CENTRO NACIONAL DESARROLLO TECNOL~GICO...A la familia que encontré al pisar tierras morelenses:...

S.E.P. D.G.I.T. S.E.I.T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N Y DESARROLLO TECNOL~GICO

cenidet CONTROLADOR A HORIZONTES DESLIZANTES

APLICADO A UNA CLASE DE SISTEMAS NO LINEALES

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIER~A ELECTR~NICA P R E S E N T A: ING. BRAULIO FLAVIO MÁRQUEZ GUERRERO

DIRECTORES DE TESIS: DR. CARLOS MANUEL ASTORGA ZARAGOZA DR. ENRIQUE QUINTERO MÁRMOL MÁRQUEZ ._: , . . .. ..

CUERNAVACA, MORELOS

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cenidet Centro Nacional de lnvestigacibn y Desarrollo Tecnol6gico Sistema Nacional de Institutos Tecnol6gicos

Cuemavaca, Mor., a I7 de agosto del 2004

ANEXO No.ll

C. Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez Jefe del departamento de Electrónica Presente.

M10

At'n C. Dr. Gerard0 V. Guerrero Ramírez Presidente de la Academia de Electrónica

Nombre y firma Revisor Revisor

C.C.P. Subdirecció!i Académica

Nombre y firma

Nos es grato comunicarle, que conforme a los lineamientos/para la obtención del grado de Maestro en Ciencias de este Centro, y después de haber sometidol a revisión académica la tesis titulada: "Controlador a Horizontes Deslizantes Aplicado a una Clase de Sistemas no Lineales", realizada por el C. Braulio Flavio Márquez Guerrero, y dirigida por el Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza y el Dr. Enrique Quintero-Mirmol Márquez, y habiendo realizado las correcciones que le fueron indicadas. acordamos ACEPTAR el documento final de tesbs, así mismo le solicitamos tenga a bien extender el correspondiente oficio de autorizaci6n de impreston.

Nombre y firma Revisor

a

.

cen jd& Centro Nacional de Invesligaudn y Desarrollo TecnolOgico Sistema Nacional de Institutos Tecnoldgicos

ANEXO No. 12

AUTORIZACI~N DE I M P R E S I ~ N DE TESIS M11

Cuernavaca, Mor., a I7 de agosto del 20004

C. Ing. Braulio Flavio Márquez Guerrero Candidato al grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica Presente.

Después de haber atendido las indicaciones sugeridas por la Coinisióii Revisora de la Academia de Electrónica en relación a su trabajo de tesis cuyo titulo es: "Controlador a'Horizontes Deslizantes Aplicado a una Clase de Sistemas no Lineales", me es grato coinunicarle que conforme a los lineamientos establecidos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en este centro se le concede la autorización para que proceda con la impresión de su tesis.

Atentamente

C. Dr. Enrique Quiftero-Mánnol Márquez Jefe del Departamento de Electrónica

C.C.P. Subdireccion Academica Presidente de la Acadeiiiia de Electrónica nepar ianento dc scrvicioi Ercolarcr Exncdiinfc

DEDICATORIA

A mis padres: Apolinar y Aide el ejemplo a seguir esperando nunca decepcionarlos les

dedico este momento por ser un logro suyo; por darme la vida y hacerme el hombre que soy Ies estoy eternamente

agradecido

A mis hermanos: Apolinar, Verónica, Cesar mi sangre, mis amigos para toda la vida por estar conmigo en

las malas y en las peores; ustedes tienen toda mi admiración y respeto

Al amor de mi vida por su compresión, paciencia, amor y por los momentos que hemos pasado esperando que siempre

estemos juntos a mi florecita Xochitl Caballero

A Dios por dejarme existir y llevarme siempre .de la mano en el camino de esta vida

gracias por cuidarme

AGRADECIMIENTOS Ai Dr. Carlos Astorga Zaragoza y al Dr. Enrique Quintero Marmol por su apoyo, dedicación, consejos, orientación y tiempo para la realización de este trabajo de investigación.

AI comité de revisión: Dr. Víctor Alvarado, Dr. Marco Oliver y a la Dra. Patricia Caratozzolo por sus opiniones, comentarios y sugerencias hacia este trabajo de investigación.

A mis profesores de CENIDET mí más sincero agradecimiento.

A mi novia Xochitl Caballero por su ayuda, esfuerzo, empeño y fuerza brindada para concluir este documento, gracias amor.

A la familia que encontré al pisar tierras morelenses: Jaime F. Aviles Viñas, Raúl H. Guillermo Dimas, Julio Rodriguez Navarro, Héctor M. Buenabad, Néstor Ramírez, y Edy Arroyo M., gracias por todos y cada uno de los detalles para conmigo. Con mucho aprecio y cariño agradezco de manera especial a Janeth Aurelia Alcalá (LA FLACA) e Israel Nieto Granados (MI VIEJA) por estar siempre a mi lado en los momentos dificiles ofreciéndome su incondicional amistad.

A mis compañeros de generación y demás conocidos por brindarme la oportunidad de conocerlos y convivir a lo largo de mi estancia en CENIDET: Carlos Sanabria, Efrén Flores, Jaime Femández, Mario Juárez, Arturo Sánchez, Pablo Mendoza, José Cmz, Miguel A. Durán, Mauricio Ángeles, Mariano López, Gabriel Tico Nava, Efraín Zaleta, la generación 2002-2004 de electrónica.

A todas y cada una de las personas que laboran en este centro de investigación ya que sin la ayuda de ellos no habría realizado este documento. Anita, Maira Correa, Adelina, O h i a Maquinay, Irma Bustamante, ........... gracias por todo.

Agradezco al COSNET y la SEP por los apoyos otorgados para mi manutención durante mi estancia en este centro de investigación.

TABLA DE CONTENIDO

LISTA DE SíMBOLOS

LISTA DE ABREVIACIONES

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

INTRODUCCI~N

Formulación del problema Solución del problema Organización de la tesis

1.- CONTROLADORES PREDICTNOS

1.1.- Introducción 1.2.- Estado del arte del CHD 1.3.- Ejemplos de aplicación del CDH

2.- CONTROL A HORIZONTES DESLIZANTES CDH

2.1.- Introducción 2.2.- Estructura del CHD 2.3.- Criterio de desempeño

2.3.1.- Resumen del CDH 2.4.- Algoritmo CHD con restricciones 2.5.- Métodos descendentes

2.5.1.- Método de relajación 2.5.2.- Método del gradiente modificado 2.5.3.- Método de Franck-Wolfe

2.6.- Conclusiones

3.- MODELADO DE PROCESOS

3.1.- Definición de los procesos de prueba 3.2.- Proceso hidráulico 3.3.- Proceso térmico

3.3.1 .- Modelo no lineal MIMO del proceso térmico 33.2.- Modelo lineal MIMO del proceso térmico

3.4.- Proceso bioquímico

i

N

V

XI

1

3 4 5

7

7 8 11

15

15 16 19 26 21 30 33 34 36 39

41

41 41 44 54 54 55

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'1, 'I

. . II

3.5.- Conclusiones . . . 4.- IMPLEMENTACION Y RESULTADOS OBTENIDOS CON EL CHD

4.1.- Acondicionadores de señal 4.2.- Procesos deiprueba

4.2.1 .- Procesp Hidráulico 4.2.2.- Proceso Térmico 4.2.3.- Proceso Bioquímico

4.3.1.- 1ncerti:dumbre en el modelo del proceso hidráulico 4.3.2.- Incertidumbre en el modelo del proceso térmico 4.3.3.- Incertidumbre en el modelo del proceso bioquímico

'I

4.3.- Incertidumibre en los procesos de prueba

4.4.- Tamaño del horizonte N 4.5.- Matrices d[el algoritmo CHD 4.6.- Perturbaciones aplicadas al sistema

4.6. i .- Perturbaciones aplicadas al proceso hidráulico 4.6.2.- Perturbaciones aplicadas al proceso térmico 4.6.3.- Pedbaciones aplicadas al proceso biquímico

11 L

'I 4.7.- Simulaciones realizadas 4.8.- Implemedtación del CHD al proceso hidráulico

4.8.1 .- CHd con perturbación determinística 4.8.2.- CHB con perturbación estocástica 4.8.3.- Redmen de los resultados obtenidos para el proceso hidráulico

4.9.- Impleme~tación del CHD al proceso térmico 4.9.1 .- CHb con perturbación determinística

4.9.3.- RedÚmen de los resultados obtenidos para el proceso térmico

4.10.1.- CIkD con perturbación determinística 4.10.2.- CHD con perturbación estocástica 4.10.3.- Resumen de los resultados obtenidos para el proceso bioquímico

4.9.2.- CHD con perturbación estocástica \

4.10.- Impledentación del CHD al proceso bioquímico

'i

11 5.- CONCLUSIO~ES

5.1.- Conclusiones 5.2.- Aportadioncs 5.2.- Divulgakones 5.3.- Trabajos futuros

'I

'I

Al.- TAMANO DEL HORIZONTE N Al.1.- Descripción de las simulaciones

A2.- MODELO~)E 6" ORDEN DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR A2.1.- Obtención del modelo matemático de 6' orden lineal del

del intercambiador de calor 11

11

~

57

59

59 61 61 63 64 65 66 67 68 68 69 71 72 72 73 74 76 77 80 85 89 90 94 1 O0 104 104 108 1 1 1

117

117 119 120 120

121 121

125

125

A2.2.- Obtención del modelo matemático de 6' orden no lineal del

A2.3.- Comparación de los modelos obtenidos del intercambiador de calor

A2.3.1.- Comparación de respuestas entre los modelos matemáticos de 6' orden y 2' orden no lineal

A3.- PARAMETROS NOMINALES DE LOS MODELOS DE PRUEBA A3.1.- Parámetros del proceso hidráulico A3.2.- Parámetros del proceso térmico A3.3.- Parámetros del proceso bioquímico

BIBLIOGRAF~A GENERAL

129 131

132

139 139 139 140

141

1 . . . . . . .

I1

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1

II

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il

11 . . . . ..

' '

Lista de Símbolos

LISTA DE SÍMBOLOS

A A I Área del tanque 1 A2 Área del tanque 2 A,, AJ A,, A , A , A , la entrada A,r la regulación del error B B, B, Bra la entrada B, la regulación del error C C,,, Cp, Cp, Cp C, la entrada C, la regulación del error De da'"' Dirección de la pendiente ec Energía cinética ek incertidumbres ep Energía potencial E,o, f F Fok Matrices del algoritmo CI-ID FU Matrices del algoritmo CHD g Gradiente &, I1 Entalpía

Matriz invariante en el tiempo relacionada con los estados del proceso

Área del tubo por donde circula el fluido frío Área de flujo en el agua caliente Área del tubo por donde circula el fluido caliente Matriz de estados invariante en el tiempo del modelo aproximado del proceso Acondicionador de señal relacionado con la entrada del sistema Matriz de estados invariante en el tiempo del acondicionador de señal relacionado con

Matriz de estados invariante en el tiempo del acondicionador de señal relacionado con

Matriz invariante en el tiempo relacionada con la entrada del proceso Matriz de entrada invariante en el tiempo del modelo aproximado del proceso Acondicionador de señal relacionado con la salida del sistema Matriz de entrada invariante en el tiempo del acondicionador de señal relacionado con

Matriz de entrada invariante en el tiempo del acondicionador de señal relacionado con

Matriz de salida invariante en el tiempo del proceso Matriz de salida invariante en el tiempo del modelo aproximado del proceso Capacidad calorífica para el agua fria Capacidad calorifica para el agua caliente Capacidad calorífica a presión constante Matriz de salida invariante en el tiempo del acondicionador de señal relacionado con

Matriz de salida invariante en el tiempo del acondicionador de señal relacionado con

Diámetro del tubo en el intercambiador de calor

Error entre las salidas del proceso y del modelo aproximado del proceso con

Cambio neto de la energía total del volumen de control Matriz de estados para un sistema no lineal Conector que indica el fin de una secuencia de operaciones

Matriz de entrada para un sistema no lineal

I

41 - (I

Cambio de entalpía para el agua fría Cambio de enlalpía para el agua caliente Coeficiente d4 transmisión de calor Matriz de saliba para un sistema no lineal Conector que'kndica el inicio de una secuencia de operaciones Función cosd a optimizar Número de la'literación Constantes d i crecimiento Constantes de crecimiento Constantes aSociadas al nitrato Constantes a$ociadas al nitrito Conductividad térmica Matrices que forman parte del algoritmo de control CHD Matrices que forman parte del algoritmo de control CHD Matrices que forman parte del algoritmo de control CHD Longitud del tubo Cantidad de masa para el agua fría Cantidad dejmasa que entra al volumen de control Cantidad ddtmasa que sale al volumen de control Cantidad dfmasa para el agua caliente Tamaño dedpaso positivo en dirección de du Tamaño del horizonte en el algoritmo de control Número deihusselt Tamaño del horizonte Presión dellfluido Presión atmosférica Presión en '&I fondo del tanque 1 Presión en'kl fondo del tanque 2 Flujo del tinque 1 al tanque 2 Flujo de salida del tanque 2 Matriz sin$trica real positiva definida Calor sumjnistrado por el agua fiía Calor suministrado por el agua caliente Matriz conformada por la matriz Q Calor sumjnistrado Radio del tubo interior del intercambiador de calor Matriz simétrica real positiva definida Resistencia en el tubo del tanque 1 Resistencja en el tubo del tanque 2 Vector c o h n n a formado por R Acondicihador de señal relacionado con la regulación del error Valor que afecta la pendiente de la señal de control Umbral formado por la diferencia de dos entradas sucesi;as Concent&ción del nitrato en la entrada de flujo Concentr'ációii del ácido acético en la entrada de flujo Temperdura en el agua fria

'1 !i

Temperatura inicial del agua fría Temperatura en el agua fria a la entrada Temperatura en el agua caliente a la salida Temperatura en el agua fria Temperatura inicial del agua fría Temperatura en el agua fría a la entrada Temperatura en el agua fria a la salida Señal de control aplicada al proceso Señal de control aplicada al proceso en el instante anterior Vector de señales de control aplicadas al proceso Energía interna Valor máximo que puede tomar la señal de control Valor mínimo que puede tomar la señal de control Energía interna para el agua caliente Energía interna para el agua fría Volumen Volumen de'control Velocidad de agua caliente en el tubo Velocidad de entrada del flujo promedio Velocidad de entrada del flujo promedio Trabajo que se realiza al producirse el intercambio de calor Variables de estado del proceso Variables de estado del modelo aproximado del proceso Variables de estado del acondicionador de señal relacionado con la entrada Variables de estado del acondicionador de señal relacionado con la regulación del error

Derivadas de las variables de estado

Derivadas de las variables de estado del modelo aproximado del proceso

Derivadas de las variables de estado del acondicionador de señal relacionado con la entrada

Derivadas de las variables de estado del acondicionador de señal relacionado con la regulación del error Nivel de liquido acumulado en el tanque 1 Nivel de líquido acumulado en el tanque 2 Concentración de la biomasa Concentración de nitratos Concentración de nitratos Concentración del ácido acético Vector de salidas deseadas sobre todo el horizonte Salida del proceso Salida del modelo aproximado del proceso Salida del acondicionador de señal relacionado con la entrada Salida del acondicionador de señal relacionado con la regulación del error Coeficientes de crecimiento asociado al nitrato

Lista de Símbolos ~. . .~. ,

! I ~ c . ' " '

Y3 Yc2 Coeficientes proporcionales Y C ~ Coeficientes ijroporciona~es Zk Referencia del proceso

pk Y r A(") Amplitud del desplazamiento Be, esa, B Energía del fluido B,,r~jm, Valor próximo a evaluar en la función costo

Valor actua1:para evaluar en la función costo p, Densidad en el agua caliente ,u2 Tasa de crecimiento de la biomasa ,u3 Tasa de crecimiento de la biomasa ,urn, Tasa de cre&imiento máximas asociadas al nitrato ,urn2 Tasa de crebimiento máximas asociad& al nitrito

Coeficientes de crecimiento asociado al nitrito I

,

:j

11 Valor de decremento para la señal de control Valor de incremento para la señal de control Matriz formada por las matrices del proceso Matriz formada por las matrices del proceso.

Energía del fluido por unidad de masa que entra al volumen de control Energía del luido por unidad de masa que sale al volumen de control

I1 if

i . 'I It

I t

'1

CHD CMI HD MIMO PID TRP SISO

LISTA DE ABREVIACIONES 41 11 Control a horizontes deslizantes

C o h o 1 de modelo interno Hobizonte deslizante. Múltiples entradas, múltiples salidas PrOporcional integral derivativo Tikmpo de respuesta para cada perturbación Una entrada, una salida

11 )I

'!

'I

11 '1 iI

iv

11

Figura 1.1 Figura 2.1 Figura 2.2 Figura 2.3 Figura 2.4

Figura 2.5 Figura 2.6

Figura 2.7 Figura 2.8 Figura 2.9 Figura 3.1 Figura 3.2

Figura 3.3 Figura 3.4 Figura 4.1 Figura 4.2 Figura 4.3 Figura 4.4 Figura 4.5 Figura 4.6 Figura 4.7 Figura 4.8 Figura 4.9 Figura 4.10 Figura 4.11 Figura 4.12

Figura 4.13

Figura 4.14

Figura 4.15

Figura 4.16

Figura 4.17

Figura 4.18

LISTA DE FIGURAS

Salida en estado estable contra tamaño del horizonte. Diagrama a bloques del controlador a horizontes deslizantes. Diagrama a de flujo del algoritmo CHD sin restricciones. Concepto del control predictivo. Diagrama a bloques del control a horizontes deslizantes modificado.

Velocidad de crecimiento para y pk. Diagrama de flujo del algoritmo CHD con implementación de métodos descendentes. Método de relajación. Método del gradiente modificado. Método de Franck-Wolfe. Tanques no interactuantes. Diagrama típico de instrumentación de cambio de temperatura entre dos líquidos. Volumen decontrol fijo. Esquema det intercambiador. Salida del proceso y modelo con incertidumbre. Salida del proceso y modelo con incertidumbre T,. Salida del proceso y modelo con incertidumbre Te Salida del proceso y modelo con incertidumbre para el modelo bioquímico. Suma de la perturbación. Perturbación determinística proceso hidráulico. Perturbación estocástica proceso hidráulico. Perturbación determinística proceso térmico. Perturbación estocástica proceso térmico. Perturbación deterministica proceso bioquimico. Perturbación. estocástica proceso bioquímico. Referencia y salida del método sin restricciones para el proceso hidráulico con perturbación determinística. Referencia y salida del método de relajación para el proceso hidráulico con perturbación determinística. Referencia y salida del método del gradiente modificado para el proceso hidráulico con perturbación determinística. Referencia y salida del método de Franck Wolfe para el proceso hidráulico con perturbación deterministica. Señal de control del método sin restricciones para el proceso hidráulico con perturbación determinística. Señal de control del método de relajación para el proceso hidráulico con perturbación determinística. Señal de control del método del gradiente modificado para el proceso hidráulico con perturbación determinística.

~

11

li

Figura 4.19

Figura 4.20

Figura 4.21

Figura 4.22

Figura 4.23

Figura 4.24

Figura 4.25

Figura 4.26

Figura 4.27

Figura 4.28

Figura 4.29

Figura 4.30

Figura 4.31

Figura 4.32

Figura 4.33

Figura 4.34

Figura 4.35

Figura 4.36

Figura 4.37

Figura 4.38

Figura 4.39

Figura 4.40

Figura 4.41

4 II

t r

Señal he control del método de Franck Wolfe para el proceso hidráulico con perturbación detenninística. Error del método sin restricciones para el proceso hidráulico con perturbación deterdinística. Error idel método de relajación para el proceso hidráulico con perturbación detedinística. Error'fdel método del gradiente modificado para el proceso hidráulico ' con perturbación determinística. Error'ldel método de Franck Wolfe para el proceso hidráulico con perturbación determinística. Referencia y salida del método sin restricciones para el proceso hidráulico con perturbación estocástica. Referencia y salida del método de relajación para el proceso hidráulico con pertukbación estocástica. Refiiencia y salida del método del gradiente modificado para el proceso

Refdkencia y salida del método de Franck Wolfe para el proceso hidráulico con perturbación estocástica. Acercamiento de la referencia y salida del método sin restricciones para el proceso hidráulico con perturbación estocástica. Acercamiento de la referencia y salida del método de relajación para el prodeso hidráulico con perturbación estocástica. Acekcamiento de la referencia y salida del método del gradiente modificado pari el proceso hidráulico con perturbación estocástica. Acercamiento de la referencia y salida del método de Franck Wolfe para el pro'keso hidráulico con perturbación estocástica. Señal de control del método sin restricciones para el proceso hidráulico con pedurbación estocástica. Señal de control del método de relajación para el proceso hidráulico con pelurbación estocástica. Señal de control del método del gradiente modificado para el proceso hidráulico con perturbación estocástica. Señal de control del método de Franck Wolfe para el proceso hidráulico con pekurbación estocástica. Error 4 del método sin restricciones para el proceso hidráulico con perturbación estocástica. Error del método de relajación para el proceso hidráulico con perturbación estocástica. Error del método del gradiente modificado para el proceso hidráulico con perturbación estocástica. EAor del método de Franck Wolfe para el proceso hidráulico con perturbación estocástica. bkercamiento del error del método sin restricciones para el proceso hidráulico con perturbación estocástica. ,$cercamiento del error del método de relajación para el proceso .hidráulico con perturbación estocástica.

!I

. hidraulico con perturbación estocástica.

11

1 ,I

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!I vi

Figura 4.42

Figura 4.43

Figura 4.44

Figura 4.45

Figura 4.46

Figura 4.47

Figura 4.48

Figura 4.49

Figura 4.50

Figura 4.51

Figura 4.52

Figura 4.53

Figura 4.54

Figura 4.55

Figura 4.56

Figura 4.57

Figura 4.58

Figura 4.59

Figura 4.60

Figura 4.61

Figura 4.62

Figura 4.63

Figura 4.64

Acercamiento del error del método del gradiente modificado para el proceso hidráulico con perturbación estocástica. Acercamiento del error del método de Franck Wolfe para el proceso hidráulico con perturbación estocástica. Referencia y salida (agua en el tubo) del método sin restricciones para el proceso térmico con perturbación determinística. Referencia y salida (agua en’el tubo) del método de relajación para el proceso térmico con perturbación determinística. Referencia y salida (agua en el tubo) del método del gradiente modificado para el proceso térmico con perturbación determinística. Referencia y salida (agua en el tubo) del método de Franck Wolfe para el proceso térmico con perturbación determinística. Referencia y salida (agua en el casco).del método sin restricciones para el proceso térmico con perturbación determinística. Referencia y salida (agua en el casco) del método de relajación para el proceso térmico con perturbación deterministica. Referencia y salida (agua en el casco) del método del gradiente modificado para el proceso térmico con perturbación deterministica. Referencia y salida (agua en el casco) del método de Franck Wolfe para el proceso térmico con perturbación determinística. Señal de control del método sin restricciones para el proceso ;érmico con perturbación deterministica. Señal de control del método de relajación para el proceso térmico con perturbación determinística. Señal de control del método del gradiente modificado para el proceso térmico con perturbación determinística. Señal de control del método de Franck Wolfe para el proceso térmico con perturbación determinística. Error del método sin restricciones para’el proceso térmico con perturbación determinística. Error del método de relajación para el proceso térmico con perturbación determinística. Error del método del gradiente modificado para el proceso térmico con perturbación determinística. Error del método de Franck Wolfe para el proceso térmico con perturbación determinística. Referencia y salida (agua en el tubo) del método sin restricciones para el proceso térmico con perturbación estocástica. Referencia y salida (agua en el tubo) del método de relajación para el proceso térmico con perturbación estocástica. Referencia y salida (agua en el tubo) del método del gradiente modificado para el proceso térmico con perturbación estocástica. Referencia y salida (agua en el tubo) del método de Franck Wolfe para el proceso térmico con perturbación estocástica. Acercamiento de la referencia y salida (agua en el tubo) del método sin restricciones para el proceso térmico con perturbación estocástica.

I

Figura 4.65

Figura 4.66

Figura 4.67

Figura 4.68

Figura 4.69

Figura 4.70

Figura 4.71

Figura 4.72

Figura 4.73

Figura 4.74

Figura 4.75

Figura 4.76

Figura 4.77

Figura 4.78

Figura 4.79

Figura 4.80

Figura 4.81

Figura 4.82

Figura 4.83

Figura 4.84

Figura 4.85

Figura 4.86

Figura 4.87

11,

Í i Acercamiento de la referencia y salida (agua en el tubo) del método de re la jahn para el proceso térmico con perturbación estocástica. Acer&xniento.de la referencia y salida (agua en el tubo) del método del gradiknte modificado para el proceso térmico con perturbación estocástica. Acercamiento de la referencia y salida (agua en el tubo) del método de Franck Wolfe para el proceso térmico con perturbación estocástica. Refe?encia y salida (agua en el casco) del método sin restricciones para el proceso térmico con perturbación estocástica. Refelencia y salida (agua en el casco) del método de relajación para el proceso térmico con perturbación estocástica. Refekencia y salida (agua en el casco) del método del gradiente modificado paraiel proceso térmico con perturbación estocástica. Referencia y salida (agua en el casco) del método de Franck Wolfe para el p r o p 0 térmico con perturbación estocástica. Acercamiento de la referencia y salida (agua en el casco) ,del método sin restiicciones para el proceso térmico con perturbación estocástica. A c & m i e n t o de la referencia y salida (agua en el casco) del método de relajación para el proceso térmico con perturbación estocástica. Acercamiento de la referencia y salida (agua en el casco) del método del gradiente modificado para el proceso térmico con perturbación estocástica. Ac&camiento de la referencia y salida (agua en el casco) del método de FraAck Wolfe para el proceso térmico con perturbación estocástica. Se$al de control del método sin restricciones para el proceso téimico con perturbación estocástica. Señal de control del método de relajación para el proceso térmico con pedurbación estocástica. Señal de control del método del gradiente modificado para el proceso térmico cov perturbación estocástica. Señal de control del método de Franck Wolfe para el proceso térmico con perturbación estocástica. Ac'krcamiento de la señal de control del método sin restricciones para el proceso térmico con perturbación ectocástica. Acercamiento de la señal de control del.método de relajación para el proceso t é h i c o con perturbación estocástica. Ajercamiento de la señal de control del método del gradiente modificado para el ,proceso térmico con perturbación estocástica. Acercamiento de la señal de control del método de Franck Wolfe para el p&eso térmico con perturbación estocástica. EAor del método sin restricciones para el proceso térmico con perturbación estocástica. Eiror del método de relajación para el proceso térmico con perturbación estocástica. Ehor del método del gradiente modificado para el proceso térmico con p%rturbación estocástica. Error del método de Franck W o k para el proceso térmico con periurbación estocastica.

