RECIPIENTES DE PAREDES DELGADAS

Son recipientes que contienen a varios fluidos a presión (gases o líquidos).

Los domos de las calderas, las tuberías, los separadores de fluidos en la industria petrolera, los tanques llamados "salchichas “y los tanque esféricos llamados "esferas" en la industria petrolera, son ejemplos de recipientes a presión.

Los recipientes a presión no tienen "válvula de presión y vacío", como es el caso de los tanques de almacenamiento o atmosféricos que si la tienen; en su lugar tienen una válvula de seguridad que releva a la atmósfera a una presión de fluido dentro del recipiente superior a la atmosférica, dicha presión depende de la presión a la que trabaje el tanque de acuerdo a normas o a la experiencia, de acuerdo al estado que guardan las paredes del recipiente.

Puesto que la presión dentro del recipiente tiende a "inflarlo", aparecen esfuerzos de tensión en las paredes del mismo.

Para el cálculo y diseño de los recipientes a presión, y selección de los materiales que se utilizarán, tendremos que calcular dichos esfuerzos de tensión, que reciben el nombre de: "esfuerzo en el aro", que denotaremos por ST1 y "esfuerzo longitudinal", que denotaremos por ST2; así como el esfuerzo cortante máximo en las paredes del recipiente, que denominaremos SS máx.

Dichos esfuerzos están mostrados en la siguiente figura, actuando sobre un prisma elemental localizado en la pared del recipiente, los cuales como dijimos están causados por la presión "p" dentro del recipiente, la cual tiende a inflarlo.

En nuestro estudio encontraremos que el esfuerzo ST1 o esfuerzo en el aro, tiene unamagnitud del doble del esfuerzo ST2 o esfuerzo longitudinal.

En nuestro estudio encontraremos que el esfuerzo ST1 o esfuerzo en el aro, tiene una

magnitud del doble del esfuerzo ST2 o esfuerzo longitudinal.

 p= presión del fluido, perpendicular a las paredes del recipienteSi nosotros giráramos el prisma un cierto ángulo, veríamos que los esfuerzos ST1 y ST2, disminuyen de su máximo mostrado y empiezan a aparecer esfuerzos cortantes en

las caras del mismo, hasta tener un valor máximo:   cuando el giro del prisma sea de 45º, por lo que podríamos  decir que la relación de magnitudes de dichos esfuerzos es: ST1= 2ST2= 2 SSmáx.El cálculo de estos esfuerzos nos permitirá ir a las tablas de los fabricantes de aceros, para seleccionar el más adecuado·         Los nombres de "esfuerzo en el aro" y esfuerzo longitudinal se pueden concluir de las siguientes figuras

ESFUERZO EN EL ARO (aro rectangular)PERPENDICULAR AL EJE DELRECIPIENTE

ESFUERZO LONGITUDINAL O A LO LARGO DEL EJE DELRECIPIENTE·         Para la deducción de las ecuaciones que permiten evaluar estos esfuerzos, utilizaremos las leyes básicas de la estática, y la definición de esfuerzo unitario.

Diferencia entre cilindros de pared gruesa y cilindros de pared delgada Un cilindro es de pared delgada cuando hay una gran diferencia entre el espesor

de la pared y el diámetro del mismo, en un cilindro de pared gruesa no sucede lo mismo. Por otro lado, la distribución de esfuerzo en el espesor de las paredes del cilindro

de pared delgada es uniforme, mientras que en el cilindro de pared gruesa no sucede así. Los cilindros de pared gruesa  son los que constituyen los barriles o cañones de las armas de fuego. En nuestro caso, veremos el diseño de un cilindro de pared delgada.

Deducción de las ecuaciones que nos permiten calcular el esfuerzo   en el aro :

Cortemos una sección de longitud L De la figura se observa que las dF cos Ө se anulan También se observa que la dF sen Ө se suman, la suma de estas componentes

verticales será

F= 

  =pLr   

  =pLrF=2pLrO sea:F =p L DEn ésta ecuación:F= Fuerza resultante debida a la presión del fluido dentro del recipientep= Presión del fluido dentro del recipiente en lb/pulg2D= Diámetro del cilindro en pulgadas.L= Longitud del recipienteEn esta ecuación se observa que LD es el área proyectada en el plano horizontal de la media caña. Por lo tanto la fuerza resultante es igual a la presión por el área proyectada.

