Ciberntica y Computacin I

Unidad I. La Ciberntica1.1 IntroduccinLa ciberntica se ha definido de distintas maneras a lo largo del tiempo y el espacio. Algunas de las ms importantes son Andri Nikolyevich Kolmogrov: La ciberntica se ocupa de sistemas de cualquier naturaleza que son capaces de recibir, almacenar, y transformar informacin con fines de control. Raymond Ruyer: La ciencia del control por medio de informacin sean stas naturales, orgnicas o artificiales. Norbert Wiener: Ciencia que se ocupa de los sistemas de control y de comunicacin en las personas y las mquinas, estudiando y aprovechando todos sus aspectos y mecanismos comunes. Diccionario de la Lengua Espaola: Estudio de las analogas entre los sistemas de control y comunicacin de los seres vivos y los de las maquinas; y en particular, el de las aplicaciones de los mecanismos de regulacin biolgica a la tecnologa.Con base en estas definiciones planteamos la siguiente que se adapta al curso de Ciberntica y Computacin:la cibernticaes la ciencia que estudia sistemas naturales, sociales y, en el caso de la materia, de su aplicacin tecnolgica con la finalidad de establecer relaciones entre sus elementos, proponer un modelo y establecer una metodologa para implementar un sistema de cmputo capaz de recibir, almacenar y transformar la informacin.1.2 Antecedentes HistricosEl origen principal de la ciberntica, se debe a la integracin de estudios matemticos, fsicos, ingenieros, fisilogos y tcnicos para analizar los sistemas de control en las mquinas y los seres vivos.Las piedras angulares de la ciberntica son la teora de la informacin, la teora de los algoritmos y la teora de los autmatas que estudia los mtodos de construccin de los sistemas para el procesamiento de la informacin.Cabe sealar que un factor decisivo en el proceso de creacin de la nueva ciencia fue el crecimiento impetuoso de la automtica electrnica y, especialmente, la aparicin de las computadoras de accin rpida. Estas ltimas abrieron posibilidades nunca vistas en el procesamiento de la informacin y en la simulacin de los sistemas de direccin.Los personajes que a continuacin se mencionan contribuyeron de alguna manera con el desarrollo de la Ciberntica mediante inventos e investigaciones que aportaban avances al desarrollo de herramientas tecnolgicas.Principales PrecursoresBlaise Pascal (1623 - 1662)Pascal invent una de las primeras calculadoras mecnicas (1642); el aparato llamadopascalinaque permita realizar las operaciones aritmticas de suma y resta.Charles Babbage (1791-1871)Matemtico britnico, que realiz estudios y experimentos para conseguir una mquina capaz de realizar con precisin tablas matemticas. En 1833 termin el diseo de su mquina diferencial concebida para construir tablas logartmicas y de funciones trigonomtricas y posteriormente se dedic al diseo de una mquina analtica que tuviera la capacidad de realizar cualquier secuencia de instrucciones aritmticas.Aunque no lleg a conseguir su propsito, debido a que el sistema de engranajes para su construccin presentaba problemas de esfuerzo y temperatura en su poca, Charles Babbage sent los principios bsicos de las computadoras modernas, como el concepto de programa o instrucciones bsicas, que se introducen en la mquina de manera independiente de los datos, el uso de la memoria para retener resultados y una unidad aritmtica.George Boole (1815- 1864)El lgebra de Boole establece los fundamentos de la aritmtica utilizada en la electrnica y cmputo moderno. Desarrolla un sistema de reglas basadas en procedimientos matemticos que permiten expresar, manipular y simplificar problemas lgicos y filosficos cuyos argumentos admiten solamente dos estados: verdadero o falso.Herman Hollerith (1860-1929)Herman Hollerith fue un estadstico que invent el primer sistema de tabulacin para el tratamiento de informacin. Revolucionando de esta forma, el manejo de informacin a gran escala mediante la automatizacin de procesos. Fue el fundador de la empresa Tabulating Machine Company dedicada a fabricar y vender sus mquinas; empresa que posteriormente al fusionarse con otras dos originara a la International Business Machines (IBM).Alan -Mathison Turing (1912-1954)Cuando era estudiante de postgrado en la universidad de Princeton en 1937, public el artculo On computable numbers, en el que defini una maquina terica de capacidad infinita. Esta mquina que despus fue llamada "Mquina de Turing" se operaba basndose en una serie de instrucciones lgicas que eran ledas de una cinta de papel perforada y que posteriormente ejecutaba dichas las operaciones expresadas en un lenguaje formal determinado.Norbert Wiener (1894 -1964)En los aos cuarenta, trabajara en los principios de la Ciberntica, un trmino que aportara en su clebre publicacin de nombre "Ciberntica o control y comunicacin en el animal y la mquina", desarrollada en 1948. La ciberntica es una ciencia interdisciplinaria que se dedica a estudiar y comprender la interrelacin que existe entre las mquinas y el ser humano. Por esta razn es conocido como el padre de la ciberntica.Arturo Rosenblueth Stearns (1900 - 1970)Cientfico y mdico mexicano nacido en Guerrero, Chihuahua. Asociado con el Dr. Norbert Wiener y Bigelow escribi el ensayo denominado "Behavior, Purpose and Teology" que sirvi de base para la creacin, por parte del Dr. Norbert Wiener, de la nueva ciencia llamada "Ciberntica". Por esta razn tambin a l se le considera un pionero de esta ciencia.John Von Neumann (1903 -1957)Von Neumann escribi un ensayo que influira de manera definitiva en la construccin y diseo de las computadoras modernas. El articulo describa la estructura de una computadora; dividiendo el diseo en una unidad de procesamiento, una unidad de control, memoria interna y dispositivos de entrada y de salida. La principal contribucin era que dentro de la memoria de la computadora se podan almacenar programas que podran leerse y posteriormente ejecutarse mediante las instrucciones, sin necesidad de tener que volver a escribirlas. Von Neumann le dio su nombre a la arquitectura utilizada en casi todas las computadoras actuales.Claude Elwood Shannon (1916-2001)Realiz aportaciones tericas, e impuls la digitalizacin al emplear la lgica booleana. En 1948 fund la Teora de la Informacin, su trabajo hizo posible definir la informacin en trminos matemticos y operacionalmente precisos, lo que permita medir su cantidad en bits.Actividad 1Relaciona cada texto con el precursor histrico correspondiente

