Clase 10

CLASE 10: RESPUESTA A CARGAS DINMICAS GENERALES MTODOS PASO A PASO

Profesor:LUIS AUGUSTO LARA VALENCIA

Medelln: Octubre 2014

Universidad Nacional de Colombia sede Medelln Departamento de Ingeniera CivilPostgrado en EstructurasDINAMICA DE ESTRUCTURAS

RESPUESTA A CARGAS DINMICAS GENERALES MTODOS PASO A PASO

Los anlisis de respuesta en el dominio del tiempo, o de la frecuencia, requieren laevaluacin individual de distintas contribuciones, que combinadas permiten obtener el valorde respuesta global de un sistema estructural.

Se utiliz la integral de Duhamel. En este procedimiento la carga es considerada unasucesin de impulsos de corta duracin, y la respuesta del sistema sujeto a vibracin librede cada uno de esos impulsos se convierte en una contribucin individual a la respuestatotal en un instante de tiempo especifico.

En el dominio del tiempo

Se asume que la carga es peridica y se determinan los componentes armnicos discretos dela misma empleando la transformada de Fourier. Las correspondientes componentes derespuesta armnica de la estructura son obtenidas multiplicando las componentes de cargapor los coeficientes de respuesta de frecuencia de la estructura. La respuesta total esobtenida combinando los componentes de respuesta armnica (TIF).

En el dominio de la frecuencia


Debido a que la superposicin de efectos es aplicada para obtener el valor de respuesta enlos dos mtodos anteriormente descritos, ninguno de estos dos procedimientos es apto paraser aplicado en el anlisis de respuesta no lineal.

Los mtodos que sern analizados a continuacin (mtodos paso a paso) son una buenaalternativa para el anlisis de todo tipo de estructura (lineales y no lineales) debido a que nohacen uso del efecto de superposicin. El nombre de mtodos paso a paso se deriva de quela carga y el valor de la respuesta a lo largo del tiempo son divididos en una secuencia deintervalos de tiempo, o pasos.

Respuesta Calculada a partir de condiciones iniciales en el principio del paso incluyendo valor de la carga.

Para cada paso

Es un problema de anlisis independiente que no necesita la combinacin de contribuciones de respuesta


El comportamiento no lineal de un sistema puede ser considerado fcilmente, mediante estemtodo, asumiendo simplemente que las propiedades estructurales permanecen constantesdurante cada paso, causando cambios en el sistema de acuerdo a una conducta especificaque cambia la estructura de paso en paso. De esta manera, el anlisis no lineal es unasecuencia de anlisis lineales de un sistema en permanente cambio.

Como se alcanza un mayor grado de refinamiento en el caso no lineal????Utilizando intervalos de tiempo cortos.

Tipo de no linealidades en que puede ser aplicado Cualquiera: material, geometra,cambios de propiedades de masa, rigidez y amortiguamiento.

Los mtodos que sern presentados son aplicables para sistemas lineales y no lineales de ungrado de libertad o de mltiples grados de libertad, para este ultimo caso basta con sustituirlos valores escalares de las propiedades del sistema estructural analizado por matrices quecontengan la informacin de la estructura. Debido a sus obvias ventajas y facilidades, estosson los mtodos ms populares de calculo de respuesta dinmica de estructuras.


Es el ms simple de los mtodos paso a paso. Este se basa en la solucin exacta de laecuacin de movimiento de una estructura lineal sometida a una carga que varia linealmentedurante un intervalo de tiempo discreto.

Mtodo exacto por tramos

En este mtodo la carga se divide en intervalos de tiempo, donde se asume que la pendientede la curva de carga permanece constante. A pesar de que la expresin que conduce a larespuesta es derivada de los intervalos lineales de carga y esto hace que la misma seaexacta, se debe ser consiente de que la variacin de la carga a lo largo del tiempo es unamera aproximacin lograda por la pendiente constante asumida en cada tamao de paso. Deesta manera, la respuesta calculada no es una representacin exacta de la respuesta realdebida a la carga efectiva aplicada.

A pesar de las obvias limitaciones del mtodo, el error puede ser reducido escogiendointervalos de tiempo suficientemente pequeos que permitan obtener aproximaciones decarga aceptables. As, y si se desea, los intervalos de tiempo no necesitan ser del mismotamao. La variacin de estos espacios de tiempo puede darse de acuerdo al grado de ajusteque se quiera obtener en cada intervalo de carga aplicada.


Obsrvese la carga dinmica en funcin del tiempo mostrada en la siguiente figura:

En esta figura, el tamao de paso es llamado h y su duracin va de t0 a t1. La variacinlineal de la carga asumida puede expresarse como:

(1)

Donde es la pendiente de la recta asumida, es la variacin del tiempo a lo largo delintervalo y p0 es la carga inicial.

