Circuito Lgico

Qu es la Lgica?:

Es una ciencia formal y una rama de la Filosofa que estudia los principios de la demostracin e inferencia vlida. La Lgica examina la validez de los argumentos en trminos de su estructura, (estructura Lgica), independientemente del contenido especfico del discurso y de la lengua utilizada en su expresin y de los estados reales a los que dicho contenido se pueda referir.Tradicionalmente ha sido considerada como una parte de la Filosofa. Pero en su desarrollo histrico, a partir del final del siglo XIX, y su formalizacin simblica ha mostrado su ntima relacin con las Matemticas; de tal forma que algunos la consideran como Lgica Matemtica.En el siglo XX la Lgica ha pasado a ser principalmente la Lgica simblica. Un clculo definido por unos smbolos y unas reglas de inferencia. Lo que ha permitido un campo de aplicacin fundamental en la actualidad: la Informtica..

Lgica Proposicional: La Lgica proposicional es un sistema formal diseado para analizar ciertos tipos de argumentos. En Lgica proposicional, las frmulas representan proposiciones y las conectivas Lgicas son operaciones sobre dichas frmulas, capaces de formar otras frmulas de mayor complejidad.

Como otros sistemas lgicos, la Lgica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensin de la nocin de consecuencia Lgica para el rango de argumentos que analiza.

Tabla de la Verdad: Es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposicin compuesta, para cada combinacin de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes. Considrese dos proposiciones A y B. Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad: o V (verdadero), o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:

Operadores Bsicos de la Tabla de la Verdad: Los operadores fundamentales se definen as:NegacinLa negacin es un operador que opera sobre un nico valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposicin considerada.

ConjuncinLa conjuncin es un operador que opera sobre dos valores de verdad, tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso.La tabla de verdad de la conjuncin es la siguiente:

Operadores Bsicos de la Tabla de la Verdad:DisyuncinLa disyuncin es un operador que opera sobre dos valores de verdad, tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.La tabla de verdad de la disyuncin es la siguiente:

Implicacin o CondicionalEl condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso slo cuando la primera proposicin es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Operadores Bsicos de la Tabla de la Verdad:Bicondicional

El bicondicional o doble implicacin es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

lgebra de Boole aplicada a la Informtica:Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lgico o un 1 lgico. Esto, en la mayora de los lenguajes de programacin, se traduce en false (falso) o true (verdadero), respectivamente.Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no son booleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numricos normalmente aunque tambin algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres, finalizando en valor booleano. ..

El 0 lgicoEl valor booleano de negacin suele ser representado como false, aunque tambin permite y equivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, as como la cadena "false", e incluso la cadena "0".

El 1 lgicoEn cambio, el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmacin, representado normalmente como true, ya que, por definicin, el valor 1 se tiene cuando no es 0. Cualquier nmero distinto de cero se comporta como un 1 lgico, y lo mismo sucede con casi cualquier cadena (menos la "false", en caso de ser sta la correspondiente al 0 lgico).

Isomorfismo:La aplicacin de la Lgica proposicional a los circuitos elctricos es posible en virtud del isomorfismo existente entre ambos. Llamamos isomorfismo a la relacin de igualdad estructural que existe entre dos objetos.En efecto, el Matemtico e Ingeniero norteamericano Claudio Shannon uno de los diseadores de las modernas computadoras descubri, en 1936, el isomorfismo (igualdad de formas bsicas) existentes entre la Lgica de proposiciones y la teora de los circuitos elctricos. Gracias a este descubrimiento se ha desarrollado una teora sistemtica de los circuitos elctricos y sta ha hecho posible resolver cualquier problema concerniente a la construccin y funcionamiento de estos circuitos bsicos de las computadoras electrnicas.Para hacer el isomorfismo es necesario considerar slo 3 funciones Lgicas: la conjuncin, la disyuncin y la negacin. Como a travs de esas 3 funciones bsicas se puede definir las dems funciones Lgicas, entonces el isomorfismo es total.