Actividad 2Define con tus propias palabras Qu es la Ciberntica?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.3 SistemasDe acuerdo con OBrien un sistema es un grupo de componentes interrelacionados que trabajan juntos hacia un fin comn, aceptandoinputsy produciendooutputsen un proceso de transformacin organizado. [OBr 93]. Partiendo de esta definicin podemos decir que un sistema puede describirse comoun conjunto de elementos (objetos, entidades o conceptos), interrelacionados de algn modo a fin de lograr un objetivo comn.Elementos de un sistemaUn sistema de cualquier tipo que este sea, consta de por lo menos los siguientes elementos: Entradas:Recursos del medio que funcionan como insumos para el proceso. Proceso: Transforma o procesa una entrada en salida; es una actividad o fenmeno que modifica las entradas para producir un resultado. Salida(s): Son los resultados que se obtienen de procesar las entradas.Cada sistema tiene adems la posibilidad de retroalimentacin: esun concepto que se contempla cuando a la ciberntica le interesa cmo hacer que un sistema proporcione la respuesta que se espera o se necesita.a.Ambiente de un sistemaEl ambiente de un sistema se define como el conjunto de elementos que sin formar parte del sistema poseen propiedades relevantes que tiene un efecto sobre el sistema. Es decir est formado por todas las variables que pueden afectar el estado del sistema desde el exterior.b.Clasificacin de los SistemasSistema CerradoAquel que no tiene ambiente ni contexto. No presentan intercambio con el medio ambiente que los rodea, son hermticos a cualquier influencia ambiental. No reciben ningn recurso externo y nada producen que sea enviado hacia fuera. Tambin se aplica el trmino a los sistemas completamente estructurados, donde los elementos y relaciones se combinan de una manera peculiar y rgida produciendo una salida invariable, como las mquinas. En rigor, no existen sistemas cerrados. Se da el nombre de sistema cerrado a aquellos sistemas cuyo comportamiento es determinstico y programado y que opera con muy pequeo intercambio de energa y materia con el ambiente.Sistema AbiertoAquel que tiene medio ambiente si interacta con su medio ambiente. Los sistemas abiertos presentan intercambio con el ambiente, a travs de entradas y salidas. Intercambian energa y materia con el ambiente. Son adaptativos para sobrevivir. Su estructura es ptima cuando el conjunto de elementos del sistema se organiza, aproximndose a una operacin adaptativa.Con Respecto al medio Ambiente

Sistema NaturalNacen en respuesta a fenmenos fsicos, qumicos y biolgicos y que se crean por la naturaleza.Sistema ArtificialSon aquellos que fueron logrados por la intervencin directa de la actividad humana. Un ser humano particip de manera activa en su diseo, manejo, control y ejecucin.

