Clase 2 Conceptos_probabilidad

Clase 2: Conceptos de ProbabilidadModelos de toma de decisiones

Paul Castillo Bardález

Maestría en Finanzas

julio 2012

Paul Castillo Bardález (UP) Teoría de Probabilidad julio 2012 1 / 33

IntroducciónVariable aleatoria y probabilidad

Variable aleatoria: se de�ne como los posibles valores que puedetomar un evento. A cada posible valor, se le asigna una determinadaprobabilidad. Ejemplo, el resultado posible de una inversión, o elretorno de un activo �nanciero.

Probabilidad: Es un número entre 0 y 1, que mide las posibilidadesde ocurrencia de un evento. Las siguientes propiedades de�nen unaprobabilidad:

La probabilidad de un evento E es un número entre 0 y 1,La suma de probabilidades de un conjunto de eventos mutuamenteexcluyentes y exhaustivos es 1.

Un evento es exclusivo, si este evento es el único que puede ocurriren un momento del tiempo, y exhaustivo, si cubre todos los posiblesresultados del evento.


IntroducciónDe�niciones de Probabilidad

Probabilidad empírica: Se estima como la frecuencia relativa delevento en los datos históricos.

Probabilidad subjetiva: se extrae del jucio personal del analista.Probabilidad a priori, aquella que se fundamenta en una derivaciónlógica, y no en los datos históricos o juicios personales.

Probabilidad como posibilidades a favor: Dada la probabilidad P (E ),las posibilidades a favor de la ocurrencia de E , estan dadas por:P (E )1�P (E ) . Si las posibilidades a favor son de a a b, la probabilidad delevento es: P (E ) = a

a+b .

Las posibilidades en contra están dadas por 1�P (E )P (E ) . Si lasposibilidades en contra son de a a b, la probabilidad de E esta dadapor: P (E ) = b

a+b .


Conceptos de ProbabilidadProbabilidad condicional y no condicional

Probabilidad no condicional, es la probabilidad de ocurrencia de unevento, independientemente de la ocurrencia de otro evento. Tambiénse denomina a este tipo de probabilidad marginal.

Probabilidad condicional, la probabilidad de A condicional en B, estadada por

P (A jB ) = P (AB)P (B)

Regla de multiplicación: De la de�nición anterior se tiene que, laprobabilidad conjunta de A y B esta dada por:

P (AB) = P (A jB )� P (B)


Conceptos de ProbabilidadOperaciones con probabilidades

Regla de suma de probabilidades: Dados dos eventos, A y B, laprobabilidad que ocurra A o B, o ambos eventos, es igual a:

P (AUB) = P (A) + P (B)� P (AB)

Eventos independientes: Dos eventos son independientes, si y solo si,

P (A jB ) = P (A)

oP (B jA ) = P (B)

Multiplicación de eventos independientes: Dos eventos sonindependientes si,

P (AB) = P (A)� P (B)


Conceptos de ProbabilidadOtras propiedades de probabilidades

Probabilidad del complemento de un evento:

P (Ac ) = 1� P (A)

Probabilidad del elemento nulo,

P (φ) = 0

Probabilidad de la suma de eventos que son mutuamente excluyentes:

P�i=n[i=1Ai

�=

i=n

∑i=1P(Ai )


Probabilidad CondicionalCaso práctico

¿Sirve el desempeño histórico para predicir el futuro desempeño de unfondo de inversión?

Se clasi�can un conjunto de fondos en función a su desempeño en dosperiodos.

Los ganadores son el 50 por ciento de fondos con mayor exceso deretorno respecto a su portafolio benchmark.

Los perdedores son el 50 por ciento de fondos con menor exceso deretorno respecto al benchmark

¿Cuáles son los eventos relevantes?

¿Cuáles son las probabilidades condicionales?.



La siguiente tabla muestra la distribución de fondos entre perdedoresy ganadores.

Ganador Periodo 2 Perdedor periodo 2

Ganador Periodo 1 79 71

Perdedor Periodo 1 71 79

Total 150 150



Los cuatro eventos relevantes en este caso son:

El fondo es ganador en el periodo 1El fondo es perdedor en el periodo 1El fondo es ganador en el periodo 2El fondo es perdedor en el periodo 2.



Las probabilidades respectivas están dadas por

Ganador Periodo 2 Perdedor periodo 2

Ganador Periodo 1 52.7% 47.3%

Perdedor Periodo 1 47.3% 52.7%

Total 100% 100%

La probabilidad de un fondo de ser ganador en el periodo 2, dado queha sido ganador en el periodo 1 es 52.7%



¿Cuál es la probabilidad de un fondo de ser perdedor en el perido 1 y2?