4

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11

11

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http://Acer&xniento.de

Figura 4.88

Figura 4.89

Figura 4.90

Figura 4.91

Figura 4.92

Figura 4.93

Figura 4.94

Figura 4.95

Figura 4.96

Figura 4.97

Figura 4.98

Figura 4.99

Acercamiento del error del método sin restricciones para el proceso térmico con perturbación estocástica. Acercamiento del error del método de relajación para el proceso térmico con perturbación estocástica. Acercamiento del error del método del gradiente modificado para el proceso térmico con perturbación estocástica. Acercamiento del error del método de Franck Wolfe para el proceso térmico con perturbación estocástica. Referencia y salida del método sin restricciones para el proceso bioquímico con perturbación determinística. Referencia y salida del método de relajación para el proceso bioquímico con perturbación determinística. Referencia y salida del método del gradiente modificado para el proceso bioquímico con perturbación determinística. Referencia y salida del método de Franck Wolfe para el proceso bioquímico con perturbación determinística. Señal de control del método sin restricciones para el proceso bioquímico con perturbación determinística. Señal de control del método de relajación para el proceso bioquímico con perturbación determinística. Señal de control del método del gradiente modificado para el proceso bioquímico con perturbación determinística. Señal de control del método de Franck Wolfe para el proceso bioquímico con perturbación determinística.

Figura 4.100 Error del método sin restricciones para el proceso bioquímico con

Figura 4.101 Error del método de relajación para el proceso bioquímico con perturbación

Figura 4.102 Error del método del gradiente modificado para el proceso bioquímico con

Figura 4.103 Error del método de Franck Wolfe para el proceso bioquímico con

Figura 4.104 Referencia y salida del método sin restricciones para el proceso bioquímico

Figura 4.105 Referencia y salida del método de relajación para el proceso bioquímico con

Figura 4.106 Referencia y salida del método del gradiente modificado para el proceso

Figura 4.107 Referencia y salida del método de Franck Wolfe para el proceso bioquímico

Figura 4.108 Acercamiento de la referencia y salida del método sin restricciones para el

Figura 4.109 Acercamiento de la referencia y salida del método de relajación para el

Figura 4.110 Acercamiento de la referencia y salida del método del gradientc modificado

perturbación determinística.

determinística.



con perturbación estocástica.

perturbación estocástica.

bioquímico con perturbación estocástica.

con perturbación estocástica.

proceso bioquímico con perturbación estocástica.

proceso bioquímico con perturbación estocástica.

para el proceso bioquímico con perturbación estocástica.

ix

'i Lista de Figuras

11 Figura 4.111 Acercamiento de la referencia y salida del método de Franck Wolfe para el

proceko bioquímico con perturbación estocástica. Figura 4.112 SeñaGde control del método sin restricciones para el proceso bioquímico con

pertulbación estocástica. Figura 4.113 Señal de control del método de relajación para el proceso bioquimico con

pertufbación estocástica. Figura 4.114 Señal de control del método del gradiente modificado para el proceso

b i o q h i c o con perturbación estocástica. Figura 4.115 Señal de control del método de Franck Wolfe para el proceso bioquímico con

perturbación estocástica. Figura 4.116 Error del método sin restricciones para el proceso bioquímico con

perdrbación estocástica. Figura 4.117 Errok del método de relajación para el proceso bioquímico con perturbación

estolástica. Figura 4.118 Erro; del método del gradiente modificado para el proceso bioquímico con

pert$rbación estocástica. Figura 4.119 Error del método de Franck Wolfe para el proceso bioquímico con

perturbación estocástica. Figura 4.120 Acercamiento del error del método sin restricciones para el proceso

bioljuímico con perturbación estocástica. Figura 4.121 Acercamiento del error del método de relajación para el proceso bioquímico

con; pemirbación estocástica. Figura 4.122 Acercamiento del error del método del gradiente modificado para el proceso

biobuimico con perturbación estocástica. Figura 4.123 Acercamiento del error del método de Franck Wolfe para el proceso

bidquímico con perturbación estocástica: Figura A l . l Referencias vs salidas del sistema. Figura A1.2 Error entre la referencia y las salidas del sistema. Figura A2.1 Diagrama del intercambiador de calor de dos nodos en configuración

contracorriente. Figura A 2 2 Gasto en el tubo. Figura A2.3 (al"Respuesta de los modelos de 6" y 2" para el agua fría calentada, (b) error

p+a el agua fría, (c) Respuesta de los modelos de 6" y 2" para el agua enfriada, (d) error para el agua enfriada.

Figura A2.4 V&iaciones máximas en el agua caliente. Figura A2.5 (a) Respuesta de los modelos de 6' y 2' para el agua fría calentada, (b)'error

p&a el agua fría, (c) Respuesta de los modelos de 6' y 2' para el agua edfriada, (d) error para el agua enfriada.

Figura A2.6 Variaciones intermedias en el agua caliente. Figura A2.7 (d) Respuesta de los modelos de 6" y 2" para el agua fría calentada, (b) error

para el agua fría, (c) Respuesta de los modelos de 6' y 2" para el agua enfriada, (d) error para el agua enfriada.

I1

I

11

I

11

i!

II

I i

- Lista de Tablas

LISTA DE TABLAS

Tabla 4.1

Tabla 4.2

Tabla 4.3

Tabla 4.4 Tabla 4.5

Tabla 4.6

Tabla 4.7

Tabla 4.8 Tabla 4.9

Tabla 4.10

Tabla 4.11 Tabla 4.12 Tabla 4.13

Tabla 4.14

Tabla 4.15

Tabla 4.16 Tabla 5.1 Tabla A2.1 Tabla A2.2

Características de las perturbaciones determinísticas y estocásticas para un proceso hidráulico. Características de las perturbaciones deterministicas y estocásticas para un proceso térmico. Características de las perturbaciones determinísticas y estocásticas para un proceso bioquímico. Resumen de pruebas implementadas con el CHD. Errores resultantes ante perturbaciones determinísticas para un proceso hidráulico. Tiempos de recuperación ante perturbaciones determinísticas para un proceso hidráulico. Errores resultantes ante perturbaciones estocásticas para un proceso hidráulico. Constantes de tiempo del sistema hidráulico ante perturbaciones estocásticas. Errores resultantes ante perturbaciones determinísticas para un proceso térmico. Tiempos de recuperación ante perturbaciones determinísticas para un proceso térmico. Errores resultantes ante perturbaciones estocásticas para un proceso térmico Constantes de tiempo del sistema térmico ante perturbaciones estocásticas. Errores resultantes ante perturbaciones determinísticas para un proceso bioquímico. Tiempos de recuperación ante perturbaciones determinísticas para un proceso bioquímico. Errores resultantes ante perturbaciones estocásticas para un proceso bioquímico. Constantes de tiempo del sistema químico ante perturbaciones estocásticas. Resumen de pruebas realizadas con el algoritmo CHD. Definición de resistencias y capacitancias. Resumen de pruebas realizadas a los modelos.

X i

I -

I1 Lista de Tablas 1 .

.. . .,.,. . . . .

INTRODUCCIÓN

La teoría de control comenzó a principios de los años ~ O ’ S , muchos fueron los investigadores

pioneros que participaron en su desarrollo, con mayor aportación en la teoría de control lineal

donde lograron resolver muchos problemas de los sistemas reales existentes. Uno de los

investigadores que aporto conocimientos para el desarrollo de la teoría de control fue:

Nyquist quien en 1932 diseñó un procedimiento relativamente simple para determinar la

estabilidad de sistemas en lazo cerrado, basándose en la respuesta en lazo abierto en estado

estable, cuando la entrada aplicada es una senoidal. Nyquist en conjunto con Bode,

propusieron el uso de la respuesta en frecuencia para el análisis y diseño de sistemas de

control, A fines de los años 40’s se desarrolla por completo el método del lugar geométrico

de las raíces propuesto por Evans.

Existen dos acontecimientos que impulsaron con gran fuerza al desarrollo de las

teorías de control: la segunda guerra mundial, en la cual surgió la necesidad de resolver

problemas de balística y la aviación en conjunto con la era espacial.

En los años 60’s se plantea el problema del control de sistemas no lineales gracias al

resurgimiento del interés en los trabajos de Lyapunov y la representación en el espacio de

estados, impulsada principalmente por Kalman quien sentó las bases de lo que actualmente se

conoce como teoría de control moderna. Este fenómeno fue influenciado por el origen del

control óptimo y los problemas tales como el control automático de las naves espaciales y los

satélites artificiales los cuales no pudieron ser resueltos fácilmente usando modelos y

estrategias de control lineal [I].

En los últimos años el desarrollo de las teorías de control han marcado los avances

tecnológicos en la industria; por ejemplo el control de los procesos químicos, el desarrollo de

la robótica y servomecanismos, el control de aeroplanos, entre otras aplicaciones.

Introducción I1 .!I - -. . ii '-'

' 1.

En términosI/de control, los procesos son comúnmente llamados sistemas y cumplen

con la siguiente definición: ' u n sistema es una conexibn de elementos que actúan conjuniamente y cumplen un determinado objetivo [2 ] .

. . t

I

;I I1

' ri; , . "

'!I lí

11

I !I .iI. 'iI'

Uno de los puntos importantes para el análisis y diseño del control de sistemas, son

los ,modelos matematicos. Un modelo matemático es la descripción de un sistema en

términos de ecuaciones, cuyo objetivo es de reproducir las mismas dinámicas del sistema. La

forma básica de construir un modelo matemático para un sistema, es a través de los lazos

físicos que forma$ los elementos del sistema, es decir, plantear las leyes que relacionan a

cada elemento cok el lazo que se está analizando y a partir de esas leyes obtener una

representación matemática en forma de ecuaciones del sistema .. . de estudio [3].

~ , r I #

I

Pueden existir diferentes modelos matemáticos para un mismo sistema, el tipo de

modelo matemático que se pretenda obtener, dependerá del objetivo de estudio del sistema y

de las herramientys de análisis que se tengan disponibles para realizar el modelado. ' t

1 Para el diseño de controladores y análisis de sistemas lineales existen técnicas de

control analíticas'ly gráficas [2 ] . Una herramienta de control muy útil es el método del lugar

de las raíces para conocer el tipo de estabilidad que tiene el sistema; algunas técnicas de

control básicas son: controladores en atraso, controladores en adelanto, controladores en . i r ' , :

atraso-adelanto, controladores PID, etc.

I/.

'1 iI

SI '1

Los méiodos de diseño de controladores convencionales se basan en una

configuración fija; donde ., .?;. en un principio el diseñador decide la configuración básica del

controlador a utilizar y el problema involucra entonces el diseño de los elementos del

j ' 1 .

I/

controlador. 7 !I !I

!¡ Uno de ¡os controladores ampliamente utilizados en los esquemas de compensación

es el controlador PID; este controlador aplica una señal de control al proceso que es la

combinación proporcional, integral y derivativa de la diferencia entre la señal de referencia y

la salida del proceso.

I t

i/

'I I1

I~ 2

.- Introducción

Zeigler y Nichols sugirieron reglas para sintonizar los controladores PID’s, esto

significa dar valores a las ganancias del controlador basándose en las respuestas escalón

experimentales; obteniendo una estimación razonable de los parámetros del controlador y

proporcionando un punto de partida para una sintonización fina. Los controladores PID’s se

aplican en forma general a la mayoría de los sistemas de control, y aunque aportan un control

satisfactorio no aportan un control óptimo.

Sin embargo, los sistemas no lineales son dificiles de tratar en forma matemática y no

existen métodos generales disponibles para resolver la gran variedad de clases de sistemas no lineales existentes. Para dar solución a los problemas que se presentan en el control de

sistemas no lineales existen diversas alternativas como: el control inteligente, el control con

modelo interno, el control adaptable entre otras. Una de las alternativas disponibles es la

técnica de control a horizontes deslizantes (moving horizon control).

Esta estrategia de control es considerada dentro de la categoría de controladores

predictivos, es decir, se refiere a una clase de algoritmos de control que utilizan un modelo

del proceso explícito para predecir el comportamiento de la respuesta futura de una planta

[4]. Para cada intervalo de tiempo el algoritmo predictivo determina una secuencia de control

que optimiza el comportamiento a futuro de la planta.

La estrategia de predicción se desarrolló principalmente para aplicaciones de control

en la refinación del petróleo, sin embargo, debido al buen desempeño mostrado por el

controlador su uso se expande a una variedad de procesos de manufactura tales como

procesos químicos, procesamiento de comida, automóviles, naves espaciales, etc. [5] .

FORMULACI~N DEL PROBLEMA

Estrictamente hablando los sistemas lineales no existen en la práctica, ya que todos los

fenómenos naturales y sistemas físicos son no lineales en algún grado. Para el diseño de sistemas de control, es práctico primero diseñar el controlador basándose a un sistema lineal

3

11 Introducción ~. . , . . ... . , ,. .i ~ I, ,

despreciando las no linealidades del sistema; posteriormente el controlador diseñado se i t G : . ; ','

aplica al modelo del, sistema no lineal para su evaluación [2]. 11. " ' ,

. I 11 IE

!I !I

Aunque para algunos'sistemas con un grado bajo de no linealidad el controlador llega

a presentar un buen desempeño, no es posible generalizar su comportamiento para cualquier

tipo' de sistema no!hineal. Por ejemplo, el controlador PID es utilizado ampliamente en la

industria para el control de diversos tipos de procesos. Los parámetros del controlador se

ajustan para un punto de operación específico y cuando es necesario cambiar el punto de

operación se' tienen que reajustar los parámetros del controlador. Ante la presencia de un sistema con un alto grado de no linealidad este controlador no tiene un funcionamiento

adecuado.

. I t , , * :

, . .I/. : ,.

~,

~

41 !I 'I

En el medio industrial se tienen diversos tipos de procesos, cada uno con un grado de

no linealidad difdente. Entonces resulta importante contar con una metodología de control

que pueda aplicarse a cualquier sistema no lineal con un desempeño aceptable, que su

programación sea fácil en lenguajes de alto nivel y paquetes de control. Se desea que no

requiera de consthtes'ajustes en sus parámetros para cambios en el punto de operación.

'1 I Ir

41 . ' Ill , . .

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA i; II

II Se propone como solución para el control de sistemas no lineales la metodología del

controlador a horizontes deslizantes, ya que esta estrategia de control es adecuada para

sistemas lineales y .no.lineales como son algunos procesos químicos, térmicos e hidráulicos entre otros. 11

II . 'I

/I

11

¡I

'I

/I

La estrategia de control a horizontes deslizantes aporta un control Óptimo en el

cálculo de la señal de control que se aplica al sistema, es de fácil programación en lenguajes

de alto nivel y $J requiere de constantes ajustes una vez sintonizado.

! . . 4

Introducci6n -.

Para evaluar su desempeño en el control de sistemas no lineales se propone su estudio

y la implementación del algoritmo a nivel simulación para procesos de tipo: hidráulico,

térmico, químico; procesos que se encuentran comúnmente en la industria.

En el cálculo de la señal de control se implementan tres métodos descendentes para

obtener un valor óptimo de la señal de control. Los métodos descendentes son técnicas de

optimización que ayudan a calcular el valor óptimo de una función objetivo apoyándose en la

información de su derivada.

ORGANIZACIÓN DE LA TESIS

En el capítulo 1 se presenta una breve introducción de los controladores predictivos. Se mencionan características del control a horizontes deslizantes y se citan algunas de las

aplicaciones de esta estrategia de control, comentando los resultados obtenidos.

En el capítulo 2 se estudia la estructura del controlador a horizontes deslizantes, analizando

los elementos que la conforman y el criterio de minimización. Se estudian los métodos

descendentes para el cálculo de la señal de control los cuales son: método de relajación, del

gradiente modificado y de Franck-Wolfe.

El capítulo 3 presenta una breve descripción de los procesos a los que se les aplica la

estrategia de control a horizontes deslizantes (CHD). Se presentan las ecuaciones que

describen las dinámicas de los procesos y para cada caso de estudio se menciona el objetivo

de control.

En el capítulo 4 se describe la implementación del algoritmo CHD, basándose en el diagrama

de la figura 2.4 capítulo 2. Se mencionan algunas consideraciones bajo las cuales se realizan

las simulaciones del algoritmo de control a horizontes deslizantes. Se muestran los resultados

obtenidos con el algoritmo CIfD, resumiendo en una tabla todas las pruebas que se realizaron

con el algoritmo CHD.

Introducción _ . _ . 1 ,. I ~.~ ., j . . 1 . . .. I

11

- II

... En el capítulo 5 se presentan las conclusiones de las pruebas realizadas con el

i I 11 ,: ' . algoritmo.CHD a diferentes procesos.

7 1 En el apéndice 1 se muestra la importancia del tamaño del horizonte N, se presenta

:ii Y

'1 /I, I t

una prueba donde se varía el horizonte N y se muestran los resultados obtenidos.

El apéndice 2 muestra la obtención del modelo matemático de 60 orden no lineal de

un intercambiador de calor. Se realizan pruebas de comparación entre el modelo de 20 orden

no lineal presentad8 en el capitulo 3 y el modelo no lineal de 60 orden que se muestra en este

!I

apéndice. !I 11

'I 'I. 11

/I

El apéndice 3 muestra los valores nominales de los parámetros que conforman a los

modelos de prueba

Capitulo 1. Controladores Predictivos

CAP~TULO 1 CONTROLADORES PREDICTIVOS

En este capítulo se presenta una breve introducción de los controladores predictivos. Se

mencionan características del control a horizontes deslizantes y se citan algunas de las

aplicaciones de esta estrategia de control, comentando los resultados obtenidos.

1.1 INTRODUCCI~N

La tecnología de control avanzada está otorgando un gran beneficio a las industrias de

procesos. Sin embargo, se reconoce que el comportamiento del lazo de control se degrada

con el tiempo si no se realiza un mantenimiento sistemático. Esta degradación se manifiesta

en el comportamiento del sistema de control que reduce su efectividad y conduce típicamente

a un comportamiento deficiente del controlador y aumento en los costos de producción.

Un elemento importante de esta tecnología de control avanzada son las estrategias de

confroladores predictivos. Los cuales presentan una aportación significativa si se analiza el

número y tipo de procesos industriales en las que se utilizan [6].

El término de controladores predictivos se refiere a una clase de algoritmos de control

que utilizan un modelo explícito para predecir el comportamiento de la respuesta futura de

una planta. En cada intervalo de tiempo el algoritmo determina una secuencia de control

mediante la minimización de una función objetivo. La función objetivo se define en términos

de variables actuales y predecibles.

El problema de degradación del lazo cerrado que se pretende resolver mediante el uso

de controladores predictivos se enfoca en el conocimiento del valor actual de la salida de la

Capitulo 1. Controladores Predictivos . . . ... . . 11 . . . . ., -. . . , .

, .,

planta, encontranddl una secuencia de control que minimice la función objetivo, esto

basándose en métodos óptimos para calcular esta señal de control [7]. li I1

II

Si se conoceiel valor actual de la salida, el controlador predictivo puede encontrar una

secuencia de control que minimice la función objetivo, donde solo el primer elemento de la

secuencia se aplica al sistema.

~. . . IF; 11

II I 1 . . Por lo tanto, el objetivo de los controladores predictivos es manipular la salida futura

de la planta con referencia a un punto de operación establecido, esto mediante el uso de un

enfoque de horizonte deslizante el cual se basa en las siguientes ideas [SI:

:I t

1 .

2.

3.

4.

ili Se utiliza un modelo del proceso para predecir el comportamiento futuro, sobre un

horizonte dk predicción N. Los valores predichos de las salidas y(l+k), para k = l , ... N;

dependen de los valores hasta el instante t (valores pasados de las entradas y las

salidas) y de los valores futuros de las señales de control u(r+k).

Se define runa trayectoria de referencia futura y&) que describe como se quiere

cónducir el proceso desde el valor actual y(l) hasta la consigna futura deseada . Se calculab los vaiores futuros de control up), uQ+I) ,..., u( l+w , de manera que se

minimice una lierta'función objetivo y que los errores de predicción e(r)=y(t)-y,(t)

sean IO más cercanos a'cero.

El primer. elemento del vector de control óptimo u(r) se aplica a la planta, los

eleinentos'restantes no se consideran y al siguiente instante de muestre0 se repite todo

el procedimiento.

11

I1

<Ir ,I

ib II 'I 11 . .

!L .

11 1.2 ESTADO! DEL ARTE DEL cm Los parámetros de los controladores convencionales (como controladores P, PI, PID, etc.) se

ajustan con base a un determinado punto de operación. Debido a diversos cambios en un

sistema como pueden ser: cambios en el punto de operación, deterioro del equipo, sustitución

de elementos en el sistema o variación en los parámetros del sistema, el ajuste del

controlador se dbelve cotidiano y rutinario.

41

I1 .' ' ' , . ., i1

II.

I

II . , . li

Capítulo I . Controladores Predictivos

Los controladores autosintonizables se crearon para ajustarse en fomia automática

logrando funcionar con las condiciones actuales del proceso, esto lo hacen calculando la

nueva señal de control con base a la respuesta pasada inmediata del proceso.

Los controladores autosintonizables o de horizonte de predicción además de reajustar

sus parámetros, predicen el comportamiento del proceso a acciones de control, de modo que

minimicen una función de costo [9].

La estrategia de control a horizontes deslizantes es un tipo de control predictivo, el

cual depende de las predicciones que realiza el controlador en un horizonte de tamaño Npara

el valor de la señal de referencia y el error en la salida del proceso, con el objeto de observar

el comportamiento del proceso y generar una nueva señal de control [8]. Este controlador

puede optimizar las señales de control que se calculan minimizando una función objetivo. La

función objetivo se define en términos del error y de la secuencia de control.

La manera en que se calcula la señal de control es interesante, ya que hace una

predicción del comportamiento del sistema y a través de esa predicción calcula la señal de

control que pueda llevar la salida del sistema al valor esperado. Una característica del

controlador a horizontes deslizantes son los métodos descendentes que se pueden añadir en el

cálculo de la señal de control, con la finalidad de calcular una señal de control que lleve lo

más pronto posible la salida del sistema a la referencia deseada. También se consideran

restricciones en los valores que toma la señal de control con el objeto de cuidar las

limitaciones fisicas de los actuadores.

La secuencia de control que se calcula es del mismo tamaño que la del horizonte N,

por consiguiente si se modifica el tamaño del horizonte se modifica también el tamaño de la

secuencia de control. El tamaño del horizonte tiene una repercusión sobre el valor de estado

estable de la salida, es decir, cuando la longitud del horizonte es pequeño (N=1,2,3) el error

entre la referencia y la salida de la planta es grande; conforme el tamaño del horizonte

aumenta (N=7,8,9) el error disniinuye a cero, como se ilustra en la Figura 1.1.

9

Capítulo I. Controladores Predictivos ..-, ... .

li

'! _.. . , J)i .', ' ? .. ,

m

[II

z l - m

Referencia cl.--Q--Q--F1-

I I I I I I

1 2 3 4 5 6 7 E 9 Longitud del horizonte I1

I

'I Figura 1.1.- Salida en estado estable contra tamaao del horizonte [7]

/I .)I: De la figura 1 .I se observa que con un tamaño de horizonte Npequeño existe un error

entre ¡a 'salida y la referencia; conforme se aumenta el tamaño del horizonte el error va

disminuyendo hasta ser posiblemente cero. Se puede aumentar el tamaño del horizonte y

detectar' cambios '/en la salida, sin embargo, no es posible aumentar indefinidamente el

tamaño del horizonte y seguir percibiendo cambios en la salida que ayuden a disminuir el

11 iI It

4I.

c

I1

El control1,a 'horizontes deslizantes es una técnica de control que puede aplicarse a

sistemas lineales y sistema o'lineales [4], englobando sistemas tipo SISO (una entrada, una

salida) y sistemas tipo MIMO (múltiples entradas, multiples salidas): 'Por ser un algoritmo

iterativo, tiene mejor desempeño'en sistemas con dinámicas lentas, por ejemplo: en sistemas

de intercambio d l calor, sistemas de nivel, procesos químicos, et,.

J I . ' I1 . ! I '

l. 'I La

!I 11::

i r

En conclusión la idea'básica del controlador a horizontes deslizantes es solucionar un problema de optimización para cada instante de muestreo. El problema consiste en el cálculo

de una secuencia de control óptima que minimice un criterio establecido (usualmente

cuadrático), delf!comportamiento' predictivo de los estados, salidas o entradas del sistema en

un horizonte futuro [IO]:

11 11

'I

. , dl , .

!I ,I ¡I I¡ li , .

I O 'i

. A Capitulo 1. Controladores Predictivos

1.3 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL CHD

En [I I ] se estudia el control de un reactor de denitrificación para remover nitrógeno; este

tipo de proceso es muyimportante dentro de las industrias proveedoras de agua consumible

para la humanidad.

Las ecuaciones que describen el comportamiento del reactor de denitrificación se

obtienen a partir de un balance de masas. El modelo que se presenta es no lineal de 4" orden.

Se asume que el modelo es objeto de disturbios y existe incertidumbre en los parámetros

modelados del proceso.

Se utiliza el modelo del reactor de denitrificación para diseñar el lazo de control

basado en la estrategia de horizontes deslizantes. Esta estrategia de control es atractiva para

la retroalimentación de plantas lineales y no lineales sujetas a entradas y salidas acotadas.

El objetivo de control es. mantener la cantidad de nitritos y nitratos en un punto de

operación específico, aun en presencia de ruido sobre las mediciones de la salida; para el

control del reactor se considera la taza de disolución como la señal de control.

Para probar la robustez de la estrategia de control, supone que las condiciones

iniciales del reactor y las del modelo del proceso son diferentes. Se imponen restricciones en

la señal de control, en su crecimiento descendente y ascendente como en los posibles valores

que puede tomar la señal de control (limites superior e inferior).

Los resultados obtenidos muestran que la salida del proceso converge al punto de

operación especificado aun cuando las condiciones iniciales entre el proceso y el modelo del

proceso eran distintas.

La señal de control que se aplica al proceso no presenta cambios escalonados, lo cual

representa una ventaja en comparación . - - con otros tipos de controladores.

- 8 4 - 0 9 7 8

Capitulo I . Controladores Predictivos - /I

It 'I II

Se considera a la estrategia de control a horizontes deslizantes como una buena

alternativa de control para regular la concentración de nitritos y nitratos, actuando sobre la

taza de disolución como variable de control

,I El control a horizontes deslizantes es de fácil uso, muy eficiente en el seguimiento del

punto de operación \n procesos no lineales.

'I La estrategia de control óptimo a horizontes deslizantes se estudia para diversos tipos

't de sistemas [12], pcesenta conceptos atractivos en el manejo de estados y entradas limitadas. I1

11 . En esta estrategia de control se determina una secuencia de control calculada en la

duración del intervalo de tiempo equivalente a la predicción del horizonte; para el siguiente

estado se aplica solo el primer elemento de la secuencia de control.

I1 'I

Diversos eitudios realizados por Bitmead (i990), Mayne y Michalska (1990 y 1991)

resaltan las propiedades pobres de la estabilidad de esquemas de predicción de horizonte

finito. A lo largo + los estudios se han propuesto 2 métodos para alcanzar la estabilidad. El

primero es adicionar límites sobre el valor de los estados; el segundo es utilizar una

formulación con un horizonte infinito de predicción.