Con respecto a su origen

c.Sistema de controlUn sistema de control es un arreglo de componentes fsicos conectados de tal manera que el arreglo se puede comandar, dirigir o regular a s mismo o a otro sistema.La ciberntica estudia la teora de los sistemas de control basada en la comunicacin (transferencia de informacin) entre sistemas y medio ambiente o internamente en el sistema, y en el control (retroalimentacin) del funcionamiento del sistema.Ejemplos de sistemas de controlLa importancia de los sistemas de control en nuestra vida diaria es tan crtica que sin ellos la vida sera complicada. Sistemas de control automtico simples pueden encontrarse en cada rincn de una casa, por ejemplo: En el hogar podemos tener un sistema automtico que encienda de manera automtica la bomba para llenar el tinaco. En los coches tenemos controles en la velocidad de crucero, es decir, se mantiene una velocidad fija en el auto de manera automtica sin importarle la pendiente de la carretera. Tambin en los autos existe un sistema de control en los frenos conocido como ABS, otro para el control de temperatura, otro para el control de estabilidad, etc.Los sistemas de control se pueden clasificar endos grandes tipos: los abiertos (lazo abierto) y los cerrados (lazo cerrado):Sistema de control de lazo abiertoSon sistemas de control en los que la salida o resultado del proceso no tiene ningn efecto sobre la accin de control, es decir, en un sistema de control de lazo abierto la salida no se mide (no se retroalimenta) para comparar con lo que deseamos obtener y as verificar qu tanto nos estamos desviando de ello.

Sistema de control de lazo cerradoSon aquellos en los que la seal de salida tiene efecto directo sobre la accin de control, esto es, los sistemas de control de lazo cerrado son sistemas de control retroalimentados. A diferencia del control de lazo abierto, en el de lazo cerrado s se mide la salida del proceso para verificar si est dentro del valor deseado al compararlo con ste. Un ejemplo lo constituye el control de un sistema trmico.

RetroalimentacnLa retroalimentacin es una caracterstica de los sistemas de control de lazo cerrado que los distinguen de los sistemas de lazo abierto. Estos sistemas permiten que la salida (o cualquier otra variable controlada del sistema) sea comparada con la entrada al sistema, de tal manera que se pueda establecer la accin de control apropiada como funcin de la entrada y la salida.

Ejemplos de sistemasUn ser humano que resuelve un problema, es un sistema dinmico que recibe por sus entradas la informacin que contienen los datos del problema y las sustituciones para su solucin, transformando los datos, de acuerdo con las instrucciones, en el resultado especificado por el problema.Una computadora que resuelve un problema, es un sistema dinmico que recibe, por sus dispositivos de entrada la informacin concerniente a los datos y a las instrucciones para la solucin del problema que le suministre el hombre, transformando los datos, de acuerdo con las instrucciones, en el resultado especificado por el problema, el cual se suministra al hombre por las salidas.1.4 ModelosLos modelos nos sirven para simplificar estructuras y procesos complejos, de manera que podamos representarlas, estudiarlas y comprenderlas. Un modelo se basa en las propiedades ms importantes y bsicas de lo que queremos representar. Tomando esto en cuenta entonces podemos definir aun modelocomo:

Una simplificacin que imita los fenmenos del mundo real, de modo que se puedan comprender las situaciones complejas y podamos hacer predicciones. Los modelos son muy tiles para describir, explicar o comprender mejor la realidad, cuando es imposible trabajar directamente en la realidad en s.

