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Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano


CANTIDADES ESCALARES Y

VECTORIALES:

CANTIDAD ESCALAR:

Es aquella que está especificadacompletamente por un número conunidades apropiadas. No posee direcciónni sentido.

EJEMPLO: Tiempo, Temperatura, dineroetc.


CANTIDAD VECTORIAL:

Es aquella que además de un número y una

unidad apropiada posee una dirección y un

sentido.

EJEMPLO: Velocidad, desplazamiento, fuerza,

etc.

NOTA: Distancia ≠ desplazamiento


La distancia recorrida (una cantidad escalar) es

la longitud de la trayectoria o camino seguido por

el móvil.

Para simplificar el estudio del movimiento,

representaremos a los cuerpos móviles por

puntos geométricos, olvidándonos, por el

momento, de su forma y tamaño.


Se llama trayectoria a la línea que describe el

punto que representa al cuerpo en movimiento,

conforme va ocupando posiciones sucesivas a

lo largo del tiempo, (Trayectoria: Es la ruta

seguida o el camino real recorrido que ha

experimentado un cuerpo).


Desplazamiento

Trayectoria

o

camino total

Ingeniera Margarita Patiño

Instituto Tecnológico

Metropolitano


VECTOR

Es un segmento dirigido de recta que

posee una medida con base en una

escala previamente elegida. En todo

vector podemos identificar su dirección

(horizontal, vertical, oblicua), su sentido

(arriba (+), abajo (-), derecha (+) e

izquierda (-) y su intensidad, medida o

magnitud.


EJEMPLOS

Dirección: HorizontalSentido: derecha (+)Intensidad: 3 unidades,

A

u3A

B

Dirección: Vertical

Sentido: Abajo (-)

Intensidad: = B,u2

u2

=

=


Dirección: Oblicua

Sentido: Derecha - arriba

Intensidad: u4C,u4

C

Concluyendo:

Los vectores son magnitudes

representadas por un segmento

dirigido (flecha). Se caracterizan

por poseer:


a) Una longitud, la que es

representada por un valor

numérico al que llamaremos

módulo (también se la denomina

norma)

b) Una dirección, que es la recta

a la que pertenece

c) Un sentido. La recta posee

dos sentidos, generalmente

estos se indican mediante signos

"+" para un lado y "-" para el

otro.


MECÁNICA

Recordemos que la mecánica, como una de las

áreas de la Física, se encarga del estudio del

movimiento de los cuerpos que se mueven a

velocidades pequeñas comparadas con la

velocidad de la luz.

Para su estudio, la mecánica podemos

subdividirla en: CINEMÁTICA, DINÁMICA y

ESTÁTICA.


CINEMÁTICA

Parte de la mecánica que estudia el movimiento

de los cuerpos en términos del espacio y del

tiempo, sin tomar en cuenta los agentes

presentes que lo producen (no tiene en cuenta la

masa del cuerpo que se mueve ni las causas

que producen dicho movimiento).


DINÁMICA

Parte de la mecánica que estudia el movimiento de los

cuerpos teniendo en cuenta la masa del cuerpo que se

mueve y las causas que lo producen.

ESTÁTICA

Parte de la mecánica que estudia el equilibrio de los

cuerpos.


MOVIMIENTO Y REPOSO

Decimos que un cuerpo está en movimiento

respecto a un sistema de referencia cuando

cambia su posición en el tiempo, en caso

contrario diremos que el cuerpo se

encuentra en reposo.


Ejemplo:

Si dentro de un bus están dos pasajeros

ocupando puestos fijos, uno respecto al otro

estará en reposo, sin embargo, un observador

externo afirmará que están en movimiento.


Haremos un estudio del movimiento trasnacional (no

rotacional ni vibratorio) y consideraremos el objeto en

movimiento como una PARTÍCULA, lo que en

matemáticas se define como un punto sin tamaño.

DESPLAZAMIENTO

El movimiento de una partícula se conoce por

completo si su posición en el espacio se conoce

en todo momento.


Consideremos una partícula que se mueve a lo

largo del eje X desde un punto P a un punto Q.

X (Desplazamiento)

(tiempo) t

Xf

Xi

ti t

f

P

Q

Gráfica Posición vs tiempo.


Su posición en el punto P es Xi en el tiempo ti y su

posición en el punto Q es Xf en el tiempo tf.

