Cinética de Crecimiento

Microbiano

Diseño de biorreactores

Departamento de procesos y energía

Facultad de minas

1

Proceso con crecimiento celular

• Resultado de la interacción del ambiente (fase abiótica) y la población de células (Biomasa o fase biótica)

3

Condiciones ambientales Población celular

Multicomponente, multifásico Heterogeneidad en cada célula individual

pH y T variable Múltiples reacciones

Cambio en reológia Adaptabilidad

Modelos cinéticos de crecimiento celular

4

Caso real

• Multicomponente

• Población celular

heterogénea

• Células tratadas

individuales

• Multicomponente

• Población celular

promedio

• Un componente

• Población celular

heterogénea

Caso ideal

• Un componente

• Población celular

promedio

Aproximaciones

• Crecimiento balanceado_ sustrato limitante

5

Proceso con crecimiento celular

• Proceso por lotes (batch)

• Proceso Continuo

6

Curva de crecimiento celular

7

Cinética microbiana (No estructurado – No segregado)- caso ideal

• Asume crecimiento balanceado donde todos los componentes intrínsecos están en estados pseudoestacionarios.

• El crecimiento celular se considera como una reacción auto catalítica de primer orden.

8

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝑓 𝑍 · 𝑋

Z es un vector que contiene todas las variables que pueden afectar el crecimiento

𝑟𝑥 = 𝜇 · 𝑋 𝜇 =1

𝑋

𝑑𝑋

𝑑𝑡

μ vs Sustrato

• Blackman (1905):

• Monod (1942):

• Tessier (1936):

• Moser (1958):

9

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥min 1, 𝐾𝐵𝑆

𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

𝐾𝑠 + 𝑆

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 − 𝑒−𝐾𝑇𝑆

𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

𝑛

𝐾𝑠 + 𝑆𝑛

Lectura sobre el tema: Yu Liu (2006)

μ vs Sustrato

• Contois (1959):

• Powel (1967):

• Manson y Milles (1976):

• Meyrath (1973):

10

𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

𝐾𝑠𝑥𝑋 + 𝑆

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

𝐾𝑠 + 𝑆+ 𝐾𝑑𝑆

𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥 𝑆 − 𝐾1𝑓 𝑆

𝐾𝑠 + 𝑆 − 𝐾1𝑓 𝑆

𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥 𝑆0 −

𝑋𝑌𝑥𝑠

𝐾𝑠 + 𝑆0 −𝑋𝑌𝑥𝑠

μ vs Sustrato

• Konak (1974):

• Kargi y Shuler (1967):

• Vavilin (1982):

11

𝑑𝜇

𝑑𝑆= 𝑘 𝜇𝑚𝑎𝑥 − 𝜇

𝑃

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆𝑅

𝐾𝑚𝑅−𝑃 · 𝑆0

𝑅 + 𝑆𝑅

𝑘 =1

𝜇𝑚𝑎𝑥𝐾𝑠

𝑑𝜇𝜇𝑚𝑎𝑥𝑑𝑆

= 𝑘𝜇

𝜇𝑚𝑎𝑥

𝑚

1 −𝜇

𝜇𝑚𝑎𝑥

𝑃

μ vs Biomasa

• Motta (1976):

Ecuación Logística

• Cui y Lawson (1982):

• Frame y Hu (1988):

12

𝜇 = 𝑎 − 𝑏𝑋 𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑎𝑋 − 𝑏𝑋2

𝜇 =1 −

𝑋𝑋𝑚𝑎𝑥

1 −𝑋𝑋𝑙𝑖𝑚

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 − 𝑒−𝑘𝑋𝑚𝑎𝑥−𝑋𝑋

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 −𝑋

𝑋𝑚𝑎𝑥

Inhibición por sustrato

• Haldane (1965):

• Webb (1963):

• Tipo Teissier:

• Edwards (1970):

13

𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

𝐾𝑠 + 𝑆 +𝑆2

𝐾𝐼

𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆 1 +

𝑆𝐾𝐼

𝐾𝑠 + 𝑆 +𝑆2

𝐾𝐼

𝑑𝜇

𝑑𝑆= 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 +

𝐾𝑠𝑆+𝑆

𝐾𝐼𝑆

−2

−𝐾𝑆𝑆2+1

𝐾𝐼𝑆

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 𝑒−𝐾𝑖𝑆 − 𝑒−𝐾𝑇𝑆

• Si existe inhibición por sustrato:

