CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS …aero.ing.unlp.edu.ar/catedras/archivos/Pandeo...

Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS IV

ANALISIS DE ESTRUCTURAS CILINDRICAS

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA

Autores: Ing. Juan Pablo Durruty Dr. Ing. Marcos D. Actis

2009


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ANALISIS DE ESTRUCTURAS CILINDRICAS

Resistencia a la compresión de cilindros circulares de paredes delgadas no

reforzados

Una estructura cilíndrica circular ensayada a una carga de compresión paralela a un

eje, puede fallar en una de las tres formas siguientes.

1) Si el cilindro es corto y grueso, la falla puede ocurrir debido a que la carga sobrepase

la carga última de compresión del material y solo es función de las propiedades

mecánicas del material.

2) Si el cilindro es muy largo y tiene un diámetro pequeño, la falla tiene lugar como

columna. La tensión última de estas estructuras dependerá de la relación L/ρ y del

módulo E del material.

3) Hay un tercer tipo de fallas que se encuentra en estructuras que tienen dimensiones

correspondientes a las modernas estructuras semimonocasco. En este caso el cilindro

será comparativamente de gran diámetro y paredes delgadas y la falla es una

inestabilidad local de la sección delgada.

En este apunte nos dedicaremos a resolver este último caso. Primero se desarrolla el

problema en forma analítica.


CILINDROS A COMPRESION

1) Estado de equilibrio de una lámina cilíndrica:

Si tomamos un diferencial de placa cilíndrica dθ dx, podemos plantear las 6

ecuaciones de equilibrio del diferencial cargado con una carga uniforme q (figura 1.1).

Figura 1.1

1.1)

rNx N z

rQxw

xrNx

vx

Qvx

wx

Nx

wx

∂∂

∂ ϕ∂ϕ

∂∂

ϕ∂∂

ϕ∂∂

∂∂ ∂ϕ

ϕ∂∂ ∂ϕ

∂∂x

+ − − − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

2

2

2

2

2 2

0

1.2)

∂ ϕ∂ϕ

∂ ϕ∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂ϕ

ϕ∂∂ ∂ϕ

∂∂

ϕ∂∂ϕ

∂∂ϕ

Nr

Nxx

rNxv

xQx

vx

wx

N xv

xwx

Qv

rw

r

+ + − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

2

2

2 2

2

21 0

1.3)

rQxx

QNx

vx

wx

rNxw

xN

vr

wr

N xvx

wx

qr

∂∂

∂ ϕ∂ϕ

ϕ∂∂

∂∂ ∂ϕ

∂∂

ϕ∂∂ϕ

∂∂ϕ

ϕ∂∂

∂∂ ∂ϕ

+ + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =

2 2

2

2

2

2

1

0

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1.4) rMx

xM

rMxv

xM x

vx

wx

rQ∂ ϕ∂

∂ ϕ∂ϕ

∂∂

ϕ∂∂ ∂ϕ

∂∂

ϕ− − − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =

2

2

2

0

1.5) ∂ ϕ∂ϕ

∂∂

ϕ∂∂

ϕ∂∂ ∂ϕ

∂∂

M xr

Mxx

rMxv

xM

vx

wx

rQx+ + − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − =

2

2

2

0

1.6) ( )

Mxvx

wx

rMxw

xM x

vr

wr

Mvx

wx

r Nx N x

∂∂

∂∂ ∂ϕ

ϕ∂∂

ϕ∂∂ϕ

∂∂ϕ

ϕ∂∂

∂∂ ∂ϕ

ϕ ϕ

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + − =

2 2

2

2

2

2

1

0

En el caso de un cilindro, por simetría, los esfuerzos cortantes Nxϕ = Nϕx se anulan y

Nϕ es constante a lo largo de la circunferencia, en este caso Nx = cte (como carga

externa). Por simetría también los esfuerzos cortantes transversales Qx son los únicos

que no se anulan, los momentos torsores Mxϕ = Mϕx = 0 y los Mϕ se mantienen

constantes a lo largo de la circunferencia (figura 1.2).

Figura 1.2

Anulamos también el producto de los esfuerzos por los desplazamientos elementales u,

v y z. Por lo tanto las ecuaciones de equilibrio quedarán:

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1.1) ∂∂Nxx

Nx cte= ⇒ =0 .

1.3) ∂∂

∂∂

ϕQxx

Nxw

xNr

q+ + +2

2 0=

1.4) ∂ ϕ∂ϕ

ϕM

M ct= ⇒ =0 .e

1.5) ∂∂Mxx

Qx− = 0

Las ecuaciones 1.2) y 1.6) se anulan.

