Grados de libertad

El número de grados de libertad en ingeniería se refiere al número mínimo de números reales que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura.

Un cuerpo aislado en el espacio puede desplazarse libremente en un movimiento que se puede descomponer en 3 rotaciones y 3 traslaciones geométricas independientes (traslaciones y rotaciones respecto de ejes fijos en las 3 direcciones de una base referida a nuestro espacio de tres dimensiones).

Para un cuerpo unido mecánicamente a otros cuerpos (mediante pares cinemáticos), algunos de estos movimientos elementales desaparecen. Se conocen como grados de libertad los movimientos independientes que permanece

Grados de libertad en mecanismos planos

Para un mecanismo plano cuyo movimiento tiene lugar sólo en dos dimensiones, el número de grados de libertad del mismo se pueden calcular mediante el criterio de Grübler-Kutzbach:

donde:

m,, movilidad.

, número de elementos (eslabones, barras, piezas, etc...) de un mecanismo.

, número de uniones de 1 grado de libertad.

, número de uniones de 2 grados de libertad.

Importante: esta fórmula es válida sólo en el caso de que no existan enlaces redundantes, es decir enlaces que aparecen físicamente en el mecanismo pero no son necesarios para el movimiento de éste. Para poder emplear el criterio, debemos eliminar los enlaces redundantes y calcular entonces los grados de libertad del mecanismo.

Todas las partes fijas (uniones al suelo) se engloban como el primer elemento. Aunque el grado de libertad de algunas uniones es fácil de visualizar, en otras ocasiones se pueden cambiar por sistemas equivalentes.

Grados de libertad en estructuras

Podemos extender la definición de grados de libertad a sistemas mecánicos que no tienen capacidad de moverse, llamados estructuras fijas. En el caso particular de estructuras de barras en d dimensiones, si n es el número de barras y existen m restricciones (uniones entre barras o apoyos) que eliminan cada una ri grados de libertad de movimiento; definimos el número de grados de libertad aparentes como:

GL: Grados de libertad del mecanismo.n: Número de elementos de barras de la estructura.

ri: Número de grados de libertad eliminados por la restricción .

En función de la anterior suma algebraica podemos hacer una clasificación de los sistemas mecánicos formados a base de barras:

Estructuras hiperestáticas, cuando GL < 0. Estructuras isostáticas, cuando GL = 0.

Mecanismos, cuando GL > 0.

Conceptos fundamentales de cinemática

Grados De LibertadEl número de grados de libertad (GDL) de un sistema es el número de parámetros independientes que se necesitan paradefinir unívocamente su posición en el espacio en cualquier instante.En el plano se requiere de tres parámetros (GDL): dos coordenadas lineales (x,y) y una coordenada angular (q ). En el espacio se requiere de seis GDL: tres distancias (x,y,z) y tres ángulos (q ,f ,r ).Se define cuerpo rígido como aquel que no experimenta ninguna deformación.

Movimiento armónico

El movimiento armónico puede ser de dos tipos: simple y complejo.

Movimiento armónico simple: Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central, alrededor del cual oscilará.

Movimiento armónico complejo: Un movimiento armónico complejo es un movimiento en superposición lineal de movimientos armónicos simples. Aunque un movimiento armónico simple es siempre periódico, un movimiento armónico complejo no necesariamente es periódico, aunque sí puede ser analizado mediante análisis armónico de Fourier. Un movimiento armónico complejo es periódico sólo si es la combinación de movimientos armónicos simples cuyas frecuencias son todas múltiplos racionales de una frecuencia base

EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Definición: es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.

Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa gráficamente por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.

Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.

Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.

Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la

variación del tiempo t, se traduce como una variación del sin x, donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).

Elementos:

1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.

2. Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.

3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio.

4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se designa con la letra "t".

5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo.

6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.

Cinemática de un movimiento armónico complejo

Un sistema que presenta oscilaciones armónicas con n grados de libertad en general tiene elongaciones Xi o movimientos a lo largo de direcciones independientes de la forma:

(1)

Donde, son las frecuencias propias del sistema, las fases iniciales. Cada uno de los vectores columna de la matriz A se llama modo propio de vibración, y los Ci

son las amplitudes relativas de cada modio propio.