14

𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

𝐾𝑠 + 𝑆 +𝑆2

𝐾𝐼

Haldane (1965):

15

• Lineweaver Burk:

1

𝜇=

𝑆

𝐾𝐼𝜇𝑚𝑎𝑥+𝐾𝑠𝜇𝑚𝑎𝑥

1

𝑆+1

𝜇𝑚𝑎𝑥

16

• Eadie Hofstee:

𝜇

𝑆=𝜇𝑚𝑎𝑥𝐾𝑠−𝜇

𝐾𝑠−𝜇𝑆

𝐾𝐼𝐾𝑠

17

• Langmuir:

𝑆

𝜇=𝑆2

𝐾𝐼𝑣𝑚𝑎𝑥+𝑆

𝜇𝑚𝑎𝑥+𝐾𝑠𝜇𝑚𝑎𝑥

Inhibición por producto

• Holzberg (1967):

• Jerusalimsky (1967):

• Aiba(1969):

• Ghose y Thiagui (1979):

18

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

𝐾𝑆 + 𝑆

𝐾𝑃𝐾𝑃 + 𝑃

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

𝐾𝑆 + 𝑆𝑒−𝐾𝑝𝑃

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 − 𝐾1 𝑃 − 𝐾2

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 −𝑃

𝑃𝑚𝑎𝑥

Inhibición por producto

• Levenspiel (1980):

• Bazua y Wilkie (1977):

• Lee(1983):

19

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 −𝑃

𝑃𝑚𝑎𝑥

𝑛𝑆

𝐾𝑆 + 𝑆

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

𝐾𝑆 + 𝑆

𝐾𝑃𝐾𝑃 + 𝑃

𝐾𝑖𝐾𝑖 + 𝑆

𝜇𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝐶 1 −𝑃𝐶𝑃𝑚𝑎𝑥

12

Temperatura y pH • Escner et al. (1981):

• Andreyeva et al. (1973):

𝜇 = 𝐴𝑒𝑥𝑝 −𝐸𝑎𝑅𝑇 − 𝐵𝑒𝑥𝑝 −

𝐸𝑏𝑅𝑇

𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥 𝐻

+ 𝑆

𝐾1 + 𝐻+ 𝑆 + 𝐾𝑖 𝐻

+ 2𝑆2

Lectura sobre el tema: Rosso et al. (1995)

Múltiples Sustratos

• Modelo Interactuante:

• Modelo no interactuante:

𝜇 𝑆1, 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑓1 𝑆1 𝑓2 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆1

𝐾𝑠1 + 𝑆1

𝑆2

𝐾𝑠2 + 𝑆2 +𝑆22

𝐾𝑖2

𝜇 𝑆1, 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 · min 𝑓1 𝑆1 𝑓2 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥min𝑆1

𝐾𝑠1 + 𝑆1

𝑆2

𝐾𝑠2 + 𝑆2 +𝑆22

𝐾𝑖2

Múltiples Sustratos

• Crecimiento Diauxico: Sustratos alternativos

𝜇 𝑆1, 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥1𝑓1 𝑆1 + 𝜇𝑚𝑎𝑥2𝑓2 𝑆2

𝜇 𝑆1, 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥1𝑆1

𝐾𝑠1 + 𝑆1+ 𝜇𝑚𝑎𝑥2

𝑆2

𝐾𝑠2 + 𝑆2 +𝑆22

𝐾𝑖2

Curva de crecimiento celular

23

Fase de muerte

• Cultivos en fase estacionaria o de muerte o fermentaciones continuas con tiempos de residencia muy prolongados

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝜇𝑋 − 𝑘𝑑𝑋

𝑘𝑑 = 𝑘𝑑𝑚𝑎𝑥𝑃

𝑃𝑚𝑎𝑥

Kd: velocidad especifica de muerte celular

Mantenimiento celular endogeno

25

Si el mantenimiento celular se da por muerte

celular (consumo de biomasa):

Modelo de Herbert (1958): 𝜇𝑜𝑏𝑠 = 𝜇 − 𝑘𝑑

Mantenimiento Celular

26

Si se asume que el mantenimiento celular es

provisto por el sustrato:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝑟𝑆 =