Luego derivando la ecuación 1.5) respecto de x y reemplazando en esta dQx/dx de la

1.3) obtenemos:

1.7) ∂∂

∂∂

ϕ2

2

2

2 0Mxx

Nxw

xNr

q+ + + =

Sabiendo que εϕ = -w/r y εx = du/dx

Por Hooke:

( )

( )

NxEt

xEt u

xwr

NEt

xEt w

rux

=−

+ =−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

+ =−

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1

1 1

2 2

2 2

νν ϕ

ν∂∂

ν

ϕν

ϕ νν

ν∂∂

ε ε

ε ε

De la primera obtenemos: ( )∂

∂ν

νux

NxEt

wr

=−

+1 2

Reemplazando en la segunda: N Etwr

Nxϕ ν= − +

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Con respecto a los momentos flectores, por simetría no hay cambio de la curvatura en

el sentido de la circunferencia. La curvatura en la dirección x vale -d2w/dx2. Por lo tanto

de placas tenemos:

Mx = -D d2w/dx2 y D = Et3/12(1-ν2)

Reemplazando Mx y Nϕ en la ecuación 1.7):

1.8) Dw

xNx

wx

wr

EtNxr

q∂∂

∂∂

ν4

4

2

2 2− + − =

Esta es la ecuación diferencial de la elástica para un cilindro sometido a presión interna

y a tracción.

2) Determinación de la carga crítica de pandeo para un cilindro a compresión:

En este caso de la ecuación 1.8) tenemos q = 0 y medimos el corrimiento w, no desde

la superficie media antes de la deformación, sino a partir de la superficie media

después de haber aplicado la compresión uniforme. Reemplazamos w por

w - νNx r/Et, (donde νNx r/Et es la elástica del punto medio de un cilindro para una

carga de compresión) cambiando de signo a Nx en la ecuación 1.8) ya que ésta se

dedujo para tracción.

2.1) Dw

xNx

wx

wr

EtNxr

∂∂

∂∂

ν4

4

2

2 2 0+ + + =

Reemplazando w obtenemos:

2.2) Dw

xNx

wx

wr

Et∂∂

∂∂

4

4

2

2 2 0+ + =

Ecuación diferencial que representa el pandeo simétrico de una lámina cilíndrica.

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Suponemos una solución de la ecuación diferencial:

w = -A sen (mπx/L)

Figura 2.1

Reemplazando en 2.2)

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =DA

ml

m xl

ANxm

lm x

lAr

Etm x

lπ π π π π4 2

2 0sen sen sen

Haciendo sen(mπx / L) = 0 y despejando Nx:

Nx Dm

lEt

Drl

m=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ππ

2

2

2

Dado que Nx es una fuerza por unidad de longitud, si dividimos por t obtenemos

2.3) σπ

πcr D

ml t

EDr

lm

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

2

21

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Si tomamos a σcr como una función de mπ / L, minimizamos la expresión 2.3)

derivando respecto a este valor, por lo tanto:

ml

Etr D

π= 2

4

2.4) ( )ση ν

crrt

EDtEt

r= =

−

2

3 1 2 Donde η es la corrección por plasticidad

Para ν = 0,3

2.5) σηcr

Etr

KEtr

= =0 605,

Esta ecuación da una solución independiente de la longitud del cilindro, lo cual es

aproximadamente cierto si se supone que la longitud es grande comparada con la

longitud de las ondulaciones.

Otros investigadores propusieron otras formas de onda obteniendo diferentes valores

de K (0,375 ≤ K ≤ 0,605)

Los ensayos realizados investigadores demostraron que K era un valor mucho menor

que el teórico y que era una función de r/t, además la mejor correlación entre los

valores experimentales y los teóricos corresponde al menor valor de K = 0,375 (Tsien)

para pequeñas relaciones de r/t. Para grandes valores de r/t (r/t ≥ 1500) K decrece del

15 al 20% del valor teórico (figura 2.2).

Se trató de explicar esta diferencia entre el valor teórico y experimental en base a

errores encontrados en los ensayos; pero investigaciones posteriores demostraron que

un pequeño porcentaje de diferencia entre ambos valores puede explicarse de este

modo.

