Cálculo integralUnidad 3. Métodos de integración

Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral

Instrucciones

1. Escribe tu nombre, fecha de nacimiento y edad.

Guillermo Hernández Rodríguez, 18 Agosto 1971

2. Sean a y b dos constantes definidas por:

a= la suma de los dígitos que forman tu fecha de nacimiento.

b= la suma de los dos dígitos que forman tu edad.

o 18 de Agosto, implica que: a = 1+8 = 9

o 42 años, implica que: b = 4+2 = 6

3. Sustituye los valores a y b en la integral original antes de empezarla a evaluar.

¿

4. Resuelve la siguiente integral mediante los métodos necesarios abordados en la unidad 3.

[∫1a

seca

x tanb

x+(a+b )x

√a−bx−x2− x

2

+a2

x−bb3

x3

+(b−a) x2

+2 x+[ ab ] bx

2

−bax+7abx

2

−ea

x+b ]∫ sena x cosb dx

5. Escribe tu desarrollo.

Si las potencias del seno y del coseno son pares y no negativas, usar repetidamente las

identidades.

sen ² x=1−cos2 x2

y cos ² x=1+cos2 x2

∫ sen2 xcos4 x dx= x4 + 164sen2 x− 1

64sen 4 x− 1

192sen 6 x+c

6. Escribe en una lista los métodos de integración usados. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Integrando por sustitución trigonométrica:

Se introduce la variable θ tal que u=a Sen θ, donde 0≤θ≤ π2

y du a Cos θ dθ

Sustituyendo en √a ²−u ², tenemos que:

√a ²−u2=¿¿ √a ²−¿¿

√a ²−a2Sen ²θ ¿√a ²(1−se n2θ)

√a ²=√1−se n2θ

a√cos ²θ=¿¿ a Cos θ

Entonces:

√a ²−u ² = a Cos θ, Sen θ= ua

y θ = Sen⁻¹ ( ua ) = ArcSen ( ua )

∫ 6 x

√2−4 x−x2dx=−6 √|−x2−4 x+2|+12 sen−1(−x−2√6 )+c

Por lo tanto:

2−4 x−x2=6−(x+2)2

Sustituyendo:

u=x+2du=dx x=u−2

Asi que:

∫ 6(u−2)√6−u2du=∫ 6u−12√6−u2

du

Siendo:

u=√6 senθ du=√6cosθdθ Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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√6−u2=√6cosθEntonces:

∫ 6√6 senθ−12√6cosθ √6 cosθdθ=∫6√6 senθ−12dθ=¿−6√6cosθ−12ϑ +c ¿

¿−6√6−u2−12 sen−1 u

√6+c=¿−6√6−(x+2)2−12 sen−1 x+2

√6+c

Integración mediante fracciones parciales.

El denominador q (x) es producto de los factores lineales distintos, entonces podemos escribir.

Q ( x )=(a1 x+b1 )(a2 x+b2)

En donde no hay factor se repita, en este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes.

∫ −x2+4 x−464 x3+2 x2+2 x

dx=¿

¿−129128

∈|32 x2+x+1|+2∈|x|−384 tan−1( 64 x+1√127 )

64 √127+c

¿−129128

∈|32 x2+x+1|+2∈|x|− 38464 √127

tan−1( 64 x+1√127 )+C

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