Marcos Rivas PeaSimulacin de Sistemas Simulacin MontecarlosGeneracin de nmeros pseudoaleatorios

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Marcos Rivas PeaObjetivo de la SesinAprender a Simular mediante el mtodo Monte CarloComprender la importancia de los nmeros aleatorios en la simulacinConstruir generadores de nmeros aleatoriosValidar una serie de nmeros aleatorios

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Marcos Rivas PeaSistemasTabla de ContenidoSimulacin Montecarlo Generacin de nmeros aleatoriosMtodo de cuadrado mediosMtodo de Congruencia LinealValidacin de los nmeros aleatoriosValidacin de la uniformidadValidacin de la aleatoriedad

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Marcos Rivas PeaMtodo MontecarloEl problema crucial de la aplicacin de los mtodos de Monte Carlo es hallar los valores de una variable aleatoria (discreta o continua) con una distribucin de probabilidad dada por la funcin p(x) a partir de los valores de una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1), proporcionada por el computador o por una rutina incorporada al programa.

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Marcos Rivas PeaSimulacin de una RuletaRealicemos ahora la experiencia de hacer girar una ruleta y apuntar el nmero del sector que coincide con la flecha

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Marcos Rivas PeaElemento Central en la Simulacin digital.Elemento esencial en muchas reas del conocimiento Ingeniera, Economa, Fsica, Estadstica, etc.Definicin intuitiva: Una sucesin de nmeros aleatorios puros, se caracteriza por que no existe ninguna regla o plan que nos permita conocer sus valores.

Nmeros Aleatorios

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Marcos Rivas Pea Nmeros AleatoriosXi+1=(aXi+c) mod mManual o mecnico.Tabla de Nmeros aleatoriosComputador

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Marcos Rivas PeaJuegan un rol preponderante en el proceso de simulacin. Para simular necesitamos de nmeros aleatorios como semillas para generar muestras de V.A.Los nmeros aleatorios obtenidos a travs de algoritmos recursivos se llaman pseudoaleatorios.Generacin de Nmeros Aleatorios

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Marcos Rivas PeaPropiedades a verificar

Distribucin uniforme Estadsticamente independientesReproduciblesCiclo tan largo como se deseeGeneracin a gran velocidadOcupar poca memoria de ordenadorGeneracin de Nmeros Aleatorios

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Marcos Rivas PeaPropiedades de Nmeros Aleatorios 1.Distribucin Uniforme.Cualquier nmero que pertenezca al rango de inters debe tener la misma probabilidad de ser elegido. 2.Estadsticamente IndependienteLa aparicin de un nmero en la secuencia, no afecta la probabilidad de que aparezca otro (o el mismo) nmero.

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Marcos Rivas PeaEjemploLa serie

0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5.....

Es Uniforme ?

Es estadsticamente independiente?

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Marcos Rivas PeaGenerador RANDU IBM

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Marcos Rivas PeaGenerador RANDU IBM

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Marcos Rivas PeaSerie de Nmeros AleatoriosSon nmeros que deben de cumplir los requisitos de espacio equiprobable, es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la eleccin de uno no dependa de la eleccin del otro.

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Marcos Rivas Pea1.- Mtodo de los cuadrados medios2.- Mtodos de Congruencia Lineal

[Semilla - Algoritmo - Validacin] P1 : Obtener semilla (valores iniciales) P2 : Aplicacin de Algoritmos recursivos P3 : Validacin del conjunto de datos generados Test de Aleatoriedad e Uniformidad)

Mtodos de Generacin de Nmeros Aleatorios

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Marcos Rivas PeaConsiste en que cada nmero de una sucesin es producido tomando los dgitos medios de un nmero obtenido mediante la elevacin al cuadrado.P1 : Obtener semilla (valores iniciales 445)P2 : Aplicacin de Algoritmos recursivos (elevar al cuadrado)P3 : Validacin del conjunto de datos generadosMtodo de los Cuadrados medios

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Marcos Rivas PeaEjemplo: Consideremos la semilla 445

X X2 N Aleatorio445 1| 9802 | 5 0,9802980296| 0792 | 04 0,0792792 6 | 2726 | 4 0,27262726 ............... ...............

