Clase 6: Teoría Macroeconómica...

Clase 6: Teorıa Macroeconomica II

Carlos Rojas Quiroz

UNI

22 de mayo del 2017

Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 6 22 de mayo del 2017 1 / 74

El ciclo economico: ¿Que es y como se mide?

Contenido

1 El ciclo economico: ¿Que es y como se mide?Medicion del ciclo economicoHechos estilizados de ciclos economicos¿Como estudiar los ciclos economicos?

2 Modelo RBC SimpleIntroduccion a modelos RBCModelo RBC BasicoIntentando una solucion analıticaSustitucion intertemporal del trabajo

3 Solucion numericaEstado EstacionarioCalibracionDynareFunciones Impulso-Respuesta linealizadasLog-linealizacionFunciones Impulso-Respuesta loglinealizadas



El ciclo economico

Fluctuaciones agregadas de corto plazo.

Burns y Mitchell (1946):

Consta de expansiones que se producen mas o menos al mismo tiempoen muchas actividades economicas, seguida de recesiones,contracciones y recuperaciones, tambien generales, que culminan en lafase de expansion del ciclo siguiente.Esta secuencia de cambios es recurrente, pero no periodica.Duran desde mas de un ano hasta diez o doce anos, no pueden dividirseen ciclos mas breves de caracter similar y de magnitud parecida.

Lucas (1977): desviacion del Producto Bruto Interno respecto a sutendencia o producto potencial.



El ciclo economico

Figura 1: Ciclo Economico Artificial



El ciclo economico

Slutzky (1937)

Ciclos economicos pueden ser generados por una suma de choquesaleatorios.

yt = 0,95yt−1 + et

et =

{0,5 con 50 % de probabilidad−0,5 con 50 % de probabilidad

∣∣∣∣∀t



El ciclo economico

Lucas (1977): ciclos economicos no son secuencias inevitables sobre laactividad economica (como lo ve Mitchell), tampoco es necesariodistinguir sus distintas fases.

Lo importante son los co-movimientos en el tiempo de loscomponentes cıclicos de los agregados economicos (consumo,inversion, empleo, etc.)


El ciclo economico: ¿Que es y como se mide? Medicion del ciclo economico

Medicion del ciclo economico

Suponemos que una serie macroeconomica de frecuencia trimestralesta compuesta de:

Yt = Y Gt Y

Ct Y

Et Y

It

Aplicando logaritmos:

yt = ygt + yct + yet + yit

¿Como aislar componentes determinısticos (ygt ∧ yet )? No hay una solaforma “correcta” de hacerlo.




Un poco de econometrıa

Para encontrar yct , podrıamos escribir esto en Eviews:

equation eq01.ls y = C(1) + C(2) ∗@seas(1) + ...

...+ C(3) ∗@seas(2) + C(4) ∗@seas(3) + C(5) ∗@trend

Luego, y − y = yc. En Eviews:

eq01.makeresids yc

Sin embargo tendencia lineal (@trend) asume crecimiento constante de laeconomıa si esta no es perturbada por factores cıclicos. Poco realista.



Filtro de Hodrick y Prescott

El componente tendencial se obtiene resolviendo lo siguiente (previamentedebemos desestacionalizar la data):

mınygt

T∑t=1

(yt − ygt )2 + λ

T−1∑t=1

[(ygt+1 − ygt )− (ygt − y

gt−1)]2

Tenemos dos objetivos:

Que la tendencia se acerque lo mas posible a los datos, pero...Que la tasa de crecimiento tendencial sea lo mas suave posible.

λ: parametro arbitrario, elegido por el investigador.

Luego, yct = yt − ygt .



Filtro de Hodrick y Prescott

Figura 2: Ciclo economico - Peru

Datos trimestrales con λ = 1600. Si λ→ 0 entonces yt = ygt . Siλ→∞ entonces tasa de crecimiento tendencial constante.

Tiene problemas: (i) colas, (ii) valor correcto de λ y (iii) no recogecambios estructurales.




Figura 3: Ciclo economico peruano, diversos filtros estadısticos


El ciclo economico: ¿Que es y como se mide? Hechos estilizados de ciclos economicos

Hechos estilizados de ciclos economicos

¿Que co-movimientos observar?

Volatilidad:

Desviacion estandar absoluta o relativa al producto (para analizar si lavariable fluctua mas o menos con el PBI).

Correlacion contemporanea:

Principalmente con el PBI. Indica si la variable es procıclica,contracıclica o acıclica.