'I

It

I I) !I I1 En [I21 proponen probar la estabilidad del esquema del horizonte infinito bajo una

suposición de controlabilidad, entonces la existencia de un horizonte finito que conserve la

estabilidad es probada. El objetivo es probar que siempre es posible encontrar un horizonte

finito de predicción que haga a la estrategia global y asintóticamente estable.

II

'I

A

'1 1

11

/I .

Se considera .un sistema en tiempo discreto de la forma x(k + I) = f ( x ( k ) , u ( k ) ) , dondefes continuamente diferenciable. Se considera que las regiones admisibles de estados

y señales de control están dentro de la vecindad del origen. I1

La secuencia de control de la estrategia de horizontes deslizantes se obtiene

resolviendo u n problema de limitación como el mínimo de estados y entradas de una función I1

12 9::'

¡I

Capitulo 1. Controladores Predictivos

J(x). Encontrar condiciones suficientes bajo las cuales se asegure que para J(x) existe una

solución para el lazo cerrado del sistema discreto, es global y asintóticamente estable, ese es

el objetivo. Basado en la condición anterior y como siguiente paso, se buscan condiciones

que hagan posible truncar la predicción del horizonte a un valor finito sin alterar la

estabilidad.

Bajo las suposiciones y cálculos desarrollados, se encontraron suficientes condiciones

que indican que es posible truncar la predicción del horizonte preservando la estabilidad

propuesta.

Para probar la estabilidad del controlador a horizontes deslizantes en [13] se han

realizado algunas pruebas interesantes como: el análisis de un sistema lineal variante en el

tiempo y la optimización del control mediante la minimización de una función de costo de

horizontes deslizantes. Para la estabilidad del lazo cerrado supone que existe una función V

que es continuamente diferenciable la cual optimiza una función costo, con lo cual la señal de

control que se calcula es óptima. Los estados del proceso generan trayectorias que llevan al

sistema a la estabilidad.

En [14] se lleva a cabo el estudio de un control de movimiento de un robot utilizando

información visual; el objetivo de control es mover el plato final del robot en un espacio

tridimensional mediante información visual, las relaciones dinámicas del movimiento son

descritas mediante un sistema no lineal en un espacio de tres dimensiones.

I

Es de gran interés usar la estrategia de control a horizontes deslizantes. Con la

finalidad de controlar al sistema, ya que esta estrategia presenta como característica una

manera rápida y barata en algoritmos numéricos computacionales eficientes para resolver

problemas de optimización; se requiere la aplicación de diferentes métodos ya existentes, que

garanticen la estabilidad del lazo cerrado en el esquema del horizonte deslizante. Para ello se

propone a la fiinción de Lyapunov como una función costo, que asegura la estabilidad del

sistema, considerando un movimiento dinámico del cuerpo del robot y un observador no

lineal.

I1 Capítulo I . Controladores Predictivos

I/ . Se discutió la estabilidad del sistema de tres dimensiones mediante el control de la

estrategia de horizontes deslizantes desarrollado, proponiendo como función costo la de

Lyapunov para estabilizar el esquema de control obteniendo buenos resultados.

dl NI: . 11

Capítulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD-

CAP~TULO 2 CONTROLADOR A HORIZONTES

DESLIZANTES CHD

En este capítulo se estudia la estructura del controlador a horizontes deslizantes, analizando

los elementos que la conforman y el criterio de minimización. Se estudian los métodos

descendentes para el cálculo de la señal de control los cuales son: método de relajación, del

gradiente modificado y de Franck-Wolfe.

2.1 INTRODUCCI~N

Para realizar el control de los distintos tipos de procesos que se encuentran en la industria

existen diferentes alternativas como: el control adaptable, el control inteligente, controladores

PID, el control Óptimo, controladores predictivos, etc. El Controlador u Horizontes Deslizuntes (CHD) es una variedad del control Óptimo con la característica de solucionar

problemas de minimización de una función costo objetivo, a partir de la medición de los

estados con una condición inicial.

El CHD proporciona una solución a un problema de optimización. Este problema

consiste en el cálculo de una secuencia óptima de control que minimice algún criterio en los

estados y/o en la salida del sistema en un horizonte N, para después aplicarla al sistema.

La señal de control se calcula sobre un horizonte N, el cual puede tomar'diferentes

tamaños con e¡ objeto de observar el desempeño del controlador. El tamaño del horizonte N es de dimensión finita y se mantiene constante en el algoritnio de programación.

Capitulo 2. Controlador a Horizontes Desl¡zantes CHD

Jl El controlad!r a horizontes deslizantes es muy utilizado en la retroalimentación de

procesos lineales y do lineales, donde las entradas y/o los estados pueden estar acotados [15].

II En el d i s e d del controlador se pueden considerar restricciones en los estados,

restricciones en la señal de control o no considerar restricciones; para el estudio realizado en

este trabajo de tesis, se diseña el controlador sin restricciones y también con restricciones

pero consideradas sólo en la señal de control.

I1 11

I

11

La razón de >plicar restricciones en los valores que toma la señal de control es evitar

que se le pida a la válvula de control operar fuera de sus alcances físicos, es decir, en

simulación para aldinzar una referencia deseada se puede pedir que la válvula proporcione

un valor determinado en su salida, sin embargo, ese valor pudiera ser físicamente imposible

de ahí que para una,irnplementación fisica del algoritmo es importante restringir el valor de

la señal de control y con esto asegurar que la válvula siempre podrá proporcionar La acción

solicitada.

'I

11

'I

I/ I1

Hablando en términos de estabilidad surge la pregunta ¿qué tipo de estabilidad

presenta el controlador a horizontes deslizantes ante los procesos?, la respuesta es: en el caso

de la existencia de un controlador óptimo, su estabilidad depende fuertemente de la matriz de

coeficientes relacionada con los estados del sistema linealizado. Esto es analizando los

valores propios de',la matriz se observa el tipo de estabilidad que tiene el proceso en lazo

abierto [16].

1

111

11

t

111

1

il 2.2 ESTRUCTURA DEL CHD

11

A continuación sei 41, describen elementos que forman parte de la estructura del control a 11 horizontes deslizantes II

!I I > Proceso, para una impleinentación práctica del algoritmo CHD, este bloque es el

proceso fisico, ai cual se IC aplican seiíales de entrada y se monitorean sus salidas.

Para este caso en particular donde las pruebas se dcsarroiian a nivel simulación se t

I t

Capitulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD

considera un modelo discreto invariante en el tiempo que representa al proceso fisico,

como una planta no lineal o lineal. La notación que se emplea para hacer referencia a

este modelo se presenta a continuación.

Donde: f(xk, es la matriz de estados, g(xk, es la matriz relacionada con la entrada y

h(xd es la matriz de salida, Xk son los estados, yk es la salida del proceso y uk es la

señal de control, que representan a un sistema no lineal.

> Modelo lineal, aproximado del proceso con incertidumbres. Este modelo reproduce el comportamiento dinámico del proceso real, se considera que en el modelado existen

incertidumbres en los parámetros internos que modelan al sistema. Las matrices A,,,

B,,,, C,,, se obtienen a partir de la linealización del proceso no lineal (ecuación 2.1), la

notación para este modelo se presenta a continuación.

X m k = AmXmk -I- B m U m k 1' Y m k = cnixmk

Donde: A,,, es la matriz de coeficientes constantes relacionada con los estados, B, es

la matriz de coeficientes constantes relacionadas con las entrada y C,,, es la matriz de

coeficientes constantes relacionada con la salida, x,k es el vector de estados, ynik es la

salida y u,k es la señal de control.

9 Acondicionador de señal (Ar), se relaciona con la entrada del sistema zk. La función

de este bloque es proporcionar una dinámica a la referencia del proceso. El objetivo

del acondicionador cc evitar que cambios bruscos que se puedan presentar en la

Capítulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD I 1/

I1 /I

ii referencia se reflejen en cambios bruscos en la señal de control, recordando que este

tipo de respuestas desgastan la vida útil del elemento final de control [17]'.

Donde: A,o es la matriz de coeficientes constantes relacionada con el vector estados,

B, es la matriz de coeficientes constantes relacionada con la entrada y C, es la

matriz de coeficientes constantes relacionada con la salida, X,k es el vector de

estados, y,k es la salida del proceso y zk es la re€erencia.

Ill . I1 .

/I 9 Acondicionador de señal (Rr), se relaciona con la regulación del error. Este

acondicionador proporciona una dinámica al error que se genera de la diferencia entre

las salidas del proceso y del modelo aproximado del proceso con incertidumbres.

!I IL .. .

it

Donde: A , 4s la matriz de coeficientes constantes relacionada con el vector estados,

B, es la matciz de coeficientes constantes relacionada con la entrada y C,, es la matriz

de coeficientes constantes relacionada con la salida, x,rk es el vector de estados, yrrk es

la salida delljproceso y f?k es el error entre el proceso y el modelo aproximado del

proceso con incertidumbre, definido como:

11' I

ek = Y k - Y n i k (2.5) A l

'Ir 'La función del elemento final de control o actuador es cambiar el valor de la variable medida: por ejemplo abriendo o cei-raiido válvulas limitando un caudal.

ti 18

I1 . II

Capítulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD

2.3 CIUTERIO DE DESEMPEÑO

Una ventaja de usar el esquema de control óptimo es que el sistema diseñado será estable,

siempre y cuando el sistema sea controlable [IS]. AI diseñar sistemas de control óptimo, el

interés que se persigue es seleccionar un vector de señales de control ük tal que se minimice

un criterio de desempeño.

La señal'de control ü, que se desea aplicar al proceso debe ser la mínima requerida

para obtener la salida deseada, es decir:

y = Au, (2.6)

Si se conoce el valor de la salida deseada y , y la matriz A formada por las ecuaciones

del proceso que están en función de la señal de control ui, es no singular, se puede encontrar

la señal de control adecuada para dicha salida como:

u, = A - ' y (2.7)

Sin embargo para encontrar una solución exacta se debe incluir un vector de error

para considerar ruidos aleatorios, errores de modelado, entonces la ecuación (2.6) se escribe

como:

y = A u , + e (2.8)

Ahora se desea buscar una señal de control u;, la cual minimice la suma de los errores

al cuadrado definida por [19].

m

~ ( u , ) = 1 ( y , - A , ~ u , ) ? = e r e = ( y - A U ) ~ ( Y - A U ) ,=I

donde: e = y ~ Au + es el error producido por una u, específica,

e(u3 + se representa en forma cuadrática para un mínimo de u,.

(2.9)

11

I1 Capitulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD

,111 II Bajo este mismo concepto la estrategia de control a horizontes deslizantes calcula la ll I' señal de control a,, donde el criterio que debe minimizar esta definido como 1201: '

1 I I II donde el vector ydk representa las salidas deseadas sobre todo el horizonte N , yk es la salida

del proceso, ük(i) es la señal de control que se aplica al proceso, Ük.1 es la señal de control

inmediata anterior qÚe se aplicó al proceso, Q y R son matrices de ponderación simétricas

reales definidas positivas Q>O, R>O. El criterio anterior minimiza la suma de los cuadrados

de la diferencia de las salidas y la diferencia de dos señales de control sucesivas.

I1

I. !i

11 El criterio de la ecuación (2.10) presenta dos puntos importantes:

f I1

P El horizonte N sobre el cual éste criterio está definido es finito.

P El término d i la señal de control ir, trata sobre las diferencias entre dos entradas t

sucesivas del !sistema, lo cual libera del problema del error estático.

! El criterio de la ecuakión (2.10) se puede rescribir como:

I1

!I Como se observa en la ecuación anterior la sumatoria de la ecuación (2.10) se ha

sustituido por el símbolo (-) sobre cada una de las variables, representando vectores columna

o vectores renglón. ~

I La dimensión de los vectores la determina el tamaño del horizonte N, ya que el error

en estado estable que se tenga depende en parte del valor de N. En el apéndice Al se muestra

una prueba con diferentes valores para el tamaño del horizonte, se puede observar que los errores en estado estiible cainbian conforme cambia el valor de N.

11

1 1


Desarrollando la ecuación (2.1 1) y reagrupando términos se obtiene:

Si el tamaño del horizonte determina la dimensión de los vectores cuando N cambie

deben cambiar las dimensiones de los vectores y matrices de la ecuación anterior. De manera

general las dimensiones de los vectores se muestran a continuación.

Obsérvese que a lo largo del horizonte N en el tiempo f=tl el valor de uí_I es el valor

de la señal de control uk aplicada al proceso en el tiempo t=to.

Del primer término de la ecuación (2.1 I ) se observa que la matriz Q debe ser de

dimensión [ Q ] N x N debido a las dimensiones de los factores que la multiplican, de manera

similar la matriz a debe ser de dimensión [ i í ] N x N y el vector A debe ser de dimensión

[ 1 ]Nxl. La definición de las matrices anteriores se presenta a continuación: I

Lo ... o QJ

(2.14)

- - Como se observa en la ecuación anterior las matrices Q, R y ¡? se forman a partir de

las matrices Q y R; por conveniencia en la programación del algoritmo y del tamaño del

horizonte N se definen las siguientes dimensiones: [Q]2x2 y [R]I,l .

I 21

La salida de

señal de entrada uk.

v =

c--. Capítulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD - 1 *

;istema sobre el horizonte N es una función lineal de los estados x k y la

- - . . . . . . CB 0 O 7 CA CAB . . . . . .

i i r = i '.. o

- C A ~ - ' B . . . . . . CAB CB - CAN

7, = YUk + l-x,

I/ Sustituyendo la ecuaiión (2.15) en (2.12), se obtiene lo siguiente:

7 - - 1 -- - r * J , = ( F ~ ~ -,Y;, -.r.~,) 0(ydk -YZ, - I - X ~ ) + U , R U , -2?.f, R ~ , - , - 8 . . I/

. Desarrollando productos y reacomodando se tiene: , :

Se define a:

FU = Y + T -- I I F ~ , = yTBrxk - Y eYdk - auk-,

11 Con la definición anterior se puede escribir el criterio de la ecuación (2.18) como:

It

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

ii Si se asegura que Q.0 y R>O, implican que: YTQY > O , p > O y por io I/ . tanto FU > 0 ~ Io que garantiza la existencia y la unicidad del miiiiino de Jk con respecto a Uk.

.I Caoítulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD

Para encontrar una uk que minimice la función costo Jk , es necesario encontrar el

gradiente de la función a minimizar Jk con respecto a los elementos de Ü, ; como se muestra a

continuación:

k f3J = 2 * [FU *Uk + Fok] auk (2.21)

La solución U, que minimiza la función costo Jk es cuando la denvada de la función

es igual a cero, es decir: - = O; por lo tanto y debido a que FU es regular se puede

despejar a U, para encontrar la solución.

3, auk

íi, =-Fu-'Fo,

Sustituyendo las definiciones de la ecuación (2.19) en la ecuación (2.22).

(2.22)

(2.23)

Se define a:

k X = - [ Y ' Q Y + R r ' Y r &

kU1 = [ Y r Q Y + R r ' i 'I.

~ Y D = [Y~QYJ + R ~ ' Y T ~

(2.25)

(2.26)

(2.27)


'1 De las ecuadiones (2.24 - 2.26) se puede notar que las matrices kYD, kU1. kx son

constantes ya que no dependen del valor de la señal de control ni de la evolución de los I1

estados del sistema. 1 Solo quedan determinadas por el modelo linealizado del proceso. Estas

matrices son independientes de los modelos de referencia, por cual los modelos de referencia

pueden ser entonces modificados en línea. I .

ll

// Finalmente reemplazando las definiciones de las ecuaciones (2.25 - 2.27) en la

I1 ecuación (2.24), queda definido el vector de señales de control U, como:

(2.28)

I II

'I Tomando la ecuación (2.28) se forma el diagrama a bloques de la estructura del

controlador a horizontes deslizantes que se muestra en la figura 2.1 [20].

Zk - Yk

Proceso

Yk

ek

Xmk

11 Figura 2.1.- Diagrama a bloques del controlador a horizontes deslizantes.

I AI instante k, una vez calculado y,,, , la relación lineal (2.28) permite obtener U,, es

decir, el conjunto de señales de control que se aplican sobre todo el horizonte, donde solo el

primer Uk( / ) del vector !U, es efectivamente aplicado ai sistema. 1/ I,

A manera de resumen Le describen los pasos para formar el algoritmo de control a horizontes

deslizantes.

24

Capitula 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD

ii. Se calcula el error entre la salida del proceso yk y la salida del modelo aproximado con

incertidumbres y m k , mediante z, = 7, - Y,, iii. Se obtiene el vectorydk a partir de la siguiente relación: y,, = y,, -y,

Para calcular yrrk se considera que el error e'k = e k es el mismo en ei horizonte de

tamaño N. iv. Se calcula la nueva señal de control donde solo el primer elemento de la señal de

control U, será aplicado al proceso y al modelo aproximado con incertidumbres..

Se actualizan los siguientes datos: yk ymk, ük./ = ük, y se regresa al paso ii.

-

Inicio Q &

Se rewiere

Calcular "r=kX*X,+ kU1*u,-l+ kYD*Y&

r 1 Aplicar iik(I) al proceso y al

modelo del proceso

Actualizar uk, ymk

Uk-I = Uk(?J

1

I Figurn 2.2.- Dingrnina de iiujo del algoritmo CiiB sin restricciones

'I

:I Caplhilo 2. Controlador aHorizontes Deslizantes CHD il

I t

I Hasta este punto se obtuvo la ecuación (2.28) que calcula la secuencia de control para

el algoritmo de horizontes deslizantes sin considerar restricciones de algún tipo. Como se

I1

ii

T I

I , I¡ I ,

observa en la figura 1.2 su implementación es muy sencilla y práctica.

Trayectoria del estado

O Predicción del estado 0 0 Control implementado '> 0

O !---:. Control predecido

: , ---- O.

I I I I b

O , .--.< L _ _ . . L _ _ _ -

, - . . I - - - I .___ I I I m I

I1 En la figura 2.3 se muestia la trayectoria del estado de un proceso cualquiera, se

i

/I ilustra el concepto del control a horizontes deslizantes en forma general.

!I I/

I1 . .

Para iniciar el algoritmo de CHD se necesita conocer las condiciones iniciales de los

estados del proceso, la salida actual del proceso, la referencia y el error, con esta información

se puede formar la predicción del horizonte. El CHD calcula la señal de control a partir de la

predicción del horizohe conociendo el estado en un instante k, generando la predicción del

comportamiento del estado y el vector de control predecido para llevar a un valor esperado a la salida del proceso, aplicando solo el primer elemento del vector de control al proceso. Una

vez que se aplica el co,ntrol predecido, la predicción del horizonte se recorre al instante k+I y

se vuelve a predecir elfcomportamiento del estado y el vector de control. Los pasos se repiten

n veces hasta la finalización de la prueba.

I

1

I . (I

I I

/I

Capitulo 2. Controlador a Horizohtes Deslizantes CHD ~~

2.4 ALGORITMO CHD CON RESTRICCIONES

El control a horizontes deslizantes tiene la versatilidad de poder incluir restricciones

en los estados del sistema ylo en la señal de control. Comúnmente el tipo de restricciones

impuestas es sobre el valor que pueden tomar estas variables,.limitando de alguna forma su

evolución

En la figura 2.4 se muestra el diagrama de flujo del algoritmo de control a horizontes

deslizantes, pero ahora se considera una restricción en el cálculo de la secuencia de control

en el bloque llamado cálculo de la señal de control.

En este trabajo de investigación se implementan tres métodos descendentes para el

cálculo de la secuencia de control: Relajación, Gradiente Modificado y Franck-Wolfe, que se

explicarán en secciones posteriores.

La estructura original del algoritmo CHD en la figura 2.1, se conserva en su mayor

parte y solo cambia la manera en que se calcula la señal de control [20].

Zk -

Xiak

Yk Proceso

Calculo de la señal de contml

Ydk

Vrik T Vk

Xmk Xrrk

Arondicionador de setial Rr

Figura 2.4.- Diagrama a bloques del conlrol a horizontes deslizantes modificado.

Los acondicionadores de señal Ar y Rr, el modelo utilizado como proceso, el modelo

aproximado del proceso con incertidumbres y el criterio de miniinización ecuación (2.12),

son los mismos que se presentaron en la estructura de control a horizontes deslizantes sin

restricciones.

21

Capitulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD ' . ... ... . . . 1

// . .

I1 I1 ' . ' ~ '

I!

'il. . .. I

La restricción que se aplica, es en el cálculo de la secuencia de control Ü k . Se

establecen dos límites (superior e inferior) dentro de los cuales la variable en cuestión podrá

tomar cualquier valor, los incrementos en los valores que tome U, se gobiernan por el

cálculo en las ecuaciones (2.32) y (2.33) como se muestra a continuación. ' I

La señal de control calculada por el algoritmo CHD se acota sobre todo el horizonte 1

por el siguiente criterio de restricción [20]: I

(2.29)

/I 1 1 .

donde ¿Tk y p, son los decrementos o incrementos que puede ganar la señal de control ük ,

según la evolución delisistema. I

La notación anterior significa que: :I

(2.30)

I

/I Ek < U k < p k k=1,2 ,...... N (2.31)

11'

1111

En el caso donde existe un limite superior Umux y un límite inferior Umin sobre la

amplitud de la señal del control U,, y de la máxima variación entre dos entradas sucesivas

definida como sd, Ek yiIFk se definen de la siguiente forma [20]: Ir

(2.32) - I, - J max[Umin,(u,_, - sd * Umax)]; i = 1,2 ,....., N

(2.33) - io,=, " min[Umax,(sú * Umax + z ( k - , 11; i = i,2 ,....., N

2 s 'I1


El valor de la variable sd afecta la pendiente del crecimiento y/o decremento de la de señal de control. Las ecuaciones anteriores definen para CZk y pk la velocidad

crecimiento como se ilustra en la figura 2.5.

k-f k c k+N-l Figura 2.5.- Velocidad de crecimiento para a,, y pk .

Con respecto al criterio de la ecuación (2.29), donde se limitan los valores que pueden

tomar los elementos del vector de la señal de control ír, , se observa en la figura 2.5 que se

garantiza cumplir con la desigualdad establecida.

I

Finalmente solo el primer elemento del vector de control ir, se aplica efectivamente

al sistema. Una vez que se calcula el vector jJdk el problema puede ser formulado como

sigue:

CZk 5 irk 5 ilk (2.35)

Si además de las condiciones definidas como Q>O, R>O expresadas anteriormente, el

dominio del vector de señales de control ilk, definido en la ecuación (2.29), no es vacío y por

lo tanto existe una solución a la ecuación (2.34). Esto resulta por la condición:

(2.36)

, .-, <. , . Capítulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD .. ~ - _ < l b . ,-.

De, esta manFra I1 se. asegura que la secuencia de control Gk, se encuentra acotada a lo

largo de todo e¡ horizonte " i ' N. " ' ...

2.5 MÉTODOS DESCENDENTES

~

1 1 En el cálculo de la señal de control del algoritmo CHD con métodos descendentes y en

presencia de los límites que se le imponen en la ecuación (2.29), no es posible encontrar una i solución explícita al, 'I problema presentado, por lo tanto la solución es necesariamente

iterativa.

I Para reducir problemas de optimización en sistemas de control donde no es posible

encontrar de manera sencilla una solución de la función costo Jk a optimizar se usa ei cálculo

variacional[22].

il

!! Una alternativa para solucionar estos problemas de optimización son los métodos

descendentes; éstos métodos consisten en la búsqueda de un óptimo mediante iteraciones

repetitivas moviéndose en dirección >u contraria al gradiente con puntos locales, que pueden

ser la dirección del má?imo descenso (o incremento) de la función costo.

II

II

II Los métodos descendentes pueden generar sucesivamente mejores trayectorias con

valores pobres de inicio. Estos métodos usan en forma explícita información de la derivada

de la función a optimiSar para generar algoritmos eficientes que localicen el óptimo de la función de estudio.

,I/

La derivada de una función proporciona una pendiente de la tangente en un punto en

particular; desde el punto de vista de la optimización si la pendiente es positiva indica que al

aumentar la variable independiente, conducirá a un valor más alto de la función que se está

It I'

analizando [23]. II

!I

Capítulo72..Controlador a Horizontes Deslizantes CHD

Es importante recordar que la primera derivada de la función a optimizar puede

indicar cuándo se ha encontrado un valor óptimo de la función, puesto que éste es el punto

donde la derivada de la función costo tiende a cero.

En métodos iterativos, el siguiente punto a evaluar 8prkimo, de la función costo Jk, es

determinado mediante un paso hacia abajo desde el punto actual BDcru0/ en la dirección del

vectordu [19].

Q,,,, = 8,, + ndu (2.37)

donde n es el tamaño del paso positivo para proseguir en la dirección du, en cada una de las

iteraciones que se lleven a cabo.

O,,, = 8, + n,du, ; k = (l,2,3 ,...) (2.38)

k denota el número de iteración actual, 8pr~x~mo y Bacru0/ representan dos elementos

consecutivos en una secuencia generada como candidatos de solución para converger a un

mínimo local de 8.

En los métodos computacionales iterativos"descendentes, en el paso k a través de

nduk se calcula el valor que optimice la función costo de la siguiente forma: primero se

determina la dirección del vector du y el tamaño del paso n.

I

El siguiente punto 8pr~ri,r,o debe satisfacer la siguiente desigualdad:

(2.39)

donde la función Jk es el objetivo a minimizar.

En general se desea encontrar un valor de Bpr~xi,no que satisfaga la siguiente ecuación:

(2.40)

~. Ni , . , ., Capitulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD , . ... .I1

I

/ / Xrok(O). y*ok(o], Xrrk(O] Xmk(0). yrnk(0). U-l (O) YrrktOl. Yktol

4 -

Calcular

ek = yk -ymk

'! Obtener

/I

'i i

Calcular Ukcon alguno de los siguientes métodos:

+ Método de Relajación -t Método del Gradiente Modificado -t Método de Franck-Wolfe

I

'ii Aplicar uk(l) al proceso y al

modelo del proceso

. , Actualizar yk, ymk

Uk-l= Uk

' i

j/


En la figura 2.6 se muestra un diagrama de flujo con los pasos que se deben efectuar

para formar el algoritmo del controlador a horizontes deslizantes con restricción en la señal

de control. Se ilustra en el bloque donde se calcula el vector de señales de control, los métodos descendentes que se implementaran para cada prueba.

Los conectores I y F ilustrados en la figura 2.6, indican el inicio y fin del cálculo del

vector de señales de control para cada uno de los métodos descendentes que se presentan en

la siguiente sección.

" . 2.5.1 MÉTODO DE RELAJACION

. . En este método las direcciones de las pendientes están dada

de Uk, en sentido positivo ó negativo.

