Considere el movimiento plano general de una placa. Se intenta demostrar que, en cualquier instante dado, la velocidad de las diversas partculas de la placa es la misma como si la placa girara alrededor de cierto eje perpendicular a su plano, el cual se conoce como eje de rotacin instantneo. Este eje interseca el plano de la placa en el punto C, denominado centro instantneo de rotacin de la placa. En primer lugar, recuerde que el movimiento plano de una placa siempre puede sustituirse mediante una traslacin definida por el movimiento de un punto de referencia arbitrario A y mediante una rotacin en torno a A. En cuanto a las velocidades, la traslacin se caracteriza por la velocidad vA del punto de referencia A, y la rotacin se caracteriza por la velocidad angular w de la placa (que es independiente de la eleccin de A). De este modo, la velocidad vA del punto A y la velocidad angular w de la placa definen por completo las velocidades de todas las dems partculas de la placa. A continuacin suponga que se conocen vA y w y que ambas son diferentes de cero.(Si vA = 0, el mismo punto A es el centro instantneo de rotacin y si w = 0, todas las partculas tienen la misma velocidad vA.) Estas velocidades podran obtenerse dejando que la placa gire con la velocidad angular _ alrededor del punto C ubicado sobre la perpendicular a vA a una distancia r = vA / w de A, como se indica en la figura 15.18b. Se verifica que la velocidad de A sera perpendicular a AC y que su magnitud sera rw = (vA/w)w = vA. De esta manera, las velocidades de todas las dems partculas de la placa seran las mismas que se definieron originalmente. Por lo tanto, en cuanto a lo que se refiere a las velocidades, la placa parece girar alrededor del centro instantneo C en el instante considerado. La posicin del centro instantneo puede definirse de otras dos formas. Si se conocen las direcciones de las velocidades de las dos partculas A y B de la placa y si stas son diferentes, el centro instantneo C se obtiene dibujando la perpendicular a vA a travs de A y la perpendicular a vB a travs de B y determinando el punto en el cual se intersecan estas dos lneas. Si las velocidades vA y vB de las dos partculas A y B son perpendiculares a la lnea AB y si se conocen sus magnitudes, el centro instantneo puede encontrarse intersecando la lnea AB con la lnea que une los extremos de los vectores vA y vB. Advierta que si vA y vB fueran paralelas o si vA y vB tuvieran la misma magnitud, el centro instantneo C estara a una distancia infinita y _ sera cero. Todos los puntos de la placa tendran la misma velocidad. Para observar cmo es posible poner en prctica el concepto de centro instantneo de rotacin considere de nuevo la varilla de la seccin 15.6. Al dibujar la perpendicular a vA a travs de A y la perpendicular a vB a travs de B, se obtiene el centro instantneo C. En el instante considerado, las velocidades de todas las partculas de la varilla son las mismas, como si esta ltima girara en torno a C. Ahora bien, sise conoce la magnitud vA de la velocidad A, la magnitud w de la velocidad angular de la varilla puede obtenerse al escribir

Advierta que slo las velocidades absolutas intervienen en el clculo. El centro instantneo de la placa en el movimiento plano se localiza en la placa o fuera de la misma. Si ocurriera lo primero, la partculaC que coincide con el centro instantneo en un instante dado t debe tener velocidad cero en ese instante. Sin embargo, debe notarse que el centro de rotacin instantneo slo es vlido en un instante determinado. De tal modo, la partcula C de la placa que coincide con el centro instantneo en el tiempo t generalmente no coincidir con el centro instantneo en el tiempo t + t; si bien su velocidad es cero en el tiempo t, probablemente ser diferente de cero en el tiempo t + t. Lo anterior significa que, en general, la partcula C no tiene aceleracin cero y, por lo tanto, que las aceleraciones de las diversas partculas de la placa no pueden determinarse como si la placa estuviera girando alrededor de C. Conforme avance el movimiento de la placa, el centro instantneo se mueve en el espacio. Sin embargo, se seal que la posicin del centro instantneo de la placa se mantiene sin cambio. Por consiguiente, el centro instantneo describe una curva en el espacio, llamada centroda espacial, y otra curva en la placa, llamada centroda corporal. Es posible demostrar que en cualquier instante, estas dos curvas son tangentes en C y que cuando la placa se mueve, la centroda corporal rodar sobre la centroda espacial.

EJEMPLO:

El engrane doble que se muestra rueda sobre una cremallera estacionaria inferior; la velocidad de su centro A es 1.2 m/s dirigida hacia la derecha. Determine a) la velocidad angular del engrane, b) las velocidades de la cremallera superior R y del punto D del engrane.

SOLUCINa) Velocidad angular del engrane. Puesto que el engrane rueda sobre la cremallera inferior estacionaria, el punto de contacto C del engrane con la cremallera no tiene velocidad; el punto C es en consecuencia el centro instantneo de rotacin. Se escribe vA = Raw 1.2 m/s = (0.150 m)ww = 8 rad/s

b) Velocidades. En lo que se refiere a las velocidades, todos los puntos del engrane parecen girar alrededor del centro instantneo Velocidad de la cremallera superior. Si se recuerda que vR = vB,se escribevR = vB = rBw vR w (0.250 m)(8 rad/s) = 2 m/svR = 2 m/s

Velocidad del punto D. Puesto que rD = (0.150 m) 21/2 = 0.2121 m,se escribevD = rDw vD _ (0.2121 m)(8 rad/s) = 1.697 m/svD = 1.697 m/s a 45