Correlacion con adelantos y retardos

PBI en t con variables en t+ i o t− i. Mide si variable se anticipa oretrasa al ciclo economico.

Autocorrelacion

Mide la persistencia de la variable de interes.




Aguiar y Gopinath (2007) Castillo et al. (2006)

Emergentes Desarrollados Peru

σy 2.74 1.34σ∆y 1.87 0.95ρy 0.76 0.75 0.60ρ∆y 0.23 0.09σc/σy 1.45 0.94 0.94σi/σy 3.96 3.41 3.67σbc/y 3.22 1.02ρbc,y -0.51 -0.17 -0.11ρc,y 0.72 0.66 0.58ρi,y 0.77 0.67 0.62




Figura 4: Correlaciones dinamicas, Peru 1979-1993 y 1994-2005

Fuente: Castillo, Montoro y Tuesta (2006)




Figura 5: Correlaciones dinamicas, Peru 1979-1993 y 1994-2005

Fuente: Castillo, Montoro y Tuesta (2006)




Figura 6: Crecimiento del PBI e Indice de Precios de Exportacion, Peru

Fuente: BCRP. Elaboracion propia.Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 6 22 de mayo del 2017 16 / 74

El ciclo economico: ¿Que es y como se mide? ¿Como estudiar los ciclos economicos?

¿Como estudiar los ciclos economicos?

Modelos macroeconomicos modernos, de RBC a Neokeynesianos demediana escala.

Dinamicos, choques estocasticos, agentes optimizadores, equilibriogeneral.

Se obtienen conclusiones mas cuantitativas. El numero importa.

Funciones impulso-respuesta y descomposicion de varianza.Evaluacion de polıticas (contrafactuales).Descomposicion historica de choques.Prediccion (tienen una representacion VAR).

Fricciones:

nominales : precios y salariosreales : habitos en el consumo, costo de ajuste del capital y la inversion.financieras :acelerador financiero y riesgo moral.


Modelo RBC Simple

Contenido





Modelo RBC Simple Introduccion a modelos RBC

Introduccion a modelos RBC

Idea principal: las fluctuaciones economicas son causadas por choquesde productividad.

Primeros modelos anadıan proceso estocastico a modelo decrecimiento neoclasico y analizaban la dinamica de la economıa.

Parametros del modelo son calibrados realistamente y se trata dereplicar las caracterısticas mas importantes del ciclo economico con laeconomıa artificial creada.


Modelo RBC Simple Introduccion a modelos RBC

Introduccion a modelos RBC

¿Solo choques de productividad? No. Tambien de gasto publico, depreferencias del consumidor, de costos (precio del petroleo), etc.Estudia choques reales.

Un ingrediente principal para que el modelo replique los hechosobservados en los ciclos economicos es el mecanismo de propagacion:canal a traves del cual el choque se difunde y amplifica.

Es difıcil obtener soluciones analıticas cerradas en modelos deequilibrio general. De ahı la importancia de los metodoscomputacionales que permiten una solucion numerica.


Modelo RBC Simple Modelo RBC Basico

Modelo RBC Basico

Familias:

Economıa poblada por un conjunto de familias identicas que tienenvida infinita. Deciden su consumo de bienes (Ct) y ocio Ot (en otraspalabras, la oferta de trabajo Lt = 1−Ot) para maximizar el valoresperado de su utilidad intertemporal:

max{Ct,Lt,At+1}∞t=0

Vt = Et

∞∑t=0

βtU(Ct, 1− Lt)

Funcion de utilidad instantanea creciente y concava:UC > 0, UCC < 0.

Los consumidores reciben un salario Wt por su trabajo y una tasa deretorno Rt por sus ahorros At a principios del perıodo t. Ademas, loshogares pagan impuestos de suma alzada Tt. La restriccionpresupuestaria es:

(1 + rt)At +WtLt = Ct +At+1 + Tt (1)



Modelo RBC Basico

El lagrangiano en valor presente es:

`t = Et

∞∑t=0

βt[U(Ct, 1− Lt) + λt(Ct +At+1 + ...

...+ Tt − (1 + rt)At −WtLt)]

En tanto, las CPO’s son:

UC(Ct, 1− Lt) = λt (2)

UL(Ct, 1− Lt) = −λtWt (3)

βtλt = βt+1λt+1(1 + rt+1) (4)

Dividiendo 2 entre 3:

UC(Ct, 1− Lt) =−UL(Ct, 1− Lt)

Wt(5)

Que es la condicion intratemporal entre el empleo y el consumo.Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 6 22 de mayo del 2017 22 / 74


Modelo RBC Basico

Incorporando la ecuacion 2 en la 4 se llega a:

UC(Ct, 1− Lt) = βEt {UC(Ct+1, 1− Lt+1)(1 + rt+1)} (6)

Que es la condicion intertemporal del consumo.Intuicion: ¿Cuales son los efectos de postergar consumo de un perıodo aotro? Margen de decision del consumidor.