Tipos de modelosHay diversos tipos de modelos en uso y difieren entre ellos segn el propsito que se persiga. La diversidad va desde el ms bsico modelo fsico como una maqueta, hasta modelos muy complicados que slo pueden utilizarse empleando computadoras muy poderosas.Un modelo puede ser tan sencillo como una simple explicacin con palabras de lo fundamental de una realidad. A este tipo se le suele llamar modelo verbal.En otros modelos usamos diagramas en los que se dibujan de una forma simplificada los componentes del sistema sealando con flechas las acciones de unos sobre otros. Son modelos grficos. Algunos pueden ser muy esquemticos, pero cuando en cada flecha se indica el tipo de accin que tiene lugar y se sealan diferentes comportamientos y tipos de interaccin, pueden llegar a ser muy complicados. Las ventajas de un modelo grfico pueden ser: Todos los rasgos esenciales estn expuestos. La estructura y el contenido del modelo son percibidos con claridad y precisin. El modelo no requiere ser memorizado y puede replicarse fcilmente cuando es necesario utilizarlo. Es una manera muy fcil y rpida de transferir a otras personas ideas y conceptosEn los modelos numricos se usan magnitudes y ecuaciones matemticas para describir con exactitud los distintos componentes del sistema y las relaciones entre ellos.El desarrollo de las computadoras ha hecho posible manejar una gran cantidad de datos y por eso ahora se usan, cada vez ms, modelos computacionales, en los que con programas computacionales se imita el funcionamiento de sistemas complejos. Este tipo de modelos son los ms perfeccionados y han permitido simular relativamente bien, procesos muy complicados como el funcionamiento de la atmsfera o las fluctuaciones de las poblaciones de peces, entre otros muchos. Gracias a ellos se han logrado grandes avances como, por ejemplo, predicciones fiables del clima.Relacin entre modelo y sistemaCon modelos podemos representar sistemas, es por eso que en muchas ocasiones suelen usarse como sinnimos. En este caso cuando hablamos de sistemas estamos refirindonos entonces tambin a los modelos que los representan.Modelos naturales y artificialesUn sistema es natural cuando existe naturalmente sin que en su origen intervenga la mano del hombre. El sistema solar es un modelo de un sistema natural, as como la sabana es un sistema ecolgico. Un sistema es artificial cuando interviene en l la mano del hombre. Un coche, por ejemplo, es un sistema artificial as como tambin lo es una computadora o una planta de produccin de aluminio.Modelos analgicos y digitalesLa diferencia bsica entre los modelos digitales y los modelos analgicos reside en que los primeros estn codificados en cifras, lo que permite su tratamiento por medios informticos. Para llegar a la elaboracin de los modelos digitales es necesario, por tanto, efectuar un proceso de codificacin de la informacin, muchas veces originadas de un modelo analgico, que permite una representacin virtual en forma de cifras; este proceso es conocido como discretizacin. Las relaciones espaciales o las caractersticas que se desean representar se traducen a diferentes tipos de estructuras numricas (vectores, matrices, conjuntos, etc.) o a expresiones matemticas.Modelos HbridosLos sistemas hbridos surgieron como una respuesta a la necesidad de integrar los modelos dinmicos de subsistemas de diferentes naturalezas. Un sistema hbrido es aqul donde existen varios modos de operacin, de dinmica continua en el tiempo, y transiciones entre dichos modos, que ocurren en ciertos instantes, bajo ciertas condiciones. Estas transiciones son descritas a travs de modelos dinmicos de tipo discreto. En pocas palabras, los sistemas hbridos integran dinmicas continuas y discretas.Por ejemplo, en un proceso de fabricacin podra encontrarse un robot con diversos tiempos de ejecucin para trayectorias distintas, que transporta una pieza que en la etapa siguiente ser sometida a un proceso qumico o trmico. Luego, la pieza ser sometida a un proceso de acabado; posteriormente, ser montada en otra pieza que proviene de un proceso de inyeccin de plstico con el que debe sincronizarse; y as sucesivamente. Los procesos pueden ser modelados por ecuaciones que describen su dinmica en forma continua en el tiempo y son iniciados por ciertos eventos o condiciones, como cuando la pieza alcanza ciertas especificaciones o llega a cierta posicin en el espacio de trabajo, entre otras posibilidades.

En un proceso como el anterior, puede ser de inters controlar una variable comn a todos los subsistemas, como el consumo de energa o el tiempo total empleado en la fabricacin del producto. Para ello, se necesita disponer de un modelo nico donde se consideren tanto los modelos de los subsistemas como sus interacciones. Obtener un modelo relativamente simple de la dinmica del sistema completo puede ser una tarea ardua y es en este punto donde los modelos hbridos son de gran utilidad.Modelos MatemticoUn modelo matemtico es un tipo de modelo cientfico que utiliza algn formulismo matemtico para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parmetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones. Estos modelos se utilizan para analizar los comportamientos de sistemas complejos ante situaciones que resultan difciles de observar en la realidad.Los modelos matemticos pueden dividirse en deterministas (no hay incertidumbre respecto a la forma del resultado y los datos utilizados son completamente conocidos y determinados) y estocsticos (son modelos probabilsticos, ya que no se conoce el resultado esperado sino su probabilidad).Actividad 3Considerando la semejanza has una analoga entre las mquinas y el ser vivo.

