Cinemática de un robot con curvaturaconstante ?

Alberto A. Duarte ∗ Ana Y. Aguilar–Bustos ∗∗

M. C. Rodríguez–Liñán ∗∗∗

∗ TecNM-ITEnsenada, Baja California C.P. 22780(e-mail: alejandro.duarte@ite.edu.mx)

∗∗ TecNM-ITEnsenada, Baja California C.P. 22780(e-mail: aaguilar@ite.edu.mx)

∗∗∗ Conacyt-TecNM-ITEnsenada, Baja California C.P. 22780(e-mail: mcrodriguez@conacyt.mx)

Resumen En este trabajo se presenta una metodología para obtener el modelo cinemático deun robot altamente articulado, con curvatura constante. A diferencia de los modelos empleadosusualmente en la literatura, el método propuesto puede ser aplicado tanto a robots que tieneneslabones rígidos, como para aquellos que son del tipo continuo. Además, este método nopresenta el problema de singularidad que tienen los métodos basados en curvatura de arco.

Keywords: Robótica y mecatrónica, modelado de sistemas, robots híper redundantes,curvatura constante, robots continuos, sistemas electromecánicos,

1. INTRODUCCIÓN

En los últimos años ha habido un gran interés por elestudio de robots flexibles. Una manera de lograr queun robot sea flexible es aumentando el número de arti-culaciones. Debido a que en la robótica convencional losgrados de libertad (GDL) son proporcionales al númerode articulaciones, a los robots manipuladores altamentearticulados se les ha considerado como híper redundantes,sin embargo, como se explicará en el presente trabajo, lamayoría de ellos no lo son. Por esta razón, en el presenteartículo se inicia con la revisión del estado del arte de losrobots híper redundantes, ya que es ahí donde se inició elestudio de los robots flexibles altamente articulados.

Los robots hiper redundantes son aquellos que tienen unmuy alto grado de redundancia cinemática, es decir, aque-llos robots cuyos GDL son muchos más que los necesariospara realizar una tarea. Los robots de este tipo se haninspirado en sistemas biológicos tales como serpientes, latrompa del elefante y gusanos. A diferencia de los robotsmanipuladores convencionales, los cuales generalmente seutilizan en espacios de trabajo predefinidos y estructu-rados, los robots hiper redundantes están diseñados paraefectuar tareas que se realizan en ambientes restringidos ode difícil acceso, tales como rescate en zonas de desastre,cirugías, etc.

Los robots híper redundantes se han clasificado en dostipos: de eslabones rígidos, y del tipo continuo. Debidoa la complejidad de los robots híper redundantes, lastécnicas tradicionales de modelado han resultado difícilesde visualizar e implementar por lo que se han desarrolladotécnicas que se acoplan de mejor manera a la estructurade este tipo de mecanismos, Siciliano and Khatib (2008).

? Este trabajo es apoyado por CONACYT a través de una beca dedoctorado asignada a Alberto A. Duarte.

El estudio formal de los robots híper redundantes se iniciacon el trabajo de tesis doctoral realizado por Chirikjian(1992), quién desarrolló el primer análisis cinemático pararobots híper redundantes. Chirikjian utilizó el modelointegral de una curva k parametrizada por su longitud dearco s, para establecer el modelo cinemático de un robothíper redundante. Siguiendo el camino de la parametriza-ción de la curva, Hannan and Walker (2001) utilizaron lasfórmulas de Frenet-Serret para derivar la cinemática di-recta de una sección de un robot con curvatura constante.Posteriormente, Hannan and Walker (2003) extendieronesta metodología utilizando geometría de arco, donde seaplicó el algoritmo Denavit-Hartenberg con una pequeñamodificación: se consideró a cada sección de curvaturaconstante como un eslabón rígido (virtual), en el cual,por medio de tres transformaciones discretas (rotación,traslación, rotación) se obtuvo la cinemática de un mani-pulador continuo. En Jones and Walker (2006) se extiendeesta metodología considerando las restricciones físicas delos actuadores para producir resultados más precisos. Sinembargo, existen dos desventajas al utilizar este tipo deanálisis: la primera es que, debido a que las ecuacionesresultantes para establecer la posición (x, y) del efectorfinal están en función de la curvatura, existe singularidadcuando la curvatura es cero, esto es, cuando cualquierade las secciones del robot es recta. La segunda desventajasurge al considerar a todos los robots como si fuerantotalmente continuos, aún a aquellos que están formadospor eslabones rígidos, por lo que en estos últimos existe unerror en la determinación de la posición final del efector.

