circunferencia
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Circunferencia
Escrito por:Guillermo Miranda
ManriqueJuan Carlos Cuadros
Herrera.
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CIRCUNFERENCIA
Medida de la circunferencia
Posición de una recta y dos circunferencias
TEOREMAS
exteriortangente
Circunferencias secantesCircunferencias exteriores
secante
Circunferencias tangentes exterioresCircunferencias tangentes interiores
Circunferencias concéntricasCircunferencias interiores
PITOT
PONCELET
EJERCICIOS
Medida de la Circunferencia
Medida Angular: 360º
Medida Lineal:2.r
X+Y+Z=360ºMedida de arcos
en una circunferencia
Medida de una Circunferencia
•Medida Angular: la medida angular de una circunferencia es igual a 360º. No interesa la longitud de su radio.
• Medida Lineal: La longitud lineal de una circunferencia es igual a 2p Si interesa cuanto mide su radio, pues a mayor radio, mayor longitud.
Medida de una arco
• Tanto la circunferencia como un arco, se mide en unidades angulares, específicamente en grados sexagesimales.
• Entonces, la medida de un arco será una fracción de 360º
Suma de arcos en una Circunferencia
• Si una circunferencia se divide en varios arcos, la suma de todos estos arcos es igual 360º
POSICIÓN DE UNA RECTA Y CIRCUNFERENCIA;POSICIÓN DE DOS
CIRCUNFERENCIAS.
Exterior
• Es exterior cuando la recta no toca la circunferencia
Tangente
• Esta se llama tangente porque solo toca un punto de la circunferencia
Secante
• Se llama secante porque la recta cruza la circunferencia
Posición de dos circunferencias
•En posición de dos circunferencias solo existen seis casos que son los siguientes
Circunferencias exteriores
• Cuando la suma de sus radios es menor que la distancia entre los centros
• No tiene punto común
r R
R + r es menor que la distancia entre sus centros
Circunferencias secantes
•Cuando se cortan y tienen dos puntos comunes
R r
R – r es menor la distancia de los centros y estos son menores que R + r
Circunferencias tangentes exteriores
• Cuando tienen un punto común y una se encuentra fuera de la otra
• Aquí se cumple que la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios
R r
La suma de sus centros es iguala R + r
Circunferencia tangentes interiores
• Cuando tiene un punto común y una se encuentra fuera de la otra
• Aquí se cumple que la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios
R
r
La distancia de sus centros es Igual a R - r
Circunferencias interiores
• Cuando no tiene punto común y esta dentro de la otra
• Aquí la distancia entre sus centros es menor que la diferencia entre sus radios
Sus centros son menores que R - r
R r
Circunferencia concéntricas
• Cuando tienen el mismo centro
• Ahí se cumple que la distancia entre sus centros es nula
La distancia de sus centros es 0
TEOREMAS
Teorema de Pitot
• En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la suma de las longitudes de lados opuestos tiene un mismo valor
A
C
D
B
BA + CD = AD + BC
Teorema de Poncelet
• En todo triangulo rectángulo , la suma de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita
C A
B
r
c
b
a
a + b = c + 2r
PROPIEDADES ASOCIADAS A LOS ELEMENTOS
Ejercicios Propuestos
•1.- Hallar “x”
Por un punto exterior a una circunferencia solo se pueden
trazar dos tangentes, los segmentos determinados por
sendas tangentes son congruentes
A
B
C
AB = AC
El radio es perpendicular a la tangente
O
A
L
Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes
A
C D
B
CD //ABAC ≡ DB
A arcos congruentes le corresponde cuerdas
congruentes
B
DA
C
AB ≡ CDAB ≡ CD
EJERCICIOS
•2.- Hallar la medida de la circunferencia si su diámetro es 5 cm.
•3.- Hallar la longitud de la parte rayada:
•4.- Hallar “x” si:•A= 35º•C=120º•D=20º
L
Q
F
9
40
41
Utilizamos el teorema de Poncelet la suma de los catetos es igual a la suma de la hipotenusa mas 2r
rrr
CALCULAR “r”
r= 4
9+40=41+2r 49=41+2r
8=2r
11 CM
20CMX
R
Q
QS=SR
AB-SR=RL
20-11=X
X = 9
CALCULAR “X”,si AB=SL
SA
BL
AC = 7, AB = 8 BC = 9 CALCULA AP
A
B
C
MN
P
•x+z=7, z+y=9, x+y=8
•x+z=7
•z+y=9 z=9-y
•x+y=8
2x+2y+2z=24
X+y+z=12
X+y+9-y=12
X=3
xz
yy
x z
• Hallar la medida de la circunferencia cuyo radio es 5
RPTA : 10
5
PROBLEMAS
• C: r• C: )• C: 10
• Se tiene los puntos ABCD, Halla el arco menor AB= X ; si BC=7x, CD= 7X, AD =3X • 7X + 7X + 3X + X
=360• 18X = 360• X =20A
B
X
7XRPTA : el arco AB mide 20°
C
D
7X
3X