Clase 17 CEG Sistema Tridimensional 2015

PP

TC

EG

033E

M32

-A15V

1

Sistema tridimensional EM-32

Resumen de la clase anterior

Relación entre rectas

Rectas

coincidentes Rectas

perpendiculares Rectas

paralelas

El sistema no tiene solución

Tienen igual pendiente y distinto coeficiente

de posición

El sistema tiene infinitas soluciones

Tienen igual pendiente e igual

coeficiente de posición

El producto de sus pendientes – 1

El sistema tiene solución única

Rectas

oblicuas

El sistema tiene solución única

Se intersectan en un ángulo distinto

de 90°

El producto de sus pendientes distinto

de – 1

Se intersectan en un ángulo de 90°

Aprendizajes esperados

• Comprender qué puntos y rectas pueden ser representados en el

sistema coordenado tridimensional y determinar la representación

cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta en el espacio.

53. Dado el triángulo de vértices A(3, 0, 0), B(1, 4, 0) y C(1, 1, 3),

¿cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a una ecuación de

la recta que pasa por el vértice C y por el punto medio de AB ? A) B) C)

D) E) Ninguna de las anteriores.

Pregunta oficial PSU

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2016.

3

z3 1y

2

1x

3

z 2y2x

3z 1y

2x

2

3

3z

3

1y1x

Sistema tridimensional


Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes x e y.

x

y

z Eje de las cotas

Eje de las ordenadas

Eje de las abscisas

P(x, y, z)

Definición


Los ejes determinan tres planos, el plano xy, el plano xz y el plano yz.

x

y

z

Plano xy

Plano xz

Plano yz


Para ubicar un punto (x, y, z) en el sistema tridimensional, podemos hacerlo ubicando primero su proyección en el plano xy, este es el punto (x, y, 0), y luego subir o bajar este punto z unidades, según el signo de z.

Ejemplo:

Representación del punto (1, 3 ,2)

| |

|

|

|

|

|

|

|

x

y

z

1 3

2 (1, 3, 0) (1, 3, 2)

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Vector en el espacio


Ejemplo:

x

y

z

v

2

5

3

Representación del vector (2, 5, 3) v

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define, es un número siempre positivo (solamente el vector nulo tiene módulo cero).

Módulo de un vector


Ejemplo:

El módulo del (3, – 1, 2) es v

z)y,(x,v Si 222 zyx v

222 21)(3 v

419 v

14 v

z

x

y v

3

-1

2

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Distancia entre dos puntos


Ejemplo:

La distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(– 1, 2, 0) es

)z,y,B(x y )z,y, A(xSi 222111 ,

212

2

12

2

12zzyyxx AB

ABd

222302211- AB

ABd

222302 AB

ABd

904 AB AB

d

13 AB AB

d


Ejemplo:

entonces )z,y,B(x y )z,y, A(xSi222111

, ),,(121212

zz y yxxAB

Coordenadas de un vector AB en el espacio

Si A(– 3, 4, 0) y B(– 1, 2, 3) entonces

0)3 4,2 3),(1(AB

3) 2, (2,AB

x

y

z

|

|

|

|

| | |

| |

1 -3

2

A(– 3, 4, 0) 1) 2, 2,(BA

| | | |

| |

|

4

-1

B(– 1, 2, 3)

2 -2

3 “Vector director”


Ejemplo:

)z,y,B(x y )z,y, A(xSi 222111 ,

2

zz,

2

yy,

2

xxM 212121

Punto medio

Si A(– 3, 4, 0) y B(– 1, 2, 1) entonces

el punto medio del segmento AB es

2

10,

2

24,

2

1)(3M

2

1 ,

2

6 ,

2

4M

2

1 3, 2,M


Ejemplo:

)z,y,B(x y )z,y, A(xSi 222111 ,

A)t(B Az y,x,

Ecuación de la recta en el espacio

la ecuación vectorial de la recta

B)t(AB z y,x,

Si A(– 1, 1, 3) y B(1, 2, 0), la ecuación vectorial de la recta que pasa por A y B es

C)t(BC z y,x,

1,1,3))(t((1,2,0)3) 1, 1,( z y,x,

3)t(2,1,3) 1, 1,( z y,x,

(Con t en los reales)

ó

Ecuación vectorial

Que pasa por los puntos A y B es


Ejemplo:


, )x-t(x xx 121


Si A(– 1, 1, 3) y B(1, 2, 0) entonces la ecuación vectorial de la recta que pasa por A y B es 3)t(2,1,3) 1, 1,( z y,x,


Ecuaciones paramétricas

)y-t(y yy 121

)z-t(zz z 121

Luego, las ecuaciones paramétricas son

1))( t(11 x

1)t(21 y

3)t(03 z

t1 y

3t3 z

2t1 x


Ejemplo:


, t zz

z z

yy

yy

xx

xx

12

1

12

1

12

1


Si A(– 1, 1, 3) y B(1, 2, 0), entonces la ecuación continua de la recta que pasa por A y B es

Ecuación continua


30

3 z

12

1 y

1)(1

1)( x

3

z31y

2

1x

53. Dado el triángulo de vértices A(3, 0, 0), B(1, 4, 0) y C(1, 1, 3),

¿cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a una ecuación de

la recta que pasa por el vértice C y por el punto medio de AB ? A) B) C)

D) E) Ninguna de las anteriores.

Pregunta oficial PSU

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2016.

3

z3 1y

2

1x

3

z 2y2x

3z 1y

2x

2

3

3z

3

1y1x

ALTERNATIVA CORRECTA

A

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

1 D Geometría analítica Comprensión

2 B Geometría analítica Comprensión

3 E Geometría analítica Comprensión

4 E Geometría analítica Comprensión

5 A Geometría analítica Comprensión

6 D Geometría analítica Comprensión

7 C Geometría analítica ASE

8 B Geometría analítica Comprensión

9 A Geometría analítica ASE

10 D Geometría analítica ASE

11 A Geometría analítica Aplicación

12 C Geometría analítica Aplicación

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad



15 B Geometría analítica Aplicación

16 E Geometría analítica ASE

17 C Geometría analítica ASE

18 D Geometría analítica Aplicación




22 E Geometría analítica ASE



25 B Geometría analítica ASE

Síntesis de la clase


Distancia entre

dos puntos

Punto medio

Vector

en el espacio

Módulo

de un vector

x : abscisa

y :ordenada

z: cota

222 zyx v

212

2

12

2

12zzyyxx AB

ABd

)z,y,B(x y )z,y, A(xSi 222111

2

zz,

2

yy,

2

xxM 212121

Ecuación vectorial

A)t(B Az y,x,

z

Prepara tu próxima clase

En la próxima sesión, estudiaremos

Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio

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