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La gran discrepancia entre la teoría y la práctica se debe a la forma de onda que se

presenta en la realidad, no siendo esta simétrica respecto al eje del cilindro y

presentando una forma tipo "diamante". Además se determinó que las imperfecciones

iniciales reducían enormemente la carga crítica de pandeo, siendo una medida

indicativa de estas la relación r/t.

Figura 2.2

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Cilindros sin presurizar

Cilindros presurizados

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Batdorf encontró una solución a la ecuación diferencial de octavo orden de Donnell,

que dá la tensión crítica en función del coeficiente de pandeo Kc, la cual para bordes

simplemente apoyados está definida por la ecuación:

2.6) ( )

( )Kcm

mZ m

m=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2 2 2

2

2 2

4 2 2

12βπ β

Donde: m = número de medias ondas en la dirección longitudinal

β = L / λ

λ = longitud de medias ondas en la dirección circunsferencial

La tensión crítica está dada por:

2.7) ( )ση

πν

crKc

E tL

=−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

2

2

212 1

Minimizando la ecuación 2.6) respecto al parámetro (m2 + β2)2 / m2 se obtiene el

coeficiente Kc para cilindros largos:

2.8) Kc Z Z ZLrt

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

4 30 702 12

22

πν, donde

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Sustituyendo la 2.8) en la 2.7) para ν = 0,3 se obtiene la clásica ecuación:

σηcr

Etr

= 0 605,

Nuevamente se ve la independencia de la constante de la relación r / t, por lo que se

requiere de métodos experimentales para resolver este problema.

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2.1) METODOS DE RESOLUCION

2.1.1) Kanemitsu y Nojima determinaron experimentalmente la forma de onda al inicio

del pandeo. Recogieron todos los datos experimentales confiables sobre cilindros bajo

compresión, cubriendo no solo el amplio rango de relaciones r/t, sino también el rango

de relaciones L/r y propusieron una ecuación empírica para la determinación de la

carga crítica:

2.1.1.1) σcr Etr

tL

=⎛⎝⎜⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ 9 0 16

1 6 1 3, ,

,

2.1.1.2) σcrE

rt

Kotr

tr

rL

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ = =

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ 9 0 16

0 6 0 3 1 3, ,

,,

(figura 2.1.1.1)

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Ko

0 0.5 1 1.5 2 2.5 L/r

r/t = 500 r/t = 1000 r/t = 1500 r/t = 2000 r/t = 2500 r/t = 3000

Figura 2.1.1.1

Esta fórmula se usa en los rangos de 500 ≤ r/t ≤ 3000 y 0,1 ≤ L/r ≤ 2,5 adoptando

a Ko = cte. para r/t = cte. y L/r ≥ 2,5 y Ko = 0,3 para relaciones r/t ≤ 500.

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2.1.2) Batdorf, Schildcrout y Stein graficaron el coeficiente de pandeo Kc en función de

Z, junto a los resultados de numerosos ensayos realizados por varios investigadores.

Junto con la curva teórica graficaron las curvas de Kanemitsu y Nojima, las cuales se

ajustan muy bien a los resultados experimentales, en el rango de cilindros largos; no

así para los cilindros cortos donde hay una gran discrepancia para cilindros

simplemente apoyados; por lo que definieron la transición entre cilindros largos y cortos

(figura 2.1.2.1).

Teóricamente el rango de cilindros cortos ocurre en Z = 0. En la realidad los cilindros

cortos se ven afectados por las condiciones de borde que generan otros tipos de

esfuerzos, aparte de Nx, que no están tomados en cuenta en el análisis teórico.

Para Z =1 los ensayos han dado valores de Kc = 1 para cilindros simplemente

apoyados, y Kc = 4 para bordes empotrados.

La curva de transición entre los dos rangos para bordes simples está dada por la

ecuación 2.6) tomando los valores límites m = 1 y β = 0 quedando:

KcZ

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

12 2

4π

La solución para bordes empotrados es una ecuación similar, por lo tanto se adopta

una ecuación para definir la transición entre cilindros largos y cortos, para ambas

condiciones de borde:

2.1.1.1) Kc KpZKp

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

121

2

4π

Donde Kp1 toma los valores 1 y 4 para bordes simples y empotrados respectivamente.

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Figura 2.1.2.1

De la figura se observa que para relaciones L/r ≥ 0,75 (Z >0,5 r/t para μ = 0,3) las

curvas se hacen independientes de las condiciones de borde.

