CLASE 1

Representación de los datos

MENU DEL DIA• Análogo o digital?• Señales binarias.• Formas de onda digitales

- Señales periódicas- Señales no periódicas

• Representación de datos• Representación binaria de números.• Suma binaria.• Resta binaria.• Representación de números con signo.

- Signo-magnitud- Suma y resta

- Complemento a 1- Complemento a 2

- Suma y resta• Otros códigos.

ANALOGO .vs. DIGITAL• Una señal análoga se caracteriza por presentar un numero infinito de valores posibles.

• Una señal digital solo puede tomar un numero finito de valores.

Posibles valores: 1.00, 1.01, 200003,…, infinitas posibilidades

Posibles valores: 0, 1, 2, 3 o 4.

Continuo Discreto

ANALOGO O DIGITAL?

Diga cuales cantidades son análogas y cuales son digitales:1. La temperatura del agua en la playa.2. Los granos de arena en un recipiente.3. El numero de olas que golpea la playa.4. El peso de una ola.5. La gente que se encuentra en un radio de 1 kilometro cuadrado

SEÑALES DIGITALES

SEÑALES BINARIAS• Señal digital que puede tomar solo dos posibles valores (Niveles lógicos).

• Los niveles lógicos típicamente se representan con 1 y 0.

0 1falso verdadero

off on

0 Volt. 5 Volt.

rojo verde

no si

• Un nivel lógico puede representar varias cosas.

• Cada digito se denomina bit (binary digit).

PULSOVariación momentánea de un voltaje desde un nivel lógico al nivel opuesto. Después de un tiempo hay un retorno al nivel de voltaje original

Alto

Bajo

Alto

Bajo

Flanco de Subida Flanco de Bajada

Flanco de SubidaFlanco de Bajada

Pulso

FORMAS DE ONDA DIGITALESDefinición : Serie de 1s y 0s lógicos graficados como función del tiempo. Una onda digital esta conformada por pulsos.

Tipos

Periódica No periódica

ONDAS PERIODICASEste tipo de onda se caracteriza por repetir el patrón de 1s y 0s cada cierto periodo de tiempo.

T

TH TL

Periodo (T): Tiempo requerido para que una onda periódica se repita.

Tiempo alto (TH): Tiempo en el cual la onda permanece en estado alto durante un periodo.

Tiempo bajo (TL): Tiempo durante un periodo en el cual la onda permanece en estado bajo.

Frecuencia (f): Numero de veces que una onda periódica se repite en un lapso de 1 segundo.

• Ciclo de dureza: Fracción del periodo durante la cual una onda digital se encuentra en estado alto. La expresión se define como se muestra a continuación:

DC = TH/T (O porcentualmente: %DC = (TH/T)*100%).

ONDAS PERIODICAS

Ejemplo 1: Dadas las ondas periódicas anteriormente mostradas, calcular: Tiempo en alto, tiempo en bajo, periodo, frecuencia y porcentaje de dureza.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0

1

1

ms

V

Ejemplo 2: Un circuito digital describe una onda que puede ser descrita por el siguiente patrón periódico de bits: 0011001100110011:• ¿Cual es el ciclo de dureza de la onda?• Escriba el patrón de bits de una onda con el mismo ciclo de dureza y el doble de frecuencia de la original.• Escriba el patrón de bits de una onda que tenga la misma frecuencia que la original y un ciclo de dureza del 75%.

ONDAS NO PERIODICASEstas ondas se caracterizan por exhibir un patrón de 1s y 0s no repetitivo en el tiempo.

Ejemplo: Un circuito digital genera las siguientes cadenas de 1s y 0s:a. 0011111101101011010000110000b. 0011001100110011001100110011c. 0000000011111111000000001111d. 1011101110111011101110111011

El tiempo entre bits es siempre el mismo. Bosqueje la onda digital generada. ¿Cuáles ondas son periódicas y cuales no lo son?

REPRESENTACION DE DATOSChef, ¿Qué putas es un dato?

Muchas definiciones son posibles dependiendo el contexto. Pero básicamente un dato es una representación física de la información.

Que puede ser almacenada, transmitida o procesada.

REPRESENTACION DE DATOSLa información puede ser muy complicada, por eso se hace necesaria una representación simple.

• Como se ha visto con anterioridad, la información mas simple puede ser un FALSO/VERDADERO.• En voltajes un falso puede ser 0V y un verdadero 5V.• La señal de voltaje con solo dos posibilidades es conocida como bit.

FALSO VERDADERO

(0) (1)

SISTEMAS NUMERICOS

Decimal (10)

Binario (2)

Octal (8)

Hexadecimal (16)

SISTEMA DECIMAL• Este sistema posee 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. • Cualquier numero decimal se forma como una combinación de estos dígitos:

1000 123.1565 24 9981425.23604

• Notación posicional: El valor de un digito dentro de un numero depende del lugar en el que se encuentra este dentro del numero.

4536 = 4000 + 500 + 30 + 6 = 4*1000+5*100+3*10+6*1

40006

El valor del digito depende de cual digito es y donde esta ubicado.

Peso

SISTEMA BINARIO• El sistema de números binarios solo tiene dos dígitos: 0 y 1.• Algunos números binarios son:• 10000011000111111• 10110100000000001• 11• 111.011• 1100.0001

• El sistema numérico binario tiene una base de 2 con cada posición pesada por un factor de 2.

CONVERSION DE DECIMAL A BINARIO

Decimal (10)

Binario (2)

Existen dos métodos para tal fin; por suma de potencias de 2 o por divisiones sucesivas. En este caso solo vamos a tratar el segundo método.

Método de divisiones sucesivas

Convertir el numero 15310 a binario

Respuesta:15310 = 1001100110

Definiciones:• MSB (Most significant bit): Es el bit mas a la izquierda en un numero binario. Este es el bit con mayor peso en el numero.• LSB (Least significant bit): Es el bit mas a la derecha del numero, se caracteriza por tener el menor peso.

Ejemplos:Convertir los siguientes números decimales a binarios:• 118910

• 409510

CONVERSION DE BINARIO A DECIMAL

Decimal (10)

Binario (2)

La manera mas simple consiste en multiplicar cada bit por su peso y realizar la suma.

Convertir el numero 10011102 a decimal

Ejemplos:Convertir los siguientes números decimales a binarios:• 0.11012

• 10.1012

Conversión de un numero binario a decimal

10011102 = 1*(2^6) + 0*(2^5) + 0*(2^4) + 1*(2^3) + 1*(2^2) + 1*(2^1) + 0*(2^0) = 1*(64) + 0*(32) + 0*(16) + 1*(8) + 1*(4) + 1*(2) + 0*(1) = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 78

Respuesta: 10011102 = 7810

SISTEMA HEXADECIMAL• Utiliza como base el numero 16.• El sistema posee 16 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,F.• Después de los números binarios los números hexadecimales son los mas importantes en aplicaciones digitales.• Los dígitos hexadecimales pueden contener mas información digital en menos dígitos que una representación binaria1000110010110000011111112 = 8CB07F16

SISTEMA OCTAL• La base de este sistema es el numero 8.• El sistema posee 8 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.• Ejemplo:

1000110010110000011111112 = 431301778

CONVERSION DE DECIMAL A OCTAL O HEXADECIMAL

Ejemplos:Convertir los siguientes números decimales a hexadecimal y octal:• 1012810

• 70910

Respuesta: 186910 = 74D10

Decimal (10)

Octal (8)

Hexadecimal (16)

Al igual que en el caso binario se emplea el método de divisiones sucesivas, sin embargo en este caso, se divide por la base del sistema deseado (en este caso 16 o 8, pero en general puede ser cualquier base). El residuo arrogara como resultado un valor el cual debe ser codificado en como un digito valido de la base que se este trabajando (para el caso 12 o 16).

Ejemplo: Convertir el numero 186910 a hexadecimal y octal

CONVERSION DE HEXADECIMAL O OCTAL A DECIMAL

Respuesta: 10B316 = 427510

En este caso se debe debe multiplicar cada uno de los dígitos de la base octal o hexadecimal por el peso asociado, el resultado de sumar estos productos será el numero en decimal.

Ejemplo: Convertir el numero 10B316 a decimal

10B316 = 1*(16^3) + 0*(16^2) + B*(16^1) + 3*(16^0) = 1*(4096) + 0*(256) + 11*(16) + 3*(1) = 4096 + 0 + 176 + 3 = 4275

Respuesta: 57128 = 307810

Ejemplo: Convertir el numero 57128 a decimal

57128 = 5*(8^3) + 7*(8^2) + 1*(8^1) + 2*(8^0) = 5*(512) + 7*(64) + 1*(8) + 2*(1) = 2560 + 508 + 8 + 2 = 3078

CONVERSION DE UN NUMERO BINARIO A HEXADECIMAL

Ejemplo:

0010111110011010011111012

Respuesta: 10111110011010011111012 = 2F9A7D16

Debido a que la base hexadecimal (16) depende de la base binaria (2), la conversión se facilita, para ello se sigue el siguiente sencillo procedimiento:1. Divida el numero binario en grupos de 4 bits.2. En caso de que el numero de bits del numero no

sea múltiplo de 4 se agregan los bits necesarios hasta que la cantidad de bits sea múltiplo de 4.

