NOTAS DEL CURSO TERMODINMICA PARA INGENIERAOscar A. Jaramillo SalgadoUNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO Centro de Investigacin en Energa Departamento de Sistemas Energticos Coordinacin de Concentracin Solar Privada Xochicalco S/N. Temixco, Morelos Mxico. 62850. Mayo 3, 2008

ContenidoI

LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINMICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 Introduccin a la termodinmica 1.1 Qu se entiende por termodinmica . . . . . . . . . . . . . 1.2 Deniciones e ideas fundamentales de la termodinmica . 1.2.1 El modelo del Medio Continuo . . . . . . . . . . . 1.2.2 El concepto de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 El concepto de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 El concepto del Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 El concepto de Proceso . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Procesos de Cuasi-Equilibrio . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Ecuaciones de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Cambio de estado de un sistema debido a Calor y Trabajo 1.3.1 Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ley Cero de la termodinmica . . . . . . . . . . . 1.3.3 Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Trabajo y Calor -Cul es cul? . . . . . . . . . . . 1.3.5 Los puntos complicados del captulo 1 . . . . . . .

2 La primera ley de la termodinmica: Conservacin de la Energa 2.1 Primera Ley de la Termodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Corolario de la Primera Ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ejemplos de aplicacin de la Primera Ley, una propiedad llamada Entalpa . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Estrangulamiento de un gas, proceso adiabtico permanente (gas uyendo a travs de una vlvula u otra restriccin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Expansin cuasi-esttica de un gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Llenado de un tanque en estado transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 La primera ley en trminos de entalpa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 El calor especco: la relacin entre el cambio de temperatura y el calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 El calor especco de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Procesos adiabtico reversibles para un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Volumen de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Conservacin de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Conservacin de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.6 2.7 2.8

2.5.3 Temperatura de estancamiento y entalpa de estancamiento 2.5.4 Ejemplo de una turbina de gas . . . . . . . . . . . . . . . . Los puntos complicados del captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . Temperatura crtica y presin crtica . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 La primera ley aplicada a los ciclos en ingeniera termodinmica 3.1 Algunas propiedades de los ciclos en ingeniera; trabajo y eciencia . . . . . . . . 3.2 Representacin generalizada de ciclos termodinmicos . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 El ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Refrigeradores y bombas de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 El motor de combustin interna (ciclo de Otto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Eciencia de un ciclo de Otto ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Trabajo de una mquina, ndice o razn de trabajo por unidad de ujo de 3.6 Ciclo Diesel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Ciclo de Brayton: El ciclo ideal para las mquinas de turbina de gas . . . . . . . 3.7.1 Trabajo y eciencia del ciclo Brayton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Tecnologa y termodinmica de la turbina de gas . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Los puntos complicados del captulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . entalpa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINMICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4949 50 51 53 55 56 56 59 59 59 59 59 60 60 61 62 63 64 67 69 69 71 72 73 74 76 78 78 79 79 80 81

4 Antecedentes de la segunda ley de la termodinmica 4.1 Reversibilidad e irreversibilidad en procesos naturales . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Diferencia entre la expansin libre de un gas y la expansin isotrmica reversible 4.3 Caractersticas de procesos reversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Los puntos complicados del captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 La segunda ley de la termodinmica 5.1 Concepto y enunciados de La Segunda Ley de la Termodinmica (porqu 5.2 Axiomas de las leyes de la termodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Ley de Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Primera ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Segunda ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Procesos reversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Combinado la Primera Ley y la Segunda Ley de la termodinmica . . . . 5.4 Relaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Cambios de la entropa en un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 La ecuacin de Clausius-Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Clculo del cambio de la entropa en algunos procesos bsicos . . . . . . . 5.8 Los puntos complicados del captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

necesitamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

la segunda ley?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Usos de la segunda ley 6.1 Limitaciones en el trabajo que puede proveer una mquina trmica . . . . . 6.2 La escala termodinmica de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Representacin de procesos termodinmicos en coordenadas T s . . . . . 6.4 El ciclo Brayton en coordenadas T s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 La irreversibilidad, el cambio de la entropa y la prdida de trabajo . . . . . 6.6 Entropa y energa no disponible (disponibilidad) . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Algunos comentarios sobre entropa y procesos reversibles e irreversibles . . 6.7.1 Entropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Procesos reversibles e irreversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3 Ejemplos de procesos reversibles e irreversibles . . . . . . . . . . . . 6.8 La Segunda Ley para sistemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Efecto del desvo del comportamiento ideal, (comportamiento real del ciclo) 2

6.9.1 Parmetros que reejan eleccin en el diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.2 Parmetros que reejan la capacidad de disear y llevar a cabo componentes ecientes . . . . . 6.10 Eciencia de ciclos por Segunda Ley de la Termodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Lista de Figuras1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 Sistema, medio, frontera y universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen de Control y Supercie de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equilibrio mecnico y trmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coordenadas termodinmicas e isolneas para un gas ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representacin esquemtica de la Ley Cero de la Termodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trabjo como mecanismo de transferencia de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trabajo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resistencia calentando agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Incremento de la energa interna como consecuencia de la trasnferencia de calor. . . . . . . . . . . . . Proceso adiabtico y permanente de un gas que pasa a travs de una vlvula. . . . . . . . . . . . . . . Equivalncencia del sistema mediante pistones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen de control y sistema para ujo que pasa a travs de un dispositivo de propulsin. . . . . . . . Volumen de control para reconocer el ujo msico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esqumas de volumen de control para la ecuacon de la energa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lneas de ujo y regin de estancamiento. Un volumen de control se puede especicar entre las lneas punteadas y los punetos 1 y 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Turbina Pratt and Whitney 4084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mezcla saturada lquido-vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de fase a una atmosfera de presin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos de connversin de trabajo a calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expansin Isotrmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generalizacin de una mquina trmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trabajo y trasferencia de calor en un ciclo de Carnot entre dos reservorios decalor donde T2 > T1 . . . Operacin de un refrigerador de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ciclo idel de Otto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema del ciclo Otto real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pistn y valvulas en una mquina de combustin de cuatro tiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eciencia thermica del ciclo Otto ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ciclo ideal Diesel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ciclo ideal Brayton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conguracin de ciclo Brayton abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conguracin ciclo Brayton cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eciencia y trabajo de dos ciclos Brayton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rueda con paletas en el estado inical y nal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expansin libre de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expansin contra un piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Restitucin de la expansin libre a su condicin inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trabajo e intercambio de calor en el proceso isotrmico reversible de compresin. . . . . . . . . . . . . Conversin del 100% de trabajo en calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trabajo y trasnferecia de calor en la expansin isotrmica reversible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un pistn que soporta unas pesas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para obtener el mximo de trabajo se requiere que el proceso sea reversible. . . . . . . . . . . . . . . . Transferencia de calor en una diferencia nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rueda con paletas en el estado inical y nal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 8 9 9 11 13 14 14 15 18 20 20 26 26 27 29 30 32 33 35 35 36 37 38 39 40 40 41 41 42 43 44 44 45 46 50 51 51 52 52 52 53 54 54 54 55

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Nicolas Sadi Carnot (1796-1832), ingeniero y ocial en el ejrcito francs. El trabajo de Carnot es ms notable porque fue hecho sin la ventaja de la primera ley, que no fue descubierta hasta 30 aos ms tarde Mquina trmica que viola la Segunda Ley [Kelvin-Plank] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para T1 < T2 , esto resulta imposible (Clausius). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calor transferido desde/hacia el recervorio de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transferencia de calor entre dos reservorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trabajo de un solo depsito del calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los bloques igualan su temeperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los reservorios usados para restablecer el estado inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mquina de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arreglo de mquinas trmicas para mostrar la escala termodinmica de temperatura. . . . . . . . . . . Ciclo de Carnot en coordenadas T s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El ciclo ideal de Brayton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cambio reversible (R) y cambio irreversible (I) entre los estados A y B . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ciclo de turbina de gas (Brayton) que muestra el efecto del alejamiento del comportamiento ideal en el compresor y la turbina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potencia y eciencia adimensionales para una turbina no-ideal de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama T s de un ciclo idela de Brayton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama P v de un ciclo idela de Brayton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Lista de Tablas1 Temperatura y presin crtica y punto de ebullici de gases comunes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

IntroduccinEste curso de Termodinmica est dirigido a estudiantes de ingeniera. El contenido de este curso intenta hecer un resumen de algunos libros comnmente empleados en la enseanza de la termodinmica clsica en ingeniera. As, estas primeras notas tratan a manera de repaso los conceptos que dan sustento a la termodinmica clsica. Es muy importante indicar que gran parte de estas notas han sido tomadas y traducidas libremente del curso de Termodinmica desarrollado por: Professor Ian A. Waitz Professor Edward Greitzer Professor Zoltan Spakovszky quienes son investigadores del Department of Aeronautics and Astronautics, del Massachusetts Institute of Technology. As, una parte signicativa de este curso ha sido tomado, reproducido y traducido de la pgina Thermodynamics http://web.mit.edu/16.unied/www/FALL/thermodynamics/index.html con la aceptacin del profesor Ian A. Waitz a quien agradezco profundamente.

ReferenciasA continuacin se listan algunas obras que servirn de apoyo al estudiante para el desarrollo del curso. La lista se indica por orden de importancia, por lo que es recomendable considerar tener a mano al menos los tres primeros libros. Thermodynamics: An Engineering Approach with Student Resource DVD. Yunus A. Cengel and Michael A. Boles. McGraw-Hill Science/Engineering/Math; 6th edition (September 22, 2006). Fundamentals of Engineering Thermodynamics. Michael J. Moran and Howard N. Shapiro. Wiley; 5th edition (June 11, 2003). Advanced Thermodynamics Engineering (Computational Mechanics and Applied Analysis Series) Kalyan Annamalai and Ishwar K. Puri. CRC (August 31, 2001). Advanced Engineering Thermodynamics. Adrian Bejan. Wiley; 3rd edition (August 18, 2006). 4

Fundamentals of Thermodynamics. Richard E. Sonntag, Claus Borgnakke, and Gordon J. Van Wylen. Wiley; 6th edition (August 26, 2002). Termodinmica. Abbott, M.M., Vanness, H.C., 2a. ed.McGraw-Hill.Mxico:(1991). Understanding Thermodynamics.H.C. Van Ness. Dover Publications; Dover 3rd edition (January 1, 1983). Thermodynamics, H. B. Callen. John Wiley & Sons, Inc. (1970).