'i

P los comp ites sucesivos

El criterio del gradiente para la n iteración se retoma de la ecuación (2.21):

' E(") = 2 * [Fu * d"'i + Fo,]

La iteración es entonces definida, para el componente i de ir,, por [20]:

Fo, + 1 FU, * ukj FU,,

ir, = -

(2.41)

(2.42)

para limitar la señal de control calculada y cumplir con el criterio de la ecuación (2.29) se

establece la siguiente programación [20]: *

- si E,, I U, 5 p,, ; ük, = U , (2.43)

de lo contrario Si ,Ok, > i7,; U,, = p , (2.44) de lo contrario Ü( > E,; U,, =a,, Fin (2.45)

- -

.y I . Capitub 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD - If

simétrica estrictamente positiva. Todos los elementos de la diagonal

el denominador de la ecuación (2.42) deben ser estrictamente FUi;, que aparecen

diferentes de cero.

En la figura 2)7 se muestra el diagrama de flujo que ilustra las ecuaciones (2.43 - 2.44), donde se limita.ía señal de control uk calculada.

"I .!

Figura 2.7.- Método de relajación.

2.5.2 MÉTODO DEL &ADIENTEMODIFICADO

La dirección se escoge del gradiente, posiblemente modificado según la posición del punto

de ir,'"'con respeto a las \limitaciones. I L . .

.- _. . Capitulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD

Si g(n) es el valor del gradiente para la n iteración el componente i de la dirección de

la pendiente se define por [20]:

- si 'I-1, . <ii - ki I p k , ; g, < o (2.46)

Si = pk,; &, = O (2.47) -

- - ii de lo contrario diii = -g. 8 - p k t - u k , . Fin (2.48)

p k i - 'k-l j i

de lo contrario Si ¿Yki I íiki I u ~ _ ~ ~ ~ ; g > o (2.49)

;Isi '*-I,, .dÜ, = 0 (2.50)

de lo contrario &, =-g, 'ki - a k , I ; Fin ' k - l j < -aks

(2.51)

I1

de lo contrario dii, =-& Fin (2.52)

i?

El movimiento de la dirección es dado por:

(2.53)

En la figura 2.8 se muestra el diagrama de flujo que ilustra las ecuaciones (2.46 - 2.53), donde se limita la señal de control UI< calculada.

Capitulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD 'L

/ \ ,

1 1 I I calcular ,T I

/I Figura 2.8.- Método del gradiente niodificado

2.5.3 MÉTODO DE F ~ N C K - WOLFE

Si se considera el probiema de minimizar una función costo Jk(uk), que es una función

continuamente diferenciable y sujeta a que Uk E R"; el algoritmo de Franck Wolfe es descrito

a continuación:

II

l

II

/I

1. Se escoge una solución inicial &(o); típicamente es un valor arbitrario que pueda ser

una solución viable a resolver e l problema. I

36 'I


2. Se determina la dirección du; la dirección del vector es función de un punto para optimizar la función objetivo.

3. Determinar el tamaño del paso A, tal que:

J k ( U k + A ) 1 2 , ( U k )

4. Calcular el nuevo punto para la siguiente iteración:

(2.54)

(2.55)

5. Si se cumple algún criterio establecido por la programación para un valor de la

función a minimizar con la uk+, calculada, se detiene ia iteración del algoritmo; caso

contrario regresar al paso 1.

El dominio de Ir, esta definido por el criterio de la ecuación (2.29), la determinación

de du(ük'"') es un problema de programación como el que se presenta a continuación [20].

El gradiente de la función a minimizar se calcula con la ecuación (2.21); para cada

componente k de dük(") obtenemos:

Si gk < O ; dük = pk -ir, (2.56)

de lo conirario Si gk > O ; da, =ak -irk (2.57)

de lo conirario gk = O ; - ük 2 dük ak - ük Fin (2.58)

En la figura 2.9 se muestra el diagrama de flujo que calcula el vector de señales de

control ük con el método de Franck-Wolf ecuacioiies (2.56 - 2.58).

Capítulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD 11 - . - ~~

f* calcular ..1

I1 Figura 2.9.- Método Franck-Wolfe !I De manera genefal el cálculo de la señal de control'en la n iteración, requiere de las

siguientes operaciones: , ¡I I . Obtener el vectoiydk.

2 . Calcular FOk de I . ecuación (2.19) y el gradiente de Jk ecuación (2.20)

3. Calcular los límitrs Zk y gk para la señal de control U,

4. Calcular la direc4ión de la pendiente dir'"' (según el método descendente que se este

aplicando) I

Capitulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHI)

5. Calcular la amplitud del desplazamiento más profundo A'"' en la dirección U, del

dominio de las limitaciones. 'n i l ' - a'"' + p' * dP'"' 6. Calcular la señal de control ir, -

el algoritmo es inicializado por u~(o).

2.6 CONCLUSIONES

En este capítulo se obtuvo la ecuación (2.28), que calcula el vector de señales de control Ü,

en el algoritmo de control a horizontes deslizantes, dando lugar al diagrama a bloques de la

figura 2.1. La solución de íj, se basa en la derivada de la función costo que minimiza la

suma de los errores al cuadrado encontrando una solución óptimas para la secuencia de

control.

Dos puntos importantes que resaltan en el criterio de la ecuación (2.10) sobre el cual se basa

la secuencia de control U, son:

I) El horizonte N sobre el cual éste criterio está defiiiido es finito. Como se ilustra en el Apéndice 1 el horizonte de predicción juega un papel importante en la convergencia del

punto de operación y el valor del error en estado estable; sin embargo no es factible

aumentar indefinidamente el valor del horizonte ya que las operaciones en el algoritmo se

vuelven brumosas sin lograr una gran mejoría en la respuesta del sistema.

2) El término de la señal de control ir, trata sobre las diferencias entre dos entradas

sucesivas del sistema, que libera del problema del error estático, lo que representa una

ventaja para obtener más rápido el valor óptimo de la secuencia de control que se desea

encontrar.

/I Capitulo 2. Controlador a Horizontes Deslizantes CHD

' L Se estudiaronYtres métodos descendentes para el cálculo de la secuencia de control,

método de: Relajacion, Gradiente Modificado y Franck-Wolfe. El' objetivo de implementar

estos métodos en el a!goritmo de control a horizontes deslizantes es encontrar el valor de la

secuencia de control qk que lleve la salida del sistema a la referencia deseada lo más rápido

;I '!

posible. I1 I1

I1 Los algoritmos presentados que forman parte de la estrategia de control a horizontes

deslizantes son sencillos, prácticos y pueden ser implementados en cualquier lenguaje de

programación de alto nivel para llevar a cabo su implementación física. I

It

8 I

I 40 t

,i Capitulo 3. Implementaci6n del CHD

CAP~TULO 3 MODELADO DE PROCESOS

En este capítulo se presenta una breve descripción de los procesos a los que se les aplica la

estrategia de control a horizontes deslizantes CHD. Se presentan las ecuaciones que

describen las dinámicas de los procesos y para cada caso de estudio se menciona el objetivo

de control.

3.1 DEFINICIÓN DE LOS PROCESOS DE PRUEBA

Un modelo matemático es la descripción de un sistema en términos de ecuaciones,

cuyo objetivo es de reproducir las mismas dinámicas del sistema. La forma básica de

construir un modelo matemático para un sistema, es plantear las leyes que relacionan a cada

elemento con el lazo que se está analizando y a partir de esas leyes obtener una

representación matemática en forma de ecuaciones.

En las siguientes secciones se presentan las ecuaciones de los sistemas para los cuales se

implernenta la estrategia de control a horizontes deslizantes.

3.2 PROCESO HIDRÁULICO

En procesos hidráulicos como el mostrado en la figura 3.1 se consideran como variables de

estado: el gasto representado por la letra q, la presión representada por la letra p y el nivel

acumulado representado por la letra x. Para un proceso hidráulico es importante definir un

elemento llamado resistencia fluídica [24].

I Capítulo 3. Implementación del CHD

Resistencia fluídica: Si se tiene un ducto con dos presiones en sus extremos PO y P I ,

se establece un gastolque es función de las presiones. Se supone que la relación entre gasto Y

entonces la los relaciona es: la diferencia de presiones 'I es lineal. El elemento que los relaciona se le llama resistencia R,,

La ley que relaciona Ids variables asociadas en el tanque 1 es [24], ver figura 3.1. y

donde Al es el área de; tanque en (m2), q/ es el flujo del tanque 1 al tanque 2 en (m3/s). El

nivel del fluido en el elemento es proporcional a la diferencia de presiones Pl-Po, donde x/ es

el nivel del fluido en el tanque: II 'I

I1

II Considere el sistema hidráulico de dos tanques no interactuantes que se ilustra en la

figura 3.1. Con una entrada de flujo en el tanque 1, el objetivo de control es mantener el nivel

del tanque 2 en un punto de operación deseado. 'I

'. Salida

Figura 3.1.- laiiques no intcrdciuanics. ~

/ / Capitulo 3 . Implementación del CHD

Se considera a u(í) como el flujo de entrada, q, es el flujo entre el tanque I y 2, qz es

el flujo de salida. Las resistencias en los ductos están definidas como R I y R2 para cada

tanque, la presión Po representa la presión atmosférica y las presiones Pi y P2 son las

presiones que se ejercen en los fondos de los tanques debido al nivel de líquido que almacena

cada uno. Se considera que los flujos q/ y q 2 son constantes una vez que el sistema se

encuentra en estado estable.

Las ecuaciones (3.1 - 3.3) describen el comportamiento dinámico del tanque 1, las

ecuaciones para el tanque 2 son:

1 x2 ( 1 ) = - (P2 - Po ) (3.4)

(3.5)

a d

41 -q2 = A2 X(P2 -Po)

Sustituyendo las ecuaciones (3.3) en (3.2) y (3.4) en (3.5) se obtienen las siguientes

ecuaciones:

d u(d - 41 = 4 4 x 1 ( 1 ) )

91 - q2 = 4 (x, ( 1 ) ) (3.8)

(3.7) di

d

Sustituyendo las ecuaciones (3.1) y (3.6) en las ecuaciones (3.7) y (3.8)

respectivamente se tiene:

(3.9)

(3.10)

Sustituyendo lac ecuacioiies ( 3 . 3 ) y (3.4) en las ecuacioiies (3.9) y (3.10) respectivamente se obtiene;

I 11 Capítulo 3. ímpiementación del CHD . .

.. - ~ .~ . , . . ..~... . - II .

111. Rescribiendo las ecuaciones anteriores:

1 1 XI ( t ) = - - - X I ( / ) + -u( t )

Rl Al Al 1 1 1 11 xz(t) = - x i ( I ) - - x z ( f )

I Ri A, RzA2

(3.1 I )

(3.12)

(3.13)

(3.14)

1 Las variables x,(f) y xi ( í ) representan los estados de los dos tanques no interactuantes,

donde la entrada del sistema es el flujo u(t) y la salida del sistema que es el objetivo de

control es la altura del tanque 2 representada por x2(t). Si se escriben las ecuaciones

I

II

anteriores en forma matliciai se tiene: II 'I

II At) = xz ( 4 I En el Apéndice 3 se muestran los valores nominales de los parámetros usados para la

simulación del modelo anterior. /I .

il 3.3 PROCESO TÉRMICO

i

., I¡ Los sistemas térniicos son aquellos que involucran transferencia de calor de una sustancia a

otra. Dentro de estos procesos existen los intercanibiadores de calor que son dispositivos

donde dos corrientes de fluido en niovimienío intercambian calor sin niezclarse; son muy il .

II 44

Capitulo 3. Implementación del CHD

-- 1 Fi Ti ! 4 ;

- - -. - - - - caliente

0,4'~1, N ,r::;-c--x:77j ;e---:

x:

L L '

Volumen de Control Agua Caliente

-

empleados en industrias químicas y alimenticias, Los fluidos sobre ambos lados de la pared

son comúnmente líquidos, pero también pueden ser vapor, aire o incluso algunos metales

líquidos como mercurio o sodio.

TI

, , + , Salidaagua caliente

t-@

La forma más simple de un intercambiador de calor es la del intercambiador de calor de doble tubo (también llamado tubo y casco), donde a través de dos tubos coaxiales

circulan dos fluidos con diferente temperatura. En el tubo interior circula el fluido caliente y en el tubo exterior circula el fluido frío [25].

El calor se transmite a través de la pared del tubo interior, del fluido caliente al frío;

las direcciones de circulación de los fluidos son en contracorriente obteniendo con esto la

máxima transferencia de calor [26] .

Para la obtención del modelo matemático del intercambiador de calor, en el análisis

se considera que no existe intercambio de calor entre el tubo exterior y el medio ambiente.

En la figura 3.2 se muestra el diagrama de instrumentación del intercambiador de calor.

Salida agua fria

Capítulo 3. Implementación del CHD

Para plantear ,las ecuaciones matemáticas que representan al proceso de intercambio

, , - _ . . .. . I _*. . . ~. . ~ "li

'I il

v. I1 !I de calor es necesario describir algunos conceptos, tales como: . I ,

Volumen de Control: Es cualquier región arbitraria en el espacio que se elija; para la

elección de un candidato no existen reglas que deba cumplir, en la figura 3.3 se ilustra un ejemplo de un volumen II de control, se abrevia como VC. El volumen de control implica

interacciones de calor y de trabajo.

.i

L , Masa I Entrante

1 Figura 3.3.- Volumen de Control fijo [25].

La ecuación de de la energía para un volumen de control sujeto a un /I proceso para múltiples entradas y salidas, se expresa como [25]: I i

cruza la frontera transportada fuera transportada dentro delVC con la masa delVC con la masa

1 Qs -W = Cmsul@sol - E m c n @ , (3.16) 9 donde Qs es el calor sudinistrado; W es el trabajo que se realiza al producirse el intercambio de calor; O,, y Oso/ es el il ,total de la energía del fluido por unidad de masa que entra y sale,

respectivamente; men y ?,/ es cantidad de niasa que entra y sale al volumen de control; la

ecuación (3.16) es posible expresada como se muestra en (3.17). I1

J ’~ Capitulo 3. Implementación del CHD

Q = h + e c + e p (3.18)

donde:

Qs + es el calor suministrado (kg-m2/s3)

W -+ es el trabajo realizado (kg-m2/s3)

he, y h,, -+ es la Entalpía en el fluido de entra y salida

ec -+ es la energía cinética (kgf.m)

ep -+ es la energía potencial (kgEm)

Se denota a la entrada con el subíndice 1, a la salida con el subíndice 2 y se considera

que la relación de flujo de masa por todo el volumen de control permanece constante, por

consiguiente se puede afirmar que m,f = m,t = m, y m,c = m2c = rn, , como se ilustra en la

figura 3.4. Entrada agua

fría

Salida agua

1::- Entrada agua caliente + m’c - m’c-) caliente T.. Salida fria agua ’

Figura 3.4.- Esquema del intercambiador

Rescribiendo la ecuación (3.17) se tiene:

Q - W = m[Ah + Aec + Aep] (3.19)

Si el fluido experimenta cambios despreciables en las energías cinéticas y potenciales

cuando fluye a través del volumen de control (dec=O, depp=O), la ecuación (3.19).se escribe

como [2S] :

Capitulo 3. Implementación del CHD . .. .., ~~,

(3.20)

E,, es el cambio neto’de la energía total del volumen de dontrol (kg-m2/s2), se define a u,, =

E,, + W y U,, = E,!, + W entonces rescribiendo la ecuación (3.20) para el agua caliente

como la ecuación (3.21) y para el agua fria como la’ecuación (3.22) se tiene:

I

!I -= dU‘ot -Ah,m, i Q, dt

dum, - -Ah,m, + Q, dl

(3.21)

(3.22)

Se propone llamar al tubo interior como tubo y al exterior como casco; utilizando el 11 subíndice “1” para designar el tubo (agua caliente) y “c” designar el casco (agua fría), donde:

/I 2 2 U,,, -+ energía interna para el agua caliente (kg-m ís )

UtOc -+ energía interna para el agua fría (kg-m2/s2)

Qc -+ calor suministrado por el agua fría ( J k g ) Q, + calor suministrado por el agua caliente (Jkg)

I1 h, -+ cambio de entalpía para el agua fría

h, 4 cambio de entalpia para el agua caliente

m, + cantidad de masa para el agua fría ( d s )

m, -+ cantidad de masa para el agua caliente ( d s )

/I

11 ’

1 II

Todos los cue$os tienen una cierta capacidad de calor; entre más pequeño sea el

cambio de temperatura ,en el cuerpo provocado por el intercambio de calor, mayor es su

capacidad. /I

Existen dos capacidades caloríficas de uso común en los fluidos homogéneos: la

capacidad calorifica a vdlumen constante y la capacidad calorifica a presión constante [27]. 4

;I Capitulo 3. Implementación del CHD

Se considera que en el intercambiador de calor en los fluidos no existe una diferencia

de presión elevada, se considera la capacidad calorífica a presión constante, que está

definida como:

Cp = (ah/¿?T),, donde:

Cp + capacidad calorífica

ah -+ cambio de entalpía

aT + cambio en la temperatura (“C )

-t temperatura del agua a la entrada (“C)

T, --t temperatura del agua a la salida (“C)

(3.23)

Si se considera un proceso a presión constante, la ecuación (3.23) se puede rescribir como:

.I,

dh = CpdT Integrando la ecuación (3.24) se obtiene:

T 2

Ah = SCpdT = CpAT TI

Sustituyendo (3.25) en (3.21) y (3.22) se obtiene

donde:

Cp, + capacidad calorífica para el agua fría

Cp, + capacidad calorífica para el agua caliente T,, + temperatura en el agua caliente a la entrada (“C)

TO -+ temperatura en el agua caliente a la salida (“C)

Tc/ -+ temperatura en el agua fría a la entrada (“C)

Tc2 -+ temperatura en cl agua fría a la salida (“C)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

49

Escribiendo las ecuacjones (3.26) y (3.27) en forma diferencial:

dUlo,t = -m,Cp,dT + dQl

dU,<,IC = - m,Cp,dT, +de,

/I I

/I (3.28)

(3.29)

/I El flujo calorífico radial dentro de un volumen de control contenido en un tubo

cilíndrico, está determinado por la ecuación (3.30): II

I Q = h q ( 2 x * r L ) ( T C - T , ) (3 .30)

/j

donde: r es el radio del'ltubo en (m), L la longitud del tubo en (m), T, la temperatura del agua

fría en ("C), TI la temperatura del agua caliente en ("C), siendo hq el coeficiente de

transmisión de calor en (kg/s3-OC ) determinado por:

II

donde:

(3.3 1 )

..-' es la conductibiL..d térmica (kg/s3"C)

Nu es el número de Nusselt (adimensional)

De es el diámetro' equivalente (m)

/I

I Sustituyendo (3.30) en (3.28) y (3.39) se obtiene la ecuación (3.32) para el agua

caliente y ia ecuación (3133) para el agua fría: II


Hasta este punto se tienen las ecuaciones (3.32) y (3.33) obtenidas del análisis de la

conservación de la energía para un volumen de control. A partir de estas ecuaciones se

obtiene el modelo del intercambiador de calor.

Otra manera como se puede definir a la energía es como sigue 1281:

Utilizando la ecuación (3.34) en (3.32) y (3.33) se obtienen las ecuaciones (3.35) para

el agua caliente y (3.36) para el agua fría:

(3.35)

(3.36)

donde:

A,, = 2n * r,L área del tubo por donde circula el fluido caliente (m’)

A. = 2 í ~ * r,L área del tubo por donde circula el fluido frío (m’)

Donde p, es la densidad en el agua caliente en (kg/m3), A/es el área de flujo en el

agua caliente en (m’), vel, en ( d s ) que es la velocidad del agua en el tubo que se convierte

en la nueva entrada u(í) del sistema.

Para lograr un cambio en la temperatura del agua fría a la salida del iiitercambiador se

iI, tienen dos opciones:

a) Variar la temperatura del agua caliente (manteniendo el flujo constante). Esto se

consigue actuando directamente en el termo regulador (operación manual de la

perilla).


b) Variar la velocidad del agua caliente vel, que entra al intercambiador (manteniendo la

temperatura constante). Esto se consigue mediante el cierre y la apertura de la válvula

neumática.

1 . . . , ~ . . . . . , . . .~ ~I 'B .!, . .. ,

11 .I! I,. '

I Si se opta por II la opción "b" debido a que es posible controlar automáticamente la

válvula a fin de controlar la velocidad del agua en el tubo, la entrada del sistema está incluida

en el término del flujo másico del agua dada por: 1 i

Sustituyendo la ecuacihn (3.37) en la ecuación (3.35) y reacomodando términos:

I , I

(3.37)

(3.38)

Con la relación m, = bcA/,vel, y la ecuación (3.36) se rescribe como (3.39) II it

L i Para sistemas yon paredes compuestas suele ser conveniente trabajar con un

coeficiente global de transferencia de calor, guardando la siguiente relación: I

(3.40)

Haciendo referepcia a relación de la ecuación (3.40), se obtienen las ecuaciones

/I finales del modelo:

(3.41)


(3.42)

La entrada u es la velocidad del agua caliente vel, y la salida es la temperatura en el

agua fría T,, el modelo obtenido es no lineal debido a que dos estados del sistema están

multiplicados por la entrada, obteniendo una forma de tipo:

(3.43) = f ( x ( O ) + g ( x ( 0 ) m A x ) = h(X(f))

Tomando la notación de la ecuación (3.43) se escriben las ecuaciones (3.41) y (3.42) como:

['I; T

Y = T, (3.44)

El objetivo de control es mar p l a r la salida de agua en c. casco T, del intercambiador

de calor. El modelo de 2' orden no lineal obtenido y mostrado en la ecuación (3.44) se

considera una muy buena aproximación del modelo de 6' orden no lineal obtenido y validado

por [28] , (ver apéndice A2).

Con base a los errores que se observan en las pruebas a los modelos de 6" orden y 2"

orden no lineal (ver tabla A2.2), se determina utilizar el modelo de 2' orden no lineal del

intercambiador de calor para irnplementar el controlador a horizontes deslizantes.

En el apéndice 3 se muestran los valores nominales de los parámetros usados para la

simulación del modelo anterior.

. ~ .. II E - . Capitulo 3. Implementación del CHD .,-. _<. . . . . .. . .. L. 1) u ...- - -,-.. -,-".- . .., .

3.3.1 MODELO NO LINEAL MIMO DEL PROCESO TEMICO /I

El modelo obtenido para el intercambiador de calor ecuación (3.44), es un modelo no lineal

SISO. Con el objeto de estudiar el desempeño del controlador a horizontes deslizantes en este

sistema, se proponen otras variables de control para formar otras representaciones del

1

'11 proceso térmico. I

b

1 Si en el modelo del intercambiador de calor ecuación (3.44), se consideran como

salidas las temperaturá en el casco T,, temperatura en el tubo TI, y como señales de control a

las velocidades en el tubo vel,, velocidad en el casco vel,, entonces el modelo del

intercmbiador de cal& que se obtiene es una representación no lineal tipo MIMO, como se

muestra a continuación1 en la ecuación (3.45).

, I

I1

11 'I

(3.45)

El objetivo de cdntroi para el modelo repres'entado en la ecuación (3.45) es mantener

las temperaturas del casco T, y del tubo í", en un punto de operación deseado, manipulando

las velocidades del agus en el tubo Vel, y en el casco Vel,.

11 !I

1. 11 3.3.2 MODELO LINEAL MIMO DEL PROCESO TÉRMICO

Retomando el modelo de la ecuación (3.44), proponiendo ahora como señales de control las

temperaturas de entrada al tubo y al casco í",, T,; respectivamente, y como salidas las II

' I

II Capíiulo 3 . Implementación del CHD

temperaturas del tubo y del casco Ti, T,, el modelo que se obtiene es lineal tipo MIMO, la

ecuación (3.46) muestra la nueva representación.

Y = [’ O O ] [ q 1 T, (3.46)

El objetivo de control paramel modelo representado en la ecuación (3.46) es mantener las

temperaturas del casco T, y del tubo T, en un punto de operación deseado, manipulando las

temperaturas en el tubo y el casco T,,, T,irespectivamente.

3.4 PROCESO BIOQU~MICO

Un proceso de denitrificación puede convertir todos los nitratos presentes en el agua

rehusada en nitrógeno gaseoso, de manera que este proceso juega un papel importante en la

industria del agua potable. La denitrificación biológica es considerada como la opción más

factible eii cuanto a costo-efectividad se refiere para remover nitrógeno.

A continuación se presentan las ecuaciones que describen el comportamiento de un

birreactor de denitrificación. Las ecuaci0ne.s se obtienen a partir de un balance de masa [I 11.

(3.47)

5 5

I CapftulO 3. Implementación del CHD I/ : . . '

,I\ 1

La tasa de crecimiento para la biomasa se define por las siguientes ecuaciones.

(3.48)

(3.49)

donde X I es la concentración de la biomasa en (gíl), XI y x3 son la concentración de nitratos y

nitritos en (gíl), x4 eq la u concentración del ácido acético en (g/l) ,p2 y ,u3 son la tasa de

crecimiento de la biomass en (lih), Y2.y Y3 son los coeficientes de crecimiento asociado al

nitrato y nitrito (g/g), Yc2 y Yc3 son coeficientes proporcionales, S3, es la concentración del

nitrato en la entrada de flujo en (gíl), S,, es la Concentración del ácido acético en el flujo de

entrada en (gíl), pn,] y pm2 son las tasas de crecimiento máximas asociadas al nitrato y al

nitrito en (Iíh), K,j y K,2 son las constantes asociadas al nitrato y al nitrito en K3 y K2

son las constantes de saturación asociadas con el nitrito y el nitrato en (gíl), Kc3 y Kc2 son

constantes en (gíi), la efitrada u es la tasa de disolución en (lih). En el apéndice 3 se muestran

los valores nominales que conforman el modelo anterior.

11 I1 . .

/I

I/ !I

/I El objetivo de control es mantener la cantidad de nitratos y nitritos en un punto

específico de operaciónl, mediante la manipulación de la tasa de dilución u(f), la ecuación

(3.50) representa la salida del proceso. 11

'I

Una descripción complefa de este proceso se encuentra en [29].

Ill Sú

Capítulo 3. Implementación del CHD

3.5 CONCLUSIONES

En este capítulo se muestran las ecuaciones que reproducen las dinámicas de tres procesos

que comúnmente se encuentran en el medio industrial. Los tanques no interactuantes como

parte de procesos hidráulicos juegan un papel importante en el almacenamiento de diversos

tipos de líquidos. Los intercambiadores de calor son ampliamente utilizados para enfriar

diferentes tipos de refrigerantes como agua, aceite; pero también se usan para elevar la temperatura de líquidos y/o gases como un precalentamiento dentro de procesos térmicos.

Los procesos bioquímicos como la mezcla de sustancias para lograr ciertas reacciones son

importantes dentro de las industrias farmacéuticas y tienen aplicación en el manejo de pintura

en la industria automotriz. ,

Con el objeto de estudiar la estrategia de control a horizontes deslizantes se escogen

los procesos descritos anteriormente por presentar una dinámica lenta en la evolución de los

estados, recordando que esta estrategia de control tiene mejor desempeño en sistemas con

este tipo de características.

