CLASE SISTEMAS LINEALES 2017- I - Universidad Nacional de ......Multiplicación de una ecuación por...
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SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES n n n n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a = + + + = + + + = + + + , 2 2 , 1 1 , 2 , 2 2 2 , 2 1 1 , 2 1 , 1 2 2 , 1 1 1 , 1 L M L L Los sistemas de ecuaciones representan problemas físicos que involucran la interacción de varias propiedades. Las variables en el sistema representan las propiedades que se estudian y las ecuaciones describen la interacción entre las variables. Vamos a resolver un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas: En forma matricial: Ax = b, con A∈ℜ nxn , x ∈ℜ n ,b ∈ℜ n Metodos Numericos 2017 1 Metodos Numericos 2017 2 CLASIFICACIÓN DE MÉTODOS METODOS DIRECTOS: Son aquellos que nos conducirían a la solución exacta luego de un número finito de operaciones elementales, si no hubiera errores de redondeo METODOS ITERATIVOS: parten de una estimación inicial x 0 y construyen una sucesión de aproximaciones, que en principio, convergen a la solución x TIPOS DE MATRICES MATRICES DENSAS: Son aquellas que poseen pocos elementos nulos y son de orden bajo MATRICES RALAS(SPARSE): Son aquellas que poseen muchos ceros y son de orden alto Metodos Numericos 2017 3 MatrizTriangular Superior Sea aquella matriz de orden n en donde todos sus elementos por debajo de la diagonal principal son 0’s Matrices Especiales = - nn n n n n a a a a a a a A 0 0 0 ... ... 0 ... , 1 2 22 1 12 11 M M n j i j i a ij ... 0 , 0 = > ∀ =
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SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
,22,11,
2,222,211,2
1,122,111,1
L
M
L
L
Los sistemas de ecuaciones representan problemas físicos que involucran la interacción de varias propiedades. Las variables en el sistema representan las propiedades que se estudian y las ecuaciones describen la interacción entre las variables. Vamos a resolver un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas:
En forma matricial: Ax = b, con A∈ℜ nxn, x ∈ℜ n ,b ∈ℜ n
Metodos Numericos 20171
�
Metodos Numericos 20172
CLASIFICACIÓN DE MÉTODOS
METODOS DIRECTOS: Son aquellos que nos conducirían ala solución exacta luego de un número finito de operacioneselementales, si no hubiera errores de redondeo
METODOS ITERATIVOS: parten de una estimación inicial x0y construyen una sucesión de aproximaciones, que enprincipio, convergen a la solución x
TIPOS DE MATRICES
MATRICES DENSAS: Son aquellas que poseen pocoselementos nulos y son de orden bajo
MATRICES RALAS(SPARSE): Son aquellas que poseenmuchos ceros y son de orden alto
Metodos Numericos 20173
� MatrizTriangular Superior
� Sea aquella matriz de orden n en donde todos sus elementos pordebajo de la diagonal principal son 0’s
Matrices Especiales
=
−
nn
nn
n
n
a
a
aa
aaa
A
000
...
...0
...
,1
2
22
11211
MM
njijiaij ...0,0 =>∀=
Matrices Especiales
� MatrizTriangular Inferior
� Sea aquella matriz de orden n en donde todos sus elementos porarriba de la diagonal principal son 0’s
=
−
−−
nnnnnn
nn
aaaa
a
aa
a
A
1,21
1,1
2221
11
...
0
0...
0...0
MMnjijiaij ...0,0 =<∀=
Matrices Especiales - Ejemplos
=
12
16
9
400
820
314
3
2
1
x
x
xMatriz Triangular
Superior
Algoritmo
Sustitución hacia
Atrás
−
=
−
−
0
1
4
142
021
002
3
2
1
x
x
xMatriz Triangular
Inferior
Algoritmo
Sustitución hacia
Adelante
SISTEMA CON MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
nxnℜ∈
Calcular
Para k = n-1 , ... , 1.-1
nn
nn a
bx =
kk
n
kj
jjkk
ka
xab
x
∑+=
−
=1
Metodos Numericos 20177
SISTEMA CON MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
�∈ℜ
nxn
Calcular
Para k = 2 , ... , n,1
11
11 a
bx =
kk
k
j
jjkk
ka
xab
x
∑−
=
−
=
1
1
Metodos Numericos 20178
CASO GRAL
Dado el sistema de ecuaciones lineales de la forma
A x = b , donde A ; b
siendo la matriz del sistema no triangular entonces utilizamos el método de Eliminación de Gauss para transformar el sistema en uno equivalente con matriz triangular superior
∈ℜnxn
∈ℜn
Metodos Numericos 20179
Teorema 2 (INVARIANZA DE LA SOLUCIÓN):
Las soluciones de un sistema Ax = b permanecen invariantes ante las siguientes operaciones:
� Intercambio de dos ecuaciones cualesquiera� Multiplicación de una ecuación por un escalar no nulo� Suma de una ecuación con una combinación lineal no
nula de otras ecuaciones
Metodos Numericos 201710
ELIMINACION DE GAUSSALGORITMO DE TRIANGULACION Para resolver el sistema, se requiere el uso de la matrizampliada del sistema, la cual se define como [A:B]. Luego,se sustituye A por la matriz escalonada equivalente,aplicando operaciones elementales.