Actividad 4Identifica que tipo de sistema son cada una de las siguientes imgenes.

Solucin Actividad 3

RetroalimentacinUnidad Central de Procesamiento:Se encarga del control y el procesamiento de datos.Memoria RAM:Dispositivo electrnico que se encarga de almacenar datos e instrucciones de manera temporal, de ah el trmino de memoria de tipo voltil ya que pierde los datos almacenados una vez apagado el equipo.Memoria secundaria:Tambin es conocida como Memoria Auxiliar, y a diferencia de la Memoria RAM, sta permite almacenar datos en forma permanente, inclusive aun cuando desconectemos nuestra computadora de la alimentacin elctrica.Dispositivos de Entrada:Son aquellos que sirven para introducir datos a la computadora para permitir la ejecucin de un proceso.Dispositivos de Salida:Son los componentes electrnicos que permiten representar los resultados (salida) de un proceso ejecutado por la computadora.Bus:Es el elemento responsable de establecer una correcta interaccin entre los diferentes componentes de la computadora, es por lo tanto, el dispositivo principal de comunicacinSolucin Actividad 4

Unidad 2. Circuitos Lgicos2.1 Sistemas de numeracinUn sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que permiten representar datos numricos. Los sistemas de numeracin actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un smbolo tiene distinto valor segn la posicin que ocupa en la cifra.Sistema de numeracin decimalEl sistema de numeracin que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez smbolos o dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posicin que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.El valor de cada dgito est asociado al de una potencia de base 10, nmero que coincide con la cantidad de smbolos o dgitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posicin que ocupa el dgito menos uno, contando desde la derecha.En el sistema decimal el nmero 528, por ejemplo, significa:5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:5+ 2* + 8 o, lo que es lo mismo:500 + 20 + 8 = 528En el caso de nmeros con decimales, la situacin es anloga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias sern negativos, concretamente el de los dgitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el nmero 8245,97 se calculara como:8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 dcimos + 7 cntimos8x + 2 + 4 + 5 + 9 + 7, es decir:8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97Sistema de numeracin binarioEl sistema de numeracin binario utiliza slo dos dgitos, el cero (0) y el uno (1).En una cifra binaria, cada dgito tiene distinto valor dependiendo de la posicin que ocupe. El valor de cada posicin es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posicin del dgito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurra con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dgitos utilizados (2) para representar los nmeros.De acuerdo con estas reglas, el nmero binario 1011 tiene un valor de : 11

Conversin entre nmeros decimales y binariosConvertir un nmero decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada divisin en orden inverso al que han sido obtenidos.Por ejemplo, para convertir al sistema binario el nmero 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarn los restos siguientes:77 2 = 38 Resto: 138 2 = 19 Resto: 019 2 = 9 Resto: 19 2 = 4 Resto: 14 2 = 2 Resto: 02 2 = 1 Resto: 01 2 = 0 Resto: 1

y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria: 7710 = 10011012Ejercicio 1:Expresa, en cdigo binario, los nmeros decimales siguientes: 191, 25, 67, 99, 135, 276DecimalBinario

19110101111112

2510110012

671010000112

991011000112

13510100001112

276101000101002

El tamao de las cifras binariasLa cantidad de dgitos necesarios para representar un nmero en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del prrafo anterior, para representar el nmero 77, que en el sistema decimal est compuesto tan slo por dos dgitos, han hecho falta siete dgitos en binario.Para representar nmeros grandes harn falta muchos ms dgitos. Por ejemplo, para representar nmeros mayores de 255 se necesitarn ms de ocho dgitos, porque 28 = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el nmero ms grande que puede representarse con ocho dgitos.Como regla general, con n dgitos binarios pueden representarse un mximo de 2n, nmeros. El nmero ms grande que puede escribirse con n dgitos es una unidad menos, es decir, 2n 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 nmeros, porque 24 = 16 y el mayor de dichos nmeros es el 15, porque 24-1 = 15.Ejercicio 2:Averigua cuntos nmeros pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cul es el nmero ms grande que puede escribirse en cada caso.8Con 4 nmeros

