.  

  

Figura 39. Método gráfico para aplicar una escala.  Razón de cambio, proporción, decimal:  Con la información proporcionada en cada una de las tablas, se solicita determinar la razón de cambio, entendida como movimiento en función del tiempo; tablas en las que se utilizan tanto números enteros como decimales.  

  

Figura 40. Tablas vinculadas con la razón de cambio.   

Page 135: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

123

Proporción, cociente, porcentaje:  La situación planteada permite establecer vínculos entre dos áreas: la matemática y la química.  A  partir  de  la  presentación  de  una  disolución  (mezcla  homogénea)    se desarrollan varias preguntas, las cuáles permiten vincular significados como: medida, cociente,  proporción,  razón,  porcentaje,  decimales,  parte  todo;  así  como  nociones complementarias:  masa,  soluto,  solvente,  concentración  en  porcentaje,  junto  con porcentaje en volumen.  

  

Figura 41. Un ejemplo de mezcla homogénea.  

              

Page 136: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

124

Anexo H  Ejemplos de significados de las fracciones presentes en Bosch y Gómez (2008). Encuentro con las matemáticas 3. México: Nuevo México.  Razón, proporción, operador:  En  esta  actividad  se    presenta  información    referida  a  una  tienda  de  fotografía  que ofrece  muestras  de  los  distintos  tamaños  de  las  ampliaciones,  advirtiendo  que  las medidas se encuentran en pulgadas y solicitando determinar razón de semejanza de una fotografía.  

  

Figura 42. Las muestras de ampliación de una fotografía.  

Probabilidad, porcentaje:  A partir de la probabilidad de anotar un tiro penal determinar quien tirará el segundo tiro.  

Page 137: CENTRO DE INVESTIGACIÓ N EN CIENCIA APLICADA Y … · instituto politÉ cnico nacional centro de investigaciÓ n en ciencia aplicada y tecnologÍ a avanzada “significados asociados

Anexos  

125

  

Figura 43. El mito sobre el tiro penal.