UNIVERIDAD TECNOLOGICA DE SANTIAGO UTESA ESCUELA DE GRADUADOS

MAESTRIA EN MATEMATICA

ALGEBRA ABSTRACTA PROF. ROSA MARIA ALMONTE

SUBGRUPOS. LEMAS Y TEOREMAS

DEFINICIN DE SUBGRUPOS, LEMAS Y TEOREMAS

Subgrupo

Sea G un grupo y H un subconjunto no vaco de G, se dice que H es subgrupo de

G, si H, con la misma operacin de G, es un grupo G. La notacin es H G.

Lema: 7

Si H es un subgrupo de G y K es un subconjunto de H, entonces K , es un subgrupo

de G.

Demostracin:

Si es la operacin de G, ( H , ) es subgrupo de G.

Por hiptesis ( K , ) es un grupo, por tanto K es subgrupo.

Ejemplo:

1- Los Subgrupos triviales de G :

a) El mismo G. b) El conjunto que contiene el elemento neutro de la operacin de un grupo G.

2- El conjunto H = 1 , - 1 subconjunto de G = 1 , - 1, i i es un subgrupo de G.

Lema 8

Sea H un subconjunto no vaco de G. H es un subgrupo de G si y solo si:

1- a,b H implica que a.b H.

2- a H implica que a-1 H.

Demostracin:

- Como H G implica que H es cerrado con respecto a la operacin de G, por tanto si

a,b H entonces a.b H.

- Como H es un grupo si a H entonces que a-1 H.

- Si H es un subconjunto no vaco de G en el cual se cumple (1) y (2) solo falta

probar que la operacin es asociativa y que e H.

- Sea e H como a-1 H y H es cerrado para la operacin entonces

a.a-1 = e H. Si la operacin es asociativa en G lo es tambin en H y por tanto

H G.

Lema 9

Si H es un subconjunto finito no vaci de un grupo G, cerrado bajo la operacin de

multiplicacin, entonces H es un subgrupo de G.

Demostracin:

Aplicando el lema 8 solo se necesita probar que para todo a H , a-1 H.

Sea a H. Como H es cerrado para la operacin:

a.a = a2 H, a2.a = a3 H , . . . , a n H . . . , luego la coleccin infinita de

elementos a = a2 H, a , . . . , a n debe estar contenida en H. Pero H es un subconjunto finito de G ,por tanto deben existir r, s enteros tales que 0< s< r y ar = as, es

decir, debe haber repeticiones en la lista finita de elementos de H. Entonces, a-r = (a)-s G y multiplicando ar = as por a-s a ambos lados, obtenemos ar-s = ar a-s = e , pero r

s > 0 indica que e = ar a-s a , por tanto por el lema 8 H G.

Ejemplo:

1) En ( Z , + ) sea nZ = nx : x Z n, un entero fijo mayor que cero. nZ es el conjunto de mltiplos de n en Z.

Verificar que nZ es un grupo abeliano en Z.

Si m,n son dos entero positivos distintos Cul ser el conjunto

mZ nZ? Cundo ser un subconjunto de Z?

Congruencia md.H

Sea G un grupo y sea H u n subgrupo de G, si a , b , G se verifica que a , b-1 H entonces se dice que a es congruente con b mdulo H .

Se denota a b ( md. H)

Ejemplo:

Sea G = Z , H = 2Z se 3 , 5 Z entonces 3 5 (md. H) , ya que 3 + (-5) = -2 H.

Lema 10

Congruencia md. H es una relacin de equivalencia.

Demostracin

Sean a, b ,c G, se debe probar que la relacin de congruencia definida en G es reflexiva, simtrica y transitiva.

Reflexiva: Como H G, a.a-1 = e H. Por tanto a a ( md. H)

Simtrica: Sea a b ( md. H), a.b-1 H. implica que

(a.b-1 )-1 = (b-1)-1 a-1 = b a-1 H. por tanto b a ( md. H)

Transitiva: Si a b ( md. H) y b c (md. H), tenemos que a.b-1 H. bc-1 H.

Por tanto (a.b-1) ( bc-1) = a(bb-1)c-1 = a c-1 H.

por tanto a c ( md. H).

Clases laterales

Sea H un subgrupo de G y sea a G. El conjunto Ha = xa: x H se llama clase

lateral derecha de H en G, de igual modo el conjunto aH = ax: x H se llama clase lateral izquierda de H en G.

Ejemplos:

1) Sea G= (Z, +) , H = 3Z y a = 2. Como es un grupo aditivo escribiremos

H + a en lugar de Ha y a + H en lugar aH.

H + a = x+ 2 : x 3Z = . . . 4 , -1, 5 ,8 . . .