Otro enfoque que se emplea con frecuencia está basado enel análisis modal, desarrollado por Chirikjian and Burdick(1994), en Godage et al. (2011) se propone el análisis mo-dal reemplazando los términos paramétricos por polino-mios multivariables. Este trabajo es extendido en Godageand Walker (2015) donde se emplean cuaterniones, en

Memorias del Congreso Nacional de Control Automático

San Luis Potosí, San Luis Potosí, México, 10-12 de Octubre de 2018 273 Copyright©AMCA. Todos los Derechos Reservados www.amca.mx

Figura 1. Robot trompa de elefante, imagen tomada deHannan and Walker (2003)

lugar de matrices de transformación homogénea. Sin em-bargo, este método de seguimiento de curvas, asume quese pueden controlar exactamente todos los parámetros delrobot, y que todas sus características son completamenteconocidas, lo que en general no es así; además limita laconfiguración de los robots a un conjunto reducido demovimientos.

Todos los trabajos hasta aquí presentados abordan elproblema de la cinemática para robots híper redundantesconsiderando que estos tienen un número infinito deeslabones, esto es, que son completamente “continuos”,aun cuando no todos los robots de este tipo cumplen esacondición, como es el caso del robot que se muestra en laFigura 1.

En este trabajo se presenta la cinemática directa deun robot con curvatura constante, basado en matricesde transformación homogénea, que es geométricamenteexacto. El método propuesto no presenta el problemade singularidad observado en los modelos descritos enfunción de la curvatura k, y puede ser aplicado tantoen robots con eslabones rígidos, como en aquellos deltipo continuo. Además, permite observar cómo, gradual-mente, un robot con eslabones rígidos se comporta deforma continua a medida que aumenta el número desus eslabones. En el presente trabajo se llamarán robotscontinuos (RC) a aquellos que carecen de articulaciones, yrobots altamente articulados (RAA) a aquellos que estáncompuestos por eslabones rígidos, en ambos casos losrobots pueden doblarse de manera constante a lo largode su estructura, razón por la cual, en la literatura, seles ha clasificado erróneamente dentro de los robots híperredundantes. Este punto se discutirá más a fondo en elsiguiente apartado.

2. PREELIMINARES

2.1 Curvatura constante

Debido a su configuración, los RC y RAA que son actua-dos de manera continua a lo largo de toda su estructura,ya sea por cables, Li and Rahn (2002) o por algún fluido,McMahan et al. (2005), se doblan en la misma proporción,es decir, tienen curvatura constante.

De acuerdo con Walker (2013), esto se debe a que la ener-gía potencial interna de cada sección está uniformementedistribuida, por lo que las fuerzas internas actúan paraequilibrar los grados de libertad pasivos (no actuados),provocando que la estructura se doble formando una curva

constante. Esta propiedad fue utilizada en Hannan y Wal-ker (2001) para determinar la curvatura de cada seccióndel manipulador, donde se consideró que cada una de lasarticulaciones (para cada sección de curvatura) debían derotar en la misma proporción para formar una curvaturaconstante. Entonces, para que la energía potencial internasea uniformemente distribuida, la longitud y el ángulo delos eslabones deben ser los mismos, Hannan and Walker(2003).

Por lo tanto, el hecho de que la estructura se doble demanera constante deberá depender estrictamente de ladistribución uniforme de estos parámetros. Cabe destacarque cuando se aplica una carga al mecanismo, debido aque las fuerzas ya no se encuentran distribuidas de manerauniforme la curvatura se deforma (se pandea), Rucker andIII (2011). Sin embargo, aún bajo esas condiciones, siguesiendo una buena aproximación que ha sido ampliamenteutilizada. Este enfoque de curvatura constante ha sidovalidado experimentalmente en distintos robots Hannanand Walker (2003), Jones and Walker (2006), Neppalliet al. (2007), Bardou et al. (2010) y Zhao and Gao (2010).