Si sacrifico una unidad de consumo hoy, reduzco mi utilidad enUC(Ct, 1− Lt).

Esa unidad de consumo “sacrificada” genera 1 + rt+1 unidades en elsiguiente perıodo.

Esas unidades del siguiente perıodo producen una utilidad marginal deUC(Ct+1, 1− Lt+1), descontada por el factor de descuento β.



Modelo RBC Basico

Si desarrollamos el operador de expectativas de la ecuacion 6:

UC(Ct, 1− Lt) = β[Et(UC(Ct+1, 1− Lt+1))Et(1 + rt+1) + ...

...+ Cov(UC(Ct+1, 1− Lt+1), (1 + rt+1))](7)

Si covarianza es negativa, la rentabilidad de ahorrar hoy (paraconsumir manana) es menos atractiva, por tanto consumo actualtiende a aumentar.



Modelo RBC Basico

Empresas:

Producen bienes alquilando capital y trabajo en un contexto decompetencia perfecta. Su funcion de produccion es:

Yt = ZtF (Kt, Lt)

Zt es la PTF, Kt es el stock de capital y Lt el trabajo. El problemade la empresa es el siguiente:

max{Kt,Lt}∞t=0

Πt = ZtF (Kt, Lt)− (rt + δ)Kt −WtLt

Donde δ es la tasa de depreciacion. Las CPO’s son:

Wt = ZtFL(Kt, Lt) (8)

rt = ZtFK(Kt, Lt)− δ (9)



Modelo RBC Basico

Equilibrio general:

Hogares maximizan su utilidad.

Empresas maximizan beneficios.

Todos los mercados estan en equilibrio.

En nuestro modelo, el equilibrio general se da cuando se cumplen lasecuaciones 5, 6, 8 y 9, ademas de asegurarnos que todos los mercadosesten en equilibrio.



Modelo RBC Basico

El unico activo del modelo es el capital, luego Kt = At.Reemplazando las ecuaciones 8 y 9 en la restriccion presupuestaria(ecuacion 1) se tiene:

(1 + ZtFK(Kt, Lt)− δ)Kt + ZtFL(Kt, Lt)Lt = Ct +Kt+1 + Tt

ZtFK(Kt, Lt)Kt + ZtFL(Kt, Lt)Lt = Ct +Kt+1 − (1− δ)Kt + Tt

Teorema de Euler

Si F = f(x1, x2) es linealmente homogeneaa, entonces:

x1∂f

∂x1+ x2

∂f

∂x2≡ F

aFuncion homogenea de grado r: f(jx1, jx2) = jrf(x1, x2). Si r = 1 lafuncion es linealmente homogenea.



Modelo RBC Basico

Tomando en cuenta Teorema de Euler, se tiene:

Yt = Ct +Kt+1 − (1− δ)Kt + Tt

Ademas, la inversion es: It = Kt+1 − (1− δ)Kt. Por tanto:

Yt = Ct + It + Tt

Finalmente, se asume que la polıtica fiscal esta en equilibrio Gt = Tt:

Yt = Ct + It +Gt (10)

Igualdad entre oferta de bienes y el gasto. Puede ser rescrita ası:

ZtF (Kt, Lt) = Ct +Kt+1 − (1− δ)Kt +Gt (11)

Representa el equilibrio de los mercados de bienes y capitales. El mercadode trabajo esta en equilibrio por la ley de Walras.

El modelo no tiene solucion analıtica!


Modelo RBC Simple Intentando una solucion analıtica

Intentando una solucion analıtica

El modelo combina ingredientes lineales (depreciacion o reparto de laproduccion en consumo, inversion y gasto publico) y no lineales(funcion de produccion y preferencias).

