CIRCUITO RLC

Un circuito RLC es aquel que tiene como componentes una resistencia, un condensador y un inductor.

Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la interconexión de los tres tipos de componentes. El comportamiento de un circuito RLC se describen generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden (en donde los circuitos RC o RL se comportan como circuitos de primer orden).

En un tiempo igual a cero, el condensador tiene una carga máxima (Qmáx). Después de un tiempo igual a cero, la energía total del sistema está dada por la ecuación presentada en la sección de oscilaciones en circuitos LC

U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 )

En las oscilaciones en circuitos LC se había mencionado que las oscilaciones no eran amortiguadas puesto que la energía total se mantenía constante. En circuitos RLC, ya que hay una resistencia, hay oscilaciones amortiguadas porque hay una parte de la energía que se transforma en calor en la resistencia.

El circuito sin el resistor (circuito LC)

Para cuantificar el circuito RLC supongamos primero que no hay amortiguación, es decir R = 0. En este caso podemos esperar que el sistema inductor-condensador (circuito LC) tenga un comportamiento como el de una masa y un resorte sin amortiguación, un sistema de este tipo mantiene un movimiento harmónico simple teóricamente perpetuo.

La frecuencia angular del circuito LC es:

(ecuación 1)

La expresión para la carga del condensador (Q) en un instante

cualquiera de tiempo (t) es:

Q = Q0 cos(ωt)      (ecuación 2)

La ecuación 2 nos dice que la carga del condensador se comporta con respecto al tiempo como una función coseno, es decir, desciende desde un máximo hasta cero, luego se carga en sentido contrario hasta el máximo para volver a descender y repetir el ciclo indefinidamente ya que no hay amortiguación y por lo tanto pérdidas de energía por calentamiento.

El voltaje entre los terminales del inductor en un instante de tiempo cualquiera es:

VL = ω2LQ = ω2LQ0 cos(ωt)      (ecuación 3) 

Note que también el voltaje entre los terminales del inductor se comporta como una función coseno.

El período para la carga del condensador (que es el mismo para el voltaje entre los terminales del inductor) es:

T = 2π/ω       (ecuación 4)

La corriente que fluye por el circuito en un instante de tiempo cualquiera es:

I = −Q0 sen(ωt)      (ecuación 5)

El circuito con el resistor

Veamos el caso del circuito RLC completo, con inductor, condensador y resistor. Ahora la corriente en el circuito se comporta de la misma forma que un sistema de masa y resorte con amortiguación como ya hemos dicho, la carga del condensador en un instante de tiempo t cualquiera responde a la expresión:

Q = Q0e-αt cos(ω't)     (ecuación 6)

donde:

α = R/2L      (ecuación 7)

y ω' es la nueva frecuencia angular impuesta por la amortiguación:

ω' 2 = 1/LC − R2/4L2 = 1/LC − α2     (ecuación 8)

Note que si la constante de amortiguación α es pequeña, la frecuencia angular ω' es solo ligeramente menor que la frecuencia angular del sistema sin amortiguación ω (circuito LC).

La figura 3 muestra la diferencia de comportamiento de la carga del condensador con respecto al tiempo para el circuito no amortiguado (R = 0), y para el circuito que tiene una baja resistencia amortiguadora. Pero ¿qué sucede si la resistencia sube de valor?

Cuando la resistencia sube de valor, la ecuación 8 muestra la dependencia entre la frecuencia angular de la oscilación y la resistencia, de aquí se puede ver que existirá un valor de R para el cual la frecuencia angular (ω') decrece hasta cero, esto es, no existe oscilación, y ese valor se conoce como resistencia crítica Rc.

Para determinar el valor de la resistencia crítica igualamos la ecuación 8 a cero:

0 = 1/LC − Rc2/4L2

Resolviendo la igualdad se tiene que:

Figura 3. Comportamiento con respecto al tiempo de la carga del condensador para los circuitos LC y RLC.

  (ecuación 9)

Los valores de R mayores que la resistencia crítica producen sobreamortiguación cuya analogía con el movimiento oscilatorio mecánico de una masa en un resorte se produce cuando la masa se mueve en un líquido muy viscoso como la miel, lo que tiene el efecto de que la posición de equilibrio de la masa se alcanza en un tiempo largo. En la figura 4 se muestra el comportamiento de la carga en el condensador para cuatro hipotéticos valores crecientes de resistencia.

Para R1 cuyo valor de resistencia es bajo la carga del condensador se comporta como una oscilación amortiguada tal y como en la figura 3. La resistencia R2 un poco mayor, ya tiene un efecto de amortiguación notable y solo se produce un tímido ciclo oscilatorio. Si seguimos aumentando el valor de la resistencia llegamos al valor de Rc para la cual, como podrá apreciar, no existe oscilación y la carga del condensador solo decrece hasta cero. Finalmente la

resistencia R4, mayor que la resistencia crítica, también impide la oscilación pero la descarga del condensador es más demorado, el sistema está sobreamortiguado.

Figura 4. Un circuito RLC con diferentes resistencias de amortiguación.