UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNAFACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICAUNIDAD IIIAPLICACIONES DE LA INTEGRAL EN UNA VARIABLE

AREAS DE FIGURAS PLANAS

Una de las aplicaciones de las integrales definidas es el clculo de reas planas, para hallar el rea de una regin R es necesario conocer las funciones que la acotan y los lmites de integracin. Estudiaremos 2 casos:

CASO 1: Consideremos una funcin y = f(x) continua en un intervalo cerrado [a, b] y adems f(x) . El rea de la regin R limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas verticales x = a y x = b, est dada por la expresin:

A(R) =

OBSERVACIN.- Si la regin R es limitada por la curva x = g(y) y las rectas y = c, y =d, entonces el rea de la regin R es expresada por:

A(R) =

CASO 2: Consideremos dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [a, b] tal que f(x) , el rea de la regin R limitada por las curvas y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a y x = b, est dado por la expresin: A (R) =

OBSERVACIN.- Si la regin R es limitada por las curvas x =g(y), x = h(y) tal que g(y) , y las rectas y = c , y = d, entonces, el rea de la regin R est dada por la expresin:

A(R) =

OBSERVACIN.- En el clculo del rea de una regin R limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a, x = b, la funcin f(x) , [a, b], pero en caso que f(x) R esta debajo del eje X en este caso el rea es calculada por:

A(R) =

Ejemplos: 1. Calcular el rea de las figuras planas cuyas ecuaciones son: y= 3- , y=-x+1

2.

TRABAJO ENCARGADO N 1

1. Calcular el rea de la figura limitada por las lneas cuyas ecuaciones son: =x+1 .

Rpta. 2. Calcular el rea de las figuras planas cuyas ecuaciones son: y= 3- , y=-x+1 Rpta. 3

3. Hallar el rea de la regin R limitada por las grficas de: . Rpta. 9

4. Hallar el rea de la regin R limitada por las grficas de: y = ; y = + ; x= 4 Rpta.

5. Halle el rea de la regin R = ; que se origina por las curvas: y = -2x+1; y = +1; y = Rpta.

6. Halla el rea de la regin R = que se origina entre la funcin: y= y el eje X. Rpta.

7. Calcular el rea de la regin R = R = limitada por las curvas: y = y la recta y = x Rpta.

CALCULO DE VOLUMENES DE UN SOLIDO DE REVOLUCIN

Definicin: Un slido de revolucin es aquel que se obtiene al rotar una regin plana alrededor de una recta en el plano llamado eje de revolucin.

Ejemplo: Si a la regin comprendida dentro de un tringulo, se la hace girar alrededor de uno de sus catetos, se obtiene un cono recto.

Para el clculo de del volumen de un slido de revolucin se consideraran los siguientes mtodos: I. Mtodo del Disco Circular

Eje de revolucin es el eje X (Rota alrededor del eje X)

V = dx

Eje de revolucin es el Y (Rota alrededor del eje Y) V = dy

Ejemplo 1: La regin entre la curva y = , 0 y el eje X gira alrededor de del eje X para generar un slido de revolucin. Hallar su volumen. Rpta.

V = dx

V = dx = = =

METODO DEL ANILLO CIRCULAR ( DOS FUNCIONES)

Definicin.- Consideremos f y g dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b] de tal manera que f(x), entonces el volumen V del solido de revolucin generado al rotar alrededor del eje X, la regin R acotada por las curvas y =f(x), y=g(x) y las recta verticales x= a, x=b, estada dado por la frmula:

V = ]dx

Observacin: Si la regin R limitada por las curvas y =f(x), y=g(x) manera que f(x) y las recta verticales x= a, x=b, gira alrededor de la recta y = c, donde g(x) c, entonces el volumen del solido de revolucin generado al rotar la regin R alrededor de la recta y = c, es expresado por la frmula:

V = ]dx

Note: que f(x) g(x) con respecto a la recta y=c (Eje de rotacin)

Si la regin R limitada por las curvas y =f(x), y=g(x) manera que f(x) y las recta verticales x= a, x=b, gira alrededor de la recta y = c, donde g(x) c, entonces el volumen del solido de revolucin generado al rotar la regin R alrededor de la recta y = c, es expresado por la frmula: V = ]dx

Note: que g(x) f(x) con respecto a la recta y=c (Eje de rotacin)Observacin:

1 Si la regin R limitada por las curvas x =f(y), x=g(y) manera que f(y) y las recta verticales y = c, y = d, gira alrededor del EJE Y

V = ]dy

2 Si la regin R limitada por las curvas x =f(y), x=g(y) manera que f(y) y las recta verticales y = c, y = d, gira alrededor de la recta x = k, donde g(y) k, entonces el volumen del solido de revolucin generado al rotar la regin R alrededor de la recta x = k, es expresado por la frmula:

V = ]dy

Note: Que f(y)

3 Si la regin R limitada por las curvas x =f(y), x=g(y) manera que f(y) y las recta verticales y = c, y = d, gira alrededor de la recta x = k, donde g(y) k, entonces el volumen del solido de revolucin generado al rotar la regin R alrededor de la recta x = k, es expresado por la frmula:

V = ]dy

METODO DE LA CORTEZA CILINDRICA Este mtodo se basa en utilizar anillos cilndricos de poco grosor llamados cortezas y que se ilustra en la siguiente figura:

Consideremos una funcin y =f(x) continua en [a, b], donde a = y f(x) 0, x [a, b] y sea R la regin limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas verticales x =a, x = b.Gira alrededor del eje Y.

V = 2

OBSERVACIN: 1. Si tenemos que f(x), entonces la regin generada al rotar alrededor del eje Y la regin R, x [a, b]

V = 2

2. a) Si queremos hacer rotar las mismas funciones dadas arriba alrededor de la recta x =c Pero ac el volumen es dado por la formula:

V = 2

b) Si queremos hacer rotar las mismas funciones dadas arriba alrededor de la recta x =c Pero cb el volumen es dado por la formula:

V = 2

3. a) Si la regin esta con referencia al eje Y , c, y rota alrededor de la recta y =e .

V = 2b) Si la regin esta con referencia al eje Y , e, y rota alrededor de la recta y =e

V = 2

Ejemplo Un depsito de gasolina tiene la forma de un slido de revolucin que se tiene al girar la regin en el plano limitado por las curvas: Alrededor del eje Y. Cul es el volumen del depsito?

Sol: 1 Clculo de los puntos de interseccin (Para lmites de integracin) x = y-2 -3y-2y+4=0 -5y +4=0 (y-4)(y-1)=0 y-4=0 y-1=0 y =4 y=1 (lmites de integracin en el eje Y

2 determinamos las funciones a integrar de acuerdo a la frmula V = ]dy c = 1 y d=4 f(y)= 2+y g(y) = V = ]dy V = - V = - + - V= ) - 1024-1)+ V= - +- V = = Ejemplo 2: Hallar el volumen del solido de revolucin obtenido al rotar alrededor de la recta y= -1, la regin comprendida entre las curvas y = e y = Rpta. . Utilice el mtodo del anillo circular

Sol: 1 Clculo de lo puntos de interseccin y = y = =x x( x =0 x=1 2 V = ]dx f(x) = y g(x)= c = -1 V = dx V = ]dx V = )dx V = V = + - - ] V = +] V = =

Trabajo Encargado 2

1.Hallar el volumen del solido obtenido al rotar la regin limitada por el primer lazo de la curva y = , y el eje positivo, alrededor del eje x Rpta. Sug. Use el Mtodo del disco circular

2. Calcular el volumen del solido generado por la rotacin de la regin limitada por = 8 4x, x=0, alrededor de la recta y =4. Rpta. Sugerencia: Use el mtodo de la corteza

3. Encuentre el volumen del slido generado al girar sobre el eje Y la regin limitada por la curva y= , el eje X y la recta x=3(Sugerencia: Use el metodo de la corteza Rpta. (verificar)

4. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las grficas de y = 2x x2, y = x + 2.Rpta. . Mtodo del disco o anillo

5. Hallar el volumen generado por la rotacin del rea que determinan las siguientes curvas: y = -, y=entre las rectas x=0 y x=1. Rota en alrededor del eje XRpta. Sugerencia: use el mtodo del anillo circular 6. Calcular el volumen generado por las curvas: xy =6, y=2, y=6, x=6 Al rotar alrededor de la recta x=6. Rpta. Mtodo del anillo circular 7. Hallar el volumen generado en la rotacin del rea limitada por: x= 9-; x-y-7=0 alrededor de la recta x=4. Rpta. (Verificar) (Mtodo del anillo circular)Verifique la respuesta.

Tacna, 03 de marzo del 2015 Docente: Ing Luis Nina Ponce