Algunas ligas en internet interesantesDe la Mquina de Vapor al Cero Absoluto (Calor y Entropa); Leopoldo Garca-Coln S. http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/05/htm/maqvapor.htm Applied Thermodynamics http://www.taftan.com/thermodynamics/ Termodinmica http://soko.com.ar/Fisica/Termodinamica.htm Termodinmica http://www1.uprh.edu/inieves/macrotema/termodinamica.htm Apuntes de termodinmica elemental; E. Barrull: http://www.biopsychology.org/apuntes/termodin/termodin.htm

Parte I

LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINMICA1 Introduccin a la termodinmicaSi buscamos una denicin sencilla de termodinmica podemos encontrar que la termodinmica es la rama de la fsica que estudia la energa, la transformacin entre sus distintas manifestaciones, como el calor, y su capacidad para producir un trabajo. La termodinmica est ntimamente relacionada con la mecnica estadstica, de la cual se pueden derivar numerosas relaciones termodinmicas. Es importante tener en mente que la termodinmica estudia los sistemas fsicos a nivel macroscpico, mientras que la mecnica estadstica suele hacer una descripcin microscpica de los mismos.

1.1

Qu se entiende por termodinmica

Debe quedar claro que la termodinmica es una ciencia y, quiz la herramienta ms importante en la ingeniera, ya que se encarga de describir los procesos que implican cambios en temperatura, la transformacin de la energa, y las relaciones entre el calor y el trabajo. La termodinmica es una ciencia factual que se encarga de estudiar hechos o acontecimientos auxilindose de la observacin y la experimentacin por lo que tiene que apelar al examen de la evidencia emprica para comprobarlos. As, la termodinmica puede ser vista como la generalizacin de una enorme cantidad de evidencia emprica. Esta ciencia es extremadamente general: no hay hiptesis hechas referentes a la estructura y al tipo de materia de la cual nos ocupamos. Tal vez una de las razones por las que la termodinmica es tan difcil de estudiar sea que la teora empleada para describir los fenmenos es muy general y que puede ser aplicable a sistemas de estructura muy elaborada con todas las formas de propiedades mecnicas, elctricas y trmicas complejas. En el estudio termodinmico es comn idealizar los sistemas para que sus propiedades mecnicas y elctricas sean lo ms triviales posibles. Cuando el contenido esencial de la termodinmica se ha desarrollado, es una cuestin simple extender el anlisis a sistemas con estructuras mecnicas y elctricas relativamente complejas. La cuestin esencial es sealar que las restricciones en los tipos de sistemas considerados no son limitaciones bsicas sobre la generalidad de la teora termodinmica, y slo se adoptan meramente para la simplicacin expositiva. Quiz la complicacin principal del anlisis termodinmico como herramienta en ingeniera se deba a que es prctica comn restringir los estudios a sistemas simples, denidos como sistemas que son macroscpicamente homogneos, isotrpicos, y desprovistos de carga elctrica, que son lo sucientemente grandes para que los efectos de frontera puedan ser ignorados, y que no se encuentran bajo la accin de campos elctricos, magnticos o gravitacionales. Nada ms lejos de la realidad. 5

Bsicamente la termodinmica en la ingeniera se enfoca en la produccin de trabajo, a menudo bajo la forma de energa cintica a partir de calor como resultado de los procesos de la combustin, aunque no siempre es este el caso. ACTIVIDADES Qu es termodinmica? Por qu es importante su estudio? Por qu es tan complicado su estudio?

1.2

Deniciones e ideas fundamentales de la termodinmica

Como todas las ciencias, la termodinmica involucra el modelado matemtico del mundo real. Para que las deducciones matemticas sean consistentes, necesitamos deniciones exactas de los conceptos bsicos. Lo que sigue es una discusin de algunos de los conceptos que necesitaremos. Se recomienda revisar la bibliografa recomendada para ampliar el contenido de las siguientes secciones, en particular se pueden consultar los primeros captulos de los libros [[1]-[3]] 1.2.1 El modelo del Medio Continuo

La materia se puede describir a nivel molecular (o microscpico) usando las herramientas de la mecnica estadstica y de la teora cintica. Para la ingeniera basta conocer la informacin como un promedio, es decir, una descripcin macroscpica y no una descripcin microscpica. Existen dos razones para tal situacin. Primero, una descripcin microscpica de un dispositivo en ingeniera puede acarrear demasiada informacin para ser procesada, tomemos como ejemplo 1 mm3 de aire a temperatura y presin estndar el cual contiene 1016 molculas y cada una de ellas presenta una posicin y una velocidad asociada. En segundo lugar, y ms importante, las posiciones y las velocidades microscpicas resultan generalmente intiles para determinar cmo los sistemas macroscpicos actuarn o reaccionarn a menos claro que se integre su efecto total. La mayor parte de los problemas en ingeniera estn relacionados con dimensiones fsicas y en la mayora de los casos se presume un medio continuo donde las variaciones de las propiedades fsicas que constituyen el medio son tan suaves, que se puede utilizar el clculo diferencial para el anlisis. Se puede decir que el trmino medio continuo se usa tanto para designar un modelo matemtico, como cualquier porcin de material cuyo comportamiento se puede describir adecuadamente por ese modelo. Existen tres grandes grupos de medios continuos: Mecnica del slido rgido, Mecnica de slidos deformables, Mecnica de uidos, (que distingue a su vez entre: Fluidos compresibles y Fluidos incompresibles). Cabe sealar que la termodinmica clsica se reere solamente a modelos de medio continuo. 1.2.2 El concepto de Sistema

Como denicin de sistema se puede decir que es un conjunto de elementos con relaciones de interaccin e interdependencia que le coneren entidad propia al formar un todo unicado. Un sistema puede ser cualquier objeto, cualquier cantidad de materia, cualquier regin del espacio, etc., seleccionado para estudiarlo y aislarlo (mentalmente) de todo lo dems. As todo lo que lo rodea es entonces el entorno o el medio donde se encuentra el sistema.[1] El sistema y su entorno forman el universo, como se muestra en la gura (1) La envoltura imaginaria que encierra un sistema y lo separa de sus inmediaciones (entorno) se llama frontera del sistema y puede pensarse que tiene propiedades especiales que sirven para: a) aislar el sistema de su entorno o para b) permitir la interaccin de un modo especco entre el sistema y su ambiente. Es muy importante denir la frontera del sistema como una supercie y no otro sistema, debe quedar claro que el espesor de una supercie es matemticamente cero por lo que la frontera no puede contener materia u ocupar algn lugar en el espacio. El valor de una propiedad que es medida en el punto exacto de la frontera debe ser por tanto el valor del sistema as como del entorno, ya que despus de todo el sistema y el entorno estn en contacto en ese punto. Los sistemas termodinmicos se pueden clasicar como: aislados, cerrados y abiertos El sistema aislado es el sistema que no puede intercambiar materia ni energa con su entorno y este es un modelo imaginario cuya frontera o lmite del sistema impide cualquier tipo de intercambio como se muestra en la gura (2) El sistema cerrado es el sistema que slo puede intercambiar energa con su entorno, pero no materia, es decir, aquel cuya frontera admite nicamente el intercambio de energa como se muestra en la gura (3). En la gura (4) se muestra lo que se denomina sistema abierto que es el sistema que puede intercambiar materia y energa con su entorno. Al trabajar con dispositivos tales como motores es a menudo til denir el sistema dentro de un volumen identicable ya sea jo o deformable donde se presentan tanto ujo de entrada como ujo de salida. Esto se llama un volumen de control como se muestra en la gura (5) 6

Figure 1: Sistema, medio, frontera y universo

Figure 2: Sistema aislado

Un sistema termodinmico es un sistema macroscpico, es decir, un sistema cuyo detalle de sus caractersticas microscpicas (comprendida la posicin y la velocidad de las partculas en cada instante) es inaccesible y donde slo son accesibles sus caractersticas estadsticas. 1.2.3 El concepto de Estado

La condicin o existencia de un sistema termodinmico en un punto particular y en un determinado instante de tiempo se describe por un conjunto interrelacionado de cantidades suscepetibles de ser medidas llamadas propiedades termodinmicas. Nos referimos a la condicin descrita por dichas propiedades como Estado. Un punto importante que requiere ser resaltado es que no todas las cantidades (valores numricos) que el ingeniero, el fsico o alguien ms, puede calcular o medir en conexin con cierto sistema son propiedades termodinmicas. Las propiedades termodinmicas son slo aquellas cantidades cuyos valores numricos no dependen de la historia del sistema, es decir, son independientes de la ruta seguida entre dos diferentes estados. Las cantidades como presin y temperatura son propiedades termodinmicas ya que sus valores dependen estrictamente de la condicin instantnea durante la cual son medidos. Como ejemplo de cantidades que NO son propiedades termodinmicas son trabajo, calor, transferencia de masa, transferencia de entropa, generacin de entropa, prdida de trabajo disponible, prdida de exerga y muchas otras. Las propiedades termodinmicas cuyos valores dependen del tamao del sistema son llamadas propiedades extensi7

