Clase 1 a 3 C Moderno
-
Upload
eduardo-pastor -
Category
Documents
-
view
6 -
download
0
description
Transcript of Clase 1 a 3 C Moderno
CONTROL MODERNO , UNIDAD 1.
1 FBX
Unidad 1 REPRESENTACION DE SISTEMAS EN
VARIABLES DE ESTADO
1.1 Introducción La teoría moderna de control está basada en el conocimiento del comportamiento
interno de los sistemas, reflejado en las variables que influyen en su dinámica.
Estas variables constituyen el concepto de estado del sistema. El conocimiento de
la evolución de todas las variables que influyen en la dinámica del sistema permite
efectuar un control más potente de ésta y abordar el control de sistemas más
complejos.
La teoría moderna de control se desarrolla para solventar algunos de los
problemas en los que presenta fuertes limitaciones la denominada teoría clásica,
basada en el modelado de la relación entre una entrada y una salida de los
sistemas dinámicos lineales de parámetros constantes. Las ventajas de la teoría
moderna de control, en contraposición a la teoría clásica, son fundamentalmente
las siguientes:
• Es aplicable a sistemas multivariables en los que existe un elevado grado de
interacción entre las variables del sistema, no pudiendo establecerse bucles de
control entre una salida y una entrada concreta que se puedan ajustar de forma
independiente según se aborda en la teoría clásica.
• Es aplicable a sistemas con relaciones no-lineales entre las variables
involucradas en su dinámica y cuyo comportamiento no puede ser aproximado por
un modelo lineal, dentro del rango de valores que van a tomar sus variables.
• Es aplicable a sistemas cuyos parámetros varían en el tiempo a velocidades
comparables con la evolución de sus variables, para los que no se puede obtener,
en consecuencia, un modelo de parámetros constantes válido en el rango
temporal necesario para efectuar el control.
• Es aplicable a sistemas complejos de control, con un gran número de variables
internas que condicionan el comportamiento futuro de la salida. La utilización de la
realimentación sólo de la salida, según el modelo clásico, empobrece la
información disponible por el regulador para controlar la planta, lo que llega a
impedir un control de la salida del sistema con mejores prestaciones.
• Es aplicable a la optimización del comportamiento de sistemas, entendida ésta
como la minimización de una función objetivo que describe un índice de costo que
a su vez refleja la calidad en la consecución de los objetivos de control.
Las mencionadas ventajas diferenciadoras de la teoría son abordadas por distintas
ramas del control, denominadas respectivamente: control multivariable, control no-
lineal, control adaptativo, control por asignación de polos y control óptimo. Aunque
cada una de estas ramas del control automático utiliza técnicas que le son propias,
CONTROL MODERNO , UNIDAD 1.
2 FBX
todas ellas confluyen en la necesidad de un modelo del comportamiento de
sistemas dinámicos que incluya la evolución de sus variables internas, que pueda
aplicarse a sistemas multivariables y que pueda ser no-lineal y/o de parámetros no
constantes. Este modelo del sistema es el denominado modelo de estado del
sistema.
Si los sistemas multivariables a los que se aplica la teoría moderna de control
presentan un comportamiento dinámico que puede aproximarse por modelos
lineales de parámetros constantes, se simplifica mucho su análisis y el diseño de
los reguladores multivariables.
1.2 Representación en variables de estado
Representación de Sistemas de función de transferencia a variables de estado
Los sistemas se presentan en variables de estado por la ecuación:
�� = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖
𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖
𝒙 = vector de estado
�� = derivada del vector de estados con respecto al tiempo
𝒚 = vector de salida
𝒖 = vector de entrada o de control
𝑨 = Matriz del sistema
𝑩 = Matriz de la entrada
𝑪 = Matriz de la salida
𝑫 = Matriz de la prealimentación
Forma en variables de fase
Ejemplo 1
Sea
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
24
𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24
En producto cruz
𝐶(𝑠)[𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24] = 24𝑅(𝑠)
Al aplicar la transformada inversa de Laplace con condiciones iniciales cero
𝑐 + 9�� + 26�� + 24𝑐 = 24𝑟
Al escoger las variables de estado como:
𝑥1 = 𝑐
CONTROL MODERNO , UNIDAD 1.
3 FBX
𝑥2 = ��
𝑥3 = ��
Al derivar
𝑥1 = ��
𝑥2 = ��
𝑥3 = 𝑐
Se tiene que
[��1
��2
��3
] = [0 1 00 0 1
−24 −26 −9] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] + [0024
] 𝑟
𝑦 = [1 0 0] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
]
Forma en variables de fase
Ejemplo 2
Sea
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝑠2 + 7𝑠 + 2
𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24
Se separa en dos bloques denominador (polos) y luego numerador (ceros)
𝑋1(𝑠)
𝑅(𝑠)= (
1
𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24)
y
𝐶(𝑠)
𝑋1(𝑠)= (
𝑠2 + 7𝑠 + 2
1)
Al aplicar la transformada inversa de Laplace con condiciones iniciales cero
𝑥1 + 9𝑥1 + 26𝑥1 + 24𝑥1 = 𝑟
y
𝑥1 + 7𝑥1 + 2𝑥1 = 𝑐
Al escoger las variables de estado como:
𝑥1 = 𝑥1
𝑥2 = 𝑥1
𝑥3 = 𝑥1
CONTROL MODERNO , UNIDAD 1.