El método propuesto se basa en utilizar las curvas de la figura 2.1.2.1 para relaciones

L/r < 0,75, donde se manifiesta la influencia de las condiciones de borde y para

L/r ≥ 0,75 usar:

Kc = 1,15 C Z

donde C se obtiene de la figura 2.1.2.2 (esta curva se obtuvo en base a los datos de

Kanemitsu y Nojima).

Esta curva es usada en el BOEING DESIGN MANUAL.

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0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 r/t

C

Figura 2.1.2.2

2.1.3) Harris, Suer, Skene y Benjamin trabajaron con la solución de Batdorf y graficaron

el coeficiente de pandeo Kc en función de Z.

El análisis consistió en los siguientes pasos:

a) Graficar la curva Kc(Z)

b) Plotear los resultados de ensayos para determinadas relaciones r / t

c) Obtener la curva del 90%, paralela a Kc(Z), para las distintas relaciones r/t (figura

2.1.3.1)

d) Definir la transición entre el rango de cilindros largos y cortos (Esta transición es la

misma que ya fue definida en el punto 2.1.2).

Corrigiendo esta curva para cada valor de r/t se obtiene la curva de diseño de la figura

2.1.3.2:

Página 15 de 25


Figura 2.1.3.1

Página 16 de 25


Figura 2.1.3.2

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2.1.4) El Manual de Estructuras Aeronáuticas, Parte II, sección C3 da la tensión crítica

de pandeo como:

2.1.4.1) ( )ση

γ

ν

cr Et

r=

−3 1 2

ση

γcr Et

r= 0 605, (para ν = 0,3)

Donde el factor γ puede ser obtenido de: ( )γ φ= − − −1 0 901 1, e (2.1.4.2)

Donde: φ =1

16rt para r/t < 1500

La ecuación 2.1.4.2) se ve en la figura 2.1.4.1. Esta información debe ser usada con

cuidado para cilindros con una relación L/r > 5 dado que no se ha verificado con

experimentos para este rango. Para cilindros muy largos debe ser chequeado con la

teoría de Euler para columnas.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1E0 1E1 1E2 1E3 1E4r/t

γ

Figura 2.1.4.1

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Carga última en cilindros circulares:

El cálculo teórico nos lleva a una ecuación que da la tensión a la cual ocurre el pandeo

en un cilindro cargado axialmente. La pregunta que surge es saber si resulta posible o

no exceder la tensión de pandeo de tal estructura. Las experiencias demuestran que en

todos los casos de cilindros completos, la carga a la cual pandea es también la carga

última que puede soportar, ya que en tales estructuras el pandeo es de características

catastróficas y tienen lugar grandes deformaciones axiales repentinas.

3) Determinación de la carga crítica de pandeo para un cilindro sometido a

compresión y presión interna:

Investigaciones experimentales han determinado un significativo incremento de la

tensión crítica de pandeo en cilindros con presión interna.

Lo, Create y Schwartz han analizado el problema de largos cilindros presurizados

usando una extensión de la teoría de las grandes deflexiones de von Kármán y Tsien.

Dibujando estos resultados en términos de los parámetros adimencionales (p/E)(r/t)2 y

(σcr/E)(r/t) se ve el incremento del coeficiente de pandeo desde el valor de Tsien de

0,375 a presión cero hasta el clásico valor máximo de 0,605 a (p/E)(r/t)2 = 0,169 (figura

3.1).

Se puede observar que un cilindro presurizado tiende a alcanzar el valor de K = 0,605.

Esto se debe a que la presión interna fuerza al cilindro a tomar la forma de onda, que

se propuso en el primer análisis teórico ( w = -A sen (mπx/L) ). De igual manera en los

experimentos, además de que la presión interna "plancha" las imperfecciones iniciales

del cilindro.

Comparando la teoría con los resultados experimentales se observan grandes

discrepancias, debidas a la forma de onda al inicio de pandeo. Lo, Create y Schwartz

obtubieron una mejor correlación con los experimentos graficando el incremento de la

tensión crítica (Δσcr/E)(r/t) = ΔK = K - Ko donde Ko es el coeficiente a presión cero

(figura 3.2). De esta forma la teoría predecía en forma muy aproximada el incremento

de la tensión debida a la presurización.


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5

t = 0,001 in (p crec.)

t = 0,001 in (p decrec.)

t = 0,003 in

Teoría de Lo

σσ

crcr

Ert

k= =

ppE

rt

=⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

Figura 3.1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Δ Δσcr k=

ppE

rt

=⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

Figura 3.2

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3.1) METODOS DE RESOLUCION:

3.1.1) Harris, Suer, Skene y Benjamin trabajaron estadísticamente con la curva del

incremento del coeficiente de pandeo dada por Lo, Create y Schwartz, haciendo la

correlación de los resultados experimentales y calculando la curva del 90 % de

probabilidad para ser usada como curva de diseño.