Las representaciones que se obtuvieron para los procesos a los cuales se les

implementará la estrategia de control a horizontes deslizantes son:

Del proceso hidráulico se presenta un modelo de 2" orden lineal SISO, como señal de

entrada es el flujo u(t) y el objetivo de control es mantener la altura en el tanque 2 x2(I) en un

punto de operación específico, ecuación (3.15).

Con el objeto de probar la metodología de control a modelos tipo SISO y MIMO,

lineales y no lineales, del proceso térmico se obtuvieron diferentes representaciones:

1. Modelo SISO no lineal, se considera como señal de control la velocidad del.agua en el

tubo rfcl,(r), el objetivo de control es mantener la temperatura del agua en el casco

T,(t) en un valor deseado, ecuación (3.44).

Capitulo 3. implernentación del CHD ,, . li ..,. . , . i . . , . . . I ~ , . .

I 11 . , ' , .

2. Modelo MIMO no lineal, para esta representación se consideran como señales de

control las vJlocidades del agua en el tubo Vel,(() y en el casco VeZc(o, los objetivos

de control son mantener las temperaturas del agua en el casco T,(g y en el tubo T,(r)

en dos valores deseados;ecuación (3.45).

II 11

' I I 3. Modelo lineal, en esta representación las' señales de control son las

temperaturas iniciales del agua en el tubo T,(r) y en el 'casco Tc(r), ), los objetivos de

control son mantener las temperaturas del agua.en el casco Tc(t) y en el tubo T,() en

dos valores deseados; ecuación (3.46).

It

II ;I

// Del proceso bioquímico se muestra una representación SISO no lineal, la seña1.de control

es la t a a de dilución u(() y el objetivo de control es la cantidad de nitratos y nitritos en un punto específico de operación, ecuación (3.47) Y (3.50).

I I\

I.

http://sea1.de

--*-” Capítulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD

CAPÍTULO 4 IMPLEMENTACI~N Y

RESULTADOS OBTENIDOS CON EL CHD

En este capítulo se describe la implementación del algoritmo CHD, basándose en el diagrama

de la figura 2.4 capítulo 2. Se mencionan algunas consideraciones bajo las cuales se realizan

las simulaciones del algoritmo de control a horizontes deslizantes.

Se muestran los resultados obtenidos con el algoritmo CHD, en la Tabla 4.1 se resumen todas

las pruebas que se realizaron con el algoritmo CHD con el fin de observar el desempeño del

controlador ante cambios de referencia y presencia de perturbaciones tipo deterministicas y

estocásticas.

4.1 ACONDICIONADORES DE SEÑAL

El propósito de los bloques que representan a los acondicionadores de señal Ar y Rr es

proporcionar una dinámica ‘deseada tanto a la referencia como al error, evitando cambios

bruscos en los valores que toma la señal de control alargando la vida útil de los actuadores.

Entonces es necesario que los acondicionadores de señal puedan variar su respuesta y

por lo tanto cambiar la dinámica de la señal de referencia y del error, por lo que cualquier

sistema de orden n puede representar una buena opción. Sin embargo el objetivo no es tener

un sistema con un orden alto que dificulte su programación. por lo tanto, se propone un

5 9

Capítulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD . ~ --,..., .. . . ... ..

;I 'I sistema de segundo iorden como solución para implementar ambos acondicionadores de . ,. señal. iI . .. I!

2 (4.1) I1

4, : 1 .I , sf + 2<w,s + w,

It.

I

i I¡

La ecuación (4l 1) representa la respuesta de un sistema de segundo orden, la ecuación

se conforma de los siguientes parámetros: 6 factor de amortiguamiento relativo y w,

frecuencia natural.

>_

I

// Si 0 < 5 c i los polos son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano

izquierdo del plano s, Al sistema se le denomina subamortiguado y la respuesta es oscilatoria.

Si 5 = 1 , el sistema se denomina críticamente amortiguado; los sistemas sobreamortiguados

corresponden a 6 > 1 . Las respuestas de los sistemas críticamente amortiguados y

sobreamortiguados no bscilan.

II

I

I1

Entonces, vari+do los pat&etros'r y w , en la ecuación (4.1), se cambia la

respuesta de un sistema de segundo orden de subamortiguada hasta la sobreamortiguada. Si

se impleinentan los acondicionadoresde señal A r y Rr con un sistema que presenta este tipo

de respuesta se puede 'variar la dinámica de la referencia y/o del error de salida, y de esta

manera evitar cambios: bruscos que puedan llevar a la señal de control al límite superior o

inferior.

11 II . : J

li II

I¡

II

'I ;I

I/

I1 :i

Los valores finales de los parámetros antes mencionados dependerán de cada caso

particular de estudio; dado que pueden .existir diferentes combinaciones para los valores de

los parámetros y que se pueden tomar cualquiera de ellos, se propone iniciar las pruebas con

valores iniciales para 5,1=0.5 y w,=O.6.

I ,I Con el sistema propuesto en la ecuación (4.1), la dimensión de los vectores de salida

de los acondicionadores Ar y Rr esta definido por el tamaño del horizonte h'como: Iv.oa]ixr; y

b r r d I xN.

~ 60 II

rl' T

Capitulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHQ

4.2 PROCESOS DE PRUEBA

En el capitulo 3 se mostraron las ecuaciones dinámicas que forman los modelos para

representar a los procesos de dos tanques no interactuantes, un intercambiador de calor y el

proceso bioquímico.

En la implementación del algoritmo de control a horizontes deslizantes es necesario

definir un proceso y un modelo del proceso con incertidumbre. En este trabajo de

investigación donde las pruebas se realizan a nivel simulación el proceso se representara por

un modelo matemático el cual se considera que reproduce las dinámicas del proceso fisico.

El modelo del proceso con incertidumbre es una representación aproximada del proceso

fisico que puede contener incertidumbre paramétrica en el modelo matemático.

A continuación se muestran las ecuaciones que representaran al proceso y modelo del

proceso con incertidumbre para los procesos en los cuales se implementa la estrategia de

control CHD.

4.2.1 PROCESO HIDRA~LICO

El proceso hidráulico queda representado por la ecuación (3.15) del capitulo 3 que se muestra

a continuación. En este modelo se considera que las resistencias RI y R2 cambian.de valor a

lo largo de la tubería que interconecta a los tanques por la formación de sarro; para simular

este fenómeno se definen las siguientes ecuaciones:

R, = [R, + O S sin(rimt?)]

R? = [R, +0.5sin(riiite)]

http://cambian.de

Capítulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD i ._ .. .. r~ .."1. . *. ,..

, , ,. (4.3) Y ( f ) = x2 (0 t

11 ii

'I Las ecuaciones que forman al modelo del proceso con incertidumbre no consideran

las variaciones en las. resistencias de las tuberías, pero si consideran incertidumbre

paramétrica. A continuación se muestra el modelo del proceso aproximado.

11

I

c o 0.7

E 0.6

- %

(4.4)

En la figura se muestra ~~. salida del

proceso y la del modelo del proceso con

incertidumbre, para un valor constante de

I u@). La salida del proceso presenta constantes variaciones por los cambios en

las resistencias de las tuberías.

,, .-- /I __I.....I.. :' ,---:-- ;;.'

,,/

í 'I - 20.5 * I

n. .o

I 11

5 10 15 2 0.4 "

/Illempo mi".

Figura 4.1. Salida del proccso y modelo con inccrtidurnbre I

62 ll

Capitulo 4. Implementaci6n y Resultados Obtenidos con el CHD

4.2.2 PROCESO TÉRMICO

El proceso térmico de un intercambiador de calor modelado como un sistema lineal tipo

MIMO, donde las señales de control son las temperaturas iniciales del tubo y d e l c LO, T,,, T,, respectivamente y las salidas del modelo son las temperaturas del casco T, y del tubo T,, esta representado por la ecuación (3.46) del capitulo 3.

Y = [ ' O O]["] 1 T, (4.5)

En el modelo de la ecuación anterior se considera que el coeficiente de transferencia

de calor h puede variar a lo largo de la tubería en los tanques, la ecuación (4.6) simula las

variaciones como un caso extremo donde el coeficiente varía a cada instante de tiempo.

h = h+lOsin(tirne) (4.6)

El modelo del proceso con incertidumbre es el modelo lineal del intercambiador de

calor; este modelo no considera las variaciones en el coeficiente de transferencia de calor

pero si presenta incertidumbre paramétrica en el modelo que se muestra a continuación.

Y=[' O O]!';] I T, (4.7)

63

'I

. Capítulo 4. Irnplernentación y Resultados Obtenidos con el CHD

En las figuras 4.2 y 4.3 se muestran las salidas del proceso y del modelo del proceso

con incertidumbre para el tubo y el casco respectivamente con unas temperaturas iniciales

constantes; se observa que las salidas de los modelos son muy semejantes, sin embargo en la

d transferencia de calor, '! 1;

.., I1 11.

!I I1

, 1

salida del proceso se I¡ observan oscilaciones debido a , la variación del coeficiente de

F i 31.8

-_ ~ ~.I,X. .

5 31.4

31.2 .- I

30.6 'i 9 - 30.4

30.2

g 2 4 I 6 8 10 ,I nemw mi".

/I

11 Figura 4.2. Salida del procesdy modelo con incertidumbre T, Figura 4.3. Salida del proceso y modelo con inceriidumbre T,

4.2.3 PROCESO r :I'

El proceso bioquímico~esta modelado por las ecuaciones (3.47) y (3.50) en el capitulo 3; las

salidas del sistema son'ilas concentraciones de nitratos y nitritos, la señal de manipulación del

proceso es la tasa de dilución u(t) como se muestra en la siguiente ecuación

!I !

- 'i (P3 + P 2 ) X , X 4

1 - XI

U ( f )

-

Y ( X ) = a-2 (0 + x3 (0 ii

(4.8)

I il

Capitulo 4. lmplementación y Resultados Obtenidos con el CHD

El modelo del proceso con incertidumbre es la linealización del modelo no lineal de

la ecuación (4.8); la ecuación (4.9) muestra de manera matricial el modelo lineal.

a =

0.0444 0.0503 0.2355 2.5745e - 4 - 0.0167 - 0.2336 5.102e - 4 -1.2S84e - 4 - 0.0778 0.241'6 -0.5484 -4.0558e - 4 - 0.0609 -0.0599 -0.1736 -0.2735 -3 .6135-4 1.0851

c= [o 1 1 o]; d=O;

0.5 1 1

1.5

(4.9)

En la figura 4.4 se muestran las salidas del

proceso y del modelo del proceso con

incertidumbre.

Tiempo min

Figura 4.4. Salida del proceso y modelo con incertidumbre

4.3 INCERTIDUMBRE EN LOS PROCESOS DE PRUEBA

Las incertidumbres de modelado siempre están presentes, la razón es que a través de un

modelo matemático no es posible modelar exactamente un sistema fisico, lo que ocasiona

que existan incertidumbres en los parámetros y en las dinámicas no modeladas. Una de las

causas de las discrepancias entre las dinámicas de los modelos matemáticos y la de los

sistemas fisicos es: la simplificación de los modelos en forma intencional, tales como linealización o reducción de modelos.

* .-.- Capítulo 4. Implementaci6n y Resultados Obtenidos con el CHD I -~ I1

III Las incertidumbres .pueden clasificarse en dos tipos: internas y extemas según pol.

Las incertidumbres ~knternas abarcan: incertidumbres en los parámetros, dinámicas no

modeladas y no linedidades no modeladas. Las incertidumbres externas incluyen: midos y

disturbios; comúnmente conocidos como perturbacioiies.

1t :I

.l.

I

I,' . Los modelos obtenidos para los procesos hidráulicos, t éh icos y bioquímicos en las

secciones anteriores, se considera que tienen incertidumbres en su modelado.

En el diagrama a bloques, de la figura 2.4, ,el bloque llamado como modelo del

proceso con incerfidumbres, es la representación de los procesos descritos anteriormente

considerando incertid&bres en el modelado de los procesos. 'I

!I

II A continuación1 se mencionan las incertidumbres consideradas en los procesos a los

cuales se les aplica la estrategia de control a horizontes deslizantes en este trabajo de tesis. 'It

4.3.1 INCERTIDUMBRE ENEL MODELO DEL PROCESO HIDRÁULICO

Del modelo que representa a los dos tanques no interactuantes ecuación (3.15) se considera

que en las resistencias y R2 de las tuberías de la figura 3.1 que conectan a ambostanques,

existe una incertidumbre paramétrica. II

I1

Ya que los valores de estos elementos cambian debido a la formación del sarro en las

paredes de las tuberías por el paso de diversas sustancias. Por lo tanto, el valor de las

resistencias puede camd'iar a través del tiempo.

II

I! Para considerar este fenómeno se afecta el valor de las resistencias R , y Rz en la

programación de las ecuaciones que representan el proceso de los dos tanques no

interactuantes con un incremento del 6% de su valor nominal debido a la formación del sarro.

4 111

Resistencia del tanque uno al dos R , = 1.3327 nominal, resistencia con incertidumbrc

Rin/ = 1.4127. I1

66 i

Resistencia del tanque dos a la salida R2 = 1.8803 nominal, resistencia con

incertidumbre Rm2 = 1.993 1.

Se incrementa un 6% al valor de las resistencias nominales para considerar que la

tubería por donde circulan las sustancias contenidas en los tanques 1 y dos, ya han formado

sarro en el interior de las tuberías. Se considera un valor bajo debido a que estas resistencias

a pesar de que existen no llegan a alcanzar valores muy grandes.

4.3.2 INCERTIDUMBRE ENEL MODELO DEL PROCESO TERMICO

Considerando el mismo fenómeno en los ductos donde circulan líquidos como en el caso

anterior, en el modelo del intercambiador de calor se considera que existe una incertidumbre

paramétrica en el valor del coeficiente de transferencia de calor h. Por lo tanto se supone que

a través del uso del intercambiador existe un cambio en h con respecto a su valor promedio.

Debido a la formación de sarro en las paredes interiores de las tuberías de un

intercambiador de calor, el valor del coeficiente de transferencia de calor se ve afectado a lo

largo de toda la tubería. Por lo tanto para considerar este fenómeno se decrementa un 6% el

valor del coeficiente de transferencia de calor en la programación de las ecuaciones que

representan al proceso de intercambio de calor.

I!

Coeficiente de transferencia de calor h = 1150 nominal, coeficiente con incertidumbre

hcmi = 1129.

Se considera un valor bajo para decrementar al coeficiente de intercambio de calor

debido a que el sarro que se forma en las paredes internas de la tubería del intercambiador de

calor en condiciones normales, no llega a formar una capa muy gruesa que decr.emente en

forma drástica el valor nominal del coeficiente de lransferencia de calor.

Capltulo 4. Irnplementaci6n y Resultados Obtenidos con el CHD .~ . , .

!i. '' i r - ' ' -'

1

4.3.3 INCERTIDU~BRE ENEL MODELO DEL PROCESO BIOQUÍMICO I!

l l . 68

4.5 MATRICES DEL ALGORITMO CHD

Los bloques kx, kUI, kYD son matrices que forman parte del algoritmo de control a

horizontes deslizantes que calcula la señal de control sin restricciones, ver figura 2.1. La

definición de éstas matrices para su programación en el algoritmo CHD, se muestra en las ecuaciones (2.20-2.22).

Las definiciones para r y Y que forman parte de las ecuaciones (2.21-2.23), se

presenta en la ecuación (2.13). Las matrices A , B, C que son parte de las definicíones para

r y Y, son matrices discretizadas a partir de un sistema lineal a, b, c cuando es implementado el algoritmo CHD para un proceso lineal. En el caso de la implementación del

algoritmo para un sistema no lineal, se debe linealizar el sistema para obtener las matrices a, b, c.

Las matrices D, R“ y k ecuación (2.1 I ) que forman parte de las ecuaciones (2.21-

2.23) deben cumplir con ser positivas definidas, esto es, todos sus eigenvalores deben ser

positivos.

Se propone un valor inicial para las matrices de: Q = [“u9 0,0;9] y R = 6 ; los

eigenvalores para las matrices anteriormente definidas son: Q = [a:::;] y R = 6 , por lo

tanto cumple con su definición. I1

Tomando los valores de las matrices Q y R para formar a las matrices gy 2 definidas en la ecuación (2.1 1) y recordando que estas matrices deben ser simétricas y de

dimensiones iguales al tamaño del horizonte N, se forman las matrices:

69

e=

I 1 i = [ 6 O O O O O O O O O] '

- - O O O O O O O O O O O O O O

O 0.029 O O O O O O O

O O O , ,; O , 0.029 O O O O O

O 0.029 O O 0.029 O

I O

O ' I O ' . 0.029 O O O O O O

O o O O O 0.029 O O O O O o" O O O O 0.029 O O O O ; O O O O O 0.029 O O

O O O O 0 O 0.029 O O O O O O O O ' 01029

I O1 O

O',' -

I Los valores finales de Las matrices y se obtienen observando el desempeño que

presente el controlador para las diferentes pruebas donde se varían los valores de las matrices

Q y R para cada uno de'los casos de estudio donde se implementa el controlador CHD.

II

1 Ill

I . .

Por lo anterior para cada caso particular de estudio y cada prueba que se realice,

existe un conjunto de matrices kYDs, kUI y AX que aplica solo en el caso del algoritmo de

control a horizontes sin Festricción en la señal de control

R =

' i

ii 70

, , , , 1

712 6 O O O O O O O O 1-6 12~"-6 ' O O O O O O O : I O - 6 12 - 6 O O O O O ' O

; O 0 - 6 1 2 - 6 0 O O O O O 0 - 6 1 2 - 6 0 O O O O O O - 6 12 - 6 O 0 . 0

O O O O O - 6 . 1 2 - 6 O O O O O O O 0 - 6 1 2 - 6 0

/,o .~

O O O O O 0 - 6 1 2 - 6 ' O O O O O O 0 ' 0 - 6 6 -

Capitulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD

4.6 PERTURBACIONES APLICADAS AL SISTEMA '

La retroalimentación de la salida de un proceso a los algoritmos de control se realiza a través

de diferentes dispositivos electrónicos que llevan el comportamiento del sistema expresado

en valores para la corrección de señales de control. Estas mediciones de salida de los

procesos se pueden ver afectadas por ruidos externos, mal estado de los sensores, la distancia

de transmisión, entre otras.

Para considerar el fenómeno antes mencionado se suman perturbaciones a la salida

del proceso como se muestra en la figura 4.5, con el objeto de simular que por alguna

circunstancia fisica la salida del proceso esta siendo afectada en los valores de medición que

llegan al algoritmo de control.

Perturbacio'n

Figura 4.5.- Suma de la peiíurbación

Se consideran dos tipos de perturbaciones: las defenninísticus que se aplican al sistema en un instante de tiempo y tienen una forma definida, para las simulaciones que se

realizan en este trabajo de investigación se aplica un pulso y un escalón; y las perturbaciones

estocasticas que son valores aleatorios que cambian de valor a cada instante y están presentes

a io largo de toda la simulación.

71

. . II it


4.6.1 PERTURBA~~IONES APLICADAS AL PROCESO HIDRA'ULICO

1 En las figuras84 6 y 4.7 se muestran las perturbaciones deterministicas y estocásticas a

las que se somete el algoritmo de control a horizontes deslizantes implementado en el 'I .

proceso hidráulico de !I1 idos tanques no interactuantes.

I I I o ' I O 50 io0 150 200 160.4 160.5 160.6 160.7 160.8 160.9 161

TiYmpO mi". Tiempo min

Figura 4.7 Perturbación esiocástica proceso hidráulico. Figura 4.6 Perturbación determinislica proceso hidráulico. ,I

li En la tabla 4.1 se resumen las características de las perturbaciones, donde las amplitudes se I!

presentan en (%) con de la referencia en el instante en que aparece la perturbación.

~ _________ Amplitud de la Duración de la

erturbación ~ erturbación i 53.33(%) 1498segundos

i Pertrrrbación i Tipo de turbación " ............ ...... P . . ~~ ....... ~i.._": P.

Escalón I 75(%) Tiempo indefinido 1 - I 1 .. ...,.... " . ! ....... P C ~ ...,.

~

~ Estocásticas ~ 1 Valores aleatorios 1 O - 14 (%) ' A lo largo de toda I j- I ,- laprueba ]

Tabla 4.1.- Caracterisiicas de las penurbaciones detcrminislicas y csiocáslicas para un proceso hidráulico.

4.6.2 PERTURBACIONES APLICADAS AL PROCESO TÉRMICO

En la del CHD para el proceso térmico las perturbaciones

consideradas para este caso particular de estudio se muestran en las figuras 4.8 y 4.9. I

I¡

:I 72

il

Capítulo 4. implementaci6n y Resultados Obtenidos con el CHD

Perturbación ~ Perturbacih , Perturbación i -

limp0 mi". n e m p mi".

Figura 4.8.- Perturbaci6n deterministica proceso térmico. Figura 4.9.- Perturbación estocástica proCeso térmico.

En la tabla 4.2 se resumen las características de las perturbaciones que se suman al proceso

térmico. Las amplitudes se presentan en (%) con respecto de la referencia en el instante en

que aparece la perturbación.

4.4.3 PERTURBACIONES APLICADAS AL PROCESO BIOQUÍMICO

Las figuras 4.10 y"4.11 muestran las perturbaciones a las cuales se somete el

controlador CHD implementado en el proceso bioquímico, su valor se expresa en (YO) con

respecto de la referencia deseada en el momento en que aparece la perturbación. ,I

73

ll Capítulo 4.Implementaeión.y Resultados Obtenidos con el CHD

1

i i!

Figura 4.10.- Perturbaciones deterministicas proceso Figura 4.11.- Perturbaciones estocásticac proceso bioquirnico,i bioquimico.

~

En la tabla 4.3 'se muestran las características de las perturbaciones que se suman a la 1/ '11

salida del proceso bioquímico.

:I ~ Amplitud de la ~ Duración de la i i Perturbación 1 de ~ ..................................... - k.1

~ Escalón I SO(%) Tiempoindefinido '1 1 j ~ L- -~ i ~ 2 ~. ~ ~~

I Estocásticas I[ ~

Tabla 4.3.-

......................... Perturbación ..... : .... P .................. erturbación ...,.. : ....... P~ eriurbación ...,,. 1 Deterrninística's 1 Pulso' ~ 50(%) 240segundos 1

1

1 Valores aleatorios ~ O -14 (%) ~ A lo largo de toda 1

de las pciturbaciones deterministicas y cstocásticas para un proceso bioquimico. ............................................ ........ ~-~ : laprueba .~ ~ ..,... ~ I

4.7 SIMULACIONES REALIZADAS 4

11:

'I It

! I II En la tabla 4.4 se listan cada una de las pruebas realizadas en simulación a los procesos de

prueba con modelos tipo SISO y MIMO. El algoritmo CHD se prueba ante la presencia de

perturbaciones deterministicas y estocásticas, con restricciones en la señal de control e

implementando métodos descendentes para el cálculo de la señal de control. !I

Todas las pruebhs que se listan en la siguiente tabla se realizaron en siniulación. /I

Debido a la gran cantidad de pruebas realizadas, sólo se muestran los resultados donde se

obtuvo un buen desempeño del controlador CHD.


~

1 \ No. i

1 con i D ~ ~ ~ ~ . I E ~ ~ ~ ~ . opiinlizaciólt

i 1 Hidráulico lineal (SISO) i i I j 2 1 Hidráulico lineal (SISO)

. ..................... .......

I 3 1 Hidráulico lineal (SISO)

1 4 I Hidráulico lineal (SISO)

1 5 1 Hidráulico lineal (SISO)

j 6 1 Hidráulico lineal (SISO)

\ 7 1 Hidráulico lineal (SISO)

~ 8 1 Hidráulico lineal (SISO) - i

~

I *9 1 Térmico no lineal (SISO)

~ *IO 1 Térmico no lineal (SISO) i

1 ~ * 1 1 I Térmico no lineal (SISO)

' *I2 1 Térmico no lineal (SISO)

* I 3 1 Térmico no lineal (SISO)

d I \ --- ~ Relajación ~

_ _ _ j J i J I __- ~ Gradiente M. ~

........... j . . . . . . . . . . I . .... i . . . . . . . . . . . . . . . j , , . . . . . . . . . . . . . . . :

_ _ _ 1 J i J ~ I __- ~ Franck-Wolfe i

--- I j

I --- 1 4 ~ --- 1 4 ~ Relajación i

4 1 --- d Gradiente M. - I - --- 1 d ~ --- 1 4 I Franck-Wolfe ~

d 1 --- j 1 __- Ninguno

--- 1 d I d 1 --- Gradiente M. ~

--- 1 d ~ d 1 --- Franck-Wolfe

Ninguno

d --- 1 / Relajación ; I .............. ..... .... J . i_._~

i *I5 i Térmicono lineal (SISO) 1 --- I J d i Gradiente M. ~

_ _ _ ! ~ 1 *I6 I Térmicono lineal(SIS0) 1 --- 1 4 1 --- 1 4 Franck-Wolfe

~ *17 I ~ e ~ ~ i ~ ~ iinllli (tmnfin\ i .,I I ~~~ I .I i I hl:-"....n

Térmico no lineal (SISO)

! i - i - i I _ _ _ , I ................. I... .......................................... I .......... 1 .................. J ........................ ~ ............... ~ : . . ~ ........ .. ..... " I --- I ' I --- ~ I

, L" V".." ,,..u US\.." A,..,,

. . . . . . . . . . . . . ............................................ .......... . . . . . . ............ ........ . . ............ :,, .! I ,. . . I . . A .

.: *I8 Térmicono lineal (MIMO) ! --- 1 4 d ~ --- j Relajación ~

' d d 1 --- . Gradiente M. I

~ *20 I Térmico no lineal (MIMO) j --- 1 d 1 d 1 --- . Franck-Wolfe 1

i 1 __ 1 *i .. . J .____ ...... I .... j

I

1 '*I9 Térinico no lineal (MIMO) 1 I I . . . ....... .I... . . . . . . . . . . . . . . i...~ . . . . . . . . . . ! * 1.:: ..... j... . .>. . . . i . . . .... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

*21 1 Térmicono lineal (MIMO) I 4 ! --- I --- d Ninguno

Relajación ~ ..

~ *22 Térmico no lineal (MIMO) i --- i d --- , d ~.~ . . ~.~ ~ . . . .

Los resultado obtenidos de las pruebas que se anteceden por un ($1 no se muestran I

I -. --" Capitulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHI> l)I ~

I I1 j *23 1 Térmico no lineal (MIMO) 1 --- 4 j _ _ / 4 j GradienteM, 1 ! *24 1 TérmiCo no lineal (MIMO) 1 --- ¡ 4 \ Franck-Wolfe

j 25 1.Térmi.o lineal (MIMO) ' 1 ' 4 1 --- 1 4 --- . I Ninguno I

... . i - ~ ........ ........ 1 ..... J 1 ~.; L...J I 1

-..--id -_I-- -..- I

I-- - "

I

:Le-. ----d ---~ !-.- .. ~

'I -2 li 4 4 1 --- Relajación !

i ' 26 1 Térmic'o lineal (MIMO) i

27 1 i 1 Gradiente M. 1 I Térmico lineal (MIMO) 4 ; 4 ~ /I ....... I ..... :::-I J I.-- .

