Introducción

El trabajo de investigación tiene como finalidad que aprendamos todo lo posible acerca del centro de masa, sus características, y cómo se relaciona con el centro de gravedad.

Se pretende demostrar las características básicas del centro de masas de los cuerpos, el concepto de centro de masas y como se manifiesta.

También se quiere mostrar todo lo posible acerca del Centro de masa con ejemplos prácticos que demuestren los conceptos de este tema.

Centro De Masas

El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometido a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo.

Además es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema. Aun si el objeto esta en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera partícula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en e l punto de equilibrio de un objeto sólido. Por ejemplo, si usted equilibra una escoba sobre su dedo, el centro de masa del palo de madera está localizado directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada allí.

Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas.

Vector de posición del centro de masas

El vector de posición del centro de masas se define como:

Donde M es la masa total del sistema de partículas. La posición del centro de masas no tiene por qué coincidir con la posición de ninguna de las partículas del sistema, es simplemente un punto en el espacio.

Velocidad del centro de masas

La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector de posición:

La segunda componente de la ecuación anterior es el momento lineal total del sistema de partículas dividido por la masa total del sistema, por lo que este último puede obtenerse a partir de la velocidad del centro de masas:

Este último resultado significa que el momento lineal total de un sistema de partículas es igual al momento lineal que tendría la masa total del sistema situada en el CM, por lo que el movimiento de traslación del sistema de partículas está representado por el de su centro de masas.

Si el sistema de partículas está aislado, su momento lineal será constante, por lo que la velocidad de su centro de masas también lo será.

Si colocamos un sistema de referencia en el centro de masas de un sistema de partículas aislado, dicho sistema de referencia (llamado sistema-C) es inercial. Resulta particularmente útil para estudiar las colisiones.

Aceleración del centro de masas

Cuando un sistema de partículas no está aislado, sobre él actuarán fuerzas internas y externas, representadas respectivamente en la siguiente figura (a) en rojo y en verde; por tanto las partículas de dicho sistema tendrán en general aceleración, y el centro de masas también estará acelerado.

Sistema constituido por dos partículas. Sobre él actúan fuerzas internas y externas. En la parte (b) de la figura, se observan las fuerzas externas aplicadas en el centro de masas.

Para calcular la aceleración del centro de masas del sistema, vamos a aplicar la segunda ley de Newton a cada una de las partículas del sistema:

Masa 1:

Masa 2:

Sumando ambas,

En el primer componente aparece la derivada del momento lineal total del sistema (igual al momento de su centro de masas), y en el segundo componente la suma de las fuerzas internas se anula puesto que cumplen la tercera ley de Newton.

La expresión anterior queda entonces:

Para un sistema constituido por N partículas, el segundo miembro es la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema y por tanto:

Que no es más que la segunda ley de Newton para el centro de masas de un sistema de partículas. En la parte (b) de la figura anterior se observa el centro de masas del sistema con las fuerzas externas aplicadas en él.

La aceleración del centro de masas de un sistema de partículas es debida únicamente a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

Movimiento del centro de masas

El movimiento de un sistema de partículas o un cuerpo extenso puede abstraerse e interpretarse como si lo que se desplazara fuera simplemente su centro de masas. La velocidad de desplazamiento del centro de masas se escribiría como:

Por su parte, el momento lineal (o cantidad de movimiento) total del cuerpo se determina como:

Por lo que el momento lineal total del cuerpo para un observador que se desplace con la velocidad del centro de masas es nulo.

Finalmente, la fuerza que actúa sobre el centro de masas puede escribirse como:

De manera que el movimiento global de traslación de un cuerpo extenso puede equipararse al de una partícula puntual cuya masa fuera igual a la masa total del cuerpo.

Situación del centro de masas de un sistema material con simetría esférica.

Determinación del centro de masas: (a) en un sistema de tres masas puntuales, coincide con el baricentro del triángulo que forman; (b) en una herradura, cae fuera de los puntos de la misma; (c) en un cubo, una esfera y otros cuerpos simétricos, se sitúa en el centro geométrico.

Posición del Centro de masa para distintos objetos

Ejercicio

Determinar la posición del centro de masa de la siguiente figura plana y homogénea formada por un rectángulo y un cuarto de círculo.

Centro de masa del rectángulo de área 50, x1=-2.5, y1=5

Centro de masa del cuarto de círculo de área π·102/4=25π.

El eje de simetría es la bisectriz del primer cuadrante x2=y2

Calculamos x2 o y2. Elemento diferencial de área, dA=y·dx

Para calcular el área del cuarto de círculo, se ha efectuado el cambio de variable, x=R·cosθ, dx=-R·sinθ.

Centro de masas de las dos figuras

Bibliografía

Internet

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_//problemas/solido/cm/problemas/cm_problemas.html

http://www.sabelotodo.org/fisica/centrodemasa.html