Isomorfismo:La verdad o la falsedad de una proposicin puede representarse por 1 y 0. Mientras que el 1 indica presencia, el 0 indica ausencia, de ah que 1 y 0 se asocian a lo verdadero y lo falso.

PRIMER ISOMORFISMOUna proposicin simple puede ser verdadera o falsa. De igual manera podemos decir que un interruptor puede estar cerrado o abierto. Ser verdadero es como estar cerrado y ser falso es como estar abierto. Las posibilidades son anlogas:V = 1 = interruptor cerrado pasa la informacinV = 0 = interruptor abierto no pasa la informacin

SEGUNDO ISOMORFISMOAhora bien, una proposicin compuesta puede ser verdadera o falsa. De igual manera, si fluye la informacin entonces el foquito encender, y si no fluye entonces el foquito no encender. El estado de encendido y apagado corresponde a los valores de verdad y falsedad respectivamente. De nuevo, las posibilidades son anlogas:V = 1 = foco prendido la informacin est pasandoF = 0 = foco apagado la informacin no est pasando

Compuerta Lgica

Una puerta Lgica, o compuerta Lgica, es un dispositivo electrnico que es la expresin fsica de un operador booleano en la Lgica de conmutacin. Cada puerta Lgica consiste en una red de dispositivos interruptores que cumple las condiciones booleanas para el operador particular. Son esencialmente circuitos de conmutacin integrados en un chip.Claude Elwood Shannon experimentaba con rels o interruptores electromagnticos para conseguir las condiciones de cada compuerta Lgica, por ejemplo, para la funcin booleana Y (AND) colocaba interruptores en circuito serie, ya que con uno solo de stos que tuviera la condicin abierto, la salida de la compuerta Y sera = 0, mientras que para la implementacin de una compuerta O (OR), la conexin de los interruptores tiene una configuracin en circuito paralelo.La tecnologa microelectrnica actual permite la elevada integracin de transistores actuando como conmutadores en redes lgicas dentro de un pequeo circuito integrado. El chip de la CPU es una de las mximas expresiones de este avance tecnolgico.

En nanotecnologa se est desarrollando el uso de una compuerta Lgica molecular, que haga posible la miniaturizacin de circuitos.

Circuito Lgico:

Circuito Lgico

Circuito Lgico:

Son estructuras formales (sistemas abstractos) que representan sistemas para la transmisin de informacin de toda ndole (desde la electricidad hasta datos informticos) simulando el comportamiento real de un circuito elctrico.

Un Circuito elctrico es toda de transmisin de impulsos elctricos.

Los circuitos elctricos reales tienen los siguientes elementos:A. Fuente de energa (batera, pila, tomacorriente)B. Cable de transmisinC. Interruptores (llamados as porque interrumpen o permiten el flujo de electricidad)D. Resistencia o receptor de informacin (foco, lmpara)La energa parte del polo negativo de la fuente y se transmite por el cable llega hasta el foco (que se prende) y viaja por el cable hasta llegar al polo positivo de la fuente.

Circuito Lgico: Un circuito lgico es un dispositivo que tienen una o ms entradas y exactamente una salida. En cada instante cada entrada tiene un valor, 0 o 1; estos datos son procesados por el circuito para dar un valor en su salida, 0 o 1.

Los valores 0 y 1 pueden representar ciertas situaciones fsicas como, por ejemplo, un voltaje nulo y no nulo en un conductor.

Circuito Lgico:

Aunque los circuitos electrnicos podran parecer muy complejos, en realidad se construyen de un nmero muy grande de circuitos muy simples.En un circuito lgico digital se transmite informacin binaria (ceros y unos) entre estos circuitos y se consigue un circuito complejo con la combinacin de bloques de circuitos simples.

La informacin binaria se representa en la forma de: (ver grficos arriba) - "0" "1", - "abierto" "cerrado" (interruptor), - "On" y "Off", - "falso" o "verdadero", etc.

Los circuitos lgicos se pueden representar de muchas maneras. En los circuitos representados con grficos la lmpara puede estar encendida o apagada ("on" o "off"), dependiendo de la posicin del interruptor (apagado o encendido), los posibles estados del interruptor o interruptores que afectan un circuito se pueden representar en una tabla de verdad.

Circuito Lgico (Compuertas Bsicas):Los circuitos lgicos se construyen a partir de ciertos circuitos elementalesdenominados compuertas lgicas, entre las cuales diferenciaremos:

Compuertas lgicas bsicas: OR, AND, NOT. Compuertas lgicas derivadas: NOR, NAND.

Compuerta And: La operacin And requiere que todas las seales sean simultneamente verdaderas para que la salida sea verdadera. As, el circuito de la figura necesita que ambos interruptores estn cerrados para que la luz encienda. En una compuerta AND con entradas A y B, la salida Y resulta: Y = AB

Circuito Lgico (Compuertas Bsicas):

Compuerta And: Los estados posibles del circuito se pueden modelar en la Tabla de Verdad que tiene asociada. Sabemos que los interruptores slo pueden tener dos estados, abiertos o cerrados, si el interruptor abierto se representa mediante el cero (0 o falso) y el cerrado mediante el valor uno (1 o verdadero) entonces en la tabla de verdad asociada se puede ver la situacin que se describa en el prrafo anterior, cuando se deca que la luz slo prende cuando ambos interruptores estn cerrados, es decir, si A = 1 y B = 1 entonces L = 1. Para efectos de este trabajo, la operacin And la representaremos como la funcin And( A, B ), donde A y B seran los parmetros de entrada (los mismos valores de A y B en el circuito) y L = And( A, B ), correspondera a la forma de asignacin de valor a L. En este caso el parmetro de salida es la misma funcin And.

Circuito Lgico (Compuertas Bsicas):

Compuerta Or: La operacin Or tiene similares caractersticas a la operacin And, con la diferencia que basta que una seal sea verdadera para que la seal resultante sea verdadera. En la figura se puede ver tal situacin.

Note que en el circuito los interruptores estn en paralelo, por lo cual basta que uno de ellos est cerrado para que el circuito se cierre y encienda la luz. En una compuerta OR con entradas A y B, la salida Y resulta: Y = A+ B La operacin Or tambin tiene una representacin funcional como Or ( A, B) donde A y B seran los parmetros de entrada (los mismos valores de A y B en el circuito) y L = Or( A, B ), correspondera a la forma de asignacin de valor a L. En este caso, el parmetro de salida es la misma funcin Or.

Circuito Lgico (Compuertas Bsicas):

Compuerta Not: La ltima de la tres operaciones fundamentales, la cual tambin se conoce como negacin, complemento o inversin, es mucho ms simple que las anteriores. En la figura se puede observar el circuito, que en este caso tiene la particularidad de que al estar el interruptor abierto la luz enciende, cuando l est en posicin de cerrado la luz permanecera apagada.

La notacin funcional para esta operacin ser Not( A ), donde A corresponde a la seal de entrada y Not( A ) corresponde al valor complementario de A. En una compuerta NOT con entrada A, la salida Y resulta: Y

Circuito Lgico (Compuertas):

Compuertas NOR y NAND: Las compuertas NOR y NAND no son bsicas. Una compuerta NOR equivale a una compuerta OR seguida de una compuerta NOT. Una compuerta NAND equivale a una compuerta AND seguida de una compuerta NOT.

Por lo tanto, cuando las entradas son A y B, las salidas de estas compuertas resultan: NOR: Y = A + B NAND: Y = AB

Circuito Lgico:

Los circuitos lgicos se forman combinando compuertas lgicas. La salida de un circuito lgico se obtiene combinando las tablas correspondientes a sus compuertas componentes. Por ejemplo:

Es fcil notar que las tablas correspondientes a las compuertas OR, AND y NOT son respectivamente idnticas a las tablas de verdad de la disyuncin, la conjuncin y la negacin en la lgica de enunciados, donde slo se ha cambiado V y F por 0 y 1. Por lo tanto, los circuitos lgicos, de los cuales tales compuertas son elementos, forman un lgebra de Boole al igual que los enunciados de la lgica de enunciados.

Circuito Lgico:

Adoptaremos, entonces, aqu las mismas convenciones adoptadas en el caso del lgebra de Boole:

Omitimos el smbolo *, usndose en su lugar la yuxtaposicin de variables. Establecemos que + es ms fuerte que * y * es ms fuerte que.Puesto que tanto el lgebra de Boole es la estructura algebraica tanto de los circuitos como de la lgica de enunciados, la salida de un circuito lgico tambin puede expresarse en el lenguaje de la lgica de enunciados. Por ejemplo, la salida del circuito anterior resulta:

Diseo Circuito Lgico:

A continuacin se realizar el anlisis respectivo de la construccin de un circuito lgico en fsico el cual servir de ejemplo para la aplicacin de las herramientas previamente descritas en este trabajo.

Planteamiento: Nuestro objetivo es realizar un circuito lgico en fsico el cual demostrar la aplicacin de varias reglas de la lgica a travs de compuertas lgicas y adems proporcionar de una meta al usuario, al cual se le pedir que demuestre mediante la aplicacin de las reglas cual camino se debe seguir para realizar una Tautologa, sta solo podr ser demostrada por un nico camino posible.

Anlisis: para llevar a cabo nuestro diseo se utilizarn varios tipos de herramientas las cuales sern:

- Diagrama de flujo- Algebra de Boole- Lgica Proposicional- Tabla de la verdad- Circuito Elctrico (en serie y en paralelo)

Diseo Circuito Lgico:

Lo primero que se hizo fue comprobar mediante una serie de pasos ordenados y lgicos, las diferentes combinaciones de las reglas de la disyuncin conjuncin y negacin enfocndonos solo en el uso de 2 variables y los diferentes resultados posibles.

Luego de comprobado las combinaciones posibles se decide que camino seguir, para poder dar diferentes resultados controlados y solo un resultado que d tautologa.

Se utiliz la tabla de la verdad en cada combinacin y sus resultados los cuales fueron expresados en 0 y 1 se expresarn fsicamente en el circuito mediante bombillos led de la siguiente manera:

Led Verde = 1Led Rojo = 0

Tablas de la verdad Circuito Lgico:A continuacin se presentan las tablas de la verdad realizadas para nuestras deducciones:

Conjuncin (P ^ Q)111100001000

Negacin ~ ( P ^ Q)0111110010011000

Disyuncin (P ^ Q) (P Q)1111111100111000110110000000

PQ11100100

Negacin (~ P ) (~ Q)0101011010011010

Disyuncin (~ P ~ Q)01001011101010110110

Conjuncin (~ P ^ ~ Q)01001010101000110110

Disyuncin ~ (P ^ Q) ^ ( ~ P ^ ~ Q)0111001001110000101010010100011000110110

Bicondicional [ ~ (P ^ Q) ( ~ P ~ Q)]0111101001110010111010011101011000110110

Bicondicional (P ^ Q) ( P Q )(~ P ~ Q)1111111001001100111000111000110110101010000000010110

Condicional [(P ^ Q) ( P Q) -->(~ P ~ Q]1111111001001100111000111000110110101010000000110110

Diseo Circuito Lgico:

Se utiliz en nuestro circuito conexiones elctricas en serie y en paralelo para poder lograr que con el paso o bloqueo del flujo de la corriente elctrica, se pueda simular la toma de decisiones para la aplicacin de las leyes.

Luego se realiz un diagrama de flujo para saber de que manera se ordenara el circuito con la aplicacin de las reglas ya expresadas de manera tal, que pueda cumplir con nuestros objetivos.