Ahora para encontrar P (fuerza en el aro)

, pero F=pDLPor lo tanto:

P=P= prL

Para encontrar   (esfuerzo de tensión en el aro)

=En que:Área = Área espesor de la pared en el aro =tLY como P=p r L, tenemos

, por lo tanto:

Cálculo del esfuerzo longitudinal 

La fuerza de tracción T o fuerza longitudinal será

T= πr2p      ---------------------1)En dondeT= Fuerza de tracción longitudinalπr2= Área proyectada de la semiesfera en un plano verticalp= Presión del fluido dentro del recipienteTambién:T= ST22πrt  ………………..2), en que 2πrt = Área del espesor en la pared del anillo

Igualando 1) con 2) tenemos:

ST2 2πrt = π r2 pST2 2t =pr

Este es el esfuerzo longitudinalObservamos que ST1= 2ST2Por lo que para seleccionar el acero del recipiente necesitaremos el mayor esfuerzo, o sea ST1Caso tanques esféricos

En este caso solo habrá ST2 que será con el que se diseña.

MÁXIMO ESFUERZO CORTANTE (SSmáx) EN LAS PAREDES DEL TANQUE SALCHICHA O TUBO.

Usando el círculo de Mohr (no mostrado) encontramosST1= 2ST2= 2SSmáx

Ejemplo:El cilindro mostrado en la figura, esta sujeto a una presión interna de 400psi ( pounds per square inch) (lb /pulg2). El diámetro del cilindro es de 30 pulgadas y el espesor de la pared es media pulgada. ¿Cuál es el esfuerzo de tensión más grande en el espesor de las paredes?

RESPUESTAEl esfuerzo de tensión más grande será el ST1 de acuerdo a lo que acabamos de ver

Datos:P = 400psir = 15 pulg.t = 0.5 pulg.IncógnitaST1= ¿Ecuación:

ST1=Sustituyendo valores tenemos:

ST1= ST1= 12 000 psi

Envolventes de revolución de pared delgada. Deducción de la fórmula de Laplace.

Cáscaras: estructuras donde una dimensión –el espesor- es mucho menos que las otras dos. Cuando la “superficie media” es una envolvente de revolución y las acciones , generalmente presiones internas y externas, presentan también simetría respecto al eje de revolución, además de variar de forma continua, estaremos en un caso de importantes aplicaciones: ANILLOS Y DEPOSITOS A PRESIÓN.

Al ser el espesor e pequeño con relación a los radios de curvatura la envolvente no tendrá resistencia a flexión y se comportará como una membrana en la que las tensiones estarán distribuidas uniformemente en el espesor e y los planos principales (tensiones 1

y 2) serán los planos “meridiano” y “paralelo” que han de ser perpendiculares entre si =0 , debido a la simetría (confirmado experimentalmente)

En calderería e entre 4 y 10 mm.En depósitos la chapa utilizada: e<<rm y rt.

F en la dirección radial (perpendicular al elemento)

p∙rm∙dm∙ rt∙dt=2m∙ rt∙dt∙e∙sen(dt/2)+2t∙ rm∙dm∙e∙ sen(dm/2)

p∙rm ∙ rt∙dt∙dm =2m∙ rt∙dt∙e∙ dt/2+2t∙ rm∙dm∙e∙ dm/2

p∙rm ∙ rt=m∙ rt∙e+t∙ rm∙ e

+ Ecuación de Laplace

La otra ecuación necesaria se puede obtener haciendo el equilibrio elástico de una porción del recipiente:

Cortando la envolvente por una sección cónica (cono de ángulo ) normal a la superficie media. Fdirección axial =0

Resultante axial de las acciones exteriores = m∙sen∙2r∙e m

En la ecuación de Laplace t

Aplicación a diversos anillos y depósitos.