2) Sean G = ( Z6 , ) , H = 0 , 3 . Hallar Ha para a = 0 ,1 , 3 ,5

Z6 = 0 ,1 , 2 , 3 , 4, 5 , H = 0 , 3 si a = 0 ,1 , 3 ,5

H 0 = x+ 0 : x H = 0 , 3

H 1 = x+ 1 : x H = 1 , 4

H 3 = x + 3 : x H = 3 , 0

H 5 = x+ 5 : x H = 5 , 1

3) Sean G = S3 , H = I, g, g2 . Hallar Hx para x = g, f, gf

Lema 11

Dado cualquier elemento aG, H G, Ha es el conjunto

Ha = x G: a x md. H

Lema 12

HK es un subgrupo de G si y solo si HK=KH.

Demostracin:

1) Suponer que HK es un subgrupo de G.

Si H K entonces para cualquier hH y kK, h-1k-1HK y por tanto como se

puede afirmar que kh = (h-1k-1)-1 entonces kh HK es por que kH HK. Tomando ahora x un elemento cualquiera de HK.

Sea xHK, x-1 = hk HK, luego x = (x-1) 1= (hk)-1= k-1h-1 KH, por tanto Hk

KH, luego se concluye en esta parte que si kH HK y HK kH entonces HK = KH.

2) Suponer ahora que HK = KH.

Si hH y kK entonces hk =k1h1 para algn h1H, k1K. Probar que HK es un subgrupo:

- Suponer que si x = hk HK y que y = hk HK entonces xy = (hk)(hk).

- Reconociendo que si khKH=HK , kh= h2k2 con h 2H, k2K entonces xy

= (hk)(hk) = (h(kh )k) = (h(h2k2)k) = (h h2 )(k2k) HK, por tanto HK es cerrado.

- Adems x-1= HK, ya que x-1= (hk)-1 = k-1h-1 KH =HK por lo tanto HK es un subgrupo.

Ejemplo:

Usando G = S3 y sean H = I, f K = I, gf y aplicando el teorema anterior verificar si HK es subgrupo de G, hallar HK y KH.

HK = I, gf, f, g2 KH = I, f, gf, g

Como HK KH por lo tanto HK no es subgrupo de G. Adems el o(HK) no divide el orden o(G), segn el teorema de Lagrance HK no puede

se subgrupo de G.

Observacin: Si G es abeliano, HK = KH y el lema resulta trivial y en consecuencia

surge el corolario siguiente.

Corolario:

Si H y K son subgrupo de un grupo abeliano G, entonces HK es un subgrupo de G.

Si subgrupo HK es finito el orden de HK se denota por 0(HK)

Teorema 2b Si H, K son subgrupos finitos de un grupo abeliano G, entonces:

o(HK) = o(H)o(K).

o(HK)

Demostracin:

1) Si la HK = e, entonces se debe probar que o(HK) = o(H)o(K). Suponer que o(HK) es menor que o(H)o(K).

Si se hace una lista de todos los elementos de HK y se supone que hay repeticiones en

esta lista.

Existe h h1 en H y k, k1 de K tales que hk = h1k1 , pero cancelando en esta expresin por la derecha con (h1

-1) y por la izquierda con (k)-1 se obtiene

hk = h1k1

(h1-1) hk(k-1) = (h1

-1) h1k1(k-1)

(h1-1h)(kk-1) = (h1

-1 h1) (k1k-1)

h1-1h = k1k

-1 , pero como h1 H, h-1H

h1-1h debe tambin estar en H del mismo modo k1 K, k-1H y

k1k-1K. Como h1-1h = k1k-1 , h1-1h HK = (e), luego h1-1h = (e),de donde h=

h1 lo que es contradiccin.

Esto significa que no puede haber repeticiones en la lista de los hk elementos , por tanto

o(HK) = o(H)o(K).

2) Luego si HK = e.

Sea h1 HK , entonces para todo hkHK, hk= (hh1-1)(h1k ), aqu hH,

h1-1 HK K , kK, h-1k k por tanto hk esta duplicado en HK al menos

o(HK) veces. Si hk = hk, entonces h= hk(k)-1, esto es : h-1h=(h-1h)k(k)-1

= k(k)-1 = u HK De este resultado se puede deducir que h=hu y k= u-1k, y asi

hk = huu-1k=hk, por tanto no hay duplicaciones. Si no hay dupliaciones entonces

hay exactamente o(HK) repeticiones en HK, por tanto o(HK) = o(H)o(K).

o(HK)

Corolario:

Si H y K dos subgrupos de G, o(H) o(G) y o(K) o(G)

entonces HK e

Demostracin:

HK G implica que o(HK) o(G). Se tiene entonces que:

o(G) o(HK) = o(H)o(K) o(G) o(G) = o(G)

o(HK) o(HK) o(HK) Por tanto o(HK)>1 , de ah se sigue que HK e .