Si queremos obtener una solucion analıtica del modelo, debemosconsiderar algunos supuestos simplificadores:

Depreciacion completa, o δ = 1.No hay gasto fiscal, o Gt = 0.Funcion de Utilidad instantanea logarıtmica:

Ut = θLog(Ct) + (1− θ)Log(1− Lt)

Funcion de produccion Cobb-Douglas con rendimientos constantes aescala:

Yt = ZtLαt K

1−αt




Tomando en cuenta la forma funcional de la Utilidad del consumidor,obtenemos ecuaciones 5 y 6:

θ

Ct=

1− θ1− Lt

1

Wt(12)

1

Ct= βEt

{1 + rt+1

Ct+1

}(13)

Considerando la forma funcional de la funcion de produccion se obtienenlas ecuaciones 8 y 9:

Wt = αYtLt

= αZt

(Kt

Lt

)1−α(14)

1 + rt = (1− α)YtKt

= (1− α)Zt

(LtKt

)α(15)

Finalmente, condicion de equilibrio de mercado, ecuacion 11, es:

ZtLαt K

1−αt = Ct +Kt+1 (16)




Podemos simplificar mas el modelo. Incorporando la ecuacion 14 en 12:

1− θ1− Lt

= Ztα

Ct

(Kt

Lt

)1−α(17)

Luego, incorporando la ecuacion 15 en 13:

1

Ct= βEt

{(1− α)Zt+1

Ct+1

(Lt+1

Kt+1

)α}(18)




Dado supuesto de utilidad logarıtmica, efecto sustitucion e ingreso deltrabajo ante un cambio en el salario real Wt son de igual magnitudpero diferente signo, por lo que se cancelan1. Luego, se puede asumirque Lt = L.

ES (⇑ Lt): ante un choque de productividad, se incrementan lossalarios actuales respecto a los del futuro. Aumenta la oferta laboral.Este efecto depende de la elasticidad salario de la oferta de trabajo.

EI (⇓ Lt): ante un choque de productividad, aumenta el ahorro de loshogares, y por tanto su riqueza. Luego, hay menos incentivos atrabajar (o mayores incentivos al ocio). Este efecto depende de lapersistencia del choque.

1Vease seccion 4.5 del libro de Macroeconomıa Avanzada de Romer para un mayordetalle.




Utilizamos la ecuacion 16 y suponemos que la distribucion del ingresoentre consumo e inversion es constante:

Ct = γ0ZtLαK1−α

t

Kt+1 = γ1ZtLαK1−α

t

Donde γ0 + γ1 = 1. Reemplazando en la ecuacion 18:

1

γ0ZtLαK1−αt

= β(1− α)Et

{Zt+1

γ0Zt+1LαK1−αt+1

(L

Kt+1

)α}

1

γ0ZtLαK1−αt

= β(1− α)1

γ0γ1ZtLαK(1−α)t




Operando se llega a:γ1 = β(1− α) (19)

γ0 = 1− β(1− α) (20)

Reemplazando lo obtenido hasta el momento en la ecuacion 17, se llega a:

L =αθ

αθ + (1− θ)(1− β(1− α))(21)

L es constante! Asumirlo fue un buen supuesto. Observe: L < 1. Ademas:

Ct = (1− β(1− α))ZtLαK1−α

t (22)

Kt+1 = β(1− α)ZtLαK1−α

t (23)




Encontramos la solucion del modelo para L, Ct y Kt+1. ¿Comoevolucionan en el tiempo ante un choque de productividad? Suponemosproceso autoregresivo para Zt en logaritmos:

lnZt = ρZ lnZt−1 + εt (24)

Donde εt ∼ N(0, σ2). Ademas |ρZ | < 1. Aplicando logaritmos a laecuacion 23

lnKt+1 = ln(φ0) + (1− α)lnKt + lnZt (25)

Donde φ0 = γ1Lα. Reemplazando la ecuacion 24:

lnKt+1 = ln(φ0) + (1− α)lnKt + ρZ lnZt−1 + εt (26)




De la ecuacion 25 se sabe que:

lnZt = lnKt+1 − ln(φ0)− (1− α)lnKt

lnZt−1 = lnKt − ln(φ0)− (1− α)lnKt−1

Que se introduce en la ecuacion 26:

lnKt+1 = (1− ρZ)ln(φ0) + (1− α+ ρZ)lnKt − ρZ(1− α)lnKt−1 + εt(27)

Zt sigue un proceso AR(1), mientras Kt+1 e Yt siguen un proceso AR(2).




Puede realizarse lo mismo para obtener el proceso del Consumo. Aplicandologaritmos a la ecuacion 22:

lnCt = ln(φ1) + (1− α)lnKt + lnZt (28)

Donde φ1 = γ0Lα. Haciendo uso del operador de rezagos, L, en la

ecuacion 26:[1− (1− α)L]lnKt = lnφ0 + lnZt−1 (29)

Reemplazando en 28:

lnCt = ln(φ1) + (1− α)lnφ0 + lnZt−1

[1− (1− α)L]+ lnZt (30)




Teniendo en cuenta que lnZt = εt(1−ρZL) y multiplicando ambos lados de la

ecuacion 30 por (1− ρZL)(1− (1− α)L), se llega a:

lnCt = (1− ρZ)αlnφ1 + (1− ρZ)(1− α)lnφ0 + ...