Ejemplo 1.16: Depósito cilíndrico lleno de un gas a presión manométrica p.

rm=∞

t=circunferencial= =1

rt=R

m∙2R∙e=p∙∙R2 m=longitudinal= =2

3 varía de –pi en el interior a –pe en el exterior (despreciable <<( pi–pe) pues es

muy grande).

Ejercicio 1.17:

Un depósito cónico de espesor e, suspendido por su borde, está lleno de un líquido de peso específico . Calcular las m y p máximas.Datos. =900 Kg/m3=900∙10-6 Kg/cm3

H=3m=300cm E=1cm =30º

como p=∙x p= y x está relacionado con r.

r=tg∙(H-x) (a)

los valores máximos de p y m serán:

=0 1∙(H-x)+x∙(-1)=H-2x x= (en el centro del depósito)

=

rm=∞ ; rt=

t=circunferencial=

trozo H-x de cono:

Feje revolución=0 m∙cos∙2r∙e=W1+W2

W1=r2x

W₂= r²(H-x)

O también W₂ + presión sobre superficie de líquido a profundidad x=W₂+x∙r²=W₂+W₁

mcos∙2r∙e=∙r2(x+ )

m = r(x+ )

m = (H-x) (b)

=0 ∙(H-x)-1∙ = H- x=0 x=

=

Los puntos a estudiar son x= y x= :

x= p= =13.5 Kg/cm²

m= =9 Kg/cm²

x= p= =10.12 Kg/cm²

m= =10.12 Kg/cm²

Numéricamente:

En sistema técnico: =

En sistema internacional: =

En sistema técnico: =

Ejercicio 1.18: Un tanque cilíndrico (R, H, e) está ocupado por un líquido de peso específico hasta h₁ y por un gas a presión P en el resto.Diagramas de p=long. y m=cir

R=Wliq+P∙∙R²

Zona del gas:

Zona liquido:

´p=

Trozo superior:

Trozo inferior:

p=

m∙2R∙e=P∙∙R2 m=

Solo hay presión sobre la tapa superior:

´m∙2R∙e=P∙∙R2 ´m=

Uniéndolo en el trozo inferior: Wliq=R

´m∙2R∙e=P∙∙R2+Wliq-R ´m=

Ejercicio 1.19. Calcular las tensiones de una envolvente cilíndrica de R y e sometida a una p interior uniforme en los casos:

a) Que no tenga tapas.b) Que sus secciones extremas estén fijas en dirección longitudinal. c) Que tenga tapas planas.d) Que tenga una tapa semiesférica y otra cónica. Calculando las tensiones en

todas sus partes.

a) Que no tenga tapas.

b) Que sus secciones extremas estén fijas en dirección longitudinal.

Además de la cir.= calculada en a)

long=0=

m=long= =long

c) Que tenga tapas planas.

Laplace p=cir=

Por equilibrio:

p∙2∙l∙e=p∙l∙2∙R p=

l∙2∙R=la proyección de la superficie del cilindro sobre la perpendicular al eje vertical.

L invariablelong∙l=0

Además de la cir=

m∙2R∙e=P∙∙R2 m= =long

d) Que tenga una tapa semiesférica y otra cónica. Calculando las tensiones en todas sus partes.

En la superficie cilíndrica cir=

long=

en la superficie esférica ₁=₂=

en la superficie cónica:

Laplace p= =

Equilibrio del trozo m∙cos∙2∙∙r∙e=p∙∙r² m=

=

necesita anillo refuerzo en unión.

Zunchado anillos antes anillo con

Zunchado más general:

Ejercicio 1.20:

Dos anillos de acero del mismo espesor e=2cm no ajustan entre sí al tener uno un diámetro interior D₁=100cm y el otro un diámetro exterior D₂=100.2cm. Se eleva la temperatura del primer anillo hasta que ajuste con el segundo y, a continuación, se deja enfriar. Calcular los esfuerzos en los anillos al final de la operación de zunchado realizada.Datos: E=2∙106kg/cm²

ei=2cm=ee

Di=100.2 cm R=50

De=100 cm 2ɑ=0.2cm, ɑ respecto el radio.