10Con 4 nmeros

16Con 5 nmeros

32Con 6 nmeros

Ejercicio 3:Dados dos nmeros binarios: 01001000 y 01000100 Cul de ellos es el mayor? Podras compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?El mayor es el que tiene la unidad ms hacia la izquierda ya que hacia esa direccin aumenta la potencia de la base.Conversin de binario a decimalEl proceso para convertir un nmero del sistema binario al decimal es an ms sencillo; basta con desarrollar el nmero, teniendo en cuenta el valor de cada dgito en su posicin, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado ms a la derecha, y se incrementa en una unidad segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.Por ejemplo, para convertir el nmero binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 = 8310100112 = 8310Ejemplo 2, 1011 tiene un valor de:1 + 0* + 1* + 1, es decir:8 + 0 + 2 + 1 = 1110112 = 1110 Ejercicio 4:Expresa, en el sistema decimal, los siguientes nmeros binarios: 110111, 111000, 010101, 101010, 1111110BinarioDecimal

11011125510

11100025610

01010122110

10101024210

1111110212610

Sistema de numeracin octalEl inconveniente de la codificacin binaria es que la representacin de algunos nmeros resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeracin que resulten ms cmodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fcil convertir un nmero binario a octal o a hexadecimal.En el sistema de numeracin octal, los nmeros se representan mediante ocho dgitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dgito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.

Conversin de un nmero octal a decimalLa conversin de un nmero octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posicin en una cifra octal. Por ejemplo, el nmero octal 2738 tiene un valor que se calcula as:2 + 7 + 3 = 2*64 + 7*8 + 3*1 = 102738 = 18710Por ejemplo, para convertir el nmero 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dgito:2 + 3 + 7 = 128 + 24 + 7 = 159102378 = 15910Ejercicio 5:Convierte al sistema decimal los siguientes nmeros octales: 458, 1258, 6258OctalesDecimal

4583710

12588510

625840510

Conversin de un nmero decimal a octalLa conversin de un nmero decimal a octal se hace con la misma tcnica que ya hemos utilizado en la conversin a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el nmero decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:122 8 = 15 Resto: 215 8 = 1 Resto: 71 8 = 0 Resto: 1Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:12210 = 1728 Ejercicio 6:Convierte los siguientes nmeros decimales en octales: 6310, 51310, 11910 DecimalOctal

6310778

5131010018

119101678

Sistema de numeracin hexadecimalEn el sistema hexadecimal los nmeros se representan con diecisis smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dgitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos smbolos depende, como es lgico, de su posicin, que se calcula mediante potencias de base 16.Conversin de un nmero hexadecimal a decimalCalculemos, a modo de ejemplo, el valor del nmero hexadecimal 1A3F161A3F16 = 1 + A + 3 + F1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 67191A3F16 = 671910Ejercicio 7:Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC516, 10016, 1FF16 HexadecimalDecimal

2BC5161120510

1001625610

1FF1651110

Conversin de un nmero decimal a hexadecimalEnsayemos, utilizando la tcnica habitual de divisiones sucesivas, la conversin de un nmero decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del nmero 173510 ser necesario hacer las siguientes divisiones:1735 16 = 108 Resto: 7108 16 = 6 Resto: C es decir, 12106 16 = 0 Resto: 6De ah que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el nmero en hexadecimal:173510 = 6C716Ejercicio 8:Convierte al sistema hexadecimal los siguientes nmeros decimales: 351910, 102410, 409510 DecimalHexadecimal

351910DBF16

10241040016

409510FFF16

Conversin de nmeros binarios a octales y viceversaObserva la tabla siguiente, con los siete primeros nmeros expresados en los sistemas decimal, binario y octal:DECIMALBINARIOOCTAL

00000

10011

20102

30113

41004

51015

61106

71117

Cada dgito de un nmero octal se representa con tres dgitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un nmero entre estos sistemas de numeracin equivale a "expandir" cada dgito octal a tres dgitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dgito octal.Conversin de un nmero Binario a OctalPor ejemplo, para convertir el nmero binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits (empezando por la derecha) y los sustituiremos por su equivalente octal:1012 = 580012 = 180112 = 38y, de ese modo: 1010010112 = 5138 Ejercicio 9:Convierte los siguientes nmeros binarios en octales: 11011012, 1011102, 110110112, 1011010112 BinarioOctal

