Prof. Paula Fariña.

CII2751- CONTROL N◦1.

4 de septiembre de 2015.

1. (1.5 puntos)La variable aleatoria X representa el número de cerezas en

una porción de torta. Se cree que la función de probabilidad de X está

dada por:

X 4 5 6 7

P (X = x) 0.2 0.4 0.3 0.1

a) Calcule la esperanza y varianza matemática de X: es decir E(X) y

V (X).

E(X) = 4(0.2) + 5(0.4) + 6(0.3) + 7(0.1) = 5.3

V (X) = (4−5.3)2(0.2)+(5−5.3)2(0.4)+(6−5.3)2(0.3)+(7−5.3)2(0.1) = 0.81

b) Si se tiene una muestra aleatoria de tamaño 100: X1, ..., X100. Indique

cuál es la esperanza y varianza matemática de X̄100.

E(

∑100i=1Xi

100) =

100

100E(Xi) = 5.3

V (

∑100i=1Xi

100) =

100

1002V (Xi) = 0.0081

1

2. (1.5 puntos) A continuación se presentan mediciones tiempos de secado,

en horas, de cierta marca de pintura

3.4 2.5 4.8 2.9 3.6

2.8 3.3 5.6 3.7 2.8

4.4 4.0 5.2 3.0 4.8

a) Obtener la media y el error estándar empíricos de la muestra.

X̄ = 3.787

S2 = 0.943

b) Graficar un box plot indicando los valores relevantes en la construc-

ción del mismo.

El boxplot debe tener los valores:

Max = 5.6

q3 = 4.6

Mediana = 3.6

q1 = 2.95

Min = 2.5

3. (1.0 puntos) Se sabe que la varianza en la vida útil de un teléfono celular

de marca A sigue una distribución chi-cuadrado con 5 grados de libertad

V1 ∼ χ2(5). Por otro lado la varianza en la vida útil de un teléfono celular

de marce B distribuye chi-cuadrado con 2 grados de libertad V2 ∼ χ2(2).

Sabiendo que la vida útil del celular de tipo A es independiente de la

vida útil del celular de marca B.

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a) Indique cuál es la distribución de:

X =V1

5V2

2

X ∼ F (5, 2)

b) Obtenga la probabilidad P (X < 9.3)

P (X < 9.3) = 1 − P (X > 9.3) = 1 − 0.1 = 0.9

4. (2.0 puntos) Dos máquinas diferentes se emplean para llenar cajas de

cereales. La medición crítica que influye en éstas es el peso del producto.

Los ingenieros de la fábrica saben que la varianza del peso de las cajas

de cereales es σ2 = 1 onza para las dos máquinas, y creen que su media

es µ (igual para ambas máquinas). Se lleva a cabo un experimento para

comparar las máquinas tomando una muestra de 36 cajas de cereales por

cada máquina. El peso promedio de la muestra de la máquina A es X̄A =

4.5 onzas, mientras que el peso promedio de la máquina B es X̄B = 4.7. Los

ingenieros quedaron sorprendidos por la diferencia de promedio entre las

dos máquinas.

a) Indique si es posible emplear el Teorema Central de Límite para

aproximar las distribuciones de X̄A y X̄B, justificando su respuesta.

Si es posible indique cómo distribuyen aproximadamente cada uno

de estos promedios

Si, es posible dado de nA = nB = 36 > 30.

X̄Aaprox∼ N(µ,

1

36)

X̄Baprox∼ N(µ,

1

36)

b) Utilice la respuesta en a) para determinar la distribución de

X̄B − X̄A.

3

E(X̄B − X̄A) = E(X̄B) − E(X̄A) = µ− µ = 0

V (X̄B − X̄A) = V (X̄B) + E(X̄A) =1

36+

1

36=

2

36

Luego

X̄B − X̄Aaprox∼ N(0,

2

36)

c) Calcule

P (X̄B − X̄A > 0.2)

P (X̄B − X̄A > 0.2) = 1 − P (Z <0.2√

236

) = 0.198

d) Utilice la respuesta en c) para argumentar si la evidencia empírica

obtenida en el experimento es coherente con la creencia de los inge-

nieros acerca de que la media del peso es igual para las dos máquinas.

La probabilidad que la diferencia entre las medias sea 0.2 o más es bastante

baja: 0.198. Por lo tanto se podría dudar de de la creencia de los ingenieros

acerca de que la media del peso es igual para las dos máquinas.

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