Mtodo de los Cuadrados medios

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Marcos Rivas PeaAnlisisEl problema con este mtodo es que tiende a degenerar rpidamente. Dependiendo del valor inicial el mtodo puede degenerar rapidamente.Por ejemplo, supngase que se quiere generar una serie de nmeros pseudo-aleatorios de cuatro dgitos y se tiene como i-simo termino generado es 3500, luego se tendr:

Se puede observar que hemos llegado a una condicin degenerada. Por la tanto, es necesario verificar siempre la serie de nmeros y protegerse contra este fenmeno

nxx2Nro. Aleatorioi3500122500002500i+1250062500002500

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Marcos Rivas PeaEste mtodo produce una secuencia de nmeros enteros, X1, X2, ... entre cero y m de acuerdo a la siguiente relacin recursiva:Xn+1 = (a Xn + c) mod m ; 0 Xn < m n Los parmetros del algoritmo se llaman- aConstante multiplicativa- ces el incremento- mmdulo - Xosemilla (valor inicial)Si se quiere obtener nmeros Uniformes (0,1) se normaliza el resultado

Generadores de Congruencia Lineal

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Marcos Rivas PeaObs: 1.- Cuando c=0 el generador se denomina Generador de congruencia Multiplicativa. 2.- Cuando c0 el generador se denomina Generador de congruencia mixto. 3.- A pesar de la simplicidad una adecuada eleccin de los parmetros de a, c y m, permite obtener de manera eficiente una larga e impredecible sucesin de nmeros como para considerarse aleatoria.Generadores de Congruencia Lineal

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Marcos Rivas PeaMtodo de Congruencial Lineal (MCL)En el MCL, si se repite un nmero ya se repite toda la secuencia.

Ventajas:

utiliza poca memoria y es muy rpido. fcil de volver a generar la misma secuencia, guardando un solo nmero, (se alcanza con partir desde la misma semilla: X0).

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Marcos Rivas PeaEjemplo MCL

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Hoja1

Parmetros

Casoacmxo

160131

2701310

350135

470115

560113

CasoSalidas

1610892127354111610

259111263842171059

3128151281512815128

42310469817523104

57910584216379104

Hoja2

Hoja3

Marcos Rivas PeaAlgunas observaciones de las salidas de los generadores congruenciales:

Un generador congruencial tiene ciclos o periodosLa longitud del ciclo depende de la seleccin de los parmetros (ver caso 1) y 3) )Dentro de selecciones de parmetros que conducen a la misma longitud, algunas salidas parecen ms aleatorias que otras.

Mtodos de Congruencia Lineal

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Mtodos de Congruencia Lineal

Periodo: subcadena de la serie en la que no hay repeticiones de nmeros.

Longitud de periodo: nmero de elementos de dicha subcadena.

Interesan mtodos con alta longitud de periodo.

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Marcos Rivas PeaMtodos de Congruencia Lineal

Para obtener la mxima densidad y evitar los ciclos (recurrencia de la misma secuencia de nmeros ya generados) el generador debera tener el periodo ms grande posible. El mximo periodo puede lograrse eligiendo apropiadamente los valores de los parmetros del generador, por ejemplo (Banks et al., 1996):Para m = 2b y c 0, el mximo periodo es P = m, y puede lograrse con un valor de c que sea un nmero primo relativo a m (esto es, que el mximo factor comn entre ambos sea 1), y a = 1+4k. k y b son enteros.Para m = 2b y c = 0, el mximo periodo es P = m/4, y puede lograrse con un valor impar para la semilla X0, y a = 3+8k, o a = 5+8k. k y b son enteros.Para m nmero primo y c = 0, el mximo periodo es P = m-1, y puede lograrse con un valor de a tal que el menor entero k que hace que ak-1sea divisible por m es k = m-1.

