PROGRESIONES PROGRESIONES ARITMETICASARITMETICAS

DEFINICIÓNDEFINICIÓNTERMINO GENERALTERMINO GENERALSUMA DE TERMINOS CONSECUTIVOS SUMA DE TERMINOS CONSECUTIVOS APLICACIONESAPLICACIONES

DEFINICION DE DEFINICION DE PROGRESION ARITMETICAPROGRESION ARITMETICA

Una progresión aritmética es una sucesión el la que cada término Una progresión aritmética es una sucesión el la que cada término se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo que se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo que llamamos diferenciallamamos diferencia

Ejemplo:Ejemplo:La sucesión de los múltiplos de 5:La sucesión de los múltiplos de 5:

aa11=5=5

+5+5aa22=10=10

+5+5aa33=15=15

+5+5aa44=20=20

TÉRMINO GENERAL DE UNA TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICAPROGRESIÓN ARITMÉTICA

Consideramos la sucesión aritmética aConsideramos la sucesión aritmética a11, a, a22, a, a33, a, a44,….de diferencia d.,….de diferencia d.Vamos a expresar todos los términos, a partir del segundo, en Vamos a expresar todos los términos, a partir del segundo, en

función del primero afunción del primero a11 y de la diferencia d. Teniendo en cuenta la y de la diferencia d. Teniendo en cuenta la ley de recurrencia, se obtiene:ley de recurrencia, se obtiene:

aa22=a=a11+d+daa33=a=a22+d=a+d=a11+2d+2daa44=a=a33+d=a+d=a11+3d+3d

…………………………aann=a=an-1n-1+d=a+d=a11+(n-1)d+(n-1)daann = a = a11 + (n-1)d + (n-1)d

Por tanto la expresión del término general de Por tanto la expresión del término general de una progresión aritmética es:una progresión aritmética es:

aann = a = a11 + (n-1)d + (n-1)d

SUMA DE n TÉRMINOS CONSECUTIVOS SUMA DE n TÉRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICADE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

El gran matemático El gran matemático Gauss, Gauss, a la edad de a la edad de 10 años encontró un 10 años encontró un procedimiento para procedimiento para hallar la suma de los hallar la suma de los 100 primeros 100 primeros números naturales. números naturales.

Este procedimiento consiste en escribir la suma indicada en orden creciente y debajo la misma suma en orden

decreciente:

S = 1 + 2 + 3 + ………….………………………+98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + ……………………+4 + 3 + 2 + 1

2S = 101 + 101 + 101 +……………………+101 + 101 + 101

obtenemos que la suma de los 100 primeros números naturales es:

2100101 S 100101 2 ⋅=⋅=S

En general, para sumar los n primeros términos de una En general, para sumar los n primeros términos de una sucesión aritmética seguimos el método utilizado por sucesión aritmética seguimos el método utilizado por Gauss y utilizamos la propiedad :Gauss y utilizamos la propiedad :

En toda sucesión aritmética limitada a1, a2, a3, a4,….an

se cumple que la suma de los términos equidistantes de los extremos

es igual a la suma de los extremos.

a1 + an = a2 + an-1= a3 + an-2 =……..

y obtenemos:y obtenemos:

naas nn ⋅+=

2)( 1

APLICACIONESAPLICACIONESEn la vida cotidiana hay En la vida cotidiana hay situaciones que se resuelven situaciones que se resuelven utilizando las progresiones utilizando las progresiones aritméticas, por ejemplo a la aritméticas, por ejemplo a la hora de pagar el parking, hora de pagar el parking, cuando hemos dejado el cuando hemos dejado el coche había un cartel que coche había un cartel que decía:decía:

Es decir que si consideramos Es decir que si consideramos aann como el precio que voy a como el precio que voy a pagar por dejar el coche n pagar por dejar el coche n

minutos, esa ley es una minutos, esa ley es una progresión aritmética donde progresión aritmética donde

aa11=1,20=1,20

yy

d= 0,03d= 0,03

contando n a partir de 30.contando n a partir de 30.

1ª media hora……….1,20€precio del minuto……0,03€

¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de tres?La sucesión de números de tres cifras, múltiplos de tres, es :

0 09

333 093 999

En esta sucesión aritmética aEn esta sucesión aritmética a11 = 102, d = 3 y a = 102, d = 3 y ann = 999. = 999. Por tanto:Por tanto:

aann = a = a11 + (n-1)d + (n-1)d

999 = 102 + (n-1)3 999 = 102 + (n-1)3 999 = 102 + 3n -3999 = 102 + 3n -3

n = 300 númerosn = 300 números

1 33 10 3 100

a1 = 3 .34 =102 an = 3 . 333 = 999