p= =80 Kg/cm²

=-2000 Kg/cm²

=2000 Kg/cm²

Ejercicio 1.21:

Un anillo de cobre ajusta perfectamente en el interior de un anillo de acero y esté a su vez en un anillo de aluminio. Determinar los esfuerzos en los tres anillos, cuando el conjunto gira a una velocidad angular de 1200r.p.m. Datos: Ec=1.1∙106kg/cm² , c=8.8 t/m³ Ea=2∙106kg/cm² , a=7.8 t/m³ Eal=0.7∙106kg/cm² , al=2.7 t/m³

Entre los anillos de cu y ac:

Entre los anillos de ac y Al:

-19.27p+7p´=-37.84 p´=

7p-27.7p´=6.67

7p-27.7∙ =6.67 p=2.07 Kg/cm²

p´= =0.29 p´=0.29 Kg/cm²

Tensiones

=-27.94+94.85 cu=67.91 Kg/cm²

=24.92+98.53 ac=123.45 Kg/cm²

=4.21+39.15 Al=43.36Kg/cm²

Ejercicio 1.25:

Si el depósito de la figura está lleno de un líquido de =1200 Kg/m³ y h₁=5 m, R=2m y =60º, calcular la distribución de tensiones a lo largo de sus paredes en función del espesor t, calculando este según el criterio de Treska si e=2400 Kg/cm²y n=2

R=2- x´ ´p= (5+x´)(2- x´)

Tg 60º= = h₂= = m =1200

Kg/m³

Pared cilíndrica Rm= Rp=R

Ec. Laplace + p=

P=∙x∙ = x (Kg/m²)

m∙2R∙t=(R²∙h₁+ R²∙h₂)

m= (R∙h₁+ R∙h₂)= (5+ )

m= (constante)

Pared cónica R´m=

Rp=

Ec. Laplace + ´p=

´p=(h₁+x´) ; y como Tg 60º= =

´m∙cos 60º∙2∙r∙t=(r²∙(h₁+x´)+ r²∙(h₂-x´)

´m= r∙(h₁+x´)+ r∙(h₂-x´) ´m= (2- x´)(5+ + )

El máximo geométrico de la parábola queda fuera del cono =0

0=2- x´-5 - x´ x´= x´ es negativo.

´m= (2- x´)(5+ + ) x´=0 ´m=

x´= ´m=0

Para ´m el máximo también cae fuera de la parte cónica.

Las tensiones máximas están en la parte cónica en la unión con la cilíndrica y valen:

´Pmax= (Kg/m²) y ´m,max= (Kg/m²)

o sea ´Pmax= Kg/cm² ₁ (con t en m)

´m,max= Kg/cm² ₂

₃=0

Criterio de Treska ₁-₃adm ; n=2

-0 t =0.002 m=2mm

p,max.= ∙5= (Kg/m²)

m=constante = (Kg/m²)

´p= (5+x´)(2- x´)x´=0 ´p=

x´= ´p=0

Ejercicio 1.27:El conjunto de la figura se compone de dos barras rígidas ABC y DEFG y los tres cables de acero indicados (E=2∙106 Kg/cm² y A=0.78cm²). cuando se aplica una carga P en el punto C, se pide:

a) esfuerzos en los cablesb) Posición final de la barra DEFG y del punto C.

Si además de la carga P se produce un descenso térmico de 50ºC (=10-5 ºC-1) en la barra 1. determinar.

c) Tensión en cada cable d) Posición final del punto C.

Datos: P=3000 Kg, ɑ=1.5 m

Planteamos el equilibrio de las barras ABC y DEFG:

MA=0 N₁∙ =P∙(ɑ+2 ) N₁=4P

MD=0 N₃∙ +N₂∙(ɑ+2 )=N₁∙ 2 N₃+5N₂=2N₁

Tenemos 3 incógnitas y 2 ecuaciones hiperestático de orden 1

Relacionamos los desplazamientos y deformaciones del sistema para calcular la ecuación de compatibilidad de los desplazamientos:

= -

=

=

=5 =5

Ley de comportamiento:

Sustituyendo la ley de comportamiento en la ecuación de compatibilidad de los desplazamientos:

=5 N₂∙ =5N₃∙ɑ 4N₂=15N₃

Resolvemos el sistema de tres ecuaciones:N₁=4P N₃+5N₂=8PN₃+5N₂=2N₁

N₂+5N₂=8P N₂= P y N₃= P

4N₂=15N₃

Como P=3000 Kg N₁=12000 Kg N₂=4557 Kg N₃=1215 Kg

B) Posición final barra DG y del punto C.

