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ENVOLVENTE.

Es una función que envuelve a la familia de curvas que son solución deuna EDO. Su solución se obtiene de la solución de la EDO en estudio.

SOLUCIÓN:

1) Se deriva la solución general respecto a C y se despeja C.2) Se sustituye la expresión de C en la solución general y se obtiene

la ecuación de la función envolvente de la solución general de unaEDO.

Ejemplos:

1) y = Cx + CSe deriva respecto a C: 0 = x + 2CSe despeja C: C = −Se sustituye en la solución general dada: y = − x + −

y = −x2 + x4y = −x4

2) (x − C) + (y − C) = 42(x − C)(−1) + 2(y − C)(−1) = 0 ; x + y = 2C ; C = x + y2

x − x + y2 + y − x + y2 = 4

2

3) C x − y = 2C 2Cx = 6C ; x = 3C ; C = x3x3 x − y = 2 x3 ; x9 − y = 2x27 ; y = x9 − 2x27y = x27

TRAYECTORIAS ORTOGONALES.

m = 1m ; dydx = −dxdySolución:

1) Se deriva respecto a la solución general.

2) Se despeja y se sustituye en la solución general.

3) Se sustituye por − obteniéndose una EDO.

4) Se resuelve la EDO obtenida.

0

y

x

Familia de curvas Solución general

Familia de trayectorias ortogonales

3

Ejemplos:

1) x − y = C2x − 2y = 0 ; ∫ = −∫ ; ln y = − ln x + ln C ;y = Cx

2) x + y = 2Cx 2x + 2y dydx = 2C ; C = x + ydydxx + y = 2x x + y dydx ; x + y = 2x + 2xy dydx ; +y= 2x + 2xy −dxdy

x + y = 2x − 2xy dxdy ; y − x = 2xy dxdy

xy + 1 = cyHomogénea, Bernoulli o Factor Integrante