Centro de masas Normalmente nos referimos a objetos extensos como coches, cohetes, piedras, personas… como si fuera una partícula, esto se debe a que en realidad estamos considerando el comportamiento del centro del sistema de partículas u objeto.

El centro de masas, es un punto en el objeto o del sistema que se mueve como si en él se concentrará toda la masa y las fuerzas externas que actúan sobre el sistema se aplicaran exclusivamente sobre este punto.

Así pues, por complejo que sea el movimiento de un cuerpo o sistema de partículas , ese puede ser descrito por el movimiento del centro de masas más el movimiento de las partículas individuales del sistemas respecto al centro de masas.

El movimiento del centro de masas se considera como el movimiento global del sistema.

• En un sistema simple compuesto de 2 partículas y en una dimensión, tenemos que el centro de masas viene dado por :

𝑀𝑥𝑐𝑚 = 𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 Donde 𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2 es la masa del sistema. En un sistema de 2 partículas. Para un sistema de 2 partículas el centro de masas se encuentra en un punto sobre la línea que une a ambas . Si 𝑚1 = 𝑚2, el centro de masas estará a mitad de camino entre las 2, en caso contrario, estará masa cerca de la partícula de mayor masa.

• En el caso de un sistema bi o tri - dimensional formado por N partículas, el centro de masas se define como:

donde: 𝑟𝑐𝑚 = 𝑥𝑐𝑚 𝑖 + 𝑦𝑐𝑚𝑗 + 𝑧𝑐𝑚𝑘

Para un objeto continuo, se reemplaza la sumatoria por integral:

problemas

1 - Determinar el centro de masas de la molécula de agua

y

y

Referencia: Tipler

En un barco de 4 m de longitud se sitúan dos personas, una remando y otra descansando. Al cabo de 1 hora las personas cambian de sitio. Sabiendo que la masa del primer remador es de 80kg y del segundo de 120kg. La masa de la barca es de 60 Kg. Determinar cuanto se desplaza la barca cuando hay cambio de la posición del centro de masas.

Referencia: Tipler

choque Se produce un CHOQUE entre dos partículas o sistemas cuando, al acercarse entre sí, su interacción mutua provoca una perturbación en sus movimientos con intercambio de momento y energía. • Hablaremos de choque tanto si los sistemas han estado en

contacto en sentido macroscópico (bala que rebota en una pared) como si hay entre ellos una cierta distancia (electrón dispersado por otro electrón). Si las partículas que emergen de la colisión son las mismas que las que inciden, diremos que se trata de una DISPERSIÓN, en caso contrario hablaremos de una REACCIÓN.

Para relacionar las velocidades iniciales y finales consideraremos las partículas que colisionan como un sistema sometido únicamente a fuerzas interiores. La no actuación de fuerzas exteriores tiene una importante consecuencia: «El momento lineal del sistema se conserva»; o lo que es lo mismo: «La velocidad del centro de masas permanece

constante en el choque». Así: si p1 y p2 son los momentos lineales de dos partículas inmediatamente antes del choque y p’1 y p’2 inmediatamente después, se verifica: p1 + p2 = 𝑝’1 + 𝑝’2 → 𝑉𝑐𝑚𝑎𝑠𝑎 = 𝑉𝑐𝑚𝑎𝑠𝑎

′

p1 + p2 = 𝑝’1 + 𝑝’2 → 𝑉𝑐𝑚𝑎𝑠𝑎 = 𝑉𝑐𝑚𝑎𝑠𝑎′

por tanto, la parte de energía cinética asociada con el movimiento del centro de masas es también constante: 𝑀𝑉2

2= 𝑐𝑡𝑒 . Sin embargo, la parte correspondiente al

movimiento respecto del centro de masas, Ecint, puede variar por la actuación de fuerzas interiores no conservativas, en cuyo caso la energía cinética total del sistema variará en el choque y hablaremos de CHOQUE INESLÁSTICO. Si también Ecint permanece constante, el choque se denomina ELÁSTICO

Choque frontal elástico (una dimensión) • Diremos que un choque es elástico cuando la

variación de la cantidad total de energía del sistema es = 0, es decir: «La energía cinética del sistema se conserva».

Esto supone que en el choque elástico no haya modificación final de la forma o volumen de los sistemas que chocan, que pudiera variar su energía potencial interna, ni transformación de la energía inicial en calor.

Supongamos que dos cuerpos de masas M1 y M2 que se mueven con velocidades 𝑣1 𝑦 𝑣2 chocan frontalmente (en una dimensión); el problema que queremos resolver es el cálculo de las velocidades 𝑣’1 𝑦 𝑣’2 después del choque. Por conservarse el momento lineal y la energía podemos poner:

𝑝1 + 𝑝2 = 𝑝’1 + 𝑝’2 𝑀1𝑣1 + 𝑀2𝑣2

= 𝑀1𝑣’1 + 𝑀2𝑣’2

𝑚1

𝑣12

2+ 𝑚2

𝑣22

2= 𝑚1

𝑣1′2

2+ 𝑚2

𝑣2′2

2

Ec

Una esfera A se mueve con velocidad v, choca contra otra esfera B quieta, que a su vez sale despedida y choca con una tercera esfera C, también inmóvil. La relación de masa viene dada por MA: MB:MC como 3:6:2. Calcular la velocidad con que sale despedida la bola C. El choque es perfectamente elástico.

Choque frontal perfectamente inelástico

Diremos que ocurre un CHOQUE PERFECTAMENTE INELÁSTICO (o totalmente inelástico), cuando los dos cuerpos que chocan salen de la colisión unidos con una velocidad común, que es la del centro de masas antes y después del choque. La conservación del momento lineal en el choque exige que:

Choques parcialmente elásticos

Para caracterizar el choque se utiliza el coeficiente de restitución “e”

Choques en dos dimensiones • Si el choque no es frontal, es decir las direcciones de las

velocidades no están contenidas en la misma recta, plantearemos el problema en dos dimensiones (en el plano que contiene a los vectores velocidad de las partículas o cuerpos) eligiendo un sistema de referencia inercial cualquiera OXY. • En el caso más sencillo, que como en los choques

frontales es el choque totalmente inelástico, basta calcular la velocidad del centro de masas del sistema antes del choque, para saber cómo se mueve.

Otro caso de particular interés, es el clásico problema de la bola de billar cuando choca oblicuamente en la banda de la mesa. Supondremos el choque perfectamente elástico. Si la velocidad antes del choque es v1 y después del choque es v2 (ver Fig.), podemos poner:

la conservación de p implica la constancia de la componente X de la velocidad; y de lo visto en el apartado B del párrafo VIII-17, se deduce que la componente Y de la velocidad invierte su sentido, permaneciendo constante su módulo, es decir:

y por ser v1 = v2, se verifica que j1 y j2 son iguales en «valor absoluto», y de la Fig. VIII-13 se obtiene: 𝑖 = 𝑟

«Cuando un cuerpo choca elástica y oblicuamente con otro, en reposo y de masa mucho mayor que la suya, sale con la misma velocidad que tenía antes del choque, cumpliéndose

que el ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales».