Circuitos Electricos Acoplados Magneticamente1

1

Circuitos eléctricos acoplados

magnéticamente

2

Inducción electromagnética

Regla de la mano derecha para determinar la dirección de la femi

Principio de funcionamiento de un generador de corriente continua

Ley de Faraday

Ley de Lenz

Proceso de conversión de energía eléctrica en energía mecánica

Corrientes parasitas o de Foucault

Coeficiente de autoinducción o autoinductancia

Inductancia de un solenoide

Inducción mutua

Inductancia mutua

Polaridad de las tensiones inducidas

Polaridad de las tensiones inducidas en bobinas conectadas en serie

Procedimiento para determinar la posición de las marcas de polaridad

Energía de un circuito acoplado

Índice

Transformador

Inducción electromagnética

Si acercamos un imán permanente a la bobina de la figura a), el galvanómetro se desviara, indicando la presencia de una corriente eléctrica como consecuencia de la aparición de una fuerza electromotriz inducida (femi) debida a la variación del campo magnético del imán como resultado de su movimiento con respecto a la bobina.

Si el imán se detiene como en la figura b), el galvanómetro mostrara que la corriente ha dejado de circular ya que la femi ha desaparecido debido a que el campo magnético permanece constante.

Conclusión I: Para que en un conductor aparezca una femi se requiere un campo magnético variable.

Se llama así al fenómeno de aparición de una fuerza electromotriz en un circuito eléctrico cuando es atravesado por un campo magnético variable.

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Si ahora alejamos el imán como en la figura c), el galvanómetro se desviara en sentido contrario, indicando el cambio en el sentido de circulación de la corriente eléctrica como consecuencia de la inversión de la polaridad de la femi.

Conclusión II: La polaridad de la femi depende del sentido de variación del campo magnético.

Finalmente si acercamos el imán como en la figura d), pero invertimos su polaridad el galvanómetro se desviara en sentido contrario a como lo hizo en la figura a), indicando el cambio en el sentido de circulación de la corriente eléctrica como consecuencia de la inversión de la polaridad de la femi respecto al caso inicial.

Conclusión III: La polaridad de la femi depende de la dirección del campo magnético.

4

El fenómeno explicado también se producirá si a una bobina cerrada 1, le acercamos o alejamos otra bobina 2 por la que circule una corriente eléctrica o también si ambas bobinas están fijas e invertimos el sentido de la corriente en la bobina 2 o si activamos o desactivamos dicha bobina.

En este caso los cambios en la corriente de la bobina 2 producen cambios en el campo magnético que ella misma genera provocando así la aparición de una femi en la bobina 1. Este fenómeno se denomina Inducción mutua y la femi se llama femi de inducción mutua.

Considerando lo anterior, los cambios en el campo magnético de la bobina 2 también provocan la aparición de una femi en dicha bobina. Este fenómeno se denomina Autoinducción y la femi se llama femi de autoinducción

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Regla de la mano derecha para determinar la dirección de la femi

Si imaginamos la mano derecha colocada en un campo magnético a lo largo del conductor, de modo que las líneas de inducción magnética que salen del polo norte atraviesen la palma de la mano y el dedo pulgar coincida con la dirección del movimiento del conductor, entonces los cuatro dedos extendidos indicarán el sentido de la femi en el conductor.

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De acuerdo a lo expuesto una femi también puede generarse en un conductor que se mueve dentro de un campo magnético.

La magnitud de dicha femi dependerá de:

1)la magnitud del campo magnético B, ya que a mayor densidad de líneas de inducción magnética , mayor numeró de ellas atravesarán el conductor por unidad de tiempo.

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2) la velocidad de movimiento del conductor en el campo magnético, ya que a mayor velocidad de desplazamiento, más líneas de inducción magnética atravesaran el conductor por unidad de tiempo.

3) de la longitud activa del conductor l que se encuentra en el campo magnético, ya que un conductor largo puede atravesar más líneas de inducción magnética por unidad de tiempo.

4) de la magnitud del seno del ángulo α determinado por el sentido de movimiento del conductor y la dirección del campo magnético B.

e Blvsen Volt

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9

Principio de funcionamiento de un generador de corriente continua.

Al circular corriente por el bobinado inductor o de excitación se creara un campo magnético y considerando que el bobinado del inducido se mueve dentro de dicho campo ya que el rotor es arrastrado por la maquina de impulso, aparecerá en dicho bobinado una femi.

LEY DE FARADAY

La fuerza electromotriz e inducida en un circuito eléctrico es igual al valor negativo

de la rapidez de variación del flujo magnético ФB que atraviesa dicho circuito.

Bde N

dt

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LEY DE LENZ

La fuerza electromotriz inducida posee un sentido tal que la corriente generada por ella y su campo magnético tienen dirección opuesta a la causa que origina la femi.

Dicha oposición está indicada en la Ley de Faraday, a través del signo menos (-) e indica que si el flujo de campo magnético ФB aumenta, su velocidad de variación será positiva y por lo tanto la femi será negativa.

11

12

Proceso de conversión de energía eléctrica en energía mecánica

Si tenemos un conductor rectilíneo AB que se encuentra dentro de un campo magnético y por el que circula una corriente eléctrica I

La energía eléctrica aportada por la fuente de tensión se transforma en calor:

elE UIt J

2 elP UI I R W

U

I AR

La potencia eléctrica asociada valdrá:

Siendo la corriente en el conductor:

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Por otra parte, todo conductor rectilíneo que se encuentra dentro de un campo magnético y por el que circula una corriente eléctrica I experimentara una fuerza F que lo desplazara.

El conductor al desplazarse corta líneas de inducción magnética por lo que aparecerá sobre el una femi, cuyo sentido se opondrá a la tensión de la fuente por lo que la llamaremos fuerza contra electromotriz inducida Ecem que vale:

cemE Blv Volt

cemU E IR

cemU EI

R

Aplicando la segunda ley de Kirchoff:

De donde la corriente valdrá:

Conclusión IV: La corriente en un conductor que se mueve es menor que en uno que permanece fijo a iguales valores de U y R.

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De la expresión la segunda ley de Kirchoff:

cemU E IR

2cemUI E I I R

2UI BlvI I R

2UI Fv I R

mec elP P P

Conclusión V: Si un conductor recorrido por una corriente eléctrica I se mueve dentro de un campo magnético la potencia entregada por la fuente se transforma en potencia mecánica y en potencia eléctrica.

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Corrientes parasitas o de Foucault

Debido a que la estructura del inducido es de material ferromagnetico y es atravesado por las líneas de inducción magnética esta sometido al proceso de inducción electromagnética por lo que aparecen corrientes inducidas denominadas parasitas

Estas corrientes producen el calentamiento excesivo del inducido y pueden dañar el aislamiento del bobinado. Para reducirla se fabrica el inducido con laminas de acero aisladas entre si.

( )B Bd d Ne N

dt dt

iLN B .=

( )Bd N diL

dt dt

dt

diLe

Be dL N

di didt


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El flujo de campo magnético NФB concatenado

en la bobina es proporcional a la corriente i y a una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de autoinducción L o autoinductancia.

[ ][ ] .[ ] ( )

[ ]

e t Volt segL Henry Hy

i Amp

Unidades:

Submúltiplos:

milihenry (mHy) – 1mHy = 10-3 Hy

microhenry (μHy) – 1μHy = 10-6 Hy17


L, suele llamarse autoinductancia ya que relaciona la tensión inducida e en la bobina con una corriente i variable en el tiempo que atraviesa la misma bobina.

Se la define como la capacidad que posee toda bobina de almacenar energía en forma de campo magnético.

También se la suele expresar como la propiedad que posee todo inductor de oponerse a los cambios en la corriente que fluye a través de el.

Inductancia de un solenoide

i

NL B= nlBAN B =

B ni

2 2.BN A

L n l A Ni l

2BN n liA

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Siendo l la longitud de la bobina en metros, n el numero de espiras por unidad de longitud, N el numero total de espiras de la bobina, A el área de sección transversal de la bobina en m2 y µ la permeabilidad del material del núcleo de la bobina.

L depende de las características físicas de la bobina y del material que la rodea.

Inducción mutua

1 11 21

1

11

12

1

1

1

B B B

B

B

B

Flujo magnetico creado en la bobina

Flujo magnetico creado en la bobina que solo se concatena con ella

Flujo magnetico creado en la bobina que se concatena con la bobi

2na

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Se llama así al fenómeno electromagnético que tiene lugar cuando dos bobinas de números de espiras N1 y N2 se encuentran próximas entre si, de manera que el flujo

magnético ФB creado por la corriente en una de las bobinas al concatenarse con la

otra bobina crea en esta una tensión inducida.

20

1 1 1 11 1 1 1

1

B B di did de N N L

dt di dt dt

12 12 1 12 2 2 21

1

B B di did de N N M

dt di dt dt

M21 es la inductancia mutua de la bobina 2 respecto a la bobina 1 que relaciona la tensión

inducida en la bobina 2 con la corriente en la bobina 1.

Prescindiendo de los signos menos:

21

2 22 21

2

22

21

2

2

2

B B B

B

B

B

Flujo magnetico creado en la bobina

Flujo magnetico creado en la bobina que solo se concatena con ella

Flujo magnetico creado en la bobina que se concatena con la bobi

1na

21 21 2 21 1 1 12

2

B B di did de N N M

dt di dt dt

2 2 2 22 2 2 2

2

B B di did de N N L

dt di dt dt

M12 es la inductancia mutua de la bobina 1 respecto a la bobina 2 que relaciona la tensión

inducida en la bobina 1 con la corriente en la bobina 2.

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diL

dt2

2 di

Ldt

Fuerzas electromotrices autoinducidas

121

diM

dt2

12

diM

dtFuerzas electromotrices de inducción mutua

y

y

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Analizando las expresiones anteriores:

L1 y L2 son los coeficientes de autoinducción de cada bobina.

M12 = M21 = M son los coeficientes de inducción mutua entre las dos bobinas.

Inductancia mutua

Es la capacidad que posee un inductor de inducir una tensión en otra bobina vinculada magnéticamente con la primera.

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La polaridad de las tensiones autoinducidas se determina mediante la dirección de referencia de la corriente y la polaridad de referencia de la tensión. Para las tensiones de inducción mutua, su polaridad esta relacionada con la forma física como han sido devanadas las bobinas y la dirección de referencia de la corriente. En la practica, para determinar la polaridad de las tensiones de inducción mutua se utilizan las marcas de polaridad o puntos homónimos.


Cuando la dirección de referencia de una corriente entra por el terminal con punto de una bobina, la polaridad de referencia de la tensión que dicha corriente induce en la otra bobina es positiva en el terminal que también tiene un punto. En forma similar cuando la dirección de referencia de una corriente sale por el terminal con punto de una bobina, la polaridad de referencia de la tensión que dicha corriente induce en la otra bobina es negativa en el terminal que tiene un punto.

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1 211 1

2 12 2 2 0

g

didii R L M v

dt dtdi di

i R L Mdt dt

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Polaridad de las tensiones inducidas en bobinas conectadas en serie

1 2 2L L L M

1 2 2L L L M

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a) Seleccione arbitrariamente un terminal en una bobina, por ejemplo el terminal D y márquelo con un punto.

b) Asigne una corriente que entre por el terminal con punto y denomínela i D.

c) Determine la dirección del flujo de campo magnético creado por i D dentro de las

bobinas acopladas y llámelo ФD.

d) Seleccione arbitrariamente un terminal de la segunda bobina, como por ejemplo el terminal A y asigne una corriente que entre por este terminal, denominándola iA.

1) Método teórico:

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e) Determine la dirección del flujo de campo magnético creado por iA dentro de las

bobinas acopladas y llámelo ФA.

f) Compare las direcciones de los flujos ФD y ФA. Si los flujos tienen la misma

dirección, coloque un punto en el terminal de la segunda bobina por donde entra la corriente de prueba iA y si los flujos tienen direcciones distintas, coloque un punto en

el terminal de la segunda bobina por donde sale la corriente de prueba iA.

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2) Método practico:

El terminal de la bobina conectado al terminal positivo de la fuente de tensión de cc a través del conmutador y de la resistencia de alimentación recibe una marca de polaridad. Cuando se cierra el conmutador, se observa la deflexión del voltímetro.

Si esa deflexión momentánea va en sentido positivo, se asignará la otra marca de polaridad al terminal de la bobina conectado al terminal positivo del voltímetro. Si la deflexión va en sentido negativo, el que recibirá la marca de polaridad es el terminal de la bobina conectado al terminal negativo del voltímetro.

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21

2W LiLa energía almacenada en un inductor vale:

1 2 0 0i i W

1 1 2 0i I e i

11 1 1 1 1( )

dip t v i i L

dt

1 1 21 1 1 1 1 1 10 0

1( ) =

2

I IW p t dt L i di L I

Si inicialmente:

A continuación si:

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1 1 2 2 A continuacion i I e i I

2 2 22 1 12 2 2 1 12 2 2( )

di di dip t i M i v I M i L

dt dt dt

2 2 2 22 2 12 1 2 2 2 2 12 1 2 2 20 0 0

1( ) =

2

I I IW p t dt M I di L i di M I I L I

2 21 2 1 1 2 2 12 1 2

1 1

2 2W W W L I L I M I I

31


Si repetimos el estudio invirtiendo el orden en que las corrientes alcanzan su valor de régimen obtendríamos:

2 21 2 1 1 2 2 21 1 2

1 1

2 2W W W L I L I M I I

La energía total almacenada debe ser la misma sin importar como se llegue a las condiciones finales, por lo que comparando las expresiones de la energía total:

12 21M M M

Generalizando:

2 21 2 1 1 2 2 1 2

1 1

2 2W W W L i L i Mi i

Si ambas corrientes entran o salen por los terminales con marca de polaridad se selecciona el signo positivo en el término mutuo; de lo contrario, se selecciona el signo negativo.