Figure 3: Sistema cerrado

Figure 4: Sistema abierto

vas (v.g. volumen, entropa, energa interna). Las propiedades denominadas propiedades intensivas son aquellas que no dependen del tamao del sistema (v. g. presin, temperatura). Es claro entonces que las propiedades extensivas son aditivas, as, si el sistema se divide en un nmero de subsistemas, el valor de la propiedad para el sistema entero es igual a la suma de los valores de los subsistemas. El volumen es pues una propiedad extensiva. Por otro lado las propiedades intensivas no dependen de la cantidad presente de materia y stas no pueden ser obtenidas como la suma de todos los subsistemas, como es el caso de la temperatura. La coleccin de todas las propiedades intensivas de un sistema constituye un Estado Intensivo Una cierta Fase de un sistema es la coleccin de todas las partes del sistema que tienen el mismo estado intensivo y los mismos valores por unidad de masa de las propiedades extensivas. Por ejemplo, el punto triple del agua donde coexisten tres estados de agregacin molecular, liquido slido y gas (agua, hielo y vapor) presenta la misma fase, por que sus propiedades por unidad de masa son las mismas para los tres estados de agregacin molecular. En el caso de un sistema bifsico, trifsico, o multifsico es posible asociar a cada estado de agregacin molecular las propiedades intesivas que lo describen. Como ejemplo la mezcla vapor, vapor-agua, y agua de un generador de vapor es un sistema multifsico donde a cada estado de agregacin molecular le corresponde una fase. Las propiedades especcas son propiedades extensivas por unidad de masa y comnmente se denotan por letras minsculas. Por ejemplo el volumen especco v es: v= V m (1)

donde V es el volumen y m es la masa del sistema. De esta manera la propiedades especcas son intensivas porque no dependen del tamao del sistema. Las propiedades de un sistema simple son uniformes en todas partes. Sin embargo, las propiedades de un sistema pueden variar de un punto a otro punto. Generalmente podemos analizar un sistema subdividindolo (ya sea conceptual 8

Figure 5: Volumen de Control y Supercie de Control

o en la prctica) en un nmero de sistemas simples en los cuales las propiedades se asumen como uniformes. Es muy importante observar que las propiedades termodinmicas describen un estado solamente cuando el sistema est en equilibrio. Sin embargo cualquier sistema que muestre un conjunto de variables identicables tiene un estado termodinmico, ya sea que est o no en equilibrio [1] y [3]. 1.2.4 El concepto del Equilibrio

Un sistema est en equilibrio termodinmico cuando no se observa ningn cambio en sus propiedades termodinmicas a lo largo del tiempo. Los estados de equilibrio son, por denicin, estados independientes del tiempo (ver gura 6). Un sistema en equilibrio termodinmico satisface: 1. equilibrio mecnico (ningunas fuerzas desequilibradas) 2. equilibrio trmico (ningunas diferencias de la temperatura) 3. equilibrio qumico.

Figure 6: Equilibrio mecnico y trmico Un estado de no equilibrio es un estado con intercambios netos de masa o energa y sus parmetros caractersticos dependen en general de la posicin y del tiempo. Si no dependen del tiempo, pero necesitan la intervencin del entorno 9

para mantener sus valores se dice que se trata de un estado estacionario fuera del equilibrio. 1.2.5 El concepto de Proceso

El concepto de proceso se reere al cambio de estado desde un estado inicial hasta un estado nal . Conocer el proceso signica conocer no slo los estados nal e inicial sino las interacciones experimentadas por el sistema mientras est en comunicacin con su medio o entorno (v. g. transferencia de trabajo, transferencia de calor, transferencia de masa, transferencia de entropa) [4] La trayectoria o ruta del proceso es la historia o la sucesin de estados que ha seguido o recorrido el sistema desde el estado inicial hasta el estado nal. Un ciclo termodinmico es un proceso especial en el cual el estado inicial coincide con el estado nal. Aunque un sistema ha vuelto a su estado original y ha terminado un ciclo, el estado de los alrededores pudo haber cambiado. 1.2.6 Procesos de Cuasi-Equilibrio

Ocurre una transformacin en el sistema si, como mnimo, cambia de valor una variable de estado del sistema a lo largo del tiempo. Si el estado nal es muy prximo al estado inicial, la transformacin es innitesimal. En el estudio termodinmico a menudo estamos interesados en planear procesos entre estados a travs de coordenadas termodinmicas, es decir como una sucesin de estados. Sin embargo, las propiedades que denen solamente un estado cuando el sistema est en equilibrio. Si un proceso implica fuerzas nitas, desequilibradas, el sistema puede pasar a travs de estados fuera del equilibrio que no podemos tratar. Sin embargo, una idealizacin extremadamente til es que solamente existen fuerzas alejadas del equilibrio que son innitesimales y que permiten ver al proceso como si ocurriera en una sucesin o serie de estados de cuasi-equilibrio. Para que esto sea verdad el proceso debe ser lento en lo referente al tiempo necesario para que el sistema llegue al equilibrio internamente. Por ejemplo, para un gas en condiciones de inters para nosotros, una molcula dada puede experimentar cerca de 1010 colisiones moleculares por segundo, de modo que, si diez colisiones son necesarias para llegar al equilibrio, el tiempo de equilibrio es del orden de 109 segundos. Este tiempo es muy pequeo comparado con la escala de tiempo asociada a las propiedades de ujo de uido (es decir, el tiempo necesario para que una partcula uida tenga interaccin signicativa a lo largo de una longitud caracterstica de inters en un dispositivo en ingeniera). Se tienen tambin una gama grande de parmetros donde este tiempo caracterstico de equilibrio es muy pequeo, por lo tanto, es una aproximacin muy buena para observar los procesos termodinmicos como la sucesin de estados del equilibrio [5]. Las gura (7) muestra tres diagramas con el uso de coordenadas termodinmicas donde se dibujan isolneas (lneas a lo largo de las cuales una propiedad es constante). Estos diagramas incluyen lneas constantes de la temperatura (isotermas) en el diagrama p v. Lneas constantes del volumen (isocoras) en el diagrama T p. Lneas de presin constantes, (isobaras) en el diagrama.T v Todas ellas para un gas ideal. Las sustancias verdaderas pueden tener cambios de fase (agua a vapor de agua, o agua a hielo, por ejemplo), las cuales podemos tambin trazar en coordenadas termodinmicos. 1.2.7 Ecuaciones de Estado

Es un hecho experimental que dos propiedades son necesarias para denir el estado de cualquier sustancia pura en equilibrio o que experimenta un proceso permanente o causi-permanente [5]. As para un gas compresible simple como aire, P = P (v, T ) , o bien v = v(P, T ), o bien T = T (P, v) (2) donde T es la temperatura, P la presin y v es el volumen por unidad de masa (el inverso de la densidad 1/).En pocas palabras, si conocemos dos de las propiedades termodinmicas cuales fueran, la tercera est denida. Cualesquiera de estos es equivalente a la ecuacin, f (P, v, T ) = 0 (3) tal que esta es conocida como Ecuacin de Estado. La ecuacin de estado de un gas ideal, la cual es una muy buena aproximacin de un gas real en condiciones que son tpicamente de inters en ingeniera, es (4) P v = RT donde v es el volumen por mol del gas y R es la constante universal de los gases 8.314510 J mol1 K1 .

10

Figure 7: Coordenadas termodinmicas e isolneas para un gas ideal.

Una forma ms comn utilizada en mecnica de uidos es aquella que se obtiene al dividir por el peso molecular M: P v = RT , o bien, P = RT (5) donde R es R/M, la cual presenta diferentes valores para los distintos gases debido a los diferentes pesos moleculares. Por ejemplo, para aire a condiciones normales .R = 0.287 kJ kg1 K1

1.3

Cambio de estado de un sistema debido a Calor y Trabajo

Los cambios de estado en un sistema son producidos por interacciones con el entorno o medio a travs del calor y del trabajo, que son dos distintos modos de la transferencia de energa. Durante estas interacciones es necesario considerar equilibrio termodinmico (un proceso esttico o cuasiesttico) para que las ecuaciones sean validas al relacionar una con otra las propiedades del sistema. 1.3.1 Calor

El calor es una forma de transferencia de energa debido nicamente a la diferencia de temperatura. 1. La transferencia de calor puede alterar el estado del sistema; 11

2. Los cuerpos no contienen calor; el calor es energa en transito y se identica mientras sta pasa a travs de los lmites del sistema; 3. La cantidad de calor necesaria para ir de un estado a otro es dependiente de la trayectoria; 4. Los procesos adibticos son aquellos en los que no se transere calor. La convencin de signos utilizada para una cantidad de calor Q es opuesta a la que se utiliza para el trabajo. El calor aadido a un sistema se da con un nmero positivo, en tanto que el calor extrado de un sistema se da con un nmero negativo. Un depsito de calor, aunque mal empleado el trmino pues el calor no se deposita o almacena ya que siempre est en trnsito, es un cuerpo capaz de absorber o desprender cantidades ilimitadas de calor sin ningn cambio de temperatura. La atmsfera y los ocanos se aproximan a lo que son los depsitos de calor, por lo general utilizados como sumideros de calor. Un horno y un reactor nuclear en funcionamiento continuo son equivalentes a los depsitos de calor. 1.3.2 Ley Cero de la termodinmica