Cuando la partícula se mueve de Xi a Xf se ha

DESPLAZADO y su desplazamiento está dado por de

Xf - Xi = X; ( X = cambio).

¿Será X positiva o negativa? Positiva si Xf Xi ,

negativa si Xi Xf .


Como magnitud siempre será positiva, y el signo (-)

cuando aparece nos indica el sentido del

desplazamiento.


VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media se define como la RAZÓN

entre el desplazamiento X y el intervalo de tiempo

t

V

if

if

tt

xxV

t

xV


UNIDADES DE VELOCIDAD:

Corresponden a la razón entre unidades de longitud y

unidades de tiempo.

s

mSKM ..

s

cmSGC ...

s

pieSPF ...

segundolibrapie

SecondSPoundPFootF ,,


NOTA:

La Velocidad promedio es independiente de la

TRAYECTORIA y DEPENDIENTE DEL

DESPLAZAMIENTO. Así, si la partícula sale de un

punto P y regresa al mismo punto P, su desplazamiento

es CERO y en consecuencia su velocidad promedio

también es CERO. Sin embargo, la DISTANCIA

RECORRIDA es diferente de cero.


DISTANCIA RECORRIDA (Desplazamiento): Es

la Medida longitudinal de la trayectoria.

¿Una velocidad promedio será positiva o negativa?

R/: Positiva si el desplazamiento es positivo y

negativa si el desplazamiento es negativo.

¿El intervalo de tiempo t será positivo o negativo?

R/: Siempre positivo.

Ver ejemplo pág. 25.


RAPIDEZ PROMEDIO:

Cociente entre la DISTANCIA TOTAL RECORRIDA

(Positiva) y el tiempo empleado en recorrer dicha

distancia.

Rapidez promedio =

La rapidez es un escalar y corresponde a la

magnitud de la velocidad.

VelocidadRapidezs

m

s

m,4

2

8


VELOCIDAD INSTANTÁNEA

• En general, la velocidad con la que se mueve un

coche, un avión o una motocicleta, por ejemplo,

varía de un instante a otro. Ello queda reflejado en

el movimiento de la aguja de sus respectivos

velocímetros. El valor que toma la velocidad en un

instante dado recibe el nombre de velocidad

instantánea.


Aun cuando la noción de instante, al igual que la

noción de punto, constituye una abstracción, es

posible aproximarse bastante a ella considerándola

como un intervalo de tiempo muy pequeño. Así, la

lectura del velocímetro se produce en centésimas de

segundos y ese tiempo puede ser tomado en el

movimiento de un coche como un instante, ya que

durante él la velocidad prácticamente no cambia de

magnitud.


Si los intervalos de tiempo son relativamente

pequeños, la velocidad media describe de mejor

forma el movimiento de la partícula en cada instante

durante ese pequeño intervalo. Por lo tanto, se define

la VELOCIDAD INSTANTÁNEA DE LA PARTÍCULA

como la velocidad media de la partícula en un

tiempo muy pequeño, denominado infinitesimal, o

sea en el límite cuando ∆t tiende a cero.


Cuando determinamos la velocidad en un instante de

tiempo, estamos determinando una VELOCIDAD

INSTANTÁNEA. Un instante de tiempo lo

consideramos como un tiempo que es

aproximadamente CERO, por lo tanto, la velocidad

instantánea v será:t

xtv

Lim

0

t

xt

d

ddefiniciónporporque

d

dVmentematemática

Lim

t

x

t

x 0

Cuando se observa el velocímetro de un carro, se aprecia su

velocidad instantánea, es decir, su rapidez. En ningún

momento se aprecia su velocidad promedio. Ver ejemplo p. 26


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Un M.R.U. es aquel movimiento en el cual se recorren

distancia (espacios) iguales en tiempos iguales, es

decir, es un movimiento en el cual la Velocidad

permanece constante. En la práctica es un

movimiento poco común, pues regularmente el móvil

durante su recorrido presenta cambios en su velocidad.

Sin embargo consideraremos la velocidad media

(promedio) como una velocidad constante cuando el

movimiento sea susceptible de realizarse en línea

recta.


tVdt

dV mm .

tVe .

tVs .vVpráctiefectosPara mcos

EJEMPLO 1:

Un automóvil se mueve con velocidad uniforme a razón de

durante 5 h. Calcular la distancia recorrida en Km, m, cm.