4
Al derivar
𝑥1 = 𝑥2
𝑥2 = 𝑥3
𝑥3 = 𝑥1
Se tiene que
𝑥3 + 9𝑥3 + 26𝑥2 + 24𝑥1 = 𝑟
𝑥3 + 7𝑥2 + 2𝑥1 = 𝑐
Se tiene que
[��1
��2
��3
] = [0 1 00 0 1
−24 −26 −9] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] + [001] 𝑟
𝑦 = [2 7 1] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
]
1.3 Solución de la ecuación de Estado
POR TRANSFORMADA DE LAPLACE
Caso escalar
x = 𝑎x
Aplicando la transformada de Laplace
𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0) = 𝑎𝑋(𝑠)
𝑋(𝑠)(𝑠 − 𝑎) = 𝑥(0)
Despejando 𝑋(𝑠) se tiene que
𝑋(𝑠) =𝑥(0)
𝑠 − 𝑎= (𝑠 − 𝑎)−1𝑥(0) =
1
𝑠 + (−𝑎)𝑥(0)
𝑋(𝑠) =1
𝑠 + (−𝑎)𝑥(0)
Al aplicar la transformada inversa de Laplace
𝑥(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡𝑥(0)
Caso matricial
�� = 𝑨𝒙
Aplicando la transformada de Laplace
𝑠𝑿(𝑠) − 𝒙(0) = 𝑨𝑿(𝑠)
Despejando 𝑿(𝑠) se tiene que
𝑠𝑿(𝑠) − 𝑨𝑿(𝑠) = 𝒙(0)
(𝑠𝑰 − 𝑨)𝑿(𝑠) = 𝒙(0)
𝑿(𝑠) = (𝑠𝑰 − 𝑨)−1𝒙(0)
Como:
𝓛−𝟏(𝑠𝑰 − 𝑨)−1 = 𝓛−𝟏 (𝑰
𝑠+
𝑨
𝑠2+
𝑨2
𝑠3+ ⋯) = 𝑒𝑨𝑡
CONTROL MODERNO , UNIDAD 1.
5
Al aplicar la transformada inversa de Laplace
𝒙(𝑡) = 𝑒𝑨𝑡𝒙(0)
EJEMPLO:
Hallar 𝑒𝑨𝑡 del sistema:
[𝑥1
𝑥2] = [
0 1−2 −3
] [𝑥1
𝑥2] + [
01] 𝑢
𝑨 = [0 1
−2 −3]
𝑠𝑰 − 𝑨 = [𝑠 −12 𝑠 + 3
]
|𝑠𝑰 − 𝑨| = 𝑠2 + 3s + 2 = (𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)
(𝑠𝑰 − 𝑨)−1 =𝟏
(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)[𝒔 + 𝟑 𝟏−𝟐 𝒔
]
𝑒𝑨𝑡 = 𝓛−𝟏
[
𝒔 + 𝟑
(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)
𝟏
(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)−𝟐
(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)
𝒔
(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)]
𝒔 + 𝟑
(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)=
𝟐
𝒔 + 𝟏+
−𝟏
𝒔 + 𝟐
𝟏
(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)=
𝟏
𝒔 + 𝟏+
−𝟏
𝒔 + 𝟐
−𝟐
(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)=
−𝟐
𝒔 + 𝟏+
𝟐
𝒔 + 𝟐
𝒔
(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)=
−𝟏
𝒔 + 𝟏+
𝟐
𝒔 + 𝟐
= 𝓛−𝟏 [
𝟐
𝒔 + 𝟏+
−𝟏
𝒔 + 𝟐
𝟏
𝒔 + 𝟏+
−𝟏
𝒔 + 𝟐−𝟐
𝒔 + 𝟏+
𝟐
𝒔 + 𝟐
−𝟏
𝒔 + 𝟏+
𝟐
𝒔 + 𝟐
]
𝑒𝑨𝑡 = [ 2𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡 𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡
−2𝑒−𝑡 + 2𝑒−2𝑡 −𝑒−𝑡 + 2𝑒−2𝑡]
Dada la representación de estados, deseamos llegar a la función de transferencia.
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)=
CONTROL MODERNO , UNIDAD 1.
6
�� = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖
𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖
Aplicando la transformada de Laplace a �� = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖
Con condiciones iniciales cero
𝑠𝑿(𝑠) = 𝑨𝑿(𝑠) + 𝑩𝑼(𝒔)
Despejando X(s)
𝑠𝑿(𝑠) − 𝑨𝑿(𝑠) = 𝑩𝑼(𝒔)
(𝑠𝐼 − 𝐴)𝑿(𝑠) = 𝑩𝑼(𝒔)
𝑿(𝑠) = (𝑠𝑰 − 𝑨)−1𝑩𝑼(𝒔)
La transformada de Laplace del vector de salida 𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖 es:
𝒀(𝒔) = 𝑪𝑿(𝒔) + 𝑫𝑼(𝒔)
𝒀(𝒔) = 𝑪[(𝑠𝑰 − 𝑨)−1𝑩𝑼(𝒔)] + 𝑫𝑼(𝒔)
Factorizando 𝑼(𝑠) por la derecha
𝒀(𝒔) = 𝑪[(𝑠𝑰 − 𝑨)−1𝑩 + 𝑫]𝑼(𝒔)
Luego
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)= 𝑪[(𝑠𝑰 − 𝑨)−1𝑩 + 𝑫]
SUBIR ESTO
12 de enero 2015