Con el material que hemos discutido hasta ahora, estamos preparados para describir la Ley de Cero de la Termodinmica. Como los otras leyes de la termodinmica que veremos, la Ley de Cero se basa en la observacin y en su comprobacin experimental. Consideremos dos observaciones como punto de partida: 1. Si dos cuerpos estn en contacto trmico por un tiempo los sucientemente largo, ningn cambio futuro observable toma lugar y se dice que el equilibrio trmico prevalece. 2. Dos sistemas que estn individualmente en equilibrio trmico con un tercero, estos dos estn en equilibrio trmico uno con el otro; los tres sistemas tienen el mismo valor de la propiedad llamada temperatura. Estas ideas que relacionan la temperatura y del equilibrio trmico se expresan formalmente en la Ley Cero de la Termodinmica: Ley Cero: Existe para cada sistema termodinmico en equilibrio una propiedad llamada temperatura. La igualdad de la temperatura es una condicin necesaria y suciente para el equilibrio trmico. La Ley Cero dene as una propiedad (temperatura) y describe su comportamiento. Es importante observar que esta ley es verdadera sin importar cmo medimos la propiedad temperatura. Si bien las escalas de temperaturas empricas y la temperatura termodinmica son discutidas ms adelante, presentamos las dos escalas absolutas utilizadas actualmente. La escala Kelvin K = 273.15 + C donde C son los grados centgrados y la escala Rankine R = 459 + F donde F son los grados Fahrenheit La escala de temperaturas ser discutida posteriormente. La Ley del Cero se representa esquemticamente en la gura (8) 1.3.3 Trabajo (7) (6)

Como se indic, el calor es una manera de transferencia de energa en un sistema en virtud solamente de la diferencia de temperatura. Cualquier otro mecanismo de transferencia de energa en un sistema se llama trabajo. El trabajo en termodinmica siempre representa un intercambio de energa entre un sistema y su entorno, y presenta dimensiones de energa Cuando un sistema sufre una transformacin, este puede provocar cambios en su entorno. Si tales cambios implican el desplazamiento (variacin) de las fuerzas que ejerce el entorno sobre el sistema, o ms precisamente sobre la frontera entre el sistema y el entorno, entonces se ha produccin un trabajo. Dependiendo del origen fsico de las fuerzas aplicadas al sistema se distinguen diferentes formas de trabajo realizado. Podemos tener trabajo de movimiento reciproco (v. g. en un pistn-cilindro, levantando un peso), trabajo elctrico y magntico (v. g. un motor elctrico), trabajo qumico, trabajo de la tensin supercial, el trabajo elstico, etc. Por convencin se considera que el trabajo realizado por el sistema es positivo y el trabajo efectuado sobre el sistema es negativo. El trabajo mecnico ocurre cuando una fuerza que acta sobre el sistema lo mueve una cierta distancia. Tal como en mecnica este trabajo se dene por la integral Z W = F dl (8) 12

Figure 8: Representacin esquemtica de la Ley Cero de la Termodinmica

donde F es la componente de la fuerza que acta en la direccin del desplazamiento dl. En forma diferencial esta ecuacin se escribe: W = F dl (9) donde W representa una cantidad diferencial de trabajo. En termodinmica, a menudo se encuentra trabajo efectuado por una fuerza distribuida sobre un rea, por ejemplo, por una presin P que acta a travs de un volumen V , como en el caso de una presin de uido ejercida sobre un pistn. En esta situacin, el trabajo diferencial se expresa ms convenientemente como W = P dV (10)

donde P es la presin externa ejercida sobre el sistema [1]. Se puede pensar que el trabajo mecnico se realiza a travs del desplazamiento de una masa. La gura (9) muestra un sistema formado por un recipiente lleno de agua, un termmetro y una rueda de paletas. Este sistema puede interaccionar con el sistema ms sencillo 0 compuesto por una masa y la aceleracin gravitacional de la Tierra dando por resultado el peso w Los dos sistemas interaccionan puesto que el peso al caer hace que la rueda gire y agite el agua. Esta interaccin es adiabtica, ya que la nica conexin entre los dos sistemas es la cuerda, que slo transmite una cantidad despreciable de calor. El parmetro externo que describe el sistema 0 es la distancia s que recorre el peso.. Si el peso w desciende una distancia s sin variacin de velocidad, la energa media del sistema 0 se reduce en una cantidad ws, que es la disminucin de la energa potencial del peso. Esto resulta del trabajo realizado sobre l por la gravedad (el peso desciende normalmente con velocidad constante, puesto que alcanza muy rpidamente su velocidad lmite. Si la velocidad del peso estuviese cambiando, la variacin de la energa media de 0 vendra dada por la variacin de la suma de las energas cintica y potencial del peso). Como el sistema combinado formado por y 0 est aislado, la energa media del sistema debe aumentar entonces en el proceso en una cantidad ws; es decir, el peso que cae, 0 , realiza un trabajo ws sobre el sistema aislado adiabticamente, . Cuando el trabajo se debe al desplazamiento de las fuerzas de presin exteriores que conllevan un cambio en el volumen del sistema se llama trabajo de expansin y se expresa por W = P dV (11)

[Con medios elctricos es posible realizar trabajo de modo ms conveniente y medirlo a su vez con ms exactitud (el trabajo es realmente mecnico al nal, pero intervienen en l fuerzas elctricas). La gura(10) muestra un dispositivo de este tipo, completamente anlogo al de la gura (9). Aqu el sistema se compone de un recipiente lleno de agua, un termmetro y una resistencia elctrica. A la resistencia puede conectarse una batera de fem conocida V mediante unos conductores lo sucientemente nos para mantener el sistema trmicamente aislado de la batera. La carga q que puede proporcionar la batera es su parmetro externo. Cuando la batera suministra una carga q que pasa a travs de la resistencia, el trabajo realizado por la batera sobre en este proceso es simplemente V q. La 13

Figure 9: Trabjo como mecanismo de transferencia de energa

resistencia juega aqu un papel completamente anlogo a la rueda de paletas del ejemplo anterior, de modo que ambos son simplemente aparatos adecuados sobre los que puede realizarse el trabajo.

Figure 10: Trabajo elctrico Si consideramos una sustancia compresible simple, por ejemplo, un gas (el sistema), ejerciendo una fuerza en los alrededores va un pistn, que se mueve con una cierta distancia dl. El trabajo hecho en los alrededores Walr es dWalr = Fuerza dl Fuerza rea dl = rea = Presin (rea dl) = Presin dVolumen = Px dV por lo tanto: Walr = ZV2

(12)

Px dV

(13)

V1

La presin externa se puede relacionar solamente con la presin de sistema si Px Psis Para que esto ocurra, no debe existir ninguna fuerza de friccin, y el proceso debe ser bastante lento de modo que las diferencias de la presin debido a las aceleraciones no sean signicativas. Es decir requerimos un proceso cuasiesttico px ps . Al considerar

14

Px = Psis dp podemos escribir Walr =

Z

V2

V1

Px dV = (Psis dP ) dV =

Z

V2 V1

(Psis dV dP V P )

(14)

Por lo tanto, cuando dp es pequeo el proceso es cuasiesttico, W = ZV2

Psis dV

V1

y el trabajo hecho por el sistema es igual que el trabajo hecho en los alrededores. Bajo estas condiciones, decimos que el proceso es reversible. Cabe sealar que un proceso es reversible si su direccin puede invertirse en cualquier punto mediante un cambio innitesimal en las condiciones externas. Para los procesos reversibles es posible basar los clculos en las propiedades del sistema (con independencia de los del entorno). En los procesos reversibles, el sistema nunca se desplaza ms que diferencialmente de su equilibrio interno o de su equilibrio con su entorno. Las condiciones para la reversibilidad son 1. Si se invierte el proceso, el sistema y los alrededores sern vueltos a los estados originales. 2. Para invertir el proceso que necesitamos aplicar solamente un innitesimal dp. Un proceso reversible se puede alterar en la direccin por los cambios innitesimales en las condiciones externas Es importante tener en mente que 1. Las propiedades dependen solamente del estado, pero el trabajo es dependiente de la trayectoria (depende de la trayectoria tomada entre los estados); por lo tanto el trabajo no es una propiedad termodinmica, y por tanto nos es una variable de estado. 2. Cuando decimos W12 el trabajo entre los estados 1 y 2, necesitamos especicar la trayectoria. R 3. Para los procesos irreversibles, no podemos utilizar P dV y el trabajo debe un dato del problema o debe ser encontrado por algn otro mtodo. 1.3.4 Trabajo y Calor -Cul es cul?

El calor, al igual que el trabajo, se considera en termodinmica como energa en trnsito a travs de la frontera que separa a un sistema de su entorno. Sin embargo, a diferencia del trabajo, la transferencia de calor se origina por una diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno y el simple contacto es el nico requisito para que el calor sea transferido por conduccin. No se considera el calor que se almacena en un sistema. Debe quedar claro que las unidades de calor son las de trabajo y energa Entre trabajo y calor podemos tener uno, el otro, o ambos: depende de qu traspase el lmite o la frontera del sistema (as cmo denimos nuestro sistema). Por ejemplo si consideramos un resistor que est calentando un volumen de agua. como se muestra en la gura (11).