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Marcos Rivas PeaEjemploLa Tabla muestra resultado de un generador congruencial multiplicativo para a = 13, m = 26 = 64, X0 = 1, 2, 3, 4.

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Marcos Rivas PeaEl generador Mth$Random, empleado en los compiladores de FORTRAN y BASIC de los antiguos ordenadores VAX, utilizaba la siguiente recursin:

El generador LGC16807, utilizado durante aos en muchos paquetes de software para estadstica, simulacin y optimizacin, emplea:

Generadores Reales

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Marcos Rivas PeaFinalmente la fase de validacin se basa en ciertas propiedades estadsticas que deben cumplirse a la salida de los generadores de n aleatorios .Los Test empricos que veremos a continuacin son genricos y pueden usarse en la evaluacin de generadores de n aleatorios, en generadores de variables aleatorias y en la modelacin de entradas de modelos de simulacin.La mayora de los Test se encuentran disponibles en paquetes estadsticos comerciales.Validacin de Series de Nmeros Pseudoaleatorios

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Marcos Rivas PeaValidacin de Series de Nmeros pseudoaleatoriosLa validacin consiste en probar si una serie de nmeros generados corresponde a una distribucin de probabilidad supuesta y probar que los nmeros son independientes entre s.Prueba de Bondad de Ajuste.Probar si cumple una distribucin uniformePrueba de Aleatoriedad.Probar si los elementos de la serie son independientes.

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Marcos Rivas PeaValidacin de la Uniformidad de los Nmeros Pseudoaleatorios Test Aplicable a v.a. continuas y v.a .discretas y compara las funciones de densidad de probabilidad

Procedimiento1o. Elaborar el histograma de frecuencias relativas, con la que podemos apreciar cul sera la funcin terica de densidad que se ajusta mejor a los datos del histograma.2o. Desarrollo de la prueba estadstica : 2.1. Planteamiento de hiptesis Hp : La variable en estudio se ajusta a determinada distribucin terica (Uniforme, exponencial, normal, poisson). Ha : La variable en estudio tiene un comportamiento aleatorio que no se ajusta a determinada distribucin terica.3o. Establecimiento del nivel de significacin .4o. Clculos previos y estimacin de la frecuencia esperada o terica5o. Criterios de decisin : Se acepta la Hp, si X2 calc < X2 tab Se rechaza la Hp si X2 calc > X2 tab

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Marcos Rivas PeaDada una muestra X1, X2, ..., Xn de una Fx(x) desconocida. Se desea contrastar. Ho : Fx(x) = Fo(x) v/s H1 : Fx(x) Fo(x) Este Test considera aleatoriedad de Fo = U(0,1)Efectuando una particin del soporte de X en k subconjuntos I1, I2, ..., Ik :

fi : Nmero observados en el subconjunto i-simo (Ii)ei: nmero de observaciones esperadas en Ii bajo Ho

Validacin de la Uniformidad de los Nmeros Pseudoaleatorios Test

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Marcos Rivas PeaUse el test chi-square con = 0.05 para mostrar que la serie de nmeros estn uniformemente distribudos

Validacin de la Uniformidad de los Nmeros Pseudoaleatorios Ejemplo

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0.34

0.90

0.25

0.89

0.87

0.44

0.12

0.21

0.46

0.67

0.83

0.76

0.79

0.64

0.70

0.81

0.94

0.74

0.22

0.74

0.96

0.99

0.77

0.67

0.56

0.41

0.52

0.73

0.99

0.02

0.47

0.30

0.17

0.82

0.56

0.05

0.47

0.31

0.78

0.05

0.79

0.71

0.23

0.19

0.82

0.93

0.65

0.37

0.39

0.42

0.99

0.17

0.99

0.46

0.05

0.66

0.10

0.42

0.18

0.49

0.37

0.51

0.54

0.01

0.81

0.28

0.69

0.34

0.75

0.49

0.72

0.43

0.56

0.97

0.30

0.94

0.96

0.58

0.73

0.05

0.06

0.39

0.84

0.24

0.40

0.64

0.40

0.19

0.79

0.62

0.18

0.26

0.97

0.88

0.64

0.47

0.60

0.11

0.29

0.78

Marcos Rivas PeaValidacin de la Uniformidad de los Nmeros PseudoaleatoriosTest de Kolmogorov - Smirnov (Test K-S)Mediante la prueba se compara la distribucin acumulada de las frecuencias tericas (Fo) con la distribucin acumulada de las frecuencias observadas (Fn), se encuentra el punto de divergencia mxima y se determina qu probabilidad existe de que una diferencia de esa magnitud se deba al azar.