Figura 3.1.1.1

Para obtener la tensión crítica de pandeo a una determinada presión, debe calcularse

tensión crítica para el cilindro sin presurizar (figura 2.1.3.1) y sumarle el valor del

incremento dado por la figura 3.1.1.1

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3.1.2) Fung y Sechler corrigieron la curva del incremento del coeficiente de pandeo de

Lo, Create y Schwartz, trazando una recta desde ΔK = 0 a (p/E)(r/t)2 = 0 hasta

ΔK = 0,229 a (p/E)(r/t)2 = 1,20 y luego para valores de (p/E)(r/t)2 > 1,20 tomando

ΔK = 0,229 = cte. (figura 3.1.2.1)

El método que propusieron es calcular la tensión crítica para un cilindro sin presurizar

por intermedio de la fórmula de Kanemitsu y Nojima (figura 2.1.1.1) y sumarle el

incremento obtenido de la curva corregida.

Esto se podría aplicar igualmente para el método de Batdorf (2.1.2), ya que este corrige

la curva teórica con la ecuación de Kanemitsu y Nojima.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Δ Δσcr k=

ppE

rt

=⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

Figura 3.1.2.1

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3.1.3) El Manual de Estructuras Aeronáuticas, Parte II, sección C3 da la tensión crítica

de pandeo para cilindros comprimidos y presurizados como:

3.1.3.1) ( )ση

γ

νγ

cr Et

r=

−+

3 1 2Δ

ση

γc

γr Et

r= 0 605, Δ+ (para ν = 0,3)

Donde el factor γ se obtiene de igual manera que el cilindro sin presurizar y Δγ = ΔK se

obtiene de la figura 3.1.2.1

Se debe tener en cuenta que esta tensión calculada no incluye el efecto de tracción

generado por la presión interna.

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4. EJEMPLOS DE CALCULO

En la siguiente tabla se observan los valores obtenidos por los distintos métodos para

una dada relación r/t y distintas longitudes.

E = 750000 Kg/cm2 r = 10 cm t = 0,02 cm r/t = 500

σcr (1) σcr (2) σcr (3) σcr (4) L L/r r/t Z

Artic. Emp. Artic. Emp. Artic. Emp. Artic. Emp. (cm)

1066.5 868 1274 325 1085 292 1 0.1 500 4.77

625.73 540 610 280 420 292 2 0.2 500 19.08

416 412 327.2 280 280 292 5 0.5 500 119.25

361.5 327.2 280 292 10 1 500 477

340 327.2 280 292 20 2 500 1908

335.6 327.2 280 292 40 4 500 7632

Las tensiones críticas están dadas en Kg/cm2 Z = L2 (1-μ2)0.5

r t (1) Método 2.1.1

(2) Método 2.1.2

(3) Método 2.1.3

(4) Método 2.1.4

Para distintos valores de presión interna los incrementos en la carga crítica serán:

Δσcr (1) Δσcr (2) r/t P (Kg/cm2) P/E (r/t)2

210 71.5 500 0.75 0.25

270 143 500 1.5 0.5

300 300 500 3 1

330 343.5 500 6 2

(1) Método 3.1.1

(2) Método 3.1.2


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BIBLIOGRAFIA:

• S. Timoshenko, Teoría de la estabilidad elástica, EDIAR 1961.

REFERENCIAS:

• Batdorf S. B., Schilderout M. and Stein M., Critical Stress of Thin-Walled in Axial

Compresion, NACA TN 1343, June 1947.

• Lo H., Crate H. and Schwartz E. B., Buckling of Thin-Walled Circular Cylinders Under

Axial Compresion and Internal Pressure, NACA Report 1027, 1951.

• Fung Y. C. and Sechler E. E., Buckling of Thin-Walled Circular Cylinders Under Axial

Compresion and Internal Pressure, Journal of the Aeronautical Sciences, May 1957.

• Harris L. A., Suer H. S., Scene W.T. and Benjamin R. J., Buckling of Thin-Walled

Circular Cylinders Under Axial Compresion and Internal Pressure, Journal of the

Aeronautical Sciences, August 1957.

• George C. Marshall Space Flight Center, Astronautic Structures Manual, Vol II,

section C3.0, August 1975.

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