Figure 11: Resistencia calentando agua 1. Si el agua es el sistema, entonces es el estado del sistema cambiar por la transferencia de calor suministrada por el resistor. 2. Si el sistema es el agua y el resistor combinados, entonces el sistema cambiar por el trabajo elctrico. 1.3.5 Los puntos complicados del captulo 1

En relacin con las propiedades termodinmicas, comnmente existe confusin sobre cul propiedad es extensiva y cul es intensiva. Por ejemplo, la energa, el volumen, la entalpa son propiedades extensivas. El valor de dichas propiedades no slo depende de la temperatura o de la presin, sino tambin de la masa del sistema. Consideremos 15

la energa interna de una masa de dos kilogramos de aire que resulta ser dos veces la energa interna de solo un kilogramo de aire. Si consideramos ahora por separado medio kilogramo de aire y kilogramo y medio de aire, ambos con presiones y temperaturas iguales, al unirlos en un solo sistema el volumen y la energa interna se sumarn ya que son propiedades extensivas, mientras que la temperatura y la presin se mantendrn sin cambio (ya que no se pueden sumar) para describir al nuevo sistema que est compuesto por los dos kilogramos de aire. Muy a menudo resulta til trabajar en trminos de propiedades que no dependan de la masa o extensin del sistema, y para este propsito utilizamos propiedades pacicas como: el volumen especco, la energa especca, la entalpa especca, etc., que son los valores del volumen, de la energa, y de la entalpa por unidad de masa. Para un sistema de masa m las relaciones entre las propiedades especicas y las propiedades extensivas son V = mv, U = mu, H = mh, para el volumen, la energa interna y la entalpa, respectivamente. Otro punto importante de este captulo es saber Cundo se ha realizado trabajo?. Podemos pensar en lo siguiente, toda aquella transferencia de energa que no ha sido provocada por diferencia de temperatura es a lo que llamamos trabajo en termodinmica. Puede resultar un poco ambigua esta respuesta, pero es muy til al momento de analizar un sistema y llevar a cabo un balance de energa y masa. ACTIVIDADES Explica el concepto de temperatura Cmo se mide la temperatura y qu mide? Cul es el principio bsico de funcionamiento de un termmetro de mercurio? Indica y explica en trminos generales el funcionamiento de otros dos tipos de termmetros Realiza un esquema comparativo entre la escala Celcius, Fahrenheit y Kelvin. En cualquier texto de fsica aparece el equivalente mecnico del calor (1 cal = 4,186 J) que J. Joule logr medir. Pero Qu experimento realiz para tal efecto?. Se recomienda visitar la pgina: http://www.sc.ehu.es/sbweb/sica/estadistica/otros/joule/joule.htm

2

La primera ley de la termodinmica: Conservacin de la Energa

En las secciones anteriores hemos hablado de calor y trabajo, y cmo estos mecanismos pueden provocar cambios en el estado de un sistema. En las siguientes secciones presentamos La Primera Ley de la Termodinmica para cuanticar esos cambios.

2.1

Primera Ley de la Termodinmica

Comencemos con una propiedad de llamada Energa. El trmino energa tiene diversas acepciones y deniciones, relacionadas con la idea de una capacidad para realizar trabajo, transformar, poner en movimiento. Todos los cuerpos, pueden poseer energa debido a su movimiento, a su composicin qumica, a su posicin, a su temperatura, a su masa y a algunas otras propiedades. Es muy difcil dar una denicin concreta y contundente de energa, ya que la energa no es un ente fsico real, ni una "sustancia intangible" sino slo un nmero escalar que se le asigna al estado del sistema fsico, es decir, la energa es una herramienta o abstraccin matemtica de una propiedad de los sistemas. Podemos medir las interacciones en el cambio de energa de un sistema, como su velocidad, su temperatura, su carga elctrica. Debe quedar claro que la energa es una propiedad y sus diferentes manifestaciones es lo que comnmente llamamos diferentes formas de energa. Es un error, tal vez con poca importancia pero muy recurrente, hablar de energas, como ejemplo Energas Renovables, ya que slo existe el concepto energa (de manera singular) lo correcto ser Fuentes Renovables de Energa. El uso de la magnitud energa en trminos prcticos se justica porque es mucho ms fcil trabajar con magnitudes escalares, como lo es la energa, que con magnitudes vectoriales como la velocidad y la posicin. As, se puede describir completamente la dinmica de un sistema en funcin de las energas cintica, potencial y de otros tipos de sus componentes. En la prctica, en las situaciones no-relativistas, se tiende, en primera aproximacin (normalmente muy buena), a descomponer la energa total en una suma de trminos que se llaman las diferentes formas de la energa. La energa potencial y la energa cintica son dos elementos a considerar, tanto en la mecnica como en la termodinmica. Estas formas de energa se originan por la posicin y el movimiento de un sistema en conjunto, y se conocen como la energa externa del sistema. Sin duda, un tema muy importante en la termodinmica es analizar la energa interior de la materia, energa asociada con el estado interno de un sistema que se llama energa interna. Cuando se especica un nmero suciente de coordenadas termodinmicas, como por ejemplo, temperatura y presin, se determina el estado interno de un sistema y se ja su energa interna [1].

16

En general (para un sistema no-relativista), la energa total, ET , de un sistema puede descomponerse en la energa inherente de la masa Em , la energa cintica Ek , la energa potencial Ep , y la energa interna U , esto es, ET = Em + Ek + Ep + U donde: Em = mc2 Ek = (16) (15)

1 mv 2 (17) 2 la energa potencial Ep depende de los campos externos a los que est sometido el sistema y est dada como funcin de la posicin. La energa interna U que considera la energa de las partculas que constituyen el sistema y sus interacciones a corta distancia. En realidad, esta descomposicin permite distinguir entre las formas de energa mecnica (Em , Ek y Ep) y una forma de energa termodinmica (U ) que tiene sentido para un sistema estadstico constituido por un gran nmero de partculas. El cambio de energa total del sistema puede descomponerse en E = Ek + Ep + U (18)

donde Ek y Ep representan el cambio de su energa externa (cintica y potencial respectivamente), y U representa el cambio de su energa interna, dada por la energa cintica y potencial de las molculas, tomos y partculas subatmicas que constituyen el sistema.[1]. Como se indic, la energa interna de un sistema U , tiene la forma de energa cintica y potencial de las molculas, tomos y partculas subatmicas que constituyen el sistema, es decir, U = Ekint + Epint donde la energa cintica interna es la suma de la energa cintica de todas las partculas del sistema, X 1 2 mj vj (20) j2 y la energa potencial interna es la suma de la energa potencial debida a la interaccin de todas las partculas entre si, X Epij (21) Epint = Ekint =ij

(19)

Pero qu hay respecto a la medicin de la energa. Slo las diferencias de energa, en lugar de los valores absolutos de energa, tienen signicado fsico, tanto a nivel atmico como en sistemas macroscpicos. Convencionalmente se adopta algn estado particular de un sistema como estado de referencia, la energa del cual se asigna arbitrariamente a cero. La energa de un sistema en cualquier otro estado, relativa a la energa del sistema en el estado de referencia, se llama la energa termodinmica del sistema en ese estado y se denota por el smbolo U . [6]. Con base en la observacin se llega a las siguientes aseveraciones 1. Existe para cada sistema una propiedad llamada energa E. La energa del sistema se puede considerar como la suma de la energa interna U , de energa cintica Ek , de energa potencial Ep , y de energa qumica Ech . a). As como la Ley de Cero deni la propiedad temperatura la Primera Ley dene la propiedad llamada energa. b). En termodinmica, comparado con lo que comnmente se discute en los curso de fsica o dinmica, se utilizan los trminos energa interna y la energa qumica para describir el sistema en estudio. Cabe sealar que este curso deja de lado la energa qumica pero no descuidaremos la energa interna. En la gura (??) se muestra el movimiento aleatorio o desorganizado de las molculas de un sistema. Puesto que el movimiento molecular es sobre todo una funcin de la temperatura, la energa interna es a veces llamada energa trmica. La energa interna por unidad de masa u, es una funcin del estado del sistema. As u = u(p, T ) u = u(p, v) u = u(v, T )

(22)

17

Figure 12: Incremento de la energa interna como consecuencia de la trasnferencia de calor.

Recordemos que para sustancias puras el estado entero del sistema est especicado si se consideran dos propiedades. 2. El cambio en energa de un sistema es igual a la diferencia entre el calor Q agregado al sistema y el trabajo W hecho por el sistema, E = Q W (las unidades son Joules, J ) (23) donde E es la energa del sistema, Q es el calor suministrado al sistema, y W es el trabajo hecho por el sistema, recordemos que (24) ET = U + Ek + Ep + ... + ... a). Al igula que la Ley Cero, La primera Ley describe el comportamiento de esta nueva propiedad, la energa [5]. b). La ecuacin (23) tambin se puede escribir con base en unidad por masa, tal que e = q w [J kg1 ] (25)

c). En muchas situaciones la energa potencial, la energa cintica, y la energa qumica del sistema son constantes, entonces E = U (26) y por tanto podemos escribir U = Q W u = q w

(27)

d). Se observa que Q y W no son funciones de estado, slo U , que es consecuencia del movimiento molecular y que depende del estado del sistema. La energa interna U no depende de la ruta o trayectoria que sigui el sistema entre el estado inicial y el estado nal. Se debe tener en mente que U es independiente de la ruta o trayectoria mientras que Q y W no los son. Esta diferencia se enfatiza matemticamente escribiendo dU = Q W du = q w

(28)

donde el smbolo se utiliza para denotar que estos son diferenciales inexactas pues dependen de la trayectoria. Para la diferencial dU esta representa un cambio innitesimal en el valor de U y la integracin da una diferencia entre dos valores tal que Z U2 dU = U2 U1 = U (29)U1

mientras que denota una cantidad innitesimal y la integracin da una cantidad nita tal que Z Q = Q y Z W = W

(30)

(31)

5. En la convencin de signos

18

Q se dene como positivo si se transere hacia el sistema, si el calor se transere del sistema hacia los alrededores Q es negativa W se dene como positivo si el trabajo es hecho por el sistema, mientras que si el trabajo se hace sobre el sistema W ( desde el medio hacia el sistema) se dene como negativo. 6. En los procesos cuasi-estticos podemos substituir W = Psis dV dU = Q P dV du = q P dv 7. La Primera Ley de la Termodinmica impide la existencia de movimientos perpetuos de primera especie, es decir, aquellos que se alimentan de la energa que ellos mismos producen, sin necesidad de ningn aporte exterior. La Primera Ley de la Termodinmica identica el calor como una forma de energa. Esta idea, que hoy nos parece elemental, tard mucho en abrirse camino y no fue formulada hasta la dcada de 1840, gracias a las investigaciones de Mayer y de Joule principalmente. Anteriormente, se pensaba que el calor era una sustancia indestructible y sin peso (el calrico) que no tena nada que ver con la energa. ACTIVIDADES Cules son las convenciones de signo para el trabajo y el calor en la primera ley? Por qu se denen as estas convenciones? Cundo ocurre que E U ? Ejemplica un movil perpetuo de primera especie y explica por que viola la primera ley de la termodinmica.