𝜇𝑋

𝑌𝑥𝑠+𝑚𝑆𝑋 Modelo de Pirt (1965):

mS: Coeficiente de mantenimiento celular

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝜇𝑋

Consumo y producción

27

𝑆 + 𝑋 → 𝑋 + 𝑃 𝑆 + 𝑋 → 𝑋

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝜇𝑋

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝑟𝑠 =

𝜇𝑋

𝑌𝑥𝑠+𝑚𝑠𝑋

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝜇𝑋

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝑟𝑆 =

𝜇

𝑌𝑥𝑠+𝑞𝑃𝑌𝑃𝑆+𝑚𝑠 𝑋

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑟𝑃 = 𝑞𝑝𝑋

Yxs : Rendimiento de biomasa con respecto al sustrato consumido. [gr S/gr X]

Yxp : Rendimiento de biomasa con respecto al producto generado. [gr P/gr X]

Producto asociado al metabolismo energético

28

Los productos de la

fermentación no

necesariamente

siguen la misma

dinámica del

crecimiento, y como

consecuencia el

sustrato tampoco

está directamente

relacionado

Cinética de formación de producto asociado al metabolismo energético

29

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑟𝑃 = 𝑞𝑝𝑋

Si el producto se obtiene por el consumo de sustrato dentro del

metabolismo energético, en este caso no es necesario tener en cuenta

una expresión para el consumo de sustrato por producción del

metabolito.

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝑟𝑆 =

𝜇

𝑌𝑥𝑠+𝑚𝑠 𝑋

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝜇𝑋

Cinética de formación de producto asociado al metabolismo energético

• Metabolito Primario

• Metabolito Secundario

• Metabolito Mixto

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Ecuación de Luedeking - Piret

𝑟𝑝 = 𝛼𝜇𝑋

𝑟𝑝 = 𝛽𝑋

𝑟𝑝 = 𝛼𝜇𝑋 + 𝛽𝑋

Cinética de formación de producto no asociado al metabolismo energético

31

Ecuación empíricas de

producción y consumo

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑟𝑃 = 𝑞𝑝𝑋

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝑟𝑆 =

𝜇

𝑌𝑥𝑠+𝑞𝑃𝑌𝑃𝑆+𝑚𝑠 𝑋

𝑞𝑝 = 𝑞𝑝𝑚𝑎𝑥𝑆

𝐾𝑠𝑝 + 𝑆 𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝜇𝑋

Rendimiento

• El factor de rendimiento relaciona una cantidad de producto formado por la cantidad de reactivo consumido. En el caso de sistemas biológicos permite realizar una contabilidad de los recursos utilizados.

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𝑌𝐹𝐺 = −∆𝐹

∆𝐺 𝑌𝐹𝐺 = −

𝑟𝐹𝑟𝐺

Rendimiento Global Rendimiento Instantáneo

Rendimiento

• Rendimiento Teórico: relación entre biomasa obtenida sobre sustrato consumido para biomasa.

• Rendimiento Observado: relación entre biomasa obtenida sobre sustrato consumido total.

33

𝑌𝑋𝑆 = −∆𝑋

∆𝑆𝐺

𝑌𝑋𝑆 = −∆𝑋

∆𝑆𝑇

Rendimiento

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Rendimiento Definición

YXS Masa de biomasa producida por unidad de masa de sustrato consumido

YPS Masa de producto generado por unidad de masa de sustrato consumido

YPX Masa de producto formado por unidad de masa de biomasa formada

YXO Masa de biomasa formada por unidad de masa de oxigeno consumido

YCS Masa de dióxido de carbono formado por unidad de masa de sustrato consumido

RQ Moles de dióxido de carbono formado por unidad de masa de oxigeno consumido. (Coeficiente respiratorio)

YATP Masa de biomasa formada por mol de ATP formado

Y∆ Masa de biomasa producida por unidad de energía neta producida en el crecimiento

Calculo de rendimiento

• El sustrato puede verse involucrado en diferentes usos:

– Construcción de biomasa

– Producto

– Mantenimiento celular

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−𝑟𝑆 =𝜇

𝑌𝑋𝑆+𝑞𝑝𝑌𝑃𝑆+𝑚𝑠 𝑋

Proyectos de clase • Producción de ácidos orgánicos:

– Láctico

– Cítrico

– Acético

• Producción de enzimas.

• Proteína unicelular.

• Bioenergía a partir de lodos.

• Cultivos de microalgas.

• Producción de biopolímeros.

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