CIRCUITOS RC

Por : Cristian Camilo Segura Pinzón

Código : 273764GR12NL28

Carga y Descarga de un Condensador

IntroducciónLos Circuitos RC son los que involucran Resistencias y Condensadores, por la intervención de estos se dice que la corriente no es estacionaria, sino que varia con el tiempo.Las cargas son almacenadas en el condensador, por medio de conexión de un fuente y son descargadas en el momento de cerrar el circuito.Gracias a las leyes que Kircchoff, podemos relacionar la intensidad de corriente con el número de cargas que transitan en función del tiempo. Y podemos hallar ecuaciones del proceso de descarga y Carga de un Condensador.

GR12NL28

Descarga de un Condensador

Supongamos un Circuito como el de la figura1, con una carga inicial Q0 en el condensador, se conecta a una resistencia R y a un interruptor S abierto en el instante t = 0; el potencial eléctrico en dicho instante será:

V0= Q0/C.

(Ec.1)

Fig1: Circuito RC conectado en serie

En ese mismo momento, por la ley de Ohm, la corriente inicial será:I0 = V0/R = Q0/CR

(Ec.2)

Como todos ya sabemos la corriente es la cantidad de carga que fluye a través del tiempo; en este proceso de descarga la corriente disminuirá, por ello:

I= -dQ / dt(Ec.3)

GR12NL28

http://fismat.uia.mx/examen/servicios/laboratorios/fisica/pdf-practicas/FU2/Descarga%20de%20un%20condensador.%20LP.pdf

Simplificando la Ecuación 2 (Ec.2) obtenemos:

Q/C – IR = 0(Ec.4)

donde IR es el potencial de caída en la resistencia y Q/C el aumento entre las placas del condensador. Sustituyendo la corriente obtenida en la ecuación 3 (Ec.3) en la Ecuación 2 (Ec.2), donde Q e I son función del tiempo obtenemos:

Q/C = - (dQ*R)/dt) → - dt/RC = dQ/Q(Ec.5)

La Ec.5 es una ecuación diferencial de variables separables, donde RC son constantes, t y Q son variables, al solucionar dicha ecuación obtenemos:

Ln(Q) = -t/RC + Cte(Ec.6)

Despejamos Q elevando exp por toda la Ec.6, de la siguiente forma:

Q(t)=exp(-t/RC + Cte)

GR12NL28

Usando los valores iníciales en la ecuación anterior obtenemos Q(0) = expcte = Q0, lo que indica que Cte = ln(Q0), por ello la ecuación anterior es igual a:

Q(t)=exp(-t/RC + ln(Q0)) → Q(t)=Q0exp(-t/τ)

(Ec.7)

Donde τ = RC que tiene unidades de tiempo. La Ec.7 es la ecuación de la cantidad Carga que hay en el circuito que eta previamente cargado con Q0 y disminuye de forma exponencial.

Como ya obtuvimos la ecuación de carga en función del tiempo, podemos despejar la Ec.4 y saber la ecuación de Corriente:

I(t)= - Q0/τ * exp(-t/τ) → I(t) = V0/R* exp(-t/τ) → I(t)= I0* exp(-t/τ)

(Ec.8)

Y de la misma forma para el potencial eléctrico:

I = (Q0/C)*(I/V)* exp(-t/ τ) → V=V0exp(-t/τ)

(Ec.9)

GR12NL28

Carga de un Condensador

Fig.2 Circuito RC con Fuente conectado en seriehttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagn

et/campo_electrico/rc/rc.htm

En el circuito de la figura mostrada tenemos un circuito RC incluyendo una fuente; haciendo un balance de Potencial Eléctrico, tenemos que:

ε – VR – VC = 0En donde ε es el potencial generado por la fuente, VR el de la resistencia y VC el del condensador, también lo podemos expresar los siguientes términos:

ε – IR – Q/C = 0(Ec.1)

Como todos ya sabemos la corriente es la cantidad de carga que fluye a través del tiempo; en este proceso de carga la corriente aumentará, por ello:

I= dQ / dt(Ec.2)

Sustituyendo la corriente de Ec.2 en la Ec.1, obtenemos:

ε = (dQ/dt)*R + Q/C (Ec.3)

GR12NL28

En el instante t = 0 la carga inicial Q0 = 0 y La corriente es máxima, I0 = ε/R, ah medida que pasa el tiempo la corriente disminuye ya la carga aumenta. Cuando el tiempo tienda a infinito la carga máxima será Qf = Cε , en ese momento la corriente I = 0.Al multiplicar la Ec.3 por C obtenemos:

εC – Q = (dQ/dt) * RC

Simplificando la ecuación anterior, tenemos una ecuación de variables separables:

dQ/(Cε - Q) = dt/RC(Ec.4)

Solucionado la ecuación tenemos:-ln(Cε - Q) = t/RC + Cte

(Ec.5)

Despejando Q obtenemos :Q = expt/RC + Cte + Cε

Como en el instante t = 0 ; Q =0 entonces Cte = ln(-Cε), entonces la ecuación de carga ser igual a :

Q= Cε*(1-exp(-t/RC)) → Q = Qf*(1-exp(-t/RC))

(Ec.7)

GR12NL28

Bibliografía

SERWAY, Raymond A. “Física, tomo II”, 3ra Edición, págs.: 725 a 745.

TIPLER, Paul A. “Física**”, 3ra Edición , págs. : 760 a 763.

http://fismat.uia.mx/examen/servicios/laboratorios/fisica/pdf-practicas/FU2/Descarga%20de%20un%20condensador.%

20LP.pdf

http://es.wikiversity.org/wiki/Circuito_RC