Térmic$ lineal (MIMO) Franck- Wolfe ... ............ ..... ...... . . .................

--- 1 4 Ninguno 1 I . . . ............. j ................................ J

i

GradienteM. I , ' I

Relajación ....................

j Franck-Wolfe -_i1

___ :______J

j 33 1 Químicsno lineal (SISO) 1 4 1 --- , ! . 4 1 --- ' Ninguno 1 Relajación I \

35 Químico'no lineal (SISO) Gradiente M.

36 1 Químicdlno lineal (SISO) 1 --- 1 4 j 4 1 --- , Franck-Wolfe 1

j 3 4 1 Químico no lineal (SISO) ¡I 1

............................... .................. ............. ........... ...... ................. ......... .................. ................... ..: ...... !l. ,,,l. .... ---,,.I 1 1 37 1 Quimicotno lineal (SISO) 1 4 1 --- --- 1 4 I Ninguno 1 I

.......... .... I ......................... ......... I 39 1 Químico'lno lineal (SISO) 1 --- I 4 ~ --- 1 . 4 GradienteM. ~

............... 2 i

--- i ___- __ 40 d ~ Franck-Wolfe

Tabla 4.4.- Rcsumen dc pruebas implementadas con el CIHD.

'I 4.8 IMPLEMENTACIÓN DEL CHD AL PROCESO HIDRÁULICO Y El algoritmo de control a horizontes deslizantes se implementa al proceso hidráulico

representado por el modelo de la ecuación (3.15); para tener un punto de comparación entre

el algoritmo sin restricciones y con restricciones se implementan ambos, bajo los mismos

cambios de referencia y perturbaciones.

I t -

ll . 11

I

i 7 6 ir

Capítulo.4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD

4.8.1 CHD CON PERTURBACION DETERMINhTICA

REFERENCIA Y SALIDA DEL SISTEMA

En las figuras 4.12, 4.13, 4.14, 4.15 se muestran las salidas del proceso hidráulico con la

estrategia de control a horizontes deslizantes sin restricciones y con los tres métodos

descendentes para el cálculo de la señal de control.

AI iniciar la prueba el sistema se encuentra en un punto de operación, a los 20

minutos de tiempo se presenta un cambio en la referencia lo cual genera un error, el cual va

decreciendo conforme la salida del proceso va alcanzando a la referencia deseada. Debido al

cambio de referencia el algoritmo de CHD calcula el valor de la seña! de control adecuada

para llevar la salida del proceso a la referencia establecida.

Aparece una perturbación determinística tipo pulso a los 56 minutos mostrada en la

figura 4.6 llevando a la salida del proceso a un valor superior al deseado, generando otro

error, por lo que nuevamente el algoritmo calcula la señal de control para compensar la

perturbación, logrando regresar la salida del proceso al punto de operación. AI desaparecer la

perturbación la salida del proceso esta por debajo del valor de referencia por lo que el

controlador modifica la señal de control para llevar nuevamente la salida del proceso a la referencia. i l

En el minuto125 la referencia vuelve a cambiar presentando el máximo error entre la

salida de proceso y la referencia deseada, aun para este caso con la señal de control que

calcula el algoritmo de control lleva la salida del proceso al punto deseado. Finalmente al

minuto 167 de la simulación se presenta una perturbación determínistica de tipo escalón que

se mantiene hasta el final de la prueba, sin embargo mediante el cálculo de la señal de control

a través del algoritmo de CHD la salida del proceso vuelve a la referencia especificada.

77

11 Capitulo 4. Implementación*y Resultados Obtenidos con el CHD

2.5, II

,;Tiempo min.

2.5,

- Salida ~~ -.__. /,,Referencia

\ I _ ' l ~ . O' I

50 100 150 200 O Tiempo min.

Figura 4.12.- Referencia y salida del método sin restricciones. Figura 4.13.- Referencia y salida del mCtodo de relajación. 81

2.5 I

I I Tiempo man I)

O 50 ;io0 150 200

Figura 4.14.- Referencia y salida del mCtodo del gradiente. Figura 4.15.- Referencia y salida del mCtodo de Franck - W o k

'I SEÑAL DE CONTROLiAPLICADA AL SISTEMA

/I En las figuras 4.16, 4.17, 4.18, 4.19 se muestra la señal de control que calcula el

algoritmo de control la horizontes deslizantes para cada uno de los métodos que se

implementaron en el proceso hidráulico. Para cada caso donde la referencia cambia de valor

el controlador calcula la señal de control adecuada para llevar a la salida del proceso a la

referencia deseada.

I 11: II

I1 .I I¡ Los cambios que presenta la señal de control son suaves y en pequeños incrementos

hasta llegar al valor óptimo donde el proceso alcanzo la referencia solicitada. Como se

observa en las figuras los valores que calcula para cada cambio de valor en la referencia y en

presencia de perlurbaciones son muy cercanos entre cada método. Existe una diferencia en el

'I

II

Capítulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD

tiempo que tarda cada método en alcanzar la referencia solicita, presentado un mejor tiempo

el método del gradiente modificado.

Tiemw mi". Tiempo mi"

Figura 4.17.- Señal de control del método de relajación. Figura 4.16.- Señal de control del método sin rcstricciones.

1 , j - 1

$ 0.03

Figura 4.18.- Señal de control del nibtodo del gradiente. Figura 4.19.- Scñal de control del método de Franck-Wolfe.

ERROR ENTRE LA REFERENCIA Y LA SALIDA DEL SISTEMA

En las figuras 4.20, 4.21, 4.22, 4.23 se observan los errores que se generan para cada

uno de los métodos implementados en el algoritmo de control. Como se observa al cambiar la

referencia de valor se genera un error grande el cual va decreciendo conforme la salida del

proceso alcanza el valor de la referencia deseada. El error en estado estable para todos los casos esta por debajo del 0.5% con respecto al punto de operación.

19

11 : . . Capítulo 4. Irnpiernentación y Resultados Obtenidos con el CHD ,... ~ - . .-.. ~

'I Figura 4.20.- Error del'lmétodo sin restricciones.

7w, I

Figura 4.21.- Error del método de relajación.

700 I

- (,,.

- 0 300 3 I .- D, zoo

100

O

r O L 50

Figura 4.23.- Error del mktodo de Franck-Wolfe. 'I Figura 4.22.- Error del método del gradiente

k 4.8.2 CHD CON PERTURBACIÓN ESTOCÁSTICA

I!

REFERENCIA Y S A L I b A DEL SISTEMA

En las figuras 4.24,4.25,4.26,4.27 se muestra la salida del proceso hidráulico y la referencia

deseada ante la presencia de una perturbación tipo estocástica que esta presente a lo largo de toda la simulación figura 4.7. Las magnitudes de la perturbación alcanzan valores del 14%

con respecto a la referencia establecida.

I¡

I ' / I

I(/ Desde el inicio de la prueba esta presente la perturbación estocástica, en los minutos

20 y 125 de la simulacion la referencia cambia de valor; se puede observar que la salida del

proceso hidráulico para 'cada uno de los métodos iniplementados en el algoritmo de control

converge al valor de referencia esperado, sin embargo debido al tipo de perturbación 110 es

I1

ll so 1

Capitulo 4. Implementaci6n y Resultados Obtenidos con el CHD

posible hacer que el error sea completamente cero como se observara en las siguientes

figuras.

Aunque la respuesta del algoritmo de control a horizontes deslizantes es muy parecida

para cada para cada método, se observa que el método del gradiente modificado presenta un

menor tiempo en alcanzar el valor de la referencia deseada figura 4.26.

O 50 100 150 X e m p

0.8

I

0.4 - Salida Referencia -

O 50 1W I 50 I Tierna mi".

Figura 4.14.- Referencia y salida del método sin restriccioncs. Figura 4.25.- Referencia y salida del mktodo de relajación.

I O 50 1w 150 2w

Xernpo mi"

I O 50 1 00 150 200

Tiernpa mi"

Figura 4.26.- Referencia y salida del mtfodo del gradienfe. Figura 4.27.- Referencia y salida del método de Franck-Wolfe.

Con el objeto de observar con mayor detalle la salida del proceso y la referencia

deseada se muestran las figuras 4.28, 4.29, 4.30, 4.31 donde se tiene un acercamiento de las

figuras anteriores.

Debido al tipo de perturbación al que se somete al controlador se espera que la salida

del proceso se encuentre variando alrededor del valor de la refcrencia y por lo tanto el error

81

li

.I

11

Capitulo 4. Irnplernentación y Resultados Obtenidos con el CHD'

no es cero. Se observa que para cada tipo de método implementado en el algoritmo de CHD el valor de la salida dkl proceso se mantiene alrededor de ciertosvalores muy cercanos a la

referencia, por ejemplo, el valor de la salida del método sin restricción en la señal de control

y del método del gradiente modificado están ligeramente por arriba del valor de la referencia,

mientras que los métodos de relajación y Franck-Wolfe están variando sobre el valor de la

referencia establecida.

!I I I I!

0.22

E 0.215 - - 0225 ,

E o 0.22 I

c. c rn m 0.21 .- - D 2 Z 0.215 $ 0.205

5 P 2 0.21

: o.195

I' 0.2

o D D

0.2

0.205 D v 0.19

0.185

- I

I il , I 159.8 160 160.2 160.4 160.6 160.8 161 161.2

vmpo min

SI Figura 4.28.- Referencia y salida del m6todo sin II

I1 restricciones.

0.225, 1 - E 0.22

159.5 1M1 160.5 161 161.5 Tiempo mi".

Figura 4.29.- Rcfcrencia y salida del mCtodo de relajación.

0.215Ip

I I 159.5 160 1M1.5 161

liernw mi".

Figura 4.31.- Referencia y salida del método de Franck-Wolfe.

Las figuras 4.32, 4.33, 4.34, 4.35 muestran la señal de control que se calcula con cada

método implementado en el algoritmo CIfD con el objetivo de llevar la salida del proceso al

valor de referencia Los cambios que se observan en el valor de la señal de control

.I

7 82 I


- ._ E ..-.

son a través de incrementos y decrementos suaves sin presentar cambios bruscos de un valor

a otro.

1 i I i

Una vez que la salida del proceso alcanzo a la referencia deseada el valor de la señal

de control se mantiene en un valor bien definido hasta que se presente un nuevo cambio en el valor de la referencia.

Figura 4.32.- Señal de control del método sin restricciones. Figura 4,33.- Señal de control del método de relajación.

"

O i-

50 ~

1 O0 limp mi".

Figura 4.34.- Señal de control del método del gradiente

1 0.05

I 2: - c

i .- E

. I $ 1 I

O' I O 50 1 O0 150 200

='emPo mi".

Figura 4.35.- Seaal de control del método de I'ranck-Wolfe.


El comportamiento del error generado por los cambios de referencia se muestra en las figuras

4.36, 4.37, 4.38, 4.39, en general el error se mantiene alrededor de cero y presenta valores

grandes cuando se presentan los cambios de referencia. Se observa que el error decrece

Capítulo-4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD

rápidamente a cero en cada uno de los métodos implementados en el algoritmo de control a Ir

horizontes deslizantes. V

11 Figura 4.36.- Error del método sin restricciones

700 I 1

600

500

E 400

g 300

200

100

- 8 D

0

I

o 50 100 150 200

;in1 -

.o 300 7 - .-

zoo

100

o

I

O 50 100 150 2w Tiempo min.

Figura 4.37. Error del mttodo de relajaci6n.

700,

600 I

O O 50 100 150 200

~~

7iernpc min. Tiernpa mi".

Figura 4.38.- Error del/m&todo del gradiente. Figura 4.39.- Error del rnciodo dc Franck-Wolfe. ' I

~

I) dl

Las figuras 4.40j 4.41, 4.42, 4.43 muestran un acercamiento de las figuras anteriores

en un punto particular del error para observar su comportamiento debido al tipo de

perturbación al cual se somete el algoritmo de control.

1 Como era de svponerse el error se mantiene variando a lo largo del tiempo,

presentando los valores mayores de error cuando se opera al proceso en un punto de

operación bajo como se: niuestra en las figuras. En ei caso del primer cambio del valor de

referencia que es en el minuto 20 se obtuvo un errar por debajo del 0.6% con respecto de la

referencia, mientras que 'en las figuras que se presentan el error promedi:, alcanza el 4%.

II 'I

I 84

. Capitulo 4. Impiementación y Resultados Obtenidos con el CHD

I 159.5 160 160.5 161

Tiempo min

Figura 4.40.- Error del método sin restricciones.

I 1 159.5 160 160.5 161

Tiempo mi".

Figura 4.42.- Error del método del gradiente.

I . I 159.5 1M) 160.5 161 161.5 162

Tiempo mi".


I 159.5 160 1M.5 161 161.5

Tiempo min.

Figura 4.43.- Error entre del méiodo de Franck-Wolfe.

4.8.3 RESUMENDE RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL PROCESO HIDRA'ULICO

En la tabla 4.5 se muestran los errores resultantes entre la salida del proceso y el valor

de la referencia deseada ante perturbaciones deterministicas. Se define al primer cambio de

referencia en el minuto 20 como primera y al segundo cambio de referencia en el minuto 125

como segunda. Los valores del error se expresan en YO con respecto a la salida del sistema.

.:i I I

, .

Tabla 4

-., - , ~ , ~ I . .

Error en la referencia en

estado estable ("A) ................................. ......... ~

primera i segunda 1 0.15 % 5.2 %

Gradiente modificado I 0.25 % 3.5 % 1 Fihck-Wolfe I 0.1 % ~ 1 %

.- &ores resultantes ante perturbaciones deterministicas en un proceso hidráulico.

!! En la tabla 4.6 :se muestran los tiempos que tarda el sistema controlado en llegar al

valor de referencia deseado con la implementación del algoritmo CHD en presencia de

perturbaciones determinísticas. Se define a TRP como el tiempo de respuesta para cada

perturbación. Se toma el tiempo cuando la salida del sistema alcanza el 100% de la

referencia.

;I

II ~1 "1 En el caso de 1: perturbación determinística, se define pulso presente cuando aparece

la perturbación y desaparece el pulso cuando la perturbación desaparece, como se presenta

en la tabla 4.6.

:lb ' .

1.

11 ~ .

La constante de, tiempo del sistema controlado se calcula al 63.2% de la salida total I . del sistema, para ambos tipos de perturbaciones.

11

Capítulo 4. Implementaci6n y Resultados Obtenidos con el CHD

Gradiente modificado

I Cotttrolador 1 TRP i CHD 1 pulso 1 desaparece , escalDn

899 seg.

, - i ~ presente 1 ei&o

Controlador

CHD - ~ ~ ~ _ _ _

estado estable (%)

Primera 1 segunda

1480seg. ' 1600seg.

1009 seg. 1 1200 seg.

900seg. ' 900seg. i 1120seg 1 1000seg.

~... ~ ~ . . ~ ................

___._..._ ~ ,

Constante del

sisteina controlado

r

360 seg.

436 seg.

334 seg.

324 seg. ~_______

En la tabla 4.7 se muestran los errores promedio generados por la diferencia entre la

salida del proceso y el valor de la referencia deseada ante perturbaciones estocásticas. Como

se ilustra en la tabla para el primer cambio de referencia los errores son bajos, sin embargo

para un punto de operación bajo del sistema y en presencia de la perturbación estocástica el

error en estado estable crece a valores del 4 %.

I Error en la referencia en 1 I

En la tabla 4.8 se muestra la constante de tiempo del sistema controlado calculada al

63.2% de la salida total del proceso con la implementación del algoritmo CHD en presencia

de perturbaciones estocásticas.

87

11

I

Capítulo 4. Irnplementación y Resultados Obtenidos con el CHD ::

l.


En presencia de una perturbación tipo pulso, el método del gradiente modificado lleva

el valor de la salida del proceso al valor de referencia en un tiempo de 900 segundos, con un

menor tiempo en comparación con los otros métodos descendentes; cuando aparece una

perturbación tipo escalón el método del gradiente modificado presentan un tiempo de 900 segundos en llevar la salida del sistema a la referencia deseada.

Como se observa en las figuras donde se muestran las salidas del proceso, los tres

métodos descendentes implenientados en el algoritmo CHD tienen un desempeño aceptable

en el control del sistema hidráulico de dos tanques no interactuantes.

Considerando todos los resultados obtenidos en las simulaciones el método de

relajación es el más apropiiado para el control del proceso hidráulico de dos tanques no

interactuantes ya que ante la presencia de perturbaciones deterministicas o estocásticas

presento los valores menores en los errores, lo que nos da la confianza que 1a.salida del

proceso hidráulico siempre estará en el valor de referencia deseado. Aunque la constante de

tiempo del controlador es más alta que la de los demás métodos hay que recordar que el tipo

de dinámicas donde se utiliza son en proceso lentos. En cuanto al algoritmo de programación

presenta la manera más fácil de programar las ecuaciones que lo conforman.

4.9 IMPLEMENTACI~N DEL CHD AL PROCESO T É M C O

Para observar el desempeño del controlador a horizontes deslizantes en un sistema lineal tipo

MIMO, el algoritmo CHD se implementa para un proceso térmico de intercambio de calor

modelado en la ecuación (3.46), las señales de control son las temperaturas iniciales Tti,Tci temperatura en el tubo y en el casco respectivamente; el objetivo de control es mantener las

temperaturas del casco Tc y del tubo Ti en un punto de operación deseado.

Se consideran las perturbaciones de las figuras 4.8 y 4.9 a la salida del proceso

aplicadas como se muestra en la figura 4.5; solo se aplican las perturbaciones a la

temperatura en el tubo I?.

89

Capítulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD .I

4.9.1 CHD CON PEkTLJRBACIÓN DETERMINÍSTICA

REFERENCIA Y SACíDA: AGUA EN EL TUBO

En las figuras 4.44,'4.45, 4.46, 4.47 se muestra la salida del controlador a horizontes

deslizantes para la temperatura en el tubo. El proceso térmico parte de su estado inicial a

temperatura ambiente, al iniciarse la simulación el proceso debe evolucionar hasta alcanzar el

valor de la referencia deseada.

dl I

II II

A los 12 minutos de transcurrida la simulación se presenta la primera perturbación

determinística tipo pulso, la temperatura de salida en el tubo después de que el controlador

calcula la seííal de control logra después de varios minutos regresar al valor de la temperatura

de referencia. Se obsefva que el algoritmo CHD sin restricciones y con la metodología de

relajación se logra mantener un error muy cercano a cero, sin embargo en los métodos de

gradiente modificado ,y Franck-Wolfe existe un error en estado estable. Cuando la

perturbación desaparece en el minuto 17 el algoritmo de control vuelve a calcular la señal de

control para regresar el'valor de la temperatura del proceso al punto de operación establecido.

II

I

I NI I\

Para los siguientes cambios de referencia en el minuto 27 y 40 de simulación el

algoritmo de control recalcula la señal de control para llevar el valor de la temperatura del

proceso a la referencia' deseada; en presencia de la perturbación determinística tipo escalón

que aparece en el minuto 52 y que se mantiene hasta el final de la simulación el controlador

mantiene la temperatura del proceso alrededor del punto de operación.

I I

11

z o 10 20 40 50 60

201

IkCl mi"

- Salida

Referencia

.---A 30 40 50 60

2 0 1 o ' 10 20

kC) min , .

Figura 4.44.- Referencia:y salida del método s i n Figura 1.45.- Referencia y salida del método de resuiccionr. relajación.

'I

90 lr

'I


g t- 20

Referencia , ' ,

O 10 20 30 40 50

--__. Referencia

3

% I , , , , , 1 2 . ~ 1 , , , , ,

O 10 20 30 40 50 60 I- 20 O 10 20 30 40 50 60 70

* 20

(C) mi". @I mi".

Figura 4.46.- Referencia y salida del método de Figura 4.47.- Referencia y salida del método de gradiente. " Franck-Wolfe.

REFERENCIA Y SALIDA: AGUA EN EL CASCO

En las figuras 4.48, 4.49, 4.50, 4.51 se muestran la temperatura del agua en el casco del

proceso de intercambio de calor modelado por la ecuación (3.46). Como se observa a

diferencia de la temperatura de salida en el tubo (figuras anteriores), la temperatura en el

casco es más dificil de controlar para igualar el valor de referencia deseado. Por ejemplo para

los métodos implementados en el algoritmo de control CHD, todos presentan un pequeño

error en estado estable; en la presencia de la perturbación pulso el controlador no logra llevar

la temperatura de salida del proceso al punto de operación, exceptuando el método de

relajación que logra mantener a la salida del proceso en la referencia establecida.

I'

íd) min

Figura 4.48.- Referencia y Salida del método sin restricciones.

91

Capítulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD .I 1 \ I

--- -~

' 32 32

30 c

ti 26 Referencia ';

E 24

íd) mi".

Figura 4.51.- Referencia y Salida del método de Franck-Wolfe.

SEÑAL DE CONTR0L:APLICADA AL SISTEMA

n

Las figuras 4.52, 4.531 4.54, 4.55 muestran las señales de control que se calculan para

controlar la temperatura en el tubo Tti y la temperatura en el casco Tci. Para cada cambio de

valor que se presenta en la temperatura de referencia y en la aparición de perturbaciones, el

algoritmo de control CHD con los métodos descendentes calcula dos señales de control que

llevan a las temperaturas de salidas (tubo y casco) a los valores de referencias sin presentar

cambios bruscos y con pequeños incrementos o decrementos. Como se observa el tiempo de

respuesta más largo es con el método de relajación, sin embargo es el método que mejores

resultados obtiene en el"contro1 del proceso.

;I ¡I 11

Il: 1111

I1

80, 'I

, (a) min

Figura 4.52.- Selral de control~del método sin restricciones I

(a) min.

Figurn 4.53.- Señal de control del mCiodo de relajación


O n. . .

Figura 4.54.- Señal de cantrol del método de gradiente. Figura 4.55.- Setial de control del método de Franck-Wolfe.


En las figuras 4.56, 4.57, 4.58, 4.59 se muestran los errores de la temperatura de salida del

tubo y del casco del proceso con respecto a los valores de las temperaturas de referencia.

Como se observa al haber un cambio en el valor de la temperatura de referencia o en

presencia de una perturbación, la magnitud del error crece inmediatamente, sin embargo el

algoritmo de control CHD calcula las señales de control que llevan al proceso a los valores

de referencia establecida y por lo tanto el error disminuye hacia cero rápidamente.

(b) mi". @) mi".

Figura 4.56.- Error del método sin restricciones. Figura 4.57.- Error del método de relajación.

Capitulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD t i

. .

O 10 20 30 40 50 60 70 (b) min.

Figura 4.58.- Error del método de gradiente.

;I

íb) mi" Figura 4.59.- Error del método de Franck-Wolfe.

4.9.2 CHD CON PERTURBACIÓN ESTOCÁSTICA

REFERENCIA Y SAL1 A: AGUA EN EL mB0 II

Las figuras 4.60, 4.61, 4.62, 4.63 muestran la temperatura del agua en el tubo del

intercambiador de calor ante la presencia de una perturbación estocástica figura 4.9 que se

mantiene a lo largo de toda la prueba. Se puede observar que la temperatura de salida nunca

es igual al valor de la temperatura de referencia debido a los constantes cambios de la

perturbación, sin embargo para cada cambio de referencia en la temperatura el algoritmo de

control CHD en conjunto con los métodos descendentes calculan la señal de control para

llevar la temperatura en I/ el tubo lo más cerca al valor de la temperatura de referencia.

I I1

~l II

/I

L"

O 10 20 30 40 50 60 (C) min.

Figura 4.60.- Referencia salida del método sin restricciones.

5 1 - - - -. Referencia i E 2oL.- A

O 10 20 30 40 50 60 (C) mi".

Figura 4.61.- Referencia y salida del método de relajación.

94


O 10 20 30 40 50 60 70 O 10 20 30 40 50 60 (C) mi". (C) min.

Figura 4.62.- Referencia y salida del método de Figura 4.63.- Referencia y salida del método de gradiente. Franck-Wolfe.

Con el objeto de observar con mayor claridad el comportamiento de la temperatura de salida

en el tubo, se presentan las figuras 4.64, 4.65, 4.66, 4.67 con un acercamiento en un punto

especifico de las figuras anteriores. Se observa que aunque la temperatura en el tubo esta

alrededor de la temperatura de referencia nunca llega a ser igual, y para cada cambio de

referencia en la temperatura presentara el mismo comportamiento.

36 36.2 36.4 36.6 36.8 37 37.2 (4 mi"

Figura 4.64.- Referencia y salida del método sin restricciones.

I (C) mi"

Figura 4.65.- Referencia y salida del método de

48 48 2 4 8 4 4 8 6 48 8 49

relajación.

25 25.5 26 IC) mi".

Figura 4.66.- Referencia y salida del inktodo de gradiente.

IC) mi". Figura 4.67.- Referencia y salida del método de

Franck- Wolfe.

95

~~

il

I ' l.

: , I . ' . . . Capitulo 4. Implementaci6n y Resultados Obtenidos con el CHD

4" ~

REFERENCIA Y SALIDA: AGUA EN EL CASCO

Las figuras 4.68, 4.691 4.70, 4.71 muestran la temperatura de salida en el agua del casco del 1 . . . :

intercambiador de calor. 11 La perturbación presente en el proceso no afecta de manera directa a

'11 esta salida, aunque como se observa existe un error en estado estable de la temperatura de

salida con el valor de la temperatura de referencia. Hay que resaltar que el único método que

mantiene a la temperatura en el casco en el valor de la temperatura de referencia es el método I t

- 40 E 5 38 - 36

$34- ui

c 32

$ 30

$ 28

e 2.3

.- - n

$ 24

- _ - - ~ ---=-=~=--

-1 - Salida

- - - -. Referencia ~

~,

e E 1 4 0

30

25 Referencia e

20 o l o 20 30 40

i 7 -

I 50 60

(4 min Figura 4.69.- Referencia y salida del método de

relajaci6n.

' 32

30

T1

24 O 10 20 30 40 50 60

(dl mi".

Figura 4.71.- Referencia y Salida dol método de Franck-Wolfe.

Las figuras 4.72,4.73,4.74,4.75 muestran un acercamiento de la temperatura de salida en el

casco con el objeto de observar con mayor claridad su comportamiento. Como se puede

observar todos los métodos siguen a la temperatura de referencia pero debido a la

perturbación estocástica presente solo el método de relajación logra tener una mayor

aproximación al valor de temperatura de referencia.

jl

'I ¡I

ir 96


4 19.7

ioi 39.65

ti E *L : E 2 7 4

358 36 3 8 2 364 366 368 37 372 M) mi"

Figura 4.72.- Referencia y salida del método sin restricciones.

