ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

PARTE I: INTRODUCCIÓNGrupo de Modelamiento de Sistemas

Ingeniería Civil U de A

IntroducciónEl estudio de los métodos clásicos es necesario para comprender el comportamiento de los distintos tipos de estructuras que se tienen. Sin embargo en el momento de analizar grandes estructuras la aplicación de dichos métodos a mano se hace engorrosa y difícil.

Con el nacimiento de los microcomputadores, el uso de métodos matriciales alcanzó un extraordinario desarrollo debido a la posibilidad de efectuar cálculos a grandes velocidades.

OrigenEntre 1945-1955 aparecen los primeros artículos

referentes a un nuevo método de análisis que usaba matrices de flexibilidad o de rigidez de la estructura.

Los método matriciales surgen de necesidades en la industria aeronáutica.

El Ingeniería Estructural se necesitaban métodos que permitieran hacer diseños cada más complejos.

En septiembre de 1956 aparece un artículo escrito por Turner, Clough, Martin y Topp llamado por Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures

Conceptos básicosMétodos matriciales. Consiste en remplazar la

estructura continua real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en forma matricial. El proceso de análisis se puede considerar como:

Acción sobre la estructuraAcción sobre los elementosRespuesta de los elementosRespuesta de la estructura

Conceptos generales

Imagen tomada de la referencia 1 – Página 415

Conceptos básicosLos métodos matriciales tienen dos grandes variantes: el método de la flexibilidad en el cual las incógnitas son las fuerzas y el método de la rigidez en el cual las incógnitas son los desplazamientos. Este enfoque se trabaja en todos los métodos del análisis estructural. Sin embargo, por ventajas computacionales el método de la rigidez ha ganado más aceptación.

Método de las fuerzas o

flexibilidad

Método de los desplazamientos o

rigidez

Conceptos básicosPrincipios del análisis matricial: Las relaciones

fundamentales del equilibrio compatibilidad, fuerza-desplazamiento se mantienen vigentes.

Modelo analítico: La estructura se considera un montaje de miembros rectos conectados en sus extremos a nodos. Un miembro (o elemento) se define como una parte de la estructura para la cual las relaciones fuerza-desplazamiento de los miembros que se van a usar en el análisis son válidas. Un nodo se define como una parte estructural de tamaño infinitesimal al cual se conectan los extremos de los miembros.

Conceptos básicosGrados de libertad: Son los desplazamientos

independientes (traslaciones y rotaciones) de los nodos que son necesarios para especificar la forma deformada de una estructura, cuando se vaya a sujetar a una carga arbitraria.

Convenciones en el método matricial: En el modelo analítico de una estructura:Los nodos se cuentan con un número dentro de

un círculo (inicia con nodo libre). El orden en que se enumeren los nodos indica el sentido que se da al elemento.

Conceptos básicosLos elementos se cuentan con su número escrito

dentro de un rectángulo. El sentido del mismo se define desde el nodo con el menor número (nodo inicial) hacia aquel que tenga el mayor número (nodo final).

Los grados de libertad se representan por flechas rectas (si es para traslación) o flechas curvas (si es para rotación) siempre en sentido positivo. A cada grado de libertad restringido por alguna reacción, corresponde una fuerza o momento, según sea el caso.

Al numerar los grados de libertad, el primer número es para la dirección X, el segundo para la dirección Y y el tercero en dirección Z.

Sistemas de coordenadasTanto la estructura como cada uno de sus elementos se estudian respecto a un sistema de coordenadas ortogonales, cartesianas y de mano derecha. En el análisis matricial se consideran dos sistemas de coordenadas: locales y globales.

Coordenadas globales: Son llamadas también coordenadas estructurales o de la estructura. Se denomina así debido a que respecto a estas se refieren todos los datos de la estructura en su conjunto, tales la posición de los nudos, las cargas que actúan sobre ellos, sus desplazamientos y las reacciones de los apoyos.

Sistemas de coordenadasCoordenadas locales: Son llamadas también

coordenadas particulares o del elemento. Se denominan así debido a que respecto a éstas se referencian todas las propiedades de los elementos, como las dimensiones y momentos de inercia, al igual que las cargas aplicadas sobre los mismos y las fuerzas internas a que se ven sometidos. Se definen colocando el eje x a lo largo del eje centroidal del elemento, colocando el origen del mismo en el nodo inicial. Los demás ejes (y, z) se definen teniendo en cuenta la ortogonalidad de los mismos. Con estas coordenadas queda definida la orientación del elementos estructural.

Sistemas de coordenadasTransformación de coordenadas: Cuando los

miembros de una estructura están orientados en direcciones diferentes es necesario transformar las relaciones de rigidez de cada miembro, del sistema de coordenadas locales del mismo, hacia una sistema común de coordenadas globales. Luego se combinan las relaciones de rigidez de los miembros así obtenidas a fin de establecer las relaciones de rigidez para la estructura completa.

Dependiendo del tipo de elemento estructural, se obtendrá una matriz de transformación diferente.

Solución por método de los desplazamientos

Como se ha dicho ya, la forma matemática de este método es:

La anterior expresión puede descomponerse, usando la partición de matrices, como sigue:

[Fn]: Vector de cargas aplicadas (conocidas)[Fa]: Reacciones en los apoyos (desconocidas)[n]: Desplazamientos de los nudos libres (desconocidos)[a]: Desplazamientos de los apoyos (conocidos, casi

siempre cero)

Solución por método de los desplazamientos

De la primera ecuación se despeja el vector [n] y se reemplaza en la segunda, obteniéndose:

Expandiendo la anterior expresión, se obtiene:

Solución por método de los desplazamientos

Los pasos generales que pueden usarse para analizar una estructura por el método de la rigidez son:

1. Identificar la estructura, numerar los nudos y determinar la orientación de los elementos.

2. Calcular los términos de las matrices de rigidez de los miembros, referidas a coor denadas generales.

3. Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura, reordenándola para que queden separadas de una vez las fuerzas en los nudos libres y las reacciones de los apoyos.

Solución por método de los desplazamientos

4. Partir la matriz ensamblada y calcular los desplazamientos desconocidos.

5. Calcular las reacciones y verificar el equilibrio general de la estructura.

6. Calcular las fuerzas internas utilizando las matrices individuales y verificar, final mente, el equilibrio de los nudos.

Limitaciones de la matriz de rigidez

El ensamble de la matriz de rigidez (tema de la próxima clase), se lleva a cabo a partir de ciertas hipótesis que es importante tener en cuenta:

Material perfectamente elástico, que cumple la ley de Hooke (relación lineal esfuerzo-deformación)

Deformaciones pequeñas: implica que no se tienen en cuenta efectos de segundo orden.

Se desprecian las fuerzas axiales en la flexión

Limitaciones de la matriz de rigidez

Para aplicar el Principio de Superposición es necesario que se cumplan las anteriores suposiciones.

Todas las cargas se aplican en forma gradual, y tiene una tasa de aumento tal que todas al iniciar su aplicación en simultánea, alcancen su máximo al mismo tiempo.

Se omiten las deformaciones por cortante

No se considera la rigidez de los nodos

Limitaciones de la matriz de rigidez

No hay pandeo por efecto de carga axial ni por torsión

Los planos XY y YZ son los principales de la flexión y en ellos actúan las cargas

El centro de cortante y el centro de torsión se asume que coinciden, de allí que la flexión y la torsión sean independientes

El elemento estructural tiene sus dos extremos restringidos

En el caso de pórticos uno de los planos de simetría debe coincidir con el plano de carga

Propiedades de la matriz de rigidez

La matriz de rigidez es simétrica (sea una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es simétrica si cumple que AT=A ó que A es anti-simétrica si AT=-A)

La suma de los elementos de cada columna es cero

Todos los términos de la diagonal principal son positivos y tienden a ser los mayores valores de cada una de las filas.

Es invertible, es decir, su determinante es distinto de cero. Una matriz de rigidez con determinante cero da indicios de una estructura inestable.

Referencias1. URIBE, Escamilla Jairo. Análisis de estructuras.

Segunda edición. Editorial ECOE. Bogotá. Año 2000.

2. KASSIMALI, Aslam. Análisis Estructuras. Editorial Thompson. Segunda Edición.2004.

3. McCORMAC, Jack. Análisis de estructuras. Editorial Alfaomega. Primera edición.1999

4. ROCHEL, Awad Roberto. Análisis matricial de estructuras.Texto editado por la Universidad EAFIT en el año de 1993.

Referencias5. LEET, Kenneth. UANG-CHIA, Ming. GILBERT, Anne

M. Fundamentos de Análisis Estructural. Editorial McGraw-Hill. Segunda edición. 2006

6. McCORMAC, Jack. Análisis de estructuras. Editorial Alfaomega. Tercera edición.2006

7. HIBBELER, Russell. Structural Analysis. Editorial Pearson. Séptima Edición. 2009.