...+ (1− α+ ρZ)lnCt−1 − ρZ(1− α)lnCt−2 + εt(31)

Consumo tambien tiene proceso AR(2), con los mismos coeficientes paralos rezagos, pero con distinta constante.




Figura 7: Funciones Impulso Respuesta, choque de productividad


Modelo RBC Simple Sustitucion intertemporal del trabajo

Sustitucion intertemporal del trabajo

El modelo simplificado no es realista: no hay fluctuaciones del empleo.

¿A que se deben estas fluctuaciones? A la sustitucion intertemporaldel trabajo (SIT).

Incentivos a trabajar cambian a traves del tiempo. Puede ser optimotraspasar ocio entre perıodos.




Si hogar optimiza solo el primer perıodo:

maxUt = θLog(Ct) + (1− θ)Log(1− Lt)

Sujeto a:Ct = WtLt

La condicion intratemporal es:

1− θ1− Lt

= θWt

Ct

Reemplazando la restriccion presupuestaria:

Lt = θ

Efectos sustitucion e ingreso se cancelan.




Si hogar optimiza en dos perıodos, t y t+ 1:

maxUt = θLog(Ct) + (1− θ)Log(1− Lt) + ...

...+ β[θLog(Ct+1) + (1− θ)Log(1− Lt+1)]

Sujeto a:

WtLt +Wt+1Lt+1

1 + rt+1= Ct +

Ct+1

1 + rt+1

Luego, considerando las CPO’s para Lt y Lt+1, se tiene:

1− Lt1− Lt+1

=Wt+1

Wt

1

β(1 + rt+1)(32)


Solucion numerica

Contenido





Solucion numerica

Solucion numerica

Ahora nos proponemos a solucionar el modelo mediante simulacionnumerica. Para ello utilizaremos el Dynare. Pero antes debemos determinarel estado estacionario del modelo y calibrar los parametros estructurales.


Solucion numerica

El modelo

Con las formas funcionales impuestas para la utilidad instantanea y lafuncion de produccion, tenemos:

Condicion intratemporal (oferta de trabajo):

θ

Ct=

1− θ(1− Lt) Wt

(33)

Condicion intertemporal del consumo:

1

Ct=

β

Ct+1(rt+1 + 1) (34)

Demanda de trabajo:

Wt = αYtLt

(35)


Solucion numerica

El modelo

Demanda de capital:

rt + δ = (1− α)YtKt

(36)

Demanda agregada:Yt = Ct + It +Gt (37)

Oferta agregada:Yt = Zt Lt

αKt1−α (38)

Evolucion del capital:

Kt+1 = It + (1− δ) Kt (39)


Solucion numerica

El modelo

Anadimos los dos procesos estocasticos para las variables exogenas:

Productividad:

ln(Zt) = (1− ρZ)ln(Zss) + ρZ ln(Zt−1) + εZt (40)

Gasto Publico:

ln(Gt) = (1− ρG)ln(Gss) + ρGln(Gt−1) + εGt (41)

Donde εZt ∼ N(0, σ2Z) y εGt ∼ N(0, σ2

G). Observe que procesos sondistintos a lo considerado la clase pasada. Se debe al estado estacionariode Gt, como veremos mas adelante.


Solucion numerica Estado Estacionario

Estado Estacionario

θ

C=

1− θ(1− L)W

(42)

1

β− 1 = r (43)

W = αY

L(44)

r = (1− α)Y

K− δ (45)

Y = C + I +G (46)

Y = ZLαK1−α (47)

I = δK (48)



Estado Estacionario

De la ecuacion 43 y 45, se llega a:

1

β− 1 + δ = (1− α)

Y

K(49)

Que lleva a:

K =(1− α)βY

1− β + βδ(50)



Estado Estacionario

Usando la ecuacion 48

I =(1− α)δβY

1− β + βδ(51)

De 46 despejamos:

C =

[1− (1− α)βδ

1− β + βδ− G

Y

]Y (52)

Ademas, despejando para L en la ecuacion 42 y utilizando las ecuaciones44 y 52, se llega a:

L =1

1 +

[1− (1−α)βδ

1−β+βδ−GY

]αZ

(1−θθ

) (53)