----.Referencia

37.951 - Salida ri 37.9 ----. Referencia

3 p q

B 3775

g 377 I-

25 252 2 5 4 2 5 6 2 5 8 26 (d) mi".

Figura 4.74.- Referencia y Salida del método de gradiente.

S E ~ ~ A L DE CONTROL APLICADA AL SISTEMA

Las señales de control que calcula el algoritmo CHD para llevar a la temperatura de salida en

el tubo y del casco del proceso de intercambio de calor con los métodos implementados en el

algoritmo de control se muestran en la figuras 4.76, 4.77, 4.78, 4.79. Se observa que para

cada cambio eii el valor de la temperatura de referencia el algoritmo debe calcular un valor

para cada señal de control e intentar mantener las temperaturas de salida lo más cercano a las

temperaturas de referencia en la presencia de la pembación estocástica.

.¡l.

97

~~~

I I

./I ' '~ ' - '

j Capítulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHI I . i ~. . ,

c G

5.m . J

- Señal Control Tti u Señal Control Tci

mi". Figura 4.76.- Señal de control del método sin restricciones.

z. 50

40 Señal Control Tci o

I I >..-_I

O 10 20 81 30 40 50 60 70 11 ia) mi".

20 Lo

Figura 4.77.- Señal de control del método de relajación.

2 70 6 O P [ ]

5 . 5 0 F ? - Señal Control Tti

-_--. Señal Control Tci d

.-

40 Y

_ _ _ _ ._ - d. 1

_- - -_ 0 3 0 . z ?d

20 O 10 20 30 40 50 60

(a) "li".

/I II IV

Figura 4.78.- Señal de control del método de gradiente. Figura 4.79.- Seaal de control del método de Franck-Wolfe

En la figuras 4.80,4.81,4.82,4.83 se muestra un acercamiento de las figuras anteriores para

observar en un punto específico el comportamiento de las señales de control, se puede

observar que la señal de control Tti calculada por los métodos descendentes presenta

variaciones debido a la presencia de la perturbación, mientras que la señal de control Tci se

mantiene en un valor casi constante.

/I

I 11

o e.

Señal Control Tci .- F 50

c

4a 48.2 48.4 48.6 48.8 49 20

55.8 36 36.2; 36.4 36.6 36.8 37 31.2 la1 mi". (al

.2 n. . . 1-1

Figura 4.80.- Seaal de cóntroi del mktodo sin restricciones. Figura 4.81.- Señal de control del método de relajación !I

Capitulo 4. Irnplementación y Resultados Obtenidos con el CHD

__ Señal Control Tti r Señal Control Tci u 55

- 50

., Figura 4.82.- Señal de control del rndodo de gradiente.

5 6 0 ~ L. ~ 5 5 .

.- > 5 0 ~ F 5 45-

- - Señal Control Tti ----. Señal Control Tci

- _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ 25

16.8 17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 . (a) mi". Figura 4.83.- Señal de control del método de Fmnck-Wolfe.


Las figuras 4.84,4.85,4.86,4.87 muestran el error de las temperaturas de salida con respecto

al valor de las temperaturas de referencia, se puede observar que para cambios en las

temperaturas de referencia el error crece a valores muy grandes y después decrece

rápidamente hacia cero, sin embargo nunca llega a ser cero y se mantiene en un error

aproximado del 5% con respecto a la referencia.

F a E 3 20 u u -

10

z O O 10 XI 30 40 50 60

(bl mi". Figura 4.84.- Error del método sin restricciones.

- 60-

1

o IO m 30 40 50 60 70 ,@) mi".

Figura 4.86.- Error delmétodo de gradiente.

m l 6 50

r 30

8 20

s n - .c 10 rn

O O 10 20 30 40 M 60

@) mi". Figura 4.85.- Error del método de relajación.

J

Figura'4.87.- Error del método de Franck-Wolfe

99

I1 Capitula 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD

/ I Para observar con mayor detalle el comportamiento de los errores se muestran las figuras

4.88, 4.89, 4.90, 4.91 con un acercamiento de las figuras anteriores. El error entre la

temperatura de saliaa del tubo y la temperatura de referencia presenta un error constante no

mayor al 5 % con respecto a la referencia debido a las magnitudes de la perturbación

estocástica. Se pudde apreciar que el error entre la temperatura de salida del casco y la

temperatura de referencia esta por debajo del 2 % con respecto del valor de la referencia, hay

que resaltar que con el método de relajación para esta temperatura de salida el error es

prácticamente cero.

I1 II

I . I¡

11, E z 4 - 2 5 - ? 3

c3 E E 2 u u S ' - m si 9 0

- 6 5

.!. L. ? 4 > >

@ - U ' u

2 1 .-

Z O

35.6 36 36.2 36.4 36.6 36.6 37 37.2 mi". íb) mi".

Figura 4.89.-'Error del método de relajación. 6 -

: 5

? 4

E 3 e . 2

2 1

- L. >.

a

m u

m

$ 0 16.8 17 17.2 17.4 17.6 17.8 . 16

mi". *) mi" Figura 4.91.- Errar del metada de Franck-Walfe.

I/ / 4.9.3 RESUMENDE RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL PROCESO TÉRMICO

En la tabla 4.9 se muestran los errores resultantes entre los valores de las temperaturas de

salida del proceso y, los valores de las temperaturas de referencia deseadas ante la presencia

de perturbaciones d$terministicas, todos los errores están expresados en (%) con respecto a la

I I1 . , .


Se define al primer cambio de referencia como primera, al segundo cambio de

referencia como segunda y a tercera como el tercer cambio de referencia como se muestra en

la tabla 4.9.

Error en la referencia en estado estable (“/O)

~ _-_-__I___- .... . I

i

1 1 0.2% 1 0.27% 1 0.22% 1 0.2%

Primera ¡ Segunda I Tercera -.._______i

L 1 Tt 1 T c . 1 Tc 1 i

A-.-- I

Tt Tf - 1 Tc i 0.8% Sin restricciones 0.25% 1

0.06% I 0.02% 1 0.08% 1 0.021% 1 0.06% 1 0.02% 1 Relajación

Gradiente 0.32% 1 0.38% I 0.29% 1 0.31% I 0.2% 1 0.7% 1 i

Franck-Wolfe I 1.4% 1 0.75% I 1.6% 1 0.9% I 1.3% ‘ 1 1.6% I

___._ _____ 1 2

Tabla 4.9.- Errores resultantes ante perturbaciones deterministicas en un proceso térmico.

En la tabla 4.10 se muestran los tiempos que tarda el sistema en llegar ai valor de

referencia deseado con la implementación del algoritmo CHD para un proceso térmico lineal

MIMO de intercambio de calor en presencia de perturbaciones deterministicas. Todos los

valores que se presentan en la tabla son en segundos. Se define a TRP como el tiempo de

respuesta para cada perturbación, considerándolo cuando la salida del sistema alcanza el

100% de la referencia.

II

/ En el caso de la perturbación determinística, se define pulso presente cuando aparece

la perturbación y desaparece el pulso cuando la perturbación desaparece, como se presenta

en la tabla 4.10.La constante de tiempo del sistema se calcula al 63.2% de la salida total del

sistema, para ambos tipos de periurbaciones.


II

Primera Segunda Tercera

220 1 ----- ~ 1 'I I: ! Franck-Wolfe

Tabla 4.10.- Tiempos de recuperaci6n ante perturbaciones deterministicas para un proceso ttmico.

'I En la tabla 4.11 se muestran los errores promedio resultantes entre las temperaturas

de salida del proceso y las temperaturas de referencia deseadas ante la presencia de

perturbaciones estocásticas. Como se observa en la tabla de manera general el método de

relajación implementado en al algoritmo de control CHD presenta los valores de error más

pequeños en comparación con los otros métodos descendentes.

!I ~l ~l ll .

f

Controlador

CHD

Sin restricciones Relajación

Gradiente modificado Franck- Wolfe

Tab1

11' !I I

Error en la referencia en estado estable (%)

/I 2% 3% I 0.002% 1 0.007% I 2% 0.001% I

!I 2.5% , 0.8% I 3% I 1% 1 2.2% I 1.1% 1 1

2.4% 1 1.9% 1 3.2% 1 2% 3.8% 1 2.2% I I

dl 1.- Errores resultantes ante perturbaciones estocbticas en un proceso témico.

I En la tabid 4.12 se muestran las constantes de tiempo del sistema con la

implementación del'/algoritmo CHD en un proceso térmico lineal MIMO de intercambio de

calor en presencia de perturbaciones estocásticas. 1

~~

li I02


~ ~~~ ~~

Controlador eon restricción de iipo

eonirolado r Sin restricciones I 46 seg. 1 Relajación I 231 seg. 1 Gradiente modificado I 77 seg. 1 ~~

I Franck-Wolfe 1 43 seg. . .. ,~ .. ................. ..

Tabla 4.12.- Constantes de tiempo del Sistema térmica ante perturbaciones estocásticas

En presencia de ,perturbaciones el algoritmo CHD recalcula las señales de control

regresando a las temperaturas de salida del proceso a los valores de referencias indicadas;

aún con la perturbación estocástica que provoca que en cada instante de tiempo exista un

error, el controlador CHD hace que la salida del proceso se aproxime a la referencia

establecida.

Se observa que el comportamiento de las señales de control son suaves y escalonados

ante las variaciones en los valores de la referencia y aun en presencia de perturbaciones en el

sistema. Los valores que toman las señales de control están acotados a valores reales de

operación lo que representa una ventaja para la implementación práctica del algoritmo CHD.

El comportamiento de los errores, diferencia entre la temperatura de referencia

deseada y la temperatura de salida del proceso, decrece hacia cero cada vez que se presentan

cambios en los valores de la referencia o existe la presencia de perturbaciones en el sistema.

En presencia de la perturbación determinísticas, la respuesta con el método descendente de

relajación que se utiliza para calcular la señal de cofitrol, presento los errores más pequeños

en comparación con los otros métodos descecdentes (ver tabla 4.9).

En la tabla 4.10 se presentan los tiempos que tarda cada uno de los métodos

descendentes implementados en el algoritmo CHD en regresar la salida del proceso a la

referencia indicada.

i


' 11 En presencia de una perturbación tipo pulso, el método descendente de relajación

lleva la salida del proceso en un tiempo de 230 segundos, presentando un menor tiempo en

comparación con los otros métodos; para una perturbación tipo escalón el método de

relajación present4 un tiempo de 130 segundos en llevar la salida del sistema a la referencia

deseada.

/I I1

ir !I

Como se observo en la figuras donde se presenta las temperaturas de salida del

proceso de intercambio de calor, el controlador implementado con el método descendente de

relajación presenta 10s errores menores en comparación de los otros métodos, en presencia de

perturbaciones detekinísticas y estocásticas. Se aprecio que el algoritmo de control CHD puede generar dos señales de control para controlar dos temperaturas de salida obteniendo

buenos resultados en el control del proceso. Aunque este método presenta la constante de

tiempo más grande que los otros métodos tiene un comportamiento más aceptable.

I

.id II

II 4.10 IMPLEh4ENTACIÓN DEL CHD AL PROCESO BIOQUÍMICO

II t

.I1 Para probar el desempeño del CHD en un sistema no lineal se implementa el controlador en

un proceso químico llamado birreactor de denitrificación, las ecuaciones (3.48) y (3.5 I )

representan el modelo del proceso. ,¡I

'I[ '

4.10.1 CHD CON PERTURBACIÓNDETERMIN~STICA I 'I

REFERENCIA Y SALIDA DEL SISTEMA 11

li Las figuras 4.92,4.93, . , 4.94, 4.95 muestran la salida del proceso)>ioquimico modelado por la

ecuación (3.49 y 3.50) en presencia de perturbaciones deterministicas mostradas en la figura

4.10. El proceso bioquímico parte de ciertas condiciones iniciales diferentes a la referencia

solicitada, por lo que el algoritmo de control a horizontes deslizantes en conjunto con los

métodos descendentes calcula la señal de control para llevar al proceso a la referencia

establecida, como se muestra en las figuras.

;t j SI1 I/ '.


Transcurridos los primeros 6 minutos de la simulación aparece una perturbación

determinística tipo pulso, por lo que el algoritmo de control recalcula la señal de control para

regresar a la salida del proceso a la referencia establecida; de la misma forma ocurre cuando

la perturbación desaparece a los 9 minutos y vuelve a modificar la salida del proceso.

Se observa que para los cambios de referencia el algoritmo de control no presenta

problemas para llevar a la salida del proceso a la referencia deseada, aunque para el cálculo

sin restricción en la señal de control existe un error en estado estable. A los 3 1 minutos de

simulación aparece otra perturbación determinística tipo escalón como se muestra en la

figura 4.10 que permanece hasta el final de la prueba, sin presentar un problema para que el

controlador a horizontes deslizantes mantenga la salida del proceso en la referencia deseada.

- Salida Referencia ____.

_ _ _ _ E 0.3 ?z 0.2 I

u

.- m “ o

4 . 1 O 10 20 30 40

Xemp min. Figura 4.92.- Referencia y salida del método sin

restricciones. 0.5

- Salida 3 0.4

Referencia ____. 3

20 30 40 min.

c o E 0.3 I o ‘3 -

u)

O O 10

Tiempo Figura 4.94.- Referencia y salida del método de

gradiente.

0 . 5 , , - Salida

2 0 4 Referencia

I

0 2 o ”

I

Figura 4.93.- Referencia y salida del método de

O 10 20 30 40 X e m p min.

relajación. 0 5


O 10 20 30 limp

Figura 4.95.- Referencia y salida del mdtodo de Franck-Wolfe.

in.

I05

II Capitulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD _. 11- ---I

I 11

SEÑAL DE CONTROL APLICADA AL SISTEMA

Las figuras 4.96, 4.97,4.98,4.99 muestran las señales de control que se calculan para llevar a

la salida del proc(eS0 a las referencias deseadas. Se puede observar que el algoritmo

implementado sin restncción en la señal de control presenta cambios bruscos en los valores

que va tomando dicha señal y se ve reflejado en la salida del sistema. A diferencia de los

métodos descendentes que crecen y decrecen con incrementos hasta llegar al valor óptimo

para la señal.

I . . 11 I1

'I Ante la presencia de perturbaciones determinísticas el controlador ajusta la señal de

control para llevar la salida del sistema a la referencia deseada, los valores que toma la señal

de control se encuentran acotados a valores reales de operación.

II

'I I

:I1 .Tlmpo min.

Figura.4.96.- Señal de control del método sin restricciones.

Tiempo mi".

Ficura 4.97.- Señal de control del método de relajación. 0.09

E 0.08

2 0.04

0.03

g 0.02 B

0.01 O

ii 7

20 30 40 mempo mi".

Figura 4.98.- Señal depcontrol del métodc Ik

I de gradiente.

II

T e m p min. Figura 4.99.- Señal de control del método de Franck-Wolfe.

.- 106 I¡ 'I -


- E 300 ' 250 t g 3 150 e

9 100 I


" 'O-, Jd

Las figuras 4.100,4.101,4.102,4.103 muestran el comportamiento del error ante los cambios

en la referencia y la presencia de perturbaciones determinísticas. AI presentar un cambio de

valor en la referencia el error crece rápidamente, el algoritmo de control recalcula la señal de

control para llevar a la salida del proceso al nuevo valor de referencia mientras que el error

decrece hacia cero.

L.

A pesar de que el algoritmo de control sin restricciones tiene un tiempo de respuesta

rápido en comparación con los métodos descendentes presenta un error en estado. El algoritmo de control implementado con el método de relajación presenta la mejor respuesta y

el menor error en estado estable.

200

3 150 m 1w c

I 50

O 10 20 30 Tiempo min.


, [ . , / 1 2w

U

3 1% - c m 1w I

50

o \

o 10 20 30 40 Tiempo mi".

Figura 4.103.- Error del mitodo de Franck-Wolfe.

,I

I07

Capitulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD 1 'I.

0.5 - Salida 3 0.4 s

- . 2

E 3 0.4 E

4.10.2 CHD CON;PERTURBACIÓNESTOCÁSTICA

__ Salida Referencia ___-.

m 0.3 k ; 0.2

._ : $ 0.1

0.3

5 0.2

m 0.1 m w o

+. II>

I

.-

u

O

- m w u .- -

o 1

Referencia

8 m

w

O 30 40 min.

Figura 4.106.- Referenciay salida del método de gradiente.

I

1..._.1._.,._

0.6 i -3 0.5 c o


- Salida Referencia ____. s

o 0 4

j, 03

s o 2 0

o n

o u

1

O 10 20 30 40 lempo min.


Con el objeto de tener una visión más clara del valor de la salida del proceso con

respecto al valor de referencia se hace un acercamiento a las figuras anteriores, como se

muestran en las figdras 4.1 OS, 4.109,4.11 O, 4.1 1 1. Como se había comentado a pesar de que

la salida del procesolsigue a los cambios de referencias existe un error en estado estable.


I I

I 18.8 19 19.2 19.4 19.6 19.8 20 20.2

Tiempo min. Figura 4.108.- Referencia y salida del método sin

restricciones.

- 2 0.355 e E

0.35 Y - ; 0.345 U m E VI x 0.34

0.335L , , , , , , 1 18.8 19 19.2 19.4 19.6 19.8 20

Tlempo mi" Figura 4.110.- Referencia y salida del método de

gradiente.

18.8 19 19.2 19.4 19.6 19.8 20 Tlempo mi".

Figura 4.109.- Referencia y salida del método de relajación.

19 19.2 19.4 19.6 19.8 20 Tiempa mi".


SEÑAL DE CONTROL APLICADA AL SISTEMA

En las figuras 4.1 12,4.113,4.114,4.115 se muestran la señal de control calcula por cada uno

de los métodos. A excepción del algoritmo implementado sin restricción en la señal de

control los cambios en los valores de la señal de control son suaves y sin sobrepasos del valor

final de la señal de control.

2 4.02

5 4.04 I

4.06 O 10 M 30 40

Tiempo min. Figura 4.1 12.- Seilal de control del método sin resuiccioncs.

Tliempo mi". Figura 4.1 13.- Seflal de control del método de relajación.

1 o9


t

Tiempo min. h e m p mi". Figura 4.114.- Señal d; control del método de gradiente. Figura 4.1 15.- Señal de control del mkiodo de

Franck-Wolfe. 1 ERROR ENTRE LA kEFERENCIA Y LA SALIDA DEL SISTEMA

Las figuras 4.1 16, 4. I 17, 4.1 18, 4.1 19 muestran el comportamiento del error debido a los

cambios en los valores de la referencia y la presencia de la perturbación estocástica. Se

observa que siempre' que existe un error este decrece rápidamente hacia cero sin llegar a setlo

/I 'I

;I debido a los constanies cambios en el valor de la perturbación.

11

3 150 L .- c ,? 100 a

50

O ; o 10 20 30 40 min.


3 M

Tiempo rnm i Figura 4.1 18.- Error del método de gradiente. It I

400

350

300

254

- c

; 2w

P 100

n 3 150

I

._

M

O O 10 20 30 3

l empo min Figura 4.117.- Error del método de relajación.

yx)

O 1,. O 10 20 30 40

Tiempo mip.

Figura 4.119.- Error del método de Franck-Wolfe.

1 IO li

II Capitulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD

Con el objeto de observar con mayor detalle al error en estado estable en las figuras 4.120,

4.121,4.122,4.123 se hace un acercamiento de las figuras anteriores. Se observa que siempre existe un error en estado estable, presentado los valores más bajos el algoritmo de control

implementado con el método de relajación.

5

c

mi".

g 4

3 2

& 1 2

E 3

n - .-

O

19 19.2 19.4 '19.6 19.6 20 20.2 Tempo


19 19.2 19.4 19.6 19.8 20 Tiernp mi". liempo mi"

Figura 4.123.- Error del método de Franck-Wolfe.

19 19.2 19.4 ' 19.6 19.8 20 20.2

Figura 4.122.- Error del método de gradiente.

4.10.3 RESUMENDE RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL PROCESO BIOQUiMICO

En la tabla 4.13 se muestran los errores resultantes entre la salida del proceso y la referencia

deseada ante la presencia de perturbaciones determinísticas. Los errores están expresados en

(%) con respecto a la referencia. i

,t

Se define al primer cambio de referencia como primera, al segundo cambio de

referencia como segunda y a tercera como el tercer cambio de referencia como se muestra en

la siguiente tabla.

1 1 1

i !

i i ! 8 I ,

' 11.2% 1 2 . 2 2 % 1 3 . 0 2 % 1 j 0.177% 1 -Se-3 % 1 0.038 % 1

/T II ¡_ I : S'in restricciones

i , Relajación ..

~ - - ~ ~

CHD i primera segunda I tercera

I , Gradientemodificado ., 1 4.93 % 1 0.76% I 0.322% I

Controlador

CHD

~ Franck-Wolfe j ,I ~ 4.67% 1 0.812% I 0.284 % 1

Tabla 4.13!! Errores resultantes ante perturbaciones deterministicas en un proceso bioquímico.

del Sistema

- TRP pulso desaparece 1 escalón presente j elpulso 1 controlado

I v

I1 'I1

En la tabla 4.14 se muestran los tiempos que tarda el sistema en llegar al valor de

referencia deseado con la implementación del algoritmo CHD para un proceso bioquímico

de un birreactor de denitrificación en presencia de perturbaciones deterministicas. Todos los

valores que se presektan en la tabla son en segundos.

It

I ~I

Se define a TRP como el tiempo de respuesta para cada perturbación, considerándolo cuando la salida del, I'I sistema alcanza el 100% de la referencia. En el caso de la perturbación

II

1

determinística, se define pulsopreseníe cuando aparece la perturbación y desaparece elpulso

cuando la perturbación desaparece, como se presenta en la tabla 4.14. La constante de tiempo

del sistema controlado se calcula al 63.2% de la salida total del sistema, para ambos tipos de

perturbaciones. lI

/

I Constante 1 II I TRP i

I d !I I ] 30seg. I 23 seg. 1 15 seg. I 3 seg. ' ] 11 Sin restricciones 11

Relajación 1 75 seg. I ."71 seg. 1 70 seg. ~ 15 seg. I I!

Gradiente!modificado 1 154 se. I 96 seg. 1 148 seg. 1 16 seg. I I

~ ~ ~ ~ ~ ~ . . . ~.~~~~~~ ~ ~...,

Franck-Wolfe 1 115seg. I 135seg. i 123 seg. 28 seg. I Cabla 4.14.- Tid,mmpos de recuperaci6n ante perturbaci2hes deterministicas para un proceso bioquimico.

I '1 11

I". 112

II Capitulo 4. Implernentación y Resultados Obtenidos con el CHD

En la tabla 4.15 se muestran los errores promedio resultantes entre la salida del

proceso y la referencia deseada ante perturbaciones estocásticas. Como se observa en la tabla

el controlador implementado con el método de relajación presenta los errores más pequeños

en comparación con los otros métodos. I!

__I_ .________. .___

Error en la referencia en

estado estable(%)

.I

Controlador

primera segunda 1 tercera] CHD

~~

Sin restricciones 12% I 2% I 3% I Relajación I 3.5% I 0.6% I 1.8% I

I Gradientemodificado I 5% 1 1.1% I 2% 1 I Franck-Wolfe 1 6% 1 , 1.8% I 2 % i ... -__ -. -- ___

Tabla 4.15.- Errores resultantes ante perturbaciones estoc&sticas en un proceso bioquimico.

En la tabla 4.16 se muestran las constantes de tiempo del sistema con la

implementación del algoritmo CHD en un proceso bioquímico de un birreactor de

denitrificación en presencia de perturbaciones estocásticas.

CHD

I Sin restricciones I

Constante del s&tema

controlado

5 seg. I 1 Relajación I '18seg. I I-- J I Gradiente modificado I 17 seg. I I Franck-Wolfe 1 28 seg.

Tabla 4.16.- Constantes de tiempo del sistema bioquimico ante perturbaciones estockticas

En presencia de perturbaciones el algoritmo CHD recalcula la señal de control

regresando la salida del proceso a la referencia indicada; aún con la perturbación estocástica

I I 3

Capíiulo 4. Implementación y Resultados Obtenidos con el CHD ;

presento los errores I

II que provoca que en' cada instante de tiempo exista un error, el controlador hace que la salida

del proceso se aproxime lo mas cercano a la referencia deseada. I/

I ' más pequeños en comparación con los otros métodos descendentes ver

it Se observa que el comportamiento de la señal de control es suave y escalonado ante

las variaciones de referencia aun en presencia de perturbaciones en el sistema. Los valores

que toma la señal de control están acotados a valores reales de operación lo que representa

una ventaja para la implementación práctica del algoritmo CHD. Sin embargo para el

algoritmo CHB sin restricción en la señal de control no es posible implementarlo

prácticamente, ya que la señal de control toma valores negativos que no tienen una

representación fisica.

11 11

lb

/I

I t II

referencia indicada.

.

- 114 I¡

Capitulo 4. Irnplernentación y Resultados Obtenidos con el CHD 31.

Como se mostró en la figuras de esta sección la implementación del controlador a

horizontes deslizantes para un sistema bioquímico no lineal tipo SISO generó buenos

resultados para cada uno de los métodos descendentes; se aprecia que para el algoritmo

implementado sin restricción en la señal de control a pesar de tener buenos resultados no es

posible implementarlo físicamente, resaltando para este caso de estudio el uso de los métodos

descendentes para el calculo de la señal de control. Se observó que el método de relajación

presento la mejor respuesta entre la salida del proceso y el valor de referencia deseado, con

errores por debajo de los otros métodos y con una constante de tiempo también menor.

115

II

..

/

I I! 1 I6

. - Capitulo 5 . Conclusiones

CAP~TULO 5 CONCLUSIONES

5.1 CONCLUSIONES

En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos de la implementación del algoritmo

CHD para diversos procesos industriales.

Procesos de prueba

Tanques no interachiantes

sistema SISO lineal

lntercambiador de calor sistema SlSO no lineal

Intercambiador de calor sistema MIMO no lineal

Intercambiador de calor sistema MIMO lineal

Birreactor denitrificador

sistema SlSO no lineal

.

O 0 e

'L .a a .E o E rn M e - EZ 2

- 2 s d

*.-

,Y Buen desempeño Buen desempeño Buen desempeño Buen desempe<

Desempeño pobre

k Desempeiío pobre 1 No controla

Buen desempeño

Buen desempeño ', (no realizable)

Buen desempeño

Buen desempeño

No controla

Buen desempeño

Buen desempeño

Desempeño pol

Buen desempei

Buen desempei

Tabla 5.1.- Resumen de pruebas realizadas con el algoritmo CHD.