Solución


h

KmV 100

ht 5

.,,,? cmmKmd

tVd .

h5.h

Km100=d

Km500=d

mdKm

mKmd 5

3

10.51

10.500

cmdm

cmmd 7

2

5 10.510

1.10.5


EJEMPLO 2.

Un avión recorre 2.940 Km. en 3 h con movimiento uniforme.

Calcular su velocidad en Km/h y en m/s.

Solución

Kmd 2940

ht 3

s

m

h

KmV ,?

t

dV

h

KmV

3

2940

hKmV /980

s

h

Km

m

h

KmV

3600

1.

1

10.980

3

smV /22.272


MOVIMIENTO VARIADO

Es aquel movimiento cuya velocidad no es

constante.

Si la velocidad presenta variaciones en el tiempo,

entonces diremos que se presenta una aceleración.

Dicha variación de la velocidad puede ser

constante (uniforme) o no serlo.


Cuando la variación es constante, diremos que la

aceleración es constante y la clasificaremos en

positiva ( si la variación corresponde a un

aumento de la velocidad) o en negativa ( si

corresponde a una disminución de la velocidad)

ACELERACIÓN PROMEDIO

Supongamos que una partícula se mueve con una

velocidad vi en el tiempo ti y una velocidad vf en

el tiempo tf.


V (Velocidad)

Vf

Vi

ti t

f

P

Q

t (tiempo)

iV_fV=VΔ

t = tf - ti

tΔ

VΔ=a

i_

f

I_

f

tt

VV=

tΔ

VΔ=a

Matemáticamente ⇒dt

dV=a⇒

tΔ

VΔLim=a

0→Δ

aceleración

instantánea.

Nota: Para efectos prácticos: a=a


Además,dt

dV=a , pero

dt

dx=V así que:

dt

dx

dt

d=a

por lo tanto, la aceleración corresponde a la

segunda derivada del espacio con respecto al

tiempo:

2

2

dt

xd=a

Ver ejemplo pag. 35


MOVIMIENTO UNIFORME ACELERADO

Si consideramos una aceleración constante, α= α

y si consideramos:

vi = V0, ti = 0 segundos, tf = t, obtendremos:

t.a+V=V⇒t.a=VV⇒t

VV=a 0f0f

0f

Como, cuando la aceleración es constante la

velocidad varia linealmente en el tiempo, entonces:


V

Vf

Vi

v

t

at+V=V 0

t.2

V+V=XX

0f0

_

2

ta+tV=XX

2

00_

( )0

_20

2 XXa2+V=V

Ingeniera Margarita Patiño Instituto

Tecnológico Metropolitano

Gráficos v/t y a/t, para a > 0.



Gráficos v/t y a/t, para a < 0



CUERPOS EN CAÍDA LIBRE

Un caso particular de movimiento

en una dimensión, es aquel de los

objetos que se mueven

libremente en dirección vertical

cerca de la superficie de la Tierra,

que se conoce como movimiento

de caída libre. Galileo (1564 –

1642), físico y astrónomo italiano,

fue el primero en estudiar el



movimiento de caída libre, al

observar que dos cuerpos diferentes,

al dejarse caer desde la torre

inclinada de Pisa, llegaban al suelo

casi al mismo tiempo.

Experimentalmente se demuestra que todos los cuerpos

que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra, lo

hacen con una aceleración aproximadamente constante.



Esta aceleración, que se llama aceleración de

gravedad, es producida por una fuerza que existe

entre cuerpos con masa, llamada fuerza de atracción

gravitacional.

La aceleración de gravedad, que se denota por

g, es un vector que apunta hacia el centro de la

Tierra, su magnitud aumenta levemente al

aumentar la latitud, es decir desde el ecuador

hacia los polos, y disminuye al aumentar la altura

sobre la superficie terrestre.



Su valor medio en la superficie de la Tierra es

aproximadamente de 9.8 m/s2.

Se dice que un objeto está en caída libre cuando se

mueve bajo la influencia sólo de la aceleración de

gravedad, despreciando la resistencia (es otra fuerza

que se resiste al movimiento y que también será

estudiada más adelante) que el aire opone a los

cuerpos en movimiento, sin importar la velocidad inicial

del objeto.