Estado Estacionario

Finalmente, combinamos la ecuacion 47 con la ecuacion 50 y 53 y se llegaa:

Y = Z1α

1

1 +

[1− (1−α)βδ

1−β+βδ−GY

]αZ

(1−θθ

)[ (1− α)β

1− β + βδ

]( 1−αα )

(54)

En cuanto a los procesos exogenos, asumimos:

Z = 1 y G =G

Y× Y (55)


Solucion numerica Calibracion

Calibracion

Consiste en imponer valores a los parametros estructurales o “profundos”del modelo de acuerdo a ratios observados en la data economica, revisionde modelos similares o para obtener co-movimientos similares a losobservados. En nuestro caso:

Parametros Descripcion

β = 0,99 Factor de descuentoθ = 0,36 Importancia del consumo sobre renta totalα = 0,67 Importancia del factor trabajo en la FPδ = 0,023 Depreciacion del capital fısicoGY = 0,155 Gasto Publico/PBIρZ = 0,95 Persistencia del choque de productividadρG = 0,75 Persistencia del choque de gasto publicoσZ = 0,01 Desviacion estandar, productividadσG = 0,01 Desviacion estandar, gasto publico


Solucion numerica Calibracion

Calibracion

En el caso de la calibracion de β, consideramos un ρ (tasa dedescuento subjetiva intertemporal asociada al promedio de la tasa deinteres de mercado) de 4 % anual. En frecuencia trimestral:(1 + 4 %)0,25 ≈ 1 %. Luego β = 1

1+ρ = 11,01 ≈ 0,99.

Para θ se asume un valor similar a lo utilizado en otros trabajos(notas de clase de Fernandez-Villaverde de UPenn).

La depreciacion es aproximadamente de 10 % anual.

El ratio GY es obtenido de las cuentas nacionales.

Para el caso de los procesos exogenos, dado que son AR(1), debemostener en cuenta las siguientes definiciones:

EZt = 0 EZ2t =

σ2Z

1− ρ2Z

EZtZt−1 =ρZσ

2Z

1− ρ2Z

Lo mismo para Gt. En nuestro caso asumismos valores del parametrode persistencia bastante estandar.


Solucion numerica Dynare

Dynare



Introduciendo el modelo en Dynare

Primer bloque: definir variables endogenas, variables exogenas yparametros del modelo.

v a r l a b c w r y kap i n n v z g ;p r e d e t e r m i n e d v a r i a b l e s kap ;v a r e x o e z e g ;p a r a m e t e r s a l p h a d e l t a b e t t a t h e t a r h o z r h o gz s s l a b s s r s s k a p s s w ss y s s c s s i n v s s g s s C Y I Y

G Y ;

En la medida de lo posible debemos evitar nombrar las variables yparametros como funciones del Matlab o expresiones matematicas(ejemplo son funciones beta o inversa, o nombres como i o pi).

Si hay una variable predeterminada, podemos decirle al Dynare que laconsidere como tal, ası no tendremos que “laggearla” manualmente.




a l p h a = 1−0.33;d e l t a = 0 . 0 2 3 ;b e t t a = 0 . 9 9 ;t h e t a = 1 / 2 . 7 5 ;r h o z = 0 . 9 5 ;r h o g = 0 . 7 5 ;z s s = 1 ;G Y = 0 . 1 5 5 ;l a b s s = 1/((1− t h e t a ) /( a l p h a∗ t h e t a∗ z s s )∗((1− b e t t a+a l p h a∗b e t t a∗ d e l t a ) /(1− b e t t a+b e t t a∗

d e l t a )−G Y ) +1) ;y s s = z s s ∗(((1− a l p h a )∗b e t t a /(1− b e t t a+b e t t a∗ d e l t a ) ) ˆ((1− a l p h a ) / a l p h a ) )∗ l a b s s ;w ss = a l p h a∗ y s s / l a b s s ;k a p s s = (1−a l p h a )∗b e t t a /(1− b e t t a+b e t t a∗ d e l t a )∗ y s s ;i n v s s = d e l t a∗k a p s s ;r s s = (1−a l p h a )∗ y s s / k a p s s−d e l t a ;c s s = ((1− b e t t a+a l p h a∗b e t t a∗ d e l t a ) /(1− b e t t a+b e t t a∗ d e l t a )−G Y )∗ y s s ;g s s = G Y∗ y s s ;C Y = c s s / y s s ;I Y = i n v s s / y s s ;




Segundo bloque: el modelo.