3. Reemplace cada numero con el equivalente hexadecimal.

2 D7A9F

2F9A7D16

CONVERSION DE UN NUMERO BINARIO A OCTAL

Ejemplo:

0010111110011010011111012

Respuesta: 10111110011010011111012 = 137151758

El procedimiento es bastante similar al caso de hexadecimal, a continuación se detallan los pasos:1. Divida el numero binario en grupos de 3 bits.2. En caso de que el numero de bits del numero no

sea múltiplo de 3 se agregan los bits necesarios hasta que la cantidad de bits sea múltiplo de 3.

3. Reemplace cada numero con el equivalente octal

3 51517

137151758

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CONVERSION DE UN NUMERO HEXADECIMAL U OCTAL A BINARIO

En ambos casos el procedimiento es el opuesto a las dos conversiones previamente mostradas. A continuación se muestra cada caso:

Hexadecimal Binario

Octal Binario

A216

1010 0010 = 101000102

7038

011 000 111 = 1110000112

RESUMEN METODOS DE CONVERSION

RESUMEN METODOS DE CONVERSION

REPRESENTACION BINARIA DE NUMEROS

• Con anterioridad se pudo observar que cualquier cantidad podía ser representada en diferentes bases (2, 8, 10 y 16 en nuestro caso).• En esta sección se abordara un poco mas la relación entre los numero en base binaria y en base decimal.

REPRESENTACION BINARIA DE NUMEROS

• Un numero binario esta compuesto de bits.

11001101001111101bit

• A mayor numero de bits, mayor numero de combinaciones posibles.

Generalización:• Un numero con n bits tiene hasta 2^n posibles combinaciones.• El rango de estas combinaciones va desde 0 hasta 2^n-1.

Ejemplo: Dado un numero binario de 5 bits:• ¿Cuántas combinaciones posibles existen?• ¿Cuál es el rango?• Muestre todas las posibles combinaciones.

SUMA BINARIA• Cuando se suman dos dígitos binarios se pueden dar las siguientes posibilidades:

0 + 0 = 00 (Acarreo 0, suma 0) 0 + 1 = 01 (Acarreo 0, suma 1) 1 + 0 = 01 (Acarreo 0, suma 1) 1 + 1 = 10 (Acarreo 1, suma 0)1 + 1 + 1 = 11 (Acarreo 1 , suma 1)

11bit de acarreo bit de suma

SUMA BINARIA – ALGUNOS EJEMPLOS

RESTA BINARIA

0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 1 - 0 = 1 10 - 1 = 1 (0 – 1 con acarreo negativo de 1)

RESTA BINARIA – ALGUNOS EJEMPLOSRegla para restar1. Si esta prestando desde una posición que

contiene un 1, deje un 0 en dicha posición después de prestar.

2. Si esta prestando desde una posición que contiene 0, usted debe prestar del bit mas significativo que contenga un 1. Todos los 0s se volverán 1s, y el 1 que presto al principio se volverá 0.

0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 1 - 0 = 1 10 - 1 = 1 (0 – 1 con acarreo

negativo de 1)

REPRESENTACION BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO

Todo lo que hemos visto anteriormente esta relacionado a números sin signo. ¿Qué acontece para el caso de los números con signo entonces?

Oh, y ahora quien podrá ayudarme

Pos nada home, existen tres formas de representar números enteros con signo, estas son:1. Signo – magnitud.2. Complemento a 1.3. Complemento a 2.

REPRESENTACION SIGNO - MAGNITUDEn esta representación, el bit mas a la izquierda de la secuencia es el bit de signo, el resto de la secuencia es la magnitud del numero.

MagnitudSigno

0

1

N-1

N …

0: Positivo (+) 1: Negativo (-)

Ejemplo: Asumiendo que se tiene una secuencia de 8 bits:

0

7 6

MAGNITUDS

+2710 = 000110112

-2710 = 100110112

Rango: Para un numero de N bits el rango va:

−𝟐𝑵 −𝟏𝒂𝟐𝑵 −𝟏

SUMA Y RESTA DE NUMEROS EN REPRESENTACION MAGNITUD Y SIGNO

Suma:Cuando se desean sumar dos números cuya representación es la representación magnitud signo se procede de la siguiente manera:• Si el signo de ambos números es el mismo, sumamos las magnitudes y el resultado hereda

el signo de los operando.• Si los signos de ambos son diferentes es necesario comparar las magnitudes:

- Si las magnitudes son iguales, el resultado es 0.- Si las magnitudes son diferentes, restamos la magnitud del menor de la magnitud del

mayor y el resultado hereda el signo de la magnitud del mayor.

Resta:Se calcula como una suma después de cambiar el signo del sustraendo

27102810

Ejemplo: Suponga que se emplean 8 bits para la representación signo-magnitud de varios números, realice las operaciones indicadas a continuación:

−1610

0 001101120 00111002100100002

27102810

2710−1610

27102810+¿ +¿ −

COMPLEMENTO A 1Es una forma de representación de números con signo en la cual, los números negativos son creados al complementar todos los bits de un numero, incluyendo el bit de signo, de tal manera que si N es un numero positivo su negativo (en complemento a 1) se calcula así:

Ejemplo: Calcular el complemento a 1 de 7, usando representación de 4 bits.