De�namos los siguientes eventos A : el fondo es perdedor en elperiodo 1 y B : el fondo es perdedor en el periodo 2.Del ejercicio anterior tenemos, P (A jB ) = 52.7%, sin embargoestamos buscando,

P (AB) = P (A jB )� P (B)

¿Cual es P (B)?, dado que el 50 % de fondos es ganador y el otro 50% es perdedor, entonces, P (B) = 50%

Por tanto,P (AB) = 52.7%� 50% = 26.4%


Conceptos de ProbabilidadLa regla de probabilidad total

La regla de probabilidad total esta dada por:

P(A) = P(As) + P(Asc )

P(A) = P(A/S)P(S) + P(A/Sc )P(Sc )

En términos generales, se tiene:

P(A) = P(A/S1)P(S1) + P(A/S2)P(S2)..P(A/Sn)P(Sn)

Esta última ecuación establece que la probabilidad de un evento estadada como un promedio ponderado de las probabilidades del eventodados los distintos escenarios.


Ejemplo: Ejecución de órdenes límiteLa regla de probabilidad total

Datos del problema:

La probabilidad que se ejecute una orden de compra de US$ 10 en lapróxima hora es 35% ( orden 1).La probabilidad que se ejecute una segunda orden de compra a US $9.75 es 25 % en la misma hora (orden 2).

Se pregunta.

¿Cuál es la probabilidad que se ejecute la orden 1 o la orden 2?¿Cuál es la probabilidad que se ejecute la orden 2, dado que se ejecutóla orden 1,?



Recordemos que :

P (AUB) = P (A) + P (B)� P (AB)

P (AB) = P (A jB )� P (B)Sabemos que:P (A) = 35% y P (B) = 25%, y P (A jB ) = 100%Esto implica que: P (AB) = 25% y por tanto

P (AUB) = 35%+ 25%� 25% = 35%



Para responder la segunda pregunta, recordemos que

P (B jA ) = P (AB)P (A)

Sabemos que:P (A) = 35% y P (B) = 25%, y P (AB) = 25% y portanto

P (B jA ) = 25%35%

= 71.4%


Conceptos de ProbabilidadValor esperado y varianza de variables aleatorias

El valor esperado se de�ne como el valor promedio de sus posiblesvalores, ponderados por su respectiva probabilidad de ocurrencia.

E (X ) =i=n

∑i=1P (Xi )Xi

La varianza de una variable aleatoria es el valor esperado de lasdesviaciones cuadráticas respecto al valor esperado.

σ2 (X ) = E [X � E (X )]2


Conceptos de ProbabilidadValor esperado y varianza de variables aleatorias

Operativamente, la varianza de una variable aleatoria se puedecalcular,

σ2 (X ) =i=n

∑i=1P (Xi ) [X � E (X )]2

El valor esperado también se puede calcualar de la siguiente manera,

E (X ) =i=n

∑i=1E (X/Si )P (Si )

Esta última ecuación establece que el valor esperado de X , esta dadopor el promedio ponderado del valor esperado de X en n distintosescenarios.


Valor EsperadoPropiedades de valor esperado

El valor esperado de una constante multiplicada por una variablealeatoria esta dada por:

E (wiRi ) = wiE (Ri )

Generalizando este resultado, se obtiene que:

E

i=n

∑i=1wiRi

!=

i=n

∑i=1wiE (Ri )

El retorno de un portafolio, esta dada por: E (Rp) = E�

∑i=ni=1 wiRi

�


Valor EsperadoEjemplo

Considere la siguiente distribución de probabilidad para la empresaABC

Probabilidad EPS($)

0.15 2.60

0.45 2.45

0.24 2.20

0.16 2.00

El valor esperado del EPS de la empresa es

E (EPS) = 0.15� 2.6+ 0.45� 2.45+ 0.24� 2.20+ 0.16� 2.00 = 2.34


Valor EsperadoEjemplo 2

El valor esperado de un bono esta dado por:

E (Rbono ) = $0� P(d) + $ (1+ R)� [1� P(d)]

De donde la probabilidad de default P(d), esta dada por:

P(d) = 1� (1+ RF )(1+ R)

Si el retorno del bono es 12.55% y la prima por riesgo es the 675 pbs,por arbitraje el retorno de un activo libre de riesgo, por ejemplo unbono del Tesoro será 5,8%. E (RTB ) = 12.75� 6.75% = 5.8% .Estoimplica que existe un probabilidad de 94% de que el bono no sedeclare en default.

[1� P(d)] = (1+ RF )(1+ R)

=1.0581.1255

= 0.94


CovarianzaDe�nición

Dados dos variables aleatorias Ri y Rj , su covarianza esta dada por:

Cov (RiRj ) = E (Ri � ERi )E (Rj � ERj )

La covarianza mide el grado de asociación de dos variables, si esta espositiva, implica que las variables se mueven juntas en el mismosentido.

Si la covariaza es negativa implica que las variables se mueven demanera opuesta.

Si es cero, quiere decir que las variables no estan relacionadas.


Propiedades de la varianzaPropiedades

La varianza de una constante es cero.

La varianza de toda variable es siempre no negativa.