La velocidad y la aceleración se obtienen derivando respecto al tiempo y también resultan ser movimientos armónicos complejos, composición de movimientos de las misma frecuencias propias. Aunque ahora no tienen por qué existir puntos de velocidad cero, como sucede en el movimiento armónico simple.

Periodicidad

Un movimiento se dice periódico si después de cierto intervalo de tiempo constante, la posición vuelve a tomar el mismo valor, eso requiere que el vector de posiciones X(t) = X(t+T) para todo t y para algún valor de T. Para el caso de un movimiento armónico complejo como (1) eso requiere que, para todo i,

Lo cual sólo puede suceder si para cualesquiera frecuencias su cociente es un número racional. Siendo como es que los números racionales son un conjunto de medida cero o conjunto nulo, la probabilidad de que el coeficiente de todas las frecuencias sea un número racional es cero y, por tanto, los movimientos armónicos complejos reales son cuasiperiódicos, pero no periódicos.

Oscilaciones acopladas

Un caso común de movimiento armónico complejo es el caso del problema de oscilaciones acopladas. Este problema de oscilaciones acopladas aparece, por ejemplo, en las vibraciones térmicas de un cristal, en el movimiento horizontal de un edificio en un terremoto y en el movimiento de un sistema de masas unidas por muelles o resortes. Estos problemas conducen a un sistema de ecuaciones del siguiente tipo:

(2)

Que en forma matricial puede escribirse como:

(2')

El problema puede resolverse mediante ciertos cambios de variables que llevan a las coordenadas normales o amplitudes de los modos propios de vibración, que son de hecho una forma particular de coordenadas generalizadas para el problema mecánico original.

Frecuencias y modos propios [editar]

Los modos propios proporcionan una solución del problema (2') de la forma (1). Para ello es necesario determinar una serie de frecuencias naturales del sistema que pueden calcularse como:

Esto proporciona N soluciones para el cuadrado de la frecuencia natural. Para cada una de estas soluciones se busca un vector unitario, llamado modo propio, que satisfaga la ecuación compatible indeterminada:

Puede comprobarse que estos vectores representando los diversos modos propios del sistema son ortogonales entre sí, por lo que la matriz formada por todos ellos es una matriz ortogonal:

Las coordenadas normales, asociadas a los modos propios, se obtienen mediante un cambio lineal a partir de las coordenadas convencionales:

Donde , cumpliéndose que B' es la matriz inversa de A (A·B = B·A = I).

Solución del problema [editar]

La solución general se puede obtener fácilmente resolviendo el problema en coordenadas

normales. Usando estas coordenadas se obtiene fácilmente si se tiene en cuenta que :

Pero debido a las propiedades de la matriz la matriz entre corchetes resulta ser una matriz diagonal y por tanto la solución de ese último sistema se obtiene resolviendo N ecuaciones para cada una de las un conjunto de ecuaciones del tipo:

En términos de las coordenadas normales y la matriz de modos propios, la solución general del sistema se escribe:

USO DE FASORES PARA LA SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MOVIMIENTO

ARMONICO

La corriente alterna se suele representar con un vector girando a la velocidad angular . Este ωvector recibe el nombre de fasor. Su longitud coincide con el valor máximo de la tensión o corriente (según sea la magnitud que se esté representando). El ángulo sobre el eje horizontal representa la fase. La velocidad de giro está relacionada con la frecuencia de la señal.ω

En corriente alterna se da que en muchas ocasiones, las tensiones y corrientes presentan desfasajes entre sí (distintas fases en un determinado momento). En los diagramas fasoriales esto se representa con un ángulo entre los fasores.

Los fasores pueden representarse mediante números complejos, teniendo una componente real y otra imaginaria.

El igual que en los números complejos, los fasores pueden estar representados en forma binómica y polar (existen otras como la trigonométrica y la exponencial, pero utilizamos las dos primeras). En algunos casos nos conviene una forma de expresarlos y en otros casos será más simple hacer cuentas con la otra forma.