2.2

Corolario de la Primera Ley

El trabajo realizado en cualquier proceso adiabtico (Q = 0) es una funcin de estado. Podemos escribir la primera ley, jando el trmino de transferencia de calor igual con cero, tal que U = W (32)

Puesto que U depende solamente del cambio de estado, W se puede encontrar como una funcin de estado para este caso particular. Para un proceso cclico la transferencia de calor y el trabajo son numricamente iguales ya que Uf inal = Uinicial por lo tanto U = 0 y en este caso particular I Q=W I Q = W (34) (33)

(35)

2.32.3.1

Ejemplos de aplicacin de la Primera Ley, una propiedad llamada EntalpaEstrangulamiento de un gas, proceso adiabtico permanente (gas uyendo a travs de una vlvula u otra restriccin)

En la gura (13) se muestra un ducto con un gas que uye en la direccin de las echas y que pasa a travs de una vlvula. Deseamos saber la relacin entre las propiedades agua-sarriba de la vlvula, denotado con el sibndice "1" y las propiedades aguas-abajo denotas por el subndice "2". Para analizar esta situacin, comencemos por denir el sistema como una unidad de masa de gas en los siguientes dos estados (se debe tener en mente que la correcta eleccin del sistema es crtico para solucionar de manera ecaz el problema). En el estado inicial el gas est inicialmente aguas-arriba de la vlvula y apenas a travs de sta. En el estado nal el gas est aguas-abajo de la vlvula y apenas a travs de sta. Las guras a la izquierda del gura () muestran la conguracin del gas antedicha En trminos de comportamiento del sistema, podemos sustituir el ujo de uido del sistema por dos pistones que ejercen la misma presin que el uido ejerce, como se indica en la gura (). 19

Figure 13: Proceso adiabtico y permanente de un gas que pasa a travs de una vlvula.

Figure 14: Equivalncencia del sistema mediante pistones

El proceso es adiabtico, y considerando que los cambios en la energa potencial y cintica son insignicantes, podemos escribir la primera ley como: U = W (36) y tratndose de un proceso reversible podemos escribir: W = P2 V2 P1 V1 tal que U2 + P2 V2 = U1 + P1 V1 (38) (37)

Es decir, el estado inicial y el estado nal del sistema tienen el mismo valor que la cantidad U + P V. Para el caso estudiado ya que nos ocupamos en un anlisis por unidad de masas, el valor es u + P v. Esta cantidad es denida como "Entalpa" y se denota generalmente por "H" y en trminos de propiedades especcas, la entalpa por unidad de masa es h = u + P v = u + P/ (39) La entalpa es una funcin de estado del sistema y H presenta unidades de energa como Joules o bien h en Joules por kilogramo. En trminos simples, podemos pensar en la entalpa como sigue. Cuando evaluamos la energa de un objeto de volumen V, tenemos que tener presente que el objeto tuvo que "empujar" los alrededores para ocupar su propio espacio. Con la presin P en el objeto, el trabajo requerido para hcer un lugar para s mismo est dado por P V . .Esto ocurre para cualquier objeto o sistema y no se puede despreciar (la fuerza de ejercida por la atmsfera en un metro cuadrado es equivalente al de una masa de 10 toneladas). As, la energa total de un cuerpo es su energa interna ms la energa adicional que tiene el volumen V a una presin P dada. Llamamos a esta energa total la entalpa H 2.3.2 Expansin cuasi-esttica de un gas

Consideremos ahora un proceso cuasiesttico a presin constante Podemos escribir la primera ley en trminos de los estados inicial y nal del proceso (40) Q = (U2 U1 ) + W y escribiendo el trabajo en trminos de las propiedades del sistema donde P 2 = P 1 = P , tal que Q = (U2 U1 ) + P (V2 V1 ) 20 (41)

agrupando trminos podemos describir en trminos de la entalpa Q = U2 + P V2 (U1 + P V1 ) = H1 H2 2.3.3 Llenado de un tanque en estado transitorio

(42)

Otro ejemplo de un proceso de ujo, esta vez para un ujo inestable, es el proceso transitorio de llenar un tanque cuyo estado inicial est evacuado. Este es llenado con aire como atmsfera circundante, que est a una presin P0 y una temperatura T0 . La conguracin se muestra en la gura ()

A un tiempo dado, la vlvula del tanque se abre y el aire exterior entra al tanque. Observe que en el estado inicial se tiene al sistema totalmente fuera del tanque, mientras que en el estado nal el sistema est totalmente dentro del tanque. La energa cintica del estado inicial y del estado nal es insignicante, al igual que el cambio en la energa potencial, as que la primera ley la escribimos como: U = W El trabajo realizado en el sistema, de magnitud P0 V0 donde V0 es el volumen inicial del sistema, as que U = P0 V0 o en trminos por unidad de masa (U = mu, V0 = mv0 , donde m es la masa del sistema) u = uf inal ui = P0 V0 El valor nal de la energa interna es uf inal = ui + P0 V0 = hi = h0 Para un gas ideal con capaciadad calorca especca u = cv T, h = cp T (47) (48) (45) (44) (43)

(46)

cv Tf inal = cp T0 Tf inal =

cp T0 = T0 (49) cv Note que la temperatura nal es mayor que el aire exterior. Puede ser til recapitular cmo solucionamos este problema. Hay bsicamente cuatro pasos: 1. Denicin de sistema 2. Uso de La Primera Ley 3. El trmino de ecuacin de trabajo P dV 4. Suponiendo el uido como un gas ideal con calores especcos constantes. De los ejemplos anteriores, as como un gran nmemro de situaciones ms complejas, podemos considerar que la cantidad h = u + P v ocurre de manera natural en problemas de ujo del uido. Ya que sta aparece frecuentemente es comn encontrar valores tabulados como funcin de la temperatura y la presin para varios uidos de trabajo. 21

2.3.4

La primera ley en trminos de entalpa

Comenzamos con la primera ley en forma diferencial dU = Q W (50)

valida para cualquier proceso, despreciando el cambio en la energa cintica Ek y el de la energa potencial Ep , y substituimos P dV para establecer dW cuando se asume un proceso reversible. dU = Q P dV (51)

Un punto complicado, y que ser claricado posteriormente, es que todos los procesos reversibles son cuasiestticos pero no todos los procesos cuasiestticos son reversibles. [4]. Un proceso sucientemente lento tal que se aplica la ecuacin Wrev = P dV (52)

se denomina frecuentemente cuasiesttico, y los estados a largo de su trayectoria de tal proceso son referidos como estos cuasiestticos. Si el proceso es sucientemente lento as que ste pude ser visto como una secuencia de estados de equilibrio, entonces el proceso es reversible. Si por alguna razn, los estados intermedios visitados durante el proceso cuasiesttico no son mantenidos como estados de equilibrio (i.e. si cada estado no puede ser representado como un punto en el plano bidimensional como el diagrama P v) entonces el proceso es no reversible y se le denomina proceso irreversible. La denicin de entalpa H = U + PV (53) pude ser diferenciada aplicando la regla de la cadena al termino P V dH = dU + P dV + V dP sustituyendo dU = Q W tomada de la Primera Ley, obtenemos: dH = Q W + P dV + V dP valida para cualquier proceso. Por otro lado, para cualquier proceso reversible tal que W = P dV se tiene dH = Q + V dP (56) (55) (54)

2.4

El calor especco: la relacin entre el cambio de temperatura y el calorQ = CT (57)

El incremento en la temepratura debido a la transferida de calor depende de la sustancia, en general,

donde C es una constante que depende de la sustancia de que se trate. Podemos determinar dicha constante para cualquier sustancia si conocemos la cantidad de calor transferido y su cambio de temperatura. Si bien el calor depende de la trayectoria debemos especicar plenamente el proceso con la nalidad de determinar C. Para determinar la transferencia de calor en el clculo de C se tienen dos procesos muy tiles: proceso a presin constante y proceos a volumen constante. Designamos la capacidad calorca a presin constante mediante Cp , y la capacidad calorca a volumen constante mediante Cv o bien como calor especco como cp y cv (por unidad de masa). 1. El calor especco a volumen constante Recordemos que si se tienen cualesquiera dos propiedades del sistema, entonces el estado del sistema est determinado completamente. Es decir podemos escribir u = u (T, v) u = u (P, v) (58) u = u (P, T ) v:

Si consideramos u = u (T, v) y utilizamos la regla de la cadena para describir du con respeco a los cambios de T y u u dT + dv (59) du = T v v T 22

Para un proceso a volumen constante el segundo trmino es cero puesto que no hay cambio en volumen dv = 0, tal que u du = dT (60) T v Ahora si escribimos la primera ley para un proceso reversible, con dw = P dv, du = q P dv vemos que el segundo trmino es tambin cero si el proceso es a volumen constante, as du = q Al combinar las escuaciones anteriores .(60 y 62) podemos escribir que u dT q = T v y cambiando u T = q T (62) (61)

(63)