𝑁=(2𝑛−1 )−𝑁

Con estos datos n=4 de modo que:

COMPLEMENTO A 1Según lo anterior, en resumidas cuentas:• Los números positivos se representan de la misma manera que para el caso signo-magnitud de modo que el signo bit de signo es 0.• En el caso de los números negativos, estos se generan escribiendo el numero positivo (en la forma signo-magnitud) y posteriormente negando cada uno de los bits.

Ejemplo: Asumiendo que se tiene una secuencia de 8 bits:

+2710 = 000110112 +2710 = 000110112

Numero positivo

-2710 = 011001002

111001002

Numero negativo

Numero positivo

Inversión de los bits

COMPLEMENTO A 2• Es otra forma de representación de números con signo. Asi:

- Los números positivos se representan de la misma manera que para el caso signo-magnitud o complemento a 1. (Bit MSB es 0 indicando numero +).

- Los números negativos se generan tomando la magnitud del numero positivo, invirtiendo todos los bits y añadiendo 1. (Bit MSB es 1 indicando numero -).

• Esta es la forma mas comúnmente usada para la representación de números con signo.

• El acarreo que produce el MSB se descarta.

Ejemplo: Asumiendo que se tiene una secuencia de 8 bits:

+2710 = 000110112

+2710 = 000110112

Numero positivo

-2710 = 111001012

111001002

Numero negativo

Numero positivoInversión de los bits

111001012

Adición de 1+1

COMPLEMENTO A 2

Ejemplo: Asumiendo que se tiene una secuencia de 4 bits, muestre el rango de números en complemento a 2:

Asumiendo que se tienen n bits para representar un numero en complemento a 2, se tiene que:• El numero positivo mas alto en

notación complemento a 2 es un 0 seguido por n-1 1s.

• El numero negativo mas pequeño en complemento a 2 es un 1 seguido por n-1 0s.

Rango: El rango de un numero x de n bits en complemento a 2 es:

−2𝑛≤ 𝑥≤2𝑛−1

CONVERSION DE NUMEROS EN COMPLEMENTO A 2 A BASE 10

Decimal (10)

Complemento a 2

Para convertir un numero de N bits que se encuentra en decimal a su equivalente en complemento a 2, se emplea la siguiente tabla:

Ejemplo:Supóngase que se esta representando un numero 8 8 bits en complemento a 2, cual es su equivalente en decimal:

+ + + + + + + + 4+ + = -128 + 4 = -124

¿−12410

SUMA EN COMPLEMENTO A 2• En este caso el bit de signo de cada numero se opera de la misma forma que los bits de

magnitud.• Cualquier acarreo mas allá del signo se ignorara.• Existen 5 posibles casos veamos esto con un ejemplo.

Ejemplo:Supóngase que están usando 5 bits para la representación de diferentes números en complemento a 2. Los casos que se pueden dar al sumar son:

Caso I: Dos números positivos.

+9+4

010010 0100

+13 01101

+9

0100111100

+5 100101

Caso II: Un numero positivo y uno negativo mas pequeño.

SUMA EN COMPLEMENTO A 2Caso III: Un numero positivo y uno negativo mas grande.

−9+4

101110 0100

Caso V: Dos números iguales pero de signo opuesto

Caso IV: Dos números negativos.

−9−4

1011111100

−13 110011

−99

1011101001

−13 100000

SUMA EN COMPLEMENTO A 2En general:• Sumar dos números del mismo signo (ambos positivos (caso I) o ambos negativos

(caso IV)) producen un resultado correcto siempre y cuando no se sobrepase el rango del sistema numérico.

• Sumar dos números de diferente signo siempre producen un resultado correcto (Casos II y III).

• Algunas sumas producen un resultado que sobrepasa el rango del sistema numérico, dándose una condición que se conoce como desbordamiento (overflow). Veamos:

+89

0100001001

−15 10001Signo incorrecto Magnitud incorrecta

RESTA EN COMPLEMENTO A 2Cuando se realiza una resta, primero se calcula el complemento a 2 del sustraendo y luego se suma este al minuendo usando las reglas normales de suma. Por ejemplo:

OTROS CODIGOSCODIGO BCD (Binary Coded Decimal)Código en el cual cada digito decimal es representado por una secuencia de 4 bits.

Ejemplo:Cual es el equivalente en BDC del numero decimal 4987.

4987

0111

Respuesta:4987 = 010010010000111BCD

1000 1001 0100

OTROS CODIGOSCODIGO ASCIICódigo empleado para representar caracteres alfanuméricos (caracteres numéricos y alfabéticos) y de control.