Clase 9 Estabilidad
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Estabilidad de sistemas
dinmicos
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Estabilidad de sistemas dinmicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Definicin Formal (matemtica) de Estabilidad
Se establecer la estabilidad en el sentido de Lyapunov. Considrese un
sistema representado por la ecuacin diferencial
)(xfx (1)
suponga que es un punto de equilibrio de (1). el punto de equilibrio
puede ser cero o ser llevado a un valor cero (como punto de referencia).
)(eqx
El punto de equilibrio es )(eqx
Estable si, para cada existe un , tal que 0 0)(
0,)()0( ttxx
Es Inestable si no es estable
Es Asintticamente Estable si es estable y puede ser elegida tal que
0)(lim)0(
txxt
.0))(( eqxf
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Estabilidad de sistemas dinmicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
m
ksen
l
g
dt
d
dt
d
0
0
Por ejemplo en las ecuaciones del pndulo simple:
0,0
0,
Dos puntos de equilibrio:
1
2
dt
d
Pndulo simple 2
Pndulo simple 1
Estable
Inestable
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Estabilidad de sistemas dinmicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
La estabilidad, desde el punto de vista de control es quiz la caracterstica
ms importante de los sistemas dinmicos.
La estabilidad de un sistema generalmente es analizada en puntos de
equilibrio, aunque puede no ser as.
El concepto de estabilidad que ms se usa es el de estabilidad absoluta,
dice si el sistema es estable o no.
Tambin se usan los conceptos de estabilidad relativa y error en estado
estacionario.
La Estabilidad relativa nos indica que tan estable es un sistema en relacin
a otro o en relacin a algn cambio dentro del mismo.
El error en estado estacionario es la diferencia entre el valor deseado y el
valor obtenido una vez que el sistema tenga un estado estable. Cabe
destacar que un sistema estable puede tener error en estado estable.
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Los sistemas tienen puntos de equilibrio estables e inestables. Para
encontrar los puntos de equilibrio en un modelo de un sistema, se
igualan las dinmicas a cero y se despejan las variables de inters.
Estabilidad Absoluta
Es la caracterstica ms importante de los sistemas de control, se refiere a
que si el sistema es estable o inestable.
Definicion.Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada
acotada, el sistema posee una salida acotada (BIBO).
La condicin de estabilidad se analiza sobre puntos de equilibrio, un
sistema de control se encuentra en un punto de equilibrio si la salida
permanece en el mismo estado en ausencia de cualquier perturbacin o
entrada.
La estabilidad es una caracterstica propia de cada sistema y no
depende de las entradas
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Plano s
Regin
estable
Regin
inestable
Regin
estable
Regin
inestable
Anlisis de Estabilidad en Laplace
La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicacin de los
polos de lazo cerrado en el plano s. Si alguno de los polos de lazo cerrado
de un sistema se encuentra en el semiplano derecho el sistema es
inestable.
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Plano s
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Comentarios:
1) Un sistema de lazo abierto tambin tiene caractersticas de estabilidad.
2) Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus caractersticas de
estabilidad a menos que se cambien sus parmetros, se agregue otro
elemento dinmico o usando realimentacin
3) Un sistema inestable puede estabilizarse usando realimentacin.
4) Un sistema estable puede hacerse inestable con una cierta
realimentacin.
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Criterio de Estabilidad de Routh
Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se
ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que
todas las races de la ecuacin caracterstica ( ) tienen parte real negativa
)(
)(
)(
)(
11
10
11
10
sq
sp
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
nnnn
mmmm
)(sq
cuando no se tiene forma a encontrar las races de la ecuacin
caracterstica
El criterio de estabilidad de Routh permite determinar si hay races con
parte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio.
El criterio de estabilidad de Routh se basa en el ordenamiento de los
coeficientes de la ecuacin caracterstica
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en el siguiente arreglo
ns
1ns
2ns
3ns
0s
1a
4a
5a
2a
3a
0a 6a
7a
1c
3b
5a
2b
3a
1b 4b
7a
1h
0)( 12
21
10
nnnnn asasasasasq
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donde
1
30211
a
aaaab
1
50412
a
aaaab
1
70611
a
aaaab
1
21311
b
baabc
1
31512
b
baabc
1
31713
b
baabc
1
21211
c
cbbcd
1
31312
c
cbbcd
El criterio de Routh establece que el nmero de races de con partes
reales positivas es igual al nmero de cambios de signo de la primera
columna del arreglo.
)(sq
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Ejemplo 1
Sea el siguiente polinomio
0322
13
0 asasasa
3s
2s
s
0s
0a
1a
2a
3a
1
3021
a
aaaa
3a
el arreglo es
La condiciones para que todas las races tengan parte reales negativas son:
3021 aaaa 0,,, 3210 aaaa
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Ejemplo 2
Sea el siguiente polinomio
05432 234 ssss
3s
2s
s
0s
1
el arreglo es
4s
2
3
4
5
1 5
0
0
6 0
5
Hay un dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos
races con partes reales positivas.
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Casos especiales
Si un trmino es cualquier columna es cero y los dems trminos no son
cero. El elemento cero puede reemplazarse por un nmero positivo y
continuar con el arreglo.
Ejemplo 2
Sea el siguiente polinomio 01011422 2345 sssss
3s2s
s0s
1
el arreglo es
4s 2
11
4 10
6 0
0
0
10
5s 2
1c
121241
c
1d
106
106 11
cd
Hay un dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos
races con partes reales positivas.