2.2 Robots rígidos, continuos e hiper redundantes

Como se mencionó anteriormente, los robots híper redun-dantes se han clasificado como robots rígidos y robotscontinuos, Siciliano and Khatib (2008). Sin embargo, lamayoría de este tipo de robots no tienen una verdaderahíper redundancia cinemática. Esto se debe a que sedoblan en la misma proporción a lo largo de su estructu-ra (curvatura constante). Algunos autores han exhibidoeste problema; por ejemplo, Hannan and Walker (2003)mencionan que los robots híper redundantes se puedendistinguir de los RC, tomando en consideración que losrobots híper redundantes son aquellos que tienen muchosmás GDL actuados que los GDL del espacio de trabajo.Mientras que, los RC pueden tener muchos más GDL quelos del espacio de trabajo, pero no necesariamente todosellos son actuados. Por su parte, Robert J. Webster andJones (2010) definen a los RC como aquellos que cuentancon una estructura elástica que se puede doblar de formacontinua y que tiene un número infinito de GDL.

Las definiciones anteriores consideran que tanto los RC,como los robots rígidos con curvatura constante, tienenmuchos grados de libertad; infinitos para el caso de loscontinuos y finitos para el caso de los rígidos. Sin embargo,debido a que cada sección de estos robots se dobla demanera continua a lo largo de toda su estructura, lasarticulaciones no proporcionan realmente un GDL ya queno son articulaciones libres, es decir, están restringidasfísicamente, por lo tanto, cada sección del robot para elcaso planar, tiene un GDL, considerando que el número deGDL de un robot es el menor número de coordenadas quese necesitan para establecer su configuración, Lynch andPark (2017). Si se observa la Figura 2, la configuración delrobot puede ser representada únicamente por α, ya que lalongitud de arco s (longitud de la sección) es constante.Por ejemplo, el robot de la Figura 1 tiene cuatro seccionesque están actuadas de manera independiente cada una, eneste caso el robot tiene cuatro GDL (para el caso planar).

Por otra parte, existen robots que no son completa-mente continuos, es decir tienen eslabones rígidos pero

San Luis Potosí, San Luis Potosí, México, 10-12 de Octubre de 2018 274 Copyright©AMCA. Todos los Derechos Reservados www.amca.mx

Figura 2. Esquema basado en geometría de arco deHannan and Walker (2003)

se comportan de manera similar a los robots continuos(presentan curvatura constante). Tal es el caso del robotdesarrollado en Clemson University llamado Elephant’sTrunk Manipulator, ver Figura 1. Este tipo de robotshan sido denominados como HDOF (High Degree OfFreedom), Gravagne and Walker (2002). Así, de acuerdo aesta definición, la diferencia básica entre un RC y uno tipoHDOF, es que uno tiene eslabones y el otro no, por lo cualse pueden considerar continuos a aquellos manipuladoresque se comporten de manera similar. Sin embargo, comose dijo anteriormente, las articulaciones en cada secciónde este tipo de mecanismos no representan un GDL, comoes el caso de los manipuladores convencionales, debido aque están restringidos a doblarse de forma constante. Estoes, todas las articulaciones tendrán la misma magnitud.Nótese que, aun en el caso de que exista una fuerzaexterna que deforme la estructura, las articulaciones si-guen estando restringidas. Por esta razón, en el presentetrabajo, se denomina a los robots de este tipo como robotsaltamente articulados o RAA.

Se puede inferir entonces que existe una relación estrechaentre lo que es un RC y un RAA, y que la ‘continuidad’de un robot de este tipo aumenta en proporción alnúmero de eslabones; lo cual debe de poder observarseen su modelo cinemático. Además, es necesario que en elmodelo cinemático se tome en cuenta el hecho de queno todos los robots son totalmente continuos, ya quehay aplicaciones donde se requiere que la curvatura dela columna (Backbone curvature) esté compuesta poreslabones rígidos, como es el caso del robot presentadopor Yigit and Boyraz (2017).

En la literatura, se han utilizado distintos enfoques paraderivar la cinemática directa de una sección de un robotcontinuo con curvatura constante, sin embargo, todosellos llegan fundamentalmente al mismo resultado, RobertJ. Webster and Jones (2010), Walker (2013). Por loanterior, se elegirá el enfoque presentado en Hannan andWalker (2003) para compararlo con el modelo propuestoen el presente trabajo.

En la Figura 2 se muestra el esquema propuesto en Han-nan and Walker (2003) para modelar la cinemática decada sección, para RC y RAA con curvatura constante.Este se basa en tres movimientos discretos: una rotaciónα, una traslación ‖x(s)‖ y de nuevo otra rotación α.Estas transformaciones se utilizan como los parámetros

Denhavit-Hartenberg modificados, con los que posterior-mente se construye la matriz de transformación homogé-nea en términos de la curvatura k y la longitud de arcos. Aquí, α es el ángulo formado entre la tangente de lacurva en el principio y fin de efector y la línea recta queune ambos puntos.