model ;t h e t a / c =(1− t h e t a ) /((1− l a b ) ∗w) ;1/ c =b e t t a ∗1/ c (+1)∗(1+ r (+1) ) ;w =a l p h a ∗y / l a b ;r+d e l t a =(1−a l p h a ) ∗y / kap ;y =c+i n n v+g ;kap (+1) =(1−d e l t a ) ∗kap+i n n v ;y =z∗kapˆ(1− a l p h a ) ∗ l a b ˆ a l p h a ;l og ( z ) =(1− r h o z ) ∗ l og ( z s s ) + r h o z ∗ l og ( z (−1) ) + e z ;l og ( g ) =(1− r h o g ) ∗ l og ( g s s ) + r h o g ∗ l og ( g(−1) ) + e g ;end ;




Tercer bloque: el estado estacionario.

s t e a d y s t a t e m o d e l ;l a b =l a b s s ;c =c s s ;w =w ss ;r =r s s ;y =y s s ;kap =k a p s s ;i n n v=i n v s s ;z =z s s ;g =g s s ;end ;

Podrıamos haber implementado el calculo del estado estacionariodirectamente en este bloque. Esta vez obtamos por hacerlo en el segundobloque y “llamar” a esos resultados.




Cuarto bloque: definicion de varianzas y otros comandos.

s h o c k s ;

v a r e z ; s t d e r r 0 . 0 1 ;v a r e g ; s t d e r r 0 . 0 1 ;end ;

r e s i d ;s t e a d y ;check ;




resid: muestra los residuos de las ecuaciones estaticas, dados losvalores de estado estacionario. Deberıan ser cero.

steady: muestra el estado estacionario de cada una de las variables delmodelo. Sirve para comprobacion.

check: muestra los valores propios del sistema. Para cumplir con lascondiciones de Blanchard-Kahn (existencia, unicidad y estabilidad delequilibrio) se necesitan tantos valores propios mayores a uno en sumodulo como variables forward looking del modelo. En nuestro casohay dos: rt+1 y ct+1.




Quinto bloque: comando de simulacion estocastica

s t o c h s i m u l ( o r d e r = 1) ;

Donde se da inicio al proceso de simulacion ordenandole al Dynare quelinealice las ecuaciones correspondientes. Para grabar el modelo, debemostener en cuenta la extension que “leera” el Dynare (.mod), y colocarlamanualmente. Debemos ir a “save as” o “Guardar como” y una vez ahıtipear:

RBC01 . mod




Una vez escrito el codigo del modelo, debemos escribir en el CommandWindow lo siguiente:

addpath C :\ d y n a r e \4 . 4 . 3\ matlabcd ‘G:\UNI\T e o r i a Macroeconomica I I \MODs’

La primera lınea “llama” al Dynare.

Con la segunda damos la direccion de la carpeta donde se encuentranuestro archivo .mod.

OJO: Tener cuidado con nombres de carpetas que estan separados. Silo estan (como en este caso), se necesita encerrar la direccion entreapostrofes. Sino, no hay necesidad de ello.

Luego, para que el modelo “corra” escribimos:

d y n a r e RBC01 . mod


Solucion numerica Funciones Impulso-Respuesta linealizadas

Funciones Impulso-Respuesta linealizadas

Figura 8: IRF, choque de productividad


Solucion numerica Funciones Impulso-Respuesta linealizadas

Funciones Impulso-Respuesta linealizadas

Figura 9: IRF, choque de gasto publico


Solucion numerica Log-linealizacion

Log-linealizacion

Hasta ahora, sistema de ecuaciones no lineal.

Log-linealizacion es metodo comun para llevar un sistema no lineal auno lineal.

¿Por que es ello necesario? Facilidad en el computo para modelos masgrandes, pues evitas el calculo del Estado Estacionario. OJO: ElDynare linealiza el modelo (no log-linealiza) y luego aplica el metodode Blanchard-Kahn.

Variables se interpretan como desviaciones respecto a su EstadoEstacionario (interpretacion economica: ciclos).

Expansion de Taylor alrededor de x0

φ(x) = [φ(x0)

0!+φ′(x0)

1!(x− x0) +

φ′′(x0)

2!(x− x0)2 + ...

...+φ(n)(x0)

n!(x− x0)n]



Linealizacion



Log-linealizacion (metodo de Uhlig)

Sea la variable de interes xt = lnxt − lnxss.Despejando xt = xsse

xt .

Dado ello, se aplica una expansion de Taylor de primer orden a laexpresion ext :

ext |xt=0≈ ext=0 + ext=0(xt − 0)

ext |xt=0≈ 1 + xt

ext ≈ 1 + xt

Luego, xt = xss(1 + xt). Despejando, xt ≈ xt−xssxss

.