110110121558

1011102568

1101101123338

10110101125538

Conversin de un nmero Octal a BinarioLa conversin de nmeros octales a binarios se hace, siguiendo el mismo mtodo, reemplazando cada dgito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el nmero octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dgitos: 78 = 1112 58 = 101208 = 0002y, por tanto: 7508 = 1111010002 Ejercicio 10:Convierte los siguientes nmeros octales en binarios: 258, 3728, 27538 OctalBinario

258101012

3728111110102

27538101111010112

Conversin de nmeros binarios a hexadecimales y viceversaDel mismo modo que hallamos la correspondencia entre nmeros octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dgito hexadecimal y cuatro dgitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:DECIMALBINARIOHEXADECIMAL

000000

100011

200102

300113

401004

501015

601106

701117

810008

910019

101010A

111011B

121100C

131101D

141110E

151111F

La conversin entre nmeros hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo" cada dgito hexadecimal a cuatro dgitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el nmero binario 1010011100112 bastar con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal: 10102 = A1601112 = 71600112 = 316y, por tanto: 1010011100112 = A7316 En caso de que los dgitos binarios no formen grupos completos de cuatro dgitos, se deben aadir ceros a la izquierda hasta completar el ltimo grupo. Por ejemplo:1011102 = 001011102 = 2E16 Ejercicio 11:Convierte a hexadecimales los siguientes nmeros binarios: 10101001010111010102, 1110000111100002, 10100001110101112

BinarioHexadecimal

1010100101011101010254AEA

111000011110000270F0

10100001110101112A1D7

La conversin de nmeros hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dgito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el nmero hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:116 = 00012 ; F16 = 11112 ; 616 = 01102y, por tanto: 1F616 = 0001111101102 Ejercicio 12:Convierte a binario los nmeros hexadecimales siguientes: 7A5D16, 101016, 8F8F16 HexadecimalBinario

7A5D16111101001012

10101610000000100002

8F8F1610001111100011112

2.2 Operaciones de adicin substraccin divisin y multiplicacin en el sistema binarioSuma en binarioLa tabla de sumar, en binario, es mucho ms sencilla que en decimal. Slo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:+01

001

110 + 1

Las sumas son evidentes:0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 1Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posicin siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:

010 + 101 = 111 210 + 510 = 710001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 50101011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810

Ejercicio 1Realiza las siguientes sumas de nmeros binarios:111011 + 110 =1000001 = 6510 111110111 + 111001=1000110000=5601010111 + 11011 + 10111=1001001=7310

Sustraccin en binarioLa tcnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operacin en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operacin de restar en decimal para comprender la operacin binaria, que es ms sencilla. Los trminos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.-01

001

11 + 10

Las restas son evidentes:0 0 = 01 0 = 11 1 = 0La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posicin siguiente: 10 - 1, es decir, 210 110 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumndola, a la posicin siguiente. Veamos algunos ejemplos:

111 101 = 010 710 510 = 21010001 01010 = 00111 1710 1010 = 71011011001 10101011 = 00101110 21710 17110 = 4610111101001 101101101 = 001111100 48910 36510 = 12410 Ejercicio 2:Realiza las siguientes restas de nmeros binarios y comprueba los resultados convirtindolos al sistema decimal:111011 110=110101 5310111110111 111001 =110111110 446101010111 - 11011 10011 =101001 4110

Multiplicacin binariaLa multiplicacin en binario es ms fcil que en cualquier otro sistema de numeracin. Como los factores de la multiplicacin slo pueden ser CEROS o UNOS, el producto slo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fciles de aprender:x01

000

101

Veamos, por ejemplo, una multiplicacin:

Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal:3349 * 13 = 43537

Ejercicio 5:Haz las siguientes multiplicaciones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las multiplicaciones en el sistema decimal:10110101000101 x 1011=11111000111110111 = 12747910 10100001111011 x 10011=110000000100100001 = 19689710

Divisin binariaIgual que en el producto, la divisin es muy fcil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.Consideremos el siguiente ejemplo, 42 6 = 7, en binario:

Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo nmero de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la divisin tomando un dgito ms (1001 entre 100).

Si la divisin es posible, entonces, el divisor slo podr estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.