Así, α puede calcularse como

α =ks

2, (1)

donde k representa la curvatura, y s es la longitud de arco.La matriz de transformación se define entonces como

H03 =

cos(sk) − sin(sk) 01

k(cos(sk)− 1)

sin(sk) cos(sk) 01

k(sin(sk)− 1)

0 0 1 0

0 0 0 1

(2)

3. MODELO CINEMÁTICO PROPUESTO

A continuación se presenta el modelo cinemático de unasección de curvatura constante que puede ser aplicadotanto para RC, como para RAA, con curvatura constante.

En la Figura 3 se presenta un manipulador planar con tresarticulaciones de rotación {θ1, θ2, θ3} y con longitudes delos eslabones {L1, L2, L3}. La posición y la orientación delefector final, respecto al marco de coordenadas {1}, estándadas por

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

+ L3 cos(θ1 + θ2 + θ3) (3)y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

+ L3 sin(θ1 + θ2 + θ3) (4)φ = θ1 + θ2 + θ3 (5)

Por lo tanto, para un robot planar de n articulaciones setiene

xn =

n∑i=1

Li cos

i∑j=1

θj (6)

yn =

n∑i=1

Li sin

i∑j=1

θj (7)

φ =

n∑i=1

θi (8)

De acuerdo con lo mencionado en la sección anterior, enlos RAA con curvatura constante, se debe de cumplir que

θ1 = θ2 = . . . = θn = θ (9)L1 = L2 = . . . = Ln = L. (10)

Así, la posición y orientación del efector final estarándadas como

San Luis Potosí, San Luis Potosí, México, 10-12 de Octubre de 2018 275 Copyright©AMCA. Todos los Derechos Reservados www.amca.mx

Figura 3. Robot planar 3R.

xn = L

n∑i=1

cos(iθ) (11)

yn = L

n∑i=1

sin(iθ) (12)

φn = nθ (13)

La matriz de transformación homogénea quedará enton-ces expresada de la siguiente forma:

A0n =

cos(φn) − sin(φn) xn

sin(φn) cos(φn) yn

0 0 1

(14)

Nótese que las ecuaciones (11)–(14) representan la cine-mática directa de una sección de un robot con curvaturaconstante. Sin embargo, hay robots que tienen más de unasección, como es el caso del robot presentado en la Figura1; este cuenta con 4 secciones de curvatura constante(de 8 eslabones por sección). Por tanto, si se consideraque se tiene un robot con un número m de secciones decurvatura constante, la cinemática se puede obtener pormedio del producto de las m matrices de transformaciónhomogénea.

La Figura 4 representa el esquema propuesto en estetrabajo, donde el ángulo α se define como

α = arctan

(ynxn

)(15)

Sin embargo, para poder determinar el ángulo θ que hade introducirse para obtener el valor deseado de α, esnecesario determinar la relación que existe entre ambos.Por geometría, esta relación está dada como

nθ = β + α, (16)β + θ = α. (17)

Sustituyendo la ecuación (16) en (17), se tiene que

θ =2α

n+ 1. (18)

Figura 4. Representación de un robot planar con n esla-bones y curvatura constante.

Como se puede observar, la ecuación (18) tiene en cuentael número de eslabones, mientras que en la ecuación(1) propuesta por Hannan and Walker (2003), que estáexpresada en función de la curvatura y la longitud dearco, se considera que no hay eslabones en la estructura.

4. RESULTADOS

Con el fin de validar las ecuaciones obtenidas en lassecciones previas, se realizó una comparación del modelocinemático de un robot altamente articulado con curvatu-ra constante (RAA-CC), realizado en el presente trabajo,y el modelo por geometría de arco (GA) de Hannan andWalker (2003). Este último fue elegido para la evaluaciónde resultados debido a que es el método mayormenteutilizado en la literatura para este tipo de robots, Singhet al. (2017).