La varianza de una combinación lineal dada por :z = ax + b, es:

var (z) = a2var (x)


CovarianzaEjemplo

Calcule la covarianza entre los retornos Rz y RB a partir de lasiguiente matriz de probabilidades.

Rz = 15% Rz = 10% Rz = 5%RB = 30% 0.25 0 0RB = 15% 0 0.5 0RB = 10% 0 0 0.25


CovarianzaEjemplo

Para calcular la varianza, primero calculamos el retorno esperado deambos tipos de activos,

E (Rz ) = 15%� 0.25+ 10%� 0.5+ 5%� 0.25 = 10%

E (RB ) = 30%� 0.25+ 15%� 0.5+ 10%� 0.25 = 17.5%La covarianza, esta dada por:

(15%� 10%) (30%� 17.5%)� 0.25+(15%� 10%) (15%� 17.5%)� 0.5+(5%� 10%) (10%� 17.5%)� 0.25

= 25


CovarianzaEjemplo 2

La varianza de un portafolio depende de las varianzas de cada acciónen el portafolio y de las covarianzas en sus respectivos retornos. Si setienen 5 acciones, ¿cuantas covarianzas, diferentes a las varianzas serequieren para calcular la varianza del portafolio?

Respuesta: Se requiere 5� 5 = 25, términos, que incluyen 5varianzas, esto nos dan 20 covarianzas, de las cuales la mitad sonindependientes, 10.


CovarianzaEjemplo

Considere la siguiente distribución de probabilidad para la empresaABC

Probabilidad EPS($)

0.15 2.60

0.45 2.45

0.24 2.20

0.16 2.00

La varianza del EPS de la empresa es:

σ(EPS) = 0.15� [2.6� 2.34]2 + 0.45� [2.45� 2.34]2 +0.24� [2.20� 2.34]2 + 0.16� [2.00� 2.34]2

De donde se obtiene que: σ(EPS) = $0.2


CorrelaciónDe�nición

La varianza del portafolio se puede de�nir en función de las distintascovarianzas,

σ2 (Rp) =i=n

∑i=1

i=n

∑j=1wiwjCov (RiRj )

La correlación entre dos variables se de�ne como:

ρ (RiRj ) =Cov (RiRj )

σ (Ri ) σ (Rj )


CorrelaciónPropiedades

La correlación es un número entre -1 y 1.

Una correlación de cero implica ausencia de relación lineal entre dosvariables.

Una correlación positiva muestra una asociación positiva entre las dosvariables.

Una correlación negativa indica que las dos variables se mueven en ladirección opuesta.

Dos variables aleatorias son independientes si

ρ(XY ) = ρ(X )ρ(Y ).


El teorema de BayesDe�nición

Este teorema establece que

P(A/B) =P(B/A)P(A)

P(B).

Generalizando para el caso varios eventos:

P(Aj/B) =P(B/Ai )P(Aj )

∑i=ni=1 P(B/Aj )P(Aj )

.


El teorema de BayesDe�nición

Este teorema permite actualizar probabilidades, si interpretamosP(A), como la probabilidad prior ( una creencia), P(B), laprobabilidad de recibir nueva información, y P(B/A) la probabilidadde la información dada la prior, entonces, P(A/B)

P(A/B) =P(B/A)P(A)

P(B).

Esta última probabilidad se puede interpretar como la probabilidadposterior o probabilidad actualizada del evento, que mide laprobabilidad que ocurra el evento, dado que se tiene nuevainformación.


El teorema de BayesEjemplo

Sean las siguientes probabilidades prior:

P(A=EPS sea mayor que el esperado)=0.45P(B=EPS sea igual que el esperado)=0.30P(C=EPS sea peor que lo esperado) =0.25

Además se de�ne el evento Z = La empresa ACME se expande.

Se tienen las siguientes probabilidades condicionales:

P(Z/A) = 0.75P(Z/B) = 0.20P(Z/C ) = 0.05


El teorema de BayesEjemplo 1

Se le pide que actualize su creencia que el EPS de ACME será igualque lo esperado.

La probabilidad que se busca es, P(B/Z )Esto es igual a:

P(B/Z ) =P(Z/B)P(B)

P(Z )

Sabemos que: P(Z/B) = 0.2Además que: P(B) = 0.3

Debemos calcular,P(Z ) = 0.45� 0.75+ 0.2� 0.3+ 0.05� 0.25 = 0.41.Por tanto, P(B/Z )=0.2�0.3

0.41 = 0.14


El teorema de BayesEjemplo 2

Se le pide que actualize su creencia que el EPS de ACME será peorque lo esperado.

La probabilidad que se busca es, P(C/Z )Esto es igual a:

P(C/Z ) =P(Z/C )P(C )

P(Z )

Sabemos que: P(Z/C ) = 0.05Además que: P(C ) = 0.25

Debemos calcular,P(Z ) = 0.45� 0.75+ 0.2� 0.3+ 0.05� 0.25 = 0.41.Por tanto, P(B/Z )=0.05�0.25

0.41 = 0.03


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