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La energía almacenada no puede ser negativa ya que se trata de un circuito pasivo, por lo que:

2 21 1 2 2 1 2

1 10

2 2L i L i Mi i

Completando cuadrados:

2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

10 0

2i L i L i i L L M L L M

1 2M L L

Con lo cual el limite superior de la inductancia mutua M será:

Así definimos el coeficiente de acoplamiento k, que nos indica en que medida la inductancia mutua M se acerca a su limite superior.

1 2

Mk

L L

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Coeficiente de acoplamiento k: es una medida del acoplamiento magnético entre dos bobinas y representa la porción del flujo de campo magnético total creado en una bobina que se concatena con otra bobina acoplada magnéticamente.

1 20 1 0k M L L

12 12

1 11 12

B B

B B B

k

Para los casos estudiados su expresión seria:

21 21

2 22 21

B B

B B B

k

Finalmente:

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Transformador

Dispositivo electromagnético estático compuesto por dos o mas bobinados acoplados magnéticamente, utilizado para transmitir potencia entre dos o mas circuitos eléctricamente aislados.

Su principio de funcionamiento se basa en la ley de Faraday y en el fenómeno de inducción mutua. El núcleo del transformador puede ser de aire o de material ferromagnetico. En el primer caso se lo suele denominar lineal.

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La bobina conectada a la fuente de tensión V se llama bobinado primario y la que se conecta a la carga ZL, bobinado secundario. Las resistencias R1 y R2 representan las

pérdidas eléctricas en el cobre de las bobinas.

1 1 1 2

1 2 2 2

( )

( ) 0L

R j L I j MI V

j MI R j L Z I

La impedancia de entrada valdrá:

2 2

1 11 2 2 Impedancia

Impedancia secundario

entLdel

circuito primario de acoplamiento oimpedancia del circuitoreflejada en el circuito primario

V MZ R j L

I R j L Z

Transformador

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Circuito equivalente T o Y de un circuito acoplado magnéticamente

1 1 1

22 2

=

V j L j M I

j M j LV I

1 1

2 2

( ) =

( )a c c

c b c

j L L j LV I

j L j L LV I

1 2 a b cL L M L L M L M Finalmente:

22 2

1 2 1 21 1

12 22 2

1 2 1 2

=

L M

j L L M j L L MI V

LMI Vj L L M j L L M

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Circuito equivalente π o Δ de un circuito acoplado magnéticamente

1 1

2 2

1 1 1

1 1 1

a c c

c b c

j L j L j LI V

I Vj L j L j L

2 2 21 2 1 2 1 2

2 1

A B c

L L M L L M L L ML L L

L M L M M

Finalmente:

1 1 1

22 2

=

V j L j M I

j M j LV I

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Transformador ideal

Es aquel que no posee perdidas y su acoplamiento es perfecto (k = 1) por lo que la potencia transferida entre ambos bobinados es constante.

Cuando se aplica una tensión senoidal al bobinado primario, según la ley de Faraday tendremos:

1 1 2 2 B Bd dE N E N

dt dt

1 1

2 2

E Na

E N

La relación entre las femi del lado de alta tensión y del lado de baja tensión se denomina relación de transformación a.

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Transformador ideal

2 1 11 1 2 2

1 2 2

I E N

E I E I aI E N

221 2

1 2ent L

E a EZ a Z

I I

La impedancia de carga ZL referida al primario es la impedancia de entrada.

21 2 1

IE aE y I

a Femi E2 y corriente I2 secundarias referidas al

primario.

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Circuito equivalente de un transformador ideal

Se presentan dos casos:

a)Circuito equivalente del transformador con parámetros referidos al circuito primario.b)Circuito equivalente del transformador con parámetros referidos al circuito secundario.

Para ambos casos eliminamos el transformador ideal y referimos los parámetros del transformador al circuito correspondiente según sea el caso.

Es aquel que se obtiene al eliminar el transformador ideal y convertir el circuito eléctrico asociado a el en circuito eléctrico convencional sin arrollamientos. Solo se aplica cuando no hay conexiones externas entre los bobinados primario y secundario.

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a) Circuito equivalente del transformador con parámetros referidos al circuito primario.

b) Circuito equivalente del transformador con parámetros referidos al circuito secundario.

Circuito equivalente de un transformador ideal

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