Circunferencia La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del

centro.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto

fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico

de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es

elperímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son

iguales, o los focos coinciden. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje,

de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide

con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano

exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa

por el centro , se llama ecuador1

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia

unidad o circunferencia goniométrica.2 3 4 5 6

Ecuaciones de la circunferencia Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b)

y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al

.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia

goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia,

se deduce:

resultando:

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,la ecuación de la

circunferencia es:

Ecuación vectorial de la circunferencia

La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por

ecuación vectorial: . Donde es el parámetro de la curva,

además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación

cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por

resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como

resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.

Sea C un punto fijo del plano, r un real positivo, P un punto cualquiera de ℝ2, la ecuación |P - C|= r

es la ecuación vectorial de la circunferencia de centro C y radio r 8 .

Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas

polares como

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se

transforma en:

Ecuación paramétrica de la circunferencia

La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se paramétrica con funciones trigonométricas como:

y con funciones racionales como

Donde t recorre todos los valores reales y se llamaparámetro

Elementos de la circunferencia Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

Radio, El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia

con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a la

longitud de la circunferencia dividida por 2π.;

Diámetro, El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la

circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a

la longitud de la circunferencia dividida por π;

Cuerda, La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la

cuerda de longitud máxima.;

Secante, es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos;

Tangente, es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;

Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

Arco, El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la

circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los

puntos extremos del arco.;

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Diámetros conjugados

Par de diámetros conjugados en unaelipse

Dos diámetros de una sección cónica se denominan conjugados cuando toda cuerda paralela a

uno de ellos es bisecada por el otro. Por ejemplo, dos diámetros de la

circunferencia perpendiculares entre sí son mutuamente conjugados. En una elipse dos diámetros

son conjugados si y sólo si la tangente a la elipse en el extremo de un diámetro es paralela a la

tangente al segundo extremo.

Punto interior

Es un un punto en el plano de la circunferencia, cuya distancia al centro de la circunferencia es

menor que el radio. El conjunto de todos los puntos interiores se llama interior de la circunferencia.

Respecto al círculo, nítidamente, se distinguen el interior, el exterior y la frontera, que es

precisamente la respectiva circunferencia.7