Modelo log-linealizado

Condicion intratemporal (oferta de trabajo):

L

1− LLt + Ct = Wt (56)

Condicion intertemporal del consumo:

Ct = Ct+1 − (1− β)rt+1 (57)

Demanda de trabajo:Wt = Yt − Lt (58)

Demanda de capital:

rrt = (1− α)Y

K(Yt − Kt) (59)



Modelo log-linealizado

Demanda agregada:

Yt =C

YCt +

I

YIt +

G

YGt (60)

Oferta agregada:

Yt = Zt + αLt + (1− α)Kt (61)

Evolucion del capital:

Kt+1 =I

KIt + (1− δ)Kt (62)

Procesos exogenos:Zt = ρZZt−1 + εZt (63)

Gt = ρGGt−1 + εGt (64)



Modelo log-linealizado en Dynare

Si queremos resolver un modelo log-lineal en Dynare tenemos dosposibilidades:

Escribir el modelo no lineal con componentes exponenciales (para queel Dynare linealice, como en Uhlig).

Log-linealizar el modelo manualmente e incorporarlo ya de formalineal al computador.

En el caso del primero, el beneficio que obtenemos es que podemos decirleal Dynare que aplique una expansion de Taylor de primer, segundo y hastatercer orden. Esto es util en el caso de comparaciones (rankings) debienestar. Considerando ello, modificamos solo el bloque 2 y el bloque 3:



Modelo log-linealizado en Dynare (1era forma)

model ;t h e t a / exp ( c ) =(1− t h e t a ) /((1−exp ( l a b ) ) ∗exp (w) ) ;1/ exp ( c ) =b e t t a ∗1/ exp ( c (+1) ) ∗(1+ exp ( r (+1) ) ) ;exp (w) =a l p h a ∗exp ( y ) / exp ( l a b ) ;exp ( r )+d e l t a =(1−a l p h a ) ∗exp ( y ) / exp ( kap ) ;exp ( y ) =exp ( c )+exp ( i n n v )+exp ( g ) ;exp ( kap (+1) ) =(1−d e l t a ) ∗exp ( kap )+exp ( i n n v ) ;exp ( y ) =exp ( z ) ∗exp ( kap ) ˆ(1− a l p h a ) ∗exp ( l a b ) ˆ a l p h a ;z =(1− r h o z ) ∗ l o g ( z s s ) + r h o z ∗ z (−1) + e z ;g =(1− r h o g ) ∗ l o g ( g s s ) + r h o g ∗g(−1) + e g ;end ;s t e a d y s t a t e m o d e l ;l a b =l o g ( l a b s s ) ;c =l o g ( c s s ) ;w =l o g ( w ss ) ;r =l o g ( r s s ) ;y =l o g ( y s s ) ;kap =l o g ( k a p s s ) ;i n n v=l o g ( i n v s s ) ;z =l o g ( z s s ) ;g =l o g ( g s s ) ;end ;



Modelo log-linealizado en Dynare (2da forma)

Necesitamos modificar el bloque 2 y eliminar el bloque 3.

model ( l i n e a r ) ;w = ( l a b s s /(1− l a b s s ) ) ∗ l a b + c ;c = c (+1) − (1− b e t t a ) ∗ r (+1) ;w = y − l a b ;r s s ∗ r = (1− a l p h a ) ∗ y s s / k a p s s ∗( y−kap ) ;y = C Y∗c + I Y ∗ i n n v + G Y∗g ;y = z + a l p h a ∗ l a b + (1− a l p h a ) ∗kap ;kap (+1) = d e l t a ∗ i n n v + (1− d e l t a ) ∗kap ;z = r h o z ∗ z (−1) + e z ;g = r h o g ∗g(−1) + e g ;end ;

Note que despues de escribir model se anade (linear). Esto leindica al Dynare que el modelo ya es lineal.

Las nuevas IRFs son similares en dinamica pero distintas enmagnitud: IRFloglinealizada = IRFlinealizada

EE .


Solucion numerica Funciones Impulso-Respuesta loglinealizadas

Funciones Impulso-Respuesta loglinealizadas

Figura 10: IRF, choque de productividad


Solucion numerica Funciones Impulso-Respuesta loglinealizadas

Funciones Impulso-Respuesta loglinealizadas

Figura 11: IRF, choque de gasto publico


Clase 6: Teoría Macroeconómica...

Documents

Transcript of Clase 6: Teoría Macroeconómica...