cinematica

Postulados de la relatividad especialTransformacion de Lorentz

Geometria del espacio-tiempoVelocidad y aceleracion tetradimencional

Tetravector energia-momento

Cinemática relativista

Ticse Torres Royer.Davila Aguilar Houston.

Tópicos especiales IV:Física de partículas.

8 de septiembre de 2009

Ticse Torres Royer. Davila Aguilar Houston. Cinemática relativista




1 Postulados de la relatividad especial

2 Transformacion de Lorentz

3 Geometria del espacio-tiempo

4 Velocidad y aceleracion tetradimencional

5 Tetravector energia-momento





Espacio y tiempo en mecánica clásica

Existen sistemas inerciales de referencia, con relación a loscuales la partícula libre (punto material) está en movimientouniforme y rectilineo (el reposo es un caso particular desemejante movimiento).En cualquier sistema inercial de referencia, el espacio libre dela materia es homogéneo e isotrópo y el tiempo homogéneo.Con iguales condiciones iniciales, todo fenómeno mecánicotranscurre de de la misma forma en todos los sistemasinerciales de referencia (principio de relatividad).





Las interacciones entre cuerpos materiales y las señales quetransmiten la información pueden propagarse a velocidadinfinita.Las coordenadas y el tiempo en dos sistemas inerciales dereferencia están relacionados por las transformaciones deGalileo. En todos los sistemas inerciales el tiempo es igual, osea, absoluto. La simultaneidad también es absoluta.

Transformaciones de galileo

~r = ~r ′ + ~V t

t = t ′





Postulados

La física relativista comienza con el enunciado de dos postuladosbásicos.

Postulado 1Todas las leyes de la física, son idénticas en todos los sistemas dereferencia.

A diferencia del principio de relatividad galileana, ya no se hacemención única a la mecánica sino a todas las leyes de la física.





Postulado 2La velocidad de la luz en el vacío es igual en todos los sistemas dereferencia inerciales, no depende del movimiento de la fuente oreceptor de la luz.

El caracter constante finito constante de la velocidad de la luzimplica que las interacciones se transmiten con cierta velocidad yel tiempo y espacio se entremezclan.





Consideremos dos sitemas inerciales de refernciaS y S ′. Desde el punto A se emiten señales en dosdirecciones opuestas entre sí, como la velocidadde propagacion de la señal en ambos sistemas esigual a c, las señales llegaran a los puntos B y C,equidistantes de A, en un mismo instante en elsistema S ′. Pero no serán simultaneos para elobservador situado en el sistema S .





Transformaciones de Lorentz

Sobre la base de las propiedades del espacio, tiempo y movimiento,necesitamos establecer las formulas que puedan sustituir lastransformaciones de Galileo. De la homogeneidad del espacio ytiempo se desprenden que las transformaciones deben ser lineales:

x ′ = αx + α′y + β′z + βt

t ′ = σx + δt + σ′y + δ′z





Formulas relativistas de transformación de las coordenadas y eltiempo.

x ′ =x − Vt√1− V 2

c2

y ′ = y

z ′ = z

t ′ =t − Vx/c2√

1− V 2

c2

Las tarsformaciones inversas se obtiene sustituyendo V por −V





Suma de velocidades

Derivando la transformación de Lorentz para las coordenadasespaciales respecto a los tiempos t ′ o t, obtenemos:

~u′ =~u − ~V + 1−γ

γ~V × (~u × ~V )

1− ~V .~uc2

En el límite no relativista se recupera la ley de adicion galileana.





Geometria del espacio-tiempo

Transformaciones.

Trivectores

x ′ = x cos θ + y sen θ

y ′ = y cos θ − x sen θ

z ′ = z

Transformaciones de rotaciónen el espacio euclideano.

Cuadrivectores

x ′ = (x − Vt)γ

y ′ = y

z ′ = z

t ′ = (t − Vxc2 )γ

Tansformaciones de rotacionen el espacio de Minkowksi





Espacio de Minkowksi

El espacio de Minkowksi es un espacio vectorial cuadrimencionalsimilar a R4 cuyos elementos o puntos se denominan sucesos ytiene la forma xµ = (ct,~x). Los vectores cuadrimencionales que sedefinen en este espacio son denominados cuadrivectores.Se define el intervalo espacio-temporal entre dos sucesos como lacantidad

s212 = c2(t2 − t1)

2 − (~x2 − ~x1)2

Elemento de linea.ds2 = c2dt2 − d~x2

es invariante bajo las transformaciones de Lorentz.





Figura: Diagama Espacio-tiempo





La contracción de las longitudes y la dilatación de los tiempos,típicos efectos relativistas, aparecen ahora como consecuencia de lageometria minkowskiana. La descomposición de un intervaloespacio-temporal en sus proyecciones espacial y temporal sobre losejes de los diversos sistemas de referencia es la responsable de quelas distancias y las duraciones de un mismo proceso resultendiferentes para distintos observadores.





Tensor métrico

De la forma del elemento de linea, que nos indica de alguna formadistancia entre dos sucesos, introducimos el tensor métrico gµν :

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

Así podemos escribir el elemento de linea:

ds2 = gµνdxµdxν

. La existencia de un tensor métrico nos permite identificarvectores covariantes y contravariantes como distintasrepresentaciones de un mismo objeto.





Vector. Componente contra y covariantes

Diremos que αµ es un cuadrivector contravariante si se transformabajo una transformacion de Lorentz como el vector de posiciónespacio temporal xµ de un suceso.

α′µ = Λµναν

Definimos un vector covariante αµ como aquel que se transformade acuerdo con una transformación de Lorentz inversa.

α′µ = (Λ−1)ν

µαν

Un tensor se transforma como vector contravariante o covarianteen cada uno de sus indices. Un escalar no se transforma bajo unatransformación de Lorentz, es decir, α es un escalar si y solo siα′ = α.





Velocidad y aceleracion tetradimencional

Definimos el Tetravector velocidad como el vector:

uµ =dxµ

dτ≡ xµ

uµ =

(c√

1− u2/c2,

~u√1− u2/c2

)de donde obtenemos:

uµuµ = c2





El tetravector aceleración se determina mediante las segundasderivadas de las coordenadas según el tiempo propio:

wµ =d2xµ

dτ2

puede demostrarse que:uµwµ = 0

es decir, la cuadrivelocidad y cuadriaceleración son perpendicularesentre sí.






La energía dividida por la velocidad de la luz y el impulsotridimencional de la partícula forman el cuadrivectorenergia-inpulso.

pµ =

(Ec

, ~p)

La primera componente es proporcional a la energia o la masa, quemediría un observador en movimiento relativo con respecto a lamasa puntual cuyo vector impetu fuese , p0 = E0/c. Por ello E0 ym0 se llaman respectivamente energía relativa y masa relativa.





El cuadrado del módulo del cuadrivector energia-momento sería:

(E0/c)2 − ~p = (mc)2 = (E/c)2

donde ahora E y m son la energía y la masa propias; es decir, lasque mediría un observador que se moviese con la partícula.





Referencias

M. Bredov, V. Rumiantsev, I. Toptiguin.Electrodiámica Clasica,Editorial Mir,pp. 15-50 ,1986

L.D. Landau, E.M. Lifshitz.Teoria clasica de campos,Editorial Mir, 1986

J.D. Jackson.Classical Electrodynamics, Wiley Sons, 1999


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