Diagrama de Flujo Circuito Lgico:

Negacin (~P ) (~Q)Disyuncin (~P ~Q)Conjuncin (~P ^ ~Q)Disyuncin ~(P^Q) ^ (~P ^ ~Q)Bicondicional [~(P^Q) (~P ~Q)]Negacin ~(P^Q)Conjuncin (P ^ Q)Disyuncin (P ^ Q) (P Q)Bicondicional (P ^ Q) (P Q) (~P ~Q)Condicional [(P ^ Q) (P Q) --> (~P ~Q] (Q)DecisinDecisinDecisinDecisinDecisinDecisinInicio

Diseo Circuito Lgico:

Para lograr que el circuito solo le permitiera al usuario una sola va posible para la tautologa, se realizaron las conexiones de manera tal que solo el uso de las reglas lgicas y ordenadas correctas diera la mencionada ley.

El uso de cualquier otra va simplemente no dara tautologa, pero se previ en el circuito un sistema de comprobacin aleatoria para ocultar el camino ms obvio a la respuesta.

Luego de conectado el circuito se comprob mediante el uso de una tabla de la verdad, las diferentes posibilidades del usuario para lograr la tautologa y evitar errores de conexin. Esta Comprobacin de posibilidades arroj que solo haba una manera posible de lograr tautologa.

Tabla de la verdad Comprobacin de las conexiones para la Tautologa:

Primer Interruptor Int(1)Primer Interruptor en 1ResultadoPrimer Interruptor en 0ResultadoInt (2)Int (3)Int (4)Int (2)Int (3)Int (4)1110111011001100101010101000100001110110010101000010001000000000

Cuarto Interruptor Int(4)Cuarto Interruptor en 1ResultadoCuarto Interruptor en 0ResultadoInt (1)Int (2)Int (3)Int (1)Int (2)Int (3)1110111011001100101110111000100001100110010001000010001000000000

Segundo Interruptor Int(2)Segundo Interruptor en 1ResultadoSegundo Interruptor en 0ResultadoInt (3)Int (4)Int (1)Int (3)Int (4)Int (1)1110111111001100101010111000100001100110010001000010001000000000

Tercer Interruptor Int(3)Tercer Interruptor en 1ResultadoTercer Interruptor en 0ResultadoInt (4)Int (1)Int (2)Int (4)Int (1)Int (2)1110111011011100101010101000100001100110010101000010001000000000

Maqueta del Circuito Lgico:

Negacin (~P ) (~Q)Disyuncin (~P ~Q)Conjuncin (~P ^ ~Q)Disyuncin ~(P^Q) ^ (~P ^ ~Q)Bicondicional [~(P^Q) (~P ~Q)]Negacin ~(P^Q)Conjuncin (P ^ Q)Disyuncin (P ^ Q) (P Q)Bicondicional (P ^ Q) (P Q) (~P ~Q)Condicional [(P ^ Q) (P Q) --> (~P ~Q] (Q)Comprobacin Aleatoria

Diagrama Elctrico del Circuito Lgico:

Negacin (~P ) (~Q)Disyuncin (~P ~Q)Conjuncin (~P ^ ~Q)Disyuncin ~(P^Q) ^ (~P ^ ~Q)Bicondicional [~(P^Q) (~P ~Q)]Negacin ~(P^Q)Conjuncin (P ^ Q)Disyuncin (P ^ Q) (P Q)Bicondicional (P ^ Q) (P Q) (~P ~Q)Condicional [(P ^ Q) (P Q) --> (~P ~Q] (Q)Comprobacin AleatoriaConmutadorConmutadorConmutadorConmutadorConmutadorConmutadorInterruptor

Bibliografa:

Internet http://www.unicrom.com/Tut_circuitoslogicos.asp http://html.rincondelvago.com/circuitos-logicos_1.html http://es.wikipedia.org/wiki/Lgicahttp://www.econ.uba.ar/www/departamentos/humanidades/plan97/logica/Legris/apuntes/AP-Circuitos.pdf Universidad de Buenos Aireshttp://www.slideshare.net/rafael.mora/circuitos-lgicos-presentation

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