/ Como se muestra en la tabla 5.1 los resultados que se obtuvieron de la

implementación del algoritmo CHD para un proceso hidráulico, térmico y bioquimico ante la

presencia de perturbaciones determinísticas y estocásticas son aceptables para el control de

estos procesos.

8 1

. . - 117

A través de ;l. [las pruebas realizadas en el apéndice 1, se asegura que el tamaño del

4 Capítulo 5. Conclusiones

control se asegura que no tome cualquier valor que físicamente no pueda hacerlo, por lo tanto

la implcmentación práctica de este controlador resulta atractiva.

En presencia de perturbaciones deterministicas o estocásticas, el algoritmo a

horizontes deslizantes presenta una respuesta estable, logrando mantener al sistema dentro de

los puntos de operación, con errores muy cercanos a cero, mostrando con estas pruebas que

el algoritmo CHD siempre lleva la salida del sistema a la referencia deseada.

Una característica importante del controlador CHD es que el error decrece

rápidamente hacia cero, lo que indica que la velocidad con la que la salida del sistema

alcama la referencia es rápida.

Se demuestra que el controlador a horizontes deslizantes al obtener buenos resultados

en el control de los procesos anteriormente descritos con los métodos descendentes

implementados en el algoritmo de control ante incertidumbres paramétricas en los modelos

aproximados y la variación continua de parámetros en los modelos y además en presencia de

perturbaciones determinísticas y estocásticas se resalta la robustez del controlador a

horizontes deslizantes para el control de los procesos mostrados.

'I

1

Con las pruebas realizadas a nivel simulación se puede asegurar el buen desempeño

del controlador a horizontes deslizantes en la implementación para procesos con un grado

bajo de no linealidad, sin embargo aunque se obtuvieron excelentes resultados en el control

del proceso bioquímico no lineal, no es posible generalizar aun el desempeño del controlador

a procesos con un alto grado de no linealidad, sin embargo se puede visualizar esta estrategia

de control como una excelente opción para el control de este tipo de procesos.

II

/

5.2 APORTACIONES

La estrategia de control a horizontes deslizantes se expandió para un sistema tipo MIMO

lineal representado por la ecuación (3.46), implementado las tres metodologías para el

cálculo de la señal de control, las cuales son: método de relajación, de gradiente modificado

1 I9

Capiiulo 5 . Conclusiones

'I

I 1 y de Franck-Wolfd obteniendo buenos resultados en el control del proceso térmico de

intercambio de calor modelado como se muestra.

2003.

Se comprobó que la estrategia de control a horizontes deslizantes representa una buena

opción para controlar procesos industriales. Sin embargo en este trabajo de tesis no realiza un análisis profundo de la estabilidad del controlador como tal, lo que representa un campo de

acción para los interesados en esta estrategia de control.

I1

/I'

I1 ;

Otra actividad que resulta interesante es la implementación del algoritmo en un

sistema industrial (planta piloto) para observar su desempeño, logrando con esto los

elementos necesarios para realizar un análisis comparativo entre los resultados obtenidos en

simulación y los resultados a partir de la práctica.

11

/I

II I!

11

11 Ill 11) /

Para poder asegurar que la estrategia de control a horizontes deslizantes representa

una buena opción en el control de sistemas no lineales se puede implementar el controlador a

otro sistema no lineal de interés para observar su desempeño y compararlo contra otra

estrategia de control. /I

Apéndice 1. TamaAo del Horizonte N I1

APÉNDICE 1 TAMAÑO DEL HORIZONTE N

Este apéndice muestra la importancia del tamaño del horizonte N. Se presentan varias

simulaciones donde se vana el horizonte N y se muestran los resultados obtenidos.

A l . 1 DESCRIPCIÓN DE LAS SIMULACIONES

Con el propósito de observar la importancia que tiene el tamaño del horizonte N al cual se

programe el algoritmo de control a horizontes deslizantes y como resultado de este un valor

del error en estado estable del sistema, se implementa el algoritmo del controlador a

horizontes deslizantes para un sistema lineal tipo SISO con diferentes tamaños de N = 4, 6,

10.

La implementación del algoritmo de control a horizontes deslizantes que s e realiza en

esta prueba es el obtenido en el capitulo 2, figura 2.1 (ecuación (2.28)).

La figura Al . l muestra las respuestas del sistema comparadas contra la referencia;

para cada tamaño de horizonte N.

Aun cuando las respuestas para cada horizonte siguen a la referencia, se observa que

la respuesta con N=lC es la que mejor sigue los cambios de referencia, con una constante de -

tiempo menor a las respuesta de N= 4,6. /

121

Apéndice I . Tamaño del Horizonte N

" o foo mo i5m aim mo am so a m a m mo I/ Tiempo segundos

I Figura Al.1. Referencias vs salidas del sistema. I1 I I1

En la figura A1.2 se observan los comportamientos de los errores para los diferentes

tamaños del horizonte, los errores decrecen rápidamente a cero.

I 0.0

~ 0 2 ___.______...____. 2 -!I

= a.4:! _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ D :

'i a,o -'! -. '1 ' I

Timipo =gundo$

/I , -1 o! / mo uno am am w o mm z m am .am :

Figura A1.2.- Error entre la referencia y las salidas del sistema.

-1 OI! mo uno am am w o mm z m am .am :

Timipo =gundo$ !/

Figura A1.2.- Error entre la referencia y las salidas del sistema.

!I Apéndice 1. Tamaño del Horizonte N

Como se observa en la figura Al .2 el error en estado estable que se aproxima más a

cero es el algoritmo con N =lo, por lo tanto se observa que es importante el tamaño del

horizonte N para alcanzar las referencias deseadas.

El valor óptimo de N dependerá de cada caso de estudio, es decir, para un proceso en

particular donde se implementa el algoritmo de control a horizontes deslizantes con N=4 puede ser suficiente para cumplir con los requerimientos deseados en la respuesta del

sistema; para otro caso de estudio puede requerir un valor de N=8 para alcanzar los objetivos

propuestos.

Sin embargo para cualquier caso de estudio si se sigue aumentando el valor de N

llegará un momento donde ya no se obtiene un beneficio en la salida del sistema al seguir

incrementando el tamaño del horizonte, por otro lado el algoritmo de control Grece en la

cantidad de operaciones que tendría que realizar.

123

I

4

I

Apéndice 1. TamaRo del Horizonte N

!I I/

.i 124

I

Apkndice 2. Modelo de 6 Orden del Intercambiador de Calor

4

m R m I4

Ti 1

I TU

APÉNDICE 2

Tml

Rmi Rmc 'VVI- Tcl

a RfC m m - El

*J\h-- Tm2 Rmc

V A Rmt t

MODELO DE 6" ORDEN DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR

En este apéndice se muestra la obtención del modelo matemático de 60 orden no lineal a

partir del modelo de 60 orden lineal del intercambiador de calor. Se realizan algunas

simulaciones con el fin de comparar el comportamiento dinámico del modelo de 20 orden no

lineal (modelo al cual se implementa la estrategia de CHD) presentado en el capitulo 3 y el

modelo no lineal de 60 orden que se muestra en esta sección, esto es con el objeto de mostrar

que el modelo de 20 orden no lineal es una buena representación del modelo de 60 orden no

lineal (representación más fiel del proceso).

A2.1 OBTENCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE 6' ORDEN LINEAL

DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR

125

Apéndice 2. Modelo de 6 Orden del Intercambiador de Calor

en el

Las definiciones de los componentes que se presentan en la figura anterior se II describen en la tabla A2.1 que se muestra a continuación:

nodo -flujo de salida la pared del tubo

1

i i

111, CP, j

1 Resistencia de flujo en el tubo 1 I R,=? I i I I

i %CP, I

Resistenc'ia de flujo en el casco 1 ~ R , = T

i

' I ResistenAa a la transferencia de calor del , n ~

R,, = - tubo a la 11. pared ht4 1

i n I R =- Resistenda a la transferencia

casco la pared

de calor del ~

11 h,A, !

k,A, ~

i .'I ! ~

Resistencia de conducción entre los nodos de ; L ; R =-

"lrn I1 la pared 1,

.. . . .. - ~ - ~ : j

C a p a c i t a b a térmica del nodo en el casco c, = (PCPV), I n

Capacitancia térmica del nodo en el tubo (PCPV), ~

~ c, = n j II

' Capacitancia térmica de la pared i I I Tabla A2.1.- Definición de resistencias y capaciiancias.

El balance de energía para cada nodo de la figura A2.1 asociado con el volumen de control para el tubo, 111 .el casco y la pared del tubo está definido por las siguientes expresiones. ''

:¡ a) Balance de energía en el casco

1

It 126

!r Aphdice 2. Modelo de 6 Orden del Intercambiador de Calor

b) Balance de energía en el tubo

c n e r g Almacenada ía) = t i a con flujo de ganada) entrada

en el nodo -flujo de salida

Energia ganada por convección de la pared del tubo

(A2.1)

(A2.2)

c) Balance de energía en la pared del tubo

kmAm (A2.3) dT (PCPV),; A= h,qi (T; -T,;)+W,;(T,; -L)+--~Vm;+, -Tm;)

L ;+I dt !.

;I

Usando la definición de las resistencias y capacitancias de la tabla A2.1, y sustituyéndolas en las ecuaciones (A2.1), (A2.2), (A2.3) para los dos nodos de cada volumen

de control se obtiene:

(A2.4)

It

I I Apéndice 2. Modelo de 6 Orden del lntercambiador de Calor I /I

(A2.5)

(A2.6)

(A2.7)

(A2.8)

/I como el que se muestra en la figura 3.2 del capitulo.3, a partir de esta representación se

obtendrá un modelo no lineal.

¡I Las ecuaciones anteriores se pueden presentar en forma matricial como: x = Ax + B u ,

con salida y=T,/ ylo y=T,/ Donde la entrada u(f) esta conformada por las temperaturas

iniciales tanto del agua caliente como del agua fría, T,,, y T,,, respectivamente.

I1

II

u=[; : ] (A2.10)

11 En la ecuación (A2.11) se presenta el modelo lineal del intercambiador de calor en

/I forma matricial.

'I

I/ Apéndice 2. Modelo de 6 Ordendel Intercambiador de Calor

- O O

& O O O

O L

[3

1

Y = T,, +

O

O

O O O -

O

O

O

O

LA] $c; KG

1 - $c;

KG 1 -

O

O

O

O

I' O R , S <

1 - KF,

O

O

(A2.11)

A2.2

ORDEN DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR

OBTENCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO NO LINEAL DE 6'

Para logrr~ un cambio en la temperatura del agua fría a la salida del intercambiador se tienen

dos opciones: I!

a) Variar la temperatura del agua caliente actuando directamente en el termostato (operación manual de la perilla).

1: Apéndice 2. Modelo de 6 Orden del Intercarnbiador de Calor

b) Variar la velocidad del agua caliente vel, que entra al intercambiador mediante el

cierre y apertura de la válvula neumática que se encuentra en la entrada del agua

caliente (ver figura 3.2).

I /I II

1.

Se opta por la obción b) debido a que es posible actuar eléctricamente sobre la válvula a

fin de controlar la velocidad del agua en el tubo, la entrada del sistema está incluida en el

término del flujo másico del agua dada por:

I1

II

I I

(A2.13)

li y sustituyendo la ecuación (A2.12) en (A2.13) y la nueva definición de R/I en las ecuaciones

(A2.6) y (A2.7) se obtiene: I

1

/I donde la temperatura del tubo inicial T,,, de la ecuación (A2.14) ahora tiene un valor

constante. i

jl . * 130

/I. Apéndice 2. Modelo de 6 Orden del lntercambiador de Calor

La representación de manera matricial para el sistema no' lineal se presenta en

(A2.16), estando formado por las ecuaciones (A2.4), (A2.5), (A2.14), (A2.15), (A2.8),

(A2.9):

Y = T,I (A2.16)

La entrada u es la velocidad del agua caliente vei,, el modelo obtenido es no lineal

debido a que dos estados del sistema están multiplicados por la entrada, obteniendo una

forma de tipo:

A2.3 COMPA DE LOS MODELOS OBTENID'

(A2.17)

El modelo matemático no lineal de 60 orden presentado en la ecuación (A2.16), es un

modelo validado experimentalmente por [28], contra el modulo del intercambiador de calor

modelo RCT 100 de Didatec ubicado en el laboratorio de Cenidet. .Ill

..

131

I1 . 11

11

Apéndice 2. Modelo de 6 Orden del lntercambiador de Calor

I1

'IP El modelo de 20 orden no lineal que se muestra en la ecuación (3.45), se compara

contra el modelo matemático no lineal de 60 orden ya validado [28]. I1

I

I/ MATEMÁTICOS IDE 6' ORDEN Y 2' ORDEN NO LINEAL

Gasto entregado al Tub (agua caliente)

27

4.5 I O 0.5 1 1.5

liernpo (rnin) I¡ /

Figura A2.2.- Gasto en el tubo s I/

En la figura A2.3 se muestra la respuesta de los dos modelos matemáticos; con un

valor en la salida del agua fría calentada de estado estable de 41.1305"C para el modelo de 2'

orden (línea punteada) y valor de 40.6501"C para el modelo de 6 o orden (línea continua);

presentando un error de 0.4805"C, que representa un error del 3.65%.

'I 1

II

Apkndice 2. Modelo de 6 Orden del lntercambiador de Calor

2. Gasto de entrada de agua caliente variable;

Para el agua enfriada, el modelo de 6 orden alcanza un valor de 66.8015"C, el

modelo de 2' orden un valor de 66.2812"C, con un error en estado estable de 0.5203"C

( , . , > ~, : I : : I \

;.:,,,

representando un error del 1.34%.

Idercamaador de calor modelos M) lineales m.(continua) y io.(puntea&)

(a) min

O 0.5 1 1.5 2 (CI mi" ídl min

Figura At.3.- (a) Respuesta de los modelos de 6'y 2" para el agua fria calentada, (b) error para el agua fria

(c) Respuesta de los modelos de 6 y 2 para el agua enfriada, (d) error para el agua enfriada.

se varía el flujo de agua en el tubo en forma

senoidal, alcanzando los valores máximos y mínimos que se pueden tener, es decir,

abriendo y cerrando totalmente la válvula,

con valores de 1.5 I/min y O I/min. 0.2

O IO 20 30 40 50 Tiempo (mi")

Figura At.4.- Variaciones máximas en el agua caliente.

Apéndice 2. Modelo de 6 Orden del Intercambiador de Calor it

, En la figura I A2.5 se muestran los resultados obtenidos para la variación del gasto del II

II agua caliente; la salida del agua caliente alcanza un valor de 43.1865"C para el modelo de 2'

orden (línea punteada) y 42.006"C para el modelo de 6' orden (línea continua), con un error

de 7.77 % (1.1S05°C) cuando existe el máximo gasto posible (1.5 I/min); para el agua que se

enfría se alcanzaronilos valores de 72.916"C y 72.2767"C, para los modelos de 6' y 2' orden

respectivamente, con un error de 1.42% (0.6393"C) I I I1

1) Cuando del gasto de agua se reduce a cero, el valor de la salida del agua que se

calienta es de 28.1"C para el modelo de 2' orden y de 28.1794OC para el modelo de 6" orden,

con un error de 0.0794"C equivalente a un error del 0.2817%; para la salida de agua enfriada

se alcanzó el valor de 28.2253C para el modelo de 2' orden y de 28.1 18°C para el modelo

de 6' orden, con un error de 0.1073"C equivalente a un error del 0.3801%.

1

I'

E m edre IM mOdeloS no lineales de 60 Y 20. aqua dentada

O 10 20 30 40 50 (bl min

i

40 E 30

20 M min

-10 O 10 20 M 40 50 O 10 20 30 40 ,l 1.3 min 1d\

Figura A2.5.- (a) Respuesta de los modelos de 6' y 2 O para el agua fria calentada, (b) error para el agua 11 fria, (c) Respuesta de los modelos de 6' y 2 para el agua enfriada, (d) error para el agua enfriada.

.p 11. Aoéndice 2. Modelo de 6 Orden del lntercambiador de Calor

3 . Gasto de entrada de agua caliente , variable; se varia el flujo en forma '- E 0.8.

'6 0.6

2 de 1.125 I/min y 0.375 l h i n , figura 0.4-

c

c - senoidal, alcanzando los valores dentro

del rango de operación, tomando valores ..

Gasto entregado al Tubo (agua caiienie) 1.2, I

r <. : I ,. jl ', i ",,

1 1 '..,;,, /' ', \, "t,,

i / ',, I

1 1 i, ', ' I .

; , i \, ;

i / ',, \, 1 ", i

" \. / ,, i '., i ''>.,/I ,\. ,i ',

', / 'i, j ,, I '

1 I

, I

, I

!

,, i ,. ,

0.2 A2.6. O 10 20 30 40 50

Tiempo (min)

Figura A2.6.- Variaciones intermedias en el agua caliente.

En la figura A2.7 se muestra que el agua que se calienta alcanzó un valor de 42.433"C

para el modelo de 2' orden (línea punteada), un valor de 41.5275"C para el modelo de 6'

orden (línea continua); el error que se tiene para un gasto de 1.125 I h i n es de 6.27%

(O.905SoC ) y cuando existe un gasto de 0.375 I h i n las salidas son 38.5304"C y 38.3362"C

para el modelo de 60 y 20 orden respectivamente con un error del 0.63 % (0.1942OC ) .

Para el agua que se enfría se tuvieron las temperaturas de 70.7335"C y 70.08"C, para

los modelos de 6' y 2' orden respectivamente; para un gasto de 1.125 l/min el error es de

1.52% (0.6535OC ) y cuando existe un gasto de 0.375 Urnin con salidas de 58.1283"C para el

modelo de 2" orden y de 57.7113"C para el modelo de 6" orden, el error es de 1.38%

(0.417'C).

En cada una de las pruebas que se le hicieron a los modelos ma:emáticos, los errores

son muy pequeños, cabe resaltar que existe la excepción en la prueba donde se llevó al

intercambiador a los límites de operación, ya que en estos puntos los errores son mas grandes

entre ambos modelos, se presenta la tabla A2.2 a manera de resumen de la pruebas

realizadas.

iY

135

Apéndice 2. Modelo de 6 Orden del Intercambiador de Calor

]I -

I O 10 20 30 40 50

1 (CI min

E m entre los moddo5 no lineales de 50 y 20. q u a denlada 0.5

E m enlm los moddos no lineales de 60 Y 20. aua enftiacb

O in

II Figura A2.7.- (a) Respuesta de los modelos de 6" y 2' para el agua fria calentad% (b) error para el agua

fría, (c) Respuesta de los modelos de 6' y 2' para el agua enfriada, ,(d) error para el agua enfriada. lb i

; !!.% ~ ~ . , . : ~~~ ........... ~~~~~

Tt , ,, . , .... .. .. . ... ... .. ,, , .,.. .. ........ . .

ir Tc ; Erroren 1 Erroren i Erroren ~ Erroren I ] yo j

' 3.65 ~ 0.4805 1.34 I 0.5203' !

i % ' "C) 1 .. . ..: .... ,,..,,,.... (09 .....,. .. ; . .. ...... ... . . . .!. ...... (....., --- .... -.--...-...j modelos

Flujo constande en el agua ,,,,. ~ , , ,,,,,,,,,,., ,,,. ,,,,.,.,,,,..,,,, i .,,,,,,.,. ..... ............ I

caiielite ' . i

!

i j Flujo variable e&[' 1.5 Iilmin ~ 7.77 1.1805 1 1.42 1 0.6393 1 elaguacaliente]i/ 01t/min 1 0.28 j 0.0.794 1 0.38 ' __ 0.1073 1

Flujo variable 0.6535 1

-

-.

Tabla A2.2.- Resumen de pruebas realizadas a los modelos.

136 u (1

ADéndice 2. Modelo de 6 Orden del Intercambiador de Calor

De la tabla A2.2 se observa que los errores entre los dos modelos son pequeños, alrededor de

1°C. Si el objetivo de control es manipular la salida del intercambiador de calor a un valor

deseado se considera al modelo de 2' orden no lineal una buena aproximación del modelo de

6' orden no lineal. Ya que dinámicamente presenta el mismo tipo de comportamiento ante

una misma entrada de flujo de agua.

'I Apéndice 2. Modelo de 6 Orden del Intercambiador de Calor

, > I

.. - r

Auéndice 3. Parametros Nominales de los Modelos de Prueba

APÉNDICE 3 PARÁMETROS NOMINALES DE

LOS MODELOS DE PRUEBA

El presente apéndice muestra los valores nominales de los parámetros usados en los modelos

de prueba donde se implemento el algoritmo CHD.

A3.1 PARÁMETROS DEL PROCESO HIDRÁULICO

Los parámetros que conforman al modelo del proceso hidráulico de dos tanques no

interactuantes son: la reslstencia fluídica representada por la letra R y el área de los tanques

representada por la letra A , a continuación se muestran los valores nominales con los cuales

se realizaron las pruebas.

Resistencias fluídicas: R1 = 1.3327 y R2 = 1.8803

Áreas de los tanques: AI = 38.023 y A2 = 41.227 en (m2)

A3.2 PARÁMETROS DEL PROCESO TÉRMICO

Los parámetros que conforman al modelo del proceso térmico de intercambio de calor se

presentan a continuación con los valores nominales con los cuales se realizaron las pruebas.

Densidad de fluido en el tubo

Área de flujo en el tubo

Velocidad del fluido en el tubo

Calor especifico del agua en el tubo

Volumen del tubo

pt = 973.7 (kg/m3)

Afi = 28.2743e-6 (m’)

Velt = 0.4421 ( d s ) Cpt = 4191 (kcal/(kg.C))

Vt = 22.3367e-6 (m3)

Apéndice 3 Parámetros Nominales de los Modelos de Pnieba

/I Coeficiente de transferencia de calor para el casco hcm = 1 150 (kg/s3-'C)

I¡ Área de transferencia de calor en el casco Ac = 0.02481 (m2)

pc = 988.8 (kg/m3) Densidad de fluido en el casco

Área de flujo en el casco Afc = O. 1224e-3 (m2) Velc = O. 1089 ( d s ) Velocidad del fluido en el casco

Calor especifico del agua en el casco Cpc = 4191 (kcal/(kg.C)) Volumen del casco I Vc = 96.7535e-6 (m3)

1

1 ,I

I I

A3.3 P A M E T R O S DEL PROCESO QUÍMICO

Los parámetros que' conforman al modelo del birreactor de denitrificación se presentan a

continuación con los'valores nominales con los cuales se realizaron las pruebas.

11 I1 II

Tasa de crecimiento máxima asociada al nitrato

Tasa de crecimiento maxima asociada al nitrito

Constante de saturación asociada con el nitrato

Constante de saturacion asociada con el nitrito

Constante asociada ai nitrato

Constante asociada al nitrito

Constante asociada al nitrato

Constante asociada al nitrito

Coeficiente de crecimiento asociado al nitrato

Coeficiente de crecimiento asociado al nitrito

IL , .

:I!, ,

1 . . 1 !I

u

!I

pm2 = 0.12 (líh)

pm3 = 0.21 (Iíh)

K2=0.38 (gA)

K3 = 0.87 (gíl)

Kc2 = 0.037 (g/i)

Kc3 = 0.05 (di)

K12 = 18 (g/I)* K13 = 8.75

Y2=0.43 (gíg)

Y3 = 0.23 (gíg)

Coeficiente proporcihai al nitr+to Yc2=0.5 (glg)

Coeficiente propsrcional '11 al nitrito Yc3 = 0.76 ( g g )

Concentración del nitrato en la entrada

Concentración del ácido acético en la entrada

S3in = Of3 (gíi)

Sc in=3 (di)

11

I I

i - 140 I

Bibliografia General

BIBLIOGRAFÍA GENERAL

[ I ] SIFL4, H., R. MÁRQUEZ F., R. E C H E V E m A (1997), Control de sistemas no lineales, Departamento de Sistemas de Control, Universidad de los Andes, Mérida, Venezuela.

[2] KUO, B. (i996), Sistemas de control automático, 7" edición, Prentice Hall.

[3] CLOSE, C., D. FREDERICK (1993), Modeling and analysis of dynamic systems, 2a edition, Houghton Mifflin.

[4] MISCHALSKA H., D. Q. Mayne (1993), Robust receding horizon control of constrained nonlinear systems, Transactions on automatic control, 38( 1 I), 1623- 1633.

[SI JADBABAIE A., JIE Y., JOHN H. (2001), Unconstrained ieceding-horizon control 4

of nonlinear systems, Transactions on automatic control, 46(5), 776-783. I!

[6] SKOGESTAD, S., I. POSTLETHWAITE (1 996), Multivariable feedback control, analysis and design, Ed. Wiley.

[7] KENSON, M., D. SEBORG (1997), Nonlinearprocess control, Ed. Prentice Hall

[SI CLARKE D., C. MOHTADI, P. TUFFS (i987), Generalized predictive control - Part I. The basic algorithm, Automática 23(2), 137-148.

[9] GONZALEZ, J. (1994), Regulación de la velocidad de una turbina de vapor, usando un esquema de control predictivo generalizado (GPC), Tesis de Maestría, CENIDET.

[lo] GRAVALOU, E., G. BITSORIS (1994), A receding horizon approach to the constrained control of linear systems, Conference on Decision and Control, 3027- 3029.

[1 I ] ASTORGA, C., S. OTHMAN, H. HAMMOURI (2000), Moving horizon control of a denitrification reactor, Mathematics and Computers in Modem Science, Ed. Wseas. 137-142.

[12] ALAMIR, M., G. BORNARD (1999, Stability of a truncated infinite constrained receding horizon scheme: the general discrete nonlinear case, IEEE Transactions on Automatic Control, 31(9), 1353-1356.

[I31 MAYNE, D., '[H. MICHALSKA (1990), Moving horizon control of nonlinear systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 35(7), 8 14-824.

[I41 KAWAI, H., M. FUJITA (2001), Visual feedback control of nonlinear robotics systems via sthbilizing receding horizon control approach, Proceedings o f the American Contkol Conference, 241 8-2423.

[I51 YANG, T., E. TOLAK (i993), Moving horizon control ofnonlinear systems with input saturation!idisturbances andplant uncertainty, Int. J. Control, 58(4), 875-903.

[I61 YAZ, I., E. YAZ (i990), Moving-horizon control of discrete-time infinite- dimensionalsysthns, 29' Conference on Decision and Control, 1916-1917.

1/1/

I!

I 1

11 [I71 CREUS, A,, (19?8), Instrumentación Industrial, Ed. Alfaomega Marcombo, 6'. ed.

[24] CANALES, R., I R., BARRERA (1977), Análisis de sistemas dinámicos y control

Bibliografia.General

[28] CASTRO, C., (2000), Control difuso adaptable aplicado a un proceso de intercambio de calor, Tesis de maestría, cenidet, Cuernavaca, México, 52.

[29] KORNAROS, M., C. ZAFIRI, G. LYBERATOS (1996), Kinetics of denitrification by pseudomonas denitrificans Ander growth conditions limited by carbon and/or nifrafe or nitrite, Water Environment Research, 68(5), 934-945.

[30] RODRIGUEZ, ALEJANDRO (1 998), Robust control for infinite dimensional linear systems with mked uncertainties, Tesis de Doctorado, CINVESTAV.

Bibliografía General -

J

i l

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