(64)

v

v

En este caso, cualquier aumento de la energa es debido solamente a la transferencia de energa como calor. Podemos por lo tanto utilizar nuestra denicin del calor especco de la ecuacin (57) para denir el calor especco para un proceso a volumen constante tal que, u (65) cv T v Si escribimos h = h (T, P ), y consideramos un proceso a presin constante de la , anlogamente podemos obtener el calor especco a preson constante, as h cp (66) T p En la obtencin cv , consideramos solamente un proceso a volumen constante, por lo tanto el nombre, calor especco a volumen constante. Sin embargo, es ms til pensar cp en trminos de su denicin como cierta derivada parcial, que es una propiedad termodinmica, ms que una cantidad relacionada con la transferencia de calor en un proceso especial. De hecho, las derivadas antedichas se denen en cualquier punto de cualquier proceso cuasiesttico tanto si el proceso es a volumen constante o presin constante. Los nombres calor especco a volumen constante y calor especco en la presin constante son mal empleados ya que el cv y el cp son en realidad propiedades termodinmicas de una sustancia y por la denicin dependen solamente el estado del sistema por loq ue no debera incluir la palabra "calor". Estas propiedades son extremadamente importantes y sus valores se han determinado experimentalmente en funcin del estado termodinmico para un nmero enorme de substancias compresibles simples. Para recapitular: h u y cv (67) cp T p T v o bien Cp 2.4.1 El calor especco de un gas ideal P V = N RT (69) H T y Cv U T (68)

p

v

La ecuacin estado para un gas ideal es donde N es el nmero de moles del gas en el volumen V . El comportamiento del gas ideal representa una aproximacin extremadamente buena al comportamiento de gases verdaderos para una amplia variedad de usos. Sin embargo, se debe tener en mente, que describir una sustancia como un gas ideal constituye un modelo de la situacin fsica real, y que los lmites de la validez del modelo deben estar siempre presentes. Uno de los aspectos importantes de un gas ideal es que su energa interna depende solamente de su temperatura. (Par ahora, esto se puede contemplar como otro aspecto del modelaje de sistemas reales que el gas ideal representa,

23

pero se puede demostrar que sta es una consecuencia de la forma de la ecuacin estado.) Ya que u depende solamente u u de T de la ecuacin du = T v dT + dv podemos escribir v T u du = dT (70) T v o bien du = cv (T ) dT (71) donde cv (T ) indica que el calor especco a volumen constante es slo funcin de la temperatura. La entalpa al igual que la energa interna slo depende de la temperatura para un gas ideal. Anlogamente se pude mostrar que h dT (72) dh = T p y por tanto dh = cp (T ) dT (73) Por otro lado, si estamos interesados en cambios nitos de la energa interna o de la entalpa, integramos tal que , Z T2 u12 = cv (T ) dT (74)T1

y h12 =

Z

T2

cp (T ) dT

(75)

T1

Sobre cambios de temperatura pequeos (T 200K) se asume que cp y cv son constantes. Adems, existe un amplio rango sobre el cual los calores especcos no varan signicativamente con respecto a temperatura. Es a menudo til tratarlas como constantes. du = cv dT u2 u1 = cv (T2 T1 ) y dh = cp dT h2 h1 = cp (T2 T1 )

(76)

(77)

Estas ecuaciones son tiles para calcular las diferencias de energa interna o las diferencias de la entalpa, pero se debe tener claro que su formulacin es solamente si el calor especco es constante. Podemos relacionar los calores especcos de un gas ideal a la constante de gas real como sigue. Escribimos la primera ley en trminos de energa interna, q = du + dW (78) y asumimos un proceso reversible que escribimos en trminos de la entalpa q = du + vdP Igualando las dos primera expresiones de arriba y suponiendo un gas ideal obtenemos que cp dT vdP = cv dT+ P dv que al combinar trminos obtenemos (cp cv ) dT = d (P v) tal que d (P v) dT Ya que de la ecuacin de estado tenemos P v = RT , podemos escribir (cp cv ) = cp cv = R 24 (82) (81) (80) (79)

(83)

o bien de kmol de gas Cp Cv = R Una expresin que se utiliza comnmente es la razn entre los calores especcos y que se dena como = cp cv (85) (84)

En general para las sustancias u y h dependen de la presin as como de la temperatura, y las relaciones antedichas no son aplicables. A este respecto, el gas ideal es un modelo muy especial. En resumen, los calores especcos son una propiedad termodinmica y se pueden utilizar aunque los procesos no sean a presin constante o volumen constante. Las relaciones simples entre los cambios en energa (o entalpa) y la temperatura son una consecuencia del comportamiento para un gas ideal que paccamente depende solamente de la temperatura, y no son verdades para un substancias ms complejas. 2.4.2 Procesos adiabtico reversibles para un gas ideal

De la primera ley con Q = 0, du = cv dT y Wrev = P dv du + P dv = 0 y usando la denicin de entalpa dh = (du + P dv) + vdP los trminos entre parntesis son ceo para un proceso adiabtico,as que cv dT = P dv cp dT = vdP combinando las ecuaciones antedichas obtenemos P dv = vdP y al integrar entre los estados 1 y 2 obtenemos ln o de manera equivalente v2 v1 = ln P2 P1 (91) o bien dv dP = v P (90) (88) (89) (87) (86)

P2 v2 =1 P1 v1

(92)

Podemos substituir para P o v en el resultado anterior usando la ley de gas ideal y mostrar que P2 = P1 T2 T1 1

y

T2 = T1

v2 v1

1

(93)

Utilizaremos las ecuaciones desarrolladas para relacionas la presin y la temperatura una con otra en procesos adiabticos cuasiestticos (por ejemplo, este tipo de proceso es un idealizacin de lo que sucede en compresores y turbinas). ACTIVIDADES 1. Considere un diagrama P v para un sistema cerrado. Describa las trayectorias o rutas que el sistema seguir si se expande desde un volumen v1 hasta un volumen v2 para proceso isotrmico, un proceso cuasiesttico y un procesa adiabtico. 2. Para qu proceso el sistema realiza ms trabajo? 3 Para qu proceso hay intercambio de calor? Se agrega o se quita? 4. Es el estado nal del sistema el mismo despus de cada proceso? 5. Obtenga las expresiones para el trabajo realizado por el sistema para cada uno de los procesos antedichos.

25

2.5

Volumen de Control

Las leyes termodinmicas (as como las leyes de Newton) son utilizadas para un sistema, una cantidad especca de materia. Ms an, en problemas de propulsin y generacin de potencia, estamos interesados en qu sucede en un volumen dado, por ejemplo en un motor de cohete o un motor de jet a travs de los cuales se tiene una cierta razn de ujo msico. Podemos tambin estar interesados en el intercambio de calor y trabajo que entra o sale del sistema. Por tal razn, la forma del volumen del control del sistema para plantear las encuaciones gobernantes resulta de gran importancia. Una representacin esquemtica de un volumen de control que pasa a travs de una turbina se muestra en la gura (). Ms que observar una partcula de la masa que se mueve a travs de la turbina, resulta ms conveniente observar el volumen ocupado por la turbina y denir este como volumen de control. Una vez especicada la forma del volumen de control se establecen las leyes termodinmicas, como se muestra en la siguientes secciones.

Figure 15: Volumen de control y sistema para ujo que pasa a travs de un dispositivo de propulsin.

2.5.1

Conservacin de la masa

Para el volumen del control mostrado, la razn del cambio de masa dentro del volumen est dada por la diferencia entre el ujo msico de entrada y el ujo msico de salida. Para un nico ujo que entra al volumen de control y un nico ujo de salida podemos escribir: dmvc = min mout (94) dt Si la masa dentro del volumen de control cambia con el tiempo es porque se agrega o se quita una cierta cantidad de masa En el caso especial de un ujo constante d/dt = 0, por lo tanto min mout = m

(95)

Figure 16: Volumen de control para reconocer el ujo msico.

2.5.2

Conservacin de la energa

La primera ley de la termodinmica se puede escribir como una razn de cambio con respecto al tiempo, esto es dE =QW dt

(96)

donde

Q = lim

dt0

Q dt

(97)

26

es la razn de transferencia de calor total del sistema y W = lim

dt0

W dt

(98)

es la razn de transferencia de trabajo total hecho por el sistema Para obtener la primera ley como una ecuacin de la razn de cambio con respecto al tiempo en un volumen del control procedemos como con la ecuacin conservacin de masa. La idea fsica es que cualquier razn de cambio de energa en el volumen del control se debe al ujo de energa que entra o sale del volumen de control. La transferencia de calor y el trabajo estn ya incluidos y cualquier otra contribucin se debe nicamente al ujo msico de entrada y salida que lleva energa con l . La gura (17) muestra dos diagramas de esta idea. As, la expresin que describe la razn del cambio de energa en el volumen de control es (Razn del cambio de energa en el V.C.) = (Razn de calor agregado al V.C) (Razn de trabajo realizado) + (Razn de ujo de energa que entra al V.C.) (Razn de ujo de energa que sale del V.C.)

(99)

Figure 17: Esqumas de volumen de control para la ecuacon de la energa. El uido que entra y sale presenta una cantidad de energa por unidad de masa dado por e=u+ c2 + gz 2 (100)

donde c es la velocidad del uido relativa a un sistema de coordenadas, g es la gravedad y z la altura. Cabe mencionar que se ha despreciando la energa qumica en el ujo. Adems, siempre que el lquido entre o salga del volumen del control hay un trmino de trabajo asociado con la entrada o la salida. El ujo msico me que sale empuja los alrededores del mismo ujo, haciendo trabajo sobre el medio. El ujo msico que entra mi es empujado hacia el volumen de control por lo que recibe trabajo de los alrededores. La razn del trabajo a la salida est dado por el producto de la presin y la razn a del ujo de salida, esto es dWf lujo = P vdme (101)

Al incluir todos los posibles ujos de energa (calor, trabajo a travs de un eje (shaft work), trabajo cortante (shear work), trabajo por un psiton (psiton work)), la primer ley la podemos escribir como X X X X d X Evc = Qvc + W shaf t + W shear + W piston dt 2 X X c + gz + W f lujo + m u+ 2

(102)

P donde incluye los signos asociados con la direccin del ujo de energa. Recordemos la convencin de signos, cuando se agrega calor al sistema entonces asociamos a ste un signo positivo, si se extrae calor o trabajo desde el sistema entonces el signo es negativo. Observe que esto es consistente con E = Q W , donde W es realizado por el sistema hacia el ambiente, as que el trabajo se dirige hacia afuera del sistema. 27

Para obtener la entalpa podemos combinar la energa interna especca u, en e y el trmino de ujo de trabajo especco, P v, tal que la energa total asociada al ujo msico es e Pv = u + donde ho es denominada como metalpa. As, la primera ley se puede escribir como X X X X d X Evc = Qvc + W shaf t + W shear + W piston dt X + mho c2 c2 + gz + P v = h + + gz = ho 2 2 (103)