= = =0.1168 cm

=2 =0.2336 cm

=5 =0.5840 cm

Comprobación: = =0.5842 cm

= =4 y como = +

= +0.2336= +0.2336=2.3077+0.2336=2.5413 cm

=4∙2.5413=10.1652 cm

Si además de la carga P se produce un descenso térmico de 50ºC (=10-5 ºC-1) en la barra 1. determinar.Tensión en cada cable

Las ecuaciones de equilibrio son las mismas (P+T), varía la ley de comportamiento de la barra 1 solo, y como en la ecuación de compatibilidad no interviene ₁ los resultados de N₁, N₂ y N₃ son los mismos:Por tanto:

1= = =15384 Kg/cm²

2= = =5842 Kg/cm²

3= = =1557 Kg/cm²

Posición final del punto C

=4 =4( + ) ; donde =

=-105∙50∙2∙150+ =-0.15+2.3077=2.1577 cm =9.5652 cm

TORSION EN PAREDES DELGADAS

En estructuras de peso ligero se requieren miembros estructurales de pared delgada con secciones transversales no circulares para resistir torsión.Considere el tubo de pared delgada con sección transversal arbitrario mostrado en la figura (a).

=tg =0.1338

El tubo es de forma cilíndrica, donde todas las secciones transversales son idénticas y el eje longitudinal es una línea recta.El espesor t puede variar alrededor de la sección transversal, además, el espesor debe ser pequeño en comparación con el ancho total del tubo.

El tubo está sometido a torsión pura por pares T que actúan en los extremos.Los esfuerzos cortantes τ que actúan sobre una sección transversal del tubo, se observan en un elemento del tubo cortado en dos secciones transversales separadas a una distancia dx entre sí.Los esfuerzos actúan en paralelo a los bordes de la sección transversal y fluyen alrededor de ésta.La intensidad de los esfuerzos varía tan poco a través del espesor del tubo que puede suponerse que τ es constante en esa dirección.

Cuando t no es constante , los esfuerzos variarán en intensidad al recorrer la sección transversal y dicha variación se determina por equilibrio.Considere un elemento rectangular abcd obtenido mediante dos cortes longitudinales ab y cd de dos secciones transversales del tubo.Los esfuerzos cortantes actúan sobre la cara bc de la sección transversal.Se supone que estos esfuerzos varían en intensidad a lo largo de la sección transversal de b a c; por lo tanto, el esfuerzo cortante en b se denota τb y el esfuerzo cortante en c con τc .

Por equilibrio, los esfuerzos cortantes idénticos actúan en sentido opuesto sobre la cara ad de la sección transversal, y los esfuerzos cortantes de la misma magnitud actúan sobre las caras longitudinales ab y cd.Los esfuerzos cortantes constantes que actúan sobre las caras ab y cd son iguales a τb y τc, respectivamente. Las fuerzas Fb y Fc producidas por los esfuerzos cortantes que actúan sobre las caras longitudinales ab y cd son:

tb y tc son los espesores del tubo en los puntos b y c, respectivamente. Las fuerzas F1 se deben a los esfuerzos que actúan sobre las caras bc y ad.Por equilibrio en la dirección x se tiene:

Dado que los cortes longitudinales ab y cd son arbitrarios, el producto es el mismo en cada punto de la sección transversal y se denomina flujo cortante.

Esto es:

Así, el esfuerzo cortante máximo ocurre donde el espesor del tubo es mínimo y el cortante mínimo ocurre donde t es máximo. Esto es:τmax en tmin

τmin en tmax

τ =Constante en t= constante