IntroduccinLos mtodos geomtricos de los Teoremas de reasMomento y de la Viga Conjugada son muy efectivos para encontrar desplazamientos y pendientes en puntos ubicados en vigas sujetas a cargas ms bien simples. Sin embargo, para estructuras y cargas ms complicadas, es mejor usar los mtodos de energa. A diferencia de los mtodos geomtricos, no es necesario conocer la configuracin aproximada de la curva elstica para aplicar mtodos de energa.

TrabajoSe define como la capacidad de transmitir energa de un sistema a otro. El trabajo hecho por una fuerza F la cual mueve un cuerpo una distancia X cuyos vectores forman un ngulo viene dado por el producto escalar:

Trabajo de una fuerza y un momentoAhora se definir cmo se calcula el trabajo hecho por una fuerza y un momento sobre una estructura.

Trabajo de una fuerza y un momentoCuando se est en el rango elstico lineal, se tiene:

P

Rango Elstico Lineal

d

Trabajo de una fuerza y un momentoEs importante distinguir entre cuando una fuerza se aplica o no en forma gradualP+F B C

P

D

A

G

F

P

P+F

Rango Elstico Lineal

Conservacin de la energaEl principio de conservacin de la energa para estructuras se enuncia como sigue: El trabajo efectuado sobre una estructura elstica por fuerzas aplicadas estticamente (en forma gradual) es igual al trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea, la energa de deformacin almacenada en la estructura Matemticamente se expresa como: We=Wi Ue=Wi

Energa de deformacin elsticaLa forma de energa ms comn considerada en el Anlisis de Estructuras es la energa potencial elstica.

Energa de deformacin elsticaSe presenta a continuacin la energa de deformacin para varios los tipos ms comunes de estructuras usadas en la Ingeniera Civil.Armaduras

Vigas

Prticos

Energa de deformacin elsticaConsideraciones importantes: Las deformaciones por fuerzas cortantes en las vigas suelen despreciarse debido a que son bastante pequeas a comparacin de las debidas por flexin Las deformaciones por fuerzas axiales en prticos son mucho menores que las debidas a flexin y suelen despreciarse en el anlisis. Cuando alguna de las funciones F(x), V(x), M(x) y T(x) no son continuas en los elementos, entonces este debe dividirse en segmentos tales donde las anteriores funciones s lo sean para que la suma o integral sea continua. Luego, se suma la contribucin de cada elemento para obtener la energa de deformacin total.

Mtodos energticosA continuacin se presentan los mtodos que se han desarrollado teniendo como base el teorema de trabajoenerga y el principio de conservacin de la energa. Los mtodos que se trabajarn sern los siguientes: Mtodo del trabajo real Mtodo del trabajo virtual (Basado en el principio del

trabajo virtual) Mtodo basado en el segundo teorema de Castigliano

Principio del Trabajo VirtualFue introducido por Johan Bernoulli en 1717. Es una poderosa herramienta analtica en muchos problemas de mecnica estructural. Este principio puede ser enunciado de dos maneras: Principio de desplazamientos virtuales para los

cuerpos rgidos: El mtodo de Mller-Breslau para el trazado de lneas de influencia est basado en esta forma de expresar el principio. Principio de fuerzas virtuales para los cuerpos

deformables: Se emplea para el clculo de deflexiones.

Principio del Trabajo VirtualEl principio de desplazamientos virtuales para los cuerpos rgidos se enuncia as: Si un cuerpo rgido se encuentra en equilibrio bajo un sistema de fuerzas y si se sujeta a cualquier desplazamiento virtual de cuerpo rgido, el trabajo virtual realizado por las fuerzas externas es cero

Principio del Trabajo VirtualEl principio de fuerzas virtuales para los cuerpos deformables se enuncia as: Si una estructura deformable est en equilibrio bajo un sistema virtual de fuerzas (y pares) y si se sujeta a cualquier deformacin real pequea, coherente con las condiciones de apoyo y continuidad de la estructura, entonces el trabajo virtual externo realizado por las fuerzas externas (y pares externos) virtuales que actan a travs de los desplazamientos (y rotaciones) externos reales es igual al trabajo interno virtual realizado por las fuerzas internas (y pares internos) que actan a travs de los desplazamientos (y rotaciones) internos reales

Principio del Trabajo VirtualConsideraciones Importantes: La segunda manera de enunciar el Principio del Trabajo

Virtual puede ser resumido como sigue:

Principio del Trabajo VirtualConsideraciones Importantes: Ntese de que en virtud de que las fuerzas virtuales son independientes de las acciones que causan la deformacin real y permanecen constantes durante esta deformacin, las expresiones del trabajo virtual, externo e interno, no contienen el factor . Al aplicar la fuerza virtual esta recorrer la deformacin real (ya impuesta antes de aplicar la fuerza virtual).

Principio del Trabajo VirtualAplicaciones al clculo de deflexiones y pendientes Armaduras: Se considerarn 3 casos generales, segn sea el origen de la deflexin (no se consideran pendientes, los elementos de una armadura trabajan slo a fuerza axial): por fuerzas, errores de fabricacin y cambios de temperatura.

Principio del Trabajo VirtualAplicaciones al clculo de deflexiones y pendientes Situaciones tales como fuerzas de traccin, errores de fabricacin que lleven a miembros ms largos o aumentos en la temperatura son cantidades que se suelen considerar como positivas en el clculo de deflexiones en armaduras. Las contrarias se toman como negativas. La misma convencin de signos debe ser usada tanto para el

sistema real como para el sistema virtual. Para los casos de errores de fabricacin y cambios de temperatura

slo es necesario calcular las fuerzas internas en aquellos miembros en los que ocurra alguna de las situaciones antes mencionadas.

Principio del Trabajo VirtualAplicaciones al clculo de deflexiones y pendientes Vigas: Si bien en una viga es posible tener fuerzas axiales, cortantes y momentos flectores, slo se consideran prominentes el momento flector y la fuerza cortante. Para la gran mayora de vigas se desprecia el trabajo interno efectuado por las fuerzas cortantes virtuales que actan a travs de las deformaciones causadas por esas cortantes.

En este caso, es posible calcular deflexiones y pendientes.

Principio del Trabajo VirtualAplicaciones al clculo de deflexiones y pendientes Vigas: Las expresiones derivadas a partir la aplicacin del principio del trabajo a vigas se presentan a continuacin:

Las anteriores expresiones deben ser evaluadas en tramos en los cuales la funcin de momento sea continua.

Principio del Trabajo VirtualAplicaciones al clculo de deflexiones y pendientes Prticos: Las expresiones derivadas a partir la aplicacin del principio del trabajo a prticos se presentan a continuacin:

Las anteriores expresiones deben ser evaluadas en tramos en los cuales la funcin de momento sea continua.

Principio del Trabajo VirtualAplicaciones al clculo de deflexiones y pendientes: Es posible que en vigas o prticos se tengan otras posibles situaciones que causen deflexiones. Aunque es poco el aporte de estas a la energa de deformacin, la cual ser en forma primaria debida a flexin, se expondrn de igual forma. Las acciones adicionales que se incluirn son debidas a fuerza axial, fuerza cortante, momentos torsores y gradientes de temperatura

Principio del Trabajo VirtualAplicaciones al clculo de deflexiones y pendientes: Fuerza axial Momentos torsores

Fuerzas cortante

Temperatura

Teoremas de CastiglianoEn 1876 el Ingeniero de Ferrocarriles Alberto Castigliano, como parte de su trabajo de grado, present dos teoremas, el segundo de los cuales permite encontrar cualquier componente de deflexin de una estructura a partir de la energa de deformacin de la misma Se pueden resumir que su trabajo consta de dos teoremas y un corolario, los cuales permiten establecer ecuaciones de equilibrio en estructuras, calcular deflexiones y rotaciones, y finalmente, resolver estructuras indeterminadas (es decir, hiperestticas) El Primer Teorema de Castigliano ya est en desuso.

Teoremas de Castigliano Primer Teorema de Castigliano: Su mayor uso es para

establecer ecuaciones de equilibrio en estructuras. Su uso es casi nulo hoy en da. Matemticamente, el enunciado de este teorema es:

Teoremas de Castigliano Segundo Teorema de Castigliano: Para estructuras

linealmente elsticas, la derivada parcial de la energa de deformacin con respecto a una fuerza aplicada (o par aplicado) es igual al desplazamiento (o rotacin) de la fuerza (o par) a lo largo de su lnea de accin. Este teorema slo permite el clculo de deflexiones y rotaciones debidas a fuerzas o momentos.

Teoremas de CastiglianoAplicaciones del Segundo Teorema de Castigliano Armaduras

Vigas

Teoremas de CastiglianoAplicaciones del Segundo Teorema de Castigliano Prticos

Teoremas de Castigliano Corolario del Segundo Teorema de Castigliano:

La derivada parcial de la energa interna de deformacin de una estructura cargada con respecto a una componente de reaccin, es igual a cero En cualquier estructura indeterminada sometida a carga los valores de las redundantes deber ser tales que hagan mnima la energa total interna de deformacin elstica que resulta de la aplicacin del sistema de cargas dado

Ley de MaxwellEsta es la llamada ley de las deflexiones recprocas, y fue desarrollada por James Clerck Maxwell en 1864. Se considera esta ley de Maxwell un caso particular de la ley de Betti. Dicha ley se enuncia as:

Para una estructura linealmente elstica, la deflexin en un punto i debida a una carga unitaria aplicada en un punto j es igual a la deflexin en j debida a una carga unitaria en i

Ley de BettiEs el caso generalizado de la ley de Mawell. Fue enunciada en 1872 por E. Betti. Esta se expresa como: Para una estructura linealmente elstica, el trabajo virtual realizado por un sistema P de fuerzas y pares actuando a travs de la deformacin causada por otro sistema Q de fuerzas y pares es igual a trabajo virtual del sistema Q actuando a travs de la deformacin debida al sistema P

Ejercicios: Mtodo del Trabajo Real Calcular la deflexin en el punto D, para una carga de

50 T aplicada en el mismo. Para todas las barras L/A=10cm-1, y que el material es acero estructural con E=2040 T/cm2.

Programacin: Mtodo del Trabajo Real Ecuacin:

Ejercicios: Teoremas de Castigliano Encuentre la deflexin horizontal del punto A, producida por el

sistema de cargas mostrado. Para las diagonales L/A= 100 cm-1, para las otras barras L/A= 50 cm-1. El material es acero estructural con E= 2100T/cm2 :

Programacin Segundo Teoremas de Castigliano Ecuacin:

Ejercicio Mtodo del trabajo virtual Determinar la componente vertical de deflexin del

nudo L4. El numero al lado de cada barra es el rea de la barra en pulgadas cuadradas y E= 29*10+6 lb/pulg2.

Programacin del Mtodo del Trabajo Virtual Ecuacin:

Referencias KASSIMALI, Aslam. Anlisis Estructuras. Editorial Thompson.

Segunda Edicin.2004. URIBE Escamilla, Jairo. Anlisis de Estructuras. ECOE Ediciones.

Segunda Edicin.2000. HIBBELER, Russell. Mecnica de Materiales. Editorial Pearson.

Sexta Edicin. 2006. McCORMAC, Jack. Anlisis de estructuras. Editorial Alfaomega.

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Sptima Edicin. 2009.

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McCORMAC, Jack. Anlisis de estructuras. Editorial Alfaomega. Tercera edicin.2006 KINNEY, Sterling J. Anlisis de estructuras indeterminadas.

Editorial Continental. Primer edicin. 1960 GONZALEZ, Cuevas Oscar. Anlisis estructural. Editorial

Limusa. Segunda edicin. 2002.