*Modificado de Clough y Penzien, 2003

1 0p ph

====


Introduciendo la expresin de la carga en la ecuacin de movimiento de un SDUGL conamortiguamiento se tendr:

(2)

La respuesta en cualquier instante de tiempo del intervalo seleccionado consiste de untermino correspondiente a la vibracin libre mas la solucin particular de la carga linealespecifica. As, se tiene:

(3)

Donde la ecuacin caracterstica y la ecuacin particular pueden ser expresadas como:

(4)

(5)


Sustituyendo las expresiones (4) y (5) en la ecuacin (3) y evaluando las constantes A y Bconsiderando las condiciones iniciales en = 0 se llega a la siguiente expresin que permitecalcular el desplazamiento durante el intervalo de tiempo seleccionado:

(6)

Si se determina el valor de la respuesta durante el intervalo de tiempo analizado seencontrara que:

00 2

pcA vk k

= + = + = + = +

(7)0

0 0 2

D

pcv v

k k kB

+ + + + + + + + ====

&


(8)

Se debe tener en cuenta que la velocidad y el desplazamiento en instante final del intervaloseleccionado se convertir en las condiciones iniciales del prximo intervalo de tiempo a serusado.

Para situaciones en que la carga aplicada puede ser aproximada de manera satisfactoria poruna serie de lneas rectas, el mtodo exacto por tramos es, sin lugar a dudas, la mejorherramienta para calcular la respuesta de un SDUGL.



El concepto bsico en la mayora de formulaciones basadas en diferencias finitas es escribirla ecuacin de equilibrio dinmico en el comienzo del intervalo establecido, para despusdeterminar el valor de la aceleracin inicial. As:

Mtodo de la diferencia central

Sin embargo, para formular el procedimiento numrico paso a paso, los trminos de lasvelocidades y aceleraciones iniciales son aproximados por diferencias finitas. Unaaproximacin valida del valor de la velocidad es:

(9)



Donde h denota la duracin del intervalo de tiempo. Por tanto, la aceleracin en la mitad delintervalo esta dada por la expresin:

(10)

(11)

Ya la velocidad ser entonces:

(12)


Sustituyendo las expresiones de velocidad y aceleracin (ecuaciones (11) y (12)) en laecuacin de movimiento del sistema se tendr:

(13)1 0 1 1 1 0 022

2v v v v v

m c kv ph h

+ + + + + + =+ + =+ + =+ + =

Organizando los trminos, es posible obtener :

(14)1 0 1 02 2 2c 2

+ 2 2

m m c mv p v k v

h h h h h

= = = =

O, lo que es lo mismo:

1 0

kv p==== (15)


Donde: (16)2c

+2

mkh h

====

(17)0 0 1 02 22

2m c mp p v k vh h h

= = = =

De esta manera, el desplazamiento desconocido v1 estar dado por:

01

pv

k==== (18)

As, se requiere de v0 y v-1 para determinar el valor de v1. El desplazamiento inicial v0 esconocido. Para determinar v

-1 se toman las ecuaciones (11) y (12). De (11) se despeja v1 yesta expresin resultante se sustituye en (12). El resultado es:

2

1 0 0 02h

v v hv v

= += += += +& && (19)


Los valores de desplazamiento y velocidad inicial son dados, y la ecuacin de movimientoproporciona la aceleracin .0v&&

Como puede ser visto, el procedimiento de la diferencia central es un mtodo paso a pasobastante simple. El mayor cuidado que se debe tener con este mtodo es el de seleccionaradecuadamente el tamao de paso (de preferencia bastante corto) ya que l es establecondicionalmente, donde la condicin especifica de estabilidad est dada por:

(21)

(20)0 0 00 p cv kvvm

====

&&&


PASO A PASO DEL METODO

1. Clculos iniciales

0 0 00

p cv kvv

m

====

&&&1.1 Clculo de la aceleracin inicial

1.2 Clculo del desplazamiento en el tiempo -12

1 0 0 02h

v v hv v

= += += += +& &&

1.3 Clculo del coeficiente k 2c

+2

mkh h

====

1.4 Clculo de los coeficientes que definen 0p 0 0 1 0p p av bv= = = =

2 22

2m c m

a b kh h h

= = = = = = = =


2. Clculos para el paso i

2.1 Clculo del coeficiente

2.2 Clculo del desplazamiento en i+1 1

ii

pv

k++++====

2.3 Si es necesario:

1 i i i ip p av bv= = = = ip

1 1 1 12

2

2i i i i i

i iv v v v v

v vh h

+ + + + + + + + + + + += == == == =& &&

3. Repeticin para el prximo paso de tiempo

Se remplaza i por i+1 y se repiten los pasos mostrados en 2, es decir, se calcula 2.1, 2.2 y2.3 para las nuevas condiciones impuestas en el nuevo paso.

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