Las Figuras 5-7 muestran simulaciones por medio deMatlab R©, para diferentes valores de1 ángulo α. Se puedeobservar que, mientras más grande sea el valor del ánguloα deseado, mayor será el error en la posición del efectorfinal. Esto es debido al efecto acumulativo de las magnitu-des de los ángulos θ. Las simulaciones que se describen acontinuación se realizaron con los parámetros presentadospor Hannan and Walker (2003) para una sección del robottrompa de elefante. Es decir, se considera una sola secciónformada por 8 eslabones.

x (mm)

0 50 100 150 200

y (m

m)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100RAA-CC

GA

Figura 5. Comparación de RAA-CC y GA con ánguloα = 30◦.

San Luis Potosí, San Luis Potosí, México, 10-12 de Octubre de 2018 276 Copyright©AMCA. Todos los Derechos Reservados www.amca.mx

x (mm)

0 20 40 60 80 100 120 140

y (m

m)

0

20

40

60

80

100

120

140RAA-CC

GA

Figura 6. Comparación de RAA-CC y GA con ánguloα = 45◦.

x (mm)

0 10 20 30 40 50 60 70

y (m

m)

0

50

100

150RAA-CC

GA

Figura 7. Comparación de RAA-CC y GA con ánguloα = 90◦.

Posteriormente, se realizaron comparaciones entre el mo-delo GA y el modelo RAA-CC para secciones de longitudunitaria con diferente número de eslabones. El objetivo deestas simulaciones es evaluar la convergencia en posiciónentre un robot continuo, modelado por método de Hannanand Walker (2003), y un robot tipo RAA-CC, modeladopor el método propuesto en el presente artículo. Los resul-tados de esta comparación se muestran en las Figuras 8 y9. Puede apreciarse que, a medida que aumenta el númerode eslabones, ambos modelos convergen, demostrando queel modelo RAA-CC propuesto puede ser aplicado a robotscontinuos.

El modelo propuesto permite configurar cualquier secciónde curvatura en posición recta, esto es, cuando la curva-

x (m)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

y (m

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8RAA-CC

GA

Figura 8. Comparación de RAA-CC y GA con ánguloα = 90◦, considerando 6 eslabones para el RAA-CC.

tura del arco está dada como k = 0. En esta configuraciónse tendría un ángulo deseado α = 0◦, y como puedeobservarse en la Figura 10, el esquema RAA-CC es capazde alcanzar la configuración deseada.

Finalmente, el espacio de trabajo correspondiente a unmanipulador del tipo RAA-CC se ilustra en la Figura 11.Se consideró un robot consistente en una sóla sección decurvatura compuesta de 8 eslabones, y longitud unitaria.El espacio se generó por medio de un barrido en el ánguloα = [−180◦, 180◦].

5. CONCLUSIONES

Este trabajo propone un modelo cinemático para un robotaltamente articulado con curvatura constante. Se demos-tró que este método puede ser aplicado también pararobots continuos simplemente aumentando el número deeslabones, de acuerdo con la exactitud que se desee. Esto,a su vez, redunda en una reducción del costo computacio-nal asociado al cálculo de la cinemática del manipulador,ya que en aplicaciones que no requieran mayor exactitudse pueden reducir los cálculos. El modelo propuesto per-mite observar que en un robot cuyos eslabones son dela misma longitud y sus variables de articulación iguales,a medida que aumenta el número de eslabones, la curvase aproxima a la curva parametrizada por el arco de uncírculo, esto es, el robot se asemeja a uno continuo. Ade-más, el modelo no presenta el problema de singularidadcuando la curvatura es cero, ya que este no se encuentraen función de la curvatura de arco. En el presente trabajose logró aclarar en mayor medida el comportamiento deeste tipo de mecanismos estableciendo el hecho de quecada articulación no proporciona, en realidad, un gradode libertad al mecanismo. Por lo tanto, este tipo de robotsno pueden ser considerados ni altamente redundantes,ni híper redundantes. Solamente podrían considerarse re-dundantes (o híper redundantes, según sea el caso) si seaumentara el número de secciones, siendo cada seccióndel robot un eslabón flexible altamente articulado, o conarticulaciones infinitesimales para el caso continuo.

5.1 References

REFERENCIAS

Bardou, B., Zanne, P., Nageotte, F., and de Mathelin,M. (2010). Control of a multiple sections flexible

x (m)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

y (m

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7RAA-CC

GA

Figura 9. Comparación de RAA-CC y GA con ánguloα = 90◦, considerando 30 eslabones para el RAA-CC.