Todos los cuerpos que se lanzan hacia arriba o

hacia abajo, o se dejan caer, lo hacen libremente

una vez que se dejan en libertad. La aceleración que

adquieren es siempre la aceleración de gravedad,

vertical hacia abajo, cualquiera sea la dirección

inicial del movimiento.



Como el movimiento de caída libre es en una

dimensión, con aceleración constante, se puede

adoptar como dirección del movimiento al eje vertical

y por lo tanto, se pueden aplicar las ecuaciones para

el movimiento en una dimensión, tomando al eje y en

la dirección del movimiento de caída, por convención

positivo hacia arriba.



Puede ocurrir que el TIRO SEA VERTICAL HACIA

ARRIBA O TIRO VERTICAL HACIA ABAJO.

TIRO VERTICAL HACIA ARRIBA

El cuerpo requiere ser lanzado con una velocidad inicial

mayor a cero ( V0 > o ). Cómo la gravedad lo atrae

hacía la tierra, su velocidad disminuye a razón de 9.8

m/s en cada segundo hasta que, por un instante, su

velocidad es cero. En ese momento alcanza su

máxima altura para la cual tarda un tiempo llamado

tiempo de subida.



Luego, el cuerpo comienza a caer (V0 = 0) y va

recuperando su velocidad a razón de 9.8 m/s en cada

segundo, y en el momento de llegar al sitio desde

donde fue lanzado habrá recuperado totalmente su

velocidad de lanzamiento ( demorando el mismo

tiempo de subida).



TIRO VERTICAL HACIA ABAJO

El cuerpo puede ser soltado libre ( V0 = 0) o puede

ser “ arrojado” ( V0 > 0). En cualquier caso, la

velocidad experimenta un aumento constante a razón

de 9.8 m/s en cada segundo. La aceleración de la

gravedad, en este caso, es +g.



En ambos tiros verticales, el movimiento

corresponde a un movimiento variado con

aceleración constante ( g = 9.8 m/s2) y por lo tanto,

las fórmulas del tiro vertical serán las mismas del

movimiento variado donde a = g y d = y =

(altura).

at+V=V 0tg+V=V 0

tg+V=V 0

( ) t.V+V2

1=XX 0f0

_ ( ) t.V+V2

1=YY 0f0

_

( ) t.V+V2

1=Y 0f



2

ta+tV=XX

2

00_ 2

00_ tg

2

1+tV=YY

20 tg

2

1+tV=Y



( )0

_20

2 XXa2+V=V

( )0

_20

2 YYg2+V=V

Yg2+V=V 20

2

En el tiro vertical hacia arriba, cuando el cuerpo alcanza

su máxima altura, su Vf = 0 y el tiempo que tarda es

un tiempo de subida. Entonces:



Yg2+V=V 20

2máx

20 Yg2+V=0

g2

V=Y

20

máx



tg+V=V 0 subida0 tg+V=0

g

V=t

0subida Con g negativa



Si el cuerpo sube y cae la misma altura,

el ts es igual al tiempo de caída y el

tiempo de vuelo será el doble del tiempo de

subida: Tv = 2ts, Tv = tiempo de vuelo

g

V2=t

0v



Cuando el cuerpo cae libremente la V0 = 0 y el

tiempo de caída será:

20 tg

2

1+tV=Y con V0 = 0

2ctg

2

1=y

g

Y2=tc

con g positiva.



Los gráficos posición/tiempo, velocidad/tiempo y

aceleración/tiempo para una partícula que se lanza

hacia arriba desde una posición inicial Y0 son los que se

muestran en la siguientes figuras:

Gráfico y/t, para a = g < 0



Gráfico vy /t para a = g < 0 Gráfico a/t, para a = g < 0



Metropolitano

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.

En general el movimiento de los objetos reales se

realiza en el espacio real tridimensional. El movimiento

de una partícula que se realiza en un plano es un

movimiento en dos dimensiones, si el movimiento se

realiza en el espacio, se produce en tres dimensiones.

En esta sección haremos referencia al estudio de la

cinemática de una partícula que se mueve sobre un

plano.



Metropolitano

Ejemplos de un movimiento en dos dimensiones son el

de un cuerpo que se lanza al aire como una pelota, un

disco girando, el salto de un canguro, el movimiento de

planetas y satélites, etc.