Procedimiento: 1o. Calcular las frecuencias esperadas de la distribucin terica especfica por considerar para determinado nmero de clases, en un arreglo de rangos de menor a mayor. 2o Arreglar estos valores tericos en frecuencias acumuladas. 3oArreglar acumulativamente las frecuencias observadas. 4o Aplicar la ecuacin D = |Fo Fn| , donde D es la mxima discrepancia de ambas. 5o Comparar el valor estadstico D de Kolmogorov-Smirnov en la tabla de valores crticos de D. 6o Decidir si se acepta o rechaza la hiptesis.

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Marcos Rivas PeaSea Fo una funcin de distribucin continua y sea Fn la funcin de distribucin emprica de la muestra.Bajo Ho: Fn(x) = Fo(x) se espera que Fn se aproxime a FoDn = Sup | Fn(x) - Fo(x) |

La distribucin exacta de Dn est tabulada para valores n 40 y distintos niveles de significacin .Para muestras grandes se utiliza la distribucin asinttica de Dn dada por

x RValidacin de la Uniformidad de los Nmeros Pseudoaleatorios Test de Kolmogorov - Smirnov (Test K-S)

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Marcos Rivas PeaValidacin de la Aleatoriedad de los Nmeros Pseudoaleatorios Test de Rachas Rachas: Se define una racha como una sucesin de smbolos idnticos que pueden estar o no estar separados por otros smbolos.Ejemplo:

+ + - - - + - - - - + + - +

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Marcos Rivas PeaValidacin de la Aleatoriedad de los Nmeros Pseudoaleatorios Test de RachasProcedimiento:1o. Sea n1 el nmero de elementos de una clase , y n2 el nmero de elementos de la otra. 2o Sea N el nmero total de eventos observados n1 + n23oDeterminar el nmero de rachas (r)

Nota: Para muestras grandes, una buena aproximacin a la distribucin muestral de (r) es la distribucin normal.

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Marcos Rivas PeaTest de CorridasDada la sucesin de n observaciones construimos la sucesin de smbolos binarios definida por

Definimos racha creciente (decreciente) de longitud L a un grupo seguido de L nmeros 1(+) nmeros 0(-). Contando el nmero de rachas. Bajo aleatoriedad de la muestra se espera que su distribucin asinttica sea normal:

NValidacin de la Aleatoriedad de los Nmeros Pseudoaleatorios Test de Rachas

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Marcos Rivas PeaEjemplo: Considere la siguiente secuencia de 20 nmeros aleatrorios Test de Rachas 0.43 0.28 0.33 0.27 0.130.31 0.42 0.01 0.32 0.450.98 0.79 0.99 0.55 0.670.74 0.16 0.20 0.12 0.58

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Marcos Rivas PeaTest de Rachas por encima y debajo de la media.Se cuentan el nmero de observaciones que se sitan a un mismo lado de la media. La distribucin asinttica del nmero de rachas bajo aleatoridad es normal:N[2n1n2/N+1/2, 2n1n2 (2n1n2-N)/N2(N-1)]Validacin de la Aleatoriedad de los Nmeros Pseudoaleatorios Test de Rachas

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Marcos Rivas PeaConclusionesLos nmeros aleatorios son de gran importancia en el proceso de simulacinLa serie de nmeros aleatorios generados tiene un periodo, es el ciclo que no hay ningn nmero que se repiteEs necesario validar la uniformidad y aleatoriedad de la serie de nmeros generados

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