San Luis Potosí, San Luis Potosí, México, 10-12 de Octubre de 2018 277 Copyright©AMCA. Todos los Derechos Reservados www.amca.mx

x (m)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y (m

)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1RAA-CC

Figura 10. El modelo RAA-CC propuesto no presentasingularidad cuando el ángulo α = 0◦.

x (m)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y (m

)

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 11. Espacio de trabajo para un robot tipo RAA-CC, para α = [−180◦, 180◦], considerando una sec-ción de longitud unitaria, de 8 eslabones.

endoscopic system. In 2010 IEEE/RSJ InternationalConference on Intelligent Robots and Systems, 2345–2350.

Chirikjian, G.S. (1992). Theory and applications of hyperredundant robotics manipulators. Ph.D. thesis, Califor-nia Institute of Technology, Pasadena, California.

Chirikjian, G.S. and Burdick, J.W. (1994). A modalapproach to hyper-redundant manipulator kinematics.IEEE Transactions on Robotics and Automation, 10(3),343–354.

Godage, I.S., Guglielmino, E., Branson, D.T., Medrano-Cerda, G.A., and Caldwell, D.G. (2011). Novel mo-dal approach for kinematics of multisection continuumarms. In 2011 IEEE/RSJ International Conference onIntelligent Robots and Systems, 1093–1098.

Godage, I.S. and Walker, I.D. (2015). Dual quaternionbased modal kinematics for multisection continuumarms. In 2015 IEEE International Conference onRobotics and Automation (ICRA), 1416–1422.

Gravagne, I.A. and Walker, I.D. (2002). Manipulability,force, and compliance analysis for planar continuummanipulators. IEEE Transactions on Robotics andAutomation, 18(3), 263–273.

Hannan, M. and Walker, I.D. (2001). Analysis andexperiments with an elephant’s trunk robot. AdvancedRobotics, 15(8).

Hannan, M.W. and Walker, I.D. (2003). Kinematics andthe implementation of an elephant’s trunk manipulatorand other continuum style robots. Journal of RoboticSystems, 20(2), 45–63.

Jones, B.A. and Walker, I.D. (2006). Kinematics formultisection continuum robots. IEEE Transactions onRobotics, 22(1), 43–55.

Li, C. and Rahn, C. (2002). Design of continuousbackbone, cable- driven robots. Journal of MechanicalDesign, 124, 265–271.

Lynch, K.M. and Park, F.C. (2017). Modern Robotics,Mechanics, Planning and Control. Cambridge Univer-sity Press.

McMahan, W., Jones, B.A., and Walker, I.D. (2005). De-sign and implementation of a multi-section continuumrobot: Air-octor. In 2005 IEEE/RSJ InternationalConference on Intelligent Robots and Systems, 2578–2585.

Neppalli, S., Jones, B., McMahan, W., Chitrakaran, V.,Walker, I., Pritts, M., Csencsits, M., Rahn, C., andGrissom, M. (2007). Octarm - a soft robotic manipu-lator. In 2007 IEEE/RSJ International Conference onIntelligent Robots and Systems, 2569–2569.

Robert J. Webster, I. and Jones, B.A. (2010). Design andkinematic modeling of constant curvature continuumrobots: A review. The International Journal of RoboticsResearch, 29(13), 1661–1683.

Rucker, D.C. and III, R.J.W. (2011). Statics and dyna-mics of continuum robots with general tendon routingand external loading. IEEE Transactions on Robotics,27(6), 1033–1044.

Siciliano, B. and Khatib, O. (2008). Springer Handbook ofRobotics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1 edition.

Singh, I., Lakhal, O., and Merzouki, R. (2017). To-wards extending forward kinematic models on hyper-redundant manipulator to cooperative bionic arms.Journal of Physics: Conference Series, 783(1), 012056.

Walker, I.D. (2013). Continuous backbone ”continuum”robot manipulators. ISRN Robotics, 2013, 1–19.

Yigit, C.B. and Boyraz, P. (2017). Design and modellingof a cable-driven parallel-series hybrid variable stiffnessjoint mechanism for robotics. Mechanical Sciences,8(1), 65–77.

Zhao, Q. and Gao, F. (2010). Design and analysis ofa kind of biomimetic continuum robot. In 2010 IEEEInternational Conference on Robotics and Biomimetics,1316–1320.

San Luis Potosí, San Luis Potosí, México, 10-12 de Octubre de 2018 278 Copyright©AMCA. Todos los Derechos Reservados www.amca.mx