El movimiento de los objetos que giran sobre un plano,

se conoce como movimiento circunferencial, es un

caso de movimiento en dos dimensiones, que también

es estudiado en este capítulo. El movimiento de una

mosca volando, el de un avión o el de las nubes se

produce en tres dimensiones.



Metropolitano

DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO EN DOS

DIMENSIONES.

Continuamos restringiendo el movimiento al caso de

una partícula que se mueve con aceleración

constante, es decir que su magnitud y dirección no

cambian durante el movimiento.



Metropolitano

MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una

velocidad inicial v0 de dirección arbitraria, se mueve

describiendo una trayectoria curva en un plano.

Si para esta forma común de movimiento se supone

que:

a) La aceleración de gravedad es constante en todo el

movimiento (aproximación válida para el caso en que el

desplazamiento horizontal del cuerpo en movimiento

sea pequeño comparado con el radio de la Tierra).



Metropolitano

b) se desprecia el efecto de las moléculas de aire sobre

el cuerpo (aproximación no muy buena para el caso en

que la rapidez del cuerpo en movimiento sea alta),

entonces a este tipo de movimiento se le llama

movimiento de proyectil y se produce en dos

dimensiones.



Metropolitano

Se elige el sistema de coordenadas (x, y) tradicional

como se ve en la siguiente figura donde se dibuja la

trayectoria de una partícula en movimiento en dos

dimensiones, junto con los vectores velocidad y

aceleración de gravedad. Suponiendo que en el instante

inicial t = t0 el proyectil se encuentra en la posición

inicial (x0 , y0) moviéndose con una velocidad inicial v0

que forma un ángulo con la horizontal, bajo la acción

de la aceleración de gravedad g.



Metropolitano

Supongamos que mediante un cañón se dispara un

proyectil en una dirección que forma un ángulo

respecto a la superficie de la tierra.

Es fácil advertir, que la trayectoria del proyectil

corresponde a una trayectoria parabólica, y que si

tomamos un marco de referencia tal que la dirección

Y sea vertical y positiva hacia arriba entonces ay = -g

y ax = 0 ( ignorando la fricción del aire).



θSen.0V=y0V0V

y0V=θSen ⇒

Esta velocidad proporciona el movimiento

vertical con ay = g (M. U. V)



θCosV=VV

V=θCos .0x0

0

x0⇒

Esta velocidad proporciona el avance horizontal con

ax = 0 (M. R. U)

Recordando las ecuaciones cinemáticas del tiro vertical

:

tgV=V _0 tgV=V _

y0y

tgθSenV=V _0y



2_0 tg

2

1tV=Y 2_

y0 tg2

1t.V=Y

2_y0 tg

2

1t.θSenV=Y

Yg2V=V _20

2Yg2V=V _2

y02y

Yg2θSenV=V _22y0

2y



g2

V=Y

20

máx g2

V=Y

2y0

máx

g2

θSenV=Y

220

máx

g

V=t

0subida g

V=t

y0

subida g

θSenV=t

0subida

g

V2=t

0v g

V2=t

y0

v

g

θSenV2=t

0v



Como el movimiento de avance horizontal presenta

una velocidad constante, entonces:

t.V=x x0t.θCosV=x 0

Cuando x alcanza su máximo valor, se ha

demorado un tiempo tv y dicha distancia la

llamaremos máximo alcance horizontal y la

denotaremos por Xmáx.

Luego

g

θCos..θSen2V=X⇒

g

θVSen2.θCos.V=Xt.V=X

20

máx0máxvx0máx ⇒



( )g

.θ2SenV=X

20

máx

Es obvio que el máximo alcance horizontal o

recorrido se consigue cuando lo cual ocurre para =

45°

La velocidad (resultante) en cualquier instante detiempo, se obtiene por análisis de vectoresperpendiculares (Vx y Vy) y se obtiene:

Alcance máximo

2y

2x V+V=V



La dirección (ángulo entre V y la horizontal) se

deduce mediante la función trigonométrica

tangente, asi.

vy

vx

v

α

x

y

V

V=αtan



Alonso, Finn. Física. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana (1995).

Savirón, José Mª. Problemas de Física General en un año olímpico.Editorial Reverté (1984)

Serway. Física. Editorial McGraw-Hill (1992).

RESNICK, Robert; HALLYDAY David, Física 1 y 2, Editorial Continental S.A., México, Sexta Edición, 2 002

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