(104)

Para las aplicaciones de este curso, no consideraremos el trabajo cortante (shear work) ni el trabajo por un pistn (psiton work), as que podemos escribir c2 c2 dEvc e i = Qvc W shaf t + mi hi + + gzi mi he + + gze (105) dt 2 2 Observe como el uso de la entalpa ha simplicado la razn del trmino del trabajo. Al escribir la ecuacin para el volumen del control hemos considerado solamente un solo caudal que entraba y una que sale, pero esto se podra generalizar para cualquier nmero de entradas y salidas. En el caso especial de un ujo en estado estacionario, d = 0 y min mout = m dt As, la ecuacin de la energa para ujo estacionario es c2 c2 Qvc W vc = m he + e + gze hi + i + gzi 2 2 la cual tiene unidades de potencia en Joules por segundo. Al dividir por el ujo msico c2 c2 q vc wvc = he + e + gze hi + i + gzi 2 2 (106)

(107)

(108)

la cual presenta unidades de Joules por segundo por kilogramo. ACTIVIDADES 1. Describa que se entiende y cmo se distinguen trabajo por un eje (shaft work), trabajo cortante (shear work), trabajo por un pistn (psiton work). 2. Que se un volumen de control? 3. De ejemplos de volumen de control jo, volumen de control que se desplaza con respecto a un marco de referencia y volumen de control deformable. 2.5.3 Temperatura de estancamiento y entalpa de estancamiento

Supongamos un volumen de control que incluye un conjunto de lneas de corriente que describen el ujo de uido en la nariz de un obejo puntiagudo como el que se muestra en la gura () Las lneas de corriente son permanentes, as que no existe ningn trabajo externo realizado por el ujo de uido lquido pues uye. Si no hay tampoco calor transferido al ujo (adibtico), entonces la ecuacin de energa del ujo estacionario es, c2 c2 (109) cp T2 + 2 = cp T1 + 1 2 2 o bien c2 c2 T2 + 2 = T1 + 1 (110) 2cp 2cp La cantidad que se conserva se dene como la temperatura de estancamiento tal que Tt = T + 28 c2 2cp (111)

Figure 18: Lneas de ujo y regin de estancamiento. Un volumen de control se puede especicar entre las lneas punteadas y los punetos 1 y 2.

Con base en la relacin de los calores especcos y la velocidad del sonido a = 1 2 Tt =1+ M T 2

RT podemos escribir (112)

donde M = c/a es el nmero de Mach. La temperatura de estancamiento es la temperatura que el lquido alcanzara si la velocidad del uido fuera llevada a cero por un proceso adibtico permanente sin trabajo externo. Observamos que para cualquier ujo estacionario y adibtico sin trabajo externo, la temperatura del estancamiento es constante. Es tambin conveniente denir la entalpa de estancamiento ht = cp T + c2 2 (113)

con la cual es posible escribir le ecuacin de la energa de una manera ms simple como q12 ws,12 = ht2 ht1 Note que para un proceso cuasiesttico adiabtico T1 = T2 as que es fcil deducir que Tt = T P1 P2 1 1 (115) (114)

Pt P

(116)

y denimos la relacin que existe entre la presin de estancamiento y la presin esttica como Pt = P 1 2 1 1+ M 2 (117)

donde la presin de estancamiento es la que alcanzara el ujo si la velocidad es llevada acabo mediante un proceso cuasiesttico, adiabtico, permanente y sin transferencia de trabajo. 2.5.4 Ejemplo de una turbina de gas

Consideremos por ejemplo la turbina que se muestra en la gura (19). La turbina est diseada para producir cerca de 84.000 libras-fuerza de empuje en el despegue. La turbina es de doble tobera como se muestra en la gura. Los alabes y el compresor de presin baja se mantienen en operacin por la turbina de presin baja. El compresor de alta presin se mantiene en operacin por la turbina de alta presin. Deseamos encontrar el trabajo total del eje necesario para mantener en operacin el sistema de compresin.

29

Figure 19: Turbina Pratt and Whitney 4084

f = razn de presin total a travs de los alabes c = razn de presin total a travs de los alabes + el compresor mf an = 610 kg s1 mcore = 120 kg s1 Tinlet = 300 K Denimos nuestro volumen del control para abarcar el sistema desde la parte frontal de los alabes hasta el compresor de alta presin con el eje de transmisin que pasa a travs del volumen de control Si suponemos que la transferencia de calor debido al ujo de gas es despreciable, escribimos la primera ley (ecuacin de la energa del ujo constante) como: (118) W s = m (ht2 ht1 ) en este problema debemos considerar dos ujos, el ujo en los alabes mf y el ujo interior de la turbina mcore W s = mf an ht,f an + mcore ht,core = mf an cp Tt,f an + mcore Tt,core Obtenemos el cambio de temperatura suponiendo un proceso de compresin cuasiesttico y adiabtico tal que T2 = T1 entonces, podemos conocer P2 P1 1 (120)

(119)

1 Tt,2 = f an = 1.1 = Tt,f an = 30K Tt,1 f an 1 Tt,2 = core = 1.1 = Tt,core = 600K Tt,1 core

(121) (122)

30

sustituyendo dichos valores en la ecuacin antedicha, junto con el valor de cp , obtenemos que W s = 610 kg s1 1008 J kg1 K1 (30 K) + 120 kg s1 1008 J kg1 K1 (600 K)

W s = 91 MW el signo negativo implica trabajo realizado sobre el uido Observe que 1 hp = 745 W. Si un motor de automvil tienen aproximadamente 110 hp = 8.2 104 W, entonces la energa necesaria para operar el compresor es equivalente a la producida por 1,100 automviles.

= 91 106 J s1

2.6

Los puntos complicados del captulo 2

1. Cul es la convencin para trabajo y calor en la primera ley? El calor es positivo si se otorga al sistema. El trabajo es positivo se este es hecho o realizado por el sistema. 2. Cundo ocurre que E U ? Cuando los cambios de otros tipos de energa (cintica, potencial, tensin, etc.) se pueden despreciar comparados con los cambios en la energa interna, entonces se tiene como una buena aproximacin utilizar U como representacin del cambio total de energa en el sistema. 3. Por qu en el llenado de un tanque la temperatura nal en el tanque es mayor que la temperatura inicial? Ya que se realiza trabajo sobre el sistema y por tanto cambia la energa interna. 4. Cuando la entalpa inicial es la misma que la entalpa nal? Las entalpas de estancamiento iniciales y nales son iguales si el ujo es estacionario y si no hay trabajo neto a travs de un eje y transferencia de calor. Si el cambio en la energa cintica es despreciable, la entalpa inicial y nal son la misma. 5. Qu es trabajo de eje (shaft work)? Existen varios Hay varias forma en un proceso que producen (o absorbe) trabajo de eje o trabajo hecho por una echa. Primero, todo lo concerniente al proceso es visto en un volumen de control, ms que una masa de control. Segundo, es necesario que haya un eje o dispositivo equivalente que sea identicado como el que transere el trabajo. Tercero, el trabajo de eje es Tercero, el trabajo de eje se encuentra en la frontera del sistema y es el ujo de trabajo hecho o recibido por el sistema por los ujos de entrada y salida. 6. Qu distingue el trabajo de eje de otros trabajos? El trmino trabajo de eje implica utilizar la aproximacin del volumen de control. Como lo hemos denido, el trabajo de eje es todo aquel trabajo asociado con trabajo del ujo (trabajo hecho por las fuerzas de presin). El signicado general de este tipo de trabajo es el que realiza una maquinaria rotatoria, que llevada por un eje el trabajo hacia al mundo exterior afuera del volumen del control Podra tambin haber trabajo por la fuerza en la presin, trabajo realizado por esfuerzos cortantes en las fronteras del volumen de control, pero este rara vez es importante si la frontera del control es normal a la direccin del ujo. Si consideramos un sistema (una masa de identidad ja, digamos una burbuja del gas) atravesando algn dispositivo, despreciando los efectos de otacin, el nico modo del trabajo sera el trabajo para comprimir la burbuja. Esto sera cierto inclusive si la burbuja pasa a travs de una turbina o un compresor. 7. Qu es un volumen de control? Un volumen de control es un connamiento que separa una cantidad de materia de sus alrededores o medio ambiente y nos permite denir un sistema termodinmico. El connamiento no necesariamente tiene que coincidir con una frontera slida como las paredes del dispositivo. Slo se requiere que el connamiento forme una supercie cerrada y dicha supercie se tratada matemticamente ya que no contiene materia ni volumen. El volumen de control puede tener movimiento inclusive ser deformable. Una vez denido el volumen de control podemos suponer caractersticas que denen sistemas aislados, cerrados o abiertos con fronteras adiabticas (que no permiten la interaccin mediante efectos no mecnicos como calor) o fronteras diatrmicas (que son aquellas que no son adiabticas) 8. Cul es la diferencia entre entalpa y entalpa de estancamiento? Como hemos visto la entalpa de un gas se dene como h = u + P v = u + p/ y representa tanto la energa interna del estado del sistema como el trabajo hecho en el gas para establecerlo a cierta presin y densidad. La entalpa de estancamiento de un gas se dene como ht = h + c2 /2 31

y esta cuantica tanto la entalpa como la energa cintica del gas a ese estado.

2.7

Temperatura crtica y presin crtica

La manera obvia de cambiar a un gas en un lquido es enfriarlo a una temperatura por debajo de su punto de ebullicin. Hay otra manera de condensar un gas para formar un lquido, sin embargo, implica aumentar la presin en el gas. Los lquidos hierven a la temperatura a la cual la presin del vapor es igual a la presin del lquido con sus alrededores. Elevar la presin en un gas por lo tanto