Forma polarLos fasores suelen indicarse matemáticamente también en forma polar, es decir como un módulo y un ángulo. Por ejemplo la expresión:

V = 311 sen (2 50 t + ¼ )π π

Se puede representar como un fasor de la siguiente manera:

V = 311 V = 2 50 (para una f = 50 Hz)ω π = 45 ° (o ¼ )Φ π

En forma polar se escribe como 311 (45°) V.

Forma binómica

Otra forma de expresar a un fasor o número complejo, es la forma binómica, es decir como: a + j b  siendo a la parte real y b la parte imaginaria.

Con las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, podemos calcular las componentes de la forma binómica (a y b) a partir del módulo del fasor y de su ángulo (forma polar) o bien hallar el módulo del fasor y su ángulo a partir de la forma binómica.

Suma y resta de fasores

Para sumar o restar dos fasores es conveniente tenerlos en forma binómica, por lo tanto se hace la suma o resta componente a componente.

Multiplicacion y división de fasores

Es más simple hacerlas en forma polar. Se multiplican o dividen los módulos según corresponde y se suman los argumentos (para el caso de la multiplicación) o se los resta (para el caso de la división).

Serie de Fourier aplicada al moviento armonico

Sistemas de diagnóstico y análisis dinámico

A menudo, las fallas en los equipos rotatorios se manifiestan como una vibración anormal o como un cambioen el patrón de vibraciones característico de cada máquina. De ahí la importancia de contar con herramientasque permitan adquirir y analizar las señales de vibración de los equipos mientras están operando.El IIE ha trabajado en este campo desde finales de la década de los setenta, desarrollando sistemas dediagnóstico basados en computadoras personales que permiten monitorear el comportamiento dinámico de losequipos rotatorios. Los principales sistemas de este tipo que ofrece actualmente el IIE son el Portátil, elSICAD (Sistema Computarizado para Análisis Dinámico), el SMC (Sistema de Monitoreo Continuo) y elSIMPER (Sistema Informático para el Mantenimiento Predictivo de Equipo Rotatorio). Los tres sonherramientas de enorme utilidad en el mantenimiento predictivo.El Sistema Portátil combina un equipo de adquisición de señales de vibración con una computadora en la quese analiza y presenta la información en forma muy accesible para el usuario, a fin de que éste puedaprogramar oportunamente el mantenimiento del equipo. El sistema incluye 17 tipos de reportes y 13 tipos degráficas.El SICAD se utiliza en el balanceo de maquinaria rotatoria. Durante la adquisición de las señales de vibraciónpuede desplegar diversos tipos de gráficas, entre ellas espectros en línea y gráficas polares; con estas últimasse determina dónde colocar los pesos necesarios para balancear el equipo.El SMC, más completo que los anteriores, es lo que se conoce como sistema esclavo; se instala en formapermanente en la máquina y supervisa el comportamiento de variables lentas como la temperatura, la presióny el flujo, además de los patrones de vibración. Este sistema analiza las tendencias de las variables,registrando así el estado de la máquina a lo largo del tiempo.Con el SIMPER se analiza la eficiencia de turbinas de vapor de 300 MW, con el fin de saber si necesitan

mantenimiento o si pueden seguir operando sin problema. Se habla, entonces, de mantenimiento predictivo.SumarioAdemás de los sistemas mencionados, el IIE ha desarrollado programas de cómputo que simulan lascaracterísticas dinámicas de rotores, tales como frecuencias naturales, formas modales y respuesta al

desbalanceo; se simulan también las características de chumaceras hidrodinámicas de distintos tipos.En lo que respecta al balanceo de rotores, la colaboración entre los especialistas en turbomaquinaria del IIE yel personal de la CFE ha sido especialmente estrecha tanto en proyectos contratados como en actividadesconjuntas. Los proyectos incluyen el desarrollo de software para el llamado balanceo en múltiples planos yestudios técnicos de apoyo a casos específicos. Junto con la CFE, se han elaborado e implementadometodologías para el balanceo en bancos, lo que ha permitido que la mayor parte de las actividades debalanceo se efectúe fuera de la ruta crítica del mantenimiento programado.

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