Ejemplo: 2x1 + 4x2 - 2x3 = 6
x1 - x2 + 5x3 = 0
4x1 + x2 - 2x3 = 2
1) eliminamos los elementos de la primera columna.Sumo a la 2da ecuación la 1era multiplicada por m21 = -1/2
sumo a la 3era ecuación la 1era multiplicada por m31 = -2
2x1 + 4x2 - 2x3 = 6
-3x2 + 6x3 = -3
-7x2 + 2x3 = -10 .Metodos Numericos 201711
2x1 + 4x2 - 2x3 = 6
-3x2 + 6x3 = -3
-7x2 + 2x3 = -10 .
2) eliminamos los elementos de la segunda columna.Sumo a la 3era ecuación la 2da multiplicada por m31= - 7/3
2x1 + 4x2 - 2x3 = 6
-3x2 + 6x3 = -3
-12x3 = -3
Obtengo una matriz triangular superior.
Utilizando el algoritmo de sustitución hacia atrás resolvemos elsistema x T = (1/4, 3/2, 1/4 )
Metodos Numericos 201712
FACTORIZACION LUSea el problema general de resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma
Ax = b , donde A ; b
Este método se usa para resolver sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes y distintos términos independientes.Se descompone la matriz A en un producto de dos matrices:
� Una matriz triangular inferior unidad L.� Una matriz triangular superior U,
de tal forma que A=LU
∈ℜnxn ∈ℜ
n
Metodos Numericos 201713
FACTORIZACION LU�
1+kija
1+kija
Metodos Numericos 201714
FACTORIZACION LU
Despues de n-1 pasos: A n , triangular superior, U = A n
Definimos ahora la matriz L, formada por los multiplicadores
1..
.
.
0
...
.1
.01
.
0.001
21
3231
21
nn mm
mm
mL =
nnn
n
n
n
a
a
a
a
aa
aaaa
..000
....
.0
.
.
0
0
.
33
22
333
223
222
11
113
112
111
U =
Metodos Numericos 201715
Metodos Numericos 201716
FACTORIZACION LUDado el sistema inicial, Ax = b, y calculada A = LU, solución
del sistema es: LU x = bL y = bU x = y
Ejemplo:
L = U = y = x =
− 112
011
001
−
−
500
220
231
Metodos Numericos 201717
NUMERO DE OPERACIONES
2 1 1 2 1 1 3 2 11 2 1
21
2
1
( ) ...i i nn
n ni
n
i
n
− + = − = + + + − =+ −
== =
∑ ∑
2 2 23
21
3
1
3
2
3
2
1
1
2
3
1
1
1
1 3 3
( ) ( )( ) ( )
n k n k dkn k n n
k
n nn
− ≅ − = −−
=
−−
≅
=
−−−
∑ ∫
Consideramos el costo de:
i) Cálculo de L y U
ii) Resolución de Ly = b
iii) Resolución de Ux = y
2 1 1 2 1 1 3 2 11 2 1
21
2
1
( ) ...i i nn
n ni
n
i
n
− + = − = + + + − =+ −
== =
∑ ∑
El costo es O( n3)Metodos Numericos 201718
CALCULO DEL DETERMINANTE
A = LU det(A) = det(L)det(U) = det(U)
CALCULO DE A-1
Dado que: A A-1 = I
Calculamos: A xi = ei , i = 1,…, n
Xi : columna i-esima de la matriz inversa
ei : columna i-esima de la matriz identidad, (0....1(i)......0)t
A : matriz de partida
Metodos Numericos 201719
Pivoteo y Escalamiento en el Método de Gauss
�
1)+(kkk
1)+(kik
a
a=ikm
Metodos Numericos 201720
Pivoteo Parcial
�
kik
nkik ac
...
max=
=
1≤ikm
Metodos Numericos 201721
Pivoteo Total
�
kij
nkjik ac
...,
max=
=
Metodos Numericos 201722
Implementación de LU con Pivoteo
�
Metodos Numericos 201723
Escalamiento Implícito�
i
k
ik
nkik
s
ac
...
max=
=
ijnj
i as...1
max=
=
Metodos Numericos 201724
Variantes de Eliminación de GaussMétodo de Gauss Jordan
�
)1()1()1(
2
)1(
1
)1(
2
)1(
2
)1(
22
)1(
21
)1(
1
)1(
1
)1(
12
)1(
11
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
L
MMOMM
L
L
−
−
)()(
)1(
2
)2(
22
)1(
1
)1(
11
00
00
00
n
n
n
nn
n
n
ba
ba
ba
L
MMOMM
L
L
Metodos Numericos 201725
Variantes de Eliminación de GaussMétodo de Cholesky
� ∈ℜnxn
∑−
=
1
1
j
k
lij ( aij - lik ljk )/ljj , i>j
Ventajas: costo es la mitad de LU y no necesita pivoteoMetodos Numericos 201726
27
=
1000
100
010
001
00
00
00
000
00
0
0
00
34
23
12
4443
3332
2221
11
4443
343332
232221
1211
u
u
u
ll
ll
ll
l
aa
aaa
aaa
aa
Método de Thomas(sistemas tridiagonales)
Metodos Numericos 2017