El procedimiento de divisin contina del mismo modo que en el sistema decimal.

Ejercicio 5:Haz las siguientes divisiones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las divisiones en el sistema decimal:10110101000101 1011= 1000001110110100001111011 10011= 1000100001

2.3 Operaciones de adicin y substraccin en los sistemas octal y hexadecimalSuma en octalLa suma en octal se realiza de la siguiente forma:EJ:1 1 2 7 3 21.- El primer digito es 2 nos situamos en 2 en la escala de la +1 2 6 5derecha y contamos 5 hacia abajo nos da de resultado 7; _________2.- Despus seguimos con el segundo digito que es 3 nos4 2 1 7situamos en ese digito en la escala y contamos 6 hacia Abajo como no nos alcanza regresamos al principio y Seguimos contando nos quedaramos en 1 y como ya dimos una vuelta a la escala adems llevamos uno para el siguientedigito;3.- Ahora nos situamos en la escala en el nmero 1 y Empezamos a contar desde ah 7 dgitos y luego 2 dgitos Nos quedaramos en 2, y como dimos una vuelta llevamos 1 4.- Repetimos el paso 3 Suma en hexadecimalLa suma en Hexadecimal se realiza siguiendo los mismos pasos que en el octal solo que en esta tenemos 16 dgitos.

1 7 A + 3 C _________1 B 6 Ejercicio 6:Resuelve las siguientes sumas en octal:2732 + 1265= 421765 + 1773 = 20604256 + 1123= 5401 Ejercicio 7:Resuelve las siguientes sumas en hexadecimal:20F5 + 31B= 24102E70C + 1AA7F = 4918B2DE2 + BA7F= E861Resta en octalLa resta en octal al igual que en decimal se hace pidiendo prestado al digito de la izquierda solo que ahora seria de sumarle 8 en vez de 10.

Ejemplo:

4 7 22-3 no se puede por lo que el 2 le pide prestado una unidad al 7 por lo que sumamos 2 ms 8 de 1 2 3como si estuviramos en base 10 por lo que nos quedara 10, entonces 10-3 nos dara 7; ahora _______Como el 7 perdi una unidad quedara como 6, entonces 6 -2 es 4, y finalmente 4-1 es 33 4 7Resta en hexadecimalLa resta en hexadecimal al igual que en decimal se hace pidiendo prestado al digito de la izquierda solo que ahora seria de sumarle 16 en vez de 10.Ejemplo:

1 7 A1 5 CEjercicio 8: 3 C 8 E Resuelve las siguientes restas en octal: _______ ______546 57 = 4671 3 E C E4751 265 = 4464

Ejercicio 8:Resuelve las siguientes restas en hexadecimal:147C 14D = 132FFFE45 BC7= FF27E

2.3 Elementos del algebra de Boole

A los sistemas digitales que presentan dos estados claramente diferenciados (abierto-cerrado, prendidoapagado, etc.) se les llama sistemas lgicos y requieren de la Lgica Matemtica para su desarrollo. Al conjunto de leyes y reglas de operacin con variables lgicas se denomina lgebra de Boole ya que fue George Boole el que desarroll las bases de la Lgica Matemtica.La Lgica Matemtica manejada en el lgebra de Boole utiliza dos valores (cero, uno) por lo que sus variables solo pueden tomar esos valores. Las operaciones boolenas son posibles a travs de los operadores binarios negacin, suma y multiplicacin, es decir que estos combinan dos o ms variables para conformar funciones lgicas. Una compuerta es un circuito til para realizar las operaciones anteriormente mencionadas.

Teoremas del Algebra de Boole

Los teoremas 7 y 8 son conocidos como Teoremas de Morgan en honor al matemtico que los descubri.

Negacin[editar]

La negacin es unoperadorque se ejecuta, sobre un nicovalor de verdad, devolviendo el valorcontradictoriode la proposicin considerada.

Conjuncin[editar]

Laconjuncines un operador que opera sobre dos valores de verdad, tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdadverdaderocuando ambas proposiciones son verdaderas, yfalsoen cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderasLa tabla de verdad de la conjuncin es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.Disyuncin[editar]

Ladisyuncines un operador que opera sobre dos valores de verdad, tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdadverdaderocuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, yfalsocuando ambas son falsas.La tabla de verdad de la disyuncin es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2000477/lecciones/020101.htm