Subgrupos normales

Un grupo N de G se llama normal si para todo elemento de G y todo elemento de N, se

tiene que gng-1 N. Se denota NG

Ejemplos:

1- Sea G = (Z/4 , ) y N = 0,2. Verificar que N es un grupo normal de G.

Si N G g G , gng-1 N n = 0 , g = 0 , 00 0 = 0

g = 1 , 1 0 3 = 0

g = 2 , 2 0 2 = 0

g = 3 , 3 0 1 = 0

n = 2 , g = 0 , 02 0 = 2

g = 1 , 1 2 3 = 2

g = 2 , 2 2 2 = 2

g = 3 , 3 2 1 = 2

2- Usando G = S3 sean N1 = I, gf N2 = I,g ,g2. Determinar si N1 G o N2 G.

Lema 14

N G si y solo si para todo g en G gNg-1= N.

Demostracin:

gNg-1 = gng-1: n N

- Si N G = para todo g en G, por definicin se tiene que gng-1 N para todo n en N entonces N G.

- Si N G , sea g G . Para todo n N, gng-1N, por tanto, gNg-1N, tambin se verifica que g-1ng = g-1n(g-1)-1N, entonces N= gNg-1.

Lema 15

N G es normal si y solo si toda clase lateral izquierda de N es una clase lateral derecha de N en G.

Demostracin:

- Si N G implica que por cada g en G, gNg-1=N. Por tanto, gN = gN(g-1 g) =(gNg-1)g= Ng.

- Sea g G. Asumir que gN= Ng , entonces , gNg-1=N, es decir N G (por el lema 12).

Multiplicacin de clases laterales distintas.

Sea N G y a, b G. La multiplicacin de dos clases laterales derechas Na, Nb se define como: Na.Nb = N(ab).

Lema 16

N G es normal si y solo si Na.Nb = N(ab) para cualesquieras a, b G.

Demostracin:

Asumir que N G y a, b G entonces (Na).(Nb) = N(aN)b = N(Na)b =(Na)b= N(ab).

Teorema 3

Si G es un grupo y N G entonces G/N es un grupo.

Si NG el grupo G/N se llama grupo cociente. La operacin del grupo cociente es la multiplicacin de clases laterales derechas :

(Nx)(Ny) = N(xy) para todo Nx, Ny en G/N.

G/N es el conjunto formado por todas las clases laterales derechas de N en G.

Demostrar que G/N es un grupo.

1- Sean x, y elemento de G/N, x=Na, y =Nb, para ciertos a, b en G.

x.y = NaNb = N(ab) G/N. Por tanto G/N es cerrado respecto a la operacin.

2- Si x, y, z G , x=Na, y =Nb z =Nc para ciertos a, b , c en G, entonces (xy)c = x(yz).

((Na)(Nb))Nc =Na((Nb)(Nc))

((Na)(Nb))Nc= ((N(ab))Nc=N(a(bc))

N(a(bc))= (Na)(N(bc))= Na((Nb)(Nc)). La operacin es asociativa.

3- N=Ne G/N es el elemento identidad, ya que si x= Na G/N, se tiene que Nx= N(Na) = (Ne)(Na)=N(ea) = Na =x, tambin xN= (Na)

N=(Na)(Ne)=N(ae)=Na=x.

4- Si x=NaG/N, x-1=Na-1. es evidente que xx-1 = (Na)(Na-1)=N(aa-1)=Ne=N. Por tanto cada x en G/N tiene su inverso.

Lema 17 Si G es un grupo finito y N G, entonces o(G/N)= o(G) o(N)

Demostracin:

o(G/N) es el ndice de N en G, iG(N).

Por la definicin de indice para grupo finito G se sigue el resultado:

Si (Na)(Nb) = N(ab) para a,b en G, entonces gN= N(gN)= Ng(Ng-1g)=

(NgNg-1)g=Ng. Por tanto, N G.

Ejemplos:

1- Dado el grupo G =(Z8 , ) y N= 0,4, hallar las clases laterales derechas Nx de N

en G. Z 8 =0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, N = 0,4

Nx= nx / nN

N0 = n0 / nN = 0, 4

N1 = n1 / nN = 1, 5

N2 = n2 / nN = 2, 6

N3 = n3 / nN = 3, 7

N4 = n4 / nN = 4, 0

N5 = n5 / nN = 5, 1

N6 = n6 / nN = 6, 2

N7 = n7 / nN = 7, 3

Las clases laterales derechas de N en G son: 0, 4 ,1, 5 , 2, 6 3